第二十七章相似1(新人教版九年级下)

27.1.1图形的相似（一）一、学习目标:1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比．二、学习重、难点：重点：相似图形的概念与成比例线段的概念．难点：成比例线段概念．三、学习过程（一）探究新知：1.观察右边几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系?相似图形定义：这种形状相同的图形叫．2.对上题中的3组相似图形，其中一个图形可以看做由另一个图形或得到。

练一练：1．在下面的图形中，形状相似的一组是( )2．下列图形一定是相似图形的是( )A．任意两个菱形B．任意两个正三角形C．两个等腰三角形D．两个矩形（二）探究新知：问题：如图在矩形ABCD中，边AB=2cm，BC=3 cm，这两条线段的比= .归纳：1.两条线段的比，就是两条线段的比．例1一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比：ab=（1）如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比：ab=（2）如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比：ab=小结：⑴上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的ab的值是的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位，但求比时两条线段的长度单位必须（2）线段的比是一个没有单位的正数；2.成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，即：a cb d=（或::a b c d=），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．或者说四条线段a，b，c，d成比例，【注意】比例线段是四条线段之间的特殊关系；3.比例的基本性质：若四条线段满足：a cb d=（或::a b c d=），则有，即比例内项之积等于比例外项之积。

练一练：1.已知32=yx，则______=+yyx，______=+yxx，______=+-yxyx；2.若43=-yyx，则______=yx；若045=-yx，则x∶y= 。

新人教版九年级下册第二十七章“相似”简介教材分析课程教材研究所宋莉莉中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，全等是一种特殊的相似．本章将在前面对全等形研究的基础上，借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究．本章研究的主要问题是相似图形的定义、性质和判定方法，研究的主要载体是三角形．此外，教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和旋转三种图形的全等变换，本章将介绍一种新的图形变换——位似．为了进一步培养学生的推理论证能力，本章对许多新结论进行了证明，证明的思路各具特色．全章包括三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要14 课时，具体安排如下（仅供参考）：27 ．1 图形的相似 2 课时27 ．2 相似三角形7 课时27 ．3 位似 3 课时数学活动小结 2 课时一、教科书内容和本章学习目标1．本章知识结构本章知识结构如下图所示：2．教科书内容在“全等三角形”一章中，学生学习了形状和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法．本章以此为基础，按照研究对象的“一般T特殊T特殊位置关系”的顺序展开研究.首先，教科书从现实世界中形状相同的物体谈起，然后把研究对象确定为形状相同的图形——相似图形，举例说明了放大、缩小两种操作与相似图形之间的关系. 接着教科书把研究对象缩小为特殊的相似图形——相似多边形，由相似多边形的定义推出了相似多边形的性质. 对于相似多边形的判定，教科书以三角形为载体进行研究，此外，还研究了相似三角形的其他性质和应用. 最后，教科书研究了一种具有特殊位置关系的相似图形——位似图形. 本章的知识不仅将在后面学习“锐角三角函数” 和“投影与视图” 时得到应用，而且对于建筑设计、测量、绘图等实际工作也具有重要价值.本章共有三节内容.第1 节“图形的相似”主要介绍相似图形、相似多边形的概念，并给出了相似多边形的性质；第2 节“相似三角形”主要研究相似三角形的判定和性质，以及相似三角形在测量中的应用；第3 节“位似”研究了一种特殊的相似图形——位似图形的画法，以及如何在平面直角坐标系中用坐标表示位似变换. 在“ 27. 1 图形的相似”中，教科书首先列举了生活中具有形状相同形象的物体（汽车与它的模型、大小不同的足球、不同尺寸的照片、不同字号的印刷字），接着把形状相同的图形定义为相似图形，然后指出放大和缩小这两种操作与相似图形之间的关系．接下来，教科书给出了特殊的相似图形——相似多边形的定义，并由定义得到了判定两个边数相同的多边形是相似多边形的方法，以及相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质．教科书接下来在“ 27．2 相似三角形”中进一步深入研究了相似三角形，分为相似三角形的判定、性质及应用三部分．在“ 27．2．1 相似三角形的判定”中，教科书介绍了五种判定方法．其中，为了得到第一种判定方法“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，教科书先在探究的基础上介绍了平行线分线段成比例定理，然后将这个定理应用到三角形上得到了一个推论，最后利用这个推论并通过在三角形中平移线段证明了两个三角形相似．接下来的三种判定方法（“三边”“两边及其夹角”“两角”）都是利用第一种判定方法，并构造全等三角形证明的．最后，教科书利用勾股定理证明了判定两个直角三角形相似的方法．在“ 27．2．2 相似三角形的性质”中，教科书首先证明了相似三角形对应高的比等于相似比，然后由相似三角形对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，推广到更一般的结论——相似三角形对应线段的比等于相似比．接着，教科书推出了相似三角形的面积比与相似比之间的关系．相似三角形的判定和性质在实际生活中应用很多，教科书接下来在“ 27．2．3 相似三角形应用举例” 中安排了3个例题（测量金字塔高度、测量河宽、测量特殊条件下的距离），举例说明了相似三角形在测量方面的应用．在本章的最后一节，位似图形作为一种特殊的相似图形被引入．教科书首先指出日常生活中存在与原图形相似且与原图形的对应顶点的连线交于一点的图形（幻灯机、照相机成像），接着给出了位似图形的概念．然后从定义出发，得到了画一个多边形的给定位似比的位似图形的方法．接下来，与用变换前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示平移、轴对称和旋转类似，教科书研究了用坐标之间的关系表示位似变换的方法．最后教科书简单对学生学过的四种变换进行了总结，让学生在一个设计图案中辨析这些变换．在本章中，相似三角形的判定和性质是本章的重点内容，相似三角形判定定理的证明是本章的难点内容．此外，综合应用相似三角形的判定和性质，以及学生前面学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识解决问题（包括实际问题）也是本章的一个难点．为了降低学生在推理论证方面的难度，本章加强了证明思路的引导，或者用分析法分析出由条件到结论必需的转化，或者提示了证明的关键环节；为了降低学生在解决实际问题中的难度，本章专门设置了一个小节“ 27．2．3 相似三角形应用举例”，从不同角度为解决实际问题做出示范．3．本章学习目标（1）通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比的含义．（2）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（3）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．（4）* 了解相似三角形判定定理的证明．（5）了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．（6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．（7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．二、编写时考虑的几个问题1．注意渗透研究几何图形的基本套路，体现公理化思想本套教科书对于几何内容的编写自始至终注意渗透研究几何图形的基本问题和方法，体现了公理化的思想．如在七年级下册“相交线与平行线”一章中，教科书介绍了图形的判定和图形的性质的含义及相互关系，让学生认识到它们是研究几何图形的两个重要方面；对于三角形、全等三角形、平行四边形等几何图形，教科书都重点研究了它们的定义、性质和判定方法．本章对相似图形的研究仍然以公理化思想为指导，注意渗透研究几何图形的基本套路，具体表现为以下几个方面：首先，本章按照“相似形的现实模型T相似图形T相似多边形T相似三角形T位似图形” 的从一般到特殊的顺序来呈现研究对象，展开研究．其中，三角形作为最简单而典型的封闭图形被作为载体来研究相似图形的基本内容——定义、性质和判定方法.其次，上一版教科书是按照“判定T应用T周长与面积”的顺序呈现相似三角形的内容的，本次修订后，教科书先介绍相似三角形的判定方法，接着给出相似三角形的性质，最后在“相似三角形应用举例”中应用判定方法和性质．这样的编排使研究几何图形的“判定T性质T应用”的主线更清晰，突出了研究的主要问题.再次，为了研究相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质，教科书改变了上一版教科书依次对相似正三角形、正六边形和一般的相似三角形、四边形进行观察、度量，猜想对应角、对应边的关系，然后从特殊到一般归纳结论的方式，直接给出了相似多边形的定义，并由定义直接得到了相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质．这样做使图形性质的获得更直接，也符合九年级学生的认知水平．最后，在第27．2．2 小节研究相似三角形的性质之前，教科书先提出问题“三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？” ，这样的问题实际上是让学生在“什么是性质” 的思想的指导下自己发现相似三角形的性质要研究的内容，改变了以往教学中“给一条性质，证明一条性质”的做法．2．重视培养学生的推理论证能力按照整套教科书对推理能力培养的循序渐进的目标，“相似”处于最后一章，所包含的问题的综合性最强、证明的难度最高．教科书一方面继续运用直观操作和逻辑推理相结合的方式研究几何图形，让学生经历实验T猜想T证明的过程，即先让学生在实验操作中感受几何命题的合理性，再在分析、思考的基础上提出猜想，最后通过证明确认几何命题的合理性．这样的过程有利于提高学生独立发现问题、解决问题的能力．另一方面，教科书加强了证明思路的引导，让学生在理解、感悟、实践证明思路的基础上提高推理论证能力．例如，在用平行线分线段成比例定理的推论证明定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”时，教科书引导学生思考解决问题的关键是证明“” ，而“除DE外，AE AC BC都在△ ABC的边上”，由此就得到了通过作平行线将DE也平移到厶ABC的边上的证明思路.又如，在证明“三边成比例的两个三角形相似”的过程中，教科书提炼出了作一个“中介三角形”使之与要证的三角形相似，再利用已证定理和已知条件证明“中介三角形”与原三角形全等的思路，利用这个思路，让学生自己证明“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“两角分别相等的两个三角形相似”．3．加强知识间的联系相似图形与全等图形之间是一种一般与特殊的关系，教科书在编排相似内容时将其看成全等内容的拓展与延伸，并利用类比来展现二者的关系．例如，章引言类比“全等三角形” 一章研究的主要内容，提出本章要研究的主要问题——“在‘全等三角形' ”一章中，我们研究了形状和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法．类似地，两个形状相同、大小不同的三角形，它们的边和角有什么关系？……”.又如，类比存在判定两个三角形全等的简便方法，教科书提出问题“判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢” ，接着类比判定三角形全等的SSS，SAS HL 方法，让学生分别从三边、两边和夹角、斜边和一条直角边的角度来寻求答案．在章小结中，教科书对这种研究思路进行了总结“全等形是相似比为1的相似图形，因此全等是特殊的相似.利用从特殊推广到一般的方法，由研究全等三角形的思路，可以提出相似三角形的问题和研究方法．”此外，教科书以平分线分线段成比例定理为起点来证明相似三角形的判定定理，就是利用了这一定理与相似三角形定义中边对应成比例之间的联系．将平分线分线段成比例定理应用到三角形中，就得到了推论“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例” ，从而就可以进一步证明“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”了，而这个定理可以作为证明其他判定定理的引理．4．注意联系实际相似是生活中常见的现象，日常生活中到处存在着相似的例子，相似图形的性质在实际中有着广泛的应用，能直接应用相似三角形判定和性质的实例也很多．为了让学生认识到这一点，并增强学生发现问题、解决问题的能力，教科书在编写过程中结合具体内容融入了大量实际背景和问题．如在概念的引入环节，为了让学生建立起对相似图形的直观认识，教科书不仅在章头图呈现了两张不同尺寸同底版的万里长城照片，还在第27．1 节给出了汽车和它的模型、大小不同的足球等形象，并通过放映电影、复印机复印等实例让学生感受相似图形与放大、缩小两种操作的关系；在概念的应用环节，教科书在“ 27．2．3 相似三角形应用举例”中专门安排了相似三角形应用的内容，给出了一些利用相似三角形的性质和判定方法解决生活中不能直接测量的物体长度的问题，在练习、习题中也编排了应用相似三角形知识的实例．三、对教学的几个建议1．在几何教学中坚持渗透研究几何图形的基本套路学生通过前面对平行线、三角形、全等三角形、平行四边形等几何图形的学习，对于研究几何图形的基本问题、思路和方法已经形成了一定的认识．本章教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的经验，用研究几何图形的基本套路贯穿全章的教学．例如，在教授本章之前，可以让学生类比对全等三角形研究的主要内容，提出对形状相同、大小不同的三角形应研究的主要问题和研究方法，构建本章内容的基本线索，使他们对将学习的内容做到心中有数．又如，过去对图形性质的教学一般是教师先给出性质，然后引导学生证明，而通过前面对几何图形的学习，学生已经了解了性质要研究的是几何图形的基本量之间的关系，因此本章在教学相似三角形的性质之前，可以先让学生自己发现性质，再给出证明．2．进一步培养学生的推理论证能力本章的证明所涉及的问题不仅包含相似的知识，也有很多是和三角形、全等、平行、勾股定理、平面直角坐标系等知识融合在一起的，例如相似三角形判定定理的证明中利用了全等三角形作为“桥梁” ，性质的证明借助了代数运算，因此推理论证的难度提高了．教学时应注意帮助学生复习已有的知识，做到以新带旧、新旧结合；也要注意以具体问题为载体，加强证明思路的引导，帮助学生确定证明的关键环节，指导学生写出完整的证明过程．同时注意根据教学内容及时安排相应的训练，让学生能够逐步达到独立分析、完成证明．3 ．注意把握好教学要求与《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》相比，《义务教育数学课程标准（2011 版）》突出了以三角形为载体的对相似图形的判定和性质的研究，学习要求也由“探索”变成了“证明” ．因此教学中应该注意把握好不同内容的教学要求，突出本章的重点内容．例如，本章中比例和成比例线段的相关内容是为相似多边形的定义服务的，教学中只需在小学数学的基础上给出线段成比例的概念，让学生理解它的基本含义即可．又如，尽管平行线分线段成比例定理是研究相似三角形判定的基本理论，但教学中不应过多涉及这个定理的应用，而是主要由它来推出判定相似三角形的第一种判定方法．而对于本章的重点内容，则不应该满足于“探索”，应该让学生证明相似三角形的性质定理，让学有余力的学生证明相似三角形的判定定理.。

新人教版九年级数学下册《第二十七章相似》全章教案本文已经没有格式错误和明显有问题的段落了，但是可以对每段话进行小幅度的改写，以增强文章的流畅性和可读性。

第一节课重点讲解了相似图形的概念和运用方法。

通过一些日常生活中的例子，让学生们理解了相似图形的形状和大小可以不同，但是它们的形状相同。

同时，老师还通过线段的长度比例的例子，让学生们理解了相似图形的比例关系。

在例题讲解中，老师通过选择题的形式，让学生们运用相似图形的特征，判断哪个图形与左边的图形相似。

同时，老师还给出了一道关于比例尺的例题，让学生们运用相似图形的知识，计算出实际距离。

第二节课重点讲解了相似多边形的主要特征和识别方法。

老师让学生们了解到相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

通过一些实例，让学生们学会了如何识别相似多边形，并运用其性质进行计算。

总的来说，本章节的教学目标是让学生们掌握相似图形和相似多边形的概念和运用方法。

通过一些生动的例子和实例，让学生们更好地理解和掌握知识点。

在研究第26页的内容时，学生需要了解判别两个多边形是否相似的条件。

这些条件包括对应角是否相等，对应边的比是否相等，这两个条件缺一不可。

如果要说明两个多边形不相似，则必须说明各角无法对应相等或各对应边的比不相等，或者举出合适的反例。

在解决这个问题时，依靠直觉观察是不可靠的。

课堂引入：1.对于图中的两个相似的四边形，它们的对应角和对应边的比是否相等。

2.相似多边形的特征是对应角相等，对应边的比相等。

如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

3.相似比是相似多边形对应边的比。

4.当相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形。

例1（补充）（选择题）：下列说法正确的是D。

因为任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似。

例（教材P26例题）：要求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可以根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题。

人教版九年级数学下册《第二十七章相似》教案一. 教材分析人教版九年级数学下册《第二十七章相似》主要讲述了相似图形的性质和判定方法。

本章内容包括相似图形的定义、相似比、相似多边形的性质、相似三角形的性质和判定、相似圆的性质和判定等。

这些内容是学生学习几何学的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形有了一定的认识。

但是，对于相似图形的定义和性质，学生可能还比较陌生，需要通过具体的例子和实践活动来加深理解。

此外，学生对于图形的变换和判定方法可能还不够熟练，需要通过大量的练习来提高。

三. 教学目标1.理解相似图形的定义和性质，能够判断两个图形是否相似。

2.掌握相似三角形的性质和判定方法，能够应用到实际问题中。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.相似图形的定义和性质的理解。

2.相似三角形的性质和判定方法的掌握。

3.图形变换的熟练运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和积极性。

2.利用多媒体和实物模型，进行直观演示和操作，帮助学生建立直观的空间想象能力。

3.提供丰富的练习题，进行巩固和拓展，提高学生的解题能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.实物模型和图片。

3.练习题和答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些相似的图形，如字母“A”和“a”，让学生观察和思考，引出相似图形的概念。

2.呈现（10分钟）讲解相似图形的定义和性质，通过具体的例子和实物模型进行演示，让学生理解和掌握相似图形的特征。

3.操练（10分钟）让学生进行一些类似的练习题，巩固对相似图形的理解和判断能力。

可以提供一些提示和指导，帮助学生解决问题。

4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生应用相似图形的性质和判定方法，解决实际问题。

教师可以给予一些帮助和指导，鼓励学生独立思考和解决问题。

九年级数学下册第二十七章相似知识点总结归纳单选题1、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是( )A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m答案：A分析：先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．解：∵AB=1.2m，BC=12.8m∴AC=1.2m+12.8m=14m∵标杆BE和建筑物CD均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE∽△ACD∴ABBE =ACCD,即1.21.5=14CD,解得CD=17.5m．故答案为A．小提示：本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．2、如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（）A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．ABAD ＝DEBCD．ABAD＝ACAE答案：C分析：△ADE≌△ABC根据题意可得∠EAD=∠CAB，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAD=∠CAB，A．若添加∠B=∠D，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；B．若添加∠C=∠AED，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；C．若添加ABAD =DEBC，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；D．若添加ABAD =ACAE，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；故选：C．小提示：本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3、如图，将ΔABC沿BC边上的中线AD平移到ΔA′B′C′的位置．已知ΔABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于（）A．2B．3C．4D．32答案：B分析：由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，根据△DA′E∽△DAB知(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，据此求解可得．∵SΔABC=16、SΔA′EF=9，且AD为BC边的中线，∴SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，∵将ΔABC沿BC边上的中线AD平移得到ΔA′B′C′，∴A′E//AB，∴ΔDA′E∼ΔDAB，则(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，即(A′DA′D+1)2=298=916，解得A′D=3或A′D=−37（舍），故选B．小提示：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．4、如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（）A．1B．2C．3D．以上都有可能答案：A分析：由已知得∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC ＝PB：CE，设PB＝x，则PC＝10﹣x，CE＝9时，所以x2﹣12x+36＝0，根据判别式的意义得到Δ＝0，即原方程只有一个实数根即可选出答案．解：∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∵∠DPC＝∠B+∠PDB，即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB，而∠DPE＝α，∴∠EPC＝∠PDB，而∠ABC＝∠ACB，∴△PDB∽△EPC，∴BDPC =PBCE，设PB＝x，则PC＝12﹣x，当CE＝9时，∴412−x =x9，∴x2﹣12x+36＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，∴点P有且只有一个，故选A．小提示：本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①DEBC =12；②SΔDOESΔCOB=12；③ADAB=OEOB；④SΔODESΔADC =13，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：由BE、CD是△ABC的中线，可得DE=12BC,即DEBC=12，从而可判断①；由DE是△ABC的中位线，可得△DOE∽△COB，从而可判断②；由△ADE∽△ABC与△DOE∽△COB，利用相似三角形的性质可判断③；由△ABC的中线BE与CD交于点O．可得点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中BC上的高＝△BOC中BC上的高的3倍，且△ABC与△BOC同底（BC），可得S△ABC=3S△BOC，由②和③知，S△ODE=1 4S△COB,S△ADE=34S△BOC，从而可判断④．解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC,即DEBC=12，故①正确；②∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOES△COB =(DEBC)2=(12)2=14，故②错误；③∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC，∵△DOE∽△COB，∴OEOB =DEBC，∴ADAB =OEOB，故③正确；④∵△ABC的中线BE与CD交于点O，∴点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中BC上的高＝3△BOC中BC上的高，且△ABC与△BOC同底（BC），∴S△ABC=3S△BOC，由②和③知，S△ODE=14S△COB，ADAB=DEBC=12，∴S△DAES△BAC =(ADAB)2=(12)2=14，∴S△ADE=34S△BOC，∴S△ODES△ADE =13，∵E是AC的中点，∴S△ADC=2S△ADE∴SΔODESΔADC =16．故④错误．综上，①③正确．故选B．小提示：本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．6、神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割答案：D分析：根据黄金分割的定义即可求解．解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D小提示：本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为√5−12，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．7、若ab =cd=−2，则a−cb−d＝（）A．−2B．2C．−12D．12答案：A分析：根据ab =cd=−2，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．解：∵ab =cd=−2，∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，∴a−cb−d =−2b+2db−d=−2(b−d)(b−d)=−2．故选：A．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．8、在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cmB．500cmC．150cm D．1500cm答案：B分析：根据成比例线段的性质求解即可．解：∵1：50=10:500，∴长度为10cm的线段实际长为500cm，故选B．小提示：本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．9、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．ABAE =AGADB．DFCF=DGADC．FGAC=EGBDD．AEBE=CFDF答案：D分析：根据EG∥BD，可得△AEG∽△ABD，根据FG∥AC，可得△DGF∽△DAC，再根据相似三角形的性质即可求解．解：∵GE∥BD，∴AEBE =AGDG，△AEG∽△ABD，∴ABAE =ADAG，故选项A错误；∵GF∥AC，∴DFCF =DGAG，△DGF∽△DAC，故选项B错误；∵DFCF =DGAG∴AGDG =CFDF∴AEBE =CFDF故选项D正确；∵△AEG∽△ABD，△DGF∽△DAC，∴FGAC =DGDA，EGBD=AGAD故选项C错误；故选：D．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，利用平行线分线段成比例，找出比例式是解题的关键．10、如图，在△ABC中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足APAC =AQAB．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．淇淇说：△AQP∽△ABC．对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（）A．嘉嘉正确，淇淇错误B．嘉嘉错误，淇淇正确C．两人都正确D．两人都错误答案：B分析：根据APAC =AQAB，∠PAQ=∠CAB可以判定△AQP∽△ABC，APAB与AQAC不一定相等，不能判定PQ//BC．解：∵APAC =AQAB，∠PAQ=∠CAB，∴△AQP∽△ABC，即淇淇的结论正确；∴∠AQP=∠ABC，∠APQ=∠ACB，∵不能得出∠AQP=∠ACB或∠APQ=∠ABC，∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉的结论不正确．故选B．小提示：本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定方法是解题的关键．填空题11、已知a2=b3=c5，则a+bc的值为_____．答案：1分析：由比例的性质，设a2=b3=c5=k，则a=2k，b=3k，c=5k，然后代入计算，即可得到答案．解：根据题意，设a2=b3=c5=k，∴a=2k，b=3k，c=5k，∴a+bc =2k+3k5k=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．12、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且ADDB =32，AEEC=12，射线ED和CB的延长线交于点F，则FBFC的值为________．答案：13分析：过B作BG∥AC交EF于G，得到△DBG∽△ADE，由相似三角形的性质得到BGAE =BDAD=23，推出BG：CE=13，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：过B作BG∥AC交EF于G，∴△DBG∽△DAE，∴BGAE =BDAD=23，∵AEEC =12，∴BGCE =13，∵BG∥AC，∴△BFG∽△CFE，∴BFFC =BGCE=13．故答案是：13．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．13、如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AG∶GF的值是_______．答案：6：5分析：作FN∥AD，交AB与N，设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．作FN∥AD，交AB与N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形．设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32a，∴FM=52a，∵AE∥FM，∴AGGF =AEFM=3a52a=65．故答案为6∶5．小提示：本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．14、如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件_______，使ΔACD∽ΔABC．答案：AC＝AB•AD（答案不唯一）分析：根据相似三角形的判定添加适当的条件即可．解：添加：AC＝AB•AD∵AC＝AB•AD∴ACAB =ADAC∵∠A＝∠A∴ΔACD∽ΔABC．所以答案是：AC＝AB•AD（答案不唯一）．小提示：本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．15、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB的长为_________．答案：2√3．分析：过O 作OE ⊥AB 于C ，根据垂径定理可得AC =BC =12AB ，可求OA =2，OD =2√33，在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =4√33，可证△OAC ∽△DAO ，由相似三角形性质可求AC =√3即可．解：过O 作OE ⊥AB 于C ，∵AB 为弦，∴AC =BC =12AB ，∵直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点， ∴当y =0时，√33x +2√33=0，解得x =-2， ∴OA =2，∴当x =0时，y =2√33， ∴OD =2√33， 在Rt △AOD 中，由勾股定理AD =√AO 2+OD 2=√22+(2√33)2=4√33， ∵∠ACO =∠AOD =90°，∠CAO =∠OAD ，∴△OAC ∽△DAO ，AC AO =AO AD 即AC =AO 2AD =4√33=√3， ∴AB =2AC =2√3，故答案为2√3．小提示：本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．解答题16、问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =2√3，∠ABD =30°，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF ⊥AB 交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①AE DF =_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______．（2）小王同学继续将△BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则△ADE 的面积为______．答案：（1）√32，30°；（2）成立，理由见解析；拓展延伸：13√3+√398或13√3−√398 分析：（1）通过证明ΔFBD ∽ΔEBA ，可得AE DF =BE BF =√32，∠BDF =∠BAE ，即可求解； （2）通过证明ΔABE ∽ΔDBF ，可得AE DF =BE BF =√32，∠BDF =∠BAE ，即可求解；拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．解：（1）如图1，∵∠ABD=30°，∠DAB=90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD=BEBF =ABDB=√32，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF=∠ABE=90°，∴ΔFBD∽ΔEBA，∴AEDF =BEBF=√32，∠BDF=∠BAE，又∵∠DOB=∠AOF，∴∠DBA=∠AHD=30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，所以答案是：√32，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE=∠DBF，又∵BEBF =ABDB=√32，∴ΔABE∽ΔDBF，∴AEDF =BEBF=√32，∠BDF=∠BAE，又∵∠DOH=∠AOB，∴∠ABD=∠AHD=30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB=2√3，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，∠DAB=90°，∴BE=√3，AD=2，DB=4，∵∠EBF=30°，EF⊥BE，∴EF=1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB=∠BEF=90°，∴DE=√BD2−BE2=√16−3=√13，∵∠DEA=30°，∴DG=12DE=√132，由（2）可得：AEDF =BEBF=√32，√13+1=√32，∴AE=√39+√32，∴ΔADE的面积=12×AE×DG=12×√39+√32×√132=13√3+√398；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：ΔADE 的面积=12×AE ×DG =12×√39−√32×√132=13√3−√398； 所以答案是：13√3+√398或13√3−√398． 小提示：本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．17、已知△OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABO 绕原点O 顺时针旋转90°得△OA 1B 1；(2)以原点O 为位似中心，将△OA 1B 1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA 2B 2．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）先找到A 、B 的对应点A 1、B 1，然后顺次连接O 、A 1、B 1即可；（2）先找到A 1、B 1的对应点A 2、B 2，然后顺次连接O 、A 2、B 2即可；．（1）解：如图所示，△OA 1B 1即为所求；（2）解：如图所示，△OA2B2即为所求．小提示：本题主要考查了再坐标系中画旋转图形，画位似图形，熟知画旋转图形和画位似图形的方法是解题的关键．18、已知AB是圆O直径，点C为圆上一点，OD⊥BC于D，过C作切线，交OD延长线于E．（1）求证：BE为圆O切线；（2）连接AD并延长交BE于F，若C为弧AB中点，OB=10，求BF．答案：（1）见详解；（2）203分析：（1）连接OC，先证明△COE≌△BOE，可得∠OBE=∠OCE=90°，即可求证；（2）过点D作DH⊥AB于点H，根据AB是圆O直径，OB=10，可得∠ACB=90°，AB=2OB=20，又由C为弧AB中OB=5，再证明△ADH～点，可得到△ABC是等腰直角三角形，进而△DOB是等腰直角三角形，从而DH=OH=12△AFB，利用相似三角形的性质，即可求解．（1）证明：如图1，连接OC，∵CE是圆O切线，∴∠OCE=90°，∵OC=OB，OD⊥BC，∴∠COE=∠BOE，∵OE=OE，∴△COE≌△BOE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴BE为圆O切线；（2）如图，过点D作DH⊥AB于点H，∵AB是圆O直径，OB=10，∴∠ACB=90°，AB=2OB=20，∵C为弧AB中点，∴AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵OD⊥BC，∴△DOB是等腰直角三角形，∵DH⊥AB，∴DH=OH=12OB=5，∴AH=AO+OH=15，∵BE⊥AB，∴DH∥BF，∴△ADH～△AFB，∴AHAB =DHBF，即1520=5BF，解得：BF=203．小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握切线的判定与性质，证明△COE≌△BOE，△ADH～△AFB是解题的关键．。

新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形的判定（一）》导学案 课题27.2.1 相似三角形的判定（一） 课 型 新授 主备人 备课组审核级部审核 学生姓名 教师寄语 学而不思则罔，思而不学则殆。

学习目标 1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展同学们的探究、交流能力．2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．一、新知链接1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比． 反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且A C CA C B BC B A AB ''=''=''． （3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？2．教材P42的思考，并引导同学们探索与证明．3．【归纳】三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．二、合作探究例1如图△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA ．（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD 、DC 的长．例2，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．三、课堂练习1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个钝角三角形C．两个等腰三角形D．两个等边三角形2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．4．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．四、课堂小结：本节课你的收获是什么？自我评价专栏(分优良中差四个等级)教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。

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初三数学九（下)第二十七章：相似第1课时图形的相似 (1）教学目标:1、知识目标：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．2、能力目标：在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”分析问题．3、情感目标：在探究相似图形的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．重点、难点教学重点：认识图形的相似．教学难点: 理解相似图形概念．一.创设情境活动1观察图片,体会相似图形同学们，请观察下列几幅图片,你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗? (课本图27。

1—1）( 课本图27.1-2)师生活动: 教师出示图片，提出问题；学生观察，小组讨论；师生共同交流．得到相似图形的概念．教师活动：什么是相似图形?学生活动:共同交流,得到相似图形的概念．学生归纳总结：(板书）形状相同的图形叫做相似图形在活动中，教师应重点关注：学生用数学的语言归纳相似图形的概念；活动2思考：如图27.1—3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？学生活动：学生观察思考,小组讨论回答；二. 通过练习巩固相似图形的概念活动3练习问题：1。

如图,从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗?2．如图，图形a～f中,哪些是与图形（1)或（2)相似的？教师活动：教师出示图片,提出问题;学生活动：学生看书观察，小组讨论后回答问题.教师活动:在活动中，教师应重点关注：在练习中检验学生对相似图形的几何直觉．三。

初中数学试卷 桑水出品第二十七章 相似27．1 图形的相似基础题知识点1 相似图形1．下列各组图形相似的是( )2．将左图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是( )3．将一个直角三角形三边扩大3倍，得到的三角形一定是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上三种情况都有可能知识点2 比例线段4．下列各线段的长度成比例的是( )A ．2 cm ，5 cm ，6 cm ，8 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cmD ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm5．在比例尺为1∶200的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5 cm ，则A ，B 两地间的实际距离为______m.知识点3 相似多边形6．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm ，4.5 cm ，那么它们的相似比为( )A.23B.32C.49D.94 7．(莆田中考)下列四组图形中，一定相似的是( )A ．正方形与矩形B ．正方形与菱形C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2 cm 变成了6 cm ，这次复印的放缩比例是________．9．如图所示是两个相似四边形，求边x 、y 的长和∠α的大小．中档题10．下列说法：①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形；②比例尺不同的中国地图是相似形；③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形；⑤平面镜中，你的形象与你本人是相似的．其中正确的说法有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．(重庆中考)如图，△ABC 与△DEF 相似，相似比为1∶2，BC 的对应边是EF ，若BC ＝1，则EF 的长是( )A．1 B．2C．3 D．412．某机器零件在图纸上的长度是21 mm，它的实际长度是630 mm，则图纸的比例尺是() A．1∶20 B．1∶30C．1∶40 D．1∶5013．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是()A．2DE＝3MNB．3DE＝2MNC．3∠A＝2∠FD．2∠A＝3∠F14．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是()15．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝________，m＝________．16．如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．17．为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：(1)每块地砖的长与宽分别为多少？(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试明你的结论．综合题18．如图：矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.(1)如图1，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；(2)如图2，x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？参考答案1．B 2.A 3.A 4.D 5.9 6.A 7.D 8.1∶39.∵两个四边形相似，∴AD A′D′＝BC B′C′＝AB A′B′，即416＝6x ＝7y. ∴x ＝24，y ＝28.∵∠B ＝∠B′＝73°，∴∠α＝360°－∠A －∠D －∠B ＝83°.10.D 11.B 12.B 13.B 14.B 15.125° 12 16.图略．17.(1)设矩形地砖的长为a cm ，宽为b cm ，由题图可知4b ＝60，即b ＝15.因为a ＋b ＝60，所以a ＝60－b ＝45，所以矩形地砖的长为45 cm ，宽为15 cm.(2)不相似．理由：因为所铺成矩形地面的长为2a ＝2×45＝90(cm)，宽为60 cm ，所以长宽＝9060＝32，而a b ＝4515＝31，32≠31， 即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例．所以它们不相似．18.(1)不相似，AB ＝30，A ′B ′＝28，BC ＝20，B ′C ′＝18，而2830≠1820，故矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′不相似．(2)矩形ABCD 与A′B′C′D′相似，则A′B′AB ＝B′C′BC 或A′B′BC ＝B′C′AB .则：30－2x 30＝20－220，或30－2x 20＝20－230， 解得x ＝1.5或9，故当x ＝1.5或9时，矩形ABCD 与A′B′C′D′相似．。