第一章随机事件与概率
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概率论第一章随机事件及其概率
A
B
和事件 A∪B={| ∈ A或B } A = { HHH }，B = { TTT } ； A∪B = { HHH，TTT } 三次都是同一面
特别的，对任意的随机事件 A ， A∪A = A， A∪ = A， A∪S = S 当 A、B 不相容时，记成 A∪B = A＋B
S
(3).事件的积运算 得到一个新事件，它的发生表示 这些事件中每一个都要发生，
解. 由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。 (1) A、B互不相容即 AB = ，则 P (B – A ) = 0.5； (2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2； (3) 利用加法公式的另一形式： P (A∪B ) = P (A ) + P (B – A )， 得到P (B – A ) = 0.4。
性质5 设A，B是两个事件，若 A B， 则 P (A ) ≤ P (B ) 性质6 对任意的事件A ，有P (A ) ≤1。 证明思路 利用概率定义中的无穷可加以及非负性等。
思考
性质4中如何推广到n个事件的加法公式
例1.11 假定 P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5 ， 分别计算 (1) A、B 不相容；(2) A B； (3) P (A∪B) = 0.7 时概率P (B – A) 的值。
例如从 26 个英文字母中任取2 个排列， 所有不同方式一共有 P262 = 26×25 = 650。
(2) 可以重复的排列
从 n 个不同元素中允许放回任意取 m 个 出来排成有顺序的一列( 即取出的这些元素 可以相同 )。所有不同的排列方式一共有 n×n×…×n = nm
B
和事件 A∪B={| ∈ A或B } A = { HHH }，B = { TTT } ； A∪B = { HHH，TTT } 三次都是同一面
特别的，对任意的随机事件 A ， A∪A = A， A∪ = A， A∪S = S 当 A、B 不相容时，记成 A∪B = A＋B
S
(3).事件的积运算 得到一个新事件，它的发生表示 这些事件中每一个都要发生，
解. 由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。 (1) A、B互不相容即 AB = ，则 P (B – A ) = 0.5； (2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2； (3) 利用加法公式的另一形式： P (A∪B ) = P (A ) + P (B – A )， 得到P (B – A ) = 0.4。
性质5 设A，B是两个事件，若 A B， 则 P (A ) ≤ P (B ) 性质6 对任意的事件A ，有P (A ) ≤1。 证明思路 利用概率定义中的无穷可加以及非负性等。
思考
性质4中如何推广到n个事件的加法公式
例1.11 假定 P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5 ， 分别计算 (1) A、B 不相容；(2) A B； (3) P (A∪B) = 0.7 时概率P (B – A) 的值。
例如从 26 个英文字母中任取2 个排列， 所有不同方式一共有 P262 = 26×25 = 650。
(2) 可以重复的排列
从 n 个不同元素中允许放回任意取 m 个 出来排成有顺序的一列( 即取出的这些元素 可以相同 )。所有不同的排列方式一共有 n×n×…×n = nm
(完整版)概率论第一章随机事件与概率
P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
概率第一章
1.2.1 基本事件空间与事件
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
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概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
概率论与数理统计第1章随机事件及其概率
骰子朝上的点数为 i ,第二颗骰子朝上的点数为 j . (3) (i) S1 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 ),( 次品,正品 )} ;
(ii) S2 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 )} .
若用“1 ”表示“正品”，“ 0 ”表示“次品”，这里的两个样本空
间又可表示为
(i) S1 {(1,0),(1,1),(0,1)} ；(ii) S2 {(1,0),(1,1)}. (4) (i) S1 {t t 0}；(ii) S2 { 合格品, 不合格品} . 若用“1 ”表示“合格品”，“ 0 ”表示“不合格品”， S2 又可表示为 S2 {1,0} . (5) S5 {(x, y) x2 y2 100}.
字母 E T A O I N S R H
使用频率 0.126 8 0.097 8 0.078 8 0.077 6 0.070 7 0.070 6 0.063 4 0.059 4 0.057 3
字母 L D U C F M W Y G
使用频率 0.039 4 0.038 9 0.028 0 0.026 8 0.025 6 0.024 4 0.021 4 0.020 2 0.018 7
第1章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
在自然界以及生产实践和科学实验中普遍存在着两类现象.一类是 在一定条件下,重复进行试验,某一结果必然发生或必然不发生,即是可 以事前预言的,称为确定性现象.
除去确定性现象,人们发现还存在另一类现象,它是事前不可预言 的,即在相同条件下重复进行试验,每次的结果不一定相同,这一类现象 我们称之为偶然性现象或随机现象.
在一定条件下，随机现象有多种可能的结果发生,事前不能预知 将出现哪种结果,但通过大量的重复观察,出现的结果会呈现出某种 规律,称为随机现象的统计规律性.
(ii) S2 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 )} .
若用“1 ”表示“正品”，“ 0 ”表示“次品”，这里的两个样本空
间又可表示为
(i) S1 {(1,0),(1,1),(0,1)} ；(ii) S2 {(1,0),(1,1)}. (4) (i) S1 {t t 0}；(ii) S2 { 合格品, 不合格品} . 若用“1 ”表示“合格品”，“ 0 ”表示“不合格品”， S2 又可表示为 S2 {1,0} . (5) S5 {(x, y) x2 y2 100}.
字母 E T A O I N S R H
使用频率 0.126 8 0.097 8 0.078 8 0.077 6 0.070 7 0.070 6 0.063 4 0.059 4 0.057 3
字母 L D U C F M W Y G
使用频率 0.039 4 0.038 9 0.028 0 0.026 8 0.025 6 0.024 4 0.021 4 0.020 2 0.018 7
第1章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
在自然界以及生产实践和科学实验中普遍存在着两类现象.一类是 在一定条件下,重复进行试验,某一结果必然发生或必然不发生,即是可 以事前预言的,称为确定性现象.
除去确定性现象,人们发现还存在另一类现象,它是事前不可预言 的,即在相同条件下重复进行试验,每次的结果不一定相同,这一类现象 我们称之为偶然性现象或随机现象.
在一定条件下，随机现象有多种可能的结果发生,事前不能预知 将出现哪种结果,但通过大量的重复观察,出现的结果会呈现出某种 规律,称为随机现象的统计规律性.
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
A = “针与平行线相交” 的充要条件是: x ≤ l/2 sin ϕ . 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
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第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
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第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
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第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
概率论第一章
例如：在检查某些圆柱形产品时， 例如：在检查某些圆柱形产品时，如果规定只有它的长度及直径 都合格时才算产品合格，那么“产品合格” 直径合格” 都合格时才算产品合格，那么“产品合格”与“直径合格”、 长度合格”等事件有着密切联系。 “长度合格”等事件有着密切联系。
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
第一章 随机事件和概率
第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论1. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ； （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。
2. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。
解：()()1()P ABC P A B C P A B C =++=-++[]1()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =-++---+11111310044416168⎡⎤=-++---+=⎢⎥⎣⎦ 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。
两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率；（2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率；（3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。
解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P（1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P（3）8286.093.01058.0)()()|(=-== B P B A P B A P 4. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
第1章 概率论的基本概念.
, B不可能同时发生 概率论表述：事件 A .. A不能都不发生， 概率论表述：事件 A 不发生 . 事件 A 和 概率论表述：事件 A 发生，而事件 B 发生 . , , 概率论表述：事件 概率论表述：事件 概率论表述：事件 A A A , B B B 相等意味着它们是同一个集合 中至少有一个发生 同时发生 . . 概率论表述：事件A发生必然导致事件B发生. 也不能都发生，只能恰好发生其中一个.
注意事项
可能结果——样本点——基本事件
(1) (2)在概率论中常用一个长方形来 (3) 由中的单个元素组成的子集称为基本事件，常用表示. 判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否 表示概率空间，用椭圆或者其它的 A 出现 ① .事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现 样本空间的最大子集称为必然事件，常用 表示； . ● 1 几何图形来表示事件.这类图形被称 ● ② 样本空间的最小子集称为不可能事件，常用 表示 .2 为维恩(Venn)图，又叫文氏图.
例1.1.2 一天内进入某商场的人数的样本空间为 ={0,1, 2, …}. 例1.1.3 电视机寿命的样本空间为 ={t|t0} . 在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个 样本点的情况归为一类，称为离散样本空间；而将不可 列无限个样本点的情况归为另一类，称为连续样本空间.
随机事件 (random event) 随机试验的某些子集称为随机事件， 简称事件.它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试 验中具有某种规律性. 常用符号 (1)大写的英文字母：A,B,C. (2)大写的英文字母加下标：A1, A2, A3, … .
例1.1.7 设A, B, C是某个随机现象的三个事件，则 （1）事件“A与B发生，C不发生”：ABC （2）事件“A, B, C中至少有一个发生”：A B C （3）事件“A, B, C中至少有两个发生”：AB AC BC
注意事项
可能结果——样本点——基本事件
(1) (2)在概率论中常用一个长方形来 (3) 由中的单个元素组成的子集称为基本事件，常用表示. 判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否 表示概率空间，用椭圆或者其它的 A 出现 ① .事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现 样本空间的最大子集称为必然事件，常用 表示； . ● 1 几何图形来表示事件.这类图形被称 ● ② 样本空间的最小子集称为不可能事件，常用 表示 .2 为维恩(Venn)图，又叫文氏图.
例1.1.2 一天内进入某商场的人数的样本空间为 ={0,1, 2, …}. 例1.1.3 电视机寿命的样本空间为 ={t|t0} . 在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个 样本点的情况归为一类，称为离散样本空间；而将不可 列无限个样本点的情况归为另一类，称为连续样本空间.
随机事件 (random event) 随机试验的某些子集称为随机事件， 简称事件.它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试 验中具有某种规律性. 常用符号 (1)大写的英文字母：A,B,C. (2)大写的英文字母加下标：A1, A2, A3, … .
例1.1.7 设A, B, C是某个随机现象的三个事件，则 （1）事件“A与B发生，C不发生”：ABC （2）事件“A, B, C中至少有一个发生”：A B C （3）事件“A, B, C中至少有两个发生”：AB AC BC
第1章 概率论的基本概念
确定概率的常用方法有： （1）频率方法(统计方法) （2）古典方法 （3）几何方法 （4）公理化方法 （5）主观方法
古典概率
(1) 古典概率的假想世界是不存在的 .对于那些极其罕见的， 定义 1.2.5 如果试验满足下面两个特征，则称其 但并非不可能发生的事情，古典概率不予考虑.如硬币落地后 为古典概型(或有限等可能概型)： 恰好站立，一次课堂讨论时突然着火等. （1 ）有限性：样本点的个数有限； (2) 古典概率还假定周围世界对事件的干扰是均等的 .而在 （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相同 . 实际生活中无次序的、靠不住的因素是经常存在的 .
(3) 如果AiAj= (1 i < j k)，则
fn(A1∪A2∪ … ∪Ak ) = fn(A1 ) +fn(A2 ) + … +fn(Ak 着事件在一次试验中发生的可能性就 大，反之亦然. 人们长期的实践表明：随着试验重复次数n的增加， 频率fn(A)会稳定在某一常数a附近，我们称这个常数为频 率的稳定值.这个稳定值就是我们所说的(统计)概率.
互不相容与对立区别 随机事件间的关系与运算
（1）事件A与事件B对立 AB= , A∪B= . （2）事件 A与事件B互不相容 AB= . 关系 运算 包含 相等 互不相容 并 交 差 补
如果属于A的样本点一定 由在 中而不在事件 A 中的样本点 , B没有相同的样本点， 如果事件 A 由事件 如果 A A 与事件 B ，且 A B 中所共有的样本 B，那么 A=B. A中而不在事件B中的样 中所有的样本点 由在事件 属于B，则称 A 包含于 B ， BB.B 组成的新事件，也叫 A的对立 B A A A 则称互不相容 . 记作 A ∩ B= . 点组成的新事件 即B包含 A=B A B, A B A. . 组成的新事件 .记作 A记作 ∪ B.BA 本点组成的新事件 .记作 A-B. 或 A. 记作 B. .
概率论-第一章-随机事件与概率
第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。
样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验£样本空间。
第一章 随机事件与概率
1.2.1 事件域（ σ - 域）
一个以集合为元素的集合称为集合类或集类，常用符号 A , B , C , D , F 等表示。特别 地，用 P (Ω ) 表示由 Ω 的全体子集组成的集类。集类的概念在概率论中也常用。 所谓“事件域”从直观上讲就是一个样本空间中某些子集组成的集合类，记为 F . 当样本空间是实数轴上的一个区间时， 可以人为的构造出无法测量其长度的子集， 这样 的子集被称为不可测集，如果将这些不可测集也看成是事件，那么这些事件将无概率可言， 为了避免这种现象，我们没必要将连续样本空间的所有子集都看成事件。
1.1.3 随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件 ,简称事件 ,常用 A, B, C ,… 表示. 事件既可以用集合表示，也可以用明白无误地语言描述。任一事件是相应样本空间的一 个子集。在概率论中常用一个长方形来表示样本空间 Ω ，用其他几何图形来表示事件 A ， 这类图形称为 venn 图。 例 1.1.2 掷一颗骰子的样本空间为 Ω = {1, 2,3, 4, 5, 6} 出现 1 点, 事件 A = ， “出现偶数点” 事件 B = “出现不大于 3 的偶数点” ，则 A = {2, 4, 6}, B = {2}. 今后，我们都是把事件当作样本空间 Ω 的子集来考虑，由样本空间 Ω 中的单个元素组 成的子集称为基本事件， 而样本空间 Ω 的最大子集 （即 Ω 本身） 称为必然事件， 样本空间 Ω 的最小子集（即空集 ∅ ）称为不可能事件。
3
ω i 表示出现 i 点。
（3）电视机寿命的样本空间为： Ω3 = {t , t ≥ 0}. （4）测量误差的样本空间为： Ω 4 = {x, −∞ < x < +∞}. 样本空间的元素可以是数也可以不是数。 此外样本空间可分为有限和无限两类， 在数学 处理上，将样本点的个数为有限个或可列个的情况归为一类，称为离散样本空间。将样本点 的个数为不可列无限个的情况归为另一类，称为连续样本空间。
第一章事件与概率
1
古典概型的定义
定义
称满足以下两个特点的随机现象的 数学模型为古典概型，如果 (1) 有限性：试验的样本空间只有有 限个样本点; (2) 等可能性：每个样本点作为基本 事件出现的可能性相同.
利用排列、组合知识来求概率的 模型通常都属于古典概型. 那么, 古典 概型为什么要通过数数来求概率呢？
Department of Mathematics, Tianjin University
内 容 提 要
1 2 3 4
随机事件的定义 事件之间的关系 事件的运算律 例 题
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3
事件的运算律
以下设A,B,C…等都是同一随机试验中的随机事件. 交换律： AB=BA，A B=B A. 结合律： ABC=A(BC)，A B C=A (B C).
2
事件之间的关系
以下设A,B,C…等都是同一随机试验中 的随机事件. 包含（于）：若A发生，则B一定发生， 则称A包含于B,记为A B. 相等：若A与B相互包含，则称A与B相 等，记为A=B.
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事件的交（积）：若事件C发生，当且 仅当A与B同时发生，则称C为A与B的交 (积)事件，记为C=A B,或简记为C=AB.
注：符号“ ”等同于“至少”.
事件的逆(对立)：由样本空间中所有 不属于A的样本点构成的集合表示的 事件称为A的逆(对立)事件，记为 A . 注：若A与B对立，则A与B互不相 容，反之不然.即A、B对立，则AB= , 且A B= .
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概率论
第一章随机事件与概率§1.1 随机事件一、基本概念1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。
有的是人为设置，有的是必须经历。
通常所指的试验具有以下2个特征：（1）可以重复进行；（2）事先明确所有基本结果3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。
例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。
4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。
例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到◇”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。
5．样本点：即基本事件，记为。
随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。
6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。
如投币：Ω={正，反} 抽牌：Ω=随机事件都是样本空间的子集。
例1中抽到任何一张◇，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。
7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。
如投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。
抽牌：Ω=“抽到一张牌”。
8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。
如投币：=“正面朝上且反面朝上”。
抽牌：=“抽到一张电影票”。
例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。
二、事件的关系与运算事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。
1．包含关系（或）集合语言：A中的样本点，全在内。
随机事件与概率
的事件未必是对立事件.
如：抛一颗骰子， A “出现点数不超过3”， B “出现点数大于4”，则：
A {1,2,3} B {5,6} A {4,5,6} 显然：A 与 A 互为对立事件，同时也是互斥事
件；A 与B 互为互斥事件，但不是对立事件.
【例】随机将一枚硬币抛三次,用H表示正面, T表示反面,求：
数点”，请思考：
1、事件 A 发生会导致事件B 的发生吗？ 会 2、事件 B 发生会导致事件 A的发生吗？ 不会
事件的包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发 生，则称事件 B 包含事件 A，也称事件 A 包含 于事件 B. 记为 A B（或 B A ）.
维恩图表示：
AB
注：⑴事件 A 是事件 B 的子事件即 A B ，换一说 法：如果事件 B 不发生必然导致事件 A 不发生；
例3：某人连续三次购买体育彩票，每次一张，令 A, B,C 分别表示其第一、二、三次所买彩票 中奖的事件. 试用A, B,C及运算写出下列事件.
A
B
C
⑴第三次未中奖； ⑵只有第三次中了奖；
C
A BC
⑶恰有一次中奖； AB C U ABC U A BC A B C ⑷至少有一次中奖；
⑸不止一次中奖； AB U BC U AC
如：包含两个样本点的样本空间
{H, T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模型， 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型 …………
⑵样本空间的元素是由试验的目的所确定的.
如：将一枚硬币连续抛掷两次，观察正面H、反面 T出现的情况. 则样本空间为：
A B A发生或B发生 A, B中至少有一个发生
维恩图表示：
如：抛一颗骰子， A “出现点数不超过3”， B “出现点数大于4”，则：
A {1,2,3} B {5,6} A {4,5,6} 显然：A 与 A 互为对立事件，同时也是互斥事
件；A 与B 互为互斥事件，但不是对立事件.
【例】随机将一枚硬币抛三次,用H表示正面, T表示反面,求：
数点”，请思考：
1、事件 A 发生会导致事件B 的发生吗？ 会 2、事件 B 发生会导致事件 A的发生吗？ 不会
事件的包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发 生，则称事件 B 包含事件 A，也称事件 A 包含 于事件 B. 记为 A B（或 B A ）.
维恩图表示：
AB
注：⑴事件 A 是事件 B 的子事件即 A B ，换一说 法：如果事件 B 不发生必然导致事件 A 不发生；
例3：某人连续三次购买体育彩票，每次一张，令 A, B,C 分别表示其第一、二、三次所买彩票 中奖的事件. 试用A, B,C及运算写出下列事件.
A
B
C
⑴第三次未中奖； ⑵只有第三次中了奖；
C
A BC
⑶恰有一次中奖； AB C U ABC U A BC A B C ⑷至少有一次中奖；
⑸不止一次中奖； AB U BC U AC
如：包含两个样本点的样本空间
{H, T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模型， 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型 …………
⑵样本空间的元素是由试验的目的所确定的.
如：将一枚硬币连续抛掷两次，观察正面H、反面 T出现的情况. 则样本空间为：
A B A发生或B发生 A, B中至少有一个发生
维恩图表示：
概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率
S AB
推广：
（1）n个事件A1,A2, An至少有一个发生
所构成的事件，称为 A1, A2, An的和或并，
记为
n
A1 A2 An Ai
i1
当A1, A2, An互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
（2）可列无限多个事件 A1, A2, 至少有一个
（1kn)的不同排列总数为：
n n n nk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
C
k n
Ank k!
n! (n k)!k!
Ai
i1
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 AB 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与 互斥。
S
A
B
推广：n个事件 A1,A2, An互斥
A1, A2, An 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
四．事件的和（并） 事件A与B至少有一个发生所构成的事件， 称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
六. 对立事件（逆事件） 由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
（逆事件）。记为 A
A
A
AA ,A A S,A A.
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点 数大于2”={3，4，5，6}， 求 A B,C D,AE,E.
推广：
（1）n个事件A1,A2, An至少有一个发生
所构成的事件，称为 A1, A2, An的和或并，
记为
n
A1 A2 An Ai
i1
当A1, A2, An互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
（2）可列无限多个事件 A1, A2, 至少有一个
（1kn)的不同排列总数为：
n n n nk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
C
k n
Ank k!
n! (n k)!k!
Ai
i1
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 AB 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与 互斥。
S
A
B
推广：n个事件 A1,A2, An互斥
A1, A2, An 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
四．事件的和（并） 事件A与B至少有一个发生所构成的事件， 称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
六. 对立事件（逆事件） 由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
（逆事件）。记为 A
A
A
AA ,A A S,A A.
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点 数大于2”={3，4，5，6}， 求 A B,C D,AE,E.
概率论第一章随机事件与概率
n n P Ai P( Ai ) P( Ai Aj ) P( Ai Aj Ak ) i 1 i 1 n 1 ...... ( 1) P( A1 A2 ...... An )
配对模型(续)
P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n1), P(AiAjAk) =1/n(n1)(n2), …… P(A1A2……An) =1/n! P(A1A2……An)=
从中有返回地任取n 个. 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：
n M (N M ) m n N
m
n m
n M N M m N N
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n. NhomakorabeaA
事件运算的图示
AB
AB
AB
德莫根公式
A B A B;
n i 1
A B A B
n
Ai
n i 1
Ai ;
i 1
Ai
n i 1
Ai
记号
Ω φ AB AB=φ AB AB AB
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件
概率论
第一章 随机事件与概率
概率论起源： 合理分配赌金问题
有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的 概率都一样，都是1/2， 谁先能够赢累计达到6 盘，就获得这笔赌金。 但是一个特别的原因， 赌博突然终止了， 那个时候甲赢了5局， 乙赢 了2局， 问这笔赌金应该如何分配？
第一章随机事件及其概率
第一章 随机事件与概率§1.1 随机事件及其运算1．1．1 随机现象在一定条件下必然出现的现象叫做确定性现象。
在相同的条件下可能出现也可能不出现，但在进行了大量重复地观测之后，其结果往往会表现出某种规律性的现象叫做随机现象。
(举例)为了研究和揭示随机现象的统计规律性，我们需要在相同条件下对随机现象进行大量重复地观测、测量或试验，统称为随机试验。
也有很多随机试验是不能重复的，比如某些经济现象、比赛等。
概率论与数理统计主要研究能够大量重复的随机现象，但也十分注意不能重复的随机现象的研究。
1．1．2 样本空间用{}ωΩ=表示随机现象的一切可能基本结果组成的集合，称为样本空间。
样本空间的元素，即每个基本结果ω，称为样本点。
例1 抛掷一枚硬币，观察正面和背面出现（这两个基本结果依次记为1ω和2ω）的情况，则该试验的样本空间为12{,}ωωΩ=例2 一枚骰子，观察出现的点数，则基本结果是“出现i 点”，分别记为iω（i ＝1，2，3，4，5，6），则该试验的样本空间为123456{,,,,,}ωωωωωωΩ= 例3 在一只罐子中装有大小和形状完全一样的2个白球和3个黑球，依次在2个白球上标以数字1和2，在3个黑球上标以数字3，4和5，从罐子中任取一个球，用i ω表示“取出的是标有i 的球”（i ＝1，2，3，4，5），则试验的样本空间为12345{,,,,}ωωωωωΩ=例4 在一个箱子中装有10个同型号的某种零件，其中有3件次品和7件合格品，从此箱子中任取3个零件，其中的次品个数可能是0，1，2，3，试验的样本空间为{0,1,2,3}Ω=例5 某机场问讯电话在一天内收到的电话次数可能是0，1，2，…，则试验的样本空间为{0,1,2,}Ω=L例6 考察某一大批同型电子元件的使用寿命（单位：h ），则使用的样本空间为[0,)Ω=+∞ 注意：1样本空间中的元素可以是数也不是数；2样本空间至少有两个样本点，仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间；3从样本空间中所含的样本点个数来区分，样本空间可分为有限与无限两类，有限样本空间比如例1、2、3、4，无限比如例5、6，例5中样本点的个数是可列的，但例6中样本点的个数是不可列无限的。
chap1 概率论的基本概念
P({e1}) = P({e2 }) = L = P({en })
又由于基本事件是两两互不相容的。于是
1 = P(S) = P({e1}∪{e2}∪L∪{en}) = P({e1})+ P({e2})+L+ P({en}) = nP({ei })
1 P({ei }) = ,ห้องสมุดไป่ตู้i = 1,2,L , n n
Ｅ４：抛一颗骰子，观察出现的点数 Ｅ５：记录某城市１２０急救电话一昼夜 接到的呼唤次数 Ｅ６：在一批灯泡中任意抽取一只，测试 它的寿命 Ｅ７：记录某地一昼夜的最高温度和最低 温度
随机试验的特点： １．可以在相同的条件下重复地进行 ２．每次试验的可能结果不止一个，并且能 事先明确试验的所有可能结果 ３．进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现
P( A) = 1 − P( A)
性质6:(加法公式)对于任意两事件A,B有
P( A ∪ B ) = P ( A) + P( B ) − P ( AB)
设
A1 , A2 , A3 为任意三个事件,则有
P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) − P( A1 A2 ) − P( A1 A3 ) − P( A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 )
1, 2
∞
k =1
1,
2
n
5.若 A ∩ B = Φ 则称事件A与B是互不相容的,或互斥的. 这指的是事件A与事件B不能同时发生. 基本事件是两两互不相容的. 6.若 A ∪ B = S and A ∩ B = Φ 则称事件A与B是互为逆事件.又称事件A 与事件B互为对立事件.记 B = A
又由于基本事件是两两互不相容的。于是
1 = P(S) = P({e1}∪{e2}∪L∪{en}) = P({e1})+ P({e2})+L+ P({en}) = nP({ei })
1 P({ei }) = ,ห้องสมุดไป่ตู้i = 1,2,L , n n
Ｅ４：抛一颗骰子，观察出现的点数 Ｅ５：记录某城市１２０急救电话一昼夜 接到的呼唤次数 Ｅ６：在一批灯泡中任意抽取一只，测试 它的寿命 Ｅ７：记录某地一昼夜的最高温度和最低 温度
随机试验的特点： １．可以在相同的条件下重复地进行 ２．每次试验的可能结果不止一个，并且能 事先明确试验的所有可能结果 ３．进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现
P( A) = 1 − P( A)
性质6:(加法公式)对于任意两事件A,B有
P( A ∪ B ) = P ( A) + P( B ) − P ( AB)
设
A1 , A2 , A3 为任意三个事件,则有
P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) − P( A1 A2 ) − P( A1 A3 ) − P( A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 )
1, 2
∞
k =1
1,
2
n
5.若 A ∩ B = Φ 则称事件A与B是互不相容的,或互斥的. 这指的是事件A与事件B不能同时发生. 基本事件是两两互不相容的. 6.若 A ∪ B = S and A ∩ B = Φ 则称事件A与B是互为逆事件.又称事件A 与事件B互为对立事件.记 B = A
概率论与数理统计第一章——随机事件及概率
P65 = 6 5 4 3 2 = 720 (个)
ex2: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四 个，问能组成多少个四位偶数?
解：组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或
4,可先选末位数,共P31 种,前三位数的选取方法有
P53 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为
P1 P3 − P1 P1 P2 = 156 (个)
◼ 为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不 包含任何样本点。
(三) 事件的关系及运算 ❖事件的关系（包含、相等）
1A B：事件A发生一定导致B发生
2A＝B
A B
B A
B A
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A ✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
B A
✓ 抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别 记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点
A
B
n Ai：A1, A2,An至少有一发生
i=1
n Ai：A1, A 2 ,An同时发生
i =1
✓当AB= Φ时，称事件A与B是互不相
容的，或互斥的。
A
B
A A= A B =
A的逆事件记为A, A A =
, 若 A B =
,
称A, B互逆(互为对立事件)
AA
A
B
事件A对事件B的差事件：
◼可以在相同条件下重复进行(重复性)； ◼事先知道所有可能出现的结果（明确性）； ◼每次试验前并不知道哪个试验结果会发生 （随机性）。
例： ❖抛一枚硬币，观察试验结果； ❖对某路公交车某停靠站登记下车人数； ❖对某批同型号灯泡，抽取其中一只测 验其使用寿命（按小时计）。
ex2: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四 个，问能组成多少个四位偶数?
解：组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或
4,可先选末位数,共P31 种,前三位数的选取方法有
P53 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为
P1 P3 − P1 P1 P2 = 156 (个)
◼ 为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不 包含任何样本点。
(三) 事件的关系及运算 ❖事件的关系（包含、相等）
1A B：事件A发生一定导致B发生
2A＝B
A B
B A
B A
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A ✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
B A
✓ 抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别 记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点
A
B
n Ai：A1, A2,An至少有一发生
i=1
n Ai：A1, A 2 ,An同时发生
i =1
✓当AB= Φ时，称事件A与B是互不相
容的，或互斥的。
A
B
A A= A B =
A的逆事件记为A, A A =
, 若 A B =
,
称A, B互逆(互为对立事件)
AA
A
B
事件A对事件B的差事件：
◼可以在相同条件下重复进行(重复性)； ◼事先知道所有可能出现的结果（明确性）； ◼每次试验前并不知道哪个试验结果会发生 （随机性）。
例： ❖抛一枚硬币，观察试验结果； ❖对某路公交车某停靠站登记下车人数； ❖对某批同型号灯泡，抽取其中一只测 验其使用寿命（按小时计）。
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No！ ！
在一定条件下对随机现象进行大量观 测会发现某种规律性. 测会发现某种规律性.
例如：抛掷一枚均匀硬币， 例如：抛掷一枚均匀硬币，会发现出现正面 和出现反面的可能性各占50% 和出现反面的可能性各占50% 再如:测量一物体的长度， 再如:测量一物体的长度，由于仪器及观察受 到的环境的影响， 到的环境的影响，每次测量的结果可能是有 差异的. 差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量 次数的增加逐渐稳定于一常数， 次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量 值大多落在此常数的附近，越远则越少， 值大多落在此常数的附近，越远则越少，因 而其分布状况呈现“两头小，中间大， 而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右 基本对称” 基本对称”. 大量观察中随机现象所呈现出来的规律性 称为随机现象的统计规律。 称为随机现象的统计规律。
随机试验E的所有可能结 定义 随机试验 的所有可能结 果组成的集合称为E的样本空间, 果组成的集合称为 的样本空间 记为S, 的元素 的元素,即 的一个可能 记为 S的元素 即E的一个可能 结果,称为样本点或 称为样本点 的结果 称为样本点或基本事件 (记作 或e). 记作w或 记作
E1:抛一枚硬币,观察正面H反面T的出现情况; S1 = {H , T } 注:样本空间含两个样本点 E2:抛一枚硬币两次,观察正面H反面T的出现情况;
二.不确定性现象或随机现象 不确定性现象或随机现象 带有随机性或者偶然性的现象.比如,抛掷一枚质 带有随机性或者偶然性的现象 地均匀的硬币,硬币落地后既有可能出现反面也有 可能出现正面;掷骰子观察出现的点数; 从一批含 有正品和次品的产品中任意抽取一个产品，其结 果可能是正品，也可能是次品等等.
随机现象中条件不能完全决定结 果，那么随机现象是不是没有规 律可言? 律可言?
下面是一些试验的例子: E1:抛一枚硬币,观察正面H反面T的出现情况; E2:抛一枚硬币两次,观察正面H反面T的出现情况; E3:掷一颗骰子,观察出现的点数; E4:在家电仓库里随机地抽取一台电视机,测试它 的寿命; E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数.
第二节 样本空间、随机事件 样本空间、
⇔ 试验的结果 w∈ A
1) 符号:
A⊂ B
A
B
集合论中的含义: 若w∈A,则w ∈B 概率论中的含义: 若A发生,则B发生. 这时我们称事件B包含了事件A. 若 A ⊂ B 同时 B ⊂ A ,则称A与B相等,记为A=B.
例：A表示{杭州人}，B表示{浙江人}，若一个人是 杭州人，则他一定是浙江人，即若A发生，则B也发 生；又例：掷一颗骰子,观察出现的点数，则事件 C={出现偶数点}，D={出现的点数为2,4,6};则C=D
第一节 随机试验
随机实验：是科学试验（观察）具有如下的共 随机实验 同特点: (1)可在相同的条件下重复进行 重复进行; 重复进行 (2)每次试验的可能结果不止一个,但是能事先明确 事先明确 试验的所有可能的结果; (3)试验之前不能确定 不能确定哪一个结果会出现. 不能确定 一般地,我们称满足以上三个特点的试验为随机 随机 试验.简称为试验.用E表示 试验
概率论中的含义: 概率论中的含义 事件 A ∩ B 发生
⇔
⇔
A, B 同时发生.
将 A ∩ B 或 AB 称为 A, B 的积事件 积事件,它表示 事件 A 与 B “事件 积事件 同时发生”这一事件. 同时发生
例如:掷一枚骰子 观察出现的点数 若事件A为 例如 掷一枚骰子,观察出现的点数 若事件 为“点 掷一枚骰子 观察出现的点数,若事件 数为偶数点”,事件 为“点数>2”,则 数为偶数点” 事件B为 点数 则 事件
例如：有n个人组成一组参加数学建模比赛，若A1表示 第1个人获奖， A2表示第2个人获奖，… An表示第n个
n
人获奖,则这一组至少有一个人获奖可以表示为
UA
k =1
k
3)符号: A∩ B 或 AB
A AB B S
集合论中的含义: 集合论中的含义
w∈ A∩ B
⇔
w∈ A 且 w∈ B
A 发生且 B 发生
事件A发生
⇔ 试验的结果 w∈ A
3、样本空间有两个特殊的子集,一个是 本身,由于 、样本空间有两个特殊的子集 一个是S本身 由于 一个是 本身 它包含了所有可能的结果,所以在每次试验中它总是 它包含了所有可能的结果 所以在每次试验中它总是 发生的,我们将其称为必然事件;另一个子集是空集 发生的 我们将其称为必然事件 另一个子集是空集φ, 我们将其称为必然事件 它不包含任何元素,因此在每次试验中都不发生 我们 它不包含任何元素 因此在每次试验中都不发生,我们 因此在每次试验中都不发生 将其称为不可能事件 将其称为不可能事件. 不可能事件
将“ U Ak ” 称为 n 个事件 A1 ,A2,… An 的和事件 , 事件
k =1
n
它表示“ A1,A2 ,… An 至少有一个发生 至少有一个发生”这一事件；
将“ U Ak ” 称为可列个事件 A1,A2,…An…的和事 可列个事件 …
k =1 ∞
至少有一个发生”这一事件. 件,它表示“A1,A2,…An…至少有一个发生 …
现实世界中存在的两类现象:
一.确定性现象 确定性现象 在一定条件下一定发生的现象.比如,在一个标 在一定条件下一定发生的现象 准大气压下,水在100℃时一定沸腾;太阳每天都会 从东方升起;日全食和月全食的发生时刻;等等.可 以说正是这一类现象的存在,导致了人们相信自然 界中一定存在着秩序和规律的信念,这种信念又进 一步导致了近代科学的发展. \
教材： 教材：
《概率论与数理统计》 概率论与数理统计》
浙江工商大学统计与数学学院 龚小庆 王炳兴 编
浙江大学出版社
要求： 要求：
课前预习； 1. 课前预习； 上课积极思维，做好笔记； 2. 上课积极思维，做好笔记； 及时、独立完成课后作业； 3. 及时、独立完成课后作业； 4. 平时多交流，多讨论。 平时多交流，多讨论。
几点说明： 几点说明： 1、实验的目的决定实验所对应的样本空间。 、实验的目的决定实验所对应的样本空间。
S 2 = {HH , HT , TH , TT }
E2:抛一枚硬币两次,观察正面H反面T的出现情况;
E7:将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现的次数,则此时 样本空间为
S
7
=
{0 ,1 , 2 } .
5
是合格品,则“所抽取的电视机是合格品 所抽取的电视机是合格品”这一事件 所抽取的电视机是合格品 可以用S5的子集A={t: t >10000}来表示.又如E2:抛一枚 硬币两次,观察正面H反面T的出现情况; “至少出现一 至少出现一 次正面”这一事件可以表示成:HT , TH , HH } 次正面 B ={
二.事件间的相互关系与运算 由于事件是样本空间的一个子集,因此本节所涉 及到的事件之间的关系与运算就是集合间的关系 事件之间的关系与运算就是集合间的关系 与运算,但是事件之间的关系与运算需要一套特别 与运算 的语言来描述,并且熟悉这种特别的语言对本章及 以后的学习起着非常重要的作用. 这一部分的重点就是能正确地将集合论中的符 号翻译成概率论的语言. 事件A发生
例如：某产品要经过两道工序加工，只要有一道工序加工不合格， 例如：某产品要经过两道工序加工，只要有一道工序加工不合格， 产品就不合格，则事件“产品不合格”就是事件“ 产品就不合格，则事件“产品不合格”就是事件“第一道工序加 工不合格” 第二道工序加工不合格” 工不合格”与“第二道工序加工不合格”的和事件
S 2 = {HH , HT , TH , TT }
E3:掷一颗骰子,观察出现的点数;
S3 = {1,2,3,4,5,6}
E4:在家电仓库里随机地抽取一台电视机,测试它的寿命;
S 4 = {t : t ≥ 0}
注:样本空间含无数个样本点.
S5 = {0,1,2,3, L}
E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数. 注：每次实验有且仅有一个样本点出现
同样是将硬币抛掷两次,但是 S 2 和 S 7 截然 不同.这说明,试验的目的决定试验所对应的 样本空间. 2、样本空间可能包含有限个样本点，也可能包 、样本空间可能包含有限个样本点， 含无限个样本点。 含无限个样本点。
随机事件： 随机事件：随机试验的某个结果或者某些结果所构成的集 合(即样本空间的某个子集) ,称为随机事件,用A,B,C,D等表 示,简称为“事件 事件”. 事件 例如E3:掷一颗骰子,观察出现的点数; “出现奇数点” 可以用集合C={1,3,5}来表示 来表示.出现“1”点可以用集合{1} 来表示 表示. 表示 为例,如果电视机的寿命超过10000个小时被认为 以E
其它： 其它
作业课前交齐；作业本右上角写序号(2位 作业课前交齐；作业本右上角写序号(2位)； 序号(2 每人准备一个函数计算器。 每人准备一个函数计算器。
本章主要学习内容
一、随机事件 二、事件的概率 三、事件的条件概率和三个基本公式 四、事件的独立性
第一节
引
言
研究对象：随机现象的统计规律。 研对象：随机现象的统计规律。
A ∩ B ="点数为4， 6"
又如:A 第一人获奖 第一人获奖” 第二人获奖” 又如 1=“第一人获奖”; A2=“第二人获奖” 第二人获奖
则A1 ∩ A2 表示第1，人都获奖 2
类似地， I Ak 为 n 个事件 A1,A2,…An 的积事件 它 称 的积事件， 事件
k =1
n
表示“A1,A2,…An 同时发生 同时发生”这一事件；
A =
n
I
Ai
i =1
如果这n座桥梁如下图所示是并联而成的，
1
L
2
R
n
则有
A=
n
UA
i =1