2016数学分析2复习题答案(级数部分)(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--级数一、数项级数1. 级数n u ∑收敛的定义为： (1). 用定义判别11ln n n n∞=+∑的敛散性.解 2312341ln ln lnln ln(1)(12123n n n S n n n n ++⎛⎫=+++=⨯⨯⨯⨯=+→+∞→∞ ⎪⎝⎭），故发散. (2) 证明: 若2121()n n n a a ∞-=+∑收敛, 且lim 0nn a →∞=, 则级数1n n a ∞=∑收敛. 证明 设2121()n n n a a ∞-=+∑的和为S ，2121()n n n a a ∞-=+∑与1n n a ∞=∑的部分和分别为n n S σ与，则2121221211(),,nnn k k n n k n k k S a a a a a a a a a σ-==+=+++==+++∑∑=于是2lim lim ,n n n n S S σ→∞→∞==又lim 0n n a →∞=，从而21221lim lim(),n n n n n a S σσ++→∞→∞=+=故lim n n σ→∞收敛，即1n n a ∞=∑收敛. 2. 级数n u ∑收敛的柯西准则为： (1)用柯西收敛准则证明：若n u ∑，n v ∑收敛，则级数()n n au bv +∑收敛，其中,a b 为常数.3. 级数n u ∑收敛的必要条件为： 如：判别11(1)21nn n n ∞=+-+∑的敛散性: 11lim ||lim 0,lim 0,212n nn n n n u u n →∞→∞→∞+==≠∴≠+故发散. 4. 收敛级数的性质（简述）如：31cos 1()n na n n∞=-∑ 311cos 1n n nan n ∞∞==∑∑收敛，发散，故原积分发散.级数部分和数列有界是级数收敛的必要条件, 部分和数列有界是正项级数收敛的充要条件. 如证明：若{}n a 单调减少，1(N ),n a n +≥∈且1()n a n →→∞，则级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛. 证明 情形1 11,a =由已知1(N ),n a n +=∈ 级数111(1)0nn n n a a ∞∞==+-=∑∑, 收敛.情形2 11,a > {}n a 单调减少，1(N ),n a n +≥∈111101.n n n n n n n a a a a a a a ++++-∴≤-=≤-设11(1)n n n a a ∞=+-∑的部分和为n S ，则()1111111111(1)nn n kk k n k k n k k k k k a a a S a a a a a a a +++===++⎛⎫--=≤-=-≤ ⎪⎝⎭∑∑∑= 即此正项级数的部分和数列有界，于是级数收敛.6. 重要比较标准：1|,|,1n n q aq q ∞=⎧⎪⎨⎪⎩<≥∑当|时收敛当|时发散;7. 叙述正项级数比较法及其极限形式、比式法与根式法的极限形式、积分判别法，并判别敛散性：(1)12(1)3n nnn ∞=+-∑解 111122(1)13333nnn nn n n n n n ∞∞∞∞====--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑与皆收敛，故原级数收敛. 或2lim 1,3n n n n n u →∞===<∴收敛 (2)16!n n n n n∞=∑ 解 设6!n n n n u n =，则1limn n nu u +→∞61e =>，由比式判别法，16!n n n n n ∞=∑发散. (3)1(1n ∞=-∑解 101(),.2n n≤-→∞∴发散 (4)n ∞=解 20),.n n n n≤=→∞∴⋅发散(5)2221ln 1n n n ∞=+-∑ 解 22221220ln ln(1)(),.111n n n n n +≤=+→∞∴---收敛 (6)21(ln )pn n n ∞=∑解 1102(ln )p p n n n n≤≥≥时，有，级数发散.p >0时， 1+(ln )px x ∞在[2，)为非负减函数， 而 p =1时, 22211ln |ln |ln ln p dx dx x x x x x+∞+∞+∞===+∞⎰⎰,发散.p ?1时, 12211(ln )ln 1p p dx x x x p +∞-++∞==-+⎰1, 11(ln 2)11p p p p -++∞<⎧⎪⎨>⎪-⎩， 故21(ln )pn n n ∞=∑在,,,11p p ≤>当时收敛当时发散.8. 绝对收敛与条件收敛的定义为：条件收敛的级数本身一定收敛.(1)若n u ∑绝对收敛，则n u ∑必定 收敛 ；若n u ∑条件收敛，则||n u ∑必定 发散.(2)证明：若2n u ∑与2n v ∑都收敛，则n n u v ∑收敛.证明 221N ,||(),2n n n n n u v u v +∀∈≤+于是||,.n n n n u v u v ∑∑收敛从而收敛(7) 设n a ∑绝对收敛，证明：12()n n a a a a +++∑也绝对收敛.证明 由||n a ∑收敛，知n a ∑收敛 从而12n n s a a a =+++有界，即0,N ,||,n M n s M +∃>∀∈≤使得有 于是12|()|||n n n a a a a M a +++≤，故12()n n a a a a +++∑绝对收敛，从而12()n n a a a a +++∑收敛. 9. 叙述交错级数的莱布尼茨判别法；叙述狄利克雷判别法及阿贝尔判别法；简述绝对收敛级数的性质.判别下列级数判断下列级数的收敛性，并指出是绝对收敛还是条件收敛： (1)11(1)tan n n n∞=-∑解 由于11(1)tan tan nn n -=～n 1)(∞→n , ∑∞=11n n发散，所以11tan n n ∞=∑发散. 又1tan n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调减少趋于零, 所以11(1)tan n n n∞=-∑收敛, 原级数条件收敛.(2)2cos (0,0)pn nxp x n π∞=><<∑解 cos 11||pp nx p n n>≤时，，从而原级数绝对收敛，也收敛. 01p <≤时，1111sin sin 11122(0,)|||cos |2sin cos =,11122sin 2sin sin 222n nn k k n x x x P kx x kx x x xπ==⎛⎫+- ⎪⎝⎭∀∈==≤∑∑, {1pn }单调减少趋于零，由狄利克雷判别法原级数收敛， 同理可证2cos 22p n nx n ∞=∑收敛. 但 22cos cos 1cos21||2p p ppn nx nx nxn n n n ∞=-≥=∑，因发散， 2cos 22p n nx n ∞=∑收敛，从而2cos ||p n nx n∞=∑发散，即原级数条件收敛. (3) 11(1)2nn n n ∞=+-+∑ 解 由Leibniz 判别法1(1)nn ∞=-∑1{}2n n ++单调有界，由阿贝尔判别法，原级数收敛，但51111(),.22n n n n n n n∞=++→∞∴++∑即原级数条件收敛. (4) 1sin 52nn n n π∞=∑解 1sin15N ,,lim ,222n n n n n n n n v n n v v π++→∞∀∈≤∆=而从而原级数绝对收敛，也收敛.(5)11111 (-1)n n nn u u ∞+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑，其中0 (1,2,3,)n u n ≠=，且lim 1n nn u →∞=解 由lim1n nn u →∞=，知 11111111lim 2, .n n n n nn u u n u u ∞→∞=++⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑故发散 记11111223111111111(1)(1)nk n n k k k nn S u u u u u u u u ++=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+++-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑=，1lim 1,lim 0. n n n n n u u →∞→∞=∴=于是21211111(),n n S n u u u +-→→∞=21221221111(),n n n n S S n u u u +++++→→∞=从而原级数收敛, 即原级数条件收敛. (6) 111(1)np n nn∞+=-∑解111()nn n→→∞. 1)1111|(1)|()npp np n n n+>-→∞时，，从而原级数绝对收敛，也收敛. 2) 01p <≤时，11(1)npn n ∞=-∑收敛，{11nn }单调有界，由阿贝尔判别法原级数收敛，但111|(1)|()npp nn nn+-→∞，从而121|(1)|n p n nn∞+=-∑发散.即原级数条件收敛. 3)0p ≤时，通项不趋于零，发散.211(7)(1)[3n n n n ∞-=-∑解 113n =<,故211(1)3n n n n ∞-=-∑绝对收敛,而11(1)n n ∞-=-∑. 二、函数列及其一致收敛性1. 极限函数、收敛域2. } )( {x f n 在数集D 一致收敛于()f x 的定义; 叙述函数列一致收敛的柯西准则及确界极限法, ）.(1)222()1||n n x f x n x =+, 22()1n xg x n x =+，) , (∞+∞-∈x . lim ||()n n f x x →∞=；lim (0)n n g x →∞= (2)判别一致收敛性 1)cos ()n nxf x n=在R 解 ()lim ()0,n n f x f x →∞==(,)1sup()()0n x f x f x n∈-∞+∞-≤→（∞→n ），故{}()n f x 在(,)-∞+∞上一致收敛.2) 2x n x n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭在[]()0,0a a >; 在[)0,+∞ 解 ()lim ()1,n n f x f x →∞==()()n x f x f x x n -=+，[]0,lim sup ()()lim 0n n n x a a f x f x a n →∞→∞∈-==+，故{}()n f x 在[]0,a 上一致收敛.1()()2n n f n f n n n -==∴+，{}()n f x 在(,)-∞+∞上不一致收敛. (,)lim sup ()()10n n x f x f x →∞∈-∞+∞⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭或 3) ()(1),[0,1]n n f x nx x x =-∈解 ()lim ()0,n n f x f x →∞==11()()n f f n n -=1111(1)[1()]n n e n n ---⎧⎫-=+-→⎨⎬⎩⎭（∞→n ），故{}()n f x 在[0,1]上不一致收敛.另解 ()()()=(1),[0,1]n n g x f x f x nx x x =--∈令， 1 1()(1)[1(1)]0,1n g x n x n x x n -'=--+==+得又(0)(1)=0,g g =故111()()=(1),111n g x g n n n n -+++在[0,1]上的最大值为即 10,1]11lim sup ()()lim (1)0,11n n n n x f x f x ne n n -→∞→∞∈-=-=≠++[ 于是{}()n f x 在[0,1]上不一致收敛.3. 一致收敛函数列的性质(1)若} )( {x f n 的每个函数都在[ , ]I a b =连续,且()() ( )n f x f x n →→∞, 则 ( A )A 、当)(x f 在I 上间断时,} )( {x f n 在I 上不一致收敛;B 、当)(x f 在I 上连续时,} )( {x f n 在I 上一致收敛;C 、当} )( {x f n 在I 上不一致收敛时, )(x f 在I 上间断;D 、)(x f 在I 上有界.(2)证明：若{}()n f x 在R 一致收敛于()f x , 且n N +∀∈, ()n f x 在R 一致连续，则()f x 在R 也一致连续. 证明 由已知{}n f 在D 上一致收敛于(),0,N ,,R f x N n N x ε+∀>∃∈∀>∀∈于是，有ε<-)()(x f x f n . 从而对121,,R,n N x x =+∀∈有11()()n f x f x ε-< 及 22()()n f x f x ε-<.由()n f x 在R 一致连续,ε⇒对上述 120,R x x δ∃>∀∈，，只要1212||,()()n n x x f x f x δε-<-<就有，此时12112212112212()()=()()+()()+()()()()|+|()()|+|()()3n n n n n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε----≤---<， 即()f x 在R 也一致连续.三、函数项级数 1. 收敛域、和函数的定义为2. 函数项级数的一致收敛与不一致收敛及其判别(P 33-37）(1)叙述函数项级数()n u x ∑在数集D 一致收敛的定义叙述函数项级数一致收敛的柯西准则 (3)叙述函数项级数一致收敛的必要条件(4)叙述M 判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，并判别一致收敛性： 1).7211n nxn x∞=+∑在R 解 当1≥n 时，521()2n u x n≤，由于51212n n∞=∑收敛，由M 判别法，原级数在R 上一致收敛.2).1!nn x n ∞=∑在[](),0a a a ->解 当1≥n ，[,]x a a ∈-时，!!n nn x a v n n ≤∆，而1lim 01,n n n v v +→∞=< 由比式判别法，1!nn a n ∞=∑收敛, 从而由M 判别法，原级数在R 上一致收敛. 3).12(sin )arctan 3n n n nx π∞=∑ 在R解 当1≥n 时，222(sin )arctan 233223nnnn n nx ππππ⎛⎫≤⋅=⋅ ⎪⎝⎭，级数21223nn π∞=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，从而由M 判别法，原级数在R 上一致收敛.4).1(1)nn ∞=-∑在R解设()n a x =n n x b )1()(-=，则{})(x a n 对固定的),(+∞-∞∈x 关于n 是单调的，且1|()|,n a x n≤即{})(x a n 在),(+∞-∞上一致收敛于零，同时1)(1≤∑=nk k x b ，由狄利克雷判别法，∑∞=+-12)1(n nxn 在),(+∞-∞上一致收敛. 3. 叙述和函数的连续性、可积性、可微性定理 (1)证明：函数31sin ()n nxf x n ∞==∑在(,)-∞+∞上连续可导，并求lim (),().x f x f x π→' 解 由于33sin 1||nx nn≤，而311n n∞=∑收敛，由M 判别法，31sin n nx n ∞=∑在(,)-∞+∞上一致收敛，而每项3sin nxn在(,)-∞+∞连续，所以()f x 在(,)-∞+∞上连续. 31sin lim ()lim0.x x n nx f x n ππ∞→→=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑ 由上知31sin n nx n ∞=∑在(,)-∞+∞上收敛，32sin cos nx nx n n '⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞上连续, 且22cos 1||nx n n ≤，由M 判别法，21cos n nxn ∞=∑在(,)-∞+∞上一致收敛，从而()f x 在(,)-∞+∞上可导，21cos ()n nxf x n ∞='=∑.(注本题也可只证可导性)(2)证明：函数()1nx n S x ne ∞-==∑在(0,)+∞上内闭一致收敛、可积；并计算ln 6ln 5()S x dx ⎰. 证 [,]0a b ∀⊂+∞(，)，当[,]x a b ∈，有0nx an ne ne --<≤1()a e n -→<→∞，于是0ann ne∞-=∑收敛，由M 判别法，0nxn ne∞-=∑在[,]a b 上一致收敛，即0nx n ne ∞-=∑在(0,)+∞上内闭一致收敛，又每项nxne-在[,]a b 连续，所以0()nx n f x ne ∞-==∑在[,]a b ∀⊂(0,)+∞上可积.()ln 6ln 6ln 6ln 6ln 6ln 5ln 5ln 5ln 5ln 5111111111156().1156201156nxnxnxnxn n n n n n n S x dx nedx ne dx ne dx e ∞∞∞∞∞----=====⎛⎫====-=-=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭--∑∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰(3)证明：函数1()cos n n S x r nx π∞==∑在[0,2]可积，并求其积分.证 1cos ,(01)n n n n r nx r r r ∞=≤<<∑且收敛，于是1cos n n r nx π∞=∑在[0,2]上一致收敛，又每项cos n r nx 在π在[0,2]连续，所以1()cos n n S x r nx π∞==∑在[0,2]可积，22200011()cos cos n n n n S x dx r nxdx r nxdx πππ∞∞=====∑∑⎰⎰⎰0.4. 总结求和函数 方法并求和函数：（1）211nn n x n∞=+∑解 21111()n n n n n n x nx x n n∞∞==+=+∑∑.对于1nn nx ∞=∑，1()lim ()n n nu x u x +→∞=1(1)lim ||n n n n x x nx +→∞+=，当||1x <时，级数收敛，当||1x >时，级数发散，当||1x =时，级数通项不趋于0，发散，于是级数1n n nx ∞=∑的收敛域为(1,1)-.()()111112(),||1(.11)n n n n n n n n g x nx x nx x x x x x x x x x x ∞∞∞∞-===='⎛⎫''=== ⎪--⎝⎭===<∑∑∑∑ 同理可求11n n x n ∞=∑的收敛域为(1,1)-. 令11(),||1,n n h x x x n ∞==<∑ 则111(),(0)0,1n n h x x h x ∞-='===-∑而 于是01()ln(1).1xh x dx x x==---⎰于是原级数的收敛域为(1,1)-，且211()()ln(1),|| 1.1nn n x s x nx x x x n x∞==+=--<-∑（2）21202(1)21n nnn x n +∞=-+∑解 1()lim ()n n nu x u x +→∞=232222122211lim 4,232n n n n n n x x n x +++→∞+⋅=+，当2141,||2x x <<即时，级数收敛，当241x >时，1||2x >即级数发散，当||1x =时，级数为2102(1)21n n n n +∞=-+∑，由莱布尼兹判别法收敛，于是级数的收敛域为11[,]22-.令212021()(1),||,212n nn n s x x x n +∞==-≤+∑ 当0,(0)=2,x s =时当212101210()(1)()21n n n n x s x x g x x n x +∞+=≠=-=+∑时，， 则212220122||,()(1)2,(0)021(4)14n n n n x g x x g x x ∞+='<=-===--+∑时而，故022()arctan214xg x dx x x ==+⎰ 又21210121||=,(1)arctan 2||=2212n n n n x x x x n +∞+=-+∑时级数收敛，在处连续，于是1()arctan 2,||2g x x x =≤. 从而 2, 0().11arctan 2,||02x s x x x x x=⎧⎪=⎨≤≠⎪⎩且 (3) ∑∞=++03)2(!n n n n x解 1()lim ()n n nu x u x +→∞=43!(2)lim 0,(1)!(3)n n n x n n n n x ++→∞+⋅=++于是级数的收敛域为(,)-∞+∞. 令3200()(),!(2)!(2)n n n n xx s x x xg x n n n n ++∞∞=====++∑∑10(),(0)0!n x nx g x xe g n +∞='===∑而，0()(1)1,x x x g x xe dx e x ==-+⎰于是 和函数()(1),R.x s x xe x x x =-+∈四、幂级数1.叙述阿贝尔定理：(1)已知(3)n n a x -∑在4x =处发散，则其在0x =处（C ）(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (2)设幂级数n n a x ∑在点3x =-处收敛 , 则( B )(A)在点 x =3处绝对收敛 (B)在点x =2处绝对收敛 (C)在点x =3处收敛 (D)在点x =4处发散.2.求收敛半径：2212211111(0) [()]n n n n n n n n n n n n n a x a a x a x a f x ∞∞∞∞++====≠∑∑∑∑、、、型(皆可看做()n u x ∑,对|()|n u x 用比式或根式法)(1)已知1(0)n n n n a x a ∞=>∑在2x =-处条件收敛，则收敛半径为__2___.(2) 求收敛域：1) 123(2)nnnn n x n∞=+⋅+-∑；解n=||,3n x 当||1,||33x x <<即时，级数收敛，当||1,||33x x >>即时，级数发散，当3x =时，级数通项不趋于0，发散，于是级数的收敛域为(3,3)-.2) 520(1)(2)21n n n x n ∞=+-+∑ (也可用2())2n x -解 1()lim ()n n nu x u x +→∞=552222(2)(1)lim(2)/(2)(2),2321n n n n n x x x n n +→∞++--=-++当2(2)1,|2|1x x -<-<即时，级数收敛，当2(2)1,|2|1x x ->->即时，级数发散，当21x -=时，级数通项不趋于0，发散，于是级数的收敛域为(1,3).3.幂级数的性质（P 51-52包括和函数的连续性、可积性与可导性（积分及求导前后的幂级数收敛半径相同））4. 函数展开为幂级数 1） ()f x 的泰勒级数为()000()()!n nn f x x x n ∞=-∑;麦克劳林级数为()0(0)!n n n f x n ∞=∑. 2） 基本展开式xe 0!nn x x R n ∞==∈∑sin x()()21121!n nn x x R n +∞==-∈+∑cos x ()()2012!nnn x x R n ∞==-∈∑201111nnn x x x x x x∞==+++++=<-∑()()()2111(1)111!2!!n n x x x x x n ααααααα---++=+++++<ln(1)x + 利用()()1ln(1)1nn x x x ∞='+==-+∑即得3） 用间接法展开成麦克劳林级数 1>21(12)x -解 201111nnn x x x x x x∞==+++++=<-∑()201111111(2)21(12)212211 (2)222nn n n n n n n x x x x x n x x ∞=∞∞--==''⎛⎫∴==< ⎪--⎝⎭'===<∑∑∑2> cos 2x解 cos 2x ()()201cos 21(2)11, 222!n n n x x x R n ∞=⎡⎤+==+-∈⎢⎥⎣⎦∑ 3> 22x x x--解2111[]2(2)(1)312x x x x x x x x x =-=----+--+1001111()(1),||2222221()2nn n n n n x x x x x ∞∞+====-=-<+--∑∑11,||111n n x x x x ∞==-=-<--∑112110001(1)[(1)]1,1 1.23232n n n nn n n n n n x x x x x x x x +∞∞∞+++===⎡⎤-∴=---=+-<<⎢⎥--⎣⎦∑∑∑4> 5xln500(ln5)(ln5)!!n n x nn n x exx Rn n ∞∞=====∈∑∑3> ()()()()()()()2102210000121!11, 21!2121!n nnnn xxxnn n n t n sint dt dt t dt xx R ttn n n +∞∞∞=+==-+--===∈+++∑∑∑⎰⎰⎰五、 函数展开为傅立叶级数1. 三角函数系的正交性；傅立叶系数1()cos ,(0,1,2,)n a f x nxdx n πππ-==⎰1()sin ,(1,2,)n b f x nxdx n πππ-==⎰; 傅立叶级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑.2. 叙述收敛定理及黎曼-勒贝格定理.3. 2T π=的奇函数展开成傅立叶级数时， ;0 n a =奇函数换为偶函数时，傅立叶系数 0 n b =. 练习 1、将下列函数在指定的区间展开成傅立叶级数(1)0()0x x f x a x ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩（a是常数）（2）11(),22f x x x =-≤≤，并求211(21)n n ∞=-∑的和2、222211cos 1,426n n nx x x x n n πππ∞∞==≤≤=-+∑∑证明：当０时，并求的和.证 对22()426x x f x ππ=-+做偶式周期延拓后的函数满足收敛定理, 连续，其傅里叶级数().x f x π≤≤当０时，收敛于0,1,2,n b n ==2232200220,4261246x x x x a dx x ππππππππ⎛⎫⎡⎤=-+=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰;()()2222002200020022sin cos 4264262sin 2sin 1cos 426221cos 1cos 1,1n x x x x nx a nxdx d n x x nx x nx nx dx x d n n n n nx nx x dx n n n n n n ππππππππππππππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=--==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰,2,,2222211cos 1,0,4266n n nx x x x x n n ππππ∞∞==≤≤=-+==∑∑于是，当０时， 令得.3、设()f x 在[,]ππ-可积，证明:若[,]x ππ∀∈-, 有()()f x f x π+=, 则()f x 的傅立叶系数21210n n a b --==.证 (1) 21n a -=1()cos(21)f x n xdx πππ--⎰0011()cos(21)()cos(21)f x n xdx f x n xdx ππππ-=-+-⎰⎰t x π=+令，则()cos(21)=()cos[(21)(21)]=()cos(21)()cos(21)f x n xdx f t n t n dt f t n tdt f x n xdxππππππ--------=--⎰⎰⎰⎰于是210,n a -=(1,2,3,n =),同理可证210n b -=0=, (1,2,3,n =).4、P 第2题证明帕塞瓦尔等式.证 由已知01()(cos sin ),[,]2n n n a f x a nx b nx x ππ∞==++∈-∑11()cos ,(0,1,2,)()sin ,(1,2,).n n a f x nxdx n b f x nxdx n ππππππ--====⎰⎰其中，20101201111 ()( = 1 )(cos sin )2()()(cos sin )2()cos ()si n 2 n n n n n n n n dx dx dx dx a f x f x a nx b nx a f x f x a nx b nx a a f x nx b f x n πππππππππππππ---∞-=∞=⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦+∴++⎰⎰⎰⎰∑∑[]1n dxx ππ=-∞⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑⎰由于f (x )在[,]ππ-可积,所以 f (x )在[,]ππ-有界，1(cos sin )n n n a nx b nx ∞=+∑在[,]ππ-一致收敛，故[]1()cos ()sin nn n af x nx b f x nx ∞=+∑在[,]ππ-一致收敛，于是[][]2201()()cos ()sin 1121n n n a f x a f x nx b dx x n d f dx x x πππππππππ--∞=-⎧⎫∴+⎨⎬⎩+⎭=⎰⎰⎰∑()22201.2n n n a a b ∞==++∑ 判断与填空：( 对的题目有：1,4,5,6,7,10,11,13,14,18,20,21,23,26,29,30,3322(1)1,(2)0.s s ==第题 )1. )(x f 在[,]a b 上可积, 但不一定存在原函数( )2.[]11111/ln ||0xdx x --==⎰( ) 3.设⎰⎰+=+=c x G dx x g c x F dx x f )()( ,)()(. 则当)()(x G x F ≠时,有)()(x g x f ≠ ( ) 4.任意可积函数都有界,但反之不真( ) 5.若lim 0nn a →∞≠,则n a ∑必发散 ( ) 6.()f x 的傅里叶级数不一定收敛于()f x ( ) 7.若()n u x ∑一致收敛, 则lim ()0n n u x →∞=( )8.若n a ∑收敛, 则2n a ∑亦收敛( )9.若()n u x ∑在I 上一致收敛,则它在I 上绝对收敛 ( )10.],[b a 上有界函数)(x f 可积0,ε⇔∀>有对],[b a 的一个分法0T ，使00()()S T s T ε-< ( ) 11.任一幂级数在它的收敛区间内是绝对收敛的 ( )12.幂级数的收敛区间就是它的收敛域 ( )13.任一幂级数在它的收敛区间内总可逐项求导( ) 14．若||n u ∑收敛，则一定有n u ∑收敛 ( )15.若(,),()x r r f x ∀∈-各阶导数皆存在，则)(x f 在),(r r -上可展成x 的幂级数 ( )16.函数列(){}n f x 在I 上一致收敛是指：对0ε∀>和x I ∀∈,N ∃,当m n N >>时,有()()n m f x f x ε-< ( )17.若函数项级数()n u x ∑在I 上一致收敛，则|()|n u x ∑在I 上也一致收敛 ( )18.设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-,f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值( )19.若)(x f 是以π2为周期的连续的奇函数，则傅立叶系数010,()sin ==⎰n n a b f x nxdx ππ ( )20.若11n α+∑收敛 , 则必有0>α ( ) 21.设I 上)}({x f n 收敛于f . 若存在数列⊂} {n x I , 使0|)()(|→/-n n n x f x f ,则)}({x f n 在I 上不一致收敛 ( )22. 2)(x x f =在[-1,1]上的傅立叶级数222114(1)cos 3n n x nππ∞=-+∑的和函数是)(x s ,则(1)__,(2)__.s s ==23.若N ,,1N n N +∃∈∀≥，则n u ∑发散( ) 24.若n v ∑敛，(1,2,),n n u v n ≤= 则n u ∑收敛( )25.若)(x f 在],[b a 只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 必可积( )26.11143442111sin cos d ,(sin cos )d ,(sin cos )d 1x M x x N x x x P x x x x---==+=-+⎰⎰⎰设,则P <M <N ( ) 27.设级数n u ∑收敛，则将n u ∑的项任意重排后所得的级数也收敛( ) 28.设0>n u ,对n ∀,有11n nu u +<, 则n u ∑收敛( ) 29.设0>n u ,对n ∀,有11n nu u +>, 则n u ∑发散( )30.设级数n n a x ∑在(,)R R -上的和函数为)(x f ，若)(x f 为奇函数，则此级数仅出现奇次幂的项 ( )31.若n a ∑和n b ∑收敛，则n n a b ∑也收敛( )32.若n a ∑和n b ∑发散，则()n n a b +∑也发散( ) 33.若n a ∑收敛和n b ∑发散，则()n n a b +∑发散( )34.n a ∑收敛和n b ∑发散，n n a b ∑发散( ) 35.广义积分1()f x dx +∞⎰收敛,则lim ()0x f x →+∞=( )。
