二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质同步测试

二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质

第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质 [见B 本P14]

1．抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是( C ) A ．直线x ＝12 B ．直线x ＝－1

2

C ．y 轴

D ．直线x ＝2

2．下列函数中，图象形状、开口方向相同的是( B ) ①y ＝－x 2；②y ＝－2x 2；③y ＝1

2

x 2－1；

④y ＝x 2＋2；⑤y ＝－2x 2＋3. A ．①④ B ．②⑤ C ．②③⑤ D ．①②⑤

【解析】 a 决定抛物线的开口方向与形状大小，②⑤中a 相同，选B.

3．如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C ) A ．y ＝(x －1)2＋2 B ．y ＝(x ＋1)2＋2 C ．y ＝x 2＋1 D ．y ＝x 2＋3 4．[2013·德州]下列函数中，当x >0时，y 随x 的增大而增大的是( B ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝1

x

D ．y ＝－x 2＋1

5．抛物线y ＝－2x 2－5的开口向__下__，对称轴是__y 轴__，顶点坐标是__(0，－5)__． 【解析】 根据抛物线y ＝ax 2＋c 的特征解答即可．

6．抛物线y ＝13x 2－4可由抛物线y ＝1

3x 2沿__y __轴向__下__平移__4__个单位而得到，它的

开口向__上__，顶点坐标是__(0，－4)__，对称轴是__y 轴__，当__x ＝0__时，y 有最__小__

值为__－4__，当__x >0__时，y 随x 的增大而增大，当__x <0__时，y 随x 的增大而减小． 【解析】 抛物线y ＝13x 2－4与y ＝13x 2的形状相同，但位置不同，抛物线y ＝1

3x 2－4的图象

可由抛物线y ＝1

3x 2的图象沿y 轴向下平移4个单位而得到，画出草图回答问题较方便．

7．[2013·湛江]抛物线y ＝x 2＋1的最小值是__1__．顶点是__(0，1)__． 8．(1)填表：

x … －2 －1 0 1 2 … y ＝－2x 2 y ＝－2x 2＋1 y ＝－2x 2－1

(2)在同一直角坐标系中，作出上述三个函数的图象；

(3)它们三者的图象有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ (4)由抛物线y ＝－2x 2怎样平移得到抛物线y ＝－2x 2＋1与y ＝－2x 2－1? 解：(1)略 (2)略

(3)它们三者图象的形状相同，但位置不同，开口方向都向下，对称轴都为y 轴，顶点不同，分别为(0，0)，(0，1)，(0，－1)；

(4)抛物线y ＝－2x 2＋1可由抛物线y ＝－2x 2向上平移1个单位得到；抛物线y ＝－2x 2－1可由抛物线y ＝－2x 2向下平移1个单位得到．

9．二次函数y ＝－1

2x 2＋c 的图象经过点⎝⎛⎭⎫－3，92，与x 轴交于A ，B 两点，且A 点在B 点左侧．

(1)求c 的值；

(2)求A ，B 两点的坐标．

解：(1)∵抛物线经过点⎝⎛⎭⎫－3，9

2， ∴－12×(－3)2＋c ＝9

2，∴c ＝6.

(2)∵c ＝6，∴抛物线为y ＝－1

2

x 2＋6.

令y ＝0，则－1

2x 2＋6＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23，∵A 点在B 点左侧，∴A (－23，0)，

B (23，0)．

10．如图22－1－12，两条抛物线y 1＝－12x 2＋1、y 2＝－1

2x 2－1与分别经过点(－2，0)，(2，

0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( A )

图22－1－12

A ．8

B ．6

C ．10

D ．4

【解析】 两条抛物线的形状大小、开口方向相同，阴影部分面积等于相邻边长为4和2的长方形面积，即等于8.

11．抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝－8x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，－6)，则其表达式为____y ＝－8x 2－6____，它是由抛物线y ＝－8x 2向__下__平移__6__个单位得到的．

【解析】 根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a 值，再根据顶点坐标(0，－6)，可确定k 值，从而可判断平移方向．

∵抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝－8x 2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a ＝－8. 又∵其顶点坐标为(0，－6)，∴k ＝－6，

∴y ＝－8x 2－6，它是由抛物线y ＝－8x 2向下平移6个单位得到的． 12．已知函数y ＝ax 2＋c 的图象过点(－2，－7)和点(1，2)．

(1)求这个函数的关系式； (2)画这个函数的图象；

(3)求这个函数的图象与x 轴交点的坐标．

【解析】 (1)将两点坐标代入函数的关系式，可得到关于a ，c 的二元一次方程组． (2)列表、描点、连线． (3)求y ＝0时x 的值．

解：(1)∵y ＝ax 2＋c 的图象过(－2，－7)，(1，2)两点，

∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋c ＝－7，a ＋c ＝2.∴⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝－3，c ＝5.∴y ＝－3x 2＋5. x

－2 －11

2 －1 －12 0 12 1 112 2 y ＝－3x 2＋5

－7

－134

2

414

5

414

2

－134

－7

描点、连线：

(3)当y ＝0时，－3x 2＋5＝0， 解得x 1＝

153，x 2＝－153

， 故函数图象与x 轴的交点坐标为⎝⎛

⎭⎫153，0和⎝⎛⎭

⎫

－

153，0. 13．如图22－1－13(a)，有一座抛物线拱桥，当水位在AB 时，水面宽20 m ，这时，拱高(O

点到AB 的距离)为4 m.

图22－1－13

(1)你能求出图22－1－13(a)的坐标系中抛物线的解析式吗？ (2)如果将直角坐标系建在图22－1－13(b)所示位置，抛物线的形状、顶点、解析式相同吗？ 【解析】 观察抛物线的对称轴和顶点位置是解本题的关键．

解：(1)由图象知，抛物线顶点为(0，0)，且抛物线过A (－10，－4)，B (10，－4)，可设y ＝