两个重要极限

两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。

1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。

特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。

2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。

极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。

利用无穷小的性质求极限。

利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

两个重要极限、无穷小的比较两个重要极限极限存在的两个准则：准则1 如果数列{}{}n n y x 、及{}n z 满足下列条件： （1）()...321，，=≤≤n z x y nn n ，（2），，a z a y n n n n ==∞→∞→lim lim 那么数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 。

例 1 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 解：11112222+<++++<+n n nn n nn n而11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n . 所以原式极限为1.例2.设2221212n n a n n n n n n n =+++++++++ ，证明lim n n a →∞存在，并求lim n n a →∞证明：22222121212121n n n n n nn n n n n n n n n ++++++≤+++≤++++++++++而由于(1)122n n n ++++=，所以2212121limlim12n n n n n n nn n →∞→∞++++++==++++例3.()1lim ,(,,nnnnn a b ca b c →∞++非负）解：不妨设()max ,,a b c a =，则()()()111nnnnnnnn nnaa b ca a a≤++≤++()()111lim lim 3lim nnnnnnnn n n aa a a a a→∞→∞→∞===++，所以()1lim nnnnn a b ca →∞++=第一个重要极限：1sin lim=→xx x （()()1sin lim)(=→x x x μμμ）例如，32323sin3lim 23sin2lim =⋅=∞→∞→n nn nnn .例（1）0tan limx x x→；（2）tan lim x arc xx→；（3）xx x 3sin 2tan lim 0→；（4）ππ-→x x x sin lim ； （5）xx x sin arctan lim 0→；（6）2cos 1limxxx -→.准则2 单调有界数列必有极限. 例1.11112,(),1,2,2n n na a a n a +==+=证明：lim n n a →∞存在，并求此极限值.证明：显然0n a >，所以()111()1,1,2,2n n na a n a +=+≥= ，所以{}n a 有界.()111()0,1,2,2n n n na a a n a +-=-≤= ，所以1n n a a +≤，所以{}n a 单调减少有下界.所以lim n n a →∞存在.设lim n n a a →∞=，则11()2a a a=+，所以1a =例2.设2101,2n n n n x x x x +<<=-,证明: 数列{}n x 极限存在，并求极限证明:121n n nx x x +=->,所以{}n x 单调递增,又222121121(1)1n n n n n n x x x x x x +=-=-+-=--≤,所以{}n x 单调递增有上界.所以{}n x 极限存在,设lim n n x a →∞=,则22,a a a =-所以, 1a =或0a =(舍去).第二个重要极限：e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ； ()e x xx =+→11lim ；e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim推广：()()e x x x =+→)(1)(1limμμμ注：该重要极限解决的对象是∞1型未定式. 例()()[]2211112111lim 2lim e x x x x x x =⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=++-→+-→例：（1）()xx x +→1ln lim；（2）()ln 1ln lim x x x x →+∞+-⎡⎤⎣⎦；（3）01lim x x e x →-；（4）321lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ；（5）()xx x 2cotcos lim →； （6）()xxx ex 20lim +→；（7）1111lim lim 1(1)(1)nnn n n k e n n n -→∞→∞=⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∑无穷小的比较当在给定的趋势下，变量α、β都是无穷小量，那么，它们谁趋近于零的速度更快呢，我们给出如下定义：如果0lim =αβ，就说β是比α高阶的无穷小，记作()αβ0=； 如果∞=αβlim ，就说β是比α低阶的无穷小； 如果0lim ≠=c αβ，就说β是和α同阶无穷小；如果00lim >≠=k c k，αβ，就说β是关于α的k 阶无穷小； 如果1lim=αβ，就说β与α是等价无穷小，记作βα~.注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。

两个重要极限-重要极限
1、无穷小
如果f(x)在x→x0时的极限为0，则称f(x)为x→x0时的无穷小。

在x趋于x0的同一变化过程中，f(x)有极限的充要条件为f(x)=A+α（α为无穷小）。

2、无穷大
如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大，反之亦然。

3、极限运算法则
（1）有限个无穷小的和（或乘积）也是无穷小。

（2）有界函数和无穷小的乘积是无穷小。

（3）两个函数的和（或乘积）的极限等于两个函数的极限的和（或乘积），当然，比值也如此，只是需要额外要求分母上的极限不能为0。

（3‘）函数的n次幂的极限等于函数的极限的n次幂（n为正整数）。

（4）如果函数A(x)≥B(x)，则A的极限也大于等于B的极限。

4、极限存在准则
（1）设数列X处于两个数列之间，即Yn≤Xn≤Zn，如果数列Y和Z 都有极限为a，则X也有极限为a。

（1’）设函数f(x)，在x0的某去心邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)，如果g和h都有极限为A，则f(x)也有极限为A。

上述两条准则统称为夹逼准则。

（2）单调有界数列必有极限。

（3）柯西极限存在准则。