探索规律——植树问题
教学内容：青岛版小学数学四年级上
教学目标：
1.通过动手摆、动手画等数学活动探究新知，发现植树问题中间隔数与植树棵数之间的规律，并能利用规律解决简单的植树问题。
2.经历从实际问题中抽象出植树问题模型的过程，初步感知数形结合、一一对应、转化等数学思想。
3.体会数学与生活的密切联系，锻炼数学思维能力，体验数学思想方法在解决问题上的应用，密切数学与生活的联系，进一步激发学习和探索的兴趣。
教学重难点：
教学重点：发现植树问题中间隔数与植树棵数之间的规律，并能利用规律解决简单的植树问题。
教学难点：灵活应用植树问题的规律解决生活中的实际问题。
教具、学具：
教师准备：多媒体课件、画有20厘米线段长的纸条
学生准备：小棒、彩笔、尺子
教学过程：
一、创设情境，提出问题
课前认知间隔：由一列两个同学开始，两个同学之间有一个空，三个同学之间有两个空，在数学上这样的空叫做“间隔”（板书间隔）接着问这一列同学站起来会有多少个间隔？如果我们实小学生站成一列有2000个间隔，那么你知道我们学校有多少学生吗？
看来学生数和间隔数之间还有关系，今天我们就一起来研究与间隔有关的问题——植树问题。
提到植树你想到了什么？（生随意说）
谈话：同学们，实验小学为了美化校园也要植树！我们一起去看看吧！（多媒体出示情境图）
仔细观察情境图，你得到了哪些数
学信息？
学生可能发现：①小路长20米。
②每隔5米栽一棵树。
……
这么多数学问题，你有不理解的吗？
强调“每个五米栽一棵”是什么意思？
师追问：根据发现的信息，你能提出什么数学问题？
学生可能提出：可以栽多少棵树？
二、自主学习，小组探究
师谈话：可以栽多少棵树呢？请同学们根据探究提示，利用手中的学具以小组为单位共同研究吧！
探究提示：
①利用学具想办法研究可以栽几棵树？
②植树的棵数和间隔数有怎样的关系？试着写一写。
③算一算，列式并计算出植树的棵数。
教师巡视，并参与小组讨论，了解学生不同的设计方案，提出具有引导性的建议。
三、汇报交流，评价质疑
1、全班交流，展示成果
谈话：同学们经过积极动手、动脑，共同合作，相信你们一定有了很多收获，大家愿意把自己小组研究的成果与别人分享吗？
利用实物投影展示学生的作品，并让学生把自己的想法进行详细讲解，老师引导其他学生认真倾听，有疑议的地方，提出质疑。
预设：方法①：两端都栽
每隔5米栽一棵，20米的小路共分成了4
个间隔，两端各栽一棵（如右图），共栽5棵。
结论：两端都栽，棵数比间隔数多1。
方法②：只栽一端
每隔5米栽一棵，20米的小路共分成了4
个间隔，只栽一端（如右图），共栽4棵。
结论：只栽一端，棵数等于间隔数。
方法③：两端都不栽
每隔5米栽一棵，20米的小路共分成了4个间隔，两端都不栽（如右图），共栽3棵。
结论：两端都不栽，棵树比间隔数少1。
2、比较方案，探寻规律
刚才，各小组利用画图或摆小棒的方法设计了不同的植树方法，仔细观察，这三种方法的相同点是什么？不同点是什么？
引导学生交流：
相同点：路的总长度一样，都是20米；间隔的长度一样，都是5米；间隔数也一样，都是4个。
不同点：植树的方法不同，植树的棵数也不同。
追问：你们有什么新的发现？
小结：不同的植树方法，即使间隔数相同，植树的棵数也不相同。
质疑：那么，间隔数与总长、间隔长度、植树棵数之间到底有着怎样的关系呢？你能试着用一个式子表示出来吗？
学生交流：
两端都栽：植树棵数＝总距离÷间隔长度＋1 植树棵数＝间隔数＋1
只栽一端：植树棵数＝总距离÷间隔长度=间隔数
两端都不栽：植树棵数＝总距离÷间隔长度-1 植树棵数＝间隔数-1
四、抽象概括，总结提升
同学们，刚才我们利用画图、摆小棒等方法研究了不同情况的栽树方法，这就是我们平时所说的植树问题。
通过探究，发现了：
在直路上栽树，植树的棵数：
●两端都栽，植树棵数＝间隔数＋1。
●只栽一端，植树棵数=间隔数。
●两端都不栽，植树棵数＝间隔数-1。
在解决生活中的实际问题时，要根据实际情况具体分析。
五、巩固应用，拓展提高
师谈话：同学们，刚才我们研究了植树问题的有关知识，下面就用这些知识解决日常生活中的实际问题吧！
1、1、一条走廊长32米，在一边每隔4米放一盆花，两端都要放，一共需要放多少盆花？（先画出示意图，再列式解答）
2、锯木头
把一根木头锯成3段需要6元钱加工费，照这样计算，把一根木头锯成7段，需要加工费多少元？
温馨提示：
⑴想一想，把一根木头锯成3段需要锯几次？锯
一次需要多少元？
⑵议一议，若将这根木头锯成7段，需要锯几次？
⑶算一算，若锯成7段，需要加工费多少元？
学生独立解答，订正时让学生说一说思考的方法。
引导学生明白这是植树中两端不栽的情况，锯的次数=段数-1
3、为了保护一棵古树，园林处要为它做一个30米长的圆形防护栏。
如果每隔两米打一个桩，一共需要打多少个桩？
探究提示：
（1）画出示意图。
（2）把你画的圆形示意图在一个木桩处截开，画成直线认真观察一下！
（3）“木桩个数”相当于什么？
4、全课总结：
这节课我们一起研究了植树棵数和间隔数之间的关系，回想一下，我们是怎样研究植树问题的？你又有了哪些新的收获？（引导学生畅所欲言。
）板书设计：
植树问题
使用说明：
1、教学反思：回味课堂，我感觉亮点之处有：
⑴从游戏入手激发学习兴趣。
课前通过游戏引入教学，能够较好的调动学生的学习积极性，并且在活动中，潜移默化的渗透了植树问题，使学生养成善于观察、敢于思考的良好习惯。
⑵在实践活动中自主探索知识。
教学过程中，学生经历观察、猜想、探究、交流，从中发现规律，让学生通过亲身经历知识再建构的过程，从而建立数学模型。
在探究植树棵数和间隔数的规律时通过让学生画图、摆小棒、举例归纳，明白画图是解决问题的重要方法，提高了学生解决问题的能力。
⑶联系生活实际体现应用价值。
练习题的素材选取来源于生活，从现实生活中的衣服的纽扣、路灯的安装、锯木头等学生熟悉的素材，来巩固理解植树问题，让学生体会到数学知识的学习来源于生活并能解决生活中的实际问题，从而感受数学和生活紧密相关。
2、使用建议。
教学中，让学生多动手画一画、摆一摆，把植树问题的解题规律揭示出来。
练习题的素材应选取学生身边的实际问题，引起学生探究的兴趣，增强学生的应用意识。
3、需破解的问题。
在探究植树问题时，是否有必要渗透在封闭图形周边植树规律？
3、运用规律，拓展变式
师谈话：刚才我们研究在直路上栽树，那么，在圆周上或方形四周上栽树，又有怎样的规律呢？
多媒体出示图片：
（学生思考）
仔细观察上图，植树的棵数和间隔数有什么关系呢? 用自己喜欢的方法探究，看看你们又有什么新的发现？
引导学生交流：
学生发现：在圆周上或方形四周上栽树，植树的棵数和间隔数相等。
师追问：为什么会这样呢？
教师课件演示，帮助学生理解。
引导学生交流：
若把圆或方形沿一棵树展开，相当于在直路上只栽一端的情况，所以植树的棵数和间隔数相等。
《植树问题》学情分析
由于学生初次接触“植树问题”，这部分的学习内容学生一定会很感兴趣，学习的热情也会比较高涨，但根据以往的教学经验，这部分内容对于学生来说是不容易理解和掌握的。
学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力，因此为了让学生能更好地理解本单元的教学内容，在教学过程中点
对教材进行适当的整合，并充分利用学生原有的知识和生活经验，来组织学生开展各个环节的教学活动。
小学五年级学生的思维仍以形象思维为主，但抽象思维能力也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的能力。
这部分内容放在这个学段，说明这个内容本身具有很高的数学思维和很强的探究空间，既需要教师的有效引导，也需要学生的自主探究。
《植树问题》效果分析
《植树问题》是青岛版义务教育教科书四年级数学上册智慧广场的内容。
这一内容主要涉及到的知识点有：两头植、两头都不植、封闭情况下的植树问题（一头植和一头不植）这三种情况。
怎样才能让学生即能学会，还要学的轻松呢，我反复研读教材，发现教材将植树问题分为几个层次：两端都栽、两端不栽、环形情况以及方阵问题等。
其侧重点是：在解决植树问题的过程中，向学生渗透一种在数学学习上、研究问题上都很重要的数学思想方法——化归思想.模型思想，同时使学生感悟到应用数学模型解题所带来的便利。
我这节课重点教学两端都栽的植树问题，主要目标是向学生渗透复杂问题从简单入手，奇妙运用数形结合的思想，使学生有更多的机会从周围的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，体验到数学的魅力。
一、通过自主探索的活动，渗透“以小见大”的数学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。
整节课设计基于我班学生实际情况，课前创设情境让学生欣赏美丽的风景，同时引导学生明确要学习的内容，紧接着引出例题，探讨植树问题，不规定间距，同时改小数据，将长度改成20米。
目的在于，让学生在开放的情景中，突现知识的起点，从而用一一对应的思想方法让学生理解多1少1的原因，建立起深刻、整体的表象，提炼出植树问题解题的方法。
可引导通过“以小见大”数形结合来找规律加以验证，让学生通过观察、猜测、实验、推理与交流等活动。
然后以例题展开，让学生动脑、动手反复验证，最终总结出：段数+1=棵数。
这节课的设计依据了认知规律：通过例题感知间隔，以例题为载体突破教学重点难点，以生活中植树问题的应用为探讨对象，了解植树问题实质，多角度应用拓展。
从而不失时机给学生渗透常用的数学思想方法，为将来的后续学习积累更丰富实用的思想经验。
二、关注植树问题模型的拓展和应用，反映数学与生活的密切联系。
“植树问题”通常是指沿着一定的路线，这条路线的总长度被“树”平均分成若干间隔，由于路线不同、植树要求不同，路线被分成的间隔数和植树棵数之间的关系就不同。
现时生
活中类似的问题还有很多，如安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵、锯木头、走楼梯，等等。
让学生从中悟出植树问题的模型它源于现实，又高于生活。
所以，在现实中有着广泛的应用价值。
在学生已经自主地寻找到植树中前两种的规律后，我适时的提出在我们的生活中有没有类似植树的情况呢？通过学生的举例，让他们进一步体会，现实生活中的许多不同事件都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决它，感悟数学建模的重要意义。
我并没有就此罢手，而是让学生找找生活中的类似现象，如栽电线杆，排座位，安路灯，插彩旗等等，在学生从具体生活中抽象出数学现象后，又再一次让学生运用规律解决形式各异的生活问题，使数学知识运用于生活，学生深深地体会到数学的价值与魅力。
整节课，大多数学生的思维表现的很活跃。
三、渗透数形结合的思想,培养学生借助图形解决问题的意识。
植树问题的思维有一定的复杂性，学生刚接触这个内容，很有难度。
所以，我让学生根据示意图用算式来表示出植树的棵数，学生在列式计算的过程中，通过直观的观察初步感知三种情况：两端都栽“棵树=间隔数+1”，只栽一端“棵树=间隔数”，两端都不栽“棵树=间隔数-1”。
之后，再引导学生用“一一对应”的思想，举起左手，看指头有五个，间隔就是四个，明白植树问题的道理与此相似，再举起右手比划比划，分析植树问题三种不同的情况，即“两端都栽”“只栽一端”与“两端都不栽”，从而真正理解这三种情况下，棵数与间隔数的关系。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；初步理解间隔数与植树棵数之间的规律时，我采用数形结合的方法——画图解决问题，从而逐步提高学生解决问题的能力。
由于使用了数形结合的方法，植树中棵树和间隔数之间的关系便迎刃而解，且容易理解。
数学的思想方法是数学的灵魂。
本册安排“植树问题”的目的之一就是向学生渗透复杂问题从简单入手的思想，“复杂问题简单化”的解题过程。
再次，联系生活拓展思维。
有意义的学习是学生在具体情景中体验自主建构，体验和建构是学生学习的关键。
体验是建构的基础，没有体验，建构就没有意义。
体验是学生从旧知向隐含的新知迁移的过程。
设计中，虽然创设了情景，但一次的体验不能达到继续建构学习的水平。
所以，这节课我多次向学生提供体验的机会，而且创设能够激发学生共鸣的情境。
从自身、教室、做操、楼房等身边熟悉的事物，引发学习兴趣，产生共鸣，激发探究欲望。
《植树问题》教材分析
“植物问题”是青岛版四年级上册智慧广场的内容，主要探讨的是关于在一条线段植树的问题，只栽一端、只栽中间、两端都栽等。
教材以学生比较熟悉的植树活动为线索，让学生选用自己喜欢的方法来探究栽树的棵数和间隔数之间的关系，经历猜想、试验、推理等探索过程，并启发学生透过现象发现其中的规律，再利用规律回归生活，解决生活实际问题。
数学的思想方法是数学的灵魂，本册安排“植树问题”的目的就是向学生渗透复杂问题从简单人手的思想。
教学目标；1.利用学生熟悉的生活素材、通过动手操作等实践活动，让学生感悟间隔数与棵数之间的关系。
2.让学生自主探索、讨论、交流，使学生发现并理解植树问题（两端要栽）的解题规律，并利用规律解决一些实际问题。
教学重点：能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去。
教学难点：理解间隔数与棵数之间的规律（总长÷间距=间隔数+1=植树棵数），并能运用规律解决问题。
1、1、一条走廊长32米，在一边每隔4米放一盆花，两端都要放，一共需要放多少盆花？（先画出示意图，再列式解答）
2、锯木头
把一根木头锯成3段需要6元钱加工费，照这样计算，把一根木头锯成7段，需要加工费多少元？
温馨提示：
⑴想一想，把一根木头锯成3段需要锯几次？锯
一次需要多少元？
⑵议一议，若将这根木头锯成7段，需要锯几次？
⑶算一算，若锯成7段，需要加工费多少元？
学生独立解答，订正时让学生说一说思考的方法。
引导学生明白这是植树中两端不栽的情况，锯的次数=段数-1
3、为了保护一棵古树，园林处要为它做一个30米长的圆形防护栏。
如果每隔两米打一个桩，一共需要打多少个桩？
《植树问题》教学反思
这节课的教学内容是：数学广角第一课时两端都栽的植树问题。
主要目标是向学生渗透复杂问题从简单入手的思想，使学生有更多的机会从周围的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，体验到数学的魅力。
反思本节课，我主要注意了以下几点：
一、从学生生活实际出发，灵活安排教学活动。
整节课根据学生的实际情况，合理安排学习内容。
谜语导入，激发学生兴趣。
图片展示间隔，给学生充分的视觉冲击，让学生理解生活中还有许多类似于植树问题这样的现象，充分感受到数学问题来源于生活。
在讲解间隔时，用手和学生演示的方式，体现出一种一一对应的思想方法，让学生观察6名同学5个间隔，并思考原因：一名同学一个间隔，一名同学一个间隔……一直到最后一名同学，同学比间隔数多一，真正让学生理解多1少1的原因，建立起整体的表象，提炼出植树问题解题的方法。
二、注重实践、体验探究。
教学中，我创设了情境，向学生提供多次体验的机会，首先激励学生自己动手实践，用自己喜欢的方式展示植树棵数和间隔数之间的关系。
各个小组展示方式各异：①用毛线代表小路，组内学生依线站立代表树木，展示真人秀，学生印象深刻。
②在泡沫板上插模型，③用学具小棒摆一摆，④用剪好的彩色小树摆一摆，⑤画实物图，⑥画线段图。
在展示中，学生极其热情，发现了内在的规律，植树的棵数要比间隔数多1，这样展示了分析、思考、解决问题的全过程，整个思路就出来了，学生经历了这个过程后，很容易的就学会了解决问题的方法和策略。
三、渗透思想，注重应用。
在授课中，渗透复杂问题简单化的思想，改小数据，将例题中的100米植树改成20米植树，通过简单的问题去发现规律，寻找规律，有利于学生的思考。
然后再以例题展开，让学生动脑、动手反复验证，最终总结出：棵数=间隔数+1。
在经历了从简单事例入手之后，各部分名称的实际意义已经得到了强化，植树问题（两头都种）的一般解法也已经得到了归纳。
然后再以例题为载体突破教学重点难点，以生活中植树问题的应用为探讨对象，了解植树问题实质，多角应用拓展植树问题的认识。
整节课条理清晰、层次分明、浅显易懂，始终围绕重点内容进行难点的突破。
四、进行练习，巩固提升。
在练习的设计上尽量贴近重点，大量应用生活中的实例，让学生将所学知识应用到解决实际问题当中去，起到一个很好的巩固作用。
在设计时注重梯度，遵循认知发展规律，指出"间隔”是解决一切植树问题的基础与起点。
只有在理解间隔数的基础上来研究棵数，学起来才更容易。
反思不足之处：。
