2015-2016学年上学期八年级数学期中试题

2015-2016学年上海市黄浦区八年级（上）期中数学试卷一、选择题1．下列二次根式中，最简二次根式是( )A．B．C．D．2．的一个有理化因式是( )A．B．C．+D．﹣3．下列方程是一元二次方程的是( )A．ax2﹣2x+=0（a是已知数）B．3x2+2x﹣4=3x2C．5x2﹣2x=0 D．=14．下列二次根式中与是同类二次根式的是( )A． B． C． D．5．下列语句中哪个是命题( )A．联结A、B两点B．等角的余角相等吗？C．对顶角相等D．代数式（a≥0）叫二次根式6．如图，已知AB=AC，AD=BD=BC，那么下列结论中，错误的是( )A．∠BAC=36°B．BD平分∠ABCC．若取BC边上的中点M，联结AM交BD于N，那么∠MNB=54°D．点N是BD的中点二、填空题（每小题2分，共24分）7．计算：﹣=__________．8．如果有意义，那么a的取值范围是__________．9．化简：（b＞0）=__________．10．某种商品原价100元，经过两次降价后，该种商品的利润减少了36元，那么该商品平均每次降价的百分比是__________．11．将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为__________．12．若x=﹣1是方程x2﹣mx﹣3=0的一个根，则m的值为__________．13．在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣3=__________．14．若|b﹣1|与互为相反数，则（a+b）2015=__________．15．如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为__________．16．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为__________度．17．如图，AB⊥AC，AB=AC=cm，D为AC中点，CF∥AB，AF⊥BD，垂足为E．则CF=__________cm．18．已知等腰△ABC，AB=AC，∠C=30°，如果将△ABC绕着点B旋转，使点C正好落在直线AB上的点C′处，那么∠BC′C=__________度．三、简答题（每小题7分，共56分）19．计算：．20．解方程：（x+3）（x﹣1）﹣5=0．21．解方程：y﹣=﹣．22．用配方法解方程：2x2﹣4x+1=0．23．化简求值：当x=3，y=4时，求代数式+的值．24．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1=0（m为常数）有两个实数根，求m的取值范围．25．如图，要建一个面积为150㎡的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为18m，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为35m，且要求用完．问：（1）求鸡场的长和宽各为多少米？（2）若将题中条件“墙长为18米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙9m开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？26．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且AB=CG，AC=BF．（1）求证：△ABF≌△GCA；（2）求证：AG⊥AF．四、解答题27．如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？2015-2016学年上海市黄浦区八年级（上）期中数学试卷一、选择题1．下列二次根式中，最简二次根式是( )A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【专题】计算题；二次根式．【分析】利用最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式，正确；B、=2，错误；C、=|a|b2，错误；D、=，错误，故选A【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．2．的一个有理化因式是( )A．B．C．+D．﹣【考点】分母有理化．【专题】计算题；二次根式．【分析】找出原式的一个有理化因式即可．【解答】解：的一个有理化因式是，故选B【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键．3．下列方程是一元二次方程的是( )A．ax2﹣2x+=0（a是已知数）B．3x2+2x﹣4=3x2C．5x2﹣2x=0 D．=1【考点】一元二次方程的定义．【专题】计算题；一元二次方程及应用．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：5x2﹣2x=0是一元二次方程，故选C【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．4．下列二次根式中与是同类二次根式的是( )A． B． C． D．【考点】同类二次根式．【专题】计算题．【分析】根据化简成最简二次根式，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，可得答案．【解答】解：，A、，故A不正确；B、被开方数不同，故B不正确；C、，故C正确；D、，故D不正确；故选：C．【点评】本题考查了同类二次根式，先化成最简二次根式，再比较被开方数．5．下列语句中哪个是命题( )A．联结A、B两点B．等角的余角相等吗？C．对顶角相等D．代数式（a≥0）叫二次根式【考点】命题与定理．【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题的定义进行判断．【解答】解：A、不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；B、不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；C、是，因为能够判断真假，故本选项正确；D、代数式（a≥0）叫二次根式，是定义，不是命题，故本选项错误．故选C．【点评】本题主要考查了命题的定义：判断一件事情的语句是命题，一般有“是”，“不是”等判断词，比较简单．6．如图，已知AB=AC，AD=BD=BC，那么下列结论中，错误的是( )A．∠BAC=36°B．BD平分∠ABCC．若取BC边上的中点M，联结AM交BD于N，那么∠MNB=54°D．点N是BD的中点【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=∠BDC，∠BAC=∠ABD，由三角形的外角的性质得到∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，推出∠ABC=∠C=2∠BAC，根据三角形的内角和列方程即可得到∠BAC=36°，故A正确；由∠ABD=∠BAC=36°，∠ABC==72°，即可得到BD平分∠ABC，故B正确；根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到∠BNM=54°，故C正确；根据三角形的中位线的性质即可判断D错误，【解答】解：∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠BAC=∠ABD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∴∠BAC+∠ACB+∠ABC=∠BAC+2∠BAC+2∠BAC=180°，∴∠BAC=36°，故A正确；∴∠ABD=∠BAC=36°，∠ABC==72°，∴∠ABC=2∠ABD，∴BD平分∠ABC，故B正确；∵AB=AC，BM=CM，∴AM⊥BC，∴∠AMB=90°，∵∠DBC=36°，∴∠BNM=54°，故C正确；∵AM不平行于AC，BM=CM，∴BN≠DN，∴D错误，故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．二、填空题（每小题2分，共24分）7．计算：﹣=．【考点】二次根式的加减法．【专题】计算题；二次根式．【分析】原式各项化简后，合并即可得到结果．【解答】解：原式=4﹣3=，故答案为：【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．如果有意义，那么a的取值范围是a≥．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，2a﹣1≥0，解得，a≥，故答案为：a≥．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．9．化简：（b＞0）=．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题；二次根式．【分析】原式利用二次根式性质化简即可得到结果．【解答】解：原式=，故答案为：【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．某种商品原价100元，经过两次降价后，该种商品的利润减少了36元，那么该商品平均每次降价的百分比是20%．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设每次降价的百分比为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x﹣1）（x﹣1），从而列出方程，求出答案．【解答】解：设每次降价的百分比为x，根据题意得：100（x﹣1）2=100﹣36，解得：x1=1.8，x2=0.2．因x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.1．答：该商品平均每次降价的百分比是20%．故答案为：20%．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．11．将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【考点】命题与定理．【分析】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．【解答】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键．12．若x=﹣1是方程x2﹣mx﹣3=0的一个根，则m的值为2．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=﹣1代入已知方程可以得到关于m的一元一次方程，通过解一元一次方程来求m的值．【解答】解：把x=﹣1代入方程x2﹣mx﹣3=0，得（﹣1）2﹣（﹣1）•m﹣3=0，解得m=2．故答案是：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．13．在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣3=（x﹣2+）（x﹣2﹣）．【考点】实数范围内分解因式．【专题】计算题．【分析】令原式值为0列出方程，求出方程的解即可得到分解的结果．【解答】解：令x2﹣4x﹣3=0，解得：x==2±，则原式=（x﹣2+）（x﹣2﹣），故答案为：（x﹣2+）（x﹣2﹣）．【点评】此题考查了实数范围内分解因式，令原式值为0求出x的值是解本题的关键．14．若|b﹣1|与互为相反数，则（a+b）2015=﹣1．【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值，根据乘方的意义计算即可．【解答】解：由题意得，b﹣1=0，a+2=0，解得，a=﹣2，b=1，（a+b）2015=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．15．如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为120°．【考点】等边三角形的性质．【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，进而利用三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，∴BD=DE=EC=AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=120°．故答案为：120°．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质等知识，得出∠B=∠C的度数是解题关键．16．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75度．【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．【点评】考查三角形内角之和等于180°．17．如图，AB⊥AC，AB=AC=cm，D为AC中点，CF∥AB，AF⊥BD，垂足为E．则CF=cm．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】求出∠BAD=∠ACF=90°，根据三角形内角和定理求出∠BAD=∠CAF，根据ASA 推出△ABD≌△CDF，根据全等三角形的性质得出AD=CF即可．【解答】解：∵AB⊥AC，CF∥AB，∴CF⊥AC，∴∠BAD=∠ACF=90°，∵AF⊥BD，∴∠AEB=∠AED=90°，∴∠ABD+∠ADB=∠CAF+∠ADB=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CDF（ASA），∴AD=CF，∵AC=cm，D为AC中点，∴AD=AC=，∴CF=，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能推出△ABD≌△CDF是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等．18．已知等腰△ABC，AB=AC，∠C=30°，如果将△ABC绕着点B旋转，使点C正好落在直线AB上的点C′处，那么∠BC′C=15或75度．【考点】旋转的性质．【分析】分成顺指针和逆时针两种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质：等边对等角以及三角形内角和定理求解．【解答】解：当顺时针旋转时，C落在C'1的位置，∵B'1C=BC，∴∠BC'1C=∠BCC'1，又∵∠ABC=∠BC'1C+∠BCC'1=30°，∴∠BC'1C=15°；当逆时针旋转时，C落在C'2的位置，∵BC'2=BC，则∠BC'2C=∠BCC'2===75°．故答案是：15或75．【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，注意到分两种情况进行讨论是本题的关键．三、简答题（每小题7分，共56分）19．计算：．【考点】二次根式的加减法．【分析】分母有理化的同时，运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式=2（+1）+3﹣2=2+2+3﹣2=2+3．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．20．解方程：（x+3）（x﹣1）﹣5=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：整理得：x2+2x﹣8=0，（x+4）（x﹣2）=0，x+4=0，x﹣2=0，x1=﹣4，x2=2，所以原方程的根是x1=﹣4，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．21．解方程：y﹣=﹣．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先去分母，整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解y﹣=﹣，去分母，得6y﹣3（y2﹣1）=﹣2，整理，得3y2﹣6y﹣5=0，b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×3×（﹣5）=96，y=，y1=，y2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．22．用配方法解方程：2x2﹣4x+1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：原方程化为配方得即开方得∴，．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．23．化简求值：当x=3，y=4时，求代数式+的值．【考点】二次根式的化简求值．【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【解答】解：原式=+=+3++=2+4，当x=3，y=4时，原式=2+4=2+8．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．24．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1=0（m为常数）有两个实数根，求m的取值范围．【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程有两个实数根可知，△＞0，列出关于m的不等式，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1=0有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m﹣1）（m+1）=﹣4m+5＞0，又∵（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1=0是一元二次方程，∴（m﹣1）≠0，故m的取值范围是m≤且m≠1．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是要明确：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．25．如图，要建一个面积为150㎡的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为18m，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为35m，且要求用完．问：（1）求鸡场的长和宽各为多少米？（2）若将题中条件“墙长为18米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙9m开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】（1）设鸡场的宽为x米，平行于墙的边长为35﹣2x米，根据面积为150平方米，可列方程求解．（2）如果离墙9米开外准备修路，那么宽就要小于9米，可选定墙长为9米，由此进一步分析得出答案即可．【解答】解：（1）设养鸡场靠墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（35﹣2x）米，由题意得：（35﹣2x）x=150，即（2x﹣15）（x﹣10）=0，解得：x=7.5或x=10，当x=10时，35﹣2x=15＜18，符合实际意义；当x=7.5时，35﹣2x=20＞18，不符合实际意义，舍去．答：养鸡场的长是15米，宽是10米；（2））求出的平行于墙的一条边应小于墙长a；如果a大于等于20，则方程有两个解，如果a小于20，大于等于15，则有一个解，如果a 小于15，则无解．根据离墙9米开外准备修路，那么长不小于20米，即a≥20米，此时养鸡场的长至少为20米，宽为7.5米．【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，利用长方形的面积得出等量关系建立方程解决问题．26．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且AB=CG，AC=BF．（1）求证：△ABF≌△GCA；（2）求证：AG⊥AF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据垂直定义得出∠BDC=∠GEC=90°，根据等角的余角相等求出∠ABF=∠ACG，根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠F=∠GAC，求出∠GAC+∠FAE=90°，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠GEC=90°，∵∠DGB=∠EGC，∴∠ABF=∠ACG（等角的余角相等），在△ABF和△GCA中，，∴△ABF≌△GCA；（2）由（1）△ABF≌△GCA，∴∠F=∠GAC，∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠F+∠FAE=90°，∴∠GAC+∠FAE=90°，∴AG⊥AF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义的应用，能求出△ABF≌△GCA 是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等．四、解答题27．如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】动点型．【分析】（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=5，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；②因为V P≠V Q，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4，根据全等得出CQ=BD=5，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；（2）因为V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【解答】解：（1）①∵t=3（秒），∴BP=CQ=3（厘米）∵AB=10，D为AB中点，∴BD=5（厘米）又∵PC=BC﹣BP=8﹣3=5（厘米）∴PC=BD∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD与△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵∠B=∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ=BD=5．∴点P的运动时间t==4（秒），此时V Q==1.25（厘米/秒）．（2）因为V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得1.25x=x+2×10，解得x=80（秒），此时P运动了80×1=80（厘米），又∵△ABC的周长为28厘米，80=28×2+24，∴点P、Q在AB边上相遇，即经过了80秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．。

第1页（共25页）页）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以斜边AB 为底边向外作等腰三角形P AB ，连接PC . （1）如图，当∠APB ＝90°时，若AC =5，PC ＝62，求BC 的长；的长；（2） 当∠APB ＝90°时，若AB =45，四边形APBC 的面积是36，求△ACB 的周长.PC BA2.已知：如图，B 、C 、E 三点在一条直线上，AB ＝AD ，BC ＝CD.（1）若∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝23，求∠A 的值；的值； （2）若∠BAD ＋∠BCD ＝180°，cos ∠DCE ＝35，求AB BC 的值.EDABC3.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB=∠BCD=90°， （1）若AB =3，BC +CD =5，求四边形ABCD 的面积的面积（2）若p = BC +CD ，四边形ABCD 的面积为S ，试探究S 与p 之间的关系。

之间的关系。

DBA C试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项．其中只有一项符号题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）9的平方根是（的平方根是（ ）A．±3 B．± C．3 D．﹣32．（3分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，，3．（3分）如图，点A（﹣2，1）到y轴的距离为（轴的距离为（ ）A．﹣2 B．1 C．2 D．4．（3分）估计介于（介于（ ）A．5与6之间之间 D．8与9之间之间 B．6与7之间之间 C．7与8之间5．（3分）在函数y=，自变量x的取值范围是（的取值范围是（ ）A．x≥﹣1 B．x＞0且x≠1 C．x≥1 D．x＞16．（3分）下列说法正确的有（分）下列说法正确的有（ ）（1）实数与数轴的点是一一对应的：（2）无限小数都是无理数：（3）正比例函数是特殊的一次函数：（4）=a．A．3个 B．2个 C．1 D．0个7．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．8．（3分）下列函数中，是正比例函数的是（分）下列函数中，是正比例函数的是（ ）A．y= B．y= C．y=2x2+1 D．y=x﹣19．（3分）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在（）在（ ） A．第四象限．第二象限 D．第一象限．第四象限 B．第三象限．第三象限 C．第二象限10．（3分）如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点）边上的高长为（上，则AB边上的高长为（A． B． C． D．二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）在实数、、、0、、﹣1.414中，有理数有中，有理数有 个． 12．（4分）在平面直角坐标系内点P（3，4）关于原点O对称点的坐标对称点的坐标 ，．）到原点的距离是点P（3，4）到原点的距离是13．（4分）﹣27的立方根是的立方根是 ，的算术平方根是的算术平方根是 ． 14．（4分）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A．（结果则小虫爬行的最短路程是点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是保留根号）三、解答题（54分）15．（10分）计算：（1）2；（2）．16．（10分）（1）解方程：（2）解不等式组解集在数轴上表示出来．17．（8分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于y对称轴对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移2个单位，向下平移1个单位作出平移后的△A2B2C2． （3）在x轴上求作一点P，使PB1+P A2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）18．（6分）八年级三班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：（1）测得BD的长度为25米．（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．（3）牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE．19．（10分）已知关于x，y的方程组的解满足不等式x+2y＞1，求满足条件的m的负整数值．20．（10分）如图Rt△ABC，AB=AC=6，D为AC上一点，连接BD，AF⊥BD交BD 于H，交BC于F，CE⊥AC交AF的延长线于E，（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）当D为AC上离A点最近的三等分点时，连接DE，求DE的长；（3）当D为AC上离A点最近的n等分点时，连接BE，求S△BDC ：S△BEC（用含n的代数式表示，直接写出答案）一、填空题（每小题4分，共20分）21．（4分）若y=（m﹣1）x2﹣|m|+m+1是关于x的一次函数，则m= ．22．（4分）已知a，b，c满足1+2a+a2+=0，那么a+2b﹣c= ．23．（4分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是的取值范围是 ． 24．（4分）如图，如图，△△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上中线，边上中线，若若AD=，△ABC 周长为6+2，则△ABC的面积为的面积为．25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），线段OA绕原点O每次按逆时针方向旋转60°，并且每旋转一次长度增加两倍，例如：OA1=3OA，∠A1OA=60°，那么按照此规律，A2的坐标为的坐标为，A100的坐标为的坐标为．二、解答题（共30分）26．（8分）已知a=，b=．求： （1）a2b﹣ab2的值；（2）a 3﹣5a2﹣6a﹣b+2015的值．27．（10分）如图，在长方形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在线段AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN．（1）求证：DN=MB；（2）如果AB=4、BC=3时，求线段MN的长度；（3）在（2）的条件下，求△NEM的面积．28．（12分）如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，连结BD，点A关于BD的对称点恰好落在线段BC边上的点F 处．（1）直接写出点E，F的坐标；（2）在线段CB上是否存在一点P，使△OEP为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．2015-2016学年四川省成都七中育才学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项．其中只有一项符号题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）9的平方根是（的平方根是（ ）A．±3 B．± C．3 D．﹣3【解答】解：9的平方根是：±=±3．故选：A．2．（3分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，，【解答】解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，故错误；B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故错误；C、42+52≠62，不能组成直角三角形，故错误；D、12+（）2=（）2，能够组成直角三角形，故正确．故选：D．3．（3分）如图，点A（﹣2，1）到y轴的距离为（轴的距离为（ ）A．﹣2 B．1 C．2 D．【解答】解：点A的坐标为（﹣2，1），则点A到y轴的距离为2．故选：C．4．（3分）估计介于（介于（ ）A．5与6之间之间 D．8与9之间 之间 B．6与7之间之间 C．7与8之间【解答】解：∵36＜41＜49，∴6＜＜7．故选：B．5．（3分）在函数y=，自变量x的取值范围是（的取值范围是（ ） A．x≥﹣1 B．x＞0且x≠1 C．x≥1 D．x＞1【解答】解：由题意，得x﹣1＞0，解得x＞1，故选：D．6．（3分）下列说法正确的有（分）下列说法正确的有（ ）（1）实数与数轴的点是一一对应的：（2）无限小数都是无理数：（3）正比例函数是特殊的一次函数：（4）=a．A．3个 B．2个 C．1 D．0个【解答】解：（1）实数与数轴的点是一一对应的，故（1）正确： （2）无限不循环小数都是无理数，故（2）错误：（3）正比例函数是特殊的一次函数，故（3）正确：（4）=|a|，故（4）错误；故选：B．7．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D．【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项错误；B、不是最简二次根式，故本选项错误；C、不是最简二次根式，故本选项错误；D、是最简二次根式，故本选项正确；故选：D．8．（3分）下列函数中，是正比例函数的是（分）下列函数中，是正比例函数的是（ ）A．y= B．y= C．y=2x2+1 D．y=x﹣1【解答】解：A、是正比例函数，故此选项正确；B、不是正比例函数，故此选项错误；C、不是正比例函数，故此选项错误；D、不是正比例函数，故此选项错误；故选：A．9．（3分）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在（）在（ ） A．第四象限．第二象限 D．第一象限．第四象限 B．第三象限．第三象限 C．第二象限【解答】解：∵点A（﹣2，n）在x轴上，∴n=0，∴点B的坐标为（﹣1，1）．则点B（n﹣1，n+1）在第二象限．故选：C．10．（3分）如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点）上，则AB边上的高长为（边上的高长为（A． B． C． D．【解答】解：S=22﹣×1×2﹣×1×1﹣×1×2=，且S△ABC=AB•CD， △ABC∵AB==，∴AB•CD=， 则CD==．故选：A ．二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．（4分）在实数、、、0、、﹣1.414中，有理数有中，有理数有 4 个． 【解答】解：因为，所以有理数有，0，，﹣1.414共4个．故答案为：412．（4分）在平面直角坐标系内点P （3，4）关于原点O 对称点的坐标对称点的坐标 （﹣3，﹣4） ，点P （3，4）到原点的距离是）到原点的距离是 5 ．【解答】解：点P （3，4）关于原点O 对称点的坐标对称点的坐标 （﹣3，﹣4），点P （3，4）到原点的距离是到原点的距离是 5， 故答案为：（﹣3，﹣4），5．13．（4分）﹣27的立方根是的立方根是 ﹣3 ，的算术平方根是的算术平方根是 2 ． 【解答】解：﹣27的立方根是﹣3，=4，4的算术平方根是2．故答案为：﹣3；2．14．（4分）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是点，则小虫爬行的最短路程是 2 ．（结果保留根号）【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB=π•=2，CB=2．∴AC===2，故答案为：2．三、解答题（54分）15．（10分）计算：（1）2；（2）．【解答】解：（1）原式=2﹣6+=﹣6；（2）原式==．16．（10分）（1）解方程：（2）解不等式组解集在数轴上表示出来．【解答】解：（1）①+②得：3x=6，解得：x=2，把x=2代入①得：y=3，所以原方程组的解为：；（2）∵解不等式①得：x≥2，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集为2≤x＜4，在数轴上表示为：．17．（8分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于y对称轴对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移2个单位，向下平移1个单位作出平移后的△A2B2C2． （3）在x轴上求作一点P，使PB1+P A2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）如图，点P即为所求，P（2，0）．18．（6分）八年级三班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：（1）测得BD的长度为25米．（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．（3）牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE．【解答】解：在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2=BC2﹣BD2=652﹣252=3600，所以，CD=±60（负值舍去），所以，CE=CD+DE=60+1.6=61.6米，答：风筝的高度CE为61.6米．19．（10分）已知关于x，y的方程组的解满足不等式x+2y＞1，求满足条件的m的负整数值．【解答】解：解关于x，y的方程组，得，把它代入x+2y＞1得，2m+2+2（m+2）＞1，解得m＞﹣，所以满足条件的m的负整数值为﹣1．20．（10分）如图Rt△ABC，AB=AC=6，D为AC上一点，连接BD，AF⊥BD交BD于H，交BC于F，CE⊥AC交AF的延长线于E，（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）当D为AC上离A点最近的三等分点时，连接DE，求DE的长；（3）当D为AC上离A点最近的n等分点时，连接BE，求S△BDC ：S△BEC（用含n的代数式表示，直接写出答案）【解答】解：（1）如图1，Rt△ABC中，∠BAD=90°，AH⊥BD，∴∠1+∠2=∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，又∵CE⊥AC，∴∠ACE=∠BAD=90°，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（ASA）；（2）如图2，∵△ABD≌△CAE，∴CE=AD，∵D为AC上离A点最近的三等分点，AC=6，∴AD=2，CD=4，∴CE=2，∵∠DCE=90°，∴Rt△CDE中，DE===2；（3）如图3，∵△ABD≌△CAE，∴CE=AD，∵D为AC上离A点最近的n等分点，AC=6，∴AD=，CD=6﹣=，∴CE=，∴S△BDC=×CD×AB=××6=，S△BEC=×CE×AC=××6=，∴S△BDC ：S△BEC=：=n﹣1．一、填空题（每小题4分，共20分）21．（4分）若y=（m﹣1）x2﹣|m|+m+1是关于x的一次函数，则m= ﹣1 ． 【解答】解：∵y=（m﹣1）x2﹣|m|+m+1是关于x的一次函数，∴2﹣|m|=1，m﹣1≠0．解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．22．（4分）已知a，b，c满足1+2a+a2+=0，那么a+2b﹣c= 4 ．【解答】解：∵a，b，c满足1+2a+a2+=0，∴（a+1）2+|b﹣2|+=0，则，解得，所以a+2b﹣c=﹣1+4+1=4．故答案是：4．23．（4分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是的取值范围是 a≤1 ． 【解答】解：，解不等式①，得x＞a+1，解不等式②，得x≤2a，∵关于x的不等式组无解，∴a+1≥2a，解得，a≤1，故答案为：a≤1．24．（4分）如图，如图，△△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上中线，边上中线，若若AD=，△ABC4 ．的面积为周长为6+2，则△ABC的面积为【解答】解：设AB长为a，AC长为b，∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上中线且AD=，∴BC=2，∴a2+b2=（2）2=20，又∵△ABC周长为6+2，∴a+b=6+2﹣2=6，∴ab=[（a+b）2﹣（a2+b2）]=[36﹣20]=8．∴△ABC的面积为：ab=×8=4．故答案为：4．25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），线段OA绕原点O每次按逆时针方向旋转60°，并且每旋转一次长度增加两倍，例如：OA1=3OA，（﹣，） ，A100的坐标∠A1OA=60°，那么按照此规律，A2的坐标为的坐标为为 ．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），线段OA绕原点O 每次按逆时针方向旋转60°，每旋转一次长度增加两倍，∴，．∵线段OA绕原点O每次按逆时针方向旋转60°，∴点A2在第二象限．∴A2的坐标为：（）．即A2的坐标为：．∵线段OA绕原点O每次按逆时针方向旋转60°，∴OA旋转6次正好转一圈．∵100÷6=16…4，∴第100次，点A100在第三象限．∴A100的坐标为：．故答案为：，．二、解答题（共30分）26．（8分）已知a=，b=．求：（1）a2b﹣ab 2的值；（2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015的值．【解答】解：（1）∵a==3+2，b==3﹣2，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=（3+2）（3﹣2）（3+2﹣3+2）=1×4=4．（2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015=a（a2﹣5a﹣6）﹣b+2015=（3+2）（9+8+12﹣15﹣10﹣6）﹣（3﹣2）+2015=（3+2）（2﹣4）﹣（3﹣2）+2015=6﹣12+8﹣8﹣3+2+2015=2008．27．（10分）如图，在长方形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在线段AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN．（1）求证：DN=MB；（2）如果AB=4、BC=3时，求线段MN的长度；（3）在（2）的条件下，求△NEM的面积．【解答】（1）证明：如图1，由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠DAN=∠BCM，在Rt△ADN和Rt△CBM中，，∴△ADN≌△CBM（ASA），∴DN=BM；（2）如图2中，作NH⊥AB于H．在Rt△ADC中，∵∠D=90°，AD=BC=3，CD=AB=4，∴AC===5，由折叠的性质得出可知，AD=AF=3，DN=NF，设DN=NF=x，则CN=4﹣x，CF=2， 在Rt△NFC中，∵CN2=CF2+NF2，∴（4﹣x）2=x2+22，∴x=，∴DN=NF=，∵∠D=∠DAH=∠AHN=90°，∴四边形ADNH是矩形，∴NH=AD=3，AH=DN=，HM=AM﹣AH=4﹣﹣=1，在Rt△MNH中，MN===．（3）如图3中，连接EN，FM．∵NF⊥AC，EM⊥AC，DN=NF=BM=EM，∴NF∥EM，NF=EM，∴四边形MENF是平行四边形，∴S=S平行四边形MENF=S△EFN=•EF•NF=×（6﹣5）×=．△MNE28．（12分）如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，连结BD，点A关于BD的对称点恰好落在线段BC边上的点F 处．（1）直接写出点E，F的坐标；（2）在线段CB上是否存在一点P，使△OEP为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OC=2，四边形OABC是矩形，∴AB=OC=2，∵点E是AB的中点，∴AE=1，∵AO=3，∴E（3，1），根据折叠可得DA=DF，∴DF=CO=2，∴AD=2，∴DO=3﹣2=1，∴F（1，2），（2）存在，理由：由（1）知，E（3，1），O（0，0）设P（a，2）（0≤a≤3），∴PE=，PO=，EO=，∵△OEP为等腰三角形，∴①当PE=PO时，∴=，∴a=1，∴P（1，2）；②当PE=EO时，∴=，∴a=0或a=6（舍），∴P（0，2），③当PO=EO时，∴=，∴a=或a=﹣（舍），∴P（，2），即：满足条件的点P的坐标为（1，2）或（0，2）或（，2）． （3）如图2，作点E关于x轴的对称点Eʹ，作点F关于y轴的对称点Fʹ，连接EʹFʹ，分别与x轴、y轴交于点M、N，连接FN、NM、ME，此时四边形MNFE的周长最小．∴Eʹ（3，﹣1），Fʹ（﹣1，2），设直线EʹFʹ的解析式为y=kx+b，有，解这个方程组，得，∴直线EʹFʹ的解析式为y=﹣x+．当y=0时，x=，∴M点的坐标为（，0）．当x=0时，y=，∴N点的坐标为（0，）．∵E与Eʹ关于x轴对称，F与Fʹ关于y轴对称， ∴NF=NFʹ，ME=MEʹ．FʹB=4，EʹB=3．在Rt△BEʹFʹ中，F'E'==5．∴FN+NM+ME=FʹN+NM+MEʹ=FʹEʹ=5．在Rt△BEF中，EF==．∴FN+NM+ME+EF=F'E'+EF=5+，即四边形MNFE的周长最小值是5+．。

某某省某某市丰润区2015-2016学年八年级数学上学期期中试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填在括号内）1．下列图形是轴对称图形的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个2．在△ABC中，若∠B=∠C=2∠A，则∠A的度数为( )A．72° B．45° C．36° D．30°3．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中互余的角有( )A．2对B．3对C．4对D．5对4．如图，已知△ABC≌△BAD，∠ABC=35°，∠BAC=105°，那么∠CAD的度数是( )A．60° B．65° C．70° D．105°5．已知点M（a，3），点N（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2015=( )A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．36．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为( )A．11 B．16 C．17 D．16或177．能将三角形面积平分成相等两部分的是三角形的( )A．角平分线 B．高C．中线 D．外角平分线8．如图，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCBC．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠A=∠D9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )A．10 B．7 C．5 D．410．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC．若∠1=70°，则∠BAC的大小为( )A．30° B．40° C．50° D．70°11．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( )A．60° B．65° C．55° D．50°12．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( )A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）13．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是__________．14．若正多边形的一个外角为30°，则这个多边形为正__________边形．15．如图，AB∥CD，∠A=56°，∠C=27°，则∠E的度数为__________．16．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=__________．17．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是__________．18．如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=__________°．19．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=__________度．20．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是__________．三、解答题（本大题共7个小题，共52分）21．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；（3）求△ABC的面积．23．如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．24．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．25．如图在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．26．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，过D作DE⊥AB交AC于点E，CE=DE．连接CD交BE于点F．（1）求证：BC=BD；（2）若点D为AB的中点，求∠AED的度数．27．已知，如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上．（1）求证：AD=BE；（2）如图，将图①中的△EDC沿BC所在直线翻折（如图②所示），其它条件不变，（1）中结论是否还成立？请说明理由．2015-2016学年某某省某某市丰润区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填在括号内）1．下列图形是轴对称图形的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：第1、3、5个图形是轴对称图形，共3个．故选B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．在△ABC中，若∠B=∠C=2∠A，则∠A的度数为( )A．72° B．45° C．36° D．30°【考点】三角形内角和定理．【分析】设∠A=x，则∠B=∠C=2x，再由三角形内角和定理求出x的值即可．【解答】解：设∠A=x，则∠B=∠C=2x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°，解得x=36°．故选C．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中互余的角有( )A．2对B．3对C．4对D．5对【考点】直角三角形的性质．【分析】此题直接利用直角三角形两锐角之和等于90°的性质即可顺利解决．【解答】解：∵∠BAC=90°∴∠B+∠C=90°①；∠BAD+∠CAD=90°②；又∵AD⊥BC，∴∠BDA=∠CDA=90°，∴∠B+∠BAD=90°③；∠C+∠CAD=90°④．故共4对．故选C．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，根据互余定义，找到和为90°的两个角即可．4．如图，已知△ABC≌△BAD，∠ABC=35°，∠BAC=105°，那么∠CAD的度数是( )A．60° B．65° C．70° D．105°【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质求出∠DAB=∠ABC=35°，代入∠CAD=∠BAC﹣∠DAB求出即可．【解答】解：∵△ABC≌△BAD，∠ABC=35°，∠BAC=105°，∴∠DAB=∠ABC=35°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠DAB=105°﹣35°=70°，故选C．【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等．5．已知点M（a，3），点N（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2015=( )A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．【解答】解：由点M（a，3），点N（2，b）关于x轴对称，得a=2，b=﹣3．（a+b）2015=（﹣1）2015=﹣1，故选：B．【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．6．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为( )A．11 B．16 C．17 D．16或17【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17；②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16．综上所述，三角形的周长为16或17．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．7．能将三角形面积平分成相等两部分的是三角形的( )A．角平分线 B．高C．中线 D．外角平分线【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．【分析】根据三角形的面积公式，只要两个三角形具有等底等高，则两个三角形的面积相等．根据三角形的中线的概念，故能将三角形面积平分的是三角形的中线．【解答】解：根据等底等高可得，能将三角形面积平分成相等两部分的是三角形的中线．故选C．【点评】此题考查了三角形的中线和三角形的面积，关键是明确等底同高的两个三角形的面积一定相等．8．如图，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCBC．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠A=∠D【考点】全等三角形的判定．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容逐个判断即可．【解答】解：A、AB=DC，AC=DB，BC=BC，符合全等三角形的判定定理“SSS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合全等三角形的判定定理“SAS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴AB=DC，∠ABO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠DCB，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、具备条件AB=DC，BC=BC，∠∠A=∠D不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )A．10 B．7 C．5 D．4【考点】角平分线的性质．【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC•EF=×5×2=5，故选C．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．10．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC．若∠1=70°，则∠BAC的大小为( )A．30° B．40° C．50° D．70°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=70°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD∥BC，∠1=70°，∴∠C=∠1=70°，∴∠B=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣70°﹣70°=40°，故选B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠B=∠C，注意：三角形内角和等于180°，两直线平行，内错角相等．11．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P 的度数是( )A．60° B．65° C．55° D．50°【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．12．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( )A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，在△A BD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）13．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是4cm．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题．【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，∴斜边的长=2×2=4cm．故答案为：4cm．【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．14．若正多边形的一个外角为30°，则这个多边形为正12边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据外角的度数就可求得多边形的边数．【解答】解：正多边形的边数是：360÷30=12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和都是360度．15．如图，AB∥CD，∠A=56°，∠C=27°，则∠E的度数为29°．【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】根据AB∥CD，求出∠DFE=56°，再根据三角形外角的定义性质求出∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE=∠A=56°，又∵∠C=27°，∴∠E=56°﹣27°=29°，故答案为29°．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的外角的性质，找到相应的平行线是解题的关键．16．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．【解答】解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．17．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是80°或20°．【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为180°，可求出顶角的度数．【解答】解：①若100°是顶角的外角，则顶角=180°﹣100°=80°；②若100°是底角的外角，则底角=180°﹣100°=80°，那么顶角=180°﹣2×80°=20°．故答案为：80°或20°．【点评】考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和180°、三角形外角的性质求解．18．如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=87°．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据DE垂直平分BC，求证∠DBE=∠C，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A），∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，∴∠DBE=∠C，∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°，∴∠A=87°．故答案为：87．【点评】此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，关键是根据角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点进行分析．19．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=52度．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BA D的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．【解答】解：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，设∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=，∵∠BAC=102°，∴∠DAC=102°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴2α+102°﹣=180°，解得：α=52°．故答案为：52．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．20．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是6．【考点】等边三角形的性质；旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据∠A+∠APO=∠POD+∠COD，可得∠APO=∠COD，进而可以证明△APO≌△COD，进而可以证明AP=CO，即可解题．【解答】解：∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD，在△APO和△COD中，，∴△APO≌△COD（AAS），即AP=CO，∵CO=AC﹣AO=6，∴AP=6．故答案为6．【点评】本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△APO≌△COD是解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共52分）21．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠ACB=∠DCE，再由SAS证明△ABC≌△DEC，得出对应角相等即可．【解答】证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴∠A=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；（3）求△ABC的面积．【考点】作图-轴对称变换．【分析】（1）作出△ABC各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；（3）利用矩形的面积减去各顶点上三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图所示；（2）由图可知，A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；（3）由图可知，S△ABC=3×4﹣×2×3﹣×4×1﹣×2×2=12﹣3﹣2﹣2=5．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．23．如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题．【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D点坐标即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可．【解答】解：（1）如图所示：点D即为所求；（2）在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°，又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°，∴∠CAD=53°﹣37°=16°．【点评】此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠B=37°是解题关键．24．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；（2）根据“边角边”证明即可．【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．25．如图在△A BC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，再根据等角对等边求出AD=DF，然后求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°，∵DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴AD=DF，∵∠B=90°﹣60°=30°，∴AD=AB=×9=4.5，∴DF=4.5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．26．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，过D作DE⊥AB交AC于点E，CE=DE．连接CD交BE于点F．（1）求证：BC=BD；（2）若点D为AB的中点，求∠AED的度数．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）直接证明Rt△DEB≌Rt△CEB，即可解决问题．（2）首先证明△ADE≌△BDE，进而证明∠AED=∠DEB=∠CEB，即可解决问题．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∠ACB=90°，∴△DEB与△CEB都是直角三角形，在△DEB与△CEB中，，∴Rt△DEB≌Rt△CE B（HL），∴BC=BD．（2）∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠BDE=90°；∵点D为AB的中点，∴AD=BD；在△ADE与△BDE中，，∴△ADE≌△BDE（SAS），∴∠AED=∠DEB；∵△DEB≌△CEB，∴∠CEB=∠DEB，∴∠AED=∠DEB=∠CEB；∵∠AED+∠DEB+∠CEB=180°，∴∠AED=60°．【点评】该命题以三角形为载体，以考查全等三角形的判定及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定及其性质，来分析、判断或推理．27．已知，如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上．（1）求证：AD=BE；（2）如图，将图①中的△EDC沿BC所在直线翻折（如图②所示），其它条件不变，（1）中结论是否还成立？请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠CAB=∠CBA=60°，AC=BC，EC=DC，求出AE=BD，根据SAS推出△AEB≌△BDA即可；（2）根据等边三角形的性质得出AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°，根据SAS推出△ACD≌△BCE即可．【解答】（1）证明：∵△ABC和△EDC是等边三角形，∴∠CAB=∠CBA=60°，AC=BC，EC=DC，∴AC﹣EC=BC﹣DC，即AE=BD，在△AEB和△BDA中，，∴△AEB≌△BDA（SAS），∴AD=BE；（2）解：成立，理由是：∵△ABC和△EDC是等边三角形，∴AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能推出两三角形全等是解此题的关键．。

2015学年第一学期期中考试八年级数学试卷（考试时间：90分钟，满分100分）命题者：鹤北中学秦志强1．下列二次根式中最简根式是……………………………………………（）（A；（B）8；（C；（D2．ba-的有理化因式可以是……………………………………………（）（A）ba-；（B）ba+（C）ba+；（D）ba-．3．下列运算一定正确的是………………………………………………………（）（A（B1；（C）2a=；（D）aaa243=．4．用配方法解方程0142=+-xx时，配方后所得的方程是………………（）（A）2(2)3x-=；（B）2(2)3x+=；（C）2(2)1x-=；（D）2(2)1x-=-．5．如果一元二次方程02=++cbxax的两个实数根为1x、2x，则二次三项式cbxax++2在实数范围内的分解式是…………………………………（）（A）))((21xxxx--；（B）))((21xxxxa--；（C）))((21xxxx++；（D）))((21xxxxa++．6．下列命题中，假命题是……………………………………………………（）（A）有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；（B）有三边对应相等的两个三角形全等；（C）有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；（D）有两边和一角对应相等的两个三角形全等.二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）学校_____________________班级__________准考证号_________姓名______________…………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………7．分母有理化：=51 ．8．计算：=÷312 ． 9．121的同类二次根式可以是 （写一个即可）． 10．当20152+=x 时，代数式442+-x x 的值是 ．11．方程x x 42=的根是 ．12．已知一个关于y 的一元二次方程，它的常数项是-6，且有一个根为2，请你写出一个符合上述条件的方程： ． 13．如果代数式32+x 有意义，那么x 的取值范围是 ．14．不等式32>-x 的解集是 ．15．在△ABC 中，AB =3，∠A=∠B = 60°，那么BC ＝ ．16．将“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 17．有一群即将毕业的大四学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出132张，那么这群大四学生中有多少人．如果设这群大四学生中共有x 人，那么根据题意可列一元二次方程是 ． 18．已知a 、b 、c 是等腰△ABC 的三条边，其中a =2，如果b 、c 是关于x 的一元二次方程062=+-m x x 的两个根，则m 的值是 ． 三、解答题：（本大题共7题，满分58分） 19．（本题满分10分，其中每小题各5分）（1）计算：27)26(2321--+-． （2） 计算：y x xy8213÷⋅20．（本题满分10分，其中每小题各5分）解方程：（1）10)4)(1(=--x x （2）x xx =+-231221．（本题满分6分）已知关于x 的一元二次方程0)12()2(2=+-+-k x k x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 22．（本题满分6分）某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量的关系如表格所示． 根据以上表格提供的信息，解答下列问题： 如果两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件，月收入两个月大幅度增长，且连续两个月的月收入的增长率是相同的，试求这个增长率（2取1.41）． 23．（本题满分8分）如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =AE . （1） 求证：DE // BC ；（2） 如果F 是BC 延长线上一点，且∠EBC =∠EFC ，求证：DE =CF .（第23题图）F24．（本题满分8分，每小题4分）如图，在△ABC 中， D 为AB 的中点，F 为BC 上一点，DF // AC ，延长FD 至E ，且DE =DF ，联结AE 、AF ．（1）求证：∠E =∠C ；（2）如果DF 平分∠AFB ，求证：AC ⊥AB ．25．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题5分、第（3）小题2分） 如图，正方形ABCD 的面积为10，点E 为边BC 上一动点（点E 不与B 、C 重合），联结AE ，以CE 为边长作小正方形CEFG ，点G 在边CD 上．设BE =x ．（1） 当△ABE 的面积是5时，求正方形CEFG 的边长；（2） 如果正方形CEFG 的面积与△ABE 的面积相等，求BE 的长；（3） 联结AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，请你直接写出x 的值．（第24题图）A B C D E F（第25题图）ABDF…密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………。

2015-2016学年浙江省杭州市江干区文海实验学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若x＜y成立，则下列不等式成立的是（）A．4x＜3y B．﹣x＜﹣y C．＞D．x+6＜y+63．（3分）下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A．5 B．2 C．4 D．84．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF5．（3分）不等式2x﹣7＜5﹣2x正整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（）A．16 B．14 C．20 D．187．（3分）一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）A．115°B．120°C．125° D．130°8．（3分）若在△ABC所在平面上求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，那么下列确定P点的方法正确的是（）A．P是∠A与∠B两角平分线的交点B．P为AC、AB两边上的高的交点C．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点D．P为∠A的角平分线与AB边上的中线的交点9．（3分）已知不等式组的解为x≥﹣b，则下列各式正确的是（）A．a＞b B．a＜b C．b≤a D．a≤b10．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，AD为BC边上的中线，CG ⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC ≌△CEB；②DF=CD；③∠ADC=∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（）A．①②B．①②③C．①③D．①③④二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．12．（4分）爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8m/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要．13．（4分）已知关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是．14．（4分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC 的延长线于点E，已知∠B=50°，则∠CAF的度数为．15．（4分）若不等式组无解（a≠b），则不等式组的解是．16．（4分）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=；（2）如图3，若∠ACD=β，则∠AFB=（用含β的式子表示）三、解答题（共66分）17．（10分）（1）解不等式4（x﹣1）+3≥3x，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组，并求不等式组的所有整数解．18．（8分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的高，AD是角平分线，∠B=42°，∠C=68°，分别求∠BAC、∠DAE的度数．19．（10分）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．20．（8分）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF．21．（10分）如图，点D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，请探究在点D的运动过程中，∠DAE的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出这个度数．22．（10分）“污水共治，人人有责”为了更好的治理江山母亲河，江山市污水处理厂决定购买A、B两型污水处理设备，共10台，其信息如下表：（1）设购买A型设备x台，则购买B型设备台，所需资金共为万元，每月处理污水总量为吨（用含x的代数式表示）．（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过112万元，月处理污水量不低于2080吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？23．（10分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC 绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？2015-2016学年浙江省杭州市江干区文海实验学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A不属于轴对称图形，故错误；B不属于轴对称图形，故错误；C不属于轴对称图形，故错误；D属于轴对称图形，故正确；故选：D．2．（3分）若x＜y成立，则下列不等式成立的是（）A．4x＜3y B．﹣x＜﹣y C．＞D．x+6＜y+6【解答】解：A、由x＜y，无法比较4x＜3y，故此选项错误；B、∵x＜y，∴﹣x＞﹣y，故此选项错误；C、∵x＜y，∴＜，故此选项错误；D、∵x＜y，∴x+6＜y+6，故此选项正确．故选：D．3．（3分）下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A．5 B．2 C．4 D．8【解答】解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案A错误；B.2，∵2不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，故答案B正确；C.4，∵4是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案C错误；D.8，∵8是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案D错误；故选：B．4．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．故选：B．5．（3分）不等式2x﹣7＜5﹣2x正整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：不等式2x﹣7＜5﹣2x的解集为x＜3，正整数解为1，2，共两个．故选：B．6．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（）A．16 B．14 C．20 D．18【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，∴BC===8，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD，即AD+CD=BC，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=6+8=14．故选：B．7．（3分）一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）A．115°B．120°C．125° D．130°【解答】解：∵三角形的内角和为180°，已知三角形的两个内角分别为55°和65°，所∴第三个内角为180°﹣55°﹣65°=60°．那么55°角相邻的外角为125°，65°相邻的外角为115°，60°相邻的外角为120°；所以这个三角形的外角不可能是130°．故选：D．8．（3分）若在△ABC所在平面上求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，那么下列确定P点的方法正确的是（）A．P是∠A与∠B两角平分线的交点B．P为AC、AB两边上的高的交点C．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点D．P为∠A的角平分线与AB边上的中线的交点【解答】解：∵P到∠A的两边的距离相等，∴点P在∠A的平分线上，∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：C．9．（3分）已知不等式组的解为x≥﹣b，则下列各式正确的是（）A．a＞b B．a＜b C．b≤a D．a≤b【解答】解：∵不等式组的解为x≥﹣b，∴﹣a＜﹣b，∴a＞b，故选：A．10．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，AD为BC边上的中线，CG ⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC ≌△CEB；②DF=CD；③∠ADC=∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（）A．①②B．①②③C．①③D．①③④【解答】解：∵∠BCA=90°，CG⊥AD，∴∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°，∴∠E=∠ADC，∵BE⊥BC，∴∠EBC=∠ACD，在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS），∴①正确；∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，∵AG⊥CE，∴∠AFB≠90°，∴DF≠CB，∴DF≠CD，∴②不正确；∵△ADC≌△CEB，且D为BC中点，∴BE=CD=BD，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠DBF=∠EBF=45°，在△BEF和△BDF中∴△BEF≌△BDF（SAS），∴∠E=∠BDF，又∠E=∠ADC，∴∠ADC=∠BDF，∴③正确；∵△BEF≌△BDF，∴EF=DF，在R△DFG中，DF＞FG，∴EF＞FG，∴F不是EG的中点，∴④不正确；综上可知正确的有①③共两个，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为35cm．【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．故其周长是35cm．故答案为：35．12．（4分）爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8m/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要16m以上．【解答】解：设导火索的长为x米，根据题意得：5×＞100．解得：x＞16，答：导火索的长至少要16米以上．故答案为：16m以上．13．（4分）已知关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3．【解答】解：解不等式①得x≥a，解不等式②得x＜2，因为不等式组有5个整数解，则这5个整数是1，0，﹣1，﹣2，﹣3，所以a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3．14．（4分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC 的延长线于点E，已知∠B=50°，则∠CAF的度数为50°．【解答】解：∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B=50°．故答案为：50°．15．（4分）若不等式组无解（a≠b），则不等式组的解是2﹣a ＜x＜2﹣b．【解答】解：∵不等式组无解，∴a≥b，∴不等式组的解是2﹣a＜x＜2﹣b，故答案为：2﹣a＜x＜2﹣b．16．（4分）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=120°；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=90°；（2）如图3，若∠ACD=β，则∠AFB=180°﹣β（用含β的式子表示）【解答】解：（1）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中∵，∴△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∵∠ACD=60°，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°，∴∠CAE+∠DBC=60°，∴∠AFB=180°﹣60°=120°；当∠ACD=90°时，∵∠ACD=90°，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=90°，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=90°，∴∠AFB=180°﹣90°=90°；故答案为：120°，90°；（2）解：当∠ACD=β时，∠AFB=180°﹣β，理由是：∵∠ACD=β，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=β，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=β，∴∠AFB=180°﹣（∠CAE+∠DBC）=180°﹣β；故答案为：180°﹣β．三、解答题（共66分）17．（10分）（1）解不等式4（x﹣1）+3≥3x，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组，并求不等式组的所有整数解．【解答】解：（1）4（x﹣1）+3≥3x，4x﹣4+3≥3x，4x﹣3x≥4﹣3，x≥1，在数轴上表示为；（2），∵解不等式①得：x≥1，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集为1≤x＜4，∴不等式组的所有整数解为1，2，3．18．（8分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的高，AD是角平分线，∠B=42°，∠C=68°，分别求∠BAC、∠DAE的度数．【解答】解：∵∠B=42°，∠C=68°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，∵AD是角平分线，∴∠EAC=∠BAC=35°．∵AE是高，∠C=68°，∴∠DAC=90°﹣∠C=22°，∴∠EAD=∠DAC﹣∠EAC=35°﹣22°=13°．19．（10分）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．【解答】解：（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）．（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a=2，b=3，c=4时满足a＜b＜c．如答图的△ABC即为满足条件的三角形．20．（8分）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF．【解答】证明：连接AC，∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠DAC=∠BAC．又∵CE⊥AD，CF⊥AB，∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．21．（10分）如图，点D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，请探究在点D的运动过程中，∠DAE的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出这个度数．【解答】解：不发生变化，∠DAE=120°；理由如下：∵△ABC和△EDC中，∴BC=AC，∠B=∠ACB=∠BAC=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠DBC=∠EAC=60°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°．22．（10分）“污水共治，人人有责”为了更好的治理江山母亲河，江山市污水处理厂决定购买A、B两型污水处理设备，共10台，其信息如下表：（1）设购买A型设备x台，则购买B型设备10﹣x台，所需资金共为2x+100万元，每月处理污水总量为20x+2000吨（用含x的代数式表示）．（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过112万元，月处理污水量不低于2080吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？【解答】解：（1）设购买A型设备x台，则购买B型设备（10﹣x）台，根据题意得：所需资金为12x+10（10﹣x）=2x+100；每月处理污水总量为220x+200（10﹣x）=20x+2000．故答案为：10﹣x；2x+100；20x+2000．（2）根据题意得：，解得：4≤x≤6，∴符合题意的购买方案有：方案一：购买A型设备4台，购买B型设备6台；方案二：购买A型设备5台，购买B型设备5台；方案三：购买A型设备6台，购买B型设备4台．当x=4时，所需资金为2×4+100=108（万元）；当x=5时，所需资金为2×5+100=110（万元）；当x=6时，所需资金为2×6+100=112（万元）．∵108＜110＜112，∴购买A型设备4台，购买B型设备6台时，所需资金最低，最低资金为108万元．23．（10分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC 绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠OAD==120°﹣，∴190°﹣α=120°﹣，解得α=140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．。

某某省某某市阜宁县2015-2016学年八年级数学上学期期中试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．）1．下列实数是无理数的是( )A．﹣1 B．0 C．πD．2．全等图形是指两个图形( )A．能够重合 B．形状相同 C．大小相同 D．相等3．已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是( )A．9cm B．12cm C．12cm或15cm D．15cm4．下列图形中不是轴对称图形的是( )A．有两个内角相等的三角形B．有一个内角是45度的直角三角形C．有一个内角是30度的直角三角形D．有两个角分别是30度和120度的三角形5．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是( )C． D．a=15，b=8，c=176．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为( ) A．16cm B．28cm C．26cm D．18cm7．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是( )A．3 B．4 C．5 D．68．如图，数轴上有A、B、C、D四点，其中与实数最接近的数所对应的点是( ) A．A B．B C．C D．D二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．把答案填在答题卡中对应的横线上）．9．81的算术平方根是__________．10．角的对称轴是__________．11．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为__________．12．已知地球的半径约为6.4×103km，这个近似数精确度为__________km．13．已知直角三角形三边的平方和是32cm2，则其斜边上的中线长为__________．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，该等腰三角形的顶角等于__________．15．在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，那么AC边上的高=__________．16．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=3，则线段DF的长度为__________．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为__________．18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB 为等腰三角形，这样的点P共有__________个．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（1）计算：（2）求x的值：（x﹣1）2=9．20．已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E是AB上任意一点．（1）BC与BD相等吗？试说明理由．（2）CE=DE吗？为什么？21．数学实验室：实验材料：硬纸板、剪刀、三角板实验方法：剪裁、拼图、探索实验目的：验证勾股定理，拼图填空．操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①．（1）拼图一：分别用4X直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________图③中小正方形的面积，（填“大于”“小于”“等于”）用关系式可表示为__________（2）拼图二：用4X直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有3个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为S大，S中，S小，其关系是__________，用a、b、c可表示为__________．（3）拼图三：用8X直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为S大，S中，S小，其关系是__________，用a、b、c可表示为__________．22．如图，A、C两乡镇到水渠边l的距离分别为AB=2km，CD=4km，且BD=8km．（1）在水渠边l上要建一个水电站P，使得PA+PC最小，请在图中画出P的位置（保留作图痕迹），不必说明理由．（2）求出PA+PC最小值．23．已知：如图AC=BD，AB=DC．证明：（1）∠A与∠D；（2）OB=OC．24．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？25．中国对南沙群岛及其附近海域拥有无可争辩的主权．2015年10月27日，美国拉森号军舰未经中国政府允许，非法进入中国南沙群岛有关岛礁邻近海域．中国海军某某舰加大南沙海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，渚碧礁位于O点，某某舰在点B处发现美国拉森号军舰，自A点出发沿着AO方向匀速驶向渚碧礁所在地O点，某某舰立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截拉森号军舰，结果在点C处截住了拉森号军舰．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求某某舰行驶的航程BC的长．26．（1）阅读理解：如图1，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP 绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解题过程．（2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，BE=5，CF=4，求EF的大小．2015-2016学年某某省某某市阜宁县八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．）1．下列实数是无理数的是( )A．﹣1 B．0 C．πD．【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、﹣1是整数，是有理数，选项错误；B、0是整数，是有理数，选项错误；C、π是无理数，选项错误；D、是分数，是有理数，选项错误．故选C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中X围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．全等图形是指两个图形( )A．能够重合 B．形状相同 C．大小相同 D．相等【考点】全等图形．【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【解答】解：全等图形是指两个图形能够重合，故选：A．【点评】此题主要考查了全等图形的概念，关键是掌握全等形的概念．3．已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是( )A．9cm B．12cm C．12cm或15cm D．15cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．4．下列图形中不是轴对称图形的是( )A．有两个内角相等的三角形B．有一个内角是45度的直角三角形C．有一个内角是30度的直角三角形D．有两个角分别是30度和120度的三角形【考点】轴对称图形．【分析】找到不是等腰三角形的选项即可．【解答】解：A、是等腰三角形，所以是轴对称图形，不符合题意；B、是等腰三角形，所以是轴对称图形，不符合题意；C、不是等腰三角形，所以不是轴对称图形，符合题意；D、是等腰三角形，所以是轴对称图形，不符合题意；故选C．【点评】考查有关轴对称图形的知识；用到的知识点为：三角形里，只有等腰三角形是轴对称图形．5．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是( )C． D．a=15，b=8，c=17【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；2+222，故B选项不符合题意；C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了用勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．6．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为( )A．16cm B．28cm C．26cm D．18cm【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，故CE+BE=AB，再由△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB即可得出结论．【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE=CE，∴CE+BE=AB=10cm．∵BC=8cm，∴△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=8+10=18（cm）．故选D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．7．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是( )A．3 B．4 C．5 D．6【考点】勾股定理的证明．【分析】先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．【解答】解：过D点作DE⊥BC于E．∵∠A=90°，AB=4，BD=5，∴AD===3，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴点D到BC的距离=AD=3．故选：A．【点评】本题利用勾股定理和角平分线的性质．8．如图，数轴上有A、B、C、D四点，其中与实数最接近的数所对应的点是( )A．A B．B C．C D．D【考点】实数与数轴．【分析】先求出﹣﹣5的取值X围，进而可得出结论．【解答】解：∵9＜10＜16，∴3＜＜4，∴﹣2＜﹣5＜﹣1，∴点B与实数最接近．故选B．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．把答案填在答题卡中对应的横线上）．9．81的算术平方根是9．【考点】算术平方根．【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．【解答】解：81的算术平方根是：=9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握算术平方根的定义是解题关键．10．角的对称轴是角平分线所在的直线．【考点】轴对称图形．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．【解答】解：沿角平分线所在的直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，所以角的对称轴是角平分线所在的直线．【点评】注意：对称轴必须说成直线．11．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为10．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．【解答】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，故斜边长==10，故答案为 10．【点评】本题考查了根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．12．已知地球的半径约为6.4×103km，这个近似数精确度为100km．【考点】科学记数法与有效数字．【分析】根据近似数的精确度求解．【解答】解：近似数6.4×103Km精确到百位．故答案为：100．【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．13．已知直角三角形三边的平方和是32cm2，则其斜边上的中线长为2cm．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】由勾股定理和已知条件得出得出AB2=16cm2，得出AB=4cm，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB，即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵直角三角形三边的平方和是32cm2，∴AB2=16cm2，∴AB=4cm，∴斜边AB上的中线长=AB=2cm，故答案为：2cm【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握勾股定理，由勾股定理求出斜边长是解决问题的关键．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，该等腰三角形的顶角等于50°或130°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数．【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD=40°，∴∠A=50°，即顶角的度数为50°．②如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA=40°，∴∠BAD=50°，∴∠BAC=130°．故答案为50°或130°．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．15．在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，那么AC边上的高=．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，再利用面积公式求解．【解答】解：∵在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，即52+122=132，∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°，∵直角边为AB，BC，设斜边AC上的高为h，根据三角形的面积公式有：S=×5×12=×13h，解得h=．故答案为．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．判定△ABC为直角三角形是解题的关键．16．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=3，则线段DF的长度为3．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】先证明AD=BD，再证明∠FBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△ADC，利用全等三角形对应边相等就可得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠FDB=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴AD=BD，∵BE⊥AC，∴∠AEF=90°，∴∠DAC+∠AFE=90°，∵∠FDB=90°，∴∠FBD+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE，∴∠FBD=∠DAC，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC，∴DF=CD，∵CD=3，∴DF=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用勾股定理求出BC=4，设BE=x，则CE=4﹣x，在Rt△B'EC中，利用勾股定理解出x的值即可．【解答】解：BC==4，由折叠的性质得：BE=BE′，AB=AB′，设BE=x，则B′E=x，CE=4﹣x，B′C=AC﹣AB′=AC﹣AB=2，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+22=（4﹣x）2，解得：x=．故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折变换的性质及勾股定理的表达式．18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB 为等腰三角形，这样的点P共有6个．【考点】等腰三角形的判定．【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【解答】解：如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC于点P2；②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）；③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）．故符合条件的点有6个．故答案为：6．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（1）计算：（2）求x的值：（x﹣1）2=9．【考点】实数的运算；平方根．【专题】计算题．【分析】（1）先根据零指数幂和进行开方运算得到原式=﹣2﹣1+2，然后进行加减运算；（2）根据平方根的定义得到x﹣1=±3，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）原式=﹣2﹣1+2=﹣1；（2）x﹣1=±3，所以x=4或﹣2．【点评】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数X围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．20．已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E是AB上任意一点．（1）BC与BD相等吗？试说明理由．（2）CE=DE吗？为什么？【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据HL推出Rt△ACB≌Rt△ADB，根据全等三角形的性质推出即可；（2）根据全等得出∠CAB=∠DAB，根据全等三角形的判定推出△ACE≌△ADE，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】解：（1）BC=BD，理由是：∵∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB和Rt△ADB中AC=AD，AB=AB，∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL），∴BC=BD；（2）CE=DE，理由是：∵Rt△ACB≌Rt△ADB，∴∠CAB=∠DAB，在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴CE=DE．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．21．数学实验室：实验材料：硬纸板、剪刀、三角板实验方法：剪裁、拼图、探索实验目的：验证勾股定理，拼图填空．操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①．（1）拼图一：分别用4X直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和等于图③中小正方形的面积，（填“大于”“小于”“等于”）用关系式可表示为a2+b2=c2（2）拼图二：用4X直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有3个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为S大，S中，S小，其关系是S大=S中+S小，用a、b、c可表示为a2+b2=c2．（3）拼图三：用8X直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为S大，S中，S小，其关系是S大+S小=2S中，用a、b、c可表示为a2+b2=c2．【考点】勾股定理的证明．【分析】（1）根据图②和③中两个大正方形的边长相等，则面积相等，而图②中两个小正方形的面积的和以及图③中的正方形面积都是大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，据此即可判断；（2）根据图④中三个正方形可以分成直角三角形的面积的和，以及确定重合部分即可求解；（3）根据图⑤中三个正方形可以分成直角三角形的面积的和，以及确定重合部分即可求解．【解答】解：（1）图②中两个小正方形的面积之和等于图③中小正方形的面积，用关系式可表示为a2+b2=c2．故答案是：等于，a2+b2=c2；（2）S大=S中+S小，a2+b2=c2；（3）S大﹣S中=S中﹣S小或S大+S小=2S中，a2+b2=c2．【点评】本题考查了证明勾股定理，勾股定理的证明一般考查图形面积的关系，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．22．如图，A、C两乡镇到水渠边l的距离分别为AB=2km，CD=4km，且BD=8km．（1）在水渠边l上要建一个水电站P，使得PA+PC最小，请在图中画出P的位置（保留作图痕迹），不必说明理由．（2）求出PA+PC最小值．【考点】轴对称-最短路线问题；作图—应用与设计作图．【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′C交l于点P，则P点即为所求点；（2）过A′作A′E⊥CD，交CD的延长线于E，再根据勾股定理即可得出A′C的长．【解答】解：（1）如图；（2）由作图可得最短路程为A′C的距离，过A′作A′E⊥CD，交CD的延长线于E，则DE=A′B=AB=2km，A′E=B D=8km，CE=2+4=6km，根据勾股定理可得，A′C==10km．即PA+PC最小值为10km．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．23．已知：如图AC=BD，AB=DC．证明：（1）∠A与∠D；（2）OB=OC．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）连接BC，根据SSS推出△BCD≌△CBA，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠DBC，根据等角对等边得出即可．【解答】证明：（1）连结BC，在△BCD和△CBA中，，∴△BCD≌△CBA（SSS），∴∠A=∠D；（2）∵△BCD≌△CBA，∴∠ACB=∠DBC，∴OB=OD．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质的应用，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．24．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．【解答】解：画图解决，通过建模把距离转化为线段的长度．由题意得：AB=20，DC=30，BC=50，设EC为x肘尺，BE为（50﹣x）肘尺，在Rt△ABE和Rt△DEC中，AE2=AB2+BE2=202+（50﹣x）2，DE2=DC2+EC2=302+x2，又∵AE=DE，∴x2+302=（50﹣x）2+202，x=20，答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺．另解：设：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根肘尺，则这条鱼出现的地方离比较低的棕榈树的树根（50﹣x）肘尺．得方程：x2+302=（50﹣x）2+202，可解得：x=20；答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺．【点评】本题考查勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．25．中国对南沙群岛及其附近海域拥有无可争辩的主权．2015年10月27日，美国拉森号军舰未经中国政府允许，非法进入中国南沙群岛有关岛礁邻近海域．中国海军某某舰加大南沙海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，渚碧礁位于O点，某某舰在点B处发现美国拉森号军舰，自A点出发沿着AO方向匀速驶向渚碧礁所在地O点，某某舰立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截拉森号军舰，结果在点C处截住了拉森号军舰．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求某某舰行驶的航程BC的长．【考点】勾股定理的应用．【分析】（1）连接AB，作AB的垂直平分线交AO于点C，进而得出答案；（2）利用勾股定理，在Rt△OBC中，152+（45﹣x）2=x2，进而得出答案．【解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA相交于点C；（2）设BC=AC=x，OC为（45﹣x），在Rt△OBC中，152+（45﹣x）2=x2，解得：x=25，答：某某舰行驶的航程BC的长25海里．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．26．（1）阅读理解：如图1，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP 绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解题过程．（2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，BE=5，CF=4，求EF的大小．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAC=60°，根据旋转得出△ACP′≌△ABP，求出PA=P′A=3，PB=P′C=4，∠BAP=∠CAP′，求出∠P′AP=∠BAC=60°，推出△PAP′是等边三角形，求出PP′=P′A=3，根据勾股定理的逆定理求出∠PP′C=90°，即可得出答案；（2）根据旋转得出△ACE′≌△ABE，根据全等得出AE=AE′，BE=CE′，∠E′AC=′BAE，求出∠FAE′=∠EAF，根据全等三角形的判定推出△AEF≌△AE′F，推出FE=FE′，根据勾股定理求出E′F即可．【解答】解：（1）∵三角形ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，如图1，将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处，则△ACP′≌△ABP，∴PA=P′A=3，PB=P′C=4，∠BAP=∠CAP′，∴∠P′AP=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，∴△PAP′是等边三角形，∴PP′=P′A=3，在△PP′C中，PP'2+P′C2=9+15=25=PC2，∴△PP′C是直角三角形，∴∠PP′C=90°，∴∠APB=∠AP′C=60°+90°=150°；（2）将△ABE绕顶点A逆时针旋转90°到△ACE′处，则△ACE′≌△ABE，∴AE=AE′，BE=CE′，∠E′AC=′BAE，∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠CAF=45°，∠FAE′=∠E′AC+∠FAC=∠BAE+∠FAC=45°=∠EAF，在△AEF和△AE′F中，，∴△AEF≌△AE′F，∴FE=FE′，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠E′CA=∠B=45°，∴∠E′CF=45°+45°=90°，在Rt△E′FC中，E′C2+FC2=E′F2，∴EF2=BE2+CF2=52+42=41，∴EF=．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，证明过程类似．。

八年级（上）期中数学试卷一、选择题1．下列等式正确的是（）A．=﹣3 B．=±12 C．=﹣7 D．=2 2．下列说法正确的是（）A．等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合B．顶角相等的两个等腰三角形全等C．面积相等的两个三角形全等D．等腰三角形的两个底角相等3．如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（）A．9 cm B．12 cm C．15 cm或12 cm D．15 cm4．如图，∠ACD=90°，∠D=15°，B点在AD的垂直平分线上，若AC=4，则BD=（）A．4 B．6 C．8 D．105．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD7．如图，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，DE过I点且DE∥BC，则下列结论错误的是（）A．AI平分∠BAC B．I到三边的距离相等C．AI=ID D．DE=BD+CE8．△ABC是等边三角形，M是AC上一点，N是BC上的一点，且AM=BN，∠MBC=25°，AN与BM交于点O，则∠MON的度数为（）A．110°B．105°C．90°D．85°9．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．C．1 D．2+10．若x、y为实数，，则4y﹣3x是．二、填空题11．16的平方根是，=．12．等腰三角形一个角为50°，则此等腰三角形顶角为．13．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为．14．若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a=，这个正数是．15．若|x﹣1|+（y﹣2）2+=0，则x+y+z=．16．如图，在Rt△ABC中，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，AC=3cm，则AE+DE=cm．17．若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，且最长边为10cm，则最短边长为cm．18．若，且ab＜0，则a+b=．19．一长方形的一边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长是cm．20．若，则b c+a的值为．三、解答与证明21．解方程：（1）x2﹣25=0（2）（x﹣1）2=16．22．如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD，过点D 作DF⊥BE，垂足为F．试说明：BF=EF．23．如图，A、D、E三点在同一直线上，∠BAE=∠CAE，∠BDE=∠CDE，（1）求证：AB=AC；（2）求证：AE⊥BC．24．已知，如图：A、E、F、B在一条直线上，AE=BF，∠C=∠B，CF∥DE，求证：AC∥BD．25．已知等腰三角形的三边长a=5x﹣1，b=6﹣x，c=4，求x的值．26．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？27．如图，一张等腰直角三角形纸片，其中∠C=90°，斜边AB=4，将纸片折叠，使点A恰好落在BC边的中点D处，折痕为EF，求出AE的长度．28．小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．（1）如果AC=6cm，BC=8cm，可求得△ACD的周长为；（2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，可求得∠B的度数为；操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=9cm，BC=12cm，请求出CD的长．29．如图①，长方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E为CD的中点．点P从A点出发，沿A﹣B﹣C的方向在长方形边上匀速运动，速度为1cm/s，运动到C点停止．设点P运动的时间为ts．（图②③为备用图）（1）当P在AB上，t为何值时，△APE的面积为长方形面积的？（2）整个运动过程中，t为何值时，△APE为直角三角形？（3）整个运动过程中，t为何值时，△APE为等腰三角形？2015-2016学年江苏省无锡市宜兴市XX中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列等式正确的是（）A．=﹣3 B．=±12 C．=﹣7 D．=2 【考点】二次根式的性质与化简．【分析】直接利用二次根式的定义以及二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解：A、，无意义，故此选项错误；B、=12，故此选项错误；C、=7，故此选项错误；D、（﹣）2=2，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．2．下列说法正确的是（）A．等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合B．顶角相等的两个等腰三角形全等C．面积相等的两个三角形全等D．等腰三角形的两个底角相等【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定．【分析】由等腰三角形的性质得出A不正确、D正确；由全等三角形的判定方法得出B、C 不正确；即可得出结果．【解答】解：∵等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，∴A不正确；∵顶角相等的两个等腰三角形相似，不一定全等，∴B不正确；∵面积相等的两个三角形不一定全等，∴C不正确；∵等腰三角形的两个底角相等，∴D正确；故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定方法；熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法是解决问题的关键．3．如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（）A．9 cm B．12 cm C．15 cm或12 cm D．15 cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．4．如图，∠ACD=90°，∠D=15°，B点在AD的垂直平分线上，若AC=4，则BD=（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到AB=BD，∠D=∠DAB，由三角形内角与外角的关系得到∠ABC的度数，再根据直角三角形的性质求解即可．【解答】解：∵B点在AD的垂直平分线上，∠D=15°，∴AB=BD，∠D=∠DAB=15°，∴∠ABC=∠D+∠DAB=30°，∴AB=2AC，∵AC=4，∴AB=8，∵AB=BD，∴BD=8．故选C．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角与外角的关系，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．通过已知条件由∠B=90°，∠BAE=10°⇒∠AEB，∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE=CE∴∠EAC=∠C，又∵∠B=90°，∠BAE=10°，∴∠AEB=80°，又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∴∠C=40°．故选：B．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质、直角三角形的两锐角互余、三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和．6．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD【考点】等腰三角形的性质．【分析】此题需对每一个选项进行验证从而求解．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点∴∠B=∠C，（故A正确）AD⊥BC，（故B正确）∠BAD=∠CAD（故C正确）无法得到AB=2BD，（故D不正确）．故选：D．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质7．如图，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，DE过I点且DE∥BC，则下列结论错误的是（）A．AI平分∠BAC B．I到三边的距离相等C．AI=ID D．DE=BD+CE【考点】角平分线的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】根据三角形的角平分线相交于一点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，角平分线的定义，平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC正确，故本选项错误；B、I为△ABC角平分线的交点，I到三边的距离相等正确，故本选项错误；C、AI与DI的大小无法判断，故本选项正确；D、∵BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠DBI=∠CBI，∠ECI=∠BCI，∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠BCI，∴∠DBI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，∴BD=DI，CE=EI，∴DE=DI+EI=BD+CE，即DE=BD+CE正确，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记三角形的角平分线相交于一点，角平分线上的点到角的两边的距离相等的解题的关键．8．△ABC是等边三角形，M是AC上一点，N是BC上的一点，且AM=BN，∠MBC=25°，AN与BM交于点O，则∠MON的度数为（）A．110°B．105°C．90°D．85°【考点】等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=∠B=60°，又因为AM=BN，AB=AB，所以△AMB ≌△BNA，从而得到∠NAB=∠MBA=60°﹣∠MBC=35°，则∠MON=∠AOB=180°﹣2×35°=110°．【解答】解：∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠B=60°∵AM=BN，AB=AB∴△AMB≌△BNA∴∠NAB=∠MBA=60°﹣∠MBC=35°∴∠AOB=180°﹣2×35°=110°∵∠MON=∠AOB∴∠MON=110°故选A．【点评】考查了等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，结合全等三角形求解．9．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．C．1 D．2+【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】根据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：∵蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，∴蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，∵无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，∴A1B=2+2=4，A1M=1，∴BM==．故选B．【点评】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，利用图形得出最短路径为BM是解题关键．10．若x、y为实数，，则4y﹣3x是6．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x2﹣4≥0且4﹣x2≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：x2﹣4≥0且4﹣x2≥0，x﹣2≠0，解得：x=﹣2，则y=0，4y﹣3x=6，故答案为：6．【点评】此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．二次根式中的被开方数是非负数．二、填空题11．16的平方根是±4，= 1.2．【考点】算术平方根；平方根．【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4；=1.2．【点评】此题主要考查了平方根与算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．12．等腰三角形一个角为50°，则此等腰三角形顶角为50°或80°．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】已知没有给出50°的角是顶角和是底角，所以要分两种情况进行讨论．【解答】解：分为两种情况：当50°是顶角时，顶角为50°当50°是底角时，其顶角是180°﹣50°×2=80°故填50°或80°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．13．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为90．【考点】勾股定理．【分析】连续自然数，两数的差是1，较大的是斜边，根据勾股定理就可解得．【解答】解：设另一直角边为a，斜边为a+1．根据勾股定理可得，（a+1）2﹣a2=92．解之得a=40．则a+1=41，则直角三角形的周长为9+40+41=90．故答案为：90．【点评】本题综合考查了勾股定理，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．14．若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a=﹣1，这个正数是9．【考点】平方根．【分析】由于一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，由此即可列出方程求解．【解答】解：依题意得，2a﹣1+（﹣a+2）=0，解得：a=﹣1．则这个数是（2a﹣1）2=（﹣3）2=9．故答案为：﹣1，9【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．15．若|x﹣1|+（y﹣2）2+=0，则x+y+z=6．【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵|x﹣1|+（y﹣2）2+=0，∴x﹣1=0，y﹣2=0，z﹣3=0，∴x=1，y=2，z=3．∴x+y+z=1+2+3=6．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16．如图，在Rt△ABC中，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，AC=3cm，则AE+DE=3cm．【考点】角平分线的性质．【分析】要求AE+DE，现知道AC=3cm，即AE+CE=3cm，只要CE=DE则问题可以解决，而应用其它条件利用角平分线的性质正好可求出CE=DE．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴EC⊥CB，又BE平分∠ABC，DE⊥AB，∴CE=DE，∴AE+DE=AE+CE=AC=3cm故答案为：3【点评】此题主要考查角平分线性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等；做题时要认真观察各已知条件在图形上的位置，根据位置结合相应的知识进行思考是一种很好的方法．17．若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，且最长边为10cm，则最短边长为5cm．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据比例设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，然后根据三角形的内角和等于180°列式求出各角的度数，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，k+2k+3k=180°，解得k=30°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∵最长边为10cm，∴最短边长=×10=5cm．故答案为：5．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，主要利用了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据比例求出各角的度数是解题的关键．18．若，且ab＜0，则a+b=﹣1．【考点】算术平方根．【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质进而得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵|a|=5，=2，∴a=±5，b=4，∵ab＜0，∴a=﹣5，b=4，∴a+b=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，正确把握相关性质是解题关键．19．一长方形的一边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长是5cm．【考点】勾股定理．【分析】先根据面积求出三角形另一边的长，再根据勾股定理求出直角三角形斜边长即可．【解答】解：∵该长方形的一边长为3cm，面积为12cm2，∴另一边长为4cm，∴对角线长==5cm．【点评】此题主要涉及的知识点：长方形的面积公式和勾股定理的应用．20．若，则b c+a的值为﹣3．【考点】二次根式有意义的条件；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数．则a﹣5≥0，5﹣a≥0，求得a的值，再根据非负数的性质，求得b，c的值，代入计算即可．【解答】解：∵a﹣5≥0，5﹣a≥0，∴a=5，∴+|2c﹣6|=0，∴b+2=0，2c﹣6=0，解得b=﹣2，c=3，∴b c+a=（﹣2）3+5=﹣8+5=﹣3，故答案为﹣3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和非负数的性质，同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0三、解答与证明21．解方程：（1）x2﹣25=0（2）（x﹣1）2=16．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）先移项，然后开平方即可；（2）将（x﹣1）看作一个整体，然后开平方求出（x﹣1），继而再求x的值．【解答】解：（1）x2﹣25=0，x2=25，x1=﹣5，x2=﹣﹣5；（2）（x﹣1）2=16，x﹣1=±4，x1=﹣3，x2=5．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c （a，c同号且a≠0）．22．如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD，过点D 作DF⊥BE，垂足为F．试说明：BF=EF．【考点】等边三角形的性质．【分析】【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，点D是AC的中点，则∠DBC=30°，再由题中条件求出∠E=30°，易得△DBE为等腰三角形，由等腰三角形的性质可证得结论．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵点D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=30°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBE=∠E，∴△DBE为等腰三角形，∵DF⊥BE，∴BF=EF．【点评】本题考查了等边三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”是解答此题的关键．23．如图，A、D、E三点在同一直线上，∠BAE=∠CAE，∠BDE=∠CDE，（1）求证：AB=AC；（2）求证：AE⊥BC．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】由题中条件两角夹一边判定△ADC≌△ADB，得出AB=AC，进而亦可得出第二问的结论．【解答】证明：（1）∵∠BDE=∠CDE，∠BAE=∠CAE，∴∠ADB=∠ADC，又AD=AD，∴△ADC≌△ADB，∴AB=AC，（2）在△ABC中，AB=AC，∠BAE=∠CAE，∴AE⊥BC．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．24．已知，如图：A、E、F、B在一条直线上，AE=BF，∠C=∠B，CF∥DE，求证：AC∥BD．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质．【分析】求出AF=BE，根据平行线性质求出∠CFE=∠BED，根据AAS推出△ACF≌△BDE 即可．【解答】证明：∵CF∥DE，∴∠CFE=∠BED，∵AE=BF，∴AF=BE，∵∠C=∠B，在△ACF和△BDE中，∴△ACF≌△BDE（AAS），∴∠A=∠B，∴AC∥BD【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BDE，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．25．已知等腰三角形的三边长a=5x﹣1，b=6﹣x，c=4，求x的值．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分三种情况求解后利用三角形的三边关系验证．【解答】解：若a=b，则5x﹣1=6﹣x，得x=，三边长分别为，，5，符合三角形三边关系；若a=c，则5x﹣1=4，得x=1，三角形的三边长为4，5，4，符合三角形三边关系；若b=c，则6﹣x=4，得x=2，三角形的三边长为9，4，4，不构成三角形；综上所述，符合要求的x值为或1；【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是分类讨论．26．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？【考点】勾股定理的应用．【分析】本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解．【解答】解：如图所示：根据题意，得AC=AD﹣BE=13﹣8=5m，BC=12m．根据勾股定理，得AB==13m．则小鸟所用的时间是13÷2=6.5（s）．答：这只小鸟至少6.5秒才可能到达小树和伙伴在一起．【点评】此题主要考查勾股定理的运用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度．27．如图，一张等腰直角三角形纸片，其中∠C=90°，斜边AB=4，将纸片折叠，使点A恰好落在BC边的中点D处，折痕为EF，求出AE的长度．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用等腰直角三角形的性质得出BC的长，进而得出BH，DH的长，再利用勾股定理得出AE的长．【解答】解：作DH⊥AB于H，可得等腰Rt△DBH，由AB=4，可知BC=sin45°×AB=×4=2，于是BD=，BH=DH=×=1，设AE=DE=x，则EH=4﹣1﹣AE=3﹣x，在Rt△DEH中，（3﹣x）2+12=x2，解得：x=，故AE的长度为．【点评】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理等知识，根据已知得出BH=DH的长是解题关键．28．小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．（1）如果AC=6cm，BC=8cm，可求得△ACD的周长为14cm；（2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，可求得∠B的度数为35°；操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=9cm，BC=12cm，请求出CD的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】操作一利用对称找准相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后分别利用周长及三角形的内角和可求得答案；操作二利用折叠找着AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，设CD=x，表示出BD，AE，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得答案；【解答】解：操作一：（1）由折叠的性质可得AD=BD，∵△ACD的周长=AC+CD+AD，∴△ACD的周长=AC+CD+BD=AC+BC=8+6=14（cm）；故填：14cm；（2）设∠CAD=4x，∠BAD=7x由题意得方程：7x+7x+4x=90，解之得x=5，所以∠B=35°；故填：35°；操作二：∵AC=9cm，BC=12cm，∴AB===15（cm），根据折叠性质可得AC=AE=9cm，∴BE=AB﹣AE=6cm，设CD=x，则BD=12﹣x，DE=x，在Rt△BDE中，由题意可得方程x2+62=（12﹣x）2，解之得x=4.5，∴CD=4.5cm．【点评】本题考查了直角三角形中的勾股定理的应用及图形的翻折问题；解决翻折问题时一般要找着相等的量，然后结合有关的知识列出方程进行解答．29．如图①，长方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E为CD的中点．点P从A点出发，沿A﹣B﹣C的方向在长方形边上匀速运动，速度为1cm/s，运动到C点停止．设点P运动的时间为ts．（图②③为备用图）（1）当P在AB上，t为何值时，△APE的面积为长方形面积的？（2）整个运动过程中，t为何值时，△APE为直角三角形？（3）整个运动过程中，t为何值时，△APE为等腰三角形？【考点】四边形综合题．【分析】（1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的，根据题意得：△APE的面积= APAD=t×4=，从而求得t值；（2）当P运动到AB中点时AEP为直角三角形，此时角APE为直角，t=3；还有一种情况，当P运动到BC上时，角AEP为直角时利用相似三角形求得AP的长即可求得t值；（3））第一种情况，当P在AE垂直平分线上时，AP=EP；第二种情况，P运动到点B上时APE为等腰三角形，此时AE=EP，t=6；第三种情况，P在AB上，AP=PE；【解答】解：（1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的，根据题意得：AP=t，∴△APE的面积=APAD=t×4=，解得：t=4，∴4秒后，△APE的面积为长方形面积的；（2）显然当t=3时，PE⊥AB，∴△APE是直角三角形，当P在BC上时，△ADE∽△ECP，此时，解得：CP=，∴PB=BC﹣PC=4﹣=，∴t=6+=；（3）①当P在AE垂直平分线上时，AP=EP，过P作PQ⊥AE于Q，∵AD=4，DE=3，∴AE=5，∴AQ=2.5，由△AQP∽△EDA，得：，即：，解得：AP=，∴t=；．②当EA=EB时，AP=6，∴t=6，③当AE=AP时，∴t=5．∴当t=、5、6时，△APE是等腰三角形．【点评】本题考查了四边形的综合知识和动点问题，动点问题更是中考中的热点考题，有一定的难度，解题的关键是能够化动为静，利用等腰三角形的性质求解．。

某某省某某乐平市2015-2016学年度八年级数学上学期期中试题一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，C．6，8，11 D．5，12，232．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+=0，则三角形的形状是（）A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形3．如果点A（﹣3，a）是点B（3，﹣4）关于原点的对称点，则a的值是（）A．﹣4 B．4 C．4或﹣4 D．无法确定4．点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标一定为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（﹣3，﹣2）D．以上都不对5．结合正比例函数y=4x的图象回答：当x＞1时，y的取值X围是（）A．y=1 B．1≤y＜4 C．y=4 D．y＞46．如图，在Rt△PQR中，∠PRQ=90°，RP=RQ，边RP在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的是（）A．﹣2 B．﹣2C．1﹣2D．2﹣1二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）7．在﹣，，，﹣，3.14，0，﹣1，，||中，其中：整数有；无理数有；有理数有．8．一次函数y=3x+b的图象过坐标原点，则b的值为．9．算术平方根等于它本身的数是．10．如图，Rt△AOB的斜边长为5，一直角边OB长为4，则点A的坐标是，点B的坐标是．11．的平方根是．12．将一根26cm的筷子，置于底面直径为9cm，高12cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的最小值是cm．13．若x3=256，则x=；若x3=﹣216，则x=．14．已知点A（a，0）和点B（0，5）两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形面积等于20，则a的值是．三、（本大题共4小題，每小题6分，共24分）15．（+）（﹣）﹣．16．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路程．17．某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后毎年增产2万元．（1）写出年产值y（万元）与年数x之间的函数关系式并画出其图象；（2）求6年后的产值．18．在平面直角坐标系中，描出下列各点：A（﹣2，﹣1），B（4，﹣1），C（3，2），D（0，2），并计算四边形ABCD的面积．四、（本大題共4小题，每小题8分.共32分）19．（1）在6×6的网格中（每个小正方形边长均为1）．画出一个面积为10的正方形；（2）在数轴上找到表示﹣的点．20．已知，如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，如AB=8，BC=10．求EC的长．21．（1）观察探索：===2，即=2；===3，即=3（2）大胆猜想：等于多少？（3）灵活运用：再举一个例子并通过计算验证：猜想并写出一般表达式．22．某次火灾事故中，消防员架起一架AB=25米长的云梯．如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．（1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降9米至A′（云梯长度不变），那么云梯的底部B′在水平方向应滑动多少米？五、（本大题共10分）23．“十一”黄金周期间，朱老师织织朋友去某影视城旅游．现有两家旅行社．报价都为520元．且提供服务完全相同．但针对组团游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过18人，每人都按八折收费．若超过18人，則超出部分按七五折收费，假设组团参加甲乙两家旅行社旅游的人数均为x人．（1）请分别写出甲，乙两家旅行社收取组团游的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式．（2）如果朱老师和朋友一共有30人去旅游．那你计算下，在甲、乙两家旅行社中，朱老师应选择哪家？六、（本大题12分）24．观察如图，A点为正比例函数y=x与一次函数y=﹣x+7的图象的交点（1）求点A的坐标；（2）设x轴上一点P（a，b），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧）分别交y=x和y=﹣x+7的图象于点B，C，连接OC，若BC=OA，求△OBC的面枳．某某省某某乐平市2015～2016学年度八年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，C．6，8，11 D．5，12，23【考点】勾股定理的逆定理．【专题】计算题．【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12=，∴能构成直角三角形，故B正确；C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．2．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+=0，则三角形的形状是（）A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．【解答】解：∵（a﹣6）2≥0，≥0，|c﹣10|≥0，又∵（a﹣b）2+=0，∴a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0，解得：a=6，b=8，c=10，∵62+82=36+64=100=102，∴是直角三角形．故选D．【点评】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．3．如果点A（﹣3，a）是点B（3，﹣4）关于原点的对称点，则a的值是（）A．﹣4 B．4 C．4或﹣4 D．无法确定【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），求出即可．【解答】解：∵点A（﹣3，a）是点B（3，﹣4）关于原点的对称点，故选：B．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，熟练掌握相关性质是解题关键．4．点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标一定为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（﹣3，﹣2）D．以上都不对【考点】点的坐标．【分析】点P到x轴的距离为3，则这一点的纵坐标是3或﹣3；到y轴的距离为2，那么它的横坐标是2或﹣2，从而可确定点P的坐标．【解答】解：∵点P到x轴的距离为3，∴点的纵坐标是3或﹣3；∵点P到y轴的距离为2，∴点的横坐标是2或﹣2．∴点P的坐标可能为：（2，3）或（2，﹣3）或（﹣2，3）或（﹣2，﹣3），故选D．【点评】本题考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．5．结合正比例函数y=4x的图象回答：当x＞1时，y的取值X围是（）A．y=1 B．1≤y＜4 C．y=4 D．y＞4【考点】正比例函数的性质．【分析】首先画出正比例函数y=4x的图象，经过原点和（1，4）点，然后再根据图象可直接得到答案．【解答】解：如图所示：当x＞1时，y＞4，故选：D．【点评】此题主要考查了画正比例函数的图象，关键是掌握正比例函数y=kx（k≠0）图象经过（0，0）和（1，k）．6．如图，在Rt△PQR中，∠PRQ=90°，RP=RQ，边RP在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的是（）A．﹣2 B．﹣2C．1﹣2D．2﹣1【考点】实数与数轴；勾股定理．【分析】首先利用勾股定理计算出QP的长，进而可得QP1的长度，再由点Q表示的数为1可得答案．【解答】解：QP===2，∵Q表示1，∴P1表示的是1﹣2，故选：C．【点评】此题主要考查了实数与数轴，以及勾股定理，关键是正确计算出PQ的长．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）7．在﹣，，，﹣，3.14，0，﹣1，，||中，其中：整数有0，|﹣1| ；无理数有，，﹣1，；有理数有﹣，﹣，3.14，0，|| ．【考点】实数．【分析】由于无限不循环小数是无理数；有理数包括整数和分数．整数包括正整数、负整数和0；所以根据以上实数的分类解答即可．【解答】解：整数：0，||；无理数：，，﹣1，；有理数：﹣，﹣，3.14，0，||．故答案为：0，||；，，﹣1，；﹣，﹣，3.14，0，||．【点评】此题主要考查了实数的分类，解答此题的关键是熟知以下概念：整数包括正整数、负整数和0；无限不循环小数是无理数；有理数包括整数和分数．8．一次函数y=3x+b的图象过坐标原点，则b的值为0 ．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【专题】计算题；待定系数法．【分析】可根据一次函数的特点求出b的值．【解答】解：解答本题有两种方法：（1）一次函数y=3x+b的图象过坐标原点，则函数为正比例函数，解析式为y=3x；（2）把（0，0）代入y=3x+b，得b=0；解析式为y=3x．故答案为0．【点评】本题要熟悉一次函数的性质，且明确正比例函数是一次函数的特殊情况．9．算术平方根等于它本身的数是0和1 ．【考点】算术平方根．【专题】计算题．【分析】由于一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，算术平方根等于它本身的数是只能是0和1．由此即可求解．【解答】解：算术平方根等于它本身的数是0和1．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题需熟练掌握平方根和算术平方根的概念且区分清楚，才不容易出错．要熟悉特殊数字0，1，﹣1的特殊性质．10．如图，Rt△AOB的斜边长为5，一直角边OB长为4，则点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，0）．【考点】勾股定理；坐标与图形性质．【分析】先根据OB=4求出B点坐标，再根据勾股定理求出OA的长，进而可得出A点坐标．【解答】解：∵点B在x轴正半轴上，OB=4，∴B（4，0）．∵AB=5，∴OA===3，∴A（0，3）．故答案为：（0，3），（4，0）．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．11．的平方根是±2．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：的平方根是±2．故答案为：±2【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．将一根26cm的筷子，置于底面直径为9cm，高12cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的最小值是11 cm．【考点】勾股定理的应用．【分析】筷子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的筷子与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出筷子在水杯中的最大长度，筷子总长度减去杯子里面的长度即露在外面的最小长度．【解答】解：设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的最大长度为c，根据勾股定理，得：c2=a2+b2，∴c===15（cm），∴h的最小值=26﹣15=11（cm）．故答案为：11．【点评】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，善于观察题目的信息，由勾股定理求出c是解题的关键．13．若x3=256，则x= 4；若x3=﹣216，则x= ﹣6 ．【考点】立方根．【专题】计算题；实数．【分析】两方程利用立方根定义开立方即可求出x的值．【解答】解：若x3=256，则x=4；若x3=﹣216，则x=﹣6．故答案为：4；﹣6．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．14．已知点A（a，0）和点B（0，5）两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形面积等于20，则a的值是±8．【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．【专题】计算题．【分析】利用三角形面积公式得到•5•|a|=20，然后解绝对值方程即可得到a的值．【解答】解：根据题意得•5•|a|=20，解得a=8或a=﹣8．即a的值为±8．故答案为±8．【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．三、（本大题共4小題，每小题6分，共24分）15．（+）（﹣）﹣．【考点】实数的运算．【分析】根据实数的运算法则先把二次根式化简，再运用平方差公式计算．【解答】解：原式=7﹣3﹣4=0．【点评】此题主要考查了实数的运算，比较简单，解答此类题目时要注意平方差公式的运用，需同学们熟练掌握．16．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路程．【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】画出正方体的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示，∵PB=AB=6，AQ=2，∴BQ=6+2=8，∴PQ===10．答：蚂蚁爬行的最短路程是10．【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．17．某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后毎年增产2万元．（1）写出年产值y（万元）与年数x之间的函数关系式并画出其图象；（2）求6年后的产值．【考点】一次函数的应用；一次函数的图象；根据实际问题列一次函数关系式．【专题】函数及其图像；一次函数及其应用．【分析】（1）根据等量关系：年产值=现产值+增产部分，列出函数关系式，根据关系式画出图象；（2）求6年后的年产值，就是当年数x=6时，代入函数式y=2x+15求出y的值即为年产值．【解答】解：（1）根据题意，现在年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，则x年后增加2x 万元，∴年产值y与年数x之间的函数关系式y=2x+15（x≥0）；函数图象如下：（2）将x=6代入解析式得：y=2x+15=2×6+15=27（x≥0）．答：6年后的产值为27万元．【点评】本题考查理解题意能力，能够根据题意中的等量关系建立函数关系式，求出函数式根据函数式画图象以及代入x求y的值．18．在平面直角坐标系中，描出下列各点：A（﹣2，﹣1），B（4，﹣1），C（3，2），D（0，2），并计算四边形ABCD的面积．【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．【专题】计算题．【分析】先描点得到四边形ABCD为等腰梯形，然后根据梯形的面积公式计算即可．【解答】解：如图，四边形ABCD的面积=×（3+6）×3=．【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标进行相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．解决本题的关键是画出几何图形得到四边形为等腰梯形．四、（本大題共4小题，每小题8分.共32分）19．（1）在6×6的网格中（每个小正方形边长均为1）．画出一个面积为10的正方形；（2）在数轴上找到表示﹣的点．【考点】勾股定理；实数与数轴．【专题】作图题．【分析】（1）由正方形的性质和勾股定理即可得出结果；（2）根据勾股定理可以知道，一个直角三角形的斜边为2，一直角边为1时，另一直角边为，在数轴上画出即可，﹣在原点的左边．【解答】解：（1）∵面积为10的正方形的边长为，=，∴四边形ABCD即为所求，如图1所示：（2）如图2所示：以原点O为圆心，所画直角边的斜边OB为半径画弧，交数轴的负半轴于一点C，点C即为表示﹣的点．【点评】本题考查了勾股定理的应用、正方形的性质、实数与数轴；注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．20．已知，如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，如AB=8，BC=10．求EC的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先根据勾股定理求出BF的长，借助翻转变换的性质及勾股定理求出DE的长即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=8；∠B=∠C=90°；由题意得：AF=AD=10，EF=DE=λ，EC=8﹣λ；由勾股定理得：BF2=102﹣82，∴BF=6，CF=10﹣6=4；在△EFC中，由勾股定理得：λ2=42+（8﹣λ）2，解得：λ=5，EC=8﹣5=3．【点评】该题主要考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理，解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答．21．（1）观察探索：===2，即=2；===3，即=3（2）大胆猜想：等于多少？（3）灵活运用：再举一个例子并通过计算验证：猜想并写出一般表达式．【考点】算术平方根．【专题】计算题；规律型．【分析】（1）观察已知等式，做出探索；（2）根据已知等式做出猜想即可；（3）举一个例子，验证，归纳总结得到一般性规律，写出即可．【解答】解：（1）观察探索：===2，即=2；===3，即=3；（2）根据题意猜想得：=5；（3）===6，得到一般性规律为=n（n为正整数）．【点评】此题考查了算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．22．某次火灾事故中，消防员架起一架AB=25米长的云梯．如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．（1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降9米至A′（云梯长度不变），那么云梯的底部B′在水平方向应滑动多少米？【考点】勾股定理的应用．【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑9米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．【解答】解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO===24（米）；答：这个梯子的顶端A距地面有24m；（2）梯子下滑了9米即梯子距离地面的高度为OA′=24﹣9=15（米），根据勾股定理：OB′==20（米），所以当梯子的顶端下滑9米时，梯子的底端水平后移了20﹣7=13（米），答：当梯子的顶端下滑9米时，梯子的底端水平后移了13米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．五、（本大题共10分）23．“十一”黄金周期间，朱老师织织朋友去某影视城旅游．现有两家旅行社．报价都为520元．且提供服务完全相同．但针对组团游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过18人，每人都按八折收费．若超过18人，則超出部分按七五折收费，假设组团参加甲乙两家旅行社旅游的人数均为x人．（1）请分别写出甲，乙两家旅行社收取组团游的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式．（2）如果朱老师和朋友一共有30人去旅游．那你计算下，在甲、乙两家旅行社中，朱老师应选择哪家？【考点】一次函数的应用；根据实际问题列一次函数关系式．【专题】计算题；分类讨论；函数思想；一次函数及其应用．【分析】（1）根据题意，甲旅行社收取的总费用=原价×折扣×人数，人数超过18人时，乙旅行社收取的总费用=前18人总费用+超出人数的费用，可列出函数关系式；（2）当x=30时，分别计算两旅行社费用，比较可知．【解答】解：（1）根据题意，甲旅行社收取的总费用y与x间的函数关系式为：y=520×0.8x=416x；当0≤x≤18时，乙旅行社收取的总费用y与x间的函数关系式为：y=520×0.8x=416x；当x＞18时，乙旅行社收取的总费用y与x间的函数关系式为：y=520×0.8×18+520×0.75×（x﹣18）=390x+468；故乙旅行社收取的总费用y与x间的函数关系式为：；（2）当x=30时，甲旅行社收取的总费用y=416×30=12480（元），乙旅行社收取的总费用y=390×30+468=12168（元），∵12168＜12480，∴朱老师应选择乙旅行社．【点评】本题考查了一次函数的实际应用，解答本题的关键是乙旅行社收费与人数之间的关系要分类讨论，属中档题．六、（本大题12分）24．观察如图，A点为正比例函数y=x与一次函数y=﹣x+7的图象的交点（1）求点A的坐标；（2）设x轴上一点P（a，b），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧）分别交y=x和y=﹣x+7的图象于点B，C，连接OC，若BC=OA，求△OBC的面枳．【考点】两条直线相交或平行问题．【分析】（1）联立两一次函数的解析式求出x、y的值即可得出A点坐标；（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中根据勾股定理求出OA的长，故可得出BC的长，根据P（a，0）可用a表示出B、C的坐标，故可得出a的值，由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）由题意得，解得．则A（4，3）；（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中，由勾股定理得，OA===5．∴BC=OA=×5=14．∵P（a，0），∴B（a，a），C（a，﹣a+7），∴BC=a﹣（﹣a+7）=a﹣7，∴a﹣7=14，解得a=12，∴S△OBC=BC•OP=×14×12=84．word【点评】本题考查的是两条直线相交或平行问题，根据题意作出辅助线．构造出直角三角形是解答此题的关键．21 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某某省某某市新区2015-2016学年八年级数学上学期期中试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是( )A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠DC．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF3．下列语句中正确的有( )句①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧．A．1 B．2 C．3 D．44．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A．△ABC 的三条中线的交点B．△ABC 三边的中垂线的交点C．△ABC 三条角平分线的交点D．△ABC 三条高所在直线的交点5．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°6．若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边的平方为( )A．25 B．7 C．25或16 D．25或77．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图，则下列说法正确的有几个，大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是( )（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE；（5）AB∥CD．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在第1个△ABA1中，∠B=52°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此作法进行下去，第2014个三角形的底角的度数为( )A．B．C．D．二、填空题（本大题共11小题，每题2分，共22分）9．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为__________cm．10．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为__________，斜边上的高为__________．11．在△ABC中，∠A=50°，当∠B的度数=__________时，△ABC是等腰三角形．12．如图，AB∥DC，请你添加一个条件使得△ABD≌△CDB，可添条件是__________．（添一个即可）13．如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70°，∠AEB=100°，则∠C=__________°．14．如图，已知△ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，D为垂足，若∠ABE：∠EBC=2：1，则∠A=__________．15．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是__________cm．16．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为__________．17．△ABC的周长为60，∠A和∠B的平分线相交于点P，若点P到边AB的距离为10，则△ABC 的面积为__________．18．如图，E为正方形ABCD边AB上一点，BE=3AE=3，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE 的最小值是__________．19．如图：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为__________．三、解答题（本大题共7小题，共54分）20．如图，方格纸上画有AB、CD两条线段，请你在图中添上一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．（不写作法）．21．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P，简要说明理由．22．如图，五边形ABCDE中，BC=DE，AE=DC，∠C=∠E，DM⊥AB于M，试说明M是AB中点．23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC=20，BE=4，求AB的长．24．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G．求证：（1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形．25．把一X长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，求：（1）DF的长；（2）重叠部分△DEF的面积．26．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是__________，QE与QF的数量关系式__________；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．2015-2016学年某某省某某市新区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此可知只有第三个图形不是轴对称图形．【解答】解：根据轴对称图形的定义：第一个图形和第二个图形有2条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第三个图形找不到对称轴，则不是轴对称图形，不符合题意．第四个图形有1条对称轴，是轴对称图形，符合题意；轴对称图形共有3个．故选：C．【点评】本题考查了轴对称与轴对称图形的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．2．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是( )A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠DC．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF【考点】全等三角形的判定．【分析】根据题目所给的条件结合判定三角形全等的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、AC=DF，BC=EF，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；C、AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，可以利用ASA定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、AB=DE，BC=EF，AC=DF可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．下列语句中正确的有( )句①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轴对称的性质．【分析】认真阅读4个小问题提供的已知条件，根据轴对称的性质，对题中条件进行一一分析，得到正确选项．【解答】解：①关于一条直线对称的两个图形一定能重合，正确；②两个能重合的图形全等，但不一定关于某条直线对称，错误；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，正确；④两个轴对称图形的对应点不一定在对称轴的两侧，还可以在对称轴上，错误．故选B．【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，找着每个问题的正误的具体原因是正确解答本题的关键．4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A．△ABC 的三条中线的交点B．△ABC 三边的中垂线的交点C．△ABC 三条角平分线的交点D．△ABC 三条高所在直线的交点【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选C．【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．5．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．6．若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边的平方为( )A．25 B．7 C．25或16 D．25或7【考点】勾股定理．【分析】分两种情况：①当3和4为两条直角边长时；②当4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．【解答】解：分两种情况：①当3和4为两条直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方=斜边长的平方=32+42=25；②当4为斜边长时，第三边长的平方=42﹣32=7；综上所述：第三边长的平方是7或25；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键，注意分清斜边和直角边长．7．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图，则下列说法正确的有几个，大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是( )（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE；（5）AB∥CD．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】此题可以通过作辅助线来得解，取AD的中点F，连接EF．根据平行线的性质可证得（1）（4）（5），根据梯形中位线定理可证得（3）正确．根据全等三角形全等的判定可证得（2）的正误，即可得解．【解答】解：如图：取AD的中点F，连接EF．∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD；[结论（5）]∵E是BC的中点，F是AD的中点，∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位线定理）①；∴∠CDE=∠DEF（两直线平等，内错角相等），∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，∴DF=EF；∵F是AD的中点，∴DF=AF，∴AF=DF=EF②，由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[结论（3）]由②得∠FAE=∠FEA，由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[结论（1）]由结论（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，则∠DEA=90°，即AE⊥DE；[结论（4）]．由以上结论及三角形全等的判定方法，无法证明△EBA≌△DCE．正确的结论有4个，故选D．【点评】本题考查了平行线的判定及性质、梯形中位线定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，是一道难度较大的综合题型．8．如图，在第1个△ABA1中，∠B=52°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此作法进行下去，第2014个三角形的底角的度数为( )A．B．C．D．【考点】等腰三角形的性质．【专题】规律型．【分析】先根据等腰三角形的性质求出第1个三角形的底角即∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出第2、3、4个三角形的底角即∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第2014个三角形的底角的度数．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B=52°，AB=A1B，∴∠BA1A==，∵A1A2=A1C，∠B A1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1=∠BA1A=；同理可得，∠DA3A2=，∠EA4A3=，∴第2014个三角形的底角的度数为．故选C．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，进而找出规律是解答此题的关键．二、填空题（本大题共11小题，每题2分，共22分）9．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为35cm．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．故其周长是35cm．故答案为：35．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．10．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为13，斜边上的高为．【考点】勾股定理．【分析】可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．【解答】解：由勾股定理可得：AB2=52+122，则AB=13，直角三角形面积S=×5×12=×13×CD，可得：斜边的高CD=．故答案为：13，．【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理，此题难度不大．11．在△ABC中，∠A=50°，当∠B的度数=50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定；三角形内角和定理．【专题】分类讨论．【分析】由已知条件，根据题意，分两种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角，③∠A=∠C=50°，利用三角形的内角和进行求解．【解答】解：①∠A是顶角，∠B=（180°﹣∠A）÷2=65°；②∠A是底角，∠B=∠A=50°．③∠A是底角，∠A=∠C=50°，则∠B=180°﹣50°×2=80°，∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．12．如图，AB∥DC，请你添加一个条件使得△ABD≌△CDB，可添条件是AB=CD等（答案不唯一）．（添一个即可）【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】由已知二线平行，得到一对角对应相等，图形中又有公共边，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠ABD=∠CDB，又BD=BD，①若添加AB=CD，利用SAS可证两三角形全等；②若添加AD∥BC，利用ASA可证两三角形全等．（答案不唯一）故填AB=CD等（答案不唯一）【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．13．如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70°，∠AEB=100°，则∠C=15°．【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质求出∠C=∠D，根据三角形的外角性质求出∠CAE=∠O+∠D=∠O+∠C，推出∠AEB=∠C+∠CAE=∠C+∠O+∠C，代入求出即可．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠C=∠D，∵∠CAE=∠O+∠D=∠O+∠C，∴∠AEB=∠C+∠CAE=∠C+∠O+∠C，∵∠O=70°，∠AEB=100°，∴100°=70°+2∠C，∴∠C=15°，故答案为：15．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C=∠D和推出∠AEB=∠O+2∠C．14．如图，已知△ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，D为垂足，若∠ABE：∠EBC=2：1，则∠A=45°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】利用线段垂直平分线的性质可求得∠A=∠ABE，结合等腰三角形可求得∠C=∠ABC，结合条件可得到∠A和∠C的关系，在△ABC中利用三角形内角和可求得∠A．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵E在线段AB的垂直平分线上，∴EA=EB，∴∠ABE=∠A=2∠EBC，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠A+∠A，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+2（∠A+∠A）=180°，∴∠A=45°，故答案为：45°．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．注意三角形内角和定理的应用．15．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是17cm．【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】要求不在同一平面内的两点间的最短距离，首先要把两点所在的两个平面展开到一个平面内，然后根据题意确定数据，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：①如图1所示，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程．在Rt△ABD中，∵AD=AN+DN=5+10=15cm，BD=8cm，∴AB===17（cm）．②如图2所示，AB===（cm），∵＞17，∴需要爬行的最短路径是17cm．故答案为：17．【点评】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．16．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为4．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】常规题型．【分析】易证BD=AD，即可证明△BDF≌△ADC，即可求得DF=CD．【解答】解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴BD=AD，∵∠CAD+∠AFE=90°，∠CAD+∠C=90°，∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠C，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴DF=CD=4，故答案为4．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．17．△ABC的周长为60，∠A和∠B的平分线相交于点P，若点P到边AB的距离为10，则△ABC 的面积为300．【考点】角平分线的性质．【分析】作出图形，过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PE=PF，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：如图，过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵∠A和∠B的平分线相交于点P，∴PD=PE=PF=10，∵△ABC的周长为60，∴△ABC的面积=AB•PD+BC•PE+AC•PF=PD（AB+BC+AC）=×10×60=300．故答案为：300．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，作辅助线，得到点P到三边的距离相等是解题的关键．18．如图，E为正方形ABCD边AB上一点，BE=3AE=3，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE 的最小值是5．【考点】轴对称-最短路线问题．【专题】动点型．【分析】连接EC，则EC的长就是PA+PE的最小值．【解答】解：连接EC．∵BE=3AE=3，∴AB=4，则BC=AB=4，在直角△BCE中，CE===5．故答案是：5．【点评】本题考查了轴对称，理解EC的长是PA+PE的最小值是关键．19．如图：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为15°、30°、75°、120°．【考点】等腰三角形的判定．【分析】分别根据当AB=BP1时，当AB=AP3时，当AB=AP2时，当AP4=BP4时，求出答案即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴当AB=BP1时，∠BAP1=∠BP1A=30°，当AB=AP3时，∠ABP3=∠AP3B=∠BAC=×30°=15°，当AB=AP2时，∠ABP2=∠AP2B=×（180°﹣30°）=75°，当AP4=BP4时，∠BAP4=∠ABP4，∴∠AP4B=180°﹣30°×2=120°，∴∠APB的度数为：15°、30°、75°、120°．故答案为：15°、30°、75°、120°．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键．三、解答题（本大题共7小题，共54分）20．如图，方格纸上画有AB、CD两条线段，请你在图中添上一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．（不写作法）．【考点】利用轴对称设计图案．【分析】直接利用轴对称图形的性质分别判定得出答案．【解答】解：如图所示：线段AE，EF即为所求．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．21．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P，简要说明理由．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】作图题．【分析】到C和D的距离相等，应在线段CD的垂直平分线上；到路AO、OB的距离相等，应在路OA、OB夹角的平分线上，那么灯柱的位置应为这两条直线的交点．【解答】解：灯柱的位置P在∠AOB的平分线OE和CD的垂直平分线的交点上．∵P在∠AOB的平分线上，∴到两条路的距离一样远；∵P在线段CD的垂直平分线上，∴P到C和D的距离相等，符合题意．【点评】考查学生对角平分线及线段垂直平分线的理解；用到的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，则这条线段的垂直平分线上；到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．22．如图，五边形ABCDE中，BC=DE，AE=DC，∠C=∠E，DM⊥AB于M，试说明M是AB中点．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】证明题．【分析】连接AD、BD．易证△ADE≌△DBC，再根据全等三角形的性质可得AD=DB，即△ABD 是等腰三角形，而DM⊥AB，利用等腰三角形三线合一定理可得M是AB中点．【解答】证明：连接AD、BD，∵，∴△ADE≌△DBC（SAS），∴AD=BD，又∵DM⊥AB，∴M是AB的中点．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形三线合一定理；作出辅助线是正确解答本题的关键．23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC=20，BE=4，求AB的长．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】（1）求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出AE=AF，BE=CF，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△BED和Rt△CFD中∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BED≌Rt△CFD，∴AE=AF，CF=BE=4，∵AC=20，∴AE=AF=20﹣4=16，∴AB=AE﹣BE=16﹣4=12．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．24．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G．求证：（1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）利用平行线的性质得出∠GDF=∠CEF进而利用ASA得出△GDF≌△CEF；（2）利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．【解答】证明：（1）∵DG∥AC∴∠GDF=∠CEF（两直线平行，内错角相等），在△GDF和△CEF中，∴△GDF≌△CEF（ASA）；（2）由（1）△GDF≌△CEF得DG=CE又∵BD=CE，∴BD=DG，∴∠DBG=∠DGB，∵DG∥AC，∴∠DGB=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，比较简单，判定两三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，需要熟练掌握．25．把一X长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，求：（1）DF的长；（2）重叠部分△DEF的面积．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据折叠的性质知：BF=DF，用DF表示出FC，在Rt△DCF中，利用勾股定理可求得DF的长；（2）作FH⊥AD于点H，求得FH，由折叠的性质和平行线的性质证得∠EFD=∠DEF，得出DE=DF，进一步利用三角形的面积计算公式即可求解．【解答】解：（1）设DF=x，由折叠可知BF=DF=x，∴FC=BC﹣BF=5﹣x，∵四边形ABCD为长方形，∴DC=AB=3，∠C=90°，AD∥BC，在Rt△DCF中，∠C=90°，DF2=DC2+FC2x2=32+（5﹣x）2x=3.4，∴DF=3.4Ccm；（2）作FH⊥AD于点H，则FH=AB=3，由折叠可知，∠EFB=∠EFD，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，∴∠EFD=∠DEF，∴ED=DF=3.4，S△DEF=×DE×FH=×3.4×3=5.1．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理等运用，矩形的性质，三角形的面积，掌握折叠的性质得出对应的线段和角相等是解决问题的关键．26．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系式QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【专题】压轴题．【分析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可；（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．【解答】解：（1）AE∥BF，QE=QF，理由是：如图1，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90°，在△BFQ和△AEQ中∴△BFQ≌△AEQ（AAS），∴QE=QF，故答案为：AE∥BF；QE=QF．（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∴∠QAD=∠FBQ，在△FBQ和△DAQ中∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF=QD，∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，∴QE=QF=Q D，即QE=QF．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∴∠1=∠D，在△AQE和△BQD中，，∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD，∵BF⊥CP，∴FQ是斜边DE上的中线，∴QE=QF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．。

广大附中八年级2015-2016第一学期期中试卷一 选择题（共10题，每题3分，合计30分）1 下列图案是轴对称图形的有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个2 下面是4组线段的长度，哪一组能组成三角形（ ）A 2，2，4B 5，5，5C 11，5，6D 3，8，24 3 如图，已知∠AOB=40°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA,MB ⊥OB,垂足分别为A,B 两点，则∠ MAB 等于（ ）4.已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为8，则它的周长为（ ）A 18B 21C 13D 18或215. 在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ②∠A:∠B:∠C=1：2：3 ③∠A=90°-∠B ④∠A=∠B=21∠C 中，能确定△ABC 为直角三角形的条件有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个6.如图所示，∠1-∠2，BC=EF,欲证△ABC ≌△DEF,则还须补充的一个条件是（ ）A . AB=DE B. ∠ACE=∠DEF C. BF=EC D. ∠ABC=∠DEF第6题 第7题 第8题7. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠CAB 的角平分线，DE ⊥AB 于E,已知AC=6cm ，则BD+DE 的和为（ ）A 5cm B. 6cm C.7cm D 8cm8.如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC,则（）A 点P在∠ABC的平分线上B 点P在∠ACB的平分线上C，点P在边AB的垂直平分线上 D.点P在边BC的垂直平分线上9.给出下列条件：①两边一角对应相等②两角一边对应相等③三角形中三角对应相等④三边对应相等，其中，不能是两个三角形全等的条件是（）A ①③ B. ①② C. ②③ D. ②④10.如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F,下列结论中不正确的是（）A. PE=PFB. AE=AFC. △APE≌△APFD. AP=PE+PF二填空题（共6题，每题3分，合计18分）11. 已知点P(-3，4)，关于X轴对称的点的坐标为___________________12. 如图，若∠A=70°，∠ABD=120°，则∠ACE=_____________________第12题第13题第15题13. 如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_________14. 一个三角形的三边长为2,5，x，另一个三角形的三边长为y，2,6.若这两个三角形全等，则x+y=_________________15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D,若∠B=20°，则∠DAC=____________16.如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°……这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了________________m.三解答题（共72分）17.（本题9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A,B,C三点在格点上。

2015-2016学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．2．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是( )A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣43．使分式有意义，则x的取值范围是( )A．x≠1 B．x=1 C．x≤1 D．x≥14．点A（2，3）关于y轴成轴对称的点的坐标是( )A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）5．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是( )A．AC=A′C′B．BC=B′C′C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′6．下列各式中，正确的是( )A．B．C．=D．7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )A．12 B．15 C．12或15 D．188．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )A．18°B．24°C．30°D．36°9．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．75°10．如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于( )A．50°B．75°C．80°D．105°二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为__________．12．因式分解：3x2﹣6x+3=__________．13．计算的结果是__________．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若DE=1cm，则BC=__________cm．15．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=__________度．16．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC=10cm，则△OMN的周长=__________．17．已知，则代数式的值为__________．18．如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为__________．19．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD=__________°．20．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于B E的对称点，在点E运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E的位置共有__________个．三、解答题21．分解因式．（1）x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）（2）（x2+1）2﹣4x2．22．计算：（1）．（2）．23．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．24．解方程：．25．已知：如图，AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC．求证：BD=CE．26．甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？27．小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由；（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请写出图3中所有与∠PAB相等的角，并说明理由；（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．28．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l 上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F 为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DF=EF．附加题（满分20分，计入总分）29．已知：a﹣b=2，2a2+a﹣4=0，则=__________．30．已知：，则（b﹣c）x+（c﹣a）y+（a﹣b）z的值为__________．31．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC 交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE （3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．2015-2016学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是( )A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接提取公因式a即可．【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．3．使分式有意义，则x的取值范围是( )A．x≠1 B．x=1 C．x≤1 D．x≥1【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：A．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．4．点A（2，3）关于y轴成轴对称的点的坐标是( )A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，由此可求出．【解答】解：点A（2，3）关于y轴成轴对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选：B．【点评】本题考查了关于坐标轴对称的两点的坐标关系，根据关于y轴对称的两点的性质得出是解题关键．5．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是( )A．AC=A′C′B．BC=B′C′C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据图形和已知看看是否符合即可．【解答】解：A、∠A=∠A′，AB=A′B′AC=A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；B、具备∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了对全等三角形判定的应用，注意：判定两三角形全等的方法有ASA，SAS，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判断两三角形全等．6．下列各式中，正确的是( )A．B．C．=D．【考点】分式的基本性质．【专题】计算题．【分析】利用分式的基本性质对各式进行化简即可．【解答】解：A、已经是最简分式，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、=，故本选项错误；D、利用分式的基本性质在分式的分子与分母上同时乘以x+y即可得到，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是在进行分式的运算时要同时乘除．7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )A．12 B．15 C．12或15 D．18【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )A．18°B．24°C．30°D．36°【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣72°=18°．故选A．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．9．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】生活中的轴对称现象；平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠2=60°，根据∠1、∠2对称，则能求出∠1的度数．【解答】解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，∵∠3=30°，∴∠2=60°，∴∠1=60°．故选：C．【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想．10．如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于( )A．50°B．75°C．80°D．105°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案．【解答】解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为3.5×10﹣5米．【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000035米=3.5×10﹣5米．故答案为：3.5×10﹣5米．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．因式分解：3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：3x2﹣6x+3，=3（x2﹣2x+1），=3（x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．计算的结果是4．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂及绝对值，然后合并即可得出答案．【解答】解：原式=2﹣1+3=4．【点评】此题考查了零指数幂及负整数指数幂的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若DE=1cm，则BC=3cm．【考点】含30度角的直角三角形；角平分线的性质．【专题】计算题．【分析】根据角平分线性质求出CD的长和∠DAE的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，代入BC=BD+CD求出即可．【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE=1，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2，∴BC=1+2=3，故答案为：3．【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出CD和BD的长是解此题的关键．15．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=15度．【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．16．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC=10cm，则△OMN的周长=10cm．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】由BO为∠ABC的平分线，得到一对角相等，再由OM与AB平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换得到∠MBO=∠MOB，再由等角对等边得到OM=BM，同理ON=CN，然后利用三边之和表示出三角形OMN的周长，等量代换得到其周长等于BC的长，由BC的长即可求出三角形OMN的周长．【解答】解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠DBO，又OM∥AB，∴∠ABO=∠MOB，∴∠MBO=∠MOB，∴OM=BM，同理ON=CM，∵BC=10cm，则△OMN的周长c=OM+MN+ON=BM+MN+NC=BC=10cm．故答案为10cm．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．17．已知，则代数式的值为4．【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，得出关系式，所求式子变形后代入计算即可求出值．【解答】解：解法一：∵﹣=﹣=3，即x﹣y=﹣3xy，则原式===4．解法二：将原式的分子和分母同时除以xy，===4故答案为：4．【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母．18．如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为．【考点】角平分线的性质．【专题】探究型．【分析】过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线的性质可得出DE=DF，再由AB=4，△ABD 的面积为3求出DE的长，由AC=2即可得出△ACD的面积．【解答】解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵AB=4，△ABD的面积为3，∴S△ABD=AB•DE=×4×DE=3，解得DE=；∴DF=，∵AC=2，∴S△ACD=AC•DF=×2×=．故答案为：．【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．19．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD=45°．【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】根据当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC即可得出∠PCD的度数．【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°，∴∠PCD=45°．故答案为：45°．【点评】此题主要考查了轴对称求最短路线问题，根据已知得出D点关于MN的对称点，正好是A点是解题关键．20．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点，在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有4个．【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定；轴对称的性质．【专题】压轴题．【分析】分为三种情况：①以BC为底时，有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA 为半径的圆的交点；②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；③以CP为底，B为顶点时，没有，∵是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．【解答】解：分为三种情况：①以BC为底时，有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点；②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；③以CP为底，B为顶点时，没有，∵是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点；综上满足要求的P有4个，故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，轴对称的性质等知识点，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．三、解答题21．分解因式．（1）x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）（2）（x2+1）2﹣4x2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题；因式分解．【分析】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x2（m﹣2）+9y2（m﹣2）=（m﹣2）（x2﹣9y2）=（m﹣2）（x﹣3y）（x+3y）（2）原式=（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）=（x﹣1）2（x+1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．计算：（1）．（2）．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题；分式．【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；（2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=••=﹣；（2）原式===．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．【考点】分式的化简求值．【专题】探究型．【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=×=a+1．当a=﹣1时，原式=﹣1+1=．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．24．解方程：．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：（x+3）（x+1）﹣8=x2﹣1，去括号得：x2+4x+3﹣8=x2﹣1，移项合并得：4x=4，解得：：x=1，经检验x=1是原方程的增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．25．已知：如图，AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC．求证：BD=CE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角与角之间的等量关系求出∠BAD=∠CAE，根据SAS证△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质推出即可．【解答】证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE﹣∠BAE=∠EAC﹣∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=EC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．26．甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？【考点】分式方程的应用．【专题】应用题．【分析】设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，再由甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同，可得出方程，解出即可得出答案．【解答】解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，由题意得，=，解得：x=45，经检验：x=45是原方程的解．答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到等量关系，根据等量关系建立方程，注意不要忘记检验．27．小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由；（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请写出图3中所有与∠PAB相等的角，并说明理由；（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．【考点】作图—应用与设计作图；平行线的性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据平行线的性质得出即可；（2）根据题意，有3个角与∠PAB相等．由等腰三角形的性质，可知∠PAB=∠PDA；又对顶角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行线性质，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；（3）作出线段AB的垂直平分线EF，由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线，故EF即为所求作的图形．【解答】解：（1）PC∥a（两直线平行，同位角相等）；（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，如图，∵PA=PD，∴∠PAB=∠PD A，∵∠BDC=∠PDA（对顶角相等），又∵PC∥a，∴∠PDA=∠1，∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；（3）如图，作线段AB的垂直平分线EF，则EF是所求作的图形．【点评】本题涉及到的几何基本作图包括：（1）过直线外一点作直线的平行线，（2）作线段的垂直平分线；涉及到的考点包括：（1）平行线的性质，（2）等腰三角形的性质，（3）对顶角的性质，（4）垂直平分线的性质等．本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作图能力，是一道好题．题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答．28．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l 上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F 为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DF=EF．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°﹣α，且∠DBA+∠BAD=180°﹣α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论．（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，得到BD=EA，∠DBA=∠CAE，再△DBF≌△EAF（SAS），得到DF=EF，∠BFD=∠AFE，求出∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，所以△DEF 为等边三角形．即可得到DF=EF．【解答】解：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）成立∵∠BD A=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等是解题的关键．附加题（满分20分，计入总分）29．已知：a﹣b=2，2a2+a﹣4=0，则=﹣2．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题；分式．【分析】由a﹣b=2可得b=a﹣2，代入变为只含有a的代数式，由2a2+a﹣4=0可得，再代入前面化简后的式子，即可解答本题．【解答】解：∵a﹣b=2，∴b=a﹣2．∴=+==．∵2a2+a﹣4=0，∴．∴=．故答案为：﹣2．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是可以将题目中的式子灵活变化，变为所求式子需要的条件30．已知：，则（b﹣c）x+（c﹣a）y+（a﹣b）z的值为0．【考点】分式的混合运算；解三元一次方程组．【专题】计算题；整体思想．【分析】设=k，从而可得b+c﹣a=①，c+a﹣b=②，a+b﹣c=③，然后用k、x、y、z分别表示出a、b、c，代入所求代数式就可解决问题．【解答】解：设=k，则b+c﹣a=①，c+a﹣b=②，a+b﹣c=③．由①+②+③得：a+b+c=④，由④﹣①得：a=，由④﹣②得：b=，由④﹣③得：c=，则原式=•x+•y+•z==0．故答案为0．【点评】本题考查了分式的混合运算，解三元一次方程组等知识，运用整体思想是解决本题的关键．31．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC 交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE （3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质．【分析】（1）过点C作CF⊥y轴于点F通过证△ACF≌△ABO得CF=OA=1，AF=OB=2，求得OF的值，就可以求出C的坐标；（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，先证明△ACG≌△ABD就可以得出CG=AD=CD，∠DCE=∠GCE=45°，再证明△DCE≌△GCE就可以得出结论；（3）在OB上截取OH=OD，连接AH，由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD，可证∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，再证明△ACE≌△BAH就可以得出结论．【解答】（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，∴∠AFC=90°，∴∠CAF+∠ACF=90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，∴∠ACF=∠BAO．在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS）∴CF=OA=1，AF=OB=2∴OF=1∴C（﹣1，﹣1）；（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∴∠ACG=∠BAC=90°，∴∠AGC+∠GAC=90°．∵∠CAG+∠BAO=90°，∴∠AGC=∠BAO．∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，∴∠ADO=∠BAO，∴∠AGC=∠ADO．在△ACG和△ABD中∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG=AD=CD．∵∠ACB=∠ABC=45°，∴∠DCE=∠GCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE=∠G，∴∠ADB=∠CDE；（3）解：在OB上截取OH=OD，连接AH由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．∵∠ADH=∠BAO．∴∠BAO=∠AHD．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABO=∠EBO，∵∠AOB=∠EOB=90°．在△AOB和△EOB中，，∴△AOB≌△EOB（ASA），∴AB=EB，AO=EO，∴∠BAO=∠BEO，∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO．∴∠AEC=∠BHA．在△AEC和△BHA中，，∴△ACE≌△BAH（AAS）∴AE=BH=2OA∵DH=2OD∴BD=2（OA+OD）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．。

2015-2016学年福建省龙岩市上杭县八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）下列四个交通标志中，轴对称图形是（）A．B．C．D．2．（4分）七边形的外角和为（）A．1260°B．900°C．360° D．180°3．（4分）如图，∠1=∠2，3=∠4，OE=OF，则图中全等三角形有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对4．（4分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°5．（4分）如图，△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为（）A．9 B．8 C．6 D．126．（4分）三角形中，到三个顶点距离相等的点是（）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点7．（4分）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS8．（4分）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（）A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：169．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt △ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°10．（4分）如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则（）A．∠1=∠EFD B．BE=EC C．BF=DF=CD D．FD∥BC二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）等腰三角形的底角是80°，则它的顶角是．12．（3分）已知：如图，∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，请添加一个条件是．13．（3分）在活动课上，小红已有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是cm．14．（3分）如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为．15．（3分）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P 的距离BP=海里．16．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标．三、解答题（本大题共9小题，共92分）17．（8分）如图，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC，求证：△ABC≌△ADC．18．（10分）如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数．19．（8分）已知：如图：∠AOB．求作：∠AOB的平分线OC．（不写作法，保留作图痕迹）20．（8分）如图，写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标，并在图中画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．21．（10分）求出下列图形中的x值．22．（10分）如图，△ABC，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8，求CD的长．23．（12分）如图，CD⊥DB于D，AB⊥DB于B，CD=EB，AB=ED．求证：CE⊥AE．24．（12分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．25．（14分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD=DE．（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD=CE．（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F．）（3）若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果不成立，请说明理由．2015-2016学年福建省龙岩市上杭县八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）下列四个交通标志中，轴对称图形是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．2．（4分）七边形的外角和为（）A．1260°B．900°C．360° D．180°【解答】解：七边形的外角和为360°．故选：C．3．（4分）如图，∠1=∠2，3=∠4，OE=OF，则图中全等三角形有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【解答】解：如图，在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE，∴OA=OB，又∵OE=OF，∴AE=BF，在△AEM和△BFM中，∴△AEM≌△BFM．共2对．故选：B．4．（4分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2=180°﹣50°﹣72°=58°．∵图中的两个三角形全等，∴∠1=∠2=58°．故选：D．5．（4分）如图，△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为（）A．9 B．8 C．6 D．12【解答】解：在△ABC中，∵∠B=60°，AB=AC，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△ABC为等边三角形，∵BC=3，∴△ABC的周长为：3BC=9，故选：A．6．（4分）三角形中，到三个顶点距离相等的点是（）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点【解答】解：根据到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可以判断：三角形中，到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．故选：D．7．（4分）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【解答】解：∵O是AA′、BB′的中点，∴AO=A′O，BO=B′O，在△OAB和△OA′B′中，∴△OAB≌△OA′B′（SAS），故选：A．8．（4分）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（）A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：16【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=8：6=4：3，故选：B．9．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt △ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°，∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．故选：D．10．（4分）如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则（）A．∠1=∠EFD B．BE=EC C．BF=DF=CD D．FD∥BC【解答】解：在△AFD和△AFB中，∵AF=AF，∠1=∠2，AD=AB，∴△ADF≌△ABF，∴∠ADF=∠ABF．∵AB⊥BC，BE⊥AC，即：∠BAC+∠C=∠BAC+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠C，即：∠ADF=∠ABF=∠C，∴FD∥BC，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）等腰三角形的底角是80°，则它的顶角是20°．【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为80°∴顶角=180°﹣80°×2=20°．故答案为：20°．12．（3分）已知：如图，∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，请添加一个条件是AC=BD或BC=AD或∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA．【解答】解：∵∠ACB=∠BDA=90°，AB=BA，∴可以添加AC=BD或BC=AD利用HL判定；添加∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA利用AAS判定．故填空答案为：AC=BD或BC=AD或∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA．13．（3分）在活动课上，小红已有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是8cm．【解答】解：当第三根是4cm时，其三边分别为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系，故舍去；当第三根是8cm时，其三边分别是8cm，8cm，4cm，符合三角形三边关系；所以第三根长8cm．故填8．14．（3分）如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为19cm．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AC=2AE=6cm，又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．故答案为19cm．15．（3分）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P 的距离BP=7海里．【解答】解：过P作PD⊥AB于点D．∵∠PBD=90°﹣60°=30°且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°∴∠PAB=∠APB∴BP=AB=7（海里）故答案是：7．16．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．【解答】解：如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，△ACE和△ACB全等，点E的坐标是：（1，5），（1，﹣1），（5，﹣1），故答案为：（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．三、解答题（本大题共9小题，共92分）17．（8分）如图，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC，求证：△ABC≌△ADC．【解答】证明：在△BAC和△DAC中，，∴△BAC≌△DAC（AAS）．18．（10分）如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数．【解答】解：∵DE∥BC，∠AED=80°，∴∠ACB=∠AED=80°（两直线平行，同位角相等），∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACB=40°，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD=40°（两直线平行，内错角相等）．19．（8分）已知：如图：∠AOB．求作：∠AOB的平分线OC．（不写作法，保留作图痕迹）【解答】解：作法：①以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA、OB于两点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧相交于点C；③作射线OC．20．（8分）如图，写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标，并在图中画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．【解答】解：△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标分别为：A1（﹣3，﹣2），B1（﹣4，3），C1（﹣1，1），如图所示：△A2B2C2，即为所求．21．（10分）求出下列图形中的x值．【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540，∴90°x°+（x﹣10）°+x°+（x+20）°=540°，解得：x=110°．22．（10分）如图，△ABC，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8，求CD的长．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠A=∠ABD，∴DB=AD=8，∵∠C=90°，∠CBD=30°，∴CD=DB，∴CD=4．23．（12分）如图，CD⊥DB于D，AB⊥DB于B，CD=EB，AB=ED．求证：CE⊥AE．【解答】解：∵CD⊥DE，AB⊥DB，∴∠D=∠B=90°，在△EDC和△ABE中∵，∴△EDC≌△ABE（SAS），∴∠CED=∠A，∵∠B=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠CED+∠AEB=90°，∴∠CEA=90°，∴CE⊥AE．24．（12分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．【解答】解：CF⊥DE，CF平分DE，理由是：∵AD∥BE，∴∠A=∠B，在△ACD和△BEC中，∴△ACD≌△BEC（SAS），∴DC=CE，∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE．25．（14分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD=DE．（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD=CE．（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F．）（3）若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果不成立，请说明理由．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，∵D为AC中点，∴∠DBC=30°，AD=DC，∵BD=DE，∴∠E=∠DBC=30°∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=30°=∠E，∴CD=CE，∵AD=DC，∴AD=CE；（2）成立，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，则∠ADF=∠ACB=60°，∵∠A=60°，∴△AFD是等边三角形，∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°，∵DF∥BC，∴∠FDB=∠DBE=∠E，在△BFD和△DCE中∴△BFD≌△DCE，∴CE=DF=AD，即AD=CE．（3）（2）中的结论仍成立，如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP=PD=AD，∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°，∵DB=DE，∴∠DBC=∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB=∠CBD，∴∠PDB=∠DEC，在△BPD和△DCE中，∴△BPD≌△DCE，∴PD=CE，∴AD=CE．。

安阳市第六十三中学2015-2016学年第一学期期中考试卷八年级数学一、选择题（每小题3分，共30分）1．如下图是用纸折叠成的图案，其中是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是 ( )．A．1cm, 2cm, 3cm B．2cm, 5 cm, 8cmC．4 cm, 5 cm, 10 cm D．3 cm, 4 cm, 5 cm3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）.A B C D4．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C，②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，③∠A＝90°－∠B，④∠A＝∠B－∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 ()．A．1个B．2个 C．3个D．4个5．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 6．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若已知AB=AD，AC=AE，则还需条件（）A．∠B=∠D B．∠C=∠E C．∠1=∠2 D．∠3=∠4第5题第6题第7题7．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，DA=DB=5，△ABD的面积为10，则AC长是（）A． 3 B．4 C．5 D．68．如图所示，∠1＝∠2，DFAC=，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是A. CEBC= B.DFBACE∠=∠ C. DEAB= D. DA∠=∠①③②ABD第8题 第9题 第10题9．如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是A ．带②去B ．带①去C ．带①和②去D ．带③去10如图，在下列条件中，不能．．证明ABD ACD △≌△的是 A ．BD DC AB AC ==， Ｂ．ADB ADC BD DC ∠=∠=，Ｃ．B C BAD CAD ∠=∠∠=∠， Ｄ．B C BD DC ∠=∠=，二、填空题（每题3分，共27分）11．等腰三角形的一个内角是100°，那么另外两个内角的度数分别为 ．12．已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m+n= ．13.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是 边形？14．如图，已知△ABC ，BC=10，BC 边的垂直平分线交AB ，BC 于点E 、D ．若△ACE 的周长为12，则△ABC 的周长为 ．第14题 第15题 第16题15．已知△ABC 中，AC+BC=24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长＝__________.16．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__________.17. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，BC=10cm ，BD=7cm ，则点D 到AB 的距离是 .18.在△ABC 中，∠B=70°，DE 是AC 的垂直平分线，且∠BAD:∠BAC=1:3， 则∠C= .19 如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：① AD=BE；② PQ ∥AE；③ AP=BQ；④ DE=DP；⑤ ∠AOB=60°．一定成立的结论有____________（把你认为正确的序号都填上）．第17题 第18题 第19题A B D CA B C E D O P Q A E B D C AB MC N O三、解答题（本题共9个小题，满分63分）20. (5分)如图，（1）画出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1（2）直接写出△ABC 关于x 轴对称的三角形△A 2B 2C 2的各点坐标。

2015-2016学年吉林省长春市德惠三中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）（2015秋•渠县期末）5的算术平方根是（ ） A ．5B ．√5C ．±√5D ．252．（3分）（2015秋•德惠市校级期中）在实数√−13、0、√3、225中，无理数是（ ）A ．√−13B ．0C ．√3D ．2253．（3分）（2015秋•德惠市校级期中）下列计算正确的是（ ） A ．m 3+m 2＝m 5B ．m 6÷m 2＝m 3C ．（m 3）2＝m 9D ．m 3•m 2＝m 54．（3分）（2015秋•德惠市校级期中）下列命题是假命题的是（ ） A ．对顶角相等B ．两直线平行，内错角相等C ．同角的余角相等D ．两个锐角的和等于直角5．（3分）（2017秋•盐田区校级期中）如图，数轴上点N 表示的数可能是（ ）A ．√10B ．√6C ．√3D ．√26．（3分）（2015秋•德惠市校级期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．那么判定△MOC ≌△NOC 的依据是（ ）A ．边角边B ．边边边C ．角边角D ．角角边7．（3分）（2018秋•定安县期中）若a ＝1.6×109，b ＝4×103，则a ÷b 等于（ ） A ．4×105B ．4×106C ．6.4×106D ．6.4×10128．（3分）（2012•巴中）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是（）A．AB＝AC B．∠BAC＝90°C．BD＝AC D．∠B＝45°二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）（2016•连云港）化简：√83═．10．（3分）（2015秋•德惠市校级期中）分解因式：ab+a＝．11．（3分）（2012秋•德化县期中）若（x+2）•（x+m）＝x2﹣3x﹣10，则m＝．12．（3分）（2015秋•德惠市校级期中）如图，在△ABD和△CDB中，AD＝CB，AB、CD 相交于点O，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB．你补充的条件是．13．（3分）（2010•湖州）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是．14．（3分）（2018春•涟源市期末）计算：20152﹣2014×2016＝．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）（2015秋•德惠市校级期中）计算：√4+√1 83+√9．16．（6分）（2015秋•德惠市校级期中）计算：﹣2x•（3x2+x﹣4）17．（6分）（2015秋•德惠市校级期中）计算：（4x2y+3xy2﹣xy）÷xy．18．（7分）（2015秋•德惠市校级期中）如图，∠3、∠4分别为△ABC与△ABD的外角．已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AC＝AD．19．（7分）（2014•吉林）先化简，再求值：x（x+3）﹣（x+1）2，其中x=√2+1．20．（7分）（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．21．（8分）（2009•瑞安市校级自主招生）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形顶点上．请你在图①和图②中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：（1）以点B为一个顶点，另外两个顶点也在小正方形顶点上；（2）与△ABC全等，且不与△ABC重合．22．（9分）（2015秋•德惠市校级期中）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项分解成2（x ﹣2）（x﹣4）．（1）求原来的二次三项式．（2）将（1）中的二次三项式分解因式．23．（10分）（2015秋•德惠市校级期中）如图，正方形ABCD与正方形EFGC的边长分别为a、b，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF．（1）求阴影部分图形的面积（用含a、b的代数式表示）．（2）若a+b＝8，ab＝15，则阴影部分图形的面积为．24．（12分）（2015秋•德惠市校级期中）感知：如图①．AB＝AD，AB⊥AD，BF⊥AF于点F，DG⊥AF于点G．求证：△ADG≌△BAF．拓展：如图②，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．应用：如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ABE与△CDF的面积之和为．2015-2016学年吉林省长春市德惠三中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）（2015秋•渠县期末）5的算术平方根是（ ） A ．5B ．√5C ．±√5D ．25【解答】解：5的算术平方根是√5， 故选：B ．2．（3分）（2015秋•德惠市校级期中）在实数√−13、0、√3、225中，无理数是（ ）A ．√−13B ．0C ．√3D ．225【解答】解：√−13、0、225是有理数，√3是无理数．故选：C ．3．（3分）（2015秋•德惠市校级期中）下列计算正确的是（ ） A ．m 3+m 2＝m 5B ．m 6÷m 2＝m 3C ．（m 3）2＝m 9D ．m 3•m 2＝m 5【解答】解：A 、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A 错误； B 、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B 错误； C 、幂的乘方底数不变指数相乘，故C 错误； D 、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D 正确； 故选：D ．4．（3分）（2015秋•德惠市校级期中）下列命题是假命题的是（ ） A ．对顶角相等B ．两直线平行，内错角相等C ．同角的余角相等D ．两个锐角的和等于直角【解答】解：A ．对顶角相等，是真命题； B ．两直线平行，内错角相等，是真命题； C ．同角的余角相等，是真命题；D ．两个锐角的和不一定等于直角，故本选项错误；5．（3分）（2017秋•盐田区校级期中）如图，数轴上点N 表示的数可能是（ ）A ．√10B ．√6C ．√3D ．√2【解答】解：∵N 在2和3之间， ∴√4＜N ＜√9， ∵√10＞√9， ∴可排除A ； ∵√3＜√4，√2＜√4， ∴可排除C 、D ． 故选：B ．6．（3分）（2015秋•德惠市校级期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．那么判定△MOC ≌△NOC 的依据是（ ）A ．边角边B ．边边边C ．角边角D ．角角边【解答】解：在△MOC 与△NOC 中， {OM =ON CM =CN OC =OC， ∴△MOC ≌△NOC （SSS ）． 故选：B ．7．（3分）（2018秋•定安县期中）若a ＝1.6×109，b ＝4×103，则a ÷b 等于（ ） A ．4×105B ．4×106C ．6.4×106D ．6.4×1012【解答】解：∵a ＝1.6×109，b ＝4×103，∴a ÷2b ＝（1.6×109）÷（4×103）＝0.4×106＝4×105．8．（3分）（2012•巴中）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是（）A．AB＝AC B．∠BAC＝90°C．BD＝AC D．∠B＝45°【解答】解：添加AB＝AC，符合判定定理HL；添加BD＝DC，符合判定定理SAS；添加∠B＝∠C，符合判定定理AAS；添加∠BAD＝∠CAD，符合判定定理ASA；选其中任何一个均可．故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）3═2．9．（3分）（2016•连云港）化简：√8【解答】解：∵23＝83=2．∴√8故填2．10．（3分）（2015秋•德惠市校级期中）分解因式：ab+a＝a（b+1）．【解答】解：原式＝a（b+1），故答案为：a（b+1）11．（3分）（2012秋•德化县期中）若（x+2）•（x+m）＝x2﹣3x﹣10，则m＝﹣5．【解答】解：∵（x+2）•（x+m）＝x2﹣3x﹣10，∴x2+（m+2）x+2m＝x2﹣3x﹣10，∴m+2＝﹣3，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．12．（3分）（2015秋•德惠市校级期中）如图，在△ABD和△CDB中，AD＝CB，AB、CD 相交于点O，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB．你补充的条件是∠A＝∠C．【解答】解：∠A ＝∠C ， 理由是：∵在△AOD 和△COB 中 {∠AOD =∠COB ∠A =∠C AD =BC∴△AOD ≌△COB （AAS ）， 故答案为：∠A ＝∠C ．13．（3分）（2010•湖州）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 （a ﹣b ）（a +b ）＝a 2﹣b 2 ．【解答】解：如图；图甲：大矩形的面积可表示为： ①（a ﹣b ）（a +b ）；②a （a ﹣b ）+b （a ﹣b ）＝a 2﹣ab +ab ﹣b 2＝a 2﹣b 2； 故（a ﹣b ）（a +b ）＝a 2﹣b 2； 图乙：大正方形的面积可表示为： ①a （a ﹣b +b ）＝a 2；②a （a ﹣b ）+b （a ﹣b ）+b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）+b 2； 故a 2＝b 2+（a +b ）（a ﹣b ），即a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）．所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）．14．（3分）（2018春•涟源市期末）计算：20152﹣2014×2016＝1．【解答】解：20152﹣2014×2016＝20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）＝20152﹣（20152﹣1）＝20152﹣20152+1＝1．故答案是：1．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）（2015秋•德惠市校级期中）计算：√4+√1 83+√9．【解答】解：原式＝2+12+3＝512．16．（6分）（2015秋•德惠市校级期中）计算：﹣2x•（3x2+x﹣4）【解答】解：原式＝﹣6x3﹣2x2+8x．17．（6分）（2015秋•德惠市校级期中）计算：（4x2y+3xy2﹣xy）÷xy．【解答】解：原式＝4x+3y﹣1．18．（7分）（2015秋•德惠市校级期中）如图，∠3、∠4分别为△ABC与△ABD的外角．已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AC＝AD．【解答】证明：∵∠3+∠ABC＝180°，∠4+∠ABD＝180°，∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD，∵∠1＝∠2，AB＝AB，在△ABC与△ABD中，{∠1=∠2AB =AB ∠ABC =∠ABD ， ∴△ABC ≌△ABD ， ∴AC ＝AD ．19．（7分）（2014•吉林）先化简，再求值：x （x +3）﹣（x +1）2，其中x =√2+1． 【解答】解：原式＝x 2+3x ﹣x 2﹣2x ﹣1 ＝x ﹣1， 当x =√2+1时， 原式=√2+1﹣1=√2．20．（7分）（2014•吉林）如图，△ABC 和△DAE 中，∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AE ，AC ＝AD ，连接BD ，CE ，求证：△ABD ≌△AEC ．【解答】证明：∵∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAC ﹣∠BAE ＝∠DAE ﹣∠BAE ， 即∠BAD ＝∠CAE ， 在△ABD 和△AEC 中， {AD =AC∠BAD =∠EAC AB =AE， ∴△ABD ≌△AEC （SAS ）．21．（8分）（2009•瑞安市校级自主招生）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC 的顶点都在小正方形顶点上．请你在图①和图②中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件： （1）以点B 为一个顶点，另外两个顶点也在小正方形顶点上； （2）与△ABC 全等，且不与△ABC 重合．【解答】解：以下答案供参考：画对一个得（3分），画对两个得（6分）．22．（9分）（2015秋•德惠市校级期中）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项分解成2（x ﹣2）（x﹣4）．（1）求原来的二次三项式．（2）将（1）中的二次三项式分解因式．【解答】解：（1）∵2（x﹣1）（x﹣9）＝2x2﹣20x+18，2（x﹣2）（x﹣4）＝2x2﹣12x+16，∴原来的二次三项式为2x2﹣12x+18；（2）原式＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2．23．（10分）（2015秋•德惠市校级期中）如图，正方形ABCD与正方形EFGC的边长分别为a、b，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF．（1）求阴影部分图形的面积（用含a、b的代数式表示）．（2）若a+b＝8，ab＝15，则阴影部分图形的面积为192．【解答】解：（1）S阴影＝S正方形ABCD+S正方形EFGC﹣S△ABD﹣S△BGF＝a2+b2−12a2−12b（a+b）＝a2+b2−12a2−12ab−12b2=12a2+12b2−12ab；（2）∵a +b ＝8，ab ＝15，∴阴影部分的面积为12[（a +b ）2﹣3ab ]=12×（64﹣45）=192， 故答案为：19224．（12分）（2015秋•德惠市校级期中）感知：如图①．AB ＝AD ，AB ⊥AD ，BF ⊥AF 于点F ，DG ⊥AF 于点G ．求证：△ADG ≌△BAF ．拓展：如图②，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角，已知AB ＝AC ，∠1＝∠2＝∠BAC ．应用：如图③，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＞BC ，点D 在边BC 上，CD ＝2BD ，点E 、F 在线段AD 上，∠1＝∠2＝∠BAC ．若△ABC 的面积为12，则△ABE 与△CDF 的面积之和为 8 ．【解答】解：感知：∵AB ⊥AD ，BF ⊥AF ，DG ⊥AF ，∴∠DGA ＝∠BF A ＝∠DAB ＝90°，∴∠DAG +∠F AB ＝90°，．∠B +∠F AB ＝90°，∴∠B ＝∠DAG ，在△ADG 和△BAF 中，{∠B =∠DAG ∠AFB =∠DGA AB =AD∴△ADG ≌△BAF ．拓展：如图②，：∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ，∵∠1＝∠ABE +∠3，∠3+∠4＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ， ∴∠BAC ＝∠ABE +∠3，∴∠4＝∠ABE ，在△ABE 和△CAF 中，{∠AEB =∠AFC ∠ABE =∠4AB =AC，∴△ABE ≌△CAF （AAS ）．应用如图③，∵在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，CD ＝2BD ， ∴△ABD 与△ADC 等高，底边比值为：1：2， ∴△ABD 与△ADC 面积比为：1：2，∵△ABC 的面积为12，∴△ABD 与△ADC 面积分别为：4，8；∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ，∵∠1＝∠ABE +∠3，∠3+∠4＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ， ∴∠BAC ＝∠ABE +∠3，∴∠4＝∠ABE ，∴在△ABE 和△CAF 中，{∠AEB =∠AFC ∠ABE =∠4AB =AC，∴△ABE ≌△CAF （AAS ），∴△ABE 与△CAF 面积相等，∴△ABE 与△CDF 的面积之和为△ADC 的面积， ∴△ABE 与△CDF 的面积之和为8，故答案为：8．。

上饶市余干县2015-2016年八年级上期中数学试卷含答案解析一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，112．如果三角形一个内角等于另外两个内角之和，那么那个三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能3．已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )A．40° B．60°C．80°D．90°4．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1 =∠2；②BE=CF；③△ACN≌△AMB；④CD=DN．其中正确的结论是()A．①②③B．①③④C．①②D．②③5．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=E C，若BE=7，AB=3，则AD的长为( )A．3 B．5 C．4 D．不确定6．△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点），则在图中能够作出△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）7．三角形三个内角之比为1：2：3，则与这三个内角相邻的外角之比为__________．8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4，则点D到AB的距离为__________．9．已知等腰三角形两边长为13和7，则周长为__________．10．在△ABC中，AB=6cm，AC=13cm，则BC边上的中线的取值范畴是__________．11．如图，∠1=∠2，①当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD的依据是__________；②当∠C=∠D时，△ABC≌△ABD的依据是__________．12．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特点三角形”，其中α称为“特点角”．如果一个“特点三角形”的“特点角”为100°，那么那个“特点三角形”的最小内角的度数为___ _______．13．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为__________度．14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD 折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC=15°，则∠A′B D的度数为__________．三、解答题（共10小题，满分78分）15．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交A C于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．16．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．18．如图，AB=CD，BC=AD．求证：AB∥CD．19．如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．20．如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC 于E、D，①若△BCD的周长为8，求BC的长；②若BC=4，求△BCD的周长．21．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，（1）请找出图②中的全等三角形，并给予讲明（讲明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试讲明：DC⊥BE．22．如图，在等边△ABC中，D是AC边中点，延长BC到点E，使C E=CD，连接DE，试判定△BDE的形状，并讲明理由．23．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=DC，∠FCD=∠B AD，点F在AD上，BF的延长线交AC于点E．（1）求证：△ABD≌△CFD．（2）求证：BE⊥AC；（3）设CE的长为m，用含m的代数式表示AC+BF．24．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．（1）求证：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A旋转到图2位置时（BD＜CE），其余条件不变，咨询BD与DE，CE的关系如何，请证明；（3）若直线AE绕点A旋转到图3时（BD＞CE），其余条件不变，B D与DE，CE的关系如何样？请直截了当写出结果，不须证明．（4）归纳（1），（2），（3），请用简捷的语言表述BD与DE，CE的关系．2015-2016学年江西省上饶市余干县八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11【考点】三角形三边关系．【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【解答】解：A、因为1+2＜4，因此本组数不能构成三角形．故本选项错误；B、因为4+5=9，因此本组数不能构成三角形．故本选项错误；C、因为4+6＞8，因此本组数能够构成三角形．故本选项正确；D、因为5+5＜11，因此本组数不能构成三角形．故本选项错误；故选C．【点评】本题要紧考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就能够构成三角形．2．如果三角形一个内角等于另外两个内角之和，那么那个三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【考点】三角形内角和定理．【专题】应用题．【分析】按照三角形的外角性质和已知条件可得：那个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的；又因为外角与它相邻的内角互补，可得一个内角一定是90°，即可判定此三角形的形状．【解答】解：三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和，由此可知那个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，∴有一个内角一定是90°，故那个三角形是直角三角形．故选B．【点评】本题要紧考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是利用外角和内角的关系，比较简单．3．已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )A．40° B．60°C．80°D．90°【考点】三角形内角和定理．【分析】设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，再按照三角形内角和定理求出x的值即可．【解答】解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，则x+2x+x+20°=1 80°，解得x=40°，即∠A=40°．故选A．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．4．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1 =∠2；②BE=CF；③△ACN≌△AMB；④CD=DN．其中正确的结论是()A．①②③B．①③④C．①②D．②③【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】按照条件∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF可得△ABE≌△ACF，三角形全等的性质BE=CF；∠BAE=∠CAF可得①∠1=∠2；由AS A可得△ACN≌△ABM．④CD=DN不成立．【解答】解：在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS）∴∠BAE=∠CAF，AC=AB，BE=CF②∴∠BAE﹣∠BAC=∠CAF﹣∠BAC，即∠1=∠2．①在△ACN和△ABM中，，∴△ACN≌△ABM（ASA）③∴AN=AM，∴AB﹣AN=AC﹣AM，即BN=CM．在△CDM和△BDN中，，∴△CDM≌△BDN（AAS）∴CD=BD∴题中正确的结论应该是①②③．故选A．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，等式的性质的运用，对图中的全等三角形作出正确判定是正确解答本题的关键．5．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=E C，若BE=7，AB=3，则AD的长为( )A．3 B．5 C．4 D．不确定【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】按照同角的余角相等求出∠ACD=∠E，再利用“角角边”证明△ACD和△BCE全等，按照全等三角形对应边相等可得AD=BC，AC= BE，然后求解即可．【解答】解：∵∠DCE=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵BE⊥AC，∴∠CBE=90°，∠E+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠E，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴AD=BC，AC=BE=7，∵AB=3，∴BC=AC﹣AB=7﹣3=4．故选C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练把握三角形全等的判定方法是解题的关键．6．△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点），则在图中能够作出△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定．【专题】网格型．【分析】和△ABC全等，那么必定有一边等于3，有一边等于，又一角等于45°．据此找点即可，注意还需要有一条公共边．【解答】解：分三种情形找点，①公共边是AC，符合条件的是△ACE；②公共边是BC，符合条件的是△BCF、△CBG、△CBH；③公共边是AB，符合条件的三角形有，然而顶点不在网格上．故选D．【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，摸索要全面，不重不漏．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）7．三角形三个内角之比为1：2：3，则与这三个内角相邻的外角之比为5：4：3．【考点】三角形内角和定理．【专题】运算题．【分析】设三角形三个内角分不为x，2x，3x，按照三角形内角和定理得到x+2x+3x=180°，解得x=30°，再分不运算出它们的邻补角为180°﹣x=150°，180°﹣2x=120°，180°﹣3x=90°，然后运算这三个外角的比值即可．【解答】解：设三角形三个内角分不为x，2x，3x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°，则三角形三个外角的度数为180°﹣x=150°，180°﹣2x=120°，180°﹣3x=90°，则与这三个内角相邻的外角之比=150°：120°：90°=5：4：3．故答案为：5：4：3．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了邻补角．8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4，则点D到AB的距离为4．【考点】角平分线的性质．【分析】直截了当按照角平分线的性质可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4，∴点D到AB的距离为4．故答案为：4．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．9．已知等腰三角形两边长为13和7，则周长为33或27．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】推理填空题．【分析】按照等腰三角形的性质和三角形的三边关系能够明白13或7都能够作为腰长．【解答】解：（1）当边长为13的边为腰，则三角形的周长为13+13+7 =33；（2）当边长为7的边为腰，则三角形的周长为7+7+13=27．综上可得答案为：33或27．【点评】该题目考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，关键是确定准腰长．10．在△ABC中，AB=6cm，AC=13cm，则BC边上的中线的取值范畴是大于3.5且小于9.5．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接CE，则可得△ABD≌△EC D，得出AB=CE，在△ACE中，由三角形三边关系，即可求解结论．【解答】解：延长AD到E，使AD=DE，连接CE，如图，∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即AC﹣AB＜AE＜AC+AB，13﹣6＜AE＜13+6，即7＜AE＜19，∴3.5＜AD＜9.5，故答案为：大于3.5且小于9.5．【点评】本题要紧考查了全等三角形的判定及性质以及三角形三边关系咨询题，能够熟练运用是解此题的关键．11．如图，∠1=∠2，①当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD的依据是ASA；②当∠C=∠D时，△ABC≌△ABD的依据是AAS．【考点】全等三角形的判定．【分析】按照全等三角形的判定定理进行填空即可．【解答】解：①∵∠1=∠2，∠3=∠4，AB=AB，∴满足ASA；②∵∠1=∠2，∠C=∠D，AB=AB，∴满足AAS．故答案为：ASA，AAS．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．12．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特点三角形”，其中α称为“特点角”．如果一个“特点三角形”的“特点角”为100°，那么那个“特点三角形”的最小内角的度数为30°．【考点】三角形内角和定理．【专题】新定义．【分析】按照已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【解答】解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．【点评】此题要紧考查了新定义以及三角形的内角和定理，按照已知得出β的度数是解题关键．13．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为85度．【考点】三角形内角和定理．【专题】压轴题．【分析】先按照∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再按照三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．【解答】解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°，∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°．故答案为：85．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD 折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC=15°，则∠A′B D的度数为30°．【考点】翻折变换（折叠咨询题）．【分析】由梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠A′BC=15°，利用三角形外角的性质，可求得∠DA′B的度数，由折叠的性质，可得：∠A=∠DA′B=105°，∠ABD=∠A′BD，继而求得∠A′BD的度数．【解答】解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∴∠C=90°，∵∠A′BC=15°，∴∠DA′B=∠A′BC+∠C=15°+90°=105°，由折叠的性质可得：∠A=∠DA′B=105°，∠ABD=∠A′BD，∵AD∥BC，∴∠ABC=180°﹣∠A=75°，∴∠A′BD==30°．故答案为：30°．【点评】此题考查了折叠的性质、梯形的性质以及三角形的外角的性质．此题难度不大，注意把握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．三、解答题（共10小题，满分78分）15．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交A C于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】按照三角形外角与内角的关系及三角形内角和定明白得答．【解答】解：∵∠AFE=90°，∴∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°，∴∠CED=∠AEF=55°，∴∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42°=83°．答：∠ACD的度数为83°．【点评】三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．16．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．【解答】证明：∵BE=FC，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE；（SAS）∴∠A=∠D．【点评】此题考查简单的角相等，能够通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先按照已知条件或求证的结论确定三角形，然后再按照三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】先连接AC，由于AB=AD，CB=CD，AC=AC，利用SSS可证△ABC≌△ADC，因此∠B=∠D．【解答】证明：连接AC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是连接AC，构造全等三角形．18．如图，AB=CD，BC=AD．求证：AB∥CD．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．【专题】证明题．【分析】先按照”SSS“判定△ABD≌△CDB，则利用全等三角形的性质得∠ABD=∠CDB，然后按照平行线的判定方法即可得到结论．【解答】证明：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB，∴∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．也考查了平行线的判定．19．如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】过点B作BF⊥CE于F，按照同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，按照全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，按照矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证，【解答】证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，∵CE⊥AD，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D，在△BCF和△CDE中，，∴△BCF≌△CDE（AAS），∴BF=CE，又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE=BF，∴AE=CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键．20．如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC 于E、D，①若△BCD的周长为8，求BC的长；②若BC=4，求△BCD的周长．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可知BD+CD=5，易求BC；（2）按照第一咨询中BD+CD=5，易求△BCD的周长．【解答】解：①AB=AC=5，DE垂直平分AB，故BD=AD．BD+CD=AD+CD=5．△BCD的周长为8⇒BC=3；②∵BC=4，BD+CD=5，∴△BCD=BD+CD+BC=9．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质；进行线段的有效转移是正确解答本题的关键．21．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，（1）请找出图②中的全等三角形，并给予讲明（讲明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试讲明：DC⊥BE．【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】①能够找出△BAE≌△CAD，条件是AB=AC，DA=EA，∠B AE=∠DAC=90°+∠CAE．②由①可得出∠DCA=∠ABC=45°，则∠BCD=90°，因此DC⊥BE．【解答】解：（1）∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE，在△BAE和△DAC中∴△BAE≌△CAD（SAS）．（2）由（1）得△BAE≌△CAD．∴∠DCA=∠B=45°．∵∠BCA=45°，∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，∴DC⊥BE．【点评】本题要紧考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；充分利用等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．22．如图，在等边△ABC中，D是AC边中点，延长BC到点E，使C E=CD，连接DE，试判定△BDE的形状，并讲明理由．【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的判定．【分析】第一由在等边△ABC中，D是AC边中点，按照三线合一与等边对等角的性质，即可求得∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠ABC，又由CE =CD，按照等边对等角的性质，可得∠E=∠CDE，又由三角形外角的性质，即可求得∠E=∠ACB，则可得∠E=∠DBC，然后利用等角对等边，即可证得△BDE是等腰三角形．【解答】解：△BDE是等腰三角形．理由：∵在等边△ABC中，D是AC边中点，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠ABC=30°，∵CE=CD，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=∠ACB=30°，∴∠E=∠DBC，∴DB=DE．∴△BDE是等腰三角形．【点评】此题考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．23．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=DC，∠FCD=∠B AD，点F在AD上，BF的延长线交AC于点E．（1）求证：△ABD≌△CFD．（2）求证：BE⊥AC；（3）设CE的长为m，用含m的代数式表示AC+BF．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由AD⊥BC于点D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，按照A SA，即可判定：△ABD≌△CFD；（2）由△ABD≌△CFD，可得BD=DF，继而可得△BDF与△ACD是等腰直角三角形，则可求得∠AEF=90°，证得BE⊥AC；（3）易得AC+BF=CE+AE+BF=CE+EF+BF=CE+BE=CE+CE=2m．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△CFD中，，∴△ABD≌△CFD（ASA），（2）∵△ABD≌△CFD，∴BD=DF，∴∠FBD=∠BFD=45°，∴∠AFE=∠BFD=45°，又∵AD=DC，∴∠DAC=∠ACD=45°，∴∠AEF=90°，∴BE⊥AC．（3）解：∵∠EBC=∠ACD=45°，CE=m，∴BE=CE=m，又∵∠AFE=∠FAE=45°，∴AE=FE，∴AC+BF=CE+AE+BF=CE+EF+BF=CE+BE=CE+CE=2m．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意把握数形结合思想的应用．24．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．（1）求证：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A旋转到图2位置时（BD＜CE），其余条件不变，咨询BD与DE，CE的关系如何，请证明；（3）若直线AE绕点A旋转到图3时（BD＞CE），其余条件不变，B D与DE，CE的关系如何样？请直截了当写出结果，不须证明．（4）归纳（1），（2），（3），请用简捷的语言表述BD与DE，CE的关系．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）按照AAS证明Rt△ABD≌Rt△ACE，得BD=AE；AD= CE．按照AE=AD+DE代换即可；（2）明显关系不成立．同理证明Rt△ABD≌Rt△ACE，得BD=AE；AD=CE．现在DE=BD+CE；（3）同（2）；（4）按照前面证明的结论分类归纳．【解答】（1）证明：在△ABD和△CAE中，∵∠CAD+∠BAD=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAD=∠ABD．又∠ADB=∠AEC=90°，AB=AC，∴△ABD≌△CAE．（AAS）∴BD=AE，AD=CE．又AE=AD+DE，∴AE=DE+CE，即BD=DE+CE．（2）BD=DE﹣CE．证明：∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．又∵BD⊥DE，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠CAE．又AB=AC，∠ADB=∠CEA=90°，∴△ADB≌△CEA．∴BD=AE，AD=CE．∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD，即BD=DE﹣CE．（3）同理：BD=DE﹣CE．（4）当点BD、CE在AE异侧时，BD=DE+CE；当点BD、CE在AE 同侧时，BD=DE﹣CE．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，综合性较强．。