物理竞赛光学1

sin

n12 n22
n12 sin 2 qi

x a

Oz 轴的第一个交点处：
n12 n22
n12 sin 2 qi

x1 a
p
第一个交点坐标
y
x1 ap
n12 sin 2 q
n12 n22
O
n0 n2
x1
ax n1
Jianping Ding
n2 12
Jianping Ding
s' s
17
横向放大率
n
n’
P1
y
M
x’
O
P
F
-x -f
F’
f’
N
定义： y'
y
几何关系+近轴条件
P’
-y’
P1’
Jianping Ding
f 和 x'
x
f ' 18


f x
x' f'
y
i
P -x F -f
-s
折射定律：nsin i n'sin i'
n' n
反射成像公式：1 1 2 s' s r
平面镜：s’=-s
横向放大率 ns ' 1
n's
Jianping Ding
20
休息10分钟！
两个PPT文件的下载网址：
（1）http:// 文件名：镇江夏令营101.ppt
（2） http://
文件名：镇江夏令营102.ppt
Jianping Ding
bx a
a2 b2x2
2b2
2b3


n x x1 ds

x1
n
1 y'2 dx
x0 c
0c
y
x1 ap
n12 sin 2 q
n12 n22
c
pan12
n12 n22
1
sin 2 qi
2n12

dy ds
dx
x1
O n ny n1 1 2 y2
n12 sin 2 q
n12 n22
y
sin qiM n12 n22
vM

2cn2 n12 n22
Jianping Ding
qi O
n2
a
x1
n1
x
15
二、几何光学成像
单球面折射成像公式－－阿贝不变式：
n ' n ' n n 或 n' n n'n s ' r s r s' s r
光在光纤中的传输
2
例1： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射，
若平板折射率按 n0 1 4qx 变化，q 为常数，并在 A 点 以 a 角出射，求 光线轨迹、A 点的位置和平板厚度。
解：
Y
a
介质折射率连续变化，可将平
板沿 X 方向切成一系列薄片，对
x
A
每层薄片应用折射定律。d
(x,y)
化规律为: n n0 1 ay , 其中a = 1.0x10-6 m-1，某人站
在跑道上观看远处的跑道，他的眼睛离地面的高度为 1.69m。求该人能看到的跑道长度。 y 解：
折射定律：n0 n sin q
dy ctgq 1 1
dx
sin2 q
ay
q a
x
x 2 y 2 1.69 21.3103 m
解：折射定律---
y
空气--介质
界面： 1 n0 sinq0
介质内：n0 sinq0 nsinq
光线切向斜率：
dy tga ctgq
dx
q a
x
2ax 1 1
Jianping Ding sin 2 q
n 4ay 1 5
题3、飞机场跑道上空空气的折射率分布随地面高度y的变
1
n
Jianping Ding
b
a 2 24
解： 1
球面半径 R
n
b
a2
f ' n' r
单球面折射的焦点坐标公式----
n'n
f n r n n'
像方：
a R 1 n
n b
物方： b n (R)
a
Jianping Ding
n 1
25
例7、有一半径R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部分相 垂 直 的 轴 线 上 沿 轴 线 方 向 放 置 一 细 条 形 发 光 体 A1A2 ， 长 度 为 l=0.020m。若人眼在轴附近对着平面部分向半球望去，可看到发光 体的两个不很亮的像（更暗的像不必考虑），当发光体在轴上前后 移动时，这两个像也在轴上移动。如调整发光体的位置，使得两个 像恰好头尾相接连在一起，则发光体的近端A2距球心O的距离为 a2=0.020m，求此玻璃球的折射率 n（计算时只考虑近轴光线）。 (全国竞赛题）
n n’
O
f’
F’
i’ x’
s’
P’
-y’
近轴条件：sin i tani y 和 sin i' tan i' y'
s
s'
n y n' y'
s s'
y' ns'
Jianping Ding y n' s
19
单个球面的反射成像
r
-s O s’
n' n n'n s' s r
交点x坐标与τ的比值）
Jianping Ding
O
n ny n1 1 2 y2
n2 7
解：入射点：x=0, y=0, sin qi n1 cosa0
折射级联性质：n1 sin a0 nx sin a
n1 sina0 n1 1 2 y2 sina n1 1 2 y2 cosq
Jianping Ding a
10 6
6
例4、圆柱型光纤的纤芯半径为a，折射率介于n1和n2之间（1<n2<n1）
并按照
n ny 渐n1变1，n2为2 y距2 轴线a处的折射率， 为
常数，包裹层折射率也为n2 。光纤置于空气中，取Ox轴沿光纤轴
线方向，O为光纤端点的中心。假设 一束单色光从O点以入射角θi
结论：d
Jianping Ding
yA

sin a
2n0q
和
sin 2 a
xA 4n02q
nA
n02

sin
2
a 4
例2、光从空气折射进透明介质，入射点折射率为n0，入 射角近似 p/2，介质折射率与介质高度 y 有关，当折射光 线的轨迹是抛物线 y=ax2 时，求折射率与高度 y 的关系。
通过一线段元 ds 时间为 dt ds n ds vc
线段元 ds dx2 dy2 1 y'2 dx


n x x1 ds

x1
n
1 y'2 dx
x0 c
0c
y
x1 ap
n12 sin 2 q
n12 n22
Jianping Ding
dy ds
a
dx
P点光线的方向由x 决定:
sin
x

n0 nx

1 1 4qx
Y
nx n0 1 4qx
a
P点光线的切线斜率 kp :
k p tan x
1 4qx
d
x
A
P :(x, y)
曲线 y = f(x)与斜率 kp：k p
光线轨迹方程：y2 x

dy dx
O
X
q
A点条件： nA sin 90o A sin a 和nA sin A n0
1
两边对x再求导一次
2y'
y"
2 2 yy' sin 2 a0
2 y" sin 2 a0 y 0
y

A
sin

sin a
0
x
0

x=0, y=0 入射点初始条件：
y' x0 ctga0 y
n0
0 0
a0 P(x, y)
n2
ax
A cosa0

切线斜率
y
'

dy dx

tanq

1
cos2 q
1
1
sin 2
2 y2
a0
1
y'2 1 2 y2 1
sin 2 a0
qi
Jianping Ding
y
a0 P(x, y)
q
O
a
n n1 1 2 y2
n0 n2
ax
n2 8
一阶微分方程
y'2

1 2y2 sin 2 a0

n 1 r1
II 面： 1 n 1 n s2 ' s2 r2
Jianping Ding
1 s'

1 s

n
1
1 r1

1 r2

22
已得
1 s'

1 s

n
1
1 r1

1 r2

C2
O
r1 C1
-r2 n
I1 I2
s


时，1 f'

1 s'
21
例5. 推导薄透镜(的焦距公式-----透镜制造者公式
1 f'

(n
1)
1 r1

1 r2

C2
O
r1 C1
证明： I1面: s1, s1’, r1
-r2 n
I2面: s2, s2’, r2
I1 I2
薄透镜
s = s1, s’ = s2’, s2 = s1’
I
n
面：
s1 '

1 s1
进入光纤，入射面为xOy :
（亚洲奥赛04年题）
1）求出光线在光纤里的轨迹方程 y=f(x)；
2）求出光可以在光纤纤芯中传播的最大入射角θiM；
3) 当qi 0 和 <= qiM时，确定光由
O点入射到达与Ox轴的第一个 y
n0
交点的时间τ。
a0
4) qi ＝qiM时光信号沿光纤的
n2
ax
传输速度（定义为第一个 qi
解： n
分析－－
O
A1 A2 a2
R
两个像，一为平面反射的像；
另一个：经过平面折射 球面反射
Jianping Ding
平面折射
26
n n' n n'
折射定律决定光线在每一点的
方向，从而确定光线的轨迹； O
X
折射定律的级联形式：
nx n0 1 4qx
n0 n1 sin 1 nx sin x nA sin A
Jianping Ding
3
n0 n1 sin 1 nx sin x nA sin A
Jianping Ding
qi
O
n ny n1 1 2 y2
n2 9
y

cosa0
sin

sin a 0
x

另一个边界条件 y=a时 n=n2
则由 n ny n1 1 2 y2
n12 n22
a n1
此外已知 sin qi n1 cosa0

(n
1)

1 r1

1 r2

-----透镜制造者公式
透镜的成像公式： 1 1 1 s' s f '
Jianping Ding
23
例6、图示一细长圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面 （垂直于轴线）另一个端面为球面，现有一很细的光束沿 平行于轴线方向且很靠近轴线入射，当光从平端面射入棒 内时，光线从另一端射出后与轴线的交点到球面的距离为 a；光从球面端射入棒内时，光线在棒内与轴线的交点到 球面的距离为b，试近似求出玻璃的折射率n。（2008年全 国解预：赛题）
代入轨迹方程
qi
Jianping Ding
y
a0 P(x, y)
O
n ny n1 1 2 y2
n0 n2
ax
n2 10
1）光线在光纤里的轨迹方程
y
a sin qi
n12 n22
sin

n12 n22
n12 sin 2 qi

x a

2) 光可以在光纤纤芯中传播的最大入射角θiM；
物理夏令营－－光学
南京大学物理学院 丁剑平
一、光在非均匀介质中的传播 二、几何光学成像 三、光的干涉
Jianping Ding
四、光的偏振
2010年8月 1
一、光在非均匀介质中的传播 光线在非均匀介质中的传播可以看成是连续折射的过
程，逐点运用折射定律可以追踪光线的轨迹。
n
半径
Jianping Ding
x1
O
x
n ny n1 1 2 y2
y
a sin qi
n12 n22
sin

n12 n22
n12 sin 2 qi

x a13
利用积分 公式

dx 1 arcsin bx
a2 b2x2 x2dx
b x
a
a2
b2 x2

a2 arcsin
a
x
Jianping Ding
y
a sin qi
n12 n22
sin

n12 n22
n12 sin 2 qi

x a14
4) qi ＝qiM时光信号沿光纤的传输速度（= x1/τ）

c
pan12
n12 n22
1
sin 2 qi
2n12

x1 ap
平面面折射成像： n ' n s' s
n n’
P
O
P’
C
r
-s
s’
Jianping Ding
16
n' n n'n s' s r
F
O
C
n n’
F’
r
-f
f’
焦距公式
f
n
r ---物方焦点坐标
n n' f ' n' r ---像方焦点坐标
f n f ' n'Байду номын сангаас
n'n
高斯成像公式: f ' f 1
ya
a sin qi a
n12 n22
sin qiM n12 n22
y
a0 P(x, y)
n0 n2
ax
qi O
Jianping Ding
n2 11
3) 在入射角qi 0 和 <= qiM条件下，确定光由 O点入射传
播到与Ox轴的第一个交点的时间τ
y
a sin qi
n12 n22