[学习]复变函数与积分变换第5章留数及其应用

(1)若对一切n 0, 有Cn 0,则称 z0 为f (z)的可去奇点.
这时, f (z)= c0 + c1(zz0) +...+ cn(zz0)n +.... 0<|zz0|< ,
显然 lim z z0
f (z) c0, 补充定义
f
z0 c0 ，
则在圆域|zz0|< 内就有 f (z)=c0+c1(zz0)+...+cn(zz0)n +...,
例5.27求
f
(z)
(z4
例5.8求函数 f (z) sin z的零点及其阶数. 例5.9 求 f (z) z tan z(tan z sin z)的零点阶数.
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定理 5.4 若f (z)在 z0 解析,则 z0 为 f (z)的 m 级零点的 充要条件为：
f (n) (z0 ) 0, (n 0,1,L m 1), f (m) (z0 ) 0.
定理 5.7 设 f (z)在区域 D内除有限个孤立奇点 zk (k 1, 2,L n) 外解析,C为 D内包含各奇点的一条 正向简单闭曲线,则
n
ÑC f (z)dz 2 i Re s[ f (z), zk ]. k 1
定理 5.8 设 f (z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点， 设为 z1, z2,L , zn, ,则f (z)在各点的留数之和为零.
z0)+... (m1, cm0),
上式也可写成
f
(z)
(z
1 z0 )m
g(z) ，（）
其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +... ,
在 |zz0|< 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 .
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如果z0为 f (z)的极点, 由(*)式, 就有 lim f (z) . zz0
(z)
(z
1 1)( z
2)2
；
(4)
f
(z)
1
e z1
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2.函数零点与极点的关系
定义5.2 设f (z) (z z0 )m(z),若(z)在 z0 解析,
且(z0 ) 0 则称 z0 为 f (z)的 m 阶零点.
注：非常数解析函数的零点是孤立的.
例5.7求函数 f (z) z(z i)3 的零点及其阶数.
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定理5.6 设f (z)在 R | z z0 | 内解析,则 为 f (z)的可去奇点,极点或本性奇点的充要条件为： 存在有限，无穷的极限lim f (z)或不存在有限或
z
无穷的极限lim f (z). z
例5.14
判断z
是否为
f
(z)
1 1 z2
的孤立奇点？
为哪类奇点？并判断其阶数.
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Ñ 例5.25
计算积分
5z 2 |z|2 z(z 1)2 dz.
Ñ 例5.26 计算积分
sin2 z dz.
|z|2 z2 (z 1)
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定理 5.8 设 f (z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点， 设为 z1, z2,L , zn, ,则f (z)在各点的留数之和为零.
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例3
求
f
(z)
zn ez 1
(n 0)的极点。
f (z)
1
z1n 1 z 2! z m1 m!
z 0为1 n阶极点.
z 2k i为e z 1的一阶零点 (k 0) z 2k i为f (z)的一阶极点(k 0).
练习 求 f (z)
1
的极点的阶数.
z tan z(tan z sin z)
f
(z)
sin 2 z2
z
；
(2)f (z) z sin z ； 1 cos z
(3)f (z) z3 ; z 1
(5)f (z) ez ; z 1
(4)f
(z)
sin z2
z
；
1
(6)f (z) e z1 ;
可去奇点；可去奇点；极点；极点；
极点；本性奇点.
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例5.4 判断z=0是下列函数 的哪类奇点.
z0 ]
C1
1
2 i
f (z)dz.
C
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例5.19 求下列函数在原点处的留数.
(1)
f
(z)
1
ze z
;
(2)
fFra Baidu bibliotek
(
z)
z2
cos
1
；(3)
f
(
z)
sin
z
.
z
z
(4)
f
(z)
ez z2
;
(5)
f
(z)
z
sin
1 z
；(6)
f
(z)
tan
z (1 z3
cos
z)
.
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从而函数 f (z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.
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例如 z 0是 sin z 的可去奇点。因为这个函数在 z
z 0的去心邻域内的洛朗级数
sin z 1 (z 1 z3 1 z5 L ) 1 1 z2 1 z4 L
z z 3! 5!
3! 5!
中不含负幂的项.如果约定 sin z 在 z 0的值为1, z
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3.函数在无穷远点的形态
定义5.3设f (z)在 无穷远点的去心邻域R | z z0 | 内解析,则称无穷远点为 f (z)的孤立奇点.
作变换 w 1 把扩充z平面上的去心邻域 R<|z|<+映射成
扩充w平面上原点的z去心邻域：0 | w | 1 .
又
f (z)
f
( 1 ) (w)
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法则1：若 z0 为 f (z)的m阶极点，则
Re
s[
f
(z),
z0 ]
1 lim
(m 1)! zz0
d m1 dz m1
[( z
z0 )m
f
(z)].
例5.20求
f
(z)
ez z3
在
z
0 处的留数.
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推论1：若 z0 为 f (z)的简单极点，则
Re
s[
f
( z ),
z0
讨论函数
f (z) ez 1 zm
在 z 0 处的性态。
m 0 : z 0为解析点；m 1: z 0为可去奇点；
m
1:
f
(z)
1 zm
z
z2 2!
zm m!
z m1
(m 1)!
1 11
1z
z m1 2! z m1
m! (m 1)!
z 0为m 1阶极点。
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[解] 函数 1/sin z 的奇点显然是使 sin z=0 的点.这些奇点是
z=k (k=0,1,2,…).由于(sin z)'|z=k = cos z|z=k = (1)k 0, 所以 z=k 是 sin z 的一级零点, 也就是 1/sin z 的一级极点.
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例2
对 mZ
例5.10求函数 f (z) z3 1的零点及其阶数.
例5.11求函数 f (z) sin2 z的零点及其阶数.
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定理 5.5
若
z0 为 f (z)的 m 级零点的,则 z0 为
1 的m级 f (z)
极点，反之也成立.
例 1 函数1 sin z有些什么奇点? 如果是极点, 指出它的级.
f (z) Cn zn (R z ) n
(1)若对一切n 0, 有Cn 0,则称 为f (z)的可去奇点.
(2)若有且仅有有限个n 0, 使Cn 0，则称为f (z)的极点. 若Cm 0,而当n m, 有Cn 0，则称为f (z)的m级极点.
(3)若有无限个n 0, 使Cn 0，则称为f (z)的本性奇点.
(z i)(z 1)
孤立奇点：z i, z 1
例2 求函数 f (z) 1 的奇点,并判断哪些是 sin 1
z
孤立奇点.奇点：z 1 , z 0；孤立奇点：z 1
n
n
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1.孤立奇点的分类：
在孤立奇点z0 的去心邻域内,f (z)可展成洛朗级数
f (z) Cn (z z0 )n n
则 sin z 在z 0就成为解析的了. z
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(2)若有且仅有有限个n 0,使Cn 0，则称 z0 为f (z)的极点. 若Cm 0,而当n m,有Cn 0，则称 z0 为f (z)的m级极点.
即 f (z)=cm(zz0)m+...+c2(zz0)2+c1(zz0)1+c0+c1(z
Re
s[
f
( z ),
z0
]
P(z0 ) Q(z0 )
.
例5.23 求f (z) z 在z 处的留数.
cos z
2
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定义5.5
设为f
(z)的孤立奇点, 称
1
2 i
ÑC－
f
(z)dz
为f (z)在的留数,记为Re s[ f (z), ].
Ñ 即Re
s[
f
(z),
z0
]
1
2 i
.
这样,
R
我们可把在去心邻域R<|z|<+对f
(z)
w
的研究变为在0 |
w |
1
内对
解析, 所以w=0是孤立奇R点.
(w)的研究.显然
(w)在 0
|
w
|
1内 R
lim f z lim w f (z)在无穷远点 z= 的奇点类型
z
w0
等价于 (w)在w=0的奇点类型。
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在无穷远点的去心邻域内,f (z)可展成洛朗级数
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例题1 f (z) (z 2)(z2 1). z 为唯一奇点：3阶极点 .
例题2
z1
f (z) e z .
z 0与均为本性奇点 .
例题3
f
(z)
tan 1
e z
.
lim
f
(z)
1 为f
(z)的可去奇点 .
z
zk
1
k 1
2
k 0,1,2, 为本性奇点
z 0为非孤立奇点；
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§5.2 留数
1.留数的概念及留数定理
定义5.4 设z0为f (z)的孤立奇点,把f (z)在z0处的洛朗
展式中负一次幂的系数C1称为f (z)在 z0 处的留数,
记为Re s[ f (z), z0 ], 即Re s[ f (z), z0 ] C1.
Ñ 显然
Re
s[
f
(z),
(1)
f
(z)
tan 2 z2
z
；
(2)f
(z)
tan z sin z3 2z4
z
；
(1) f (z) ez 1； (2)f (z) sin z ；
sin z
ez 1
例5.6求下列函数的奇点,并判断是哪类奇点.
(1) f (z) sin z ； z
(2)f (z) sin z ； z2
(3)f
第五章 留数及其应用
§5.1 §5.2 §5.3
孤立奇点 留数 留数在定积分计算中的应用
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§5.1 孤立奇点
定义5.1设函数f (z)在 z0 处不解析,但在 z0 的去心邻域
0 | z z0 | 内处处解析,则称z0为 f (z)的孤立奇点.
例1 求函数 f (z)
1
的孤立奇点.
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例5.15 判断z 是否为 f (z) 1 2z z4的孤立奇点？ 为哪类奇点？并判断其阶数.
例5.16 判断z 是否为 f (z) ez 的孤立奇点？ 为哪类奇点？
例5.17 判断z 是否为 f (z) 1 的孤立奇点？ sin z
例5.18 判断z 是否为 f (z) tan z的孤立奇点？
]
lim ( z
z z0
z0
)
f
( z ).
例5.21求
1
在各孤立奇点处的留数.
z(z 2)(z 5)
例5.22求 z 在各孤立奇点处的留数. sin z
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推论2：若
f
(z)
P( Q(
z) z)
,
其中P(
z),
Q(
z)在z0解析，
且P(z0 ) 0，z0为Q(z)的简单零点，则
1
ez
1 z1
1
z2 L
1
zn L
有无穷多负幂项。
2!
n!
z0为f
(z)的本性奇点
lim
zz0
f
(z)不存在(也不为).
1
例如 limez 不存在且不为. z0
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综上所述:
如果z0为f
( z )的可去奇点
lim
z z0
f
( z )存在且有限;
如果z0为f
( z )的极点
例如, 对有理分式函数f
(z)
(z2
z2 1)(z 1)3
,
z 1是它的三级极点, z i是它的一级极点.
问题：z=0是 ez 1的几级极点？ z3
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(3)若有无限个n 0,使Cn 0，则称 z0 为f (z)的本性奇点.
1
例如 f (z) e z 以z 0为它的本性奇点.因为
lim
z z0
f
(z)
;
z0为
f
( z )的m级极点
lim ( z
z z0
z0 )m
f
(z)
Cm.
如果z0为f
( z )的本性奇点
lim
z z0
f
( z )不存在且不为.
我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的
类型.
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练习 求下列函数的有限奇点,并判断是哪类奇点.
(1)
C f (z)dz C1.
注: 即使z 为f (z)的可去奇点,其留数也 不一定为零. 例如f (z) 1 .
z
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法则2：Re
s[
f
(z),
]
Re
s[
f
(1) z
1 z2
,
0].
例5.24求 f (z) sin z cos z 在z 处的留数.
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