2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步1.2直观图课时作业北师大版必修2

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1 简单旋转体[A.基础达标］1．关于下列几何体,说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台解析：选D.图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面（轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．2．既能使一个截面是长方形,又能使另一个截面是圆面，则这个几何体可能是( )A．圆锥 B．圆台C．圆柱D．球解析:选C。

用平行于圆柱底面的截面去截圆柱，所得截面是圆面，用过圆柱轴的平面去截圆柱，所得截面是长方形．如图①②所示．3．一条直线被一个半径为17的球截得的线段长为30，则球心到直线的距离为（) A．13 B．12C．8 D．24解析：选C.如图所示，所求距离d＝172－152＝8.4．矩形ABCD(不是正方形）绕边所在直线旋转得到不同形状的圆柱的个数是（)A．1 B．2C．3 D．4解析：选B。

因为矩形的长宽不同，则形成2个不同形状的圆柱．5．一个圆锥的母线长为20 cm，母线所在直线与旋转轴的夹角为30°，则圆锥的高为（）A．10错误! cm B．20错误! cmC．20 cm D．10 cm解析：选A.圆锥的高即为经过轴的截面截得的等腰三角形的高，设为h。

1.2 直观图[学业水平训练]1.在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( ) A ．平行且相等 B ．平行不相等 C ．相等不平行D ．既不平行也不相等解析：选A.两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段也平行且相等． 2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )解析：选C.根据斜二测画法的规则：平行于x 轴或在x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段的长度在新坐标系中变为原来的12，并注意到∠xOy＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.3.水平放置的△ABC 有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A ′B ′C ′，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能解析：选C.用斜二测画法，原图的直角变成45°，直观图中的正△A ′B ′C ′的角度是60°，60°>45°.所以原图是钝角三角形．4.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )A.732B.73C ．5D.52解析：选A.把直观图还原成平面图形如图得，△ABC 为直角三角形，BC ＝8，AC ＝3，则AB 边上的中线为12 82＋32＝732.5.一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，则原三角形的面积为( )A.64 B.34 C.32 D.62解析：选D.设直观图为△A ′B ′C ′，原三角形为△ABC ，则S ′△A ′B ′C ′＝12×1× 12－（12）2＝34，S ′△A ′B ′C ′S △ABC ＝34S △ABC ＝24，∴S △ABC ＝3424＝62. 6.利用斜二测画法得到：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的是________．解析：根据斜二测画法可知在①②③④中，只有①正确，②、③、④不正确． 答案：①7.如图为水平放置的△ABC 的直观图，A ′B ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，若D 是△ABC 中BC 边的中点，那么AB ，AD ，AC 三条线段中最长的是________，最短的是________．解析：根据所给直观图，把△ABC 还原如图．则AC >AD >AB . 答案：AC AB8.一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为45°，腰和上底均为1，如图，则平面图形的实际面积为________．解析：把直观图还原为实际图得，则CD ＝1，OD ＝2，AB ＝A ′B ′＝1＋2， S 梯形ABCD ＝（1＋1＋2）2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O (0，0)，A (1，3)，B (3，1)，C (4，6)，D (2，5)．试画出四边形ABCD 的直观图．解：画法：(1)先画x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°(如图1)． (2)在原图中作AE ⊥x 轴，垂足为E (1，0)(图略)．(3)在x ′轴上截取O ′E ′＝OE ，作A ′E ′∥y ′轴，截取E ′A ′＝1.5.(4)同理确定点B ′，C ′，D ′，其中B ′G ′＝0.5，C ′H ′＝3，D ′F ′＝2.5. (5)连线成图(去掉辅助线)(如图2)．10.画一个上、下底面边长分别为0.8 cm 、1.5 cm ，高为1.5 cm 的正三棱台的直观图． 解：(1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°； (2)画下底面．以O 为中点，在x 轴上截取线段AB ，使AB ＝1.5 cm ，在y 轴上截取线段OC ，使OC ＝383 cm ，连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面；(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO ′，使OO ′＝1.5 cm.过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，在x ′O ′y ′中，重复(2)的步骤得上底面A ′B ′C ′(取A ′B ′＝0.8 cm ，O ′C ′＝35cm)．(4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，擦去辅助线，被遮线画为虚线，则三棱台ABC -A ′B ′C ′为要求画的三棱台的直观图．[高考水平训练]1.利用斜二测画法，下列叙述正确的是( ) A ．正三角形的直观图是正三角形 B ．平行四边形的直观图是平行四边形 C ．相等的线段在直观图中仍然相等 D ．全等三角形的直观图一定全等解析：选B.斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比，所以平行四边形的直观图是平行四边形．2．如图所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.解析：如图为原平面图形，所以此平行四边形的边长为1 cm和3 cm，所以周长为8 cm.答案：83.用斜二测画法画一个棱长为2的正方体的直观图．解：(1)画轴建系：画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面：在x轴上截取OA＝2，在y轴上截取OB＝1，并过B，A分别作x轴，y轴的平行线，交于C.如图(1)．(3)画顶点：在Oz轴上取OO′＝2，过A，B，C分别作z轴的平行线，并截取A′A＝BB′＝CC′＝2.如图(2)．(4)连线成图：连接O′A′，A′C′，B′C′，O′B′，并擦去辅助线，且被遮盖的部分改为虚线，得所求的图．如图(3)．4．如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．。

§2直观图1.下列叙述中正确的个数是()①相等的角,在直观图中仍相等;②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等;③若两条线段平行,在直观图中对应的线段仍平行;④若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直.A.0B.1C.2D.3解析:从原图到直观图只能保证平行的仍然平行,故只有③正确,正确命题的个数只有1个.答案:B2.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()解析:按斜二测画法的规则,平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变,在y轴上或平行于y轴的线段长度在新坐标系中变为原来的,并注意到∠xOy=90°,∠x'O'y'=45°,将图形还原成原图形知选C.答案:C3.如图所示的是水平放置的三角形的直观图,D是BC边的中点,AB,BC分别与y'轴,x'轴平行,则原图形中三条线段AB,AD,AC中()A.最长的是AB,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AC,最短的是AD解析:根据直观图还原后的三角形ABC中,AB⊥BC,因此AB<AD<AC.答案:B4.导学号62180012如图所示,水平放置的正方形ABCO,在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则由斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B'到x'轴的距离为()A. B.1 C. D.2解析:如图所示,由斜二测画法可知,在新坐标系x'O'y'中,B'C'=1,∠x'C'B'=45°,过B'作x'轴的垂线,垂足为D,在Rt△B'DC'中,B'D=B'C'sin 45°=1×.答案:A5.如图所示,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为()A.6 cmB.8 cmC.(2+3) cmD.(2+2) cm解析:如图所示,原图形为OABC,且OA=O'A'=1 cm,OB=2O'B'=2 cm,于是OC=AB==3(cm),故OABC的周长为2×(1+3)=8(cm).答案:B6.利用斜二测画法得到:①三角形的直观图一定是三角形;②正方形的直观图一定是菱形;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是.(只填序号)答案:①7.已知菱形ABCD的边长是4,∠DAB=60°,则菱形ABCD的斜二测直观图的面积是.解析:由已知得BD=4,AC=4,且AC⊥BD,所以其斜二测直观图的面积为S=×4×4××sin 45°=2.答案:28.有一块多边形菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为.解析:在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=,而四边形AECD为矩形,AD=1,∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC=+1.由此可还原原图形如图所示.在原图形中,A'D'=1,A'B'=2,B'C'=+1,且A'D'∥B'C',A'B'⊥B'C',∴这块菜地的面积为S=(A'D'+B'C')·A'B'=×2=2+.答案:2+9.导学号62180013如图所示,四边形OABC是上底长为2,下底长为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形的直观图O'A'B'C',求在直观图中梯形的高.解:按斜二测画法得梯形的直观图O'A'B'C',如下图所示,原图形中梯形的高CD=2,在直观图中C'D'=1,且∠C'D'A'=45°,作C'E'垂直x'轴于点E',则C'E'即为直观图中梯形的高,那么C'E'=C'D'sin 45°=.10.画一个正三棱台的直观图.(尺寸为上、下底面边长分别为1 cm,2 cm,高为2 cm)解:直观图如图所示.11.已知水平放置的△ABC是正三角形,其直观图的面积为a2,求△ABC的周长.解:画出△ABC的真实图与直观图如图所示,则△ABC是△A'B'C'的真实图形.设△ABC的边长为x,由斜二测画法,知A'B'=AB=x,O'C'=OC=x.作C'D'⊥A'B',垂足为点D'.∵∠C'O'D'=45°,∴C'D'=O'C'=x=x,∴S△A'B'C'=A'B'·C'D'=x×x=x2.∴x2=a2,∴x=2a,∴△ABC周长为3×2a=6a.。

课时分层作业(二) 直观图(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形B[∵A′B′∥y′轴，∴由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形．]2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )C[正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3，平行于y轴的边长为1.5.] 3．如下所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )A B C DA[由几何体的直观图的画法及主体图形中虚线的使用，知A正确．]4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别应为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．2 cm,0.5 cm,1 m,0.8 cmC[由比例可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别应为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图特征，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.]5．如图所示是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为( )A. 2B.22C．2 2 D．2A[由斜二测画法画出直观图，如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，B′E＝B′C′sin 45°＝2×22＝ 2.]二、填空题6．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．10 [由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.]7．如图，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．22[由原图形可知OA＝6，BC＝2，∠COD＝45°，则CD＝2，则直观图中的高h′＝C′D′sin 45°＝1×22＝22.]8．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO的形状为________，面积为________ cm2.矩形8[由斜二测画法的特点，可知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边形ABCO是个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.]三、解答题9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．[解] (1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝12OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．10．用斜二测画法画底面半径为1 cm，高为3 cm的圆锥的直观图．[解] 画法如下：(1)画x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°；(2)分别在x′轴、y′轴上以O′为中心，作A′B′＝2 cm，C′D′＝1 cm，用曲线将A′，C′，B′，D′连起来得到圆锥底面(圆)的直观图，如图①；(3)画z′轴，在z′轴方向上取O′S＝3 cm，S为圆锥的顶点，连接SA′，SB′；(4)擦去辅助线，得到圆锥的直观图，如图②.①②1．如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′和x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．4 2D [由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S 原图形＝22S 直观图，得12·OB ·h ＝22×12×2·O ′B ′，∵OB ＝O ′B ′，∴h ＝4 2.]2．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．不是矩形或菱形的平行四边形 C [如图，在原图形OABC 中， 应有OD ＝2O ′D ′＝2×2 2 ＝4 2 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm ，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝422＋22＝6 cm ，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．]。

直观图【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的规则：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．一、选择题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有( )A．①② B．①④ C．③④ D．①③④2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是( )A．等腰梯形 B．直角梯形C．任意四边形 D．平行四边形3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A．8 cm B．6 cmC．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )A ．12＋22B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2二、填空题7．利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．三、解答题10．如图所示，梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．11．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．能力提升12．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系：(1)在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；(2)此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．§2直观图答案作业设计1．B [由斜二测画法的规则判断．] 2．B 3．A [根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形， OB ＝22，OA ＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm ．]4．C [可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．] 5．C6．D [如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD ，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S ABCD ＝2＋2．]图1 图27．①②解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．8．2．5解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC ＝A′C′＝3，BC ＝2B′C′＝4，计算得AB ＝5，所求中线长为2．5．9．22解析画出直观图，则B′到x′轴的距离为 22·12OA ＝24OA ＝22． 10．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ．如图b 所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．(2)在图a 中，过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E ．在x′轴上取A′B′＝AB ＝4 cm ，A′E′＝AE ＝323≈2．598 cm ；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED ，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC ＝2 cm ．(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．11．解 先画出正三角形ABC ，然后再画出它的水平放置的直观图， 如图所示．由斜二测画法规则知B′C′＝a ，O′A′＝34a ．过A′引A′M⊥x′轴，垂足为M ，则A′M＝O′A′·sin 45°＝34a×22＝68a ．∴S △A′B′C′＝12B′C′·A′M＝12a×68a ＝616a 2． 12．解 四边形ABCD 的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形， ∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°， ∴在原四边形ABCD 中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2， AC ＝A′C′＝2，∴S 四边形ABCD ＝AC·AD＝22．。

1．2 简单多面体时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．在下列立体图形中，有5个面的是( )A．四棱锥 B．五棱锥C．四棱柱 D．五棱柱答案：A解析：柱体均有两个底面，锥体只有一个底面．2．下列说法错误的是( )A．多面体是由若干个平面多边形围成的几何体B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C．长方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的侧面为三角形答案：D解析：根据多面体的概念知A说法正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱的条数、侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B说法正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C说法正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D说法错误．3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱台的组合体D．不确定答案：A解析：水槽倾斜后，水有变动，但是根据棱柱的结构特征，其仍然是个棱柱，上、下两个底面发生变化．4．若正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为6，则该棱锥的高等于( )A.33B. 3C．1 D.3 2答案：B解析：如图所示，正三棱锥P －ABC 中，OP ⊥面ABC ，∴点O 为正三角形ABC 的中心，连接OA ，利用平面几何知识知正△ABC 的高(中线长)等于3 32，而OA 是中线长的23，所以OA ＝ 3.在Rt △PAO 中AP ＝6，OA ＝3，OA ⊥OP ，得OP ＝ 3.5．正四棱台两底面边长分别为3cm 和5cm ，那么它的中截面面积为( )A ．2cm 2B ．16cm 2C ．25cm 2D ．4cm 2答案：B解析：如图所示，取A ′A 、B ′B 的中点分别为E 、F ，∴EF ＝12(3＋5)＝4(cm)．∴S 截＝42＝16(cm 2)．6．在侧棱长为2 3的正三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝20°，E 、F 分别是PB 、PC 上的点，过点A 、E 、F 作截面AEF ，则△AEF 周长的最小值是( )A ．6B ．2 3C ．36D ．6 3 答案：B解析：将正三棱锥侧面沿PA 展开，转化为平面内问题解决．二、填空题(每小题5分，共5×3＝157．如图所示，三棱台A ′B ′C ′－ABC 截去三棱锥A ′－ABC 后，剩余部分是________． 答案：四棱锥解析：剩余部分是四棱锥A ′—BB ′C ′C .8．已知正四棱锥V －ABCD ，底面面积为16，一条侧棱长为 2 11，则它的斜高为________．答案：2 10 解析：由S 底＝16，知底面边长为4，又侧棱长为2 11，故斜高h ′＝ 112－22＝2 10.9．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是______________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上) 答案：②④解析：还原成正方体考虑．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)正方体ABCD－A1B1C1D1是直棱柱吗？是正棱柱吗？(2)如图，平面BCEF将正方体ABCD－A1B1C1D1分成两部分后，各部分形成的几何体还是直棱柱吗？解：(1)由于侧棱垂直于底面，所以正方体是直棱柱．又底面是正方形，所以正方体是正棱柱．(2)被平面BCEF截成的两部分都是直棱柱，分别是直四棱柱ABFA1－DCED1、直三棱柱BB1F －CC1E.11．如图，在底面是菱形的直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，棱柱的高为12 cm，对角线AC1＝20 cm，BD1＝15 cm，求底面菱形的面积．解：连接AC，BD.因为棱柱的底面为菱形，则AC⊥BD.由直棱柱的定义，知CC1⊥AC，DD1⊥BD，所以AC2＝AC21－CC21＝202－122＝256，即AC＝16 cm，BD2＝BD21－DD21＝152－122＝81，即BD＝9 cm，所以底面菱形的面积为1 2·AC·BD＝12×16×9＝72(cm2)．12．如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面三角形AEF周长的最小值．解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，其中∠AVA1＝120°，VA＝VA1＝23，则线段AA1的长为所求截面三角形AEF周长的最小值．取AA1的中点D，连接VD，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求得AD＝3，则AA1＝6.所以截面三角形AEF周长的最小值为6.。

2 直观图时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．水平放置的梯形的直观图是( )A．梯形 B．矩形C．三角形 D．任意四边形答案：A解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选A.2．利用斜二测画法可以得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是( )A．①② B．①C．③④ D．①②③④答案：A解析：因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以①②正确；对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确．3．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )答案：A解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线的长为2 2.4．已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )A．16 B．64C．16或64 D．以上都不对答案：C解析：根据直观图的画法，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段变为原来的一半，于是直观图中长为4的边如果平行于x ′轴，则正方形的边长为4，面积为16；长为4的边如果平行于y ′轴，则正方形的边长为8，面积是64.5．若用斜二测画法把一个高为10 cm 的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则该圆柱的高应画成( )A ．平行于z ′轴且长度为10 cmB ．平行于z ′轴且长度为5 cmC ．与z ′轴成45°且长度为10 cmD ．与z ′轴成45°且长度为5 cm答案：A解析：平行于z 轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选A.6．若一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形如图所示，则原平面图形的面积是( ) A.2＋22 B.1＋22C ．2＋ 2D ．1＋ 2答案：C解析：由题意，知直观图中等腰梯形的下底为2＋1，根据斜二测画法规则，可知原平面图形为直角梯形，上底为1，下底为2＋1，高为2，所以其面积为2＋ 2.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．一条边在x 轴上的正方形的面积是4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是________． 答案： 2解析：正方形的面积为4，则边长为2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为2，高为22，故面积为 2.8．一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为________．答案：4＋22解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为22＋1，高为2，故面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22＋1×2＝2＋22. 9．给出下列各命题：(1)利用斜二测画法得到的三角形的直观图还是三角形；(2)利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图还是平行四边形；(3)利用斜二测画法得到的正方形的直观图还是正方形；(4)利用斜二测画法得到的菱形的直观图还是菱形；(5)在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同；(6)水平放置的矩形的直观图可能是梯形．其中正确的命题序号为____________．答案：(1)(2)(5)三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．将图中所给水平放置的直观图绘出原形．解：11．用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB 的直观图．解：(1)在已知图中，以O 为坐标原点，以OB 所在的直线及垂直于OB 的直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，过点A 作AM 垂直x 轴于点M ，如图1.另选一平面画直观图，任取一点O ′，画出相应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上取点B ′，M ′，使O ′B ′＝OB ，O ′M ′＝OM ，过点M ′作M ′A ′∥y ′轴，取M ′A ′＝12MA .连接O ′A ′，B ′A ′，如图2.(3)擦去辅助线，则△O ′A ′B ′为水平放置的△OAB 的直观图．12．画正六棱柱的直观图．解：画法如下：(1)画轴：画x ′轴、y ′轴、z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°；(2)画底面：画正六边形的直观图ABCDEF (O ′为正六边形的中心)；(3)画侧棱：过A ，B ，C ，D ，E ，F 各点分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE ′，FF ′，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝DD ′＝EE ′＝FF ′；(4)连线成图：连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′E ′，E ′F ′，F ′A ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱ABCDEF －A ′B ′C ′D ′E ′F ′，如图所示．。

1.6.2 垂直关系的性质[学业水平训练]1.若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么( )A．直线a垂直于第二个平面B．直线b垂直于第一个平面C．直线a不一定垂直于第二个平面D．过a的平面必垂直于过b的平面解析：选C.对于两平面，无论关系如何，在两平面内一定可以找到互相垂直的两条直线，因此直线a不一定是第二个平面的垂线，故选C.2.直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．不确定解析：选D.因为梯形的两腰AB和CD一定相交且l⊥AB，l⊥CD，所以l垂直于梯形ABCD.又因为直线m垂直于AD和BC，且AD∥BC.所以m与平面ABCD的位置关系不确定，因此l与m的位置关系就不确定，故选D.3.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：选B.过A点作AE⊥BD，交BD于E，E为垂足．因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AE⊥平面BCD.又BC平面BCD，∴BC⊥AE.又AD⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥AD.又∵AD∩AE＝A，且AD，AE平面ABD，∴BC⊥平面ABD，又AB平面ABD，∴BC⊥AB，∴△ABC为直角三角形．4.如图所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是( )A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：选D.∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，但要除去A和B两点，故选D.5.若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( )①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，nα⇒m⊥n.A．1 B．2C．3 D．0解析：选C.①正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n.又l⊥α，∴n⊥α；②正确．∵l∥m，m⊥α，∴l⊥α.又n⊥α，∴l∥n；③正确．由线面垂直的定义可知其正确．故正确的有3个．6.已知直线m平面α，直线n平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b ⊥n，则直线a，b的位置关系是________．解析：由线面垂直的判定定理得，a⊥平面α，b⊥平面α.又由线面垂直的性质定理得a∥b.答案：a∥b7．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD 与平面BCD所成的角的大小是________．解析：过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.答案：45°8．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．解析：利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真，∴应填“若①③④，则②”，或“若②③④，则①”．答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)9．如图，已知平面α∩平面β＝AB，PQ⊥α于Q，PC⊥β于C，CD⊥α于D.(1)求证：P ，C ，D ，Q 四点共面；(2)求证：QD ⊥AB .证明：(1)因为PQ ⊥α，CD ⊥α，所以PQ ∥CD ，于是P ，C ，D ，Q 四点共面．(2)因为AB α，PQ ⊥α，所以PQ ⊥AB .又因为PC ⊥β，AB β，所以PC ⊥AB .又因为PQ ∩PC ＝P ，设P ，C ，D ，Q 四点共面于γ，则AB ⊥γ.又因为QD γ，所以QD ⊥AB .10.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝33，BC ＝3，沿对角线BD 把△BCD 折起，使C 移到C ′，且C ′在平面ABD 内的射影O 恰好落在AB 上．(1)求证：AC ′⊥BC ′；(2)求AB 与平面BC ′D 所成的角的正弦值．解：(1)证明：由题意，知C ′O ⊥平面ABD ，因为C ′O 平面ABC ′，所以平面ABC ′⊥平面ABD .又因为AD ⊥AB ，平面ABC ′∩平面ABD ＝AB ，所以AD ⊥平面ABC ′，所以AD ⊥BC ′.因为BC ′⊥C ′D ，AD ∩C ′D ＝D ，所以BC ′⊥平面AC ′D .所以BC ′⊥AC ′.(2)因为BC ′⊥平面AC ′D ，BC ′平面BC ′D ，所以平面AC ′D ⊥平面BC ′D .作AH ⊥C ′D 于H (图略)，则AH ⊥平面BC ′D ，连接BH ，则BH 为AB 在平面BC ′D 内的射影，所以∠ABH 为AB 与平面BC ′D 所成的角．又在Rt △AC ′D 中，C ′D ＝33，AD ＝3，所以AC ′＝3 2.所以AH ＝ 6.所以sin ∠ABH ＝AH AB ＝23， 即AB 与平面BC ′D 所成的角的正弦值为23. [高考水平训练] 1.下列命题中错误的是( )A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：选D.两个平面α，β垂直时，设交线为l ，则在平面α内与l 平行的直线都平行于平面β，故A 正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B 正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C 正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D 错误．2.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析：过点K 作KM ⊥AF 于M 点，连接DM ，易得DM ⊥AF ，与折前的图形对比，可知折前的图形中D 、M 、K 三点共线，且DK ⊥AF ，于是△DAK ∽△FDA ，∴AK AD ＝AD DF ，∴t 1＝1DF ，∴t ＝1DF. ∵DF ∈(1，2)，∴t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 3.如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥平面BCE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE . 解：(1)证明：因为AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，所以BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC .又因为BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF .又BC ∩BF ＝B ，所以AE ⊥平面BCE .(2)在三角形ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中，过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN .由比例关系易得CN ＝13CE . 因为MG ∥AE ，MG 平面ADE ，AE 平面ADE ，所以MG ∥平面ADE ，同理，GN ∥平面ADE .又MG∩GN＝G，所以平面MGN∥平面ADE.又MN平面MGN，所以MN∥平面ADE，所以点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点．4.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC，PA平面PAC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．。

课时作业2直观图解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为2，所以原图形为平行四边形，位2 2.解析：该直观图的原图为直角三角形，两条直角边分别为3×2＝6.解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为10．画棱长为2 cm的正方体的直观图．解析：(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2 cm，AD＝1 cm.(2)过点A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2 cm.(3)连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．|能力提升|(20分钟，40分)11．如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.答案：B12．如图为△ABO水平放置的直观图△A′B′O′，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD 由小到大的顺序是______________________．＝2，BD＝4，AB＝用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB的直观图．为坐标原点，以OB所在的直线及垂直于A AM x擦去辅助线，则△O′A′B′为水平放置的△OAB的直观图．．画正六棱柱的直观图．解析：画法如下：′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O 画底面：画正六边形的直观图ABCDEF(O′为正六边形的中心)；。

课时作业3 直观图时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下面说法正确的是(D)A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形B．两条相交的直线的直观图可能是两条平行直线C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D．水平放置的平行四边形的直观图仍是平行四边形解析：正方形的直观图中对应边互相平行，不可能是梯形，A错；两条相交的直线的直观图仍然相交，不可能平行，B错；互相垂直的两条直线的直观图可能不垂直，C错，只有D正确．2．如图，直观图△A′B′C′(其中A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)所表示的平面图形是(D)A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形解析：由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′知，在原图形中，AC⊥CB，所以对应的平面图形为直角三角形．3．关于直观图画法的说法中，不正确的是(B)A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，其长度不变B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可等于45°D．作直观图时，由于选轴的不同，所画直观图可能不同解析：由直观图的画法知平行于y轴的线段其对应线段平行于y′轴，长度为原来的一半．4．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(A)解析：由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．5．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为(D)A．2 B．4C．22D．4 2解析：由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝22S直观图，得12×OB×h＝22S直观图，得12×OB×h＝22×12×2×O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4 2.6．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(D)A.24a2B.433a2C.34a2D．22a2解析：根据斜二测画法画平面图形直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝24S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于a224＝22a2.7．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为(B)A．6cm B．8cmC．(2＋32)cm D．(2＋23)cm解析：建立直角坐标系，在x轴上截取OA＝O′A′，在y轴正方向截取OB＝2O′B′，以B为端点作BC∥x轴且BC＝B′C′，连接CO，便可得此直观图对应的原图形(如图所示)，其周长为8 cm.8．如图所示，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是(C)A．AB＝AC＝BC B．AD⊥BCC．AC>AD>AB>BC D．AC>AD>AB＝BC解析：由斜二测画法的规则可知选C.二、填空题9．如图所示为水平放置的△ABO的直观图，由图判断原三角形中AB，BO，BD，OD 由小到大的顺序是OD<BD<AB<BO.解析：由题中图知，原图中OD＝2，BD＝4，AD＝1，则AB＝BD2＋DA2＝17.BO＝BD2＋OD2＝25；∴OD<BD<AB<BO.10．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为2.5.解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB＝5，故斜边AB上的中线为2.5.11．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是2＋ 2.解析：由斜二测直观图画法的规则画出原图形，如图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形，且AB＝2，BC＝1＋2，AD＝1，所以S梯形ABCD＝2＋ 2.三、解答题12．画水平放置的圆锥的直观图．解：画法：(1)画轴：如图，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；(2)画圆锥的底面：画出底面⊙O；(3)画圆锥的顶点：在Oz上截取点P，使得PO等于圆锥的高；(4)成图：连接P A、PB，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得圆锥的直观图．13．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．解：在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328.——能力提升类——14．已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( A )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：根据斜二测画法的原则，得BC ＝B ′C ′＝2，OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3，AO ⊥BC ，∴AB ＝AC ＝BC ＝2，∴△ABC 是等边三角形．15．在水平放置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′，如图所示，其中对角线A′C′在水平位置．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：正方形A′B′C′D′的真实图形如图所示．∵A′C′在水平位置，四边形A′B′C′D′为正方形，∴在四边形ABCD中，DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，同理BC⊥AC，BC＝2B′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。

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1。

4.2 空间图形的公理(二）[学业水平训练］错误!已知空间两个角∠AOB 和∠A ′O ′B ′，且两角的两边分别对应平行,∠AOB ＝60°，则∠A ′O ′B ′为（ ）A ．60°B ．120°C ．30°D ．60°或120° 解析:选D 。

利用等角定理可知两角相等或互补．错误!分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面解析:选D.分别和两条异面直线平行的两条直线相交或异面，如图（1）（2）．错误!如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B 。

连接A 1B 、C 1B 、A 1C 1，易证∠A 1BC 1为异面直线EF 与GH 所成的角,又因为△BC 1A 1为等边三角形，所以∠A 1BC 1＝60°。

1.1.2 简单多面体, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．下列命题中正确的是( )A ．有两个面平行，其余各面都是菱形的几何体叫作棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫作棱柱C ．有一个平面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫作棱锥D ．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫作棱锥 解析：选D.A 不正确；B 不正确；对于C ，如图所示，此几何体是由两个三棱锥(结构相同)组合而成，是多面体，但不是棱锥．故答案选D.2．如图所示，在三棱台A ′B ′C ′-ABC 中，截去三棱锥A ′-ABC ，则剩余部分是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．四棱柱解析：选B.剩余部分是四棱锥A ′-BB ′C ′C ，故选B. 3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝3，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1 解析：选C.由于三棱台中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝C 1A 1CA≠1，选项中只有C 项满足，故选C. 4．若一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( ) A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥解析：选D.由正棱锥的图形可知，正棱锥的侧棱应大于顶点与底面中心的连线，正六边形的边长等于顶点与其中心的连线，故正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长．5．长方体的6个面的面积之和为11，12条棱的长度之和为24，则这个长方体的体对角线的长为( )A ．2 3 B.14 C ．5 D ．6解析：选C.设长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧2（ab ＋bc ＋ca ）＝11，①4（a ＋b ＋c ）＝24⇒a ＋b ＋c ＝6.② 将②式平方得a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝36，故a 2＋b 2＋c 2＝25，即a 2＋b 2＋c 2＝5.6．如图，下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．解析：利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征判定． 答案：①③④ ⑥ ⑤7．正四棱台两底面边长分别为3 cm 和5 cm ，那么它的中截面(平行于两底面且与两底面距离相等的截面)的面积为________cm 2.解析：正四棱台的中截面是正方形，其边长为12(3＋5)＝4 cm.由此S 截＝42＝16 cm 2.答案：168.如图所示，等腰直角三角形AMN 的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，且∠AMN ＝90°.已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为________．解析：取AN 的中点P ，连接MP ，则MP ＝12AN .取AC 的中点Q ，连接BQ ，易得BQ ＝MP .因为BQ ＝3，所以AN ＝2 3.答案：2 39．一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积．解：如图，正三棱柱ABC ­A ′B ′C ′，符合题意的截面为△A ′BC . 在Rt △A ′B ′B 中， A ′B ′＝4，BB ′＝6.所以A ′B ＝A ′B ′2＋BB ′2＝42＋62＝213.同理A ′C ＝213，在等腰三角形A ′BC 中，O 为BC 的中点，BO ＝12×4＝2.因为A ′O ⊥BC ，所以A ′O ＝A ′B 2－BO 2＝（213）2－22＝4 3.所以S △A ′BC ＝12BC ·A ′O ＝12×4×43＝83，所以此截面的面积为8 3.10.如图，正六棱锥的底面周长是24，H 是BC 的中点，∠SHO ＝60°， 求：(1)棱锥的高； (2)棱锥的斜高； (3)棱锥的侧棱长．解：因为正六棱锥的底面周长为24， 所以正六棱锥的底面边长为4.在正六棱锥S ­ABCDEF 中，因为H 是BC 的中点， 所以SH ⊥BC .(1)在Rt △SOH 中，OH ＝32BC ＝23，因为∠SHO ＝60°，所以高SO ＝OH ·tan 60°＝6. (2)在Rt △SOH 中，斜高SH ＝2OH ＝4 3.(3)在Rt △SOB 中，SO ＝6，OB ＝BC ＝4，所以侧棱SB ＝SO 2＋OB 2＝213.[B.能力提升])}1.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥的组合体D ．不能确定解析：选A.长方体水槽固定底面一边后倾斜，水槽中的水形成的几何体始终有两个互相平行的平面，而其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．2．棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E ，F 分别是棱AA 1，DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为( )A.22B ．1C ．1＋22D. 2解析：选D.利用截面性质求解．过球心O 和点E ，F 的截面图形如图所示，设球的半径为R ，则(2R )2＝3，所以R ＝32.球心O 到EF 的距离为d ＝12，所以直线EF 被球O 截得的线段长为2R 2－d2＝2×34－14＝ 2.故选D. 3．在侧棱长为2 3 的正三棱锥P ­ABC 中，∠APB ＝40°，E ，F 分别是PB ，PC 上的点，过点A ，E ，F 作截面AEF ，则△AEF 周长的最小值是________．解析：将正三棱锥的三个侧面展开，如图．则当E ，F 为AA 1与PB ，PC 的交点时，△AEF的周长最小，最小值为2AP ·cos 30°＝2×23×32＝6.答案：64．正三棱台的上、下底面边长及高分别为1，2，2，则它的斜高是________． 解析：如图，在Rt △EMF 中，EM ＝2，MF ＝OF －O ′E ＝36， 所以EF ＝ 22＋（36）2 ＝736.答案：7365．如图，正三棱柱的底面边长是4，过BC 的一个平面交侧棱AA ′于点D ，若AD 的长为2，求截面△BCD 的面积．解：作△BCD 的边BC 上的高DE ，连接AE .由题意，得△ADB ≌△ADC ，所以DB ＝DC ，所以BE ＝12BC ＝2.在等边△ABC 中，E 是BC 的中点，所以AE ＝2 3.又因为AD ＝2，所以在Rt △ADE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝4，所以S △BCD ＝12BC ·DE ＝8.6．(选做题)如图所示，在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝2，由顶点B 沿棱柱侧面(经过棱AA 1)到达顶点C 1，与AA 1的交点记为M .求：(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；(2)从B 经M 到C 1的最短路线长及此时A 1MAM的值． 解：将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB 1B ′1B ′(如图)． (1)因为矩形BB 1B ′1B ′的长BB ′＝6，宽BB 1＝2，所以三棱柱侧面展开图的对角线长为62＋22＝210.(2)由侧面展开图可知，当B ，M ，C 1三点共线时，由B 经M 到C 1的路线最短， 所以最短路线长为BC 1＝42＋22＝2 5.显然Rt △ABM ≌Rt △A 1C 1M ，所以A 1M ＝AM ，即A 1M AM＝1.。

§2直观图一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案B解析由直观图的性质知，B正确．2．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成() A．平行于z′轴且长度为10cmB．平行于z′轴且长度为5cmC．与z′轴成45°且长度为10cmD．与z′轴成45°且长度为5cm考点简单几何体的直观图题点柱、锥、台的直观图答案A解析由直观图的性质知，与z轴平行的线段长度不变，高与原长相等．3．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案C解析在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的1，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直2观图还原成原图形为选项C.4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案C解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．5．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为()A．16B．64C．16或64D．无法确定考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案C解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 6．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案C解析如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．7.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴．已知四边形ABCD的面积为22cm2，则原平面图形的面积为()A．4cm2B．42cm2C．8cm2D．82cm2考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案C解析依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与BC，AD 相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8cm2.8．已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2cmB．3cmC．2.5cmD．5cm考点简单几何体的直观图题点柱、锥、台的直观图答案D解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5cm.故选D.二、填空题9．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为________．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案73 2解析 由斜二测画法规则知AC ⊥BC ，即△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，所以AB ＝73，AB 边上的中线长度为732. 10．在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2cm ，则在坐标系xOy 中原四边形OABC 为______(填形状)，面积为________cm 2.考点 平面图形的直观图 题点 与直观图有关的计算 答案 矩形 8解析 由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC 为矩形，其中OA ＝2cm ，OC ＝4cm ， ∴四边形OABC 的面积为S ＝2×4＝8(cm 2)．11．如图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中，梯形的高为________．考点 平面图形的直观图 题点 与直观图有关的计算 答案22解析 作CD ，BE ⊥OA 于点D ，E ，则OD ＝EA ＝OA －BC2＝2，又∠COD ＝45°， ∴OD ＝CD ＝2，∴在直观图中梯形的高为2×12×sin45°＝22.三、解答题12．如图所示，画出水平放置的四边形OBCD 的直观图．考点 平面图形的直观图 题点 平面图形的直观图 解 画法：(1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图(1)所示．画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(2)所示；(2)如图(2)所示，在x ′轴正半轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE .在y ′正半轴上取一点D ′，使得O ′D ′＝12OD .过E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC ；(3)连接B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O ′B ′C ′D ′就是所得直观图．13．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm ，高为3cm ，圆锥的高为3cm ，画出此机器部件的直观图． 考点 简单几何体的直观图 题点 简单几何体的直观图 解 画法：(1)如图①.画x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画圆柱的两底面．在xOy 平面上画出底面圆O ，使直径为3cm ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′＝3cm ，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面圆O ′，使其直径为3cm.(3)画圆锥的顶点．在z 轴上取一点P ，使PO ′等于圆锥的高3cm.(4)成图．连接A′A，B′B，P A′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.四、探究与拓展14.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案2 2解析画出直观图，则B′到x′轴的距离为22·12OA＝24OA＝22.15．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。