闵行区2016年高三数学文科一模试卷(含答案)

2016年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).1.(4分)设x∈R,则不等式|x－3|＜1的解集为.2.(4分)设z＝,其中i为虚数单位,则z的虚部等于.3.(4分)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0,l2：2x＋y＋1＝0,则l1,l2的距离.4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是(米).5.(4分)若函数f(x)＝4sinx＋acosx的最大值为5,则常数a＝.6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,则f(x)的反函数f－1(x)＝.7.(4分)若x,y满足,则x－2y的最大值为.8.(4分)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为.9.(4分)在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于.10.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.11.(4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.12.(4分)如图,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,－1),P是曲线y＝上一个动点,则•的取值范围是.13.(4分)设a＞0,b＞0.若关于x,y的方程组无解,则a＋b的取值范围是.14.(4分)无穷数列{an }由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一脸得零分).15.(5分)设a∈R,则“a＞1”是“a2＞1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.(5分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C117.(5分)设a∈R,b∈[0,2π),若对任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )A.1B.2C.3D.418.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题：①若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题三、简答题：本大题共5题,满分74分19.(12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.20.(14分)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.21.(14分)双曲线x 2－＝1(b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点. (1)若l 的倾斜角为,△F 1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝,若l 的斜率存在,且|AB|＝4,求l 的斜率.22.(16分)对于无穷数列{a n }与{b n },记A ＝{x|x ＝a n ,n ∈N *},B ＝{x|x ＝b n ,n ∈N *},若同时满足条件：①{a n },{b n }均单调递增；②A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *,则称{a n }与{b n }是无穷互补数列. (1)若a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列,并说明理由； (2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列,求数量{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列,{a n }为等差数列且a 16＝36,求{a n }与{b n }的通项公式. 23.(18分)已知a ∈R,函数f(x)＝log 2(＋a). (1)当a ＝1时,解不等式f(x)＞1；(2)若关于x 的方程f(x)＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素,求a 的值；(3)设a ＞0,若对任意t ∈[,1],函数f(x)在区间[t,t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.2016年上海市高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).1.(4分)设x ∈R,则不等式|x －3|＜1的解集为 (2,4) .【分析】由含绝对值的性质得－1＜x －3＜1,由此能求出不等式|x －3|＜1的解集. 【解答】解：∵x ∈R,不等式|x －3|＜1, ∴－1＜x －3＜1, 解得2＜x ＜4.∴不等式|x －3|＜1的解集为(2,4). 故答案为：(2,4). 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法,是基础题,解题时要认真审题,注意含绝对值不等式的性质的合理运用.2.(4分)设z ＝,其中i 为虚数单位,则z 的虚部等于 －3 . 【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：z ＝＝＝－3i ＋2,则z 的虚部为－3. 故答案为：－3.【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(4分)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0,l 2：2x ＋y ＋1＝0,则l 1,l 2的距离 .【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可.【解答】解：平行直线l 1：2x ＋y －1＝0,l 2：2x ＋y ＋1＝0,则l 1,l 2的距离：＝.故答案为：.【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用,考查计算能力.4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是 1.76 (米).【分析】将数据从小到大进行重新排列,根据中位数的定义进行求解即可.【解答】解：将5位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69,1.72,1.76,1.78,1.80. 则位于中间的数为1.76,即中位数为1.76, 故答案为：1.76【点评】本题主要考查中位数的求解,根据中位数的定义,将数据从小到大进行排列是解决本题的关键.5.(4分)若函数f(x)＝4sinx ＋acosx 的最大值为5,则常数a ＝ ±3 . 【分析】利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的最大值为5,求得a 的值.【解答】解：由于函数f(x)＝4sinx＋acosx＝sin(x＋θ),其中,cosθ＝,sinθ＝,故f(x)的最大值为＝5,∴a＝±3,故答案为：±3.【点评】本题主要考查辅助角公式,正弦函数的值域,属于基础题.(x－1)(x 6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,则f(x)的反函数f－1(x)＝log2＞1) .【分析】由于点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,可得9＝1＋a3,解得a＝2.可得f(x)＝1(y－1),(y＞1).把x与y互换即可得出f(x)的反函数f－1(x). ＋2x,由1＋2x＝y,解得x＝log2【解答】解：∵点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,∴9＝1＋a3,解得a＝2.(y－1),(y＞1).∴f(x)＝1＋2x,由1＋2x＝y,解得x＝log2把x与y互换可得：f(x)的反函数f－1(x)＝log(x－1).2(x－1),(x＞1).故答案为：log2【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.(4分)若x,y满足,则x－2y的最大值为－2 .【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.【解答】解：画出可行域(如图),设z＝x－2y⇒y＝x－z,由图可知,当直线l经过点A(0,1)时,z最大,且最大值为z＝0－2×1＝－2.max故答案为：－2.【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.8.(4分)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为或.【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式,然后求解即可.【解答】解：方程3sinx＝1＋cos2x,可得3sinx＝2－2sin2x,即2sin2x＋3sinx－2＝0.可得sinx＝－2,(舍去)sinx＝,x∈[0,2π]解得x＝或.故答案为：或.【点评】本题考查三角方程的解法,恒等变换的应用,考查计算能力.9.(4分)在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于112 . 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n＝256,求得 n＝8.在展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项.【解答】解：∵在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,∴2n＝256,解得n＝8,＝＝,∴(－)8中,Tr＋1∴当＝0,即r＝2时,常数项为T＝(－2)2＝112.3故答案为：112.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.10.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.【分析】可设△ABC的三边分别为a＝3,b＝5,c＝7,运用余弦定理可得cosC,由同角的平方关系可得sinC,再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为,代入计算即可得到所求值. 【解答】解：可设△ABC的三边分别为a＝3,b＝5,c＝7,由余弦定理可得,cosC＝＝＝－,可得sinC＝＝＝,可得该三角形的外接圆半径为＝＝.故答案为：.【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法,注意运用正弦定理和余弦定理,考查运算能力,属于基础题.11.(4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数,再求出选法相同的选法种数,利用古典概型概率计算公式得答案.【解答】解：甲同学从四种水果中选两种,选法种数为,乙同学的选法种数为,则两同学的选法种数为种.两同学相同的选法种数为.由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.故答案为：.【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用,考查了组合及组合数公式,是基础题. 12.(4分)如图,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,－1),P是曲线y＝上一个动点,则•的取值范围是[－1,] .【分析】设出＝(x,y),得到•＝x＋,令x＝cosθ,根据三角函数的性质得到•＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋),从而求出•的范围即可.【解答】解：设＝(x,y),则＝(x,),由A(1,0),B(0,－1),得：＝(1,1),∴•＝x＋,令x＝cosθ,θ∈[0,π],则•＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋),θ∈[0,π],故•的范围是[－,1,],故答案为：[－1,].【点评】本题考查了向量的运算性质,考查三角函数问题,是一道基础题.13.(4分)设a＞0,b＞0.若关于x,y的方程组无解,则a＋b的取值范围是(2,＋∞) .【分析】根据方程组无解可知两直线平行,利用斜率得出a,b的关系,再使用基本不等式得出答案.【解答】解：∵关于x,y的方程组无解,∴直线ax＋y－1＝0与直线x＋by－1＝0平行,∴－a＝－,且.即a＝且b≠1.∵a＞0,b＞0.∴a＋b＝b＋＞2.故答案为：(2,＋∞).【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系,基本不等式的应用,属于基础题.14.(4分)无穷数列{an }由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为 4 .【分析】对任意n∈N*,Sn∈{2,3},列举出n＝1,2,3,4的情况,归纳可得n＞4后都为0或1或－1,则k的最大个数为4.【解答】解：对任意n∈N*,Sn∈{2,3},可得当n＝1时,a1＝S1＝2或3；若n＝2,由S2∈{2,3},可得数列的前两项为2,0；或2,1；或3,0；或3,－1；若n＝3,由S3∈{2,3},可得数列的前三项为2,0,0；或2,0,1；或2,1,0；或2,1,－1；或3,0,0；或3,0,－1；或3,1,0；或3,1,－1；若n＝4,由S3∈{2,3},可得数列的前四项为2,0,0,0；或2,0,0,1；或2,0,1,0；或2,0,1,－1；或2,1,0,0；或2,1,0,－1；或2,1,－1,0；或2,1,－1,1；或3,0,0,0；或3,0,0,－1；或3,0,－1,0；或3,0,－1,1；或3,－1,0,0；或3,－1,0,1；或3,－1,1,0；或3,－1,1,－1；…即有n＞4后一项都为0或1或－1,则k的最大个数为4,不同的四个数均为2,0,1,－1,或3,0,1,－1.故答案为：4.【点评】本题考查数列与集合的关系,考查分类讨论思想方法,注意运用归纳思想,属于中档题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一脸得零分).15.(5分)设a∈R,则“a＞1”是“a2＞1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜－1,即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件,故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C1【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A,B,C的直线都和直线EF异面,而由图形即可看出直线B1C1和直线相交,从而便可得出正确选项.【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线；B 1C1和EF在同一平面内,且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交,即选项D正确.故选：D.【点评】考查异面直线的概念及判断,平行直线和相交直线的概念及判断,并熟悉正方体的图形形状.17.(5分)设a∈R,b∈[0,2π),若对任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数恒成立,则对应的图象完全相同.【解答】解：∵对于任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则函数的周期相同,若a＝3,此时sin(3x－)＝sin(3x＋b),此时b＝－＋2π＝,若a＝－3,则方程等价为sin(3x－)＝sin(－3x＋b)＝－sin(3x－b)＝sin(3x－b＋π), 则－＝－b＋π,则b＝,综上满足条件的有序实数组(a,b)为(3,),(－3,),共有2组,故选：B.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数恒成立,利用三角函数的性质,结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键.18.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题：①若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题【分析】①举反例说明命题不成立；②根据定义得f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T),f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T),h(x)＋g(x)＝h(x＋T)＋g(x＋T),由此得出：g(x)＝g(x＋T),h(x)＝h(x＋T),f(x)＝f(x＋T),即可判断出真假.【解答】解：对于①,举反例说明：f(x)＝2x,g(x)＝－x,h(x)＝3x；f(x)＋g(x)＝x,f(x)＋h(x)＝5x,g(x)＋h(x)＝2x都是定义域R上的增函数,但g(x)＝－x不是增函数,所以①是假命题；对于②,根据周期函数的定义,f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T),f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T),h(x)＋g(x)＝h(x＋T)＋g(x＋T),前两式作差可得：g(x)－h(x)＝g(x＋T)－h(x＋T),结合第三式可得：g(x)＝g(x＋T),h(x)＝h(x＋T),同理可得：f(x)＝f(x＋T),所以②是真命题.故选：D.【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题目.三、简答题：本大题共5题,满分74分19.(12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.【分析】(1)直接利用圆柱的体积公式,侧面积公式求解即可.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,即可求解所求角的大小.【解答】解：(1)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,圆柱的体积为：π•12•1＝π.侧面积为：2π•1＝2π.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,OB,则OB∥O1B,∴∠AOB＝,异面直线O1B1与OC所成的角的大小就是∠COB,大小为：－＝.【点评】本题考查几何体的体积侧面积的求法,考查两直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.20.(14分)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.【分析】(1)设分界线上任意一点为(x,y),根据条件建立方程关系进行求解即可.(2)设M(x0,y),则y＝1,分别求出对应矩形面积,五边形FOMGH的面积,进行比较即可.【解答】解：(1)设分界线上任意一点为(x,y),由题意得|x＋1|＝,得y＝2,(0≤x≤1),(2)设M(x0,y),则y＝1,∴x＝＝,∴设所表述的矩形面积为S3,则S3＝2×(＋1)＝2×＝,设五边形EMOGH的面积为S4,则S4＝S3－S△OMP＋S△MGN＝－××1＋＝,S 1－S3＝＝,S4－S1＝－＝＜,∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积.【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题,考查学生的运算能力,综合性较强,难度较大.21.(14分)双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝,若l的斜率存在,且|AB|＝4,求l的斜率.【分析】(1)由题意求出A点纵坐标,由△F1AB是等边三角形,可得tan∠AF1F2＝tan＝,从而求得b值,则双曲线的渐近线方程可求；(2)写出直线l的方程y－0＝k(x－2),即y＝kx－2k,与双曲线方程联立,利用弦长公式列式求得k值.【解答】解：(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,把x＝c＝代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2,由tan∠AF1F2＝tan＝＝,求得b2＝2,b＝,故双曲线的渐近线方程为y＝±bx＝±x,即双曲线的渐近线方程为y＝±x.(2)设b＝,则双曲线为 x2－＝1,F2(2,0),若l的斜率存在,设l的斜率为k,则l的方程为y－0＝k(x－2),即y＝kx－2k,联立,可得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0,由直线与双曲线有两个交点,则3－k2≠0,即k.△＝36(1＋k2)＞0.x 1＋x2＝,x1•x2＝.∵|AB|＝•|x1－x2|＝•＝•＝4,化简可得,5k4＋42k2－27＝0,解得k2＝, 求得k＝.∴l 的斜率为.【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查了双曲线的简单性质,考查弦长公式的应用,体现了“设而不求”的解题思想方法,是中档题.22.(16分)对于无穷数列{a n }与{b n },记A ＝{x|x ＝a n ,n ∈N *},B ＝{x|x ＝b n ,n ∈N *},若同时满足条件：①{a n },{b n }均单调递增；②A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *,则称{a n }与{b n }是无穷互补数列. (1)若a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列,并说明理由； (2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列,求数量{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列,{a n }为等差数列且a 16＝36,求{a n }与{b n }的通项公式. 【分析】(1){a n }与{b n }不是无穷互补数列.由4∉A,4∉B,4∉A ∪B ＝N *,即可判断；(2)由a n ＝2n ,可得a 4＝16,a 5＝32,再由新定义可得b 16＝16＋4＝20,运用等差数列的求和公式,计算即可得到所求和；(3)运用等差数列的通项公式,结合首项大于等于1,可得d ＝1或2,讨论d ＝1,2求得通项公式,结合新定义,即可得到所求数列的通项公式. 【解答】解：(1){a n }与{b n }不是无穷互补数列. 理由：由a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,可得4∉A,4∉B,即有4∉A ∪B ＝N *,即有{a n }与{b n }不是无穷互补数列； (2)由a n ＝2n ,可得a 4＝16,a 5＝32,由{a n }与{b n }是无穷互补数列,可得b 16＝16＋4＝20, 即有数列{b n }的前16项的和为(1＋2＋3＋…＋20)－(2＋4＋8＋16)＝×20－30＝180；(3)设{a n }为公差为d(d 为正整数)的等差数列且a 16＝36,则a 1＋15d ＝36, 由a 1＝36－15d ≥1,可得d ＝1或2,若d ＝1,则a 1＝21,a n ＝n ＋20,b n ＝n(1≤n ≤20), 与{a n }与{b n }是无穷互补数列矛盾,舍去； 若d ＝2,则a 1＝6,a n ＝2n ＋4,b n ＝.综上可得,a n ＝2n ＋4,b n ＝.【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查运算和推理能力,属于中档题.23.(18分)已知a ∈R,函数f(x)＝log 2(＋a). (1)当a ＝1时,解不等式f(x)＞1；(2)若关于x 的方程f(x)＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素,求a 的值；(3)设a ＞0,若对任意t ∈[,1],函数f(x)在区间[t,t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.【分析】(1)当a ＝1时,不等式f(x)＞1化为：＞1,因此2,解出并且验证即可得出.(2)方程f(x)＋log2(x2)＝0即log2(＋a)＋log2(x2)＝0,(＋a)x2＝1,化为：ax2＋x－1＝0,对a分类讨论解出即可得出.(3)a＞0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t＋1]上单调递减,由题意可得－≤1,因此≤2,化为：a≥＝g(t),t∈[,1],利用导数研究函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)当a＝1时,不等式f(x)＞1化为：＞1,∴2,化为：,解得0＜x＜1,经过验证满足条件,因此不等式的解集为：(0,1).(2)方程f(x)＋log2(x2)＝0即log2(＋a)＋log2(x2)＝0,∴(＋a)x2＝1,化为：ax2＋x－1＝0,若a＝0,化为x－1＝0,解得x＝1,经过验证满足：关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素1.若a≠0,令△＝1＋4a＝0,解得a＝,解得x＝2.经过验证满足：关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素1.综上可得：a＝0或－.(3)a＞0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t＋1]上单调递减,∴－≤1,∴≤2,化为：a≥＝g(t),t∈[,1],g′(t)＝＝＝≤＜0,∴g(t)在t∈[,1]上单调递减,∴t＝时,g(t)取得最大值,＝.∴.∴a的取值范围是.【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.。

2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）一.填空题1．（3分）（2015•闵行区一模）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则∁U A=[﹣1，4]．【考点】：补集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集即可．【解析】：解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U=R，∴∁U A=[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]【点评】：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（3分）（2015•闵行区一模）若复数z满足（z+2）（1+i）=2i（i为虚数单位），则z=﹣1+i．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由（z+2）（1+i）=2i，得，∴z=﹣1+i．故答案为：﹣1+i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（3分）（2015•闵行区一模）函数f（x）=xcosx，若f（a）=，则f（﹣a）=﹣．【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知得f（a）=acosa=，由此能求出f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．【解析】：解：∵f（x）=xcosx，f（a）=，∴f（a）=acosa=，∴f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．故答案为：﹣．【点评】：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．（3分）（2015•闵行区一模）计算=．【考点】：极限及其运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：利用极限的运算法则即可得出．【解析】：解：原式==．故答案为：．【点评】：本题考查了极限的运算法则，属于基础题．5．（3分）（2015•闵行区一模）若x满足4x=8，则x=．【考点】：指数式与对数式的互化．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知得∴22x=23，从而2x=3，由此能求出x=．【解析】：解：∵x满足4x=8，∴22x=23，∴2x=3，解得x=．故答案为：．【点评】：本题考查指数方程的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数运算法则的合理运用．6．（3分）（2015•闵行区一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．【考点】：二倍角的余弦．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由θ∈（，π），sin﹣cos=，求出sin2θ，然后求出cos2θ．【解析】：解：∵θ∈（，π），sin﹣cos=，∴1﹣sinθ=，∴sinθ=，∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．【点评】：本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取．7．（3分）（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题．【分析】：求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解析】：解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．【点评】：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．8．（3分）（2015•闵行区一模）口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，则摸出的两球颜色不相同的概率是．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，基本事件总数n==6，摸出的两球颜色不相同，包含的基本事件个数m==3，由此能求出摸出的两球颜色不相同的概率．【解析】：解：口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，基本事件总数n==6，摸出的两球颜色不相同，包含的基本事件个数m==3，∴摸出的两球颜色不相同的概率是p===．故答案为：．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．（3分）（2015•闵行区一模）已知正方形ABCD的边长为2，M是正方形四边上的动点，则的最大值为4．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，构造函数，利用求函数的最值来解决问题【解析】：解：以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴负方向建立坐标系，∵正方形ABCD的边长为2，∴=（2，0），M为正方形边界一点，设M（x，y），则0≤x≤2，0≤y≤2，=（x，y），则=2x≤4，当M在BC上时取得最大值4；故答案是：4．【点评】：向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题10．（3分）（2015•闵行区一模）函数y=|log22x|+|log2x|的最小值为1．【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：直接利用绝对值的几何意义，转化求解函数的最值即可．【解析】：解：函数y=|log22x|+|log2x|=|1+log2x|+|﹣log2x|≥|1+log2x﹣log2x|=1．故答案为：1．【点评】：本题考查绝对值的几何意义，函数的最小值的求法，考查计算能力．11．（3分）（2015•闵行区一模）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h （x）=，则方程h（x）=2的解为x=．【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：确定f（x）与g（x）的图象交点的横坐标的范围，作出函数h（x）的图象，从而得到h（x）=2=g（x），解方程即可得到答案．【解析】：解：记f（x）与g（x）的图象交点的横坐标为x=x0，∵f（）==＜1=，∴x0∈（，1），函数h（x）的图象如图所示：∴h（x）=2=，解得：x=，故答案为：x=．【点评】：本题考查新定义，考查不等式的解法，考查数形结合的数学思想，属于中档题．12．（3分）（2015•闵行区一模）已知F1、F2是椭圆Γ1：=1和双曲线Γ2：=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则mn的最大值为．【考点】：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】：解三角形；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设|PF1|=s，|PF2|=t，求出焦点，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由椭圆和双曲线的定义可得m，n的关系，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可求得最大值．【解析】：解：设|PF1|=s，|PF2|=t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c=2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=s2+t2﹣2stcos60°即s2+t2﹣st=16，由椭圆的定义可得s+t=2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t=2n（n＞0），解得s=m+n，t=m﹣n．即有16=（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）=m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m=n，取得最大值．故答案为：．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查椭圆和双曲线的定义，同时考查三角形的余弦定理和重要不等式的运用，属于中档题．13．（3分）（2015•闵行区一模）在△ABC中，记角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若＜0，则下列结论中：①△ABC是钝角三角形；②a2＞b2+c2；③cosBcosC＞sinBsinC；④sinB＞cosC；其中错误结论的序号是④．【考点】：余弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】：解三角形．【分析】：由条件可得∠A 为钝角，故①、②正确；再根据cosA＜0，可得③正确；根据B+C＜，正弦函数的单调性、诱导公式可得④不正确，从而得出结论．【解析】：解：△ABC中，∵＜0，则∠A 为钝角，故①、②正确．再根据cosA=﹣cos（B+C）=﹣cosBcosC+sinBsinC＜0，化简可得cosBcosC＞sinBsinC，故③正确．根据B+C＜，可得0＜B＜﹣C＜，∴sinB＜sin（﹣C）=cosC，即 sinB＜cosC，故④错误，故答案为：④．【点评】：本题主要考查两个向量的数量积的定义，诱导公式、两角和的余弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．14．（3分）（2015•闵行区一模）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1=pa n+3p﹣3（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，写出一个满足条件的a1的值为﹣1．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：取a2=﹣7，a3=5，得5=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣2，由此求出a4=﹣19，a5=29，从而﹣7=﹣2a1﹣3×2﹣3，由此能求出a1=﹣1．【解析】：解：取a2=﹣7，a3=5，得5=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣2，∴a4=﹣2×5﹣3×2﹣3=﹣19，a5=﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3=29，∴﹣7=﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】：本题考查数列的递推公式的合理运用，是基础题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．二.选择题15．（3分）（2015•闵行区一模）已知圆O：x2+y2=1和直线l：y=kx+，则k=1是圆O 与直线l相切的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆；简易逻辑．【分析】：圆O与直线l相切，可得圆心到直线的距离d==1，求出k，即可得出结论．【解析】：解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d==1，∴k=±1，∴k=1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查充要条件的判断，正确运用点到直线的距离公式是关键．16．（3分）（2015•闵行区一模）（2﹣x）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1 B． 1 C． 256 D．﹣256【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和【解析】：解：令二项式（2﹣x）8中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8=1．∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．【点评】：求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得．17．（3分）（2015•闵行区一模）已知y=f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：据函数零点的定义，函数零点的判定定理，运用特殊函数判断即可．【解析】：解：①y=x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A不正确，②y=x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）=﹣1，f（b）=1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选；D【点评】：本题主要考查函数零点的定义，函数零点的判定定理，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题18．（3分）（2015•闵行区一模）数列{a n}是公差d不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据，，，…，的方差为λ2，则（）A．λ1＞λ2B．λ1=λ2C．λ1＜λ2D．与的大小关系与公差的正负有关【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：分别计算平均数与方差，即可得出结论．【解析】：解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2015的平均数为=a1008，所以λ1=[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2015﹣a1008）2]=•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2=[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2015﹣a1﹣d）2]=•（12+22+…+10072）．所以λ1＞λ2，故选：A．【点评】：本题考查等差数列的通项与求和，考查平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．三.解答题19．（2015•闵行区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，三棱锥A1﹣ABC的体积为，求直线A1B与CC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】：异面直线及其所成的角．【专题】：立体几何．【分析】：先通过图形便可知道∠A1AB便是直线A1B与CC1所成角，通过三棱锥的体积公式及直三棱柱的特点可求出AA1，而AB又可通过已知条件求出，所以在RtABA1中可求tan∠AA1B，从而可用反正切表示出∠AA1B．【解析】：解：根据已知条件；∴AA1=4；又AB=；AA1⊥AB；∴在Rt△ABA1中tan；；∵AA1∥CC1；∴∠AA1B是直线A1B和CC1所成角，并且该角为．【点评】：考查直三棱柱的侧棱和底面垂直，线面垂直的性质，棱锥的体积公式，异面直线所成角的定义及求解方法与过程．20．（2015•闵行区一模）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【考点】：函数模型的选择与应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x；（Ⅱ）4360﹣﹣16x≥2760，由此得到年产量x的取值范围．【解析】：解：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x=50．【点评】：本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法．属于中档题．21．（2015•闵行区一模）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，已知椭圆Γ上的点P（，）到F1、F2的距离之和为2；（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求直线CD的方程．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）由椭圆Γ上的点P（，）到两焦点F1、F2的距离之和为2，可得=1，2a=2，a2=b2+c2，解出即可．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），设P是直线CD上的任意一点，由=1，=1，相减可得：+（y1+y2）（y1﹣y2）=1，利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【解析】：解：（1）∵椭圆Γ上的点P（，）到两焦点F1、F2的距离之和为2，∴=1，2a=2，a2=b2+c2，解得a=，b=1，c=1．∴椭圆Γ的方程为；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），设P是直线CD上的任意一点，可得=1，=，=（x≠1）．∵=1，=1，相减可得：+（y1+y2）（y1﹣y2）=1，∴1+=0，（x1≠x2）．∴=0，化为x+y﹣=0，当x=1时也成立．∴直线CD的方程为x+y﹣=0．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（2015•闵行区一模）已知函数f（x）=sin2x+（sin2x﹣cos2x）+；（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m=0，求实数m的取值范围；（3）求证：任意的x1∈[﹣，]，存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】：函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）首先利用三角函数的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期．（2）利用正弦型函数的定义域求出函数的值域，进一步利用存在性问题求出函数中参数的取值范围．（3）利用函数具备严格的单调性来进行证明．【解析】：解：（1）函数f（x）=sin2x+（sin2x﹣cos2x）+==sin（2x﹣）+，所以函数的最小正周期为；T=π；（2）由于，所以：，设：F（x）=[f（t）]2﹣2f（t）=（f（t）﹣）2﹣2∈[﹣2，﹣1]，存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m=0，所以：m的取值范围为：m∈[﹣2，﹣1]（3）对任意的x1∈[﹣，]，存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立，当时，使f（x1）f（x2）=1成立．当时，，所以：，）+．则：∈[﹣1，1]，设：（a∈[﹣1，1]），由．解得：或，所以x2的解集为：{x2|或}（k∈Z）．由于，所以：，由于函数在此区间内有严格的单调性．所以：存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期，存在性问题的应用，利用函数的单调性正面函数的唯一解．23．（2015•闵行区一模）已知数列{a n}为等差数列，满足a n+a n+1=4n+2（n∈N*），其前n 项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4对任意n∈N*的恒成立；（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q=392成立，若存在，求出所有满足条件的p，q，若不存在，说明理由；（3）记集合M={n|≥λ，n∈N*}，若M中共有5个元素，求实数λ的取值范围．【考点】：数列递推式；数列的函数特性．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由已知得，解得d=2，a1=2，由此能求出a n=2n．由a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1+a n b n=（n﹣1）•2n+1，得a n b n=n•2n﹣1，由此能求出b n=2n．（2）假设存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q=392成立，则（p+1）2=，由，能求出p=4，q=3．（3）由M={n|，n∈N*}中共有5个元素，分别取n=1，2，3，4，5，6，求出相应的结果，由此能求出．【解析】：解：（1）∵数列{a n}为等差数列，满足a n+a n+1=4n+2（n∈N*），得，解得d=2，a1=2，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n．由a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1+a n b n=（n﹣1）•2n+1，可得a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2）•2n﹣1+1（n≥2），两式相减可得a n b n=n•2n﹣1，∴b n==2n．（2）假设存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q=392成立．∵（a2p+2）2﹣b q=392，∴（4p+4）2﹣2q=392，∴16（p+1）2=392+2q，∴（p+1）2=，∵，∴p=4，q=3．（3）∵d=2，a1=2，∴=n2+n，M={n|≥λ，n∈N*}，∵M={n|，n∈N*}中共有5个元素，∴当n=1时，λ≤=1，当n=2时，λ≤=，当n=3时，λ≤=，当n=4时，λ≤=，当n=5时，λ≤=，当n=6时，λ＞=，∴．【点评】：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．。

2016年上海闵行区高三语文一模试卷一阅读（80分）（一）阅读下文，完成第1—6题。

（1 7分）说自己和说别人赵汀阳①去年以来，有些最具知名度的大导演或娱乐明星纷纷表达了这样的观点，认为文化没什么雅俗之分，甚至认为没有雅的东西，其实全都俗。

这是一个重要的信号。

如果说俗文化受众多，更为火爆，这不奇怪。

但是如果俗文化成为主旋律之后，还要进一步彻底否定雅文化的存在，问题就有点大了。

有位西方著名学者比较关心中国，他对中国当下文化的“不健康．．．”感到吃惊，中国现在的艺术家和导演往往用很猥亵很脏的眼光去看人、看生活、看各种事物。

②现代社会有一个特征叫做平等，平等就要向某种标准对齐，古人说要见贤思齐，这是往更高更好的事物看齐而形成的平等，比如说，优秀作品应该成为公共资源，让一切人有机会看到优秀作品，良好的教育不能被某些人霸占，应该是开放的、平等的，人人有机会接触更好的文化，然后都能得到提高，最后大家都在更好更高的层面对齐，这是人人得到优化的平等。

像现在的这种向低看齐、向下看齐的平等是一种集体堕落的平等。

看来文化重建这个问题值得考虑。

③文化重建是个大问题，有两件事情值得关心，一是重新说自己，重建中国自己的思想和文化叙事。

另一方面要去说别人，要面对世界，用中国思想去解释世界各种事情。

④说自己，中国自身的思想和文化重构，目前还是初步的。

从目前的话语主流来说，还是用西方的观念看中国的多，这是替西方人看中国，不算中国自己独立思想。

现在已经有一些中国学者开始创作新的中国观念，或者重构中国叙事，比如汪晖重新叙述的中国思想史，还有许多人的工作，诸如此类的努力，观点都可以商榷，但关键是要把事情做起来。

⑤说别人，也是很重要的事情。

目前，说自己不多，说别人就更少了。

按照西方人的想说西方人的故事，这还是等于翻译。

问题是我们关于西方有什么自己的独立见解。

假如中国的事情用西方观点看，西方的事情乃至世界的事情也用西方观点看，那我们自己在做什么？最多就是西方观点的编译工作。

闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 12，则UA = .3．方程44．函数f = .56．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .7．已知中，43AB i j =+，34AC i j =-+，其中i j 、是基本单位向量，则ABC △8．在门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史9．若n S 是等差数列n a 的前项和，且3232，则2n n n →∞ .10．若函数1()2x f x -=，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于 .11．若点P 、Q 均在椭圆2222:11x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-的最大值为 .12．已知函数cos 04()25 4x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩，，，若实数a b c 、、互不相等，且满足)()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是 .13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c（*,,,a b c d ∈N ）,则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为 . 14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意n ∈*N ，都有1(1)32nn n n S a n =-++-，则数列{2n a - 15．若,a . (A) (C) 16．设(f .(A)(C)17．△A 的范围是（(A)⎛⎝18．函数]，图像如图2所示.{}(())0A x f g x ==,{}(())0B x g f x ==,则A B 中元素的个数为（ ）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4图2图1三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，12AA AB ==，1BC =,BAC π∠=6，D 为棱1AA 中点，证明异面直线11B C 与CD 所成角为π2，并求三棱柱111ABC A B C -的体积．到2l 的距离为10千米，点P 到2l 的距离为2千米.以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy .（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域； （2）求直线AB 的方程，并求出公路AB 的长度（结果精确到1米）.CABDA 1B 1C 122．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3(1,)2，它的一个焦点与抛物线2:4y x E =的焦点重合，斜率为k 的直线l 交抛物线E 于A B 、两点，交椭圆Γ于C D、两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l 经过点()1,0F ，设点(1,)P k -，且PAB △的面积为k 的值； （3）21k 成236分，第(3)r 项{}n a 为“（1（2（3）2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求n d ，并探究在数列{n d }中是否存在三项m d ，k d ，p d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案和评分标准一、（第1题至第14题）1．2； 2．)0,(-∞； 3．2log 3x =； 4．π； 5．)2,0(； 6．15π； 7．252； 8．10； 9．5； 10．1； 11．2a ； 12．理(8. 二、（第三、（第[证明]或由AB =即BC ⊥又BC ∴BC ∴⊥三棱柱12分20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．[解]（1）方法一: ()2cos 3αβ-=，1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=91- …3分3=4απ，即91)223cos(-=-βπ， (6)分912sin =∴β． …………………………………8分方法二: ()2cos 3αβ-=，3=4απ，即32sin 22cos 22=+-ββ， ……………3分322cos sin =-∴ββ，两边平方得，982sin 1=-β ……………………………6分 912sin =∴β． …………………………………8分（2）设直线，由24,y x⎨=⎩得l与抛物线E有两个交点，0k≠，216(1)0k∆=+>，则224(1)kABk+== (6)分(1,)P k-到l的距离d=，又PABS=△2214(1)2kk+∴⋅=8分22433k k =+，故k = ………………………10分（3）(理科)()()1122,,,C x y D x y ，点C 关于y 轴的对称点为11(,)Q x y -，则直线211121:()y y CD y y x x x x --=--，设0x =得121211212121()x y y x y x ym y x x x x --=-=--12分直线211121:()y y QD y y x x x x --=++，设0x =得121211212121()x y y x y x yn y x x x x -+=+=++ (14)分22222112x y x y -2211x y ，2222x y 223223 (⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩==2223．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．[解]（1） {}n a 为“6关联数列”，∴{}n a 前6项为等差数列，从第5项起为等比数列,4,51516+=+=∴a a a a 且256=a a ， 即24511=++a a ，解得31-=a (2)分54,42,5n n n n a n --≤⎧∴=⎨≥⎩（或554,54,62,62,7n n n n n n n a n n --⎧-≤-≤⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩）． ……………………4分 （2）由（1）得2417,42227,5n n n n n S n -⎧-≤⎪=⎨⎪-≥⎩（或22441717,5,6222227,627,7n n n n n n n n n S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≥-≥⎩⎩） (6)分{}:3,n a -{}n n a S ，证明：6n a ，8分当6n ≥},m ，2n n a S t =10分（3）（理科）{11r r a -∴=，12rr a a -=2121112111,12,12,222,13256,13n n n n n n n n n a S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪∴==⎨⎨≥⎪⎪-≥⎩⎩……………………………12分①当12k m <≤时，由221211212222k k m m -=-得(k )(k )21(k )m m m +-=-21,,12,k m k m m k +=≤>，129m k =⎧∴⎨=⎩或1110m k =⎧⎨=⎩． ②当12m k >>时，由1111256256k m ---=-得m k =，不存在 (14)分③当12,12k m ≤>时，由21112125622m k k --=-，102221112m k k -=-+ 当1k =时，10*292,m m N -=∉；当2k =时，10*274,m m N -=∉； 当3k =当5k =当7k =当9k =当11k =16分18分n d ，422n n -=假设在数列{}n d 中存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列，则：()2k m p d d d =，即：2555222111k m p k m p ---⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭，()()()21010222111k m p m p k -+-=+⋅++（*） …15分因为,,m k p 成等差数列，所以2m p k +=，（*）式可以化简为)1)(1()1(2++=+p m k ， 即：2k mp =，故k m p ==，这与题设矛盾．高三年级质量调研考试文科数学试卷 第11页共11页 所以在数列{}n d 中不存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列． (18)分（或：因为下标成等差数列的等差数列一定还是成等差数列，而又要求成等比数列，则必为非零常数列，而521n n d n -=+显然不是非零的常数，所以不存在．）。

2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝．2．（4分）若全集U＝R，函数的值域为集合A，则∁U A＝．3．（4分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为．4．（4分）函数的最小正周期t＝．5．（4分）不等式的解集是．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种．9．（4分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则＝．10．（4分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．（4分）若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为．12．（4分）已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是．13．（4分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．14．（4分）数列{a n}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，都有，}的前n项和为．则数列{a2n﹣1二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则“a＝b”是“等号成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）设f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．17．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．18．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A＝{x|f（g（x））＝0}，B＝{x|g（f（x））＝0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝AB＝2，BC＝1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（14分）如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．21．（14分）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．22．（16分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点重合，斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点，交椭圆Γ于C、D两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l经过点F（1，0），设点P（﹣1，k），且△P AB的面积为，求k 的值；（3）若直线l过点M（0，﹣1），设直线OC，OD的斜率分别为k1，k2，且成等差数列，求直线l的方程．23．（18分）已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）若数列{a n}为“6关联数列”，当n≥6时，在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求d n，并探究在数列{d n}中是否存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝2．【解答】解：∵，∴﹣z＝i+1，∴z＝﹣1﹣i，∴|z|＝＝2，故答案为：2．2．（4分）若全集U＝R，函数的值域为集合A，则∁U A＝（﹣∞，0）．【解答】解：函数y＝x≥0，得到A＝[0，+∞），∵全集U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）3．（4分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为x＝log23．【解答】解：由4x﹣2x﹣6＝0，得（2x）2﹣2x﹣6＝0，解得2x＝3，或2x＝﹣2（舍去），∴x＝log23．故答案为：x＝log23．4．（4分）函数的最小正周期t＝π．【解答】解：函数＝cos（π﹣x）cos x﹣sin（π+x）sin x＝﹣cos2x+sin2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期t＝＝π．5．（4分）不等式的解集是（0，2）．【解答】解：∵＞，∴﹣＞0，通分得＞0，即＜0；等价于2x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2．故答案为：（0，2）．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h＝4，∴圆锥的母线长l＝，∴圆锥的侧面积S＝πrl＝3×5π＝15π，故答案为：15π．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．【解答】解：根据题意，得：＝（4，3），＝（﹣3，4），∴＝﹣＝（﹣7，1），∴2＝42+32＝25，2＝（﹣3）2+42＝25，2＝（﹣7）2+12＝50；∴||2＝||2+||2，△ABC是直角三角形，它的面积为S＝×5×5＝．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有10种．【解答】①在生物、政治、历史三门选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有：＝9种选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有＝1种选法；共有选法：9+1＝10种．9．（4分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则＝5．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由可得＝+5，解得d＝10，故＝＝＝5+，∴＝（5+）＝5故答案为：510．（4分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【解答】解：因为f（1+x）＝f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，而f（x）＝2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x＝a轴对称，因此，a＝1，f（x）＝2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以，m≥1，即实数m的最小值为1．故答案为：1．11．（4分）若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为2a．【解答】解：∵＝2，∴＝＝2≤2a，∴的最大值为2a，故答案为：2a．12．（4分）已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是（8，10）．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c），不妨设a＜b＜c，根据余弦函数的对称性可得a+b＝4．且4＜c＜6．∴a+b+c＝4+c．∴8＜a+b+c＜10．故答案为（8，10）．13．（4分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．【解答】解：第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故答案为：14．（4分）数列{a n}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，都有，则数列{a2n﹣1}的前n项和为﹣﹣3+2n．【解答】解：∵，∴a1＝﹣a1++1﹣3，解得a1＝．当n＝2k﹣1≥3，k∈N*时，a2k﹣1＝S2k﹣1﹣S2k﹣3＝﹣a2k﹣1++（2k﹣1）﹣3﹣化为：2a2k﹣1＝a2k﹣3﹣+2．变形为﹣2＝，∴数列{﹣2}是等比数列，公比为，首项为﹣2．∴﹣2＝，∴a2k﹣1＝﹣+2．∴数列{a2n}的前n项和＝﹣+2n﹣1＝﹣﹣3+2n．故答案为：﹣﹣3+2n．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则“a＝b”是“等号成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵ab＞0，∴＞0，当a＝b，则+＝1+1＝2，此时等号成立，+≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故“a＝b”是“等号成立”的充要条件，故选：A．16．（5分）设f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．【解答】解：因为y＝f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5＝1+[1+5x+10x2+10x3+5x4+x5]＝1+（1+x）5，即y＝1+（1+x）5，所以，1+x＝，因此，x＝﹣1+，再交换x，y得，y＝﹣1+，所以，f（x）的反函数的解析式为f﹣1（x）＝﹣1+，x∈R，故选：C．17．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，又∵由于三角形两边之和大于第三边，可得a+c﹣b＞0，a+b﹣c＞0，且b，c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b﹣c）≤bc，整理可得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cos A＝≥＝，∵A∈（0，）．故选：B．18．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A＝{x|f（g（x））＝0}，B＝{x|g（f（x））＝0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由图象可知，若f（g（x））＝0，则g（x）＝0或g（x）＝1，由图2知，g（x）＝0时，x＝0，或x＝2，g（x）＝1时，x＝1或x＝﹣1故A＝{﹣1，0，1，2}，若g（f（x））＝0，由图1知，f（x）＝0，或f（x）＝2（舍去），当f（x）＝0时，x＝﹣1或0或1，故B＝{﹣1，0，1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，则A∩B中元素的个数为3个．故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝AB＝2，BC＝1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】证明：在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ACB＝1，即，∴BC⊥AC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1，又AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面平面ACC1A1，CD⊂平面ACC1A1，∴BC⊥CD，∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥CD，∴异面直线B1C1与CD所成角为．∵AB＝2，BC＝1，∠ACB＝，∴AC＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝S△ABC•AA1＝＝．20．（14分）如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．【解答】解：（1）由，可得cos（2α﹣2β）＝2cos2（α﹣β）﹣1＝﹣，∵，∴cos（﹣2β）＝﹣，∴sin2β＝．（2）由题意可得，||＝||＝1，且与的夹角为α﹣β，＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），＝cosαcosβ+sinαsinβ＝1×1×cos（α﹣β），∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ成立．21．（14分）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．【解答】解：（1）由题意得M（1，8），则a＝8，故曲线段MPN的函数关系式为，又得，所以定义域为[1，10]．（2）由（1）知P（2，4），设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立方程，得kx2+2（2﹣k）x﹣8＝0，由判别式△＝0得4（2﹣k）2+32k＝4（k+2）2＝0，得k＝﹣2，即直线AB的方程为y＝﹣2x+8，当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝4，即A（0，8），B（4，0），则AB＝＝4≈8944米．22．（16分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点重合，斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点，交椭圆Γ于C、D两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l经过点F（1，0），设点P（﹣1，k），且△P AB的面积为，求k 的值；（3）若直线l过点M（0，﹣1），设直线OC，OD的斜率分别为k1，k2，且成等差数列，求直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），由题设，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆Γ的方程为．（2）设直线l：y＝k（x﹣1），由，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，l与抛物线E有两个交点，k≠0，△＝16（k2+1）＞0，则|AB|＝•＝，P（﹣1，k）到l的距离d＝，又，∴•＝4，即4k2＝3k2+3，解得k＝．（3）设直线l：y＝kx﹣1，由，得（4k2+3）x2﹣8kx﹣8＝0，M（0，﹣1）在椭圆内部，∴l与椭圆恒有两个交点，设C（x1，y1），D（x2，y2），则，，由成等差数列，得＝＝＝＝＝＝＝，解得k＝，∴直线l的方程为y＝．23．（18分）已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）若数列{a n}为“6关联数列”，当n≥6时，在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求d n，并探究在数列{d n}中是否存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵数列{a n}为“6关联数列”，∴{a n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a6＝a1+5，a5＝a1+4，且＝＝2，解得a1＝﹣3，∴．（2）由（1）得，{a n}：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，22，23，24，25，…，{S n}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{a n S n}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，可见数列{a n S n}的最小项为a6S6＝﹣6，证明：a n S n＝，列举法知当n≤5时，（a n S n）min＝a5S5＝﹣5；当n≥6时，a n S n＝2•（2n﹣5）2﹣7•2n﹣5，n≥6，设t＝2n﹣5，则a n S n＝2t2﹣7t＝2（t﹣）2﹣7t＝2（t﹣）2﹣≥2•22﹣7•2＝﹣6．（3）由（1）知，当n≥6时，，∵a n+1＝a n+（n+2﹣1）d n，2n﹣4＝2n﹣5+（n+1）d n，∴．假设在数列{d n}中存在d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列），则（d k）2＝d m d p，∴（）2＝，，（*）∵m，p，k成等差数列，∴m+p＝2k，（*）式可化简为（k+1）2＝（m+1）（p+1），即k2＝mp，∴k＝m＝p，这与题设矛盾．∴在数列{d n}中不存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．。

2008学年第一学期闵行区高三质量监控考试数 学 试 卷（文科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、学号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()U AB =ð .2．在等比数列{}n a 中，28a =，164a =，则公比q 为 . 3．不等式|32|1x -<的解是 .4．已知点Z 是复数21iz i-=+在复平面内对应的点，则点Z 在第 象限. 5．函数2()log (1)f x x =-的反函数是1()fx -= .6．在6(1)x -的二项展开式中，中间项的系数是 .7．已知圆锥的底面积为π，母线长为2，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是 .8．根据右面的框图，打印的最后一个数据是 . 9．已知数列{}n a 是以13为首项，以2-为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，则n S 的最大值是 .10．四位同学各自制作了一张贺卡，分别装入4个空白信封内，这四位同学每人随机地抽取一封，则恰好有一人 抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 . 11．已知x 是1、2、x 、4、5这五个数据的中位数，又知1-、5、1x-、y 这四个数据的平均数为3，则x y +最小值为 .12．若关于x 的不等式211()022n x x +-≥对任意n *∈N 在(,]x λ∈-∞恒成立，则实常数λ的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案必须涂在答题纸上．考生应将代表答案的小方格用铅笔涂黑，注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位．13．某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油，大米的价格是1.9元／斤，食用油的价格是15元／斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列各式计算得到的是 [答]（ ）(A)201510 1.9. (B)20 1.91015. (C) ()1.9201015⎛⎫⎪⎝⎭. (D) ()1.9201015⎛⎫⎪⎝⎭. 14．如图为函数log n y m x =+的图像，其中m 、n 为常数，则下列结论正确的是]（ ）(A) 0m <，1n >. (B) 0m >，1n >. (C) 0m >，01n <<. (D) 0m <，01n <<.15．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是 “直线l 与平面α垂直”的 [答]（ ） (A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件. (C) 充要条件. (D) 既非充分也非必要条件.16．如图，一质点A 从原点O 出发沿向量1(2,0)OA =到达点1A ，再沿y 轴正方向从点1A 前进11||2OA 到达点2A ,再沿1OA 的方向从点2A 前进121||2OA 到达点3A ,再沿y 轴正方向从点3A 前进131||2OA 到达点4A ，，这样无限前进下去， 则质点A 最终到达的点的坐标是 [答]（ ） (A) 42(4,2)22n n --. (B) (4,2). (C) 8844(,)334334n n --⋅⋅. (D)84(,)33. 三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5应的区域内写出必要的步骤．17.（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD AB ⊥，且2A D D C==，3AB =，求异面直线11D C 与DB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18.（本题满分14分）某医药研究所开发一种新药，据监测：服药后每毫升血液中的含药量()f x 与时间x 之间满足如图所示曲线．当[0,4]x ∈时，所示的曲线是二次函数图像的一部分，满足21()(4)44f x x =--+，当(4,19]x ∈时，所示的曲线是函数12log (3)4y x =-+的图像的一部分．据测定：每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效．请你算一下，服用这种药一次大概能维持多长的有效时间？(精确到0.1小时) 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点(P -．（1）求行列式sin tan 1cos ααα的值；（2）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=+++(x ∈R )，求函数2(2)2()2y x f x π=-+的最大值，并指出取到最大值时x 的值．20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1、2小题满分各4分，第3小题满分8分．已知向量2(1,2)a x p =++，(3,)b x =，()f x a b =⋅，p 是实数．（1）若存在唯一实数x ，使a b +与(1,2)c =平行，试求p 的值； （2）若函数()y f x =是偶函数，试求函数()f x 在区间[1,3]-上的值域；)ABCD 1A 1B 1C 1D（3）已知α：函数()f x 在区间1[,)2-+∞上是增函数，β：方程()f x p =有小于2-的实根．试问：α是β的什么条件（指出充分性和必要性）？请说明 理由．21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分．第3小题根据不同思维层次予以不同评分．对于函数()y f x =，定义：若存在非零常数M 、T ，使函数()f x 对定义域内的任意实数x ，都满足()()f x T f x M +-=，则称函数()y f x =是准周期函数，常数T 称为函数()y f x =的一个准周期．如函数()(1)()xf x x x =+-∈Z 是以2T =为一个准周期且2M =的准周期函数．(1) 试判断2π是否是函数()sin f x x =的准周期，说明理由；(2) 证明函数()2sin f x x x =+是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的M 的值；(3) 请你给出一个准周期函数（不同于题设和(2)中函数），指出它的一个准周期和一些性质，并画出它的大致图像．2008学年第一学期闵行区高三质量监控考试 数学试卷（文科）参考答案和评分标准一、填空题：（每题5分） 1. {}1,4,5；2.18；3. 1(,1)3；4. 四；5. 1()21x fx -=+； 6. 20-；7. 60； 8. 63； 9. 49； 10.13； 11. 1102； 12.(]1-∞-，. 二、选择题：（每题4分）13. C ； 14. D ； 15. B ； 16. D . 三、解答题： 17.（本题满分12分） 解法一：直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11////D C DC AB ， (3分)∴ABD ∠的大小即为异面直线11D C 与DB 所成的角的大小， (6分)在Rt ABD ∆中，2AD =，3AB = ∴ 2tan 3AD ABD AB ∠== (10分) ∴2arctan 3BDC ∠=，即异面直线11D C 与DB 所成的角的大小为2arctan 3． (12分)解法二：直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//D C DC ， (3分)∴BDC ∠的大小即为异面直线11D C 与DB 所成的角的大小， (6分) 作CE AB ⊥于E ，由已知条件及平面几何知识，得：2DC =，BD =BC =在BDC ∆中，由余弦定理得：222cos 13BDC ∠== (10分)∴BDC ∠= 即异面直线11D C 与DB所成的角的大小为 (12分) 18.（本题满分14分）由2041(4)414x x ≤≤⎧⎪⎨--+≥⎪⎩，解得：44x -≤≤ ① (4分) 由12419log (3)41x x <≤⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，解得：411x <≤ ② (8分)由①、②知：411x -≤， (10分)11(410.5--≈， (12分)∴服用这种药一次大概能维持的有效时间为10.5小时． (14分)19.（本体满分14分）（1）角α终边经过点(P -，∴1sin 2α=，cos 2α=-，tan 3α=-． （3分）sin tan sin cos tan 1cos 4312αααααα∴=-=-+=（6分） （2）()cos()cos sin()sin cos f x x x x αααα=+++=(x ∈R )， （2分）∴函数2cos(2)2cos ()2y x x π=-+21cos 2x x =++2sin(2)16x π=++(x ∈R )， （4分）∴max 3y =， （6分） 此时()6x k k ππ=+∈Z ． （8分）20.（本题满分16分）(1)2(1a x =+，2)p +，(3b =，)x ，∴2(4,2)a b x x p +=+++,又a b +与(1,2)c =平行，∴22(4)2x x p +=++，即2260x x p --+=， （2分） 由题意知方程2260x x p --+=有两个相等的实根， ∴18(6)0p ∆=--=，∴478p =． （4分） (2)2()3(2)3f x a b x p x =⋅=+++是偶函数，∴206p +-=，∴2p =-， （2分） ∴()f x 在[1,3]-上的值域是[3,30]． （4分）(3)由α：函数()f x 在区间1[,)2-+∞上是增函数，知2162p +-≤-， ∴1p ≥，记[1,)A =+∞， （3分）由β，即方程23(2)30x p x p +++-=有小于2-的实根，∴23231x x p x++=-，且2x <-，232383(1)811x x p x x x ++==-+---（2x <-）的值域为11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴113p >，记11(,)3B =+∞， （6分）B ⊂≠A ，∴α是β的必要不充分条件． （8分）21.（本题满分18分）(1)()sin f x x =，∴(2)()sin(2)sin f x f x x x ππ+-=+-sin sin 0x x =-=，∴2π不是函数()sin f x x =的准周期． （3分）(2) ∴(2)()[2(2)sin(2)](2sin )f x f x x x x x πππ+-=+++-+24sin 2sin 4x x x x ππ=++--=（非零常数）， （3分） ∴函数()sin f x x =是准周期函数，2T π=是它的一个准周期，相应的4M π=． （5分）(3)①写出一个不同于题设和(2)中函数，如3sin ,2(1),23sin xy x x y x y x x =+=+-=+，[]y x =等 得1分(0)y kx b k =+≠， ()sin()y kx b A x ωϕ=+++，()cos()y kx b A x ωϕ=+++，，或其它一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合的具体形式，得3分②指出所写出函数的一个准周期，得2分③指出它的一些性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、，(写出一条得1分，两条以上得2分，可以不证明) ④画出其大致图像． 得3分 部分参考图像：。

2008学年第一学期闵行区高三质量监控考试数 学 试 卷（文科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、学号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()UA B = .2．在等比数列{}n a 中，28a =，164a =，则公比q 为 . 3．不等式|32|1x -<的解是 .4．已知点Z 是复数21iz i-=+在复平面内对应的点，则点Z 在第 象限. 5．函数2()log (1)f x x =-的反函数是1()fx -= .6．在6(1)x -的二项展开式中，中间项的系数是 .7．已知圆锥的底面积为π，母线长为2，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是 .8．根据右面的框图，打印的最后一个数据是 . 9．已知数列{}n a 是以13为首项，以2-为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，则n S 的最大值是 .10．四位同学各自制作了一张贺卡，分别装入4个空白信封内，这四位同学每人随机地抽取一封，则恰好有一人 抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 . 11．已知x 是1、2、x 、4、5这五个数据的中位数，又知1-、5、1x-、y 这四个数据的平均数为3，则x y +最小值为 . 12．若关于x 的不等式211()022n x x +-≥对任意n *∈N 在(,]x λ∈-∞恒成立，则实常数λ的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案必须涂在答题纸上．考生应将代表答案的小方格用铅笔涂黑，注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位．13．某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油，大米的价格是1.9元／斤，食用油的价格是15元／斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列各式计算得到的是 [答]（ ）(A)201510 1.9. (B)20 1.91015. (C) ()1.9201015⎛⎫⎪⎝⎭. (D) ()1.9201015⎛⎫⎪⎝⎭. 14．如图为函数log n y m x =+的图像，其中m 、n 为常数，则下列结论正确的是]（ ）(A) 0m <，1n >. (B) 0m >，1n >. (C) 0m >，01n <<. (D) 0m <，01n <<.15．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是 “直线l 与平面α垂直”的 [答]（ ） (A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件. (C) 充要条件. (D) 既非充分也非必要条件.16．如图，一质点A 从原点O 出发沿向量1(2,0)OA =到达点1A ，再沿y 轴正方向从点1A 前进11||2OA 到达点2A ,再沿1OA 的方向从点2A 前进121||2OA 到达点3A ,再沿y 轴正方向从点3A 前进131||2OA 到达点4A ，，这样无限前进下去， 则质点A 最终到达的点的坐标是 [答]（ ） (A) 42(4,2)22n n--. (B) (4,2). (C) 8844(,)334334n n--⋅⋅. (D) 84(,)33. 三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5应的区域内写出必要的步骤． 17.（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD AB ⊥，且2AD DC ==，3AB =，求异面直线11D C 与DB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18.（本题满分14分）某医药研究所开发一种新药，据监测：服药后每毫升血液中的含药量()f x 与时间x 之间满足如图所示曲线．当[0,4]x ∈时，所示的曲线是二次函数图像的一部分，满足21()(4)44f x x =--+，当(4,19]x ∈时，所示的曲线是函数12log (3)4y x =-+的图像的一部分．据测定：每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效．请你算一下，服用这种药一次大概能维持多长的有效时间？(精确到0.1小时)19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(3,3)P -．（1）求行列式sin tan 1cos ααα的值；（2）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=+++(x ∈R )，求函数23(2)2()2y f x f x π=-+的最大值，并指出取到最大值时x 的值．()小时419O y 4x()微克ABCD 1A 1B 1C 1D20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1、2小题满分各4分，第3小题满分8分．已知向量2(1,2)a x p =++，(3,)b x =，()f x a b =⋅，p 是实数．（1）若存在唯一实数x ，使a b +与(1,2)c =平行，试求p 的值； （2）若函数()y f x =是偶函数，试求函数()f x 在区间[1,3]-上的值域；（3）已知α：函数()f x 在区间1[,)2-+∞上是增函数，β：方程()f x p =有小于2-的实根．试问：α是β的什么条件（指出充分性和必要性）？请说明 理由．21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分．第3小题根据不同思维层次予以不同评分．对于函数()y f x =，定义：若存在非零常数M 、T ，使函数()f x 对定义域内的任意实数x ，都满足()()f x T f x M +-=，则称函数()y f x =是准周期函数，常数T 称为函数()y f x =的一个准周期．如函数()(1)()xf x x x =+-∈Z 是以2T =为一个准周期且2M =的准周期函数．(1) 试判断2π是否是函数()sin f x x =的准周期，说明理由；(2) 证明函数()2sin f x x x =+是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的M 的值；(3) 请你给出一个准周期函数（不同于题设和(2)中函数），指出它的一个准周期和一些性质，并画出它的大致图像．2008学年第一学期闵行区高三质量监控考试 数学试卷（文科）参考答案和评分标准一、填空题：（每题5分） 1. {}1,4,5；2.18；3. 1(,1)3；4. 四；5. 1()21x fx -=+； 6. 20-；7. 60； 8. 63； 9. 49； 10.13； 11. 1102； 12.(]1-∞-，. 二、选择题：（每题4分）13. C ； 14. D ； 15. B ； 16. D . 三、解答题： 17.（本题满分12分） 解法一：直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11////D C DC AB ， (3分)∴ABD ∠的大小即为异面直线11D C 与DB 所成的角的大小， (6分)在Rt ABD ∆中，2AD =，3AB = ∴ 2tan 3AD ABD AB ∠== (10分) ∴2arctan 3BDC ∠=，即异面直线11D C 与DB 所成的角的大小为2arctan 3． (12分)解法二：直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//D C DC ， (3分)∴BDC ∠的大小即为异面直线11D C 与DB 所成的角的大小， (6分) 作CE AB ⊥于E ，由已知条件及平面几何知识，得：2DC =，BD =BC =在BDC ∆中，由余弦定理得：cos BDC ∠== (10分)∴arccos13BDC ∠= 即异面直线11D C 与DB所成的角的大小为arccos 13(12分) 18.（本题满分14分）由2041(4)414x x ≤≤⎧⎪⎨--+≥⎪⎩，解得：44x -≤≤ ① (4分) 由12419log (3)41x x <≤⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，解得：411x <≤ ② (8分)由①、②知：411x -≤， (10分)11(410.5--≈， (12分) ∴服用这种药一次大概能维持的有效时间为10.5小时． (14分) 19.（本体满分14分）（1）角α终边经过点(P -，∴1sin 2α=，cos α=，tan α=． （3分）sin tan sin cos tan 1cos 4312αααααα∴=-=-+=（6分） （2）()cos()cos sin()sin cos f x x x x αααα=+++=(x ∈R )， （2分）∴函数2cos(2)2cos ()2y x x π=-+21cos 2x x =++2sin(2)16x π=++(x ∈R )， （4分）∴max 3y =， （6分） 此时()6x k k ππ=+∈Z ． （8分）20.（本题满分16分）(1)2(1a x =+，2)p +，(3b =，)x ，∴2(4,2)a b x x p +=+++,又a b +与(1,2)c =平行，∴22(4)2x x p +=++，即2260x x p --+=， （2分） 由题意知方程2260x x p --+=有两个相等的实根， ∴18(6)0p ∆=--=，∴478p =． （4分） (2)2()3(2)3f x a b x p x =⋅=+++是偶函数，∴206p +-=，∴2p =-， （2分） ∴()f x 在[1,3]-上的值域是[3,30]． （4分） (3)由α：函数()f x 在区间1[,)2-+∞上是增函数，知2162p +-≤-， ∴1p ≥，记[1,)A =+∞， （3分）由β，即方程23(2)30x p x p +++-=有小于2-的实根，∴23231x x p x++=-，且2x <-，232383(1)811x x p x x x ++==-+---（2x <-）的值域为11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴113p >，记11(,)3B =+∞， （6分）B ⊂≠A ，∴α是β的必要不充分条件． （8分）21.（本题满分18分）(1)()sin f x x =，∴(2)()sin(2)sin f x f x x x ππ+-=+-sin sin 0x x =-=，∴2π不是函数()sin f x x =的准周期． （3分） (2) ∴(2)()[2(2)sin(2)](2sin )f x f x x x x x πππ+-=+++-+24sin 2sin 4x x x x ππ=++--=（非零常数）， （3分） ∴函数()sin f x x =是准周期函数，2T π=是它的一个准周期，相应的4M π=． （5分）(3)①写出一个不同于题设和(2)中函数，如3sin ,2(1),23sin xy x x y x y x x =+=+-=+，[]y x =等 得1分(0)y kx b k =+≠， ()sin()y kx b A x ωϕ=+++， ()cos()y kx b A x ωϕ=+++，，或其它一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合的具体形式，得3分②指出所写出函数的一个准周期，得2分③指出它的一些性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、，。

２01６年上海市闵行区高考数学一模试卷(文科）一、填空题（本大题满分５６分)本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得４分,否则一律得零分．１．若复数z满足（ｉ为虚数单位），则｜z| ．A=.2.若全集U＝Ｒ，函数的值域为集合A，则∁Ｕ3.方程4x﹣2x﹣６=0的解为．4.函数的最小正周期t＝．5．不等式的解集是．６.已知圆锥的底面半径为３,体积是12π,则圆锥侧面积等于．7.已知△ABC中，，,其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．８.在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种．9.若Ｓ是等差数列{a n}的前ｎ项和，且，则=．ｎ１０．若函数f(x）=2|ｘ﹣1|且ｆ(x）在［m,＋∞）上单调递增,则实数m的最小值等于．1１.若点P、Q均在椭圆（a>1)上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为.12．已知函数,若实数ａ、b、c互不相等,且满足f(ａ）=f(b）＝f(c),则a＋b＋c的取值范围是.13.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a,b，c,d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.1４１59…,若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为.1４.数列{a n｝的前n项和为Sｎ，若对任意n∈Ｎ*,都有,则数列{a２n﹣１}的前n项和为.二、选择题(本大题满分20分）本大题共有4题,每题只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分,否则一律得零分.１５．若a,ｂ∈Ｒ,且ａb>０，则“a=b”是“等号成立”的（)A．充要条件ﻩB.充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件ﻩD.既非充分又非必要条件1６.设f（x)=2+5x+10x2+10x3+5x4+ｘ5,则其反函数的解析式为（）A.ﻩB．ﻩＣ．Ｄ.17．△ABＣ的内角A，Ｂ，C的对边分别为a，ｂ,c，满足，则角Ａ的范围是() A.B.ﻩC.ﻩD．1８．函数f（x）的定义域为[﹣1，1],图象如图1所示；函数g(x)的定义域为[﹣１，2]，图象如图2所示．A=｛x|f（g(x））＝0}，Ｂ={x|ｇ(f(x)）＝0},则Ａ∩B中元素的个数为()A.1ﻩB.2ﻩC.3ﻩD.４三、解答题(本大题满分74分)本大题共有５题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.1９．如图,三棱柱ＡＢC ﹣A 1Ｂ1C 1中,侧棱ＡA １⊥底面ＡＢC ，AA １=ＡＢ＝2，BC=1，，D 为棱ＡＡ１中点，证明异面直线B 1Ｃ1与ＣＤ所成角为,并求三棱柱A ＢC ﹣A 1B 1C 1的体积.2０．如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点,．（1)若,，求si ｎ2β的值;(2）证明:ｃos(α﹣β)＝ｃo ｓαc ｏｓβ+sin αsin β.21．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路ｌ1、ｌ2，海岸边界M ＰN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切)，如图所示．若曲线段MP Ｎ是函数图象的一段,点M到l 1、l 2的距离分别为8千米和1千米,点N 到l ２的距离为10千米,点P 到l 2的距离为２千米.以ｌ1、l 2分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系ｘＯy. (１）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域;(2)求直线AB 的方程，并求出公路AB 的长度(结果精确到１米)．２２．已知椭圆Γ的中心在坐标原点,且经过点,它的一个焦点与抛物线E:ｙ2=4x 的焦点重合，斜率为ｋ的直线l 交抛物线Ｅ于Ａ、B 两点,交椭圆Γ于Ｃ、Ｄ两点． （１）求椭圆Γ的方程；（２）直线ｌ经过点F(1,0)，设点Ｐ（﹣1,k ）,且△PAB 的面积为,求ｋ的值;(３)若直线l 过点M(0，﹣1),设直线OC,ＯＤ的斜率分别为ｋ１,k ２,且成等差数列，求直线l 的方程．2３．已知数列｛ａn }的各项均为整数,其前n 项和为S ｎ.规定：若数列{a n }满足前r 项依次成公差为１的等差数列,从第ｒ﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{ａn }为“r 关联数列”. (１)若数列{a n }为“6关联数列”，求数列｛a n }的通项公式； （2)在（1)的条件下,求出Ｓn ,并证明:对任意n ∈N *，a n S n ≥a 6S 6;（３）若数列｛a n }为“６关联数列”，当n ≥6时，在a n 与a n+1之间插入n 个数,使这n+2个数组成一个公差为d ｎ的等差数列，求d n ,并探究在数列{ｄn }中是否存在三项d m ,d ｋ，d p （其中m ，ｋ,ｐ成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项;若不存在，说明理由.2016年上海市闵行区高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题满分５6分)本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若复数z满足(i为虚数单位),则|z| 2 ．【考点】复数求模．【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数．【分析】根据复数的四则运算先化简复数,然后计算复数的长度即可【解答】解:∵，∴﹣z=i+1，∴z=﹣1﹣i，∴|z｜==2,故答案为：2．【点评】本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,比较基础.2．若全集U=R,函数的值域为集合A，则∁U A=（﹣∞,0).【考点】补集及其运算.【专题】计算题.【分析】求出函数的值域确定出A,根据全集U＝R,找出A的补集即可.【解答】解：函数y＝x≥0，得到A=[0,+∞),∵全集U＝Ｒ，∴∁U A=（﹣∞，0).故答案为：(﹣∞,0)【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3.方程４x﹣２x﹣6=0的解为log2３.【考点】指数式与对数式的互化;二次函数的性质.【专题】计算题.【分析】由４ｘ﹣2x﹣６=0,得(2x)2﹣２ｘ﹣6＝０,由此能求出方程４x﹣2ｘ﹣6=０的解．【解答】解：由4x﹣2x﹣6=０,得(2x)2﹣2x﹣6=0,解得2ｘ=３，或2x=﹣2(舍去）,∴ｘ=ｌｏｇ3．２故答案为：lｏg2３.【点评】本题考查指数方程的解法,解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化.4.函数的最小正周期t＝π .【考点】二阶行列式的定义；三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；转化思想;综合法；三角函数的求值;矩阵和变换.【分析】利用二阶行列式展开式法则和余弦函数二倍角公式求解.【解答】解：函数=ｃoｓ（π﹣ｘ)ｃosｘ﹣ｓin（π+x)ｓinx=﹣cos2x+siｎ2x=﹣cｏs2x，∴函数的最小正周期ｔ＝＝π.故答案为:π.【点评】本题考查三角函数的最小正周期的求法,是基础题,解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．5．不等式的解集是(0,２) ．【考点】其他不等式的解法.【专题】不等式的解法及应用．【分析】移项、通分，化为等价的不等式，即可求出分式不等式的解集．【解答】解：∵>，∴﹣＞0，通分得＞0,即＜0;等价于２x(x﹣２)<0，解得0＜x＜2.故答案为：(0，2)．【点评】本题考查了分式不等式的解法与应用问题，解题时通常化为等价的不等式进行解答，是基础题．6.已知圆锥的底面半径为3,体积是12π,则圆锥侧面积等于15π.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台)．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的体积计算出圆锥的高,以及圆锥的母线，进而求出圆锥的侧面积.【解答】解:设圆锥的高为ｈ，底面半径为ｒ，∵圆锥的底面半径为3,体积是1２π，∴，即h＝4,∴圆锥的母线长l＝,∴圆锥的侧面积S=πrｌ＝3×5π＝1５π，故答案为：15π.【点评】本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算,要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式.7.已知△ABC中,，，其中是基本单位向量,则△ＡBＣ的面积为．【考点】三角形的面积公式.【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】根据平面向量的数量积以及坐标运算,求出向量的模长，判断三角形是直角三角形，求出面积即可．【解答】解：根据题意，得:=（4，3）,=（﹣3，4）,∴=﹣=（﹣7,1），∴2=4２＋32=25,2＝（﹣３)２+4２=25,2＝(﹣７）２+12=50;∴｜|2＝|｜2+｜|2,△ABC是直角三角形，它的面积为Ｓ=×5×5=.故答案为:．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积以及坐标运算,进行解答,是基础题.8．在20１7年的上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理６门学科中选择３门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门,那么小明同学的选科方案有10 种．【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；方程思想;综合法；排列组合．【分析】分类讨论:选择两门理科学科,一门文科学科;选择三门理科学科，即可得出结论.【解答】解:选择两门理科学科,一门文科学科,有Ｃ32Ｃ3１=9种；选择三门理科学科,有1种，故共有10种.故答案为:１0．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础.9.若Ｓn是等差数列｛a}的前n项和,且,则=５．ｎ【考点】等差数列的前n项和.【专题】方程思想；极限思想；定义法;等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{a n}的公差为d,由已知可得的表达式，求极限可得.【解答】解:设等差数列｛a n}的公差为ｄ,则由可得=＋５,解得d=10，故＝＝＝５+，∴=（５＋)＝5故答案为：5【点评】本题考查等差数列的求和公式,涉及极限的运算,属基础题.1０．若函数f（x）=2|x﹣１|且ｆ（x)在［m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于1．【考点】分段函数的应用；指数函数单调性的应用．【专题】函数的性质及应用.【分析】先将函数解析式化为分段函数的形式,进而求出函数的单调递增区间，结合已知可得答案. 【解答】解：函数f（x）=２|ｘ﹣１|=，则函数ｆ（ｘ)的单调递增区间为[1，+∞），若函数ｆ(x)=2|x﹣1｜且f（x）在［m，+∞）上单调递增,则[m,+∞）⊆[1,＋∞)，即m≥1,即实数m的最小值等于1，故答案为:1.【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,指数函数的图象和性质,复合函数的单调性，单调性的性质,难度中档．11．若点Ｐ、Q均在椭圆（a＞1)上运动,F1、F是椭圆Γ的左、右焦点,则２的最大值为2a.【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用向量的平行四边形法则可得：=2，代入再利用向量的三角形法则、椭圆的性质即可得出．【解答】解：∵=2，∴==２≤２ａ,∴的最大值为２a,故答案为:２a.【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、向量的平行四边形法则与三角形法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．1２.已知函数，若实数a、b、ｃ互不相等,且满足f(a)=f(ｂ）=f(ｃ)，则ａ+ｂ＋c的取值范围是（8，10) .【考点】分段函数的应用．【专题】计算题;函数思想;数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出f(ｘ)的函数图象，由三角函数的对称性可知a＋b＝4，由交点个数可得４<ｃ＜６. 【解答】解:作出f（x）的函数图象如图:∵ｆ(a)=ｆ（ｂ)=f（c),不妨设a<b<ｃ,根据余弦函数的对称性可得a＋ｂ=4．且４＜c<6．∴a+b+c＝4＋ｃ．∴8＜a+b+c<10.故答案为（8,１0）．【点评】本题考查了分段函数的函数图象,三角函数的对称性,零点的个数判断,属于基础题．1３．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（ａ,b,c，d∈N*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=3.14159…,若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．【考点】归纳推理．【专题】计算题；方程思想;综合法;推理和证明．【分析】利用“调日法”进行计算,即可得出结论．【解答】解:第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π<；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即<π＜,故答案为:【点评】本题考查“调日法”,考查学生的计算能力，比较基础．14．数列{aｎ}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，都有，则数列{a2ｎ﹣1}的前ｎ项和为﹣﹣3+2n .【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列.【分析】，由ａ1=﹣a1++1﹣3,解得a1＝．当n＝2ｋ﹣１≥３，k∈N*时，a2ｋ﹣１＝S2k﹣1﹣S2k﹣３，变形为﹣2＝,利用等比数列的通项公式可得a2k﹣1,再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解:∵，∴a1＝﹣ａ1++1﹣3,解得a1＝．当n=2ｋ﹣1≥３,ｋ∈N ＊时,a 2k ﹣1=Ｓ2k ﹣1﹣S 2ｋ﹣3=﹣a 2k ﹣1++(2k ﹣1)﹣3﹣化为:2ａ2ｋ﹣1=a ２k ﹣3﹣+2．变形为﹣2=，∴数列{﹣2}是等比数列,公比为,首项为﹣２. ∴﹣2＝,∴a 2ｋ﹣1=﹣+2．∴数列｛ａ2n ﹣1}的前n 项和=﹣＋2n=﹣﹣3+2ｎ.故答案为：﹣﹣3＋2ｎ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、选择题(本大题满分20分）本大题共有４题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，选对得5分,否则一律得零分. １5.若a,b ∈R ，且ａｂ＞0,则“ａ=b ”是“等号成立”的( ）A.充要条件ﻩB ．充分不必要条件C.必要不充分条件 D .既非充分又非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】定义法；不等式的解法及应用;简易逻辑.【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本的性质进行判断即可． 【解答】解:∵a ｂ>０，∴＞0,当a ＝b,则+＝1+1＝2，此时等号成立， ＋≥２=2，当且仅当＝，即ａ=b 时取等号，故“a＝b”是“等号成立”的充要条件，故选:A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据基本不等式的性质是解决本题的关键.1６．设f(x)=2+5x＋10ｘ2+10x３＋5x4+x5，则其反函数的解析式为( ）A.ﻩB.ﻩC．Ｄ.【考点】反函数.【专题】定义法；函数的性质及应用;二项式定理.【分析】根据二项式定理：（1＋x）５=1+５x+10x2+１０x3+5x４+x5,原函数可写成y=1+(１+x）5,再求其反函数即可.【解答】解：因为ｙ＝f（x）=２+５x+1０x2+１0x３+５x４+x5=１+［1+５x+１0x2+１0x３+5x4＋x５]＝１+（1+ｘ）５，即ｙ=1+（1+ｘ)5，所以,１+x=,因此,x＝﹣1＋，再交换ｘ,y得，y=﹣1+,所以,f（x）的反函数的解析式为f﹣1（x）=﹣１+，x∈Ｒ，故答案为:C.【点评】本题主要考查了反函数及其解法,涉及二项式定理的应用，根式的运算和函数定义域与值域的确定,属于中档题．17.△AＢC的内角A,B，C的对边分别为a,b，ｃ,满足，则角A的范围是() A．Ｂ.ﻩC．ﻩＤ．【考点】余弦定理.【专题】计算题;数形结合;分析法；解三角形.【分析】由已知可得（a﹣b+c)（a+ｂ﹣ｃ)≤ｂｃ,整理可得：ｂ２＋c2﹣a２≥ｂｃ,利用余弦定理可得c ｏsA=≥＝，利用余弦函数的图象和性质即可得解A的范围.【解答】解：∵,又∵由于三角形两边之和大于第三边，可得ａ+ｃ﹣b>０,a+b﹣c＞0,且b,c＞0,∴（a﹣ｂ+c)(a+b﹣c）≤ｂc，整理可得：b２+c2﹣a２≥ｂc,∴ｃosＡ=≥=,∵A∈（０,）.故选：Ｂ.【点评】本题主要考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和数形结合能力，属于中档题．１8．函数ｆ（x)的定义域为［﹣1,１],图象如图1所示;函数g(x）的定义域为［﹣1，2],图象如图2所示．A={x|f(g（x）)=０},B={x|g（ｆ（x))＝０}，则A∩B中元素的个数为（)Ａ.1ﻩB．２ﻩC．３ﻩＤ．4【考点】函数的图象;交集及其运算.【专题】数形结合;定义法；函数的性质及应用;集合.【分析】结合图象，分别求出集合A,B，再根据交集的定义求出A∩B,问题得以解决.【解答】解：由图象可知,若f（g（x）)=0，则g(x）＝０或g（ｘ）=１,由图2知，g(x)=0时，x＝0,或x＝２,g(x）=1时，x＝１或ｘ=﹣1故A={﹣1，０,1,2｝,若g（f（ｘ））=0，由图1知，f（x）=0，或f（ｘ)=2(舍去），当f(ｘ）=0时，x=﹣１或0或１， 故B=｛﹣1,0，１}, 所以Ａ∩B={﹣１，0，1}， 则A ∩B 中元素的个数为3个. 故选：Ｃ.【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．1９.如图,三棱柱AB Ｃ﹣Ａ1B １C 1中,侧棱ＡA 1⊥底面ABC ，ＡA 1=ＡＢ=2，BC=１,,D 为棱AA 1中点，证明异面直线B 1Ｃ1与CD 所成角为,并求三棱柱ABC ﹣A 1Ｂ1C １的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离．【分析】在△ＡBC 中使用正弦定理得出∠A ＣB=90°，即ＡC ⊥ＢC ，又AA 1⊥平面ＡB Ｃ得A Ａ1⊥ＢC ，故ＢC ⊥平面ACC 1A 1,于是ＢC ⊥CD,由BC ∥Ｂ1C 1得出Ｂ1C 1⊥ＣＤ,利用棱柱的体积公式求出棱柱的体积．【解答】证明:在△ABC 中,由正弦定理得,即,∴s ｉn ∠A ＣB=1,即,∴ＢC ⊥AC ．∵AA １⊥平面A ＢC ，B Ｃ⊂平面ABC ，∴BC ⊥AA 1，又A Ｃ⊂平面ＡCC １A １,ＡＡ１⊂平面AC Ｃ1A 1,AA 1∩A Ｃ=A, ∴ＢC ⊥平面平面ACC 1Ａ1，ＣD ⊂平面ＡCC 1Ａ1， ∴BC ⊥C Ｄ，∵ＢC ∥B 1C 1，∴B1C１⊥CＤ，∴异面直线Ｂ１Ｃ１与CD所成角为.∵AB＝2，BC=1,∠AＣＢ=，∴AＣ=.∴三棱柱AＢＣ﹣A1B1C1的体积Ｖ=S△AＢＣ•AA1=＝.【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱柱的结构特征,棱柱的体积计算,属于中档题.２0.如图,点A、Ｂ分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若,，求sｉn２β的值;(２)证明：cｏｓ(α﹣β)=cosαcosβ+ｓｉnαsinβ．【考点】两角和与差的余弦函数;任意角的三角函数的定义.【专题】转化思想；综合法;三角函数的求值.【分析】(1）由条件利用二倍角公式，诱导公式,求得sin2β的值．(2）由条件利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义,证得公式成立．【解答】解:（1）由,可得cｏs(2α﹣2β）＝２cos2（α﹣β)﹣1＝﹣,∵,∴cos(﹣2β）=﹣，∴sｉｎ2β=.（２）由题意可得，||=|｜=１，且与的夹角为α﹣β，=(cosα,sinα),＝(cosβ，sｉnβ), =cosαcｏsβ＋sinαsinβ=1×１×cos（α﹣β)，∴ｃos(α﹣β)=ｃosαcosβ+ｓiｎαsinβ成立．【点评】本题主要考查二倍角公式，诱导公式的应用，两个向量的数量积的运算,属于中档题．21．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l１、ｌ2,海岸边界MＰＮ近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AＢ，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切)，如图所示.若曲线段MPN是函数图象的一段,点Ｍ到l1、l ２的距离分别为8千米和1千米,点N到l2的距离为10千米，点P到l２的距离为2千米．以l1、l２分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOｙ．（1)求曲线段ＭPN的函数关系式，并指出其定义域；（２）求直线AB的方程,并求出公路AB的长度（结果精确到1米）.【考点】根据实际问题选择函数类型;函数解析式的求解及常用方法.【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】(1）由题意得Ｍ(1，8),则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为,可得其定义域；(2）根据直线和曲线相切,利用判别式△=0进行求解即可.【解答】解：（1）由题意得M（1,8),则a=8,故曲线段MPＮ的函数关系式为，又得，所以定义域为［1，10］．（2)由(1）知Ｐ（２,4),设直线方程为y﹣4=ｋ(ｘ﹣２）,联立方程，得ｋｘ2+2(2﹣k)x﹣8=0，由判别式△=0得4(2﹣k）2+3２k＝4(k＋2）２=0，得ｋ=﹣２,即直线AＢ的方程为y=﹣2x+8，当x=0时，y=8,当y=０时，ｘ＝4,即Ａ（０,８），B(4,0)，则AＢ==4≈8９44米．【点评】本题考查函数的应用问题，利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键.22．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点,它的一个焦点与抛物线E：ｙ2=４ｘ的焦点重合,斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点,交椭圆Γ于Ｃ、Ｄ两点.(1）求椭圆Γ的方程；(2)直线ｌ经过点F（１,０）,设点P（﹣1，ｋ），且△PAＢ的面积为，求k的值;(3)若直线ｌ过点Ｍ(0,﹣1),设直线OC，OD的斜率分别为k1，k2，且成等差数列,求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想;综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】（１）设椭圆方程为=1（a>ｂ＞0)，由椭圆Γ的中心在坐标原点,且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝４ｘ的焦点重合,列出方程组求出ａ,b,由此能求出椭圆Γ的方程. （２）设直线l:y=k（x﹣1）,由，得ｋ2ｘ2﹣2（k2+２）ｘ+k2=０,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出k的值.（3）设直线ｌ：y=kx﹣1，代入椭圆，得（4k2＋3)x2﹣8kx﹣8=０，由此利用M（0，﹣1)在椭圆内部,得l与椭圆恒有两个交点，根据韦达定理、等差数列的性质,结合已知条件能求出直线ｌ的方程. 【解答】解:(1）设椭圆方程为＝1（ａ＞b＞0），由题设,解得a2＝4,ｂ2＝3，∴椭圆Γ的方程为．（2）设直线l：y=k（x﹣1），由,得k2ｘ2﹣2(k２+２)x+k２=0,l与抛物线E有两个交点,k≠0,△=16（k2+1）>0，则|AＢ|=•=,P(﹣1,k）到ｌ的距离d=,又,∴•＝４，即４k2=3ｋ2+3，解得k＝.(3）设直线ｌ：ｙ＝kx﹣1，由,得(4ｋ２＋3)x2﹣８ｋx﹣８＝0,Ｍ（0,﹣１)在椭圆内部，∴l与椭圆恒有两个交点,设C（x１,y1)，Ｄ（ｘ２,ｙ２),则,,由成等差数列,得==＝====，解得ｋ＝,∴直线ｌ的方程为y＝.【点评】本题考查椭圆方程、直线斜率、直线方程的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，等差数列等知识点的合理运用．23.已知数列｛a n}的各项均为整数,其前n项和为Sｎ.规定：若数列{aｎ}满足前r项依次成公差为1的等差数列,从第ｒ﹣１项起往后依次成公比为2的等比数列,则称数列{aｎ}为“r关联数列”．(1)若数列{a n｝为“6关联数列”，求数列{ａn}的通项公式;（2)在（１）的条件下,求出Ｓn，并证明：对任意n∈N＊，ａn S n≥a6Ｓ6;(3）若数列{ａｎ}为“6关联数列”,当n≥６时,在a n与a n+１之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求d n,并探究在数列{dｎ}中是否存在三项d m,d k，dｐ（其中ｍ,k,p成等差数列)成等比数列？若存在,求出这样的三项；若不存在,说明理由.【考点】数列的应用；等比数列的通项公式.【专题】综合题;转化思想；综合法；等差数列与等比数列.【分析】（１)若数列｛a n}为“6关联数列”,｛a n}前6项为等差数列，从第５项起为等比数列，可得a６＝a1＋5,a5=a1+4,且=2,解得ａ１,即可求数列｛a n}的通项公式．(2）由(1)得,可见数列｛a nＳn｝的最小项为a6S６＝﹣６，即可证明：对任意n∈N*，ａnＳn≥ａ6S6．(3)由(1）知,当ｎ≥6时,,由此能求出.假设在数列{dｎ}中存在d m,ｄk，d p(其中m,ｋ，p成等差数列),则(d k)2=d mｄｐ，推导出k=m=p,这与题设矛盾.故在数列{ｄｎ}中不存在三项dｍ,d k,ｄp(其中ｍ，k，p成等差数列)成等比数列．【解答】解:（１）∵数列{a n｝为“6关联数列”,∴{a n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a６=ａ1+5，a5=a1+4，且==2，解得a1＝﹣3，∴．（２）由（１)得，｛a n｝:﹣3,﹣2，﹣1,0，１,２，22,23，２４，2５，…,{Ｓｎ｝：﹣３,﹣5，﹣6,﹣6，﹣５，﹣3,１,9,２5，…｛aｎS n}:9，10,6,0,﹣5,﹣6，4，7２，40０，…,可见数列｛ａn Sｎ}的最小项为a6S6=﹣6,---- 证明:a ｎS ｎ=，列举法知当n ≤5时，(ａn Ｓｎ)ｍin =a 5S ５＝﹣5;当ｎ≥6时,a ｎS n =２•(２n ﹣5）2﹣7•2ｎ﹣5,n ≥６,设t=2n ﹣５,则ａn S n ＝2t 2﹣7t=2(t ﹣）2﹣7t=2(ｔ﹣）2﹣≥2•2２﹣7•2=﹣6.(3）由(1)知，当n ≥6时，， ∵a n+１=a n +（n+2﹣1）d ｎ,2ｎ﹣４=２n ﹣5+(n+１）d n ,∴． 假设在数列｛d n }中存在ｄm ,ｄｋ，d p (其中m,k ，p 成等差数列)，则（d k )2=d m d p ,∴（)2=,，（*）∵m,p ，k 成等差数列，∴m+p ＝2k,(*)式可化简为（k+1)2=(m+1）(p+1），即k ２=mp ，∴k=ｍ=p ，这与题设矛盾.∴在数列｛d n ｝中不存在三项d m ,d ｋ，d p (其中m ，ｋ，p 成等差数列)成等比数列．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明,考查满足条件的三项是否存在的判断与求法，是中档题,解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.。

初三一轮数学检测卷（2016闵行一模）一. 选择题1. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判定DE ∥BC 的是 （ ） A.AD AE DB EC =； B. AD AE AB AC =； C. DB AB EC AC =； D. AD DEDB BC=；2. 将二次函数21y x =-的图像向右平移1个单位，向下平移2个单位得到（ ） A. 2(1)1y x =-+； B. 2(1)1y x =++； C. 2(1)3y x =--； D. 2(1)3y x =++；3. 已知α为锐角，且5sin 13α=，那么α的余弦值为（ ） A.512； B. 125； C. 513； D. 1213； 4. 抛物线2y ax bx c =++的图像经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是 （ ）A. 0a >，0b >，0c =；B. 0a >，0b <，0c =；C. 0a <，0b >，0c =；D. 0a <，0b <，0c =；5. 在比例尺为1:10000的地图上，一块面积为22cm 的区域表示的实际面积约为（ ） A. 20000002cm ； B. 200002m ； C. 40000002m ； D. 400002m ；6. 如图，在矩形ABCD 中，3AB =，6BC =，点1O 为矩形对角线的交点，○2O 的半径 为1，12O O AB ⊥，垂足为点P ，126O O =，如果○2O 绕点P 按顺时针方向旋转360°， 在旋转过程中，○2O 与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ） A. 3次； B. 4次；C. 5次；D. 6次；二. 填空题 7. 如果35x y =，那么x y y+= ； 8. 如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们的相似比是 ；9. 已知线段AB 长为2厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP <），那么BP 的长 是 厘米；10. 如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，点F 在边AC 延长线 上，且FD AB ⊥，垂足为点D ，如果6AD =，10AB =，2ED =，那么FD = ；11. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，1cos 3A =，2AC =，那么 BC = ；12. 已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为 ； 13. 过△ABC 的重心作DE ∥BC ，分别交AB 于点D ，AC 于点E ，如果AB a =，AC b =，那么DE = ；14. 方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为-3和1，那么抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴是直线 ；15. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，12AC =，5BC =，以点A 为圆心作○A ，要使B 、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么○A 的半径长r 的取值范围为 ； 16. 已知○1O 与○2O 内切，○1O 的半径长是3厘米，圆心距122O O =厘米，那么○2O 的 半径长等于 厘米；17. 闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图①），如果曲线APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流（如图②），其上的水珠的高度y （米）关于水平距离x （米）的函数解析 式为2944y x x =-++，那么圆形水池的半径至少为 米时，才能使喷出的水 流不落在水池外；18. 将一副三角尺如图摆放，其中在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，在Rt △EDF 中，90EDF ∠=︒，45E ∠=︒，点D 为边AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经 过点C ，将△EDF 绕点D 顺时针方向旋转角α（060α︒<<︒）后得到△E DF ''，DE '交AC 于点M ，DF '交BC 于点N ，那么PMCN的值为 ；三. 解答题19. 如图，已知Rt △ABC 的斜边AB 在x 轴上，斜边 上的高CO 在y 轴的正半轴上，且1OA =，2OC =， 求经过A 、B 、C 三点的二次函数解析式；20. 已知，如图，在○O 中，弦CD 垂直于直径AB ，垂足为点E ，如果30BAD ∠=︒，且2BE =，求弦CD 的长；21. 如图，已知四边形ABCD ，点P 、Q 、R 分别是对角线AC 、BD 和边AB 的中点， 设BC a =，AD b =；（1）试用a 、b 的线性组合表示向量PQ ；（需写出必要的说理过程） （2）画出向量PQ 分别在a 、b 方向上的分向量；22. 如图，一只猫头鹰蹲在树AC 上的B 处，通过墙顶F 发现一只老鼠在E 处，刚想起飞 捕捉时，老鼠突然跑到矮墙DF 的阴影下，猫头鹰立即从B 处向上飞至树上C 处时，恰巧 可以通过墙顶F 看到老鼠躲在M 处（A 、D 、M 、E 四点在同一条直线上）；已知，猫头鹰从B 点观察E 点的俯角为37°，从C 点观察M 点的俯角为53°，且3DF =米，6AB =米，求猫头鹰从B 处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠？（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37cos530.602︒=︒≈，cos37sin530.799︒=︒≈，tan37cot530.754︒=︒≈，cot37tan53 1.327︒=︒≈）23. 如图，已知在△ABC 中，AB AC =，点D 为BC 边的中点，点F 在边AB 上，点E 在 线段DF 的延长线上，且BAE BDF ∠=∠，点M 在线段DF 上，且EBM C ∠=∠； （1）求证：EB BD BM AB ⋅=⋅； （2）求证：AE BE ⊥；24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点， B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C -，点P 是直线BC 下方抛物线上的任意一点；（1）求这个二次函数2y x bx c =++的解析式；（2）联结PO 、PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP C '，如果四边形POP C ' 为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，能使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求 出此时点P 的坐标；25. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点G ，已知3AB BC ==，1tan 2BDC ∠=，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF DE ⊥，垂足为点P ，交射线AC 于点M ，射线DC 于点H ；（1）当点F 是线段BH 中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE x =，CM y =，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的 值；2016闵行区中考数学一模卷一、选择题1.D2.C3.D4.A5.B6.B二、填空题7.85 8.2︰3（23）1 10.811.12.4︰3 13.2233b a - 14.1x =- 15.1213r << 16.1或5 17.92三、解答题19.【解】∵CO 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∴Rt △AOC ∽Rt △COB .∴OA OCOC OB=. ………………………………………（1分） ∵OA =1，OC =2，∴OB =4.……………………………………………………（1分） ∵点A 、B 在x 轴上，且点A 、B 分别在原点的左、右侧，点C 在y 轴的正半轴上， ∴点A 的坐标为（－1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，2）.（3分） 设所求的二次函数解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，由题意，得001642a b ca b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩………………………………………………………（1分）解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩…………………………………………………………………………（3分）∴所求的二次函数解析式为213222y x x =-++. ……………………………（1分）20.【解】联结OD .………………………………………………………………………（1分）∵OA =OD ，∠BAD = 30°，∴∠BOD = 60°. ……………………………………（1分） ∵AB ⊥CD ，∴∠AED = 90°.∴∠ODE = 30°.…………………………………（1分） ∴OD =2OE . ………………………………………………………………………（1分） 又∵BE =2，OB =OD ，∴OE =2，OD =4.……………………………………………（2分） ∵∠AED = 90°，∴222OE DE OD +=. …………………………………………（1分） ∴DE=.…………………………………………………………………………（1分） ∵AB ⊥CD ，AB 是直径，∴CD =2CE =2DE =43.………………………………（2分）21.【解】（1）∵点P 、R 分别是AC 和AB 的中点，BC a =，∴12RP a =.………（2分）∵点Q 、R 分别是BD 和AB 的中点，AD b =，∴12RQ b =.………（2分）∴1122PQ b a =-. …………………………………………………………（2分）（2）作图.………………（2分） 结论. ………………（2分）22.【解】过F 作FH ⊥AC ，垂足为点H ，根据题意，可得∠BFH =37º，∠CFH =53º. …………………………………（2分） ∵DF = 3，AB = 6，FH ⊥AC ，∠A = 90º，∴DF =AH =BH =3.………………………………………………………………（2分）∵在Rt △BHF 中，cot ∠BFH =HFBH， ∴HF =BH ·cot ∠BFH = 3·cot37º≈3.981………………………………………（2分） ∵在Rt △CHF 中，tan ∠CFH =CHHF， ∴CH =HF ·tan ∠CFH = 3·cot37º·tan53º≈5.283……………………………（2分） ∴BC =CH －BH = 5.283－3≈2.28.………………………………………………（1分） ∴猫头鹰从B 处飞高了2.28米时，又发现了这只老鼠.……………………（1分）23.【证明】（1）∵AB =AC ，∠EBM =∠C ，∴∠EBM =∠C =∠ABD .…………………（1分）∴∠EBM －∠ABM =∠ABD －∠ABM ，即：∠EBA =∠MBD .…………………（1分） 又∵∠BAE =∠BDF ，∴△ABE ∽△DBM .………………………………………（2分）∴EB ABBM BD=.………………………………………………………………………（1分） ∴EB BD BM AB ⋅=⋅.………………………………………………………………（1分） （2）联结AD .∵AB =AC ，点D 为BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =90º.………………（1分）∵EB AB BM BD =，∴EB BMAB BD =.又∵∠EBM =∠ABD ，∴△EBM ∽△ABD . …（1分） ∴∠EMB =∠ADB =90º.……………………………………………………………（1分） ∴∠BMD =90º.……………………………………………………………………（1分） 又∵△ABE ∽△DBM ，∴∠AEB =∠DMB =90º.…………………………………（1分） ∴AE ⊥BE .…………………………………………………………………………（1分） 24.【解】（1）由题意，得0933b cc =++⎧⎨-=⎩…………………………………………………（1分）解得23b c =-⎧⎨=-⎩.………………………………………………………………………（2分）∴此二次函数的解析式为223y x x =--.………………………………………（1分） （2）如图，四边形POP'C 为菱形，联结PP' 交CO 于点E .∵四边形POP'C 为菱形，∴PC=PO ，且PE ⊥CO .……………………（1分） ∴OE=EC=32，即P 点的纵坐标为32-.……（1分） 由23232x x --=-，得12x x =舍去）………………………………（1分）∴存在这样的点，此时P ，32-）.……………………（1分）第24题图 hmh16（3）根据题意，可得在Rt △AOC 中，AO ＝1，OC ＝3，∠AOC =90º.……………（1分）如果△PBC ∽△AOC 时，那么只可能∠BCP =90º或∠CPB =90º.……………（1分） 可知10AC =，设P 点坐标是（x ，y ） （i ）当∠BCP =90º时，13PC BC =，且直线PC 和直线CB 的斜率乘积为1-，可得方 程组222(3)13323112303x y y x y x x x ⎧++=⎪⎪⎪+⨯=-⎨⎪⎪=--⎪⎪⎩＜＜，解得P 点坐标是（1，－4）.……………………（1分）（ii ）当∠CPB =90º时，10CP BC =或10CP BC PC 和直线PB 的斜率乘 积为1-，可得方程组222(3)32103132303x y y y x x y x x x ⎧++=⎪⎪⎪+⋅=-⎨-⎪⎪=--⎪⎪⎩＜＜或222(3)32103132303x y y yx x y x x x ++=⎪+⋅=-⎨-⎪⎪=--⎪⎪⎩＜＜，两个方程组均无解，即这两种情况不存在.…………………………………………（1分） ∴综上所述，点P 的坐标是（1，－4）.25.【解】（1）∵AB //CD ，∠ABC =90º，∴∠BCD =90º.又∵BC =3，tan ∠BDC =12，∴BD =35DC =6.…………………………（2分） ∵BF ⊥DE ，点F 是线段BH 中点，∴BD =DH =35…………………（1分） ∴CH=DH －DC = 356.………………………………………………（1分） （2）∵BF ⊥DE ，∠BCD =90º，∴∠BCH =∠HFD =90º.又∵∠DHB 是公共角，∴∠HBC =∠HDF . ………………………………（1分） ∴tan ∠HBC = tan ∠HDF ，即363x CH -=.∴32xCH -=.……………（1分） 在Rt △ABC 中，AB =BC =3，∴ AC =32. ……………………………（1分）∵AB//CD，∴CH CMAB AM=.即：323x-=…………………………（1分）整理，得y=. ………………………………………………（1分）定义域为03x<<.…………………………………………………………（1分）（3）（i）当GF⊥BC时，点E在BC边上，令GF交BC于点O.∵AB//CD，∴AB BG GO BODC AB BD DC BC===+，∴CO=GO=2，BO=1.由tan∠HBC =OF ECBO DC== tan∠HDF，得36xOF-=.∵GF⊥BC，BF⊥DE，∴△EOF∽△FOB.∴OF BOOE OF=.即：231(1)()6xx-⋅-=，hmh14解得122121x x=-=+…………………（2分）（ii）当GF⊥DC时，点E在BC的延长线上，令GF交DC于点O.∵AB//CD，∴12AB BGDC GD==，∵GF//BE，∴23GO DO DG OFBC DC DB CE====，∴CO=GO=2，DO=4，2(3)3xOF-=.由tan∠EBF=HC ECBC DC== tan∠CDE，得72xOH-=.∵GF⊥DC，BF⊥DE，∴△DOF∽△FOH.∴OF HODO OF=. hmh15即：27264()23x x--⋅=，解得12x x==，（不合题意舍去）…………（2分）∴综上所述，x的值为21-.第25题图②ABDCEFGHMOO第25题图①ABDCEFGHM。