函数的值域(课时1)

课时12：函数的值域（1）教学目标：掌握二次函数在区间上的值域的求法； 掌握一次函数与反比例函数的值域的求法； 掌握换元法求值域的方法；会求分段函数的值域。

教学重点：掌握二次函数在区间上的值域的求法； 会求分段函数的值域。

教学难点：掌握换元法求值域的方法；教学过程：一、课前预习1．函数12+-=x y ，21<≤x 的值域为 ；2．函数11)(+-=x x x f ，21≤≤x 的值域为 ； 3．函数12--=x x y 的值域为 ；4．函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为___ ；5．函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,1,)(x x x x x f 的值域为 ； 二、建构数学1．一次函数、二次函数、反比例函数都是根据图象求值域；2．换元法求值域一定要注明新元的取值范围；3．函数的值域必须用区间或集合表示。

4．分段函数的值域：先求出每一段的值域，然后再取并集。

三、数学运用例1．已知函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83，求函数)(21)()(x f x f x g -+=的值域。

例3．求函数x x y 3121+-=的值域。

例4．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=)1(3)5()1(31)(2x x x x x f ，求)(x f 的值域。

四、达标检测1.函数22++-=x x y 的值域为 ；2．函数11+-=x x y 的值域为 ； 3.函数12)(2--=x x x f ，12≤≤-x 的值域为 ；4.函数212+--=x x y 的值域是 ；5.函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥+=2,122,1)(2x x x x x x f 的值域为 ；五、课后作业1．函数142+-=x x y ，441≤≤x 的值域为 ； 2．函数xx x f 3121)(+-=的值域为 ； 3．若x≥0，y≥0，且12=+y x ，则232y x +的最小值是 ．4．函数22()1x y x R x =∈+的值域为____ ____． 5．函数2211xx y +-=的值域为 ；6．函数1y =的值域为 。

《函数的值域》（一）主要考查内容：主要涉及简单函数求值域问题一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数[]22,0,3y x x x =-∈的值域为（ ） A ．[]0,3 B ．[]1,3C ．[]1,0-D ．[]1,3-2．函数()f x =的值域是（ ）A ．(,2]-∞B ．(0,)+∞C ．[2,)+∞D．3．函数y = ）A ．RB ．[0,)+∞C ．3(,]2-∞D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．函数()11(1)f x x x =--的值域为( )A ．4(0,]5B ．5(0,]4C ．3(0,]4D ．4(0,]35．函数13y = ）A ．(],3-∞B ．(]0,1C ．(]0,3D ．(]1,3 6．函数y 121x =-的值域是（ ） A ．(),1-∞ B ．()(),00,-∞⋃+∞ C ．()1,-+∞D ．()(),10,-∞-⋃+∞7．函数y = ） A ．[0,)+∞ B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)8．函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞ C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．函数y x =的值域为（ ）.A ．2⎡⎤-⎣⎦B ．[]0,4C ．0,2⎡+⎣D ．2⎡-+⎣10．函数y x = ） A ．(－∞，1] B ．(－∞，－1]C ．RD ．［1，+∞11．函数()3452xf x x-+=-的值域是（ ）A ．()(),22,-∞+∞B ．()(),22,-∞--+∞C ．55,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．R12．函数y =的值域为（ ）A ．[B ．C ．(-∞D ．[)+∞二．填空题13．函数2y x =+的值域为__．14．函数y x =的值域是___________________.15．求函数21x y x +=-的值域__________. 16．当0x <时，函数2321xy x x =++的值域是_________.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求函数3254x y x+=-的定义域与值域.18．求函数2y x =+19．求下列函数的值域：（1）2224y x x =+-；（2）2223x x y x ++=；（3）234x x y x -+=； （4）23,[2,4]21x y x x =∈-；（5）211x y x x +=++；（6）22211x x y x x --=++.20．已知函数243()3axx f x -+=.（1）当1a =时，求函数()f x 的值域； （2）若()f x 有最大值81，求实数a 的值.21．已知()1425x x f x -=-+，[]0,2x ∈.（1）求()f x 的值域；（2）若()227f x m am <-+对任意0,2m都成立，求a 的取值范围.22．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.《函数的值域》（一）解析1.【解析】()22211y x x x =-=--，∴对称轴为1x =，抛物线开口向上，03x ≤≤，∴当1x =时，min 1y =-，1-距离对称轴远，∴当3x =时，max 3y =，∴13y -≤≤.故选：D.2.【解析】令()22()2112g x x x x =--+=-++， 则有：当1x =-时，()max ()2g x =，即()max ()f x =因为()f x =为根式函数，则()0f x ≥，所以0()f x ≤≤D3.【解析】函数y ==，21990,244x ⎛⎫⎡⎤--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴函数y =⎡⎢⎣即30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.4.【解析】由题可知，函数()221111(1)11324f x x x x x x ===---+⎛⎫-+⎪⎝⎭因为22211331400224431324x x x ⎛⎫⎛⎫-≥⇒-+≥⇒<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+⎪⎝⎭， 故值域为4(0,]3，故选：D 5.【解析】0≥，∴11≤，∴1033<≤.故选：C6.【解析】由121xy =- 可得1210xy =+>，即()10y y +> ，解之得1y <- 或0y >，应选答案D ．7.【解析】：由于016416x ≤-<，所以[)0,4y ∈.即值域为[0,4)，故选C.8.【解析】设2265(3)44u x x x =-+=--≥-，则()1,42uf u u ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以()()0416f u f <≤-=，即值域为(]0,16.故选:A.9.【解析】因为y x =240x x -，解得04x ．可得函数()y f x x ==-[]0,4．又()1f x '==令()(2)g x x =-，则()()()1222410g x x x x -'=--+>，即()f x '在[]0,4上单(2)0x -=，解得2x =-，即()f x 在0,2⎡⎣上单调递减，在2⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以2x =为极小值点，又(22f -=-(0)0f =，()44f =．∴函数y x =的值域为2⎡⎤-⎣⎦．故选：A ．10.【解析】(0)t t =≥，则212t x -=，所以2211(1)122t y t t -=+=--+，当1t =时，此时函数取得最大值1，所以函数的值域为(,1]-∞.故选：A. 11.【解析】()344341077252252525x x x f x x x x x -+--+==-=-=-+----）()2f x ∴≠-，值域为()(),22,-∞-⋃-+∞）故选：B.12.【解析】要使函数()y f x ==需满足1010x x +⎧⎨-⎩，解得：11x -，所以函数的定义域为[]1,1-，根据函数的解析式，x y 增大，即该函数为增函数，所以最小值为()1f -=()1f =所以值域为⎡⎣，故选：A ．13.【解析】2y x =+30x ∴-≥，解得3x ≥．又函数2y x =+为定义域内的增函数，∴26y x =≥．即函数2y x =+的值域为[)6,+∞．14.【解析】由120x +≥得12x ≥-，因为函数y x =为定义域单调递增函数，所以12y ≥-，即值域是1,.2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭15.【解析】因为21x y x +=-，所以23111x y x x +==+--，又301x ≠- 所以3111y x =+≠-，故函数的值域为()()-11∞+∞,, 16.【解析】2331212x y x x x x==++++()1x ≠-，因为0x <，所以1220x x ++≤-=，当且仅当1x =-时“=”号成立， 因为1x ≠-，所以函数2321xy x x =++的值域是{|0}y y <，故答案为{|0}y y <. 17.【解析】要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233235445445444(54x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+---⨯-），因为540x -≠，所以10(54x ≠-），即2304(54x ≠⨯-），所以34y ≠-，即值域为3{|}4y y ≠-.18.【解析】令t =()0t ≥，则212t x -=．∴原函数可化为22151()24y t t t =-++=--+． ∵当12t =，即38x =时，max 54y =；且原函数无最小值．故原函数的值域为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．19.【解析】（1）因为2224y x x =+-22(1)5x =+-，所以22(1)50x y +=+≥， 所以250y y +≥，所以(52)00y y y +≥⎧⎨≠⎩，所以0y >或25y ≤-， 所以函数2224y x x =+-的值域为2,(0,)5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦. （2）因为2223x x y x++=2321x x =++21123()33x =++23≥，所以函数2223x x y x ++=的值域为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （3）因为234x x y x-+=43x x =+-， 所以当0x >时，3431y ≥=-=，当且仅当2x =时，等号成立， 当0x <时，4()3y x x =--+--3≤-437=--=-，当且仅当2x =-时，等号成立，所以函数234x x y x-+=的值域为(][,7,)1-∞-+∞.（4）2331212x y x x x==--，当[2,4]x ∈时，函数为递减函数，所以2x =时，y 取得最大值，最大值为23262217⨯=⨯-，当4x =时，y 取得最小值，最小值为2341224131⨯=⨯-， 所以函数23,[2,4]21xy x x =∈-的值域为126[,]317. （5）由211x y x x +=++得2(1)10yx y x y +-+-=， 当0y =时，方程的根为1x =-，当0y ≠时，根据关于x 的一元二次方程有解，得2(1)4(1)0y y y ∆=---≥，即23210y y --≤，解得103y -≤<或01y <≤， 综上可得函数211x y x x +=++的值域为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （6）由22211x x y x x --=++得2(2)(1)10y x y x y -++++=，当2y =时，方程的根为1x =-，当2y ≠时，根据一元二次方程有解得2(1)4(2)(1)0y y y ∆=+--+≥，即2230y y --≤，解得12y -≤<或23y <≤，综上可得函数211x y x x +=++的值域为[1,3]-. 20.【解析】（1）当1a =时，2243(2)111()3333xx x f x -+---===， ∴函数()f x 的值域为1[3，)+∞．（2）令243t ax x =-+，当0a 时，t 无最大值，不合题意； 当0a <时，222443()3t ax x a x a a =-+=--+，43t a∴-，又()3tf t =在R 上单调递增，434()33813t a f x -∴===，434a∴-=，4a ∴=-．21.【解析】（1）令2x t = ，[]0,2x ∈ ，[]1,4t ∴∈()1425x x f x -=-+，∴()()221152444g t t t t =-+=-+[]1,4t ∈ ，()[]4,5g t ∴∈，()f x ∴的值域为[]4,5.（2）()227f x m am <-+对任意0,2m都成立∴()2max 275m am f x -+>=，即2275m am -+>，故2220m am -+>(]0,2m ∈，由2220m am -+>，可转化为：22a m m <+，可得22m a m+>224m m +≥=，当且仅当1m =取等号，∴4a < 22.【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-即：242422x x x x a a a aa a a a ---+-+=-++.即2(4)2422x x x xa a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+,211121x∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-. （3）由()220xmf x +->可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+.当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->-令(2113)xt t -=≤≤），则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+，函数21y t t=-+在1≤t ≤3上为增函数，∴max 210(1)3t t -+=，103m ∴>，故实数m 的取值范围为(10,3)+∞。

5-6．函数的定义域与值域【知识要点归纳】一.不等式的解法复习总结：二．定义域1.定义：是指在一个函数关系中，能使函数有意义(包括 和 )的所有自变量的集合2.代数式意义需要关注的限制条件是 、 、 、3. 定义域是函数的灵魂,在解决 函数问题时都要考虑函数的定义域,要形成" "的函数观念.三．值域1. 定义：y 的取值范围叫做这个函数的值域2.方法四．分段函数1.定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数。

2.说明：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的（3）画图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点，否则用空心点。

（4）写分段函数定义域时，区间端点补充不漏（5）处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系（6）分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是求出各段上的值域后取并集，分段函数的最大、小值则是分别在每段上求出最大、小值，然后取各段中的最大小值【经典例题】例1：解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0；（3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0．（6）0)3)(1)(53(>-+-x x x （7）0153>+-x x例2：求下列函数的定义域： （1）14)(2--=x x f（2）3)(2-=x x f（3）f (x )2例3：(1)已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求y=f （2x ）+f(x+32)的定义域. (2)已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域. (3)已知函数f （x ＋1）的定义域为[－2，3]，求f （2x 2－2）的定义域.例4：△ABC 中，|AB|=4，|AC|=2，P 、Q 分别是AB 、AC 上的动点，且满足S △APQ =21S △ABC ，若|AP|=x ，|AQ|=y ， （1）写出x 的取值范围;(2)求f(x)的解析式.例5：求下列函数的值域 （1）[]4,1,12)(∈+=x x x f （2）[]4,1,12)(∈+-=x x x f例6：求下列函数的值域（1）[]4,1,1)(∈=x x x f （2）041,1)(≠≤≤-=x x xx f 且例7：求下列函数的值域（1）1(4)2x y x x -=≥-+（2）541x y x +=-例8：求下列函数的值域 （1）32)(2++=x x x f（2）[]2,1,32143)(2-∈-+-=x x x x f例9：求下列函数的值域(1) R x x x x f ∈++-=,5321)(24（答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∞-219,） （2）12++=x x y（3）y x =+例10.如下图，在三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC=22，一个边长为2的正方形由位置I 沿AB 平行移动到位置Ⅱ,若移动的距离为x ，正方形和三角形ABC 的公共部分的面积为f(x),试求f(x)的解析式.【课堂练习】1.求下列函数的定义域：（1）y ={x |0£x ≤1}）（2）y =,（答案：{x |x ≥1或x =0}）2.已知函数1()1xf x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则（ ）()A A B B = ()B A B ≠⊂ ()C A B = ()D A ÇB =B答案：D3.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1) 答案：B4.函数]2,1[,362-∈-+=x x x y 的值域是 答案：]13,8[- 5. 函数1+=x xy 的值域是 答案：1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y 即函数1+=x xy 的值域是 { y | y ∈R 且y ≠1}6. 函数x x f -+=15)(的值域是答案：x x f -+=15)( ∵),0[1+∞∈-x ∴),5[)(+∞∈x f 即函数y =x x f -+=15)(的值域是 { y | y ≥5} 7. 函数x x y -+=142的值域是答案：设 x t -=1 则 t ≥0 x =1-t 2代入得 y =f (t )=2×(1-t 2)+4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1)2+4 ∵t ≥0 ∴y ≤48.设10()2,0xx f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32【答案】C9．等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域． 解：作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足，依题意，则有AH ＝a 2，AG ＝32a .(1)当M 位于点H 的左侧时，N 在AB 上，由于AM ＝x ，∠BAD ＝45°.∴MN ＝x .∴y ＝S △AMN ＝12x 2 ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤a 2.(2)当M 位于H 、G 之间时，由于AM ＝x ，∴MN ＝a 2，BN ＝x －a2.∴y ＝S 直角梯形AMNB ＝12 · a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝12ax －a28⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<x ≤32a .(3)当M 位于点G 的右侧时，由于AM ＝x ，MN ＝MD ＝2a －x .∴y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12 · a 2(2a ＋a )－12(2a －x )2＝3a 24－12(4a 2－4ax ＋x 2)＝－12x 2＋2ax －5a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫32a <x ≤2a .10．在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 。

3.1.1函数的概念（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教材地位本节课是普通高中课程标准实验教科书人教A版第三章第一节第一课时（第60～64页）.1.概念本身角度：函数是高中数学最抽象的概念，初中曾用运动变化的观点给出函数的描述性定义，并把函数看作两个变量间的依赖关系，但这一定义有一定的阶段性和局限性.2.学科角度：函数是高中数学的核心概念，是整个高中函数知识体系的基石，它不仅将函数概念由“对应论”发展到“集合论”，更承上启下，为后继研究基本初等函数，比如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及函数的性质等提供研究方法和理论依据，让我们体会到重要概念对数学发展和数学学习的巨大作用；同时，函数的基础知识在日常生活、社会经济、以及等其他学科也有着广泛应用.3.高考角度：函数是高考数学的热点，函数图象性质、函数与代数式方程不等式数列三角解析几何导数的结合问题常考常新，从基础题、中档题到压轴题，每年高考都是绝对重点，高考所考察的五大数学思想中的数形结合思想、函数与方程思想贯穿高中数学学习的全过程.有人说，“得函数者得数学，得数学者得高考”，更是形象的道出了函数在高考中的重要地位.二、学情分析1.从学生知识层面看：通过初中函数相关知识的学习,学生具备了一定的知识经验和基础；通过必修一第一章“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数、从根本上揭示函数的本质提供了知识保证．2.从学生能力层面看：学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强.3.从学生情感培养方面看：多数学生对教学新内容的学习有很高学习兴趣和积极性，但探究能力以及合作交流等能力仍需要通过课堂主渠道加以培养和提高.三、教学目标1.知识与技能：会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数的概念；理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数的三要素；会求一些简单函数的定义域.（重点）2.过程与方法：让学生亲身经历函数概念的形成过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，培养学生抽象概括能力，让学生学会数学表达和交流，激发数学学习兴趣，发展数学应用意识.（难点）3.情感、态度与价值观：培养学生细心观察、认真分析、严谨表达的良好思维习惯，养成用函数模型描述和解决现实世界中蕴含的规律，培养学生提出问题的能力，培养创新意识.四、教学重点用集合语言和对应关系刻画函数的概念.五、教学难点对函数概念的理解.六、教学过程1.函数概念的形成1.1创设情境，引发思考思考1：(1)若正方形的边长为1，则其周长l= ；(2)若正方形的边长为2，则其周长l= ； (3)若正方形的边长为x ，则其周长l= ；【预设答案】（1）4（2）8（3）4x【设计意图】通过具体的例子复习函数的概念，让学生再次体会函数高度“抽象”的作用.思考2：初中学习的函数的概念是什么？【预设答案】设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数.其中x 叫自变量，y 叫因变量.【设计意图】复习初中函数概念，强调函数是一种特殊的对应.思考3：请同学们考虑以下两个问题【设计意图】从初中的概念来看，这两组中的两个函数没什么不同，但我们有感觉它们是不同函数.让学生体会初中函数概念不够精确，从而有些问题解决不了.1.2探究典例，形成概念问题1： 某“复兴号”高速列车到350km/h 后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系可以表示为 S=350t.思考：根据对应关系S=350t ，这趟列车加速到350km/h 后，运行1h 就前进了350km ，这个说法正确吗？44y x l x ==（1）与周长是同一函数吗？22x y x y x==（）与是同一函数吗？【预设答案】不正确.对应关系应为S=350t ，其中 }1750|{},5.00|{11≤≤=∈≤≤=∈s s B s t t A t .问题2 ：某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w （单位：元）是他工作天数d 的函数吗？【预设答案】是函数，对应关系为w=350d,其中},6,5,4,3,2,1{2=∈A d}2100,1750,1400,1050,700,350{2=∈B w .思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？【预设答案】不是.自变量的取值范围不一样.问题3 :如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th 的空气质量指数的值I ？你认为这里的I 是t 的函数吗？【预设答案】是，t 的变化范围是}240|{A 3≤≤=t t ，I 的范围是}1500|{I B 3<<=I .问题4： 国际上常用恩格尔系数）总支出金额食物支出金额=r r ( 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r 是年份y 的函数吗？思考：上述问题1到问题4中的函数有哪些共同点和不同点？【预设答案】共同点有：（1）都包含两个非空数集，用A ，B 来表示；（2）都有一个对应关系不同点有：（1）（2）是通过解析式表示对应关系，（3）是通过图象，（4）是通过表格【设计意图】通过四个具体的例子，发现要在集合的基础上定义函数会比较准确，同时让学生体会函数对应关系的3种表示形式.函数概念：一般地，设A , B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}()f x x A |∈叫做函数的值域.函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.常见函数的三要素：正比例函数：y kx =的定义域是R ，值域也是R .对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数(0)ax b a +≠.一次函数：(0)y ax b a =+≠的定义域是R ，值域也是R .对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数(0)ax b a +≠.二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠的定义域是R ，值域是B .当a >0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a <0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到B 中唯一确定的数2(0)ax bx c a ++≠. 反比例函数：(0)k y k x =≠的定义域为{}0x x ≠，对应关系为“倒数的k 倍”，值域为{}0y y ≠.反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集{}0A x x =≠中的任意一个x 值，按照对应关系f ：“倒数(0)k k ≠倍”，在集合{}0B y y =≠中都有唯一确定的数k x 和它对应，那么此时f ：A B →就是集合A 到集合B 的一个函数，记作()(0),.k f x k x A x=≠∉2.例题讲解，理解概念例1.判断下列对应是否是函数【预设答案】（1）是（2）是（3）不是【设计意图】让学生体会函数只能是“一对一”或“多对一”，不能“一对多”.例2. 判断下列图象能表示函数图象的是（）【预设答案】D【设计意图】让学生体会概念中的“唯一”二字例3 .你能构建一个问题情景，使其中函数的对应关系为y=x(10-x)吗？【预设答案】长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x（10-x），其中x的取值范围是A={x|0<x<10},y的取值范围是B={y|0<y≤25}.对应关系f把每一个长方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x)【设计意图】让学生体会数学建模，数学应用思想，同时巩固函数概念是建立在集合基础上的.3.课堂练习，巩固新知练习1.若函数y=f(x)的定义域为{x|−3≤x≤8,x≠5}，值域为{y|−1≤y≤2,y≠0}，则y=f(x)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】B练习2.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则g(f(5))=；f(g(2))=．【答案】4 3练习3.集合A，B与对应关系f，如图所示，f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义值域与对应关系各是什么？【答案】由图知A中的任意一个数，B中都有唯一确定数，与之对应，所以f：A→B 是从A 到B的函数定义域是A={1,2,3,4,5},值域C={2，3，4，5}4.构建一个问题情景，使其中的变量关系能用解析式y=√x来描述.【答案】正方形的面积为x,其边长为y，则y=√x，其中x的取值范围是A={x|0<x},y的取值范围是B={y|0<y}4.课堂小结，思想升华本节课主要是在集合的基础上重新定义了函数，让函数的概念更加清晰准确.。

12一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

第1讲 函数的定义域及值域【知识梳理】一．函数的基本概念 (1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 二．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 三．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 四．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．【题型归纳全解】题型一 函数的概念例1. 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.题型二 求函数的解析式例2. (1)如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1 (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)B (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t 1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.(3)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2f (x )x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.题型三 求函数的定义域 例3. (1)函数f (x )＝ln (2＋x －x 2)|x |－x 的定义域为( )A ．(－1,2)B ．(－1,0)∪(0,2)C ．(－1,0)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )的定义域为[1,2]，则函数g (x )＝f (2x )(x －1)0的定义域为________．答案 (1)C (2)[12，1)解析 (1)f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x －x 2>0，|x |－x ≠0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x <0，∴－1<x <0，∴f (x )的定义域为(－1,0)．(2)要使函数g (x )＝f (2x )(x －1)0有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤2x －1≠0，∴12≤x <1，故函数g (x )的定义域为[12，1)． 题型四 分段函数例4. (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为 ( )A ．2B ．1 C. 2 D ．－ 2 答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. (2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得 当x ≤－1或x ≥1时， f M (x )＝2－x 2；当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1.【课堂训练】1. 函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0ln (x ＋1)≠04－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2. (2012·江西)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 答案 D解析 由题意知f (3)＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝139.3. 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．4. 已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .5. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]答案 B解析 方法一 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ； 若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1，所以选B.6. 下表表示y答案 {2,3,4,5}解析 函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}． 7. 已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.答案 11解析 ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x )2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32＋2＝11.8. 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立． ∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0.9. 已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10. 某人开汽车沿一条直线以60 km /h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象． 解x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤52150 52<t ≤72150－50(t －72) 72<t ≤132.图象如右图所示．【课下作业】1. 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4.2. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是( )A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1,3) 答案 A解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3， 解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)，故选A.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，－2x ，x <0，则关于x 的方程f (f (x ))＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上) 答案 ①②解析依题意，知函数f (x )>0， 又f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ee x ，x ≥0，e －2x ，x <0，依据y ＝f (f (x ))的大致图象(如右图所示)，知存在实数k ，使得方程f (f (x ))＋k ＝0恰有1个实根或恰有2个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根或恰有4个不相等的实根．4. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫 作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解 (1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．5. 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．。

高中数学人教A版（2019）必修一第三章第一节函数的值域一、单选题(共7题；共35分)1．（5分）函数y =2+x4−3x的值域是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，−12）∪（12，+∞）C．（﹣∞，−13）∪（13，+∞）D．（﹣∞，−13）∪（−13，+∞）2．（5分）函数y=x2−2x−1，x∈[−1，2]的值域是（）A．[−2，2]B．[−1，2]C．[−2，1]D．[−1，1]3．（5分）函数y=1x2+x+1的值域为（）A．(−∞，43]B．(−∞，34]C．(0，43]D．(0，34] 4．（5分）已知函数f(x)=x2−2x+3，则f(x)在区间[0，3]的值域为（）A．[3，6]B．[2，6]C．[2，3]D．(3，6) 5．（5分）函数y=x2+2x﹣3在区间[﹣3，0]上的值域为（）A．[﹣4，﹣3]B．[﹣4，0]C．[﹣3，0]D．[0，4]6．（5分）若函数y=f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)=f(x)+1f(x)的值域是（）A．[12，3]B．[2，103]C．[52，103]D．[3，103]7．（5分）已知函数f(x)=√ax2+bx+c的定义域与值域均为[0，4]，则a=（）A．-4B．-2C．-1D．1二、多选题(共2题；共10分)8．（5分）下列函数定义域和值域相同的是（）A．f(x)=2x+1B．f(x)=x2+5C．f(x)=1xD．f(x)=√x 9．（5分）下列函数中，值域为[1，+∞)的是（）A．y=x2−2x+2B．y=1x−1C．y=√x2+1D．y=1√x−1三、填空题(共7题；共35分)10．（5分）若函数y=2x+1x−3的值域是A，函数y=2x−√x−1的值域是B，则A∩B=．11．（5分）函数y=12−x2的值域是.12．（5分）函数y=2−√−x2+4x的值域是．13．（5分）写出一个定义域为(0，+∞)且值域为R的函数f(x)=．14．（5分）函数f(x)=√2x−3−x+3的值域是.15．（5分）函数f(x)=−x2+2x+3，x∈(−2，0)的值域为．16．（5分）函数f(x)=−2x2+4x+1，x∈(−3，2)的值域为.四、解答题(共2题；共30分)17．（10分）已知g(x)=x2−2ax+1在区间[1，3]上的值域为[0，4].（1）（5分）求实数a的值；（2）（5分）若不等式g(2x)−k⋅4x≥0当x∈[1，+∞)上恒成立，求实数k的取值范围. 18．（20分）求下列函数的值域（1）（5分）y=x+1，x∈{1，2，3，4，5}；（2）（5分）y=x 2−1x2+1；（3）（5分）y=−x2−2x+1，x∈[−2，1)；（4）（5分）y=x+√2x+1.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：y=2+x4−3x =−13(4−3x)+1034−3x=−13+103(4−3x)，∴y ≠−13，∴该函数的值域为(−∞，−13)∪(−13，+∞)．故答案为：D．【分析】首先整理化简函数的解析式，然后由代数式的几何意义，即可得出函数的值域。

课题：函数的值域的求法教学目的：掌握求函数值域的几种基本方法：直接观察法，配方法，分享常数法，换元法，数形结合法等。

教学重点：函数值域的基本求法方法的掌握；教学难点：配方法及换元法的掌握。

一、复习引入函数三要素：定义域，对应法则，值域。

一个函数的值域由定义域和对应关系唯一确定，所以我们求函数值域时一定要注意定义域。

二、讲授新课类型1、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

例1. 求下列函数的值域。

（1）3y =-（2）221y x =-（3）31y x =+类型2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2.求函数225y x x =-+的值域。

思考：若[1,2]x ∈-呢？(2,0)x ∈-呢？类型3、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例3. 求函数346x y x +=-的值域。

思考：若3456x y x +=-呢？类型4、换元法：运用代数代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b=+±a、b、c、d均为常数，且0a≠）的函数常用此法求解。

例4.求函数2y x=+类型5、图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。

例5.求函数|2||1|y x x=-++的值域。

思考：求函数|3||7|y x x=-++的值域呢？小结：1.直接法： 2.配方法： 3. 分离常数法： 4. 换元法： 5.：.图像法（数型结合法）：作业：求下列函数的值域：（1）321x yx-=+（2）232,[1,2] y x x x=+-∈-(3) y x=+(4) y=(5) |1||3|y x x=-++。

江苏省泰州市第二中学 高一数学教案 函数的值域(1)教学目标：理解函数值域的意义，会求简单函数的值域。

教学重点：二次函数值域的求法。

教学过程:一． 问题情境1、函数的概念2、已知函数1)1()(2+-=x x f x ∈A={-1，0，1，2，3}。

(1)求每一个x 所对应的函数值f （x ）。

并求这些函数值构成的集合C 。

(2)如B=R ，则函数f （x ）=（x-1）2+1，x ∈A={-1，0，1，2，3}，则这个对应是函数吗？集合B 和C 有何关系。

如x ∈R 呢？二． 数学建构用自己的语言说值域的定义。

三． 数学应用问题1：已知函数f （x ）=3x-6，（i ）当（1）x ≥2,（2）x ∈[-1，3]，分别求f （x ）值域.分析：(1)图象观察(2)代数推理（ii ）当函数f(x)的值域为[-1,3],求函数f(x)的定义域。

问题2：试画出函数f(x)=x 2+1的图象，并据图象回答下列问题：(1)比较f(-2)，f(1)，f(3)的大小；(2)若0<x 1<x 2，试比较f(x 1)与f(x 2)的大小.(3)若x 1<x 2<0，那么f(x 1)与f(x 2)哪个大？(4)若|x 1|<|x 2|，试比较f(x 1)与f(x 2)的大小？问题3： 已知函数f （x ）=x 2-2x+3，当定义域分别为下列集合时，求f （x ）的值域。

（1）R （2）[2，3] （3）[-3，6]注：给定区间二次函数值域的求法步骤：1．配方画图。

2．确定对称轴和区间的位置，找出最高点和最低点。

3．写解。

思考：已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域是[1，4]，这样的函数有多少个，试写出其中两个。

四．回顾反思五．练习1、求下列函数的值域(1)y=x +1；(2)y=x2-4x+6；x∈[1,5)(3)（选）y=2x-x-12、P28练习3、求函数值域f(x) =2x2-6x+c x∈[1,3]的值域第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

高一数学函数的定义域与值域一、知识归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x 中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。

函数值的集合{f(x│x∈A}叫做函数的值域。

（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下： ①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于02、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x]的定义域为x∈（a,b ）求f(x 的定义域，方法是：利用a 求得 g(x 的值域，则 g(x 的值域即是 f(x 的定义域。

②已知f(x 的定义域为x∈（a,b ）求f[g(x]的定义域,方法是：由a 求得x 的范围，即为 f[g(x] 的定义域。

3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。

（三）确定函数的值域的原则1、当数y=f(x 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。

2、当函数y=f(x 图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。

3、当函数y=f(x 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

常见函数的值域：函数y=kx +b y=ax2+b x+cy=ax y=logax值域 R a>0a<0{y|y ∈R{y|y>R0}且y≠0}4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

（四）求函数值域的方法：1、观察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，6、图象法等二、例题讲解：【例1】求下列函数的定义域（1）（2）(3y=lg(a x-kb x (a,b>0且a,b≠1，k∈R[解析]（1）依题有∴函数的定义域为(2依题意有∴函数的定义域为（3）要使函数有意义，则a x-kb x>0，即①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则定义域为{x|}(Ⅱ若0 ，则，定义域为 {x| }(Ⅲ若a=b>0，则当0 时定义域为 R ；当k ≥ 1 时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组。

第二章 函数——第9课时：函数的值域一．课题：高考数学 函数的值域二．教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用．三．教学重点：求函数的值域．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法．（二）主要方法（范例分析以后由学生归纳）：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等．（三）例题分析：例1．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）y =； （3）312x y x +=-； （4）y x =+ （5）y x = （6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++； （8）2211()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos x y x-=-． 解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥Q ， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞． 改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增，∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26．∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．（2）求复合函数的值域：设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =． 又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y 的值域为[0,2]．（3）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． （法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． （4）换元法（代数换元法）：设0t =，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤，第二章 函数——第9课时：函数的值域∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =++2y ax b =+2y ax b =++（5）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+ ∵[0,]απ∈，∴5[,]44πππα+∈，∴sin()[42πα+∈-)[4πα+∈-， ∴原函数的值域为[-．（6）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（7）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ① ①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根，∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥V ，∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5]．（8）2121(21)11112121212122x x x xy x x x x x x -+-+===+=-++----， ∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-当且仅当112122x x -=-时，即x =12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞． （9）（法一）方程法：原函数可化为：sin cos 12x yx y -=-，)12x y ϕ-=-（其中cos ϕϕ==）， ∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤2340y y -≤，∴403y ≤≤， ∴原函数的值域为4[0,]3．（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略． 例2．若关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，求实数a 的取值范围．第二章 函数——第9课时：函数的值域 解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--， 令|3|2x t --=，则01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数， ∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<，故实数a 的取值范围为：21a -≤<．例3．（《高考A 计划》考点9，智能训练16）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费用t 万元(0)t ≥之间满足：3x -与1t +成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件． 已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．（1）将2003年的年利润y 万元表示为年促销费t 万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝收入－生产成本－促销费）解：（1）由题设知：31k x t -=+，且0t =时，1x =，∴2k =，即231x t =-+， ∴年生产成本为2[32(3)3]1t -++万元，年收入为21150%[32(3)3]12t t -+++． ∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121y t t t t t =-++--+-≥++， ∴29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+． （2）由（1）得2(1)100(1)6413250()50422(1)21t t t y t t -+++-+==-+≤-=++， 当且仅当13221t t +=+，即7t =时，y 有最大值42． ∴当促销费定为7万元时，2003年该化妆品企业获得最大利润．（四）巩固练习：1．函数221xx y =+的值域为(0,1)． 2．若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a=2．五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练3，4，9，12，13，14．。