小学奥数教程1-2-1-2 等差数列计算题 (2) (含答案)

小学奥数教程：数列(一)全国通用(含答案)什么是数列？数列是按照一定的规律排列的一组数。

每个数在数列中被称为“项”，项的位置被称为“序号”。

数列的特点- 数列中的每个数都有一个确定的序号。

- 数列中的数之间存在着一定的规律，例如每个数都比前一个数大或小固定的数值。

- 数列中的规律可以用公式或递推式来表示。

数列的表示方法数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有：1. 列举法：直接将数列中的每个项写出来。

2. 递推法：通过规律得到前项和后项的关系，可以写出递推式。

3. 通项公式：通过找到数列中的某个规律，可以写出数列的通项公式，从而计算任意一项。

数列的常见类型1. 等差数列：数列中的每一项与前一项的差值相等。

2. 等比数列：数列中的每一项与前一项的比值相等。

3. 斐波那契数列：数列中的每一项都是前两项的和。

数列的练题1. 以下数列中，判断哪些是等差数列，哪些是等比数列？- 2, 4, 6, 8, 10- 3, 6, 12, 24, 48- 1, 3, 9, 27, 81答案：- 第一个数列是等差数列，公差为2。

- 第二个数列是等比数列，公比为2。

- 第三个数列既不是等差数列，也不是等比数列。

2. 求以下数列的通项公式：- 1, 5, 9, 13, 17答案：该数列是等差数列，公差为4。

通项公式为：$a_n = 1 + 4 \cdot (n-1)$，其中 $n$ 表示项的序号。

以上是关于数列的一些基础内容，希望能帮助你更好地理解和学习数列。

如果你还有其他问题，欢迎随时提问！。

本讲是在分数计算方面技巧的基础上，进一步认识小数、分数，只是从比较大小方面认识它们，这一讲主要介绍一些比较较为复杂的小数、分数大小的方法，主要有通分子、通分母、倒数法、放缩法等。

一、小数的大小比较常用方法为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式)二、分数的大小比较常用方法⑴通分母：分子小的分数小. ⑵通分子：分母小的分数大. ⑶比倒数：倒数大的分数小.⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．(适用于真分数) ⑸重要结论：①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大； ②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大． ⑹放缩法在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！三、数的估算时常用方法（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果． （2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．模块一、两个数的大小比较【例 1】 如果a =20052006，b = 20062007，那么a ，b 中较大的数是 【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】 方法一：<与1相减比较法>1- 20052006= 12006；1- 20062007= 12007．因为12006> 12007，所以b 较大；方法二：<比倒数法>因为1120052006>，所以2006200720052006>，进而2005200620062007<，即a b <； 方法三：两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，分子和分母都大的分数比较大，所以b 大【答案】b 例题精讲知识点拨教学目标比较与估算【巩固】试比较19951998和19461949的大小【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空【解析】19951998>19461949【答案】19951998>19461949【巩固】比较444443444445和555554555556的大小【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空【解析】因为44444321444445444445-=，55555421555556555556-=，显然22444445555556>，根据被减数一定，减数越大差越小的道理，有：444443555554 444445555556<【答案】444443555554 444445555556<【例 2】如果A=111111110222222221，B=444444443888888887,A与B中哪个数较大？【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，决赛【解析】方法一：观察可以发现A、B都很接近12，且比它小．我们不防与12比较．1 2-A12222222221=⨯,12-B=12888888887⨯,12-B<12-A，即B比A更接近12，换句话说B>A .方法二：11111111011111111044444444404444444432222222212222222214888888884888888887A B⨯===<=⨯，即A B<.方法三：112111111110A=，112444444443B=显然11A B>，则A B<【答案】B【巩固】如果222221333331,222223333334A B==，那么A和B中较大的数是.【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】222221666663666662333331222223666669666668333334A B==>==，即A大【答案】A【巩固】试比较1111111和111111111的大小【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空【解析】方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的10倍多1．对于这样的分数，可以利用它们的倒数比较大小．1111111的倒数是1÷1111111=110111，111111111的倒数是１÷11111111110=11111，我们很容易看出101111>1011111，所以1111111<111111111；方法二：111111101110111111*********⨯==⨯，两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大，所以11101111,1111011111<即1111111.111111111< 【答案】1111111.111111111<【例 3】 在 a =20032003×2002和 b =20022003×2003中，较大的数是______ ，比较小的数大______ 。

等差数列练习题及答案等差数列练习题及答案数学作为一门基础学科，无论在学校还是在社会生活中都扮演着重要的角色。

其中，等差数列是数学中的一个重要概念，也是我们常见的数学问题之一。

本文将为大家提供一些等差数列的练习题及答案，以帮助大家更好地理解和掌握这个概念。

练习题一：已知等差数列的首项为3，公差为5，求第10项的值。

解答一：根据等差数列的性质，第n项的值可以通过公式an = a1 + (n-1)d来计算。

其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差。

代入已知条件，可得第10项的值为a10 = 3 + (10-1)5 = 3 + 45 = 48。

练习题二：已知等差数列的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该等差数列的公差。

解答二：根据等差数列的性质，前n项和可以通过公式Sn = n/2(a1 + an)来计算。

代入已知条件，可得2n^2 + n = n/2(a1 + a1 + (n-1)d)。

化简后得到2n^2 + n = n/2(2a1 + (n-1)d)。

进一步化简可得4n^2 + 2n = n(2a1 + (n-1)d)。

由于等差数列的前n项和是一个关于n的二次函数，所以4n^2 + 2n = n(2a1 + (n-1)d)也是一个关于n的二次函数。

两个二次函数相等，意味着它们的系数相等。

根据系数相等的条件，可得4 = 2a1 + (n-1)d，即2a1 + (n-1)d = 4。

由此可得公差d = (4 - 2a1)/(n-1)。

练习题三：已知等差数列的前n项和为Sn = 3n^2 + 2n，求该等差数列的首项。

解答三：根据等差数列的性质，前n项和可以通过公式Sn = n/2(a1 + an)来计算。

代入已知条件，可得3n^2 + 2n = n/2(a1 + a1 + (n-1)d)。

化简后得到3n^2 + 2n = n/2(2a1 + (n-1)d)。

进一步化简可得6n^2 + 4n =n(2a1 + (n-1)d)。

第四讲等差数列一解题方法若干个数排成一列;称为数列..数列中的每一个数称为一项;其中第一项称为首项;最后一项称为末项;数列中数的个数称为项数..从第二项开始;后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列;后项与前项的差称为公差..引例:等差数列:3、6、9、…、96;这是一个首项为3;末项为96;项数为32;公差为3的数列..计算等差数列的相关公式:1通项公式:第几项=首项+项数-1×公差2项数公式:项数=末项-首项÷公差+13求和公式:总和=首项+末项×项数÷2注：在等差数列中;如果已知首项、末项、公差;求总和时;应先求出项数;然后再利用等差数列求和公式求和..例题1 有一个数列：4、7、10、13、…、25;这个数列共有多少项解：由等差数列的项数公式:项数=末项-首项÷公差+1;可得;项数=25-4÷3+1=8;所以这个数列共有8项..引申 1、有一个数列:2;6;10;14;…;106;这个数列共有多少项 ..答：这个数列共有27项2、有一个数列:5;8;11;…;92;95;98;这个数列共有多少项答: 这个数列共有19项3、在等差数列中;首项=1;末项=57;公差=2;这个等差数列共有多少项答：这个等差数列共有29项..例题2 有一等差数列：2;7;12;17;…;这个等差数列的第100项是多少解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+项数-1×公差;可得;第100项=2+1OO-1×5=497;所以这个等差数列的第100项是497..引申 1、求1;5;9;13;…;这个等差数列的第3O项.. 答案：第30项是117..2、求等差数列2;5;8;11;…的第100项..答案: 第100项是299..3、一等差数列;首项=7;公差=3;项数=15;它的末项是多少答案：末项是49..例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和..提示：仔细观察数列中的特点;相邻两个数都相差2;所以可以用等差数列的求和公式来求..解：因为首项是2;末项是1990;公差是2;昕以;项数=1990-2÷2+1=995;再根据等差数列的求和公式:总和=首项+末项×项数÷2;解出2+4+6+8+…+1990=2+1990×995÷2=991020..计算1+2+3+4+…+53+54+55的和.. 2、计算5+10+15+20+ +190+195+200的和..3、计算100+99+98+…+61+60的和例题4 计算1+3+5+…+l99l-2+4+6+…+1990提示：仔细观察算式中的被减数与减数;可以发现它们都是等差数列相加;根据题意可以知道首项、末项和公差;但并没有给出项数;这需要我们求项数;按照这样的思路求得项数后;再运用求和公式即可解答..解：被减数的项数=1991-1÷2+1=996;所以被减数的总和=1+1991×996÷2=992016;减数的项数=l990-2÷2+1=995;所以减数的总和=2+1990×995÷2=991020.所以原式=992016-991020=996..引申1、计算1+3+5+7+…+2003-2+4+6+8+…+2002 答案: 10022、计算2+4+6+…+100-1+3+5+…+99 答案：503、计算2OO1+1999+1997+1995-2OOO+1998+1996+1994..答案：4例题5 已知一列数：2;5;8;11;14;…;80;…;求80是这列数中第几个数..1、有一列数是这样排列的:3;11;19;27;35;43;51;…;求第12个数是多少.. 912、有一列数是这样排列的:2;11;20;29;38;47;56;…;求785是第几个数.. 88。

等差数列
专题解析
典型例题
例1、求等差数列3，8，13，18，…的第38项和第69项。

例2、36个小学生排成一排玩报数游戏，后一个同学报的数部比前一个同学多报8，已知最后一个同学报的数是286，则第一个同学报的数是几？
例3、等差数列4，12，20，…中，580是第几项？
例4，一批货箱，上面标的号是按等差数列排列的，第一项是3.6,第五项是12,求它的第二项.
例5、游戏园的智慧梯最高一级宽60厘米，最低一级宽150厘米，中间还有13级，各级的宽度成等差数列，求正中一级的宽。

随堂巩固
1、求3+10+17+24+31+…+94的和
2、求100至200之间被7除余2的所有三位数的和是多少？
3、一个有30项的等差数列，公差是5，末项为154，这个数的首项是多少？
4、有12个数组成等差数列，第六项与第七项的和是12，求这12个数的和。

5、在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。

写出插入的五个数.
6、从广州到北京的某次快车中途要依靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票中有多少种不同的票价？
7、学校举行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行91场比赛，有多少人参加了选拔赛？
8、7个小队共种树100棵，各小队种的棵数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵树，种树最少的小队至少种了多少棵树？。

小学生奥数等差数列练习题及答案1.小学生奥数等差数列练习题及答案1、下面是按规律排列的一串数，问其中的第1995项是多少？解答：2、5、8、11、14、……。

从规律看出：这是一个等差数列，且首项是2，公差是3，这样第1995项=2＋3×（1995－1）=59842、在从1开始的自然数中，第100个不能被3除尽的数是多少？解答：我们发现：1、2、3、4、5、6、7、……中，从1开始每三个数一组，每组前2个不能被3除尽，2个一组，100个就有100÷2=50组，每组3个数，共有50×3=150，那么第100个不能被3除尽的数就是150－1=149。

3、把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中的那个偶数是多少？。

解答：28个偶数成14组，对称的2个数是一组，即最小数和数是一组，每组和为：1988÷14=142，最小数与数相差28-1=27个公差，即相差2×27=54，这样转化为和差问题，数为（142＋54）÷2=98。

4、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少？解答：因为34×28＋28=35×28=980＜1000，所以只有以下几个数：34×29＋29=35×2934×30＋30=35×3034×31＋31=35×3134×32＋32=35×3234×33＋33=35×33以上数的和为35×（29＋30＋31＋32＋33）=54255、盒子里装着分别写有1、2、3、……134、135的红色卡片各一张，从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回盒内，经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片，已知这两张红色的卡片上写的数分别是19和97，求那张黄色卡片上所写的数。

等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯= (2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．【例 1】 用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？⑴3456767778+++++++=⑵13578799++++++=⑶471013404346+++++++=知识点拨等差数列计算题例题精讲【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【解析】⑴根据例1的结果知：算式中的等差数列一共有76项，所以：+++++++=+⨯÷=（）34567677783787623078⑵算式中的等差数列一共有50项，所以：13578799(199)5022500++++++=+⨯÷=⑶算式中的等差数列一共有15项，所以：（）471013404346446152375+++++++=+⨯÷=【答案】⑴3078⑵2500⑶375【巩固】1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=_____。

【导语】等差数列是常见的⼀种，如果⼀个数列从第⼆项起，每⼀项与它的前⼀项的差等于同⼀个常数，这个数列就叫做等差数列，⽽这个常数叫做等差数列的公差，公差常⽤字母d表⽰。

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1.⼩学⽣奥数等差数列练习题 1．数列{an}是⾸项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是⾸项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为() A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B。

an＝2＋(n－1)×3＝3n－1， bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6， 令an＝bn得3n－1＝4n－6，∴n＝5。

2．下⽅数列中，是等差数列的有() ①4，5，6，7，8，…②3，0，－3，0，－6，…③0，0，0，0，… ④110，210，310，410，… A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选C。

利⽤等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列． 3．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是() A．2 B．3 C．6 D．9 解析：选B。

由题意得m＋2n＝82m＋n＝10，∴m＋n＝6， ∴m、n的等差中项为3。

　2.⼩学⽣奥数等差数列练习题 1．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14＝() A．45 B．41 C．39 D．37 2．在等差数列{an}中，a1＝21，a7＝18，则公差d＝() A．12 B．13 C．－12 D．－13 解析：选C。

∵a7＝a1＋(7－1)d＝21＋6d＝18，∴d＝－12。

解析：选B。

a6＝a2＋(6－2)d＝5＋4d＝17，解得d＝3。

所以a14＝a2＋(14－2)d＝5＋12×3＝41。

3．已知数列{an}对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为() A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列 C．公差为－2的等差数列 D．⾮等差数列 解析：选A。

一、常用公式1. (1)1232n n n ⨯+++++=L ； 2. 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=L ；3. ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=L L ；4. ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=L L L ；5. 等比数列求和公式：0111111(1)1n n n a q S a q a q a q q --=++⋅⋅⋅+=-(1q ≠)；6. 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；7. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．二、常用技巧1. 1001abcabc abc =⨯；2.10101ababab ab =⨯；3. ··10.1428577=，··20.2857147=，··30.4285717=，··40.5714287=，··50.7142857=，··60.8571427=；4. 1111111111123321n n n ⨯=L L L L 123123个个，其中9n ≤．一、前n 项和【例 1】 222213519++++L【考点】公式法之求和公式 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 222213519++++L2222222(12319)(2418)=++++-+++L L 222119203941296=⨯⨯⨯-⨯+++L （）12470910196=-⨯⨯⨯2470285=-2185=公式法计算例题精讲知识点拨【答案】2185【巩固】 222222222221245781011131416++++++++++【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式22222222(1216)(3691215)=+++-++++L2222222221617335611(1216)3(12345)96614964951001⨯⨯⨯⨯=+++-⨯++++=-⨯=-=L 【答案】1001【例 2】 计算：36496481400+++++L【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式222267820=++++L ()2222222221232012345=++++-++++L11202141561166=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 2870552815=-=【答案】2815【例 3】 计算：3333333313579111315+++++++【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式()333333333123414152414=++++++-+++L L ()()223331515181274⨯+=-⨯+++L22576002784=-⨯⨯8128=【答案】8128【巩固】 计算：333313599++++=L ___________．【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 与公式()()222333112124n n n n ++++=++=L L 相比，333313599++++L 缺少偶数项，所以可以先补上偶数项．原式()()333333312310024100=++++-+++L L()2233331100101212504=⨯⨯-⨯+++L 22322111001012505144=⨯⨯-⨯⨯⨯ ()22250101251=⨯-⨯12497500=【答案】12497500【例 4】 计算：33312320061232006+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 原式()212320061232006+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1232006=+++⋅⋅⋅+()12006200612=⨯⨯+2013021=【答案】2013021【例 5】 计算：2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯=L 。

2a ba 22ab b 2.为便于记忆，可形象的叙述为：首平方，尾平方，2倍乘积在中央、常用技巧1. abcabc abc 1001 ；2. ababab ab 10101 ；3. 1 0.142857 , 2 0.285714 , 30.428571 ,7 7 7 4 1 5 1 6—0.571428 , — 0.714285 , — 0.857142 ; 7 7 7 4. %驰 %邨 123|||n||(321 ,其中 n 9.n 个1n 个1且隹例题精讲一'、前n 项和 【例 1】12 32 52"192【考点】公式法之求和公式 【解析】12 32 52 "I 192(12 22 32 ||| 192) (221 /2 2 —19 20 39 4 (1 2 6自tut/、常用公式1.2 3III2. 12 22 323. 13 23 334.5.6. 7.知识点拨IIIIll 10 n (n 1) 2n 等比数列求和公式: 平方差公式: b2n (n 1) (2n 1)S n II IIl la〔q1a 〔q公式法计算22n (n 1) a 〔qn n 1III a 1(q n1)(q 3 2 1 n2；1);完全平方公式: 用文字表述为:2ab b 2,2 一2a 2ab b两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和， 加上(或者减去)这两个数的积的2倍,两条公式也可以合写在一起:【难度】2星42 || 182)III 92) 【题型】计算57600 门平 c2 ---- 2 7 8 4 8128【答案】81281 2 23333-100 101 21 2 501 2 2 3 1 2 2 —100 101 2 50 51 4 42470 2470【答案】21851—9 10 19 6285 2185 222222【巩固】124 5 7 8 【考点】公式法之求和公式【解析】原式(12 22 I0 162) (12 22 ||| 162) 2222210 11 13 14 16【难度】3星 (32 62 92 122 152)32 (12 2232 4252) 【题型】计算16 17 33 5 6 11--------- 9 ---------6 61496 495 1001【答案】1001[例 2 ] 计算：36 49 64 81 III 400 【考点】公式法之求和公式 【难度】3星【解析】原式62 72 82 H 2021222 32 ” 20212 2 2 32 42 521 120 21 41 5 6 11 6 6 2870 55 2815【答案】2815【题型】计算【例3】 计算：13 33 53 73 【考点】公式法之求和公式 33339 11 13 15【难度】3星【题型】计算【解析】原式13 23 33 432215 15 1 ---------- 8 III 143 13 23 153 III 23 73 43 III314【巩固】计算：13 33 53 \\\ 【考点】公式法之求和公式 【解析】 与公式13 23\\\ n 3先补上偶数项. 3991 2【难度】3星212n n m -------- 相比,4【题型】填空13 33 53”993缺少偶数项，所以可以原式 13 23 33 \\\ 100323 43 \\\ 1003_2 _2_ 2502 1012 2 512 12497500 【答案】124975001 23 33 20063【例4 ] 计算：------------------------------ 11 2 3 2006【关键词】西城实验 2003 2 2001 22 13 5 I]) 2001 2 1 2003 1002 2 2008008其中也可以直接根据公式 1 3 5 7 “ 2n 1 n 2得出1 3 5 ” 2001 2003 10022【答案】2008008 【例 6】计算：1 22 2 32 3 42 \[[ 18 192 19 202 【考点】公式法之求和公式 【难度】3星【题型】计算【解析】 分拆(21) 22 23 22 (3 1 ) 32 33321HHi 再用公式4 川丁( I( (J (II ( ( ( ( ( ( \J I ) 。

【温故】等差数列(二)
【小检测】
1. 通项公式：末项＝首项＋(项数－1)×公差
1．对于数列4、7、10、13、16、19……，第10项是多少？
2.
【拓展】( －) 1
2．在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第个数是1994．
从1开始的连续奇数的项数——(末项＋1)÷2
从2开始的连续偶数的项数——末项÷2
3.求和公式：和＝(首项＋末项)×项数÷2
【拓展】
项数为奇数的等差数列，则和＝中间项×项数
3. 计算下列一组数的和：105，110，115，120，…，195，200
【例1】(★★★)
已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，…，问2009是这个数列的第多
少项？
【例2】(★★★)
⑴如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项。

⑵如果一个等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项。

【例3】(★★★★)
有一列数：1，2，4，7，11，16，22，29，37，…，问这列数第51
个数是多少?
【例4】(★★★)
计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋97＋98－99
1。

本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。

要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。

一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．例题精讲模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

分数是小学阶段的关键知识点，在小学的学习有分水岭一样的阶段性标志，许多难题也是从分数的学习开始遇到的。

分数基本运算的常考题型有（1） 分数的四则混合运算（2） 分数与小数混合运算，分化小与小化分的选择 （3） 复杂分数的化简 （4）繁分数的计算分数与小数混合运算的技巧在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。

技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。

技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。

此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。

技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。

技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。

技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。

分数混合运算【例 1】 0.3÷0.8＋0.2＝ 。

（结果写成分数形式）【考点】分数混合运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】 310×54+15=38+15=2340。

【答案】2340【例 2】 计算：34567455667788945678⨯+⨯+⨯+⨯+⨯【考点】分数混合运算 【难度】2星 【题型】计算 知识点拨教学目标例题精讲分数的四则混合运算综合【解析】原式34567 4(5)5(6)6(7)7(8)8(9) 45678 =⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+ 453564675786897=⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+245=【答案】245【例3】412114 23167137713⨯+⨯+⨯【考点】分数混合运算【难度】2星【题型】计算【解析】原式4124412347137713=⨯+⨯+⨯412123471313⎛⎫=⨯++⎪⎝⎭=16【答案】16【例4】计算1488674 3914848149149149⨯+⨯+【考点】分数混合运算【难度】1星【题型】计算【解析】398624398624 148148148148()148 149149149149149149⨯+⨯+=⨯++=【答案】148【巩固】计算：1371 1391371138138⨯+⨯【考点】分数混合运算【难度】2星【题型】计算【关键词】小数报，初赛【解析】原式1371 (1381)137(1)138138 =+⨯+⨯+137137 137137138138=+++113722(1)138=⨯+⨯-12762138=-⨯6827569=【答案】68 27569【例5】253749517191334455÷+÷+÷=．【考点】分数混合运算【难度】2星【题型】计算【关键词】清华附中【解析】观察发现如果将2513分成50与213的和，那么50是除数53的分子的整数倍，213则恰好与除数相等．原式中其它两个被除数也可以进行同样的分拆．原式253749 501701901334455⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷++÷++÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭579501701901345=÷++÷++÷+3040503=+++123=【答案】123【巩固】131415314151223344÷+÷+÷=．【考点】分数混合运算【难度】2星【题型】计算【解析】观察发现如果将1312分成30与112的和，那么30是除数32的分子的整数倍，112则恰好与除数相等．原式中其它两个被除数也可以进行同样的分拆．原式131415 301401501223344⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷++÷++÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭345301401501234=÷++÷++÷+2030403=+++93=【答案】93【巩固】173829728191335577÷+÷+÷=．【考点】分数混合运算【难度】2星【题型】计算【解析】原式173829 702801901335577⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷++÷++÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭789701801901357=÷++÷++÷+3050703=+++153=【答案】153【巩固】计算：1130.42(4.3 1.8)26524⎡⎤⨯÷⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦。

小学奥数1-2-1-3等差数列应用题.专项练习及答案解析-精品【例 1】 100以内的自然数中。

所有是3的倍数的数的平均数是。

【考点】等差数列应用题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分【解析】100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9,99共33个，他们的和是()09934179916832+?=?=，则他们的平均数为1683÷34=49.5。

【答案】49.5【例2】一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。

最后，每只小猴分得8个野果。

这群小猴一共有_________只。

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题【解析】平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了821=15?-只果，共有15只猴.【答案】15只猴子【例3】15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着有位同学．【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】填空【关键词】学而思杯，1年级【解析】因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有15105-=（个）；又因为从右边起学学报12，所以，学学的左边还有15123-=（个），15645--=（个）学学和思思中间排着5位同学．<考点> 排队问题【答案】5位【例4】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。

如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例5】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】（方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++=2+10025=10325=2550??（）（方法二）根据12398991005050++++++=，从这个和中减去1357...99+++++的和，例题精讲等差数列应用题就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例6】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ?-（），所以，第102项321021205=+?=（-）；由“项数=(末项-首项)÷公差1+”，999所处的项数是：999321996214981499-÷+=÷+=+=（）【答案】499【例7】如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。