相似：图形的相似过关检测A卷

图（3）8 开4 开对开MNEABCD第23章 图形的相似单元测试卷姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 如图（1）所示,把△ABC 沿AB 边平移到△'''C B A 的位置,它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC 面积的一半,若2=AB ,则此三角形移动的距离是 【 】 （A ）12- （B ）22 （C ）1 （D ）21图（1）C'B'ABC A' yx图（2）EABD CO2. 如图（2）所示,A 、B 是反比例函数xy 2=的图象上的两点,AC 、BD 都垂直于x 轴,垂足分别为点C 、D ,AB 的延长线交x 轴于点E .若C 、D 的坐标分别为( 1 , 0 )、( 4 , 0 ),则△BDE 的面积与△ACE 的面积的比值是 【 】 （A ）21 （B ）41 （C ）81 （D ）1613. 如图（3）所示,一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的.矩形ABCD 沿EF 对开后,再把矩形EFCD 沿MN 对开,依次类推.如果各种开本的矩形都相似,那么ADAB等于 【 】 （A ）0. 618 （B ）22（C ）2 （D ）24. 如图（4）所示,已知直线321////l l l ,一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A 、B 、C 分别在321l l l 、、上,︒=∠90ACB ,AC 交2l 于点D ,已知1l 与2l 的距离为1,2l 与3l 的距离为3,则BDAB 的值为【 】 （A ）524 （B ）534 （C ）825 （D ）23220 图（4）l 3l 2l 1DABC 图（5）MEODB CA5. 如图（5）,在□ABCD 中,点O 为对角线的交点,点E 为BC 上一点,2:1:=EC BE ,则=OD MO BM :: 【 】 （A ）3:2:2 （B ）4:3:2 （C ）2:1:1 （D ）5:3:26. 如图（6）所示,△ABC 与△DEF 均为等边三角形,点O 为BC 、EF 的中点,则BE AD :的值为 【 】 （A ）1:3 （B ）1:2 （C ）5 : 3 （D ）不确定图（6）D FOBCAE图（7）7. 如图（7）所示,四边形ABCD 是矩形,点E 和点F 是矩形ABCD 外两点,CFAE ⊥于点H ,︒=∠===90,25,4,3EDF DE DC AD ,则DF 的长是 【 】 （A ）815 （B ）311 （C ）310 （D ）516图（12）EDABC8. 如图（8）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,放置边长分别为3 , 4 , x 的三个正方形,则x 的值为 【 】 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）12图（8）图（9）FGHCAD9. 如图（9）所示,点E 、F 分别在菱形ABCD 的边AB 、AD 上,且DF AE =,BF 交DE 于点G ,延长BF 交CD 的延长线于点H ,若2=DF AF ,则BGHF的值为 【 】 （A ）32 （B ）127 （C ）21 （D ）12510. 如图（10）所示,矩形ABCD 的边长2,3==AB AD ,点E 为AB 的中点,点F 在边BC 上,且FC BF 2=,AF 分别与DE 、DB 相交于点M 、N ,则MN 的长为 【 】 （A ）522 （B ）2029 （C ）423 （D ）524 图（10）NMEFDA BC图（11）EO DBCA二、填空题（每小题3分,共15分）11. 如图（11）所示,点O 是△ABC 中BC 边上的中点,且32=AD AB ,则=ACAE_______. 12. 如图（12）所示,在矩形ABCD 中,4,2==AD AB ,AC 的垂直平分线EF 交AD 于点E ,交BC 于点F ,则=EF _________. 13. 如图（13）所示,BC AC BC AC =⊥,,D 是BC 上一点,连结AD ,与ACB ∠的平分线交于点E ,连结BE .若76=∆ACE S ,143=∆BDE S ,则=AC _________. 图（13）图（14）C BD EA图（15）C 3C 2C 1B 3B 2B 1...CBD14. 如图（14）所示,在△ABC 中,正方形DEFM 的边MF 在BC 上,点D 、E 分别在AB 、AC 上,若4,1==∆DEFM ADE S S 正方形,则=∆ABC S _________.15. 如图（15）所示,在矩形ABCD 中,1,2==CD AD ,连结AC ,以对角线AC 为边,按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形C C AB 11,再连结1AC ,以对角线1AC 为边作矩形C C AB 11的相似矩形122C C AB ,……,按此规律继续下去,则矩形1-n n n C C AB 的面积为_________.三、解答题（共75分）16.（15分）如图（16）所示,在四边形ABCD 中,BD AC ⊥交BD 于点E ,点F 、M 分别是AB 、BC 的中点,BN 平分ABE ∠交AM 于点N ,BD AC AB ==,连结MF ,NF . （1）判断△BMN 的形状,并证明你的结论;（2）判断△MFN 与△BDC 之间的关系,并说明理由.图（16）17.（20分）如图,在△ABC 中,10,45=︒=∠BC C ,高8=AD ,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . （1）求证:BCEFAD AH =; （2）设x EF =,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值;（3）当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动）,设运动的时间为t 秒,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式.图（17）18.（20分）某次数学课上,老师出了一道题:如图1,在边长为4的等边三角形ABC 中,点E 在AB 上,31=AB AE ,点D 在CB 的延长线上,且ED =EC ,求CD 的长. （1）尝试探究在图1中,过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F ,先确定线段AE 与BD 的大小关系是________,然后求出CD 的长为________. （2）类比延伸 如图2,在原题条件下,若)0(1>=n nAB AE ,△ABC 的边长为m ,则CD 的长为_______（用含m n ,的代数式表示）试写出解答过程. （3）拓展迁移在等边△ABC 中,点E 在BA 的延长线上,点D 在直线BC 上,且ED =EC ,若△ABC 的边长为a ,,b ABAE=则CD 的长为______________ （用含b a ,的代数式表示）.图 1DEA C图 2DEAC19.（20分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.原题:如图1,在△ABC 中,点D 是BC 边上的中点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线交AC 于点F ,若,1=DEAE 求CF AF的值. （1）尝试探究在图1中,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G ,则AG 和BD 的数量关系是_________,CFAF的值是_________. （2）类比延伸如图2,在原题的条件下,若)0(>=m m DEAE ,则CF AF的值是______（用含m 的代数式表示）,试写出解答过程. （3）拓展迁移如图3,在△ABC 中,点D 是BC 边上一点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线交AC 于点F ,若)0,0(,>>==b a b DEAE a DC BD 则CF AF的值是________（用含b a ,的代数式表示）.图 1F EBCA图 2EBCAFE图 3BCAD F第23章 图形的相似单元测试卷参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. 4312.5 13. 2 14. 9 15. 1225-n n部分选择题、填空题答案解析4. 如图（4）所示,已知直线321////l l l ,一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A 、B、C分别在321l l l 、、上,︒=∠90ACB ,AC 交2l 于点D ,已知1l 与2l 的距离为1,2l 与3l 的距离为3,则BDAB的值为 【 】 （A ）524 （B ）534（C ）825 （D ）23220 图（4）32l 1解析:作3l AE ⊥于点E ,交2l 于点F .∴3,1==EF AF ∴4=+=EF AF AE ∵32//l l∴△ADF ∽△ACE ∴41==AE AF AC AD ∴AD BC AC 4== 设x AD =,则x BC AC 4== ∴x CD 3=在Rt △ABC 和Rt △BCD 中,分别由勾股定理得:()()x x x AB 244422=+= ()()x x x BD 54322=+=∴524524==x x BD AB ∴选择答案【 A 】.6. 如图（6）所示,△ABC 与△DEF 均为等边三角形,点O 为BC 、EF 的中点,则BE AD :的值为 【 】 （A ）1:3 （B ）1:2 （C ）5 : 3 （D ）不确定图（6）解析:连结AO 、DO .∵△ABC 与△DEF 均为等边三角形,点O 为BC 、EF 的中点 ∴BC AO EF DO ⊥⊥,︒=∠=∠60ABO DEO ∴︒=∠=∠90AOB DOE3tan tan =∠=∠ABO DEO∴AOE AOB AOE DOE ∠+∠=∠+∠ ∴BOE AOD OBOAOE OD ∠=∠==,3 ∴△AOD ∽△BOE ∴3===OBOAOE OD BE AD 即=BE AD :1:3 ∴选择答案【 A 】.8. 如图（8）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,放置边长分别为 3 , 4 ,x 的三个正方形,则x 的值为 【 】（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）12图（8）解析:4,3-=-=x GM x EF 不难证明:△DEF ∽△GMH∴MH EFGM DE =∴4343-=-x x 解之得:7=x （0=x 舍去） ∴选择答案【 C 】.9. 如图（9）所示,点E 、F 分别在菱形ABCD 的边AB 、AD 上,且DF AE =,BF 交DE 于点G ,延长BF 交CD 的延长线于点H ,若2=DF AF ,则BG HF的值为【 】 （A ）32 （B ）127（C ）21 （D ）125图（9）FGHCAD解析:∵四边形ABCD 是菱形 ∴AD AB CD AB =,//∴△DFH ∽△AFB ,△DGH ∽△EGB ∴EBDHBG HG AB DH BF HF AF DF ===,设x FG =∵2=DFAF∴21,21=+===x BG HF AB DH AF DF BF HF ∴()x BG HF +=21∵DF AE =∴AE DF DF AF AB AD 33==+== ∴AB AE BE 322== ∴4321232332=⨯=⋅===ABDH AB DH BGHG EBDH ∴43=+BG x HF ∴()x x BG x HF BG 4214443++⨯=+= ∴x BG 6=∴()x x x HF 27621=+=∴127627==x xBG HF ∴选择答案【 B 】.10. 如图（10）所示,矩形ABCD 的边长2,3==AB AD ,点E 为AB 的中点,点F 在边BC 上,且FC BF 2=,AF 分别与DE 、DB 相交于点M 、N ,则MN 的长为 【 】 （A ）522 （B ）2029 （C ）423 （D ）524 图（10）解析:作AD MH ⊥,交AD 于点H ∴AE MH //∵四边形ABCD 是矩形∴BC AD BC AD //,3== ∴BF AD // ∴△ADN ∽△FBN∵FC BF 2= ∴232==BC BF ∴︒=∠=∠=45,FAD AFB BF AB ∴MH AH =在Rt △ABF 中,由勾股定理得:22222222=+=+=BF AB AF∵△ADN ∽△FBN ∴23==FB AD FN AN ∴526225353=⨯==AF AN 设x MH =,则x DH x AH -==3, ∵点E 为AB 的中点 ∴121==AB AE . ∵AE MH // ∴△DHM ∽△DAE∴331,xx DA DH EA MH -== 解之得:43=x∴43==MH AH在Rt △AHM 中,由勾股定理得:42343432222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=MH AH AM ∴2029423526=-=-=AM AN MN ∴选择答案【 B 】.解析二:如图所示,延长DC ,交AF 的延长线于点G .∵四边形ABCD 是矩形∴BC AD CD AB CD AB //,2,//== ∵FC BF 2= ∴232==BC BF ,123=-=FC ∴︒=∠=∠=45,G BAF BF AB ∴1==GC FC在Rt △ABF 和Rt △GCF 中,分别由勾股定理得:22222222=+=+=BF AB AF2112222=+=+=GC FC GF∴23=+=GF AF AG ∵点E 为AB 的中点 ∴121==AB AE . ∵CD AB // ∴DG AE // ∴△AEM ∽△GDM ∴31121=+==GM AM GD AE ∴42943,3===AG GM AM GM ∴4252429=-=-=GF GM FM ∵BC AD // ∴BF AD //∴△ADN ∽△FBN∴23==FB AD FN AN ∴524225252=⨯==AF FN 2029524425=-=-=FN FM MN . ∴选择答案【 B 】.解析三:如图所示,作AD FH ⊥于点H ,交DE 于点G .∴AB FH AE GH //,//∴△DHG ∽△DAE ,△AEM ∽△FGM ∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC AD // ∴BF AD // ∴△ADN ∽△FBN ∵FC BF 2= ∴232==BC BF ∴123,2=-==DH AH ∵点E 为AB 的中点∴121==AB AE .∵△DHG ∽△DAE∴131,HGAE HG DA DH == ∴35312,31=-==FG HG在Rt △ABF 中,由勾股定理得:22222222=+=+=BF AB AF∵△AEM ∽△FGM∴53351===FG AE FM AM ∴425228585=⨯==AF FM ∵△ADN ∽△FBN ∴23==FB AD FN AN ∴524225252=⨯==AF FN 2029524425=-=-=FN FM MN ∴选择答案【 B 】.11. 如图（11）所示,点O 是△ABC 中BC 边上的中点,且32=AD AB ,则=ACAE_______. 图（11）解析:作AC BF //,交DE 于点F . 易证:△BOF ≌△COE ∴CE BF =∵32=AD AB ∴31=AD BD ∵AC BF // ∴AE BF // ∴△BDF ∽△ADE∴31==AD BD AE BF ∴31=AE CE ∴43=AC AE . 12. 如图（12）所示,在矩形ABCD 中,4,2==AD AB ,AC 的垂直平分线EF 交AD 于点E ,交BC 于点F ,则=EF _________.图（13）B图（12）解析:根据题目所给条件,不难证明: △AOE ≌△COF ∴OF OE = ∴OE EF 2=在Rt △ABC 中,由勾股定理得:52422222=+=+=BC AB AC∴521==AC OA 易证:△AOE ∽△CBA ∴452,==OE CB AO BA OE ∴25=OE∴52==OE EF . 13.如图（13）所示,BC AC BC AC =⊥,,D 是BC 上一点,连结AD ,与ACB ∠的平分线交于点E ,连结BE .若76=∆ACE S ,143=∆BDE S ,则=AC _________.解析:作BC EH AC EF ⊥⊥, ∴CD EF //易证明四边形EFCH 是正方形 ∴x EH CF EF === ∵76=∆ACE S ,143=∆BDE S ∴4=∆∆BDEACES S ∴42121==⋅⋅BD ACEH BD EFAC ∴BD AC 4= ∵BC AC =∴BD CD BD BC 3,4== ∵CD EF // ∴△AFE ∽△ACD∴BDxBD AF DC EF AC AF 34,== ∴x AF 34=∴x x x CF AF AC 3734=+=+=∵76=∆ACE S∴763721=⨯⨯x x 解之得:76=x （76-=x 舍去）∴27637=⨯=AC .14. 如图（14）所示,在△ABC 中,正方形DEFM 的边MF 在BC 上,点D 、E 分别在AB 、AC上,若4,1==∆DEFM ADE S S 正方形,则=∆ABC S ___.图（14）分析:图中△ADE ∽△ABC ,△ADE 的面积已知,根据相似三角形的性质:相似三角形的面积之比等于相似比的平方,只需求出△ADE 和△ABC 的相似比即可,又根据相似三角形的性质:相似三角形对应边上的高之比等于相似比,求出AGAH即可. 解析:作BC AG ⊥,交DE 于点H . ∵四边形DEFM 是正方形 ∴GH DE BC MF DE =,//// ∴DE AH ⊥,△ADE ∽△ABC ∴222AG AHAG AH S S ABC ADE =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆ ∵4=DEFM S 正方形 ∴2==GH DE ∵1=∆ADE S∴1221=⨯⨯AH ∴1=AH ,3=+=GH AH AG ∴911=∆ABCS ∴9=∆ABC S .15. 如图（15）所示,在矩形ABCD 中,1,2==CD AD ,连结AC ,以对角线AC 为边,按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形C C AB 11,再连结1AC ,以对角线1AC 为边作矩形C C AB 11的相似矩形122C C AB ,……,按此规律继续下去,则矩形1-n n n C C AB 的面积为_________.图（15）C 3C 2C 1B 3B 2B 1...CBD分析:本题属于规律探究题,解决问题的关键在于从有限的结果中（事实）去发现无限的变与不变的规律,最后获得一个能概括和刻画所有结果的通项公式.解析:我们分别计算一下矩形C C AB 11、矩形122C C AB 、矩形233C C AB 的面积: 由勾股定理得:5122222=+=+=CD AD AC由题意可知:251,11==AB AD AC AB AB∴251=AB∴2552511=⨯=CC AB S 矩形 由勾股定理得:()25255221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=AC 由题意可知:52525,2112==AB AC AC AB AB ∴452=AB ∴32258252545122==⨯=C C AB S 矩形 同法可以求出:532532125233==C C AB S 矩形 把三个面积写成一行如下:533225,25,25 可以发现分母的指数的规律是:12-n∴矩形1-n n n C C AB 的面积为1225-n n.三、解答题（共75分）16.（15分）如图（16）所示,在四边形ABCD 中,BD AC ⊥交BD 于点E ,点F 、M 分别是AB 、BC 的中点,BN 平分ABE ∠交AM 于点N ,BD AC AB ==,连结MF ,NF .（1）判断△BMN 的形状,并证明你的结论;（2）判断△MFN 与△BDC 之间的关系,并说明理由.图（16）解:（1）△BMN 是等腰直角三角形. ……………………………………2分理由如下:∵,AC AB =点M 是BC 的中点∴BC AM ⊥,BAC ∠=∠211 ……………………………………4分 ∴︒=∠90BMN ∴△BMN 是直角三角形……………………………………5分 ∵BN 平分ABE ∠ ∴ABE ∠=∠212 ∵BD AC ⊥∴︒=∠+∠90ABE BAC ∵21∠+∠=∠BNM……………………………………6分 ∴()︒=∠+∠=∠4521ABE BAC BNM ……………………………………7分∴︒=∠=∠45BNM NBM ∴MN BM =∴△BMN 是等腰直角三角形; ……………………………………8分 （2）△MFN ∽△BDC .……………………………………9分 理由如下:∵点F 、M 分别是AB 、BC 的中点∴AC MF AC MF //,21=……………………………………10分 ∵BD AC =∴BD MF 21= ∴21=BD MF ………………………11分 ∵MN BM =,BC BM 21=∴BC MN 21=∴21=BC MN ………………………12分 ∴BC MN BD MF =……………………13分 ∵AC MF // ∴FMB ACB ∠=∠ ∵︒=∠+∠90CBD ACB︒=∠+∠90NMF FMB ∴NMF CBD ∠=∠……………………………………14分∵BC MNBD MF =,NMF CBD ∠=∠ ∴△MFN ∽△BDC .……………………………………15分 17.（20分）如图,在△ABC中,10,45=︒=∠BC C ,高8=AD ,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . （1）求证:BCEFAD AH =; （2）设x EF =,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值; （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动）,设运动的时间为t 秒,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式.图（17）（1）证明:∵四边形EFPQ 是矩形 ∴PQ EF // ∴BC EF // ∴△AEF ∽△ABC .……………………………………3分 ∵BC AD ⊥ ∴EF AH ⊥ ∴BCEFAD AH =; ……………………………………4分（上面的结论是解决此类问题的重要一步,上面的书写为此类问题的规范书写）（2）由（1）可得:108xAH =∴x AH 54=……………………………………5分 ∴x AH AD DH EQ 548-=-== ……………………………………6分 ∴x x x x EQ EF S EFPQ8545482+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=矩形……………………………………7分 配方得:=EFPQ S 矩形()205542+--x ……………………………………9分 ∴当5=x 时,矩形EFPQ 的面积最大,其最大值为20;……………………………………10分 （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,由（2）可知:4,5===PF EQ EF ……………………………………11分 ∵︒=∠45C∴△PCF 是等腰直角三角形 ∴4==PC PF ∴9=+=PC PQ QC 分为三种情况:①如图1,当0≤t ＜4时,设EF 、PF 分别交AC 于点M 、N ,则△FMN 是等腰直角三角形图 1∴t FN MF ==22120t S S S FMN EFPQ -=-=∆矩形∴20212+-=t S ;……………………………………14分 ②当4≤t ＜5时,如图2所示,图2Ft QC t ME -=-=9,5∴()()[]28449521+-=⨯-+-=t t t S ; ……………………………………17分 ③当5≤t ＜9时,如图3所示,设EQ 交AC 于点K ,则t QC QK -==9. ∴()()22921921-=-=t t S ……………………………………19分图 3F综上所述, S 与t 的函数关系式为:()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+-<≤+-=959215428440202122t t t t t t S……………………………………20分说明:在第（3）问题中,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分与运动时间有关,运动时间不同,重叠部分的形状也不相同,因此要对时间进行分类讨论,根据不同时间段求面积S .注意:当4=t 时,如图4所示;当5=t 时,如图5所示;当9=t 时,面积S =0,故在这里不再给出图形.图 4(P )图 5F18.（20分）某次数学课上,老师出了一道题:如图1,在边长为4的等边三角形ABC 中,点E 在AB 上,31=AB AE ,点D 在CB 的延长线上,且ED =EC ,求CD 的长. （1）尝试探究在图1中,过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F ,先确定线段AE 与BD 的大小关系是________,然后求出CD 的长为________. （2）类比延伸 如图2,在原题条件下,若)0(1>=n nAB AE ,△ABC 的边长为m ,则CD 的长为_______（用含m n ,的代数式表示）试写出解答过程.（3）拓展迁移在等边△ABC 中,点E 在BA 的延长线上,点D 在直线BC 上,且ED =EC ,若△ABC 的边长为a ,,b ABAE=则CD 的长为______________（用含b a ,的代数式表示）.图 3解:（1）316,==CD BD AE ; ……………………………………6分 解析:如图1所示.图 1∵△ABC 是等边三角形 ∴︒=∠=∠60ABC A ∴︒=∠1202 ∵EF ∥BC∴︒=∠=∠=∠60A ABC AEFDCE ∠=∠1∴△AEF 是等边三角形 ∴︒=∠=60,AFE FE AE ∴︒=∠1203 ∴32∠=∠ ∵EC ED = ∴DCE D ∠=∠ ∴1∠=∠D在△BDE 和△FEC 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EC DE D 321 ∴△BDE ≌△FEC （AAS ） ∴FE BD =∵FE AE = ∴BD AE =∵31=AB AE ,314=AE ∴34=AE∴34=BD∴316434=+=+=BC BD CD .（2）m n m+;……………………………………9分解:∵m AB n AB AE ==,1∴nm AE 1=∴n mAE =………………………11分由（1）可知:BD AE =∴nmBD =………………………13分 ∴m n mBC BD CD +=+=.……………………………………16分 （3）a ab -或ab a -.……………………………………20分 解析:注意题目中的条件:“点E 在BA 的延长线上,点D 在直线BC 上”,据此分为两种情况:①当点D 在线段BC 上时,如图3所示.过点E 作EF ∥AC ,交B C 的延长线于点F .∵△ABC 是等边三角形 ∴△EBF 也是等边三角形 ∴∠B =∠F =60° ∵ED =EC ∴∠EDC =∠ECD ∴∠BDE =∠FCE 在△BDE 和△FCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FE BE FCE BDE F B ∴△BDE ≌△FCE (AAS) ∴BD =CF ,BD =FC =AE ∵AB =a ,b ABAE= ∴AE =BD =ab∴ab a BD BC CD -=-=;②当点D 在BC 的延长线上时,作和①同样的辅助线,如图4所示.图 4同理可证:△BCE ≌△FDE (AAS) ∴BC =FD =a∵求出AE =CF =ab ∴a ab DF CF CD -=-=;（可以排除点D 在线段CB 的延长线上）.综上所述,CD 的长为ab a -或.a ab - 19.（20分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整. 原题:如图1,在△ABC 中,点D 是BC 边上的中点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线交AC 于点F ,若,1=DEAE求CFAF的值. （1）尝试探究在图1中,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G ,则AG 和BD 的数量关系是_________,CFAF的值是_________. （2）类比延伸如图2,在原题的条件下,若)0(>=m m DEAE ,则CF AF的值是______（用含m 的代数式表示）,试写出解答过程.（3）拓展迁移如图3,在△ABC 中,点D 是BC 边上一点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线交AC 于点F ,若)0,0(,>>==b a b DE AE a DC BD 则CF AF的值是________（用含b a ,的代数式表示）.解:（1）21,BD AG =;……………………………………8分 提示:如图所示.图 1∵1=DEAE∴DE AE =易证:△AEG ≌△DEB ∴BD AG = ∵点D 是BC 的中点∴BC BD AG 21==∴21=CB AG ∵AG ∥BC ∴△AFG ∽△CFB∴21==CB AG CF AF ; （2）2m ;……………………………………12分 解:如图所示,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G .∴BD AG //,△AFG ∽△CFB ∴△AEG ∽△DEB图 2∴m DEAEDB AG == ∵点D 是BC 的中点 ∴DB CB 2= ∴22mDB AG CB AG == ……………………………………15分∵△AFG ∽△CFB ∴2mCB AG CF AF ==; ……………………………………16分 （3）1+a ab. ……………………………………20分图 3提示:如上图所示,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G . ∴BD AG //,△AFG ∽△CFB ∴△AEG ∽△DEB∴b DE AEDB AG == ∵a DC BD= ∴()DC a CB aDC BD 1,+==∴BD aa CB 1+= ∴111+=⋅+=+=a abDB AG a a DB aa AG CB AG ∵△AFG ∽△CFB∴1+==a abCB AG CF AF .。

九年级数学下册单元测试卷第六章 图形的相似（分值：150分 时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共24分）1.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离为25cm,则甲,乙两地的实际距离是（ ）A.1250kmB.125kmC.12.5kmD.1.25km2.已知△ABC 的三边长分别为2,6,2, △A′B′C′的两边长分别是1和3,如果△ABC 与△A′B′C′相似,那么△A′B′C′的第三边长应该是（ ）A.2B.22C.26 D. 33 3.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m,则梯子的长为（ ）A.3.85mB.4.00mC.4.40mD.4.50m4.一个钢筋三角架三条边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )A.一种B.两种C.三种D.四种5.下列四组图形中必成相似图形的是（ ）A ．有一个角为30°的两个等腰三角形B ．邻边之比为2：1的两个平行四边形C ．有一个角为40°的两个等腰三角形D ．有一个角为120°的两个等腰三角形6.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，若AD ：BC ＝1：3，那么下列结论中正确的是（ ）A ．S △COD ＝9S △AODB ．S △ABC ＝9S △ACDC ．S △ABC ＝9S △AODD ．S △DBC ＝9S △AOD 7.如图所示，F 是△ABC 边AB 上一点，那么下面四个命题错误的是（ ）A ．若∠AFC ＝∠ACB ，则△ACF ∽△ABCB ．若AC 2＝AF·AB ，则△ACF ∽△ABCC ．若∠ACF ＝∠B ，则△ACF ∽△ABCD ．若AC ：CF ＝AB ：BC ，则△ACF ∽△ABC第7题 第8题8.如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，连接AD 并延长至点F ，使DF=AD ，连接BC 、BF 。

2023年九年级数学下册第27章《相似》复习检测卷（一）考试范围：§27.1图形的相似~27.2相似三角形的判定满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.将△ABC 的每条边都扩大3倍得到△DEF ，其中点A 、B 、C 的对应点分别是D 、E 、F ，则∠D 与∠A 的关系为（）A .∠D ＝∠AB .∠D ＝3∠AC .∠D ＝6∠AD .∠D ＝9∠A2.如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）3.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E ，B 、D 、F ，AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则DF 的长为（）A .4B .5C .9D .74.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，F 为BC 边上一点，连接AF交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（）A .AD AEAB CE=B .AC AEGF BD=C .BD CEAD AE=D .AG ACAF CE=5.如图，在正方形网格上有两个三角形，且△ABC 和△DEF 相似，则∠BAC 的度数为（）A .135°B .125°C .115°D .105°6.如图，△ACP ∽△ABC ，若∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，则∠ACB 的度数是（）A .80°B .60°C .50°D .30°7.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，则CD 的长为（）A .6B .8C .9D .108.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm 、6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（）A .3cmB .4cmC .4.5cmD .5cm9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝3，按照图中的方式将它分成完全相同的三个矩形，如果每一个小矩形都与矩形ABCD 相似，则a 的值为（）第5题第3题第4题第6题第7题第9题第10题A .22B .23C .33D .3210.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上一点，过点E 作EF ⊥AE 交CD 边于点F ，则CF 的最大值是（）A .0.5B .1C .1.5D .2二、填空题(每小题3分，共18分)11.如图，添加一个条件__________________，使△ADE ∽△ACB .12.如图，在□ABCD 中，E 是AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为_________.13.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝3，BC ＝8，则DE 的长为________.14.已知654a b c==，且a ＋b －2c ＝6，则a 的值为_______.15.如图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数ky x=(k ＞0)在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为_______.16.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 1与l 2之间的距离为2，直线l 2与l 3之间的距离为1，等边△ABC 的三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，则等边三角形的边长是______.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)如图，四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∠BCD ＝125°，分别求x 、y 、α的值.18.(8分)如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，AE ⊥BF 于点M ，若BC ＝2AB ，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论.第10题第11题第16题第12题第13题第15题19.(8分)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°.(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)若BC＝3，AB＝5，求CD的长.20.(8分)如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，连接BE.(1)请用尺规在BE上求作一点P，使得△PCB∽△ABE(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AE＝3，AB＝4，BC＝6，求EP的长.21.(8分)如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1.(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长.22.(10分)在△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD＝x(0＜x＜6)，CE＝y(0＜y＜8).(1)当x＝2，y＝5时，求证：△AED∽△ABC；(2)若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式.23.(10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，连接DB.过点A作AE⊥BD于点F，交BC于点E.(1)求证：EB2＝EF・EA；(2)若AB＝4，CE＝3BE，求AE的长.24.(12分)(1)【问题背景】如图1，D是等边△ABC中AB边上的点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，求证：BD＝AE；(2)【尝试应用】如图2，D是Rt△ABC中AB边上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，请探究BD与AE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展创新】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，43DE ABCD BC==，DE交AC于F，若AD＝3BD，求AFDF的值.《相似》阶段检测卷(一)考试范围：§27.1图形的相似~27.2相似三角形的判定满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.将△ABC 的每条边都扩大3倍得到△DEF ，其中点A 、B 、C 的对应点分别是D 、E 、F ，则∠D 与∠A 的关系为（）A .∠D ＝∠AB .∠D ＝3∠AC .∠D ＝6∠A D .∠D ＝9∠A【答案】A .详解：依题意，△ABC 与△DEF 的三边成比例，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠A ＝∠D ，故选A .2.如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）【答案】C .详解：由两个角分别相等的两个三角形相似，知选项A 和B 中的阴影三角形与原三角形相似，选项D 中，阴影三角形的∠A 的两边分别为4－1＝3，6－4＝2，∵4623=，∠A ＝∠A ，∴选项D 中的阴影三角形与原三角形相似.而选项C 中，不能保证∠B 的两边成比例，故选C .3.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E ，B 、D 、F ，AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则DF 的长为（）A .4B .5C .9D .7【答案】C .详解：∵a ∥b ∥c ，∴AC BD CE DF =，即8612DF=，解得DF ＝9，故选C . 4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（）A .AD AEAB CE=B .AC AEGF BD=C .BD CEAD AE=D .AG ACAF CE=【答案】C .详解：∵DE ∥BC ，∴BD CE AD AE =，故C 对；AD AEAB AC=，故A 错；AG AE ADAF AC AB==，故D 错；选项B 中的4条线段不成比例，故D 错.故选C .5.如图，在正方形网格上有两个三角形，且△ABC 和△DEF 相似，则∠BAC 的度数为（）A .135°B .125°C .115°D .105°【答案】A .详解：∵△ABC 和△DEF 相似，观察角的大小，∠BAC ＝∠DEF ＝90°＋45°＝135°，故选A . 6.如图，△ACP ∽△ABC ，若∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，则∠ACB 的度数是（）A .80°B .60°C .50°D .30°【答案】B .详解：在△ACP 中，∵∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，∴∠APC ＝60°.∵△ACP ∽△ABC ，∴∠ACB ＝∠APC ＝60°，故选B .7.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，则CD 的长为（）A .6B .8C .9D .10【答案】D .详解：∵EF ∥AB ，∴EF DEAB DA=，∵DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，∴4223AB =+，∴AB ＝10，则CD ＝AB ＝10，故选D .8.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm 、6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（）A .3cmB .4cmC .4.5cmD .5cm【答案】C .详解：设所求的最长边为xcm ，则592.5x=，解得x ＝4.5，故选C .9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝3，按照图中的方式将它分成完全相同的三个矩形，如果每一个小矩形都与矩形ABCD 相似，则a 的值为（）A .B .C .D .【答案】C .详解：小矩形的边边分别为13a 和3，∵小矩形与矩形ABCD 相似，∴13a ∶3＝3∶a ，解得a ＝±(舍去负值)，∴a ＝C .10.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上一点，过点E 作EF ⊥AE交CD 边于点F ，则CF 的最大值是（）A .0.5B .1C .1.5D .2【答案】B .详解：∵∠B ＝∠C ＝90°，AE ⊥EF ，可证△ABE ∽△ECF ，∴AB BECE CF=，设BE ＝x ，则CE ＝4－x ，∴44x x CF =-，∴CF ＝14x (4－x )＝－14(x －2)2＋1，当x ＝2时，CF 取得最大值1，故选B .二、填空题(每小题3分，共18分)11.如图，添加一个条件__________________，使△ADE ∽△ACB .【答案】答案不唯一，可以填下列中的一个：∠ADE ＝∠C ，∠AED ＝∠B ，AD AEAC AB=.12.如图，在□ABCD 中，E 是AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则BF ∶FD的值为_________.【答案】2.详解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ，BC ∥AD .∵E 为AD 的中点，∴BC ＝AD ＝2DE ，由AD ∥BC ，得△BCF ∽DEF ，∴BF ∶FD ＝BC ∶DE ＝2.13.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝3，BC ＝8，则DE 的长为________.【答案】2.详解：∵DE ∥BC ，∴AD DE AB BC =，即1138DE=+，∴DE ＝2.14.已知654a b c==，且a ＋b －2c ＝6，则a 的值为_______.【答案】12.详解：∵654a b c==，故可设a ＝6x ，b ＝5x ，c ＝4x ，代入a ＋b －2c ＝6，得：6x ＋5x －2(4x )＝6，解得x ＝2，∴a ＝6x ＝12.15.如图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数ky x=(k ＞0)在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为_______.【答案】y ＝2x .详解：设B (t ，k t )，则直线OA 的解析式为y ＝2ktx .∵B 为OA 的中点，∴A (2t ，2k t )，∴D (2t ，2k t )，OC ＝2t ，CD ＝2k t ，CA ＝2kt.∵△OCD ∽△ACO ，∴OC CD AC OC =，∴OC 2＝AC ·CD ，∴4t 2＝2k t ·2k t，∴k 2＝4t 4，∵k ＞0，∴k ＝2t 2，∴直线OA 的解析式为y ＝2x .16.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 1与l 2之间的距离为2，直线l 2与l 3之间的距离为1，等边△ABC 的三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，则等边三角形的边长是______.【答案】2213.F详解：过C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于D ，过C 作CF ⊥l 1于F ，交l 3于H ，过E 作ED ⊥FC 交延长线于D ，∵∠AFC ＝∠ACE＝∠CDE ＝90°，∴△ACF ∽△CED ，∴DE CD CECF AF AC==，∵△ABC 为等边△，∴CE ，AB ＝BC ＝BE ，则CD AF .依题意，FH ＝FC ＋CH ＝2＋1＝3，由AB ＝BE ，l 1∥l 3∥ED ，得DH ＝FH ＝3，CD ＝4，∴AF CD AC .三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)如图，四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∠BCD ＝125°，分别求x 、y 、α的值.【答案】∵四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∴∠C ′＝∠C ＝125°，∴∠α＝360°－80°－75°－125°＝80°，且AD AB BC A D A B B C ==''''''，即45316x y==，解得x ＝20，y ＝12.答：x ＝20，y ＝12，α＝80°.18.(8分)如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，AE ⊥BF 于点M ，若BC ，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论.【答案】BF AE ，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠C ，∵AE ⊥BF ，∴∠AMB ＝∠BAM ＋∠ABM ＝90°，又∵∠ABM ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAM ＝∠CBF ，∴△ABE ∽△BCF ，∴AE AB BF BC ==，∴BF AE .19.(8分)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°.(1)求证：AC 2＝AB ·AD ；(2)若BC ＝3，AB ＝5，求CD 的长.【答案】(1)∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠CAB .∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD ACAC AB=，∴AC 2＝AB ·AD .(2)在Rt △ABC 中，∵BC ＝3，AB ＝5，由勾股定理，得AC ＝4.∵AC 2＝AB ·AD ，∴42＝5AD ，∴AD ＝165.在Rt △ADC 中，CD 125.20.(8分)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE .(1)请用尺规在BE 上求作一点P ，使得△PCB ∽△ABE(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AE ＝3，AB ＝4，BC ＝6，求EP 的长.【答案】(1)如图所示；(2)由勾股定理，得BE 5，由△PCB ∽△ABE ，得BP BC AE BE =，即635BP =，∴BP ＝185，∴EP ＝BE －BP ＝5－185＝75.21.(8分)如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1.(1)求证：△ABD ∽△CBA ；(2)作DE ∥AB 交AC 于点E ，请直接写出另一个与△ABD 相似的三角形，并求出DE 的长.【答案】(1)∵AB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，∴AB BDBC AB=，又∠ABD ＝∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA .(2)如图，∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CBA ，∵△ABD ∽△CBA ，∴△CDE ∽△ABD ，∴DE CD BD AB =，即4112DE -=，∴DE ＝1.5.22.(10分)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，点D 、E 分别在AB 、AC 上，连接DE ，设BD ＝x (0＜x ＜6)，CE ＝y (0＜y ＜8).(1)当x ＝2，y ＝5时，求证：△AED ∽△ABC ；(2)若△ADE 和△ABC 相似，求y 与x 的函数表达式.【答案】(1)∵AB ＝6，BD ＝x ＝2，∴AD ＝4.∵AC ＝8，CE ＝y ＝5，∴AE ＝3.∴AD AEAC AB=.又∵∠EAD ＝∠BAC ，∴△AED ∽△ABC .(2)分两种情况，1°当△ADE ∽△ABC 时，AD AE AB AC =，则6868x y --=，∴y ＝43x (0＜x ＜6).2°当△ADE ∽△ACB 时，AD AE AC AB =，则6886x y --=，∴y ＝34x ＋72(0＜x ＜6).23.(10分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是斜边AC 的中点，连接DB .过点A 作AE ⊥BD 于点F ，交BC 于点E .(1)求证：EB 2＝EF ・EA ；(2)若AB ＝4，CE ＝3BE ，求AE 的长.【答案】(1)∵AE ⊥BD ，∴∠BFE ＝90°＝∠ABC .又∵∠BEF ＝∠AEB ，∴△EBF ∽△EAB ，∴BE EFAE BE=，∴EB 2＝EF ・EA .(2)在Rt △ABC 中，∵D 为斜边AC 的中点，∴BD ＝CD ，∴∠DBC ＝∠C .由(1)，得△EBF∽△EAB，∴∠EBF＝∠EAB，∴∠C＝∠EAB.又∠ABE＝∠CBA，∴△BAE∽△BCA，∴AB BEBC AB=，∴AB2＝BE·BC.∵AB＝4，CE＝3BE，∴BC＝4BE，42＝BE(4BE)，∴BE＝2.∴AE＝.24.(12分)(1)【问题背景】如图1，D是等边△ABC中AB边上的点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，求证：BD＝AE；(2)【尝试应用】如图2，D是Rt△ABC中AB边上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，请探究BD与AE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展创新】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，43DE ABCD BC==，DE交AC于F，若AD＝3BD，求AFDF的值.【答案】(1)∵△ABC与△CDE均为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴BD＝AE.(2)AE＝2BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DEC＝30°，∠B＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴BC AC CD CE=.由条件得∠ACB＝∠DCE，AC＝2BC，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴12BD BCAE AC==，∴AE＝2BD.(3)由(2)得，△BCD∽△ACE，∴AE ACBD BC=，∵43DE ABCD BC==，∴53ACBC=，∴53AE ACBD BC==设BD＝a，则AD＝3BD＝3a，AB＝4a，BC＝3a，CDa，AE＝53BD＝53a.∵△AFE∽△DFC ，∴53aAF AEDF CD=.。

2013-2014学年度大庆市房顶中学单元测试《相似图形》（A卷）一、选择题1．若，且3a－2b+c=3，则2a+4b－3c的值是（）A.14B.42C.7D.2．已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，•以PB、AB为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（）．A．S1>S2B．S1<S2C．S1=S2D．S1≥S23．把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为（）A．2：1 B．4：1 C．：1 D．：14．把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等C.△ABC与△A′B′C′的相似比为D.△ABC与△A′B′C′的相似比为5．若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C′的度数是（）A.55°B.100°C.25°D.不能确定6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是（）A.1B.C.2D.46题 8题 9题 11题 12题7．在□ABCD中，E在BC边上，AE交BD于F，若BE∶EC=4∶5，则BF∶FD等于（）A.4∶5B.5∶4C.5∶9D.4∶98．如图，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将（）A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断9．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A.AE⊥AFB.EF∶AF=∶1C.AF2=FH·FED.FB∶FC=HB∶EC10．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积之比为【】A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：1611．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=30 cm，AB=50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形彩条a1、a2、a3…….若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条总数是（）A.24B.25C.26D.2712．如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，延长边BC到点P，使得△PAB与△PCA相似.则PC的长是( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)10二、填空题（题型注释）13．四边形ABCD∽四边形，他们的面积之比为36∶25，若四边形的周长为15cm，则四边形ABCD的周长为 cm。

冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习能力达标测试卷A 卷（附答案详解）1．已知线段a ，b ，c ，求作线段x ，使ac x b =，下列作法中正确的是( ) A ．B ．C ．D ．2．如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，AE ＝14AB ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BC CD＝（ ）A ．12B ．2C ．23D ．323．如图，△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，且顶点的坐标分别是A （5，2），B （4，3），C （3，3），A '（8，3），B '（6，5），C '（4，5），则位似中心的坐标是（ ）A ．(2，1)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，1)4．下列说法中正确的是（ ）A ．两个等腰三角形相似B ．有一个内角是30的两个直角三角形相似C ．有一个锐角是30°的两个等腰三角形相似D ．两个直角三角形相似5．如图，在ABC 中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：：ACP B ∠∠=①；APC ACB ∠∠=②；2AC AP AB =⋅③；AB CP AP CB ⋅=⋅④，能满足APC 与ACB 相似的条件是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③ 6．若23(0)x y y =≠，则下列比例式一定成立的是（ ）A ．23x y =B ．32x y =C ．23x y =D ．32x y= 7．如图所示，在矩形ABCD 中，点F 是 BC 的中点，DF 的延长线与AB 的延长线相交于点E ，DE 与AC 相交于点O ，若2COD S ∆=，则AOE S ∆=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．108．如图，正方形ABCD 中，AB ＝3，点E 是对角线AC 上的一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交AB 于点F ，连接DF 交AC 于点G ，下列结论：①DE ＝EF ；②∠ADF ＝∠AEF ；③DG 2＝GE •GC ；④若AF ＝1，则EG ＝524，其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则的值为（ ）A ．1B ．C ．D ．10．如图，路灯距地面8m，身高1.6m的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影长度()A．变长3.5m B．变长2.5m C．变短3.5m D．变短2.5m 11．如图，点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上一点，AC，BD交于点O，且∠EAF=45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①∠AEB=∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S△AEF=2S△AMN，以上结论中，正确的是______ .（请把正确结论的序号都填上）12．如图，△ABC，△EFG，四边形ACEG的面积相等，并有AE∥GD，BC：EC＝3：1．由此可知DE：CE：BE＝__．A B C都在格点上13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，有ABC，点,,（I）ABC的面积等于__________；AB AC上在如图所示（Ⅱ）求作其内接正方形，使其一边在BC上，另两个顶点各在,的网格中，请你用无刻度．．．的直尺画出该正方形，并简要说明画图的方法（不要求证明）14．如图，某风景区在建设规划过程中，需要测量两岸码头A、B之间的距离．设计人员在O点设桩，取OA、OB的三等分点C、D，测得CD=25m，则AB=________ ．15．如图，ABC 是面积为218cm 的等边三角形，被一长边平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等份，则图中阴影部分的面积为________ 2cm ．16．已知△ABC ∽△DEF ，顶点A 、B 、C 分别与D 、E 、F 对应，若AB :DE ＝1:2，△ABC 的周长是5cm ，则△DEF 的周长是____cm ．17．如图，以O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA ＝10 cm ，OA′＝30 cm ，若S 五边形A′B′C′D′E′＝27 cm 2，则S 五边形ABCDE ＝__________.18．如图所示，ABC △中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，O 为AC 的中点，过O 作OE OF ⊥，OE ，OF 分别交射线AB ，BC 于E ，F ，则EF 的最小值为______.19．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝310，BC ＝6，且若CD 经过△ABC 的外心O 交AB 于D ，则CD ＝_____．20．如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心，若AC ＝3DF ，则OE ：EB ＝_____．21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ．（1）求证：DH 是圆O 的切线；（2）若A 为EH 的中点，求EF FD 的值. 22．（操作、填空）如图，ABCD 中，对角线AC a =，点E 是边AB 上一动点，连接DE 交AC 于点M .（1）若AE BE =，则AM 的长为 ；（用含a 的式子表示，下同）（2）若2AE BE =，则AM 的长为 ；（3）若3AE BE =，则AM 的长为 ；……（猜想、论证）若AE nBE =，请用含n ，a 的式子表示AM ，并证明结论的正确性. 23．如图，在7×10的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点。

第23章图形的相似达标测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1．如图是某种汽车的标志示意图，下面选项的图形中与其相似的是()2．在△ABC中，D和E分别是BC和BA的中点，已知AC＝4，则DE的长为() A．1 B．2 C．4 D．83．已知线段a，b，c，d是成比例线段，a＝2，b＝5，c＝2 3，则d＝()A. 153 B.4 155C．2 5 D.154．如图，AB∥CD∥EF，若ACCE＝32，BD＝12，则DF的长为()A．2 B．4 C．6 D．8(第4题)(第6题)(第7题)(第8题)5．若两个相似三角形的面积比是1∶9，则它们对应边的中线之比为() A．1∶9 B．3∶1 C．1∶3 D．1∶816．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是()A．2∶3 B．3∶2 C．2∶5 D．5∶27．如图，已知D是△ABC的边AC上一点，下列条件中，不能判定△CAB∽△CBD的是()A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDBC．AB·CD＝BD·BC D．BC2＝AC·CD8．如图，在平行四边形ABCD中，DE∶EC＝3∶1，AE与BD交于点F，则S△DEF∶S四边形BCEF＝()A ．3∶5B ．4∶7C ．7∶15D ．9∶19二、填空题(每题3分，共18分)9．在一幅比例尺是1∶6 000 000的图纸上，量得两地的图上距离是2 cm ，则两地的实际距离是________ km.10．如图，已知线段AB 和线段CD 是第一象限内以原点O 为位似中心的位似图形，点A 的坐标为(8，12)，点C 的坐标为(2，3)，则线段AB 和线段CD 的数量关系为________．(第10题) (第11题) (第12题) (第13题) (第14题) 11．如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连结DE ，CD ，如果DE ＝2.5，那么△ACD 的周长为________．12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上．设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则 C 1C2的值为________．13．图①，图②分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液面宽度与液面距离水平面高度的平面示意图，则图②中AB ＝__________cm.14．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，P 为边AB 上一动点，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 有________个．三、解答题(第19～21题每题12分，第22题14分，其余每题7分，共78分) 15．已知a b ＝29，求2a －3b a ＋b 的值．16．王霞和爸爸妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出坐标原点O和x轴，y 轴，只知道游乐园D的坐标为(1，－2)(图中每个小正方形的边长均为1)．(第16题)(1)请画出x轴，y轴，并标出坐标原点O；(2)写出其他各景点的坐标．17.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，DEBC＝14.(第17题)(1)若AB＝12，求AD的长；(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．318．图①，图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；(2)在图②中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1∶2.(第18题)19．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.(第19题)(1)求证：△HCD∽△HDB；(2)求DH的长．20.如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3.(第20题) (1)求CE的长；(2)若点Q在BC上，AQ交DE于点P.小明认为DPBQ＝PECQ，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝8 cm.点P从点C出发，5以2 cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1 cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．(第21题)(1)经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC的面积的2 5(2)经过几秒后，△PCQ与△ABC相似？22.【基础问题】(1)如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上，BE⊥FE，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求DF的长；【拓展延伸】(2)如图②，在等边△ABC中，D为边BC上一点，E为边AB上一点，且∠ADE＝60°，CD＝3，BE＝2，则BC的长为________；(3)如图③，在四边形ABCD中，DE∥BC，交AB于点E，CF∥AD，交AB于点F，∠DEC＝∠A＝∠B，FB＝4，EB＝6，则DEAE＝________．(第22题)7 答案一、1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.D二、9.120 10.AB ＝4CD 11.18 12.22 13.83 14.3三、15.解：∵a b ＝29，∴a 2＝b 9. 设a 2＝b9＝k ，则a ＝2k ，b ＝9k ，∴2a －3b a ＋b ＝4k －27k 2k ＋9k＝－23k 11k ＝－2311.(第16题)16．解：(1)x 轴，y 轴和原点O 如图所示．(2)音乐台A 的坐标为(－1，4)，湖心亭B 的坐标为(－4，2)，望春亭C 的坐标为(－3，－1)，牡丹亭E 的坐标为(2，3)．17．解：(1)∵四边形BFED 是平行四边形，∴DE ∥BF ，即DE ∥BC ，∴△ADE∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC ＝14. ∵AB ＝12，∴AD ＝3.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝116.∵△ADE 的面积为1，∴△ABC 的面积为16.∵四边形BFED 是平行四边形，∴EF ∥AB ，DE ＝BF ，∴△EFC ∽△ABC ，∴S △EFC S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫FC BC 2＝⎝⎛⎭⎪⎫BC －BF BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC －DE BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－DE BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916，∴△EFC 的面积为9， ∴平行四边形BFED 的面积为16－9－1＝6. 18．解：(1)如图①，点E 即为所求．(2)如图②，点P ，点Q 即为所求．(第18题)19．(1)证明：∵DH ∥AB ，∴∠A ＝∠HDC .∵∠CBD ＝∠A .∴∠HDC ＝∠CBD .又∵∠H ＝∠H ，∴△HCD ∽△HDB .(2)解：∵DH ∥AB ，∴△HCD ∽△BCA ，∴CD AC ＝CHBC . ∵AC ＝3CD ，BC ＝3，∴13＝CH3，∴CH ＝1， ∴BH ＝BC ＋CH ＝3＋1＝4.由(1)知△HCD ∽△HDB ，∴DH BH ＝CHDH ，∴DH 2＝4×1＝4， ∴DH ＝2(负值舍去)．20．解：(1)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AD ＋BD ＝AEAE ＋EC.∵AD ＝5，BD＝10，AE ＝3，∴CE ＝6.(2)结论正确．理由：在△ABQ 中，∵DP ∥BQ ，∴△ADP ∽△ABQ ，∴DP BQ ＝AP AQ .同理可得PE CQ ＝AP AQ ，∴DP BQ ＝PE CQ .21．解：(1)设经过x s 后，△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的25.根据题意，得12×2x ×(8－x )＝8×10×12×25.解得x 1＝x 2＝4.所以经过4 s 后，△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的25.(2)设经过t s 后，△PCQ 与△ABC 相似，因为∠C ＝∠C ，所以分为两种情况：① PC BC ＝CQ CA ，即2t 8＝8－t 10，解得t ＝167.②PC AC ＝CQ CB ，即 2t 10＝8－t 8，解得t ＝4013.综上所述，经过167 s 或4013 s 后，△PCQ 与△ABC 相似．22．解：(1)∵BE ⊥FE ，∴∠BEF ＝90°.∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AEB ＋∠ABE ＝∠AEB ＋∠DEF ＝90°，∴∠ABE ＝∠DEF ，∴△ABE ∽△DEF ，∴AB DE ＝AE DF ，∴62＝9DF ，解得DF ＝3.(2)9(3)62点拨：∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∠B＝∠DEA.∵AD∥CF，∴∠A＝∠CFB.∵∠DEC＝∠A＝∠B，∴∠DEC＝∠A＝∠B＝∠BCE＝∠CFB＝∠DEA，∴△DAE∽△CFB∽△ECB，∴EBBC＝BCFB，DEBE＝AEBC，即6BC＝BC4，DE AE＝EBBC，解得BC＝24＝2 6(负值舍去)，∴DEAE＝EBBC＝62 6＝62.9。

图形的相似基础测试题含答案解析一、选择题1．已知正方形ABCD 的边长为5，E 在BC 边上运动，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，问CE 为多少时A 、C 、F 在一条直线上（ ）A ．35B ．43C ．53D ．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC ，做FN ⊥BC ，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt △FNE ∽Rt △ECD ，再利用相似比得出1 2.52NE CD ==，运用正方形性质,得出△CNF 是等腰直角三角形，从而求出CE ．【详解】解：过F 作BC 的垂线，交BC 延长线于N 点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ，∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF ，1 2.52NE CD == ∵AC 平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF 是等腰直角三角形，∴CN=NF ， ∴2255.3323CE NE ==⨯= 故选C ．【点睛】 此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.2．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）A．2B．4C．3D．5【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】∵AD：AF=3：5，∴AD：DF=3：2，∵AB∥CD∥EF，∴AD BCDF CE=，即362CE=，解得，CE=4，故选B．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．3．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解析】分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选D．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．4．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC 的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC=，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.5．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（）A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4【答案】C【解析】【分析】根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．【详解】∵S△EFC＝3S△DEF，∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC 上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为（）A．1 B．54C．1或 3 D．54或5【答案】D【解析】【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段成比例可得12BD BE DEAB BC AC===，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．【详解】解：如图，若点B1在BC左侧，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=225AC BC+=∵点D是AB的中点，∴BD=12BA=52∵B1D⊥BC，∠C=90°∴B1D∥AC∴12 BD BE DEAB BC AC===∴BE=EC=12BC=2，DE=12AC=32∵折叠∴B1D=BD=52，B1P=BP∴B1E=B1D-DE=1∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，∴BP2=1+（2-BP）2，∴BP=5 4如图，若点B1在BC右侧，∵B1E=DE+B1D=32+52，∴B1E=4在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，∴BP 2=16+（BP-2）2，∴BP=5故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．7．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE ∆向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )A ．2B 3C 15±D ．152【答案】D【解析】【分析】 可设AD=x ，由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【详解】解：∵1AB =，设AD=x ，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， ∴EF AD DF AB=，即111x x =-， 解得：1152x +=，2152x -=（不合题意，舍去） 经检验152x +=，是原方程的解． ∴15AD +=． 故选：D ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似得到比例式．8．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B【解析】【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ，∴ ,HF HE EF AE AB BE== G Q 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点睛】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．9．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）A ．1：2B ．1：5C ．1：100D ．1：10 【答案】C【解析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．故选：C ．点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．10．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是（ ）A ．1.5cmB ．1.2cmC ．1.8cmD ．2cm【答案】B【解析】【分析】【详解】 由图2知，点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒，∵点P 的运动速度是每秒1cm ，∴AC=3，BC=4．∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得：AB=5．如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则易得△ABC ∽△ACH ． ∴CH AC BC AB =，即AC BC 3412CH CH AB 55⋅⨯=⇒==． ∴如图，点E （3，125），F （7，0）． 设直线EF 的解析式为y kx b =+，则 123k b {507k b=+=+， 解得：3k 5{21b 5=-=． ∴直线EF 的解析式为321y x 55=-+． ∴当x 5=时，()3216PD y 5 1.2cm 555==-⨯+==． 故选B ．11．如图，已知AOB ∆和11A OB ∆是以点O 为位似中心的位似图形，且AOB ∆和11A OB ∆的周长之比为1:2，点B 的坐标为()1,2-，则点1B 的坐标为（ ）．A ．()2,4-B ．()1,4-C ．()1,4-D ．()4,2-【答案】A【解析】【分析】 设位似比例为k ，先根据周长之比求出k 的值，再根据点B 的坐标即可得出答案．【详解】设位似图形的位似比例为k则1111,,OA kOA OB kOB A B kAB ===△AOB Q 和11A OB △的周长之比为1:2111112OA OB AB OA OB A B ++∴=++，即12OA OB AB kOA kOB kAB ++=++ 解得2k =又Q 点B 的坐标为(1,2)-∴点1B 的横坐标的绝对值为122-⨯=，纵坐标的绝对值为224⨯= Q 点1B 位于第四象限∴点1B 的坐标为(2,4)-故选：A ．【点睛】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．12．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A 在反比例函数y=6x （x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCOAODSS=VV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°3∴13BCOAODSS=VV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S △AOD =2是解题关键．13．如图，点A ，B 是双曲线18y x=图象上的两点，连接AB ，线段AB 经过点O ，点C 为双曲线k y x=在第二象限的分支上一点，当ABC V 满足AC BC =且:13:24AC AB =时，k 的值为（ ）．A ．2516-B ．258-C ．254-D ．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．首先证明△CFO ∽△OEA ，推出2()COF AOE S OC S OA∆∆=，因为CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，推出CA ：OA ＝13：12，推出CO ：OA ＝5：12，可得出2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144，因为S △AOE ＝9，可得S △COF ＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．∵A 、B 关于原点对称，∴OA ＝OB ，∵AC ＝BC ，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∴∠CFO ＝∠COA ＝∠AEO ＝90°，∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OC S OA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12， ∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0， ∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．14．如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【答案】B【解析】【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，∴△AEG∽△BFE，∴AE AG BF BE，又∵AE=BE，∴AE2=AG•BF=2，∴AE=2（舍负），∴GF 2=GE 2+EF 2=AG 2+AE 2+BE 2+BF 2=1+2+2+4=9，∴GF 的长为3，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG ∽△BFE ．16．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）A ．22B ．12C ．14D 3【答案】A【解析】【分析】过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出2OB OA =【详解】 ∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，∠CAO ＝∠BOD ，∴△ACO ∽△BDO ，∴2()S OBD OB S AOC OA∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12， ∴2()OB OA ＝121＝12 ，∴2 OBOA，故选A．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解17．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，当点C1、B1、C三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交AC于点D．下列结论：①△AC1C 为等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α＝75°；④CA＝CB1，其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确．【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，∴△ABC≌△AB1C1，∴AC1＝AC，∴△AC1C为等腰三角形；故①正确；∴AC1＝AC，∴∠C1＝∠ACC1＝30°，∴∠C1AC＝120°，∴∠B1AB＝120°，∵AB1＝AB，∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，∵∠ADB1＝∠BDC，∴△AB1D∽△BCD；故②正确；∵旋转角为α，∴α＝120°，故③错误；∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°，∴∠B1AC＝75°，∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，∴∠AB1C＝75°，∴∠B1AC＝∠AB1C，∴CA＝CB1；故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．下列图形中，一定相似的是（）A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．【详解】A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选A．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．19．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（）A ．AD AE BD EC =B ．AF DF AE BE =C ．AE AF EC FE =D ．DE AF BC FE = 【答案】D【解析】【分析】 由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断. 【详解】∵DE //BC ，∴AD AE BD EC= ，故A 正确； ∵DF //BE ，∴△ADF ∽△ABF , ∴AF DF AE BE =，故B 正确； ∵DF //BE ，∴ AD AF BD FE =，∵AD AE BD EC= ，∴AE AF EC FE =，故C 正确； ∵DE //BC ，∴△ADE ∽△ABC ,∴DE AD BC AB =，∵DF //BE ，∴AF AD AE AB =，∴DE AF BC AE =，故D 错误.故选D.【点睛】本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.20．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S 、1S 、2S ，若S=2，则1S +2S =（ ）.A ．4B ．6C ．8D ．不能确定 【答案】C【解析】 试题分析：过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ，由DC ∥AB ，得到PQ ∥AB ，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，所以△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF ∥BC ，EF=12BC ，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，所以PBC CQP QPB PDC ABP S S S S S =+=+V V V V V =1S +2S =8. 故选C ．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．。

第四章图形的相似（测基础）——2023-2024学年北师大版数学九年级上册单元闯关双测卷【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图,五线谱是由等距离,等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C 都在横线上.若线段,则线段BC的长是( )A. B.1 C. D.22.如图，小亮的数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE高1m，测得，，则旗杆CD高度是( )A.9mB.10mC.12mD.16m3.在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点E的对应点的坐标是( )A. B. C.或 D.或4.如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于( )A. B. C. D.5.如图，在中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足.根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：嘉嘉说：连接PQ，则.淇淇说：.对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是( )A.嘉嘉正确，淇淇错误B.嘉嘉错误，淇淇正确C.两人都正确D.两人都错误6.如图在中,DE分别是边AB,BC上的点,且,若,则的值为( )A. B. C. D.7.为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度,学校数学兴趣小组做了如下的探索:根据光的反射定律,利用一面镜子和一把皮尺,设计如图所示的测量方案:把一面很小的镜子水平放置在离树底(B)8.4米的点E处,然后沿着直线后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得米,观察者身高米,则树()的高度约为( )A.4.2米B.4.8米C.6.4米D.16.8米8.如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB的长为，且与水平桌面垂直，灯臂AC的长为，灯头的横截面为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点.若不考虑其他因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为( )A. B. C. D.9.如图,在四边形ABCD中,,,E,F分别是AD,DC的中点,连接BE,BF,EF,点P为边BE上一点,过点P作,交BF于点Q,若,则PQ的长为( )A. B.1 C. D.10.如图,矩形ABCD中,,,点E为BC的中点,点G为AD上一点,连接AE,BG交于点F,连接CF,当时,线段CF的长度是( )A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，共20分）11.若,则________.12.如图，，AD，BC相交于点E，若，，则CD的长为________.13.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10 mm，AC被分为60等份，如果小玻璃管的管口DE正好对着量具上第20份处（），那么小玻璃管的口径是__________mm.14.如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E，F分别为PA，PD上的点，且，，，，的面积分别记为S，，，若，则_______.15.如图，在矩形ABCD中，cm，cm，点E，F分别在边AB，BC上，cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为_______cm.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）如图，，，，.(1)求EC的值；(2)求证：.17.（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，.（1）画出关于y轴对称的图形，并直接写出点坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；（3）如果点在线段上，请直接写出经过（2）的变化后D的对应点的坐标.18.（10分）如图，AC平分，.（1）求证：；（2）若，，求AD的长.19.（10分）如图,在中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形,.（1）若,求线段AD的长.（2）的面积为1,求平行四边形BFED的面积.20.（12分）如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺.测倾器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E.且测得米，米，.已知小华的身高米，请根据以上数据，求DE 的长度.（结果保留根号）21.（12分）小蒋和小张准备测量学校操场上一棵大树的高. 小蒋拿着自制的直角三角形纸板DEF, 不停移动, 当他站在点C处时, 他用眼睛观察到此时直角三角形纸板的斜边DF 与大树的顶端点B恰好在同一直线上,,且 DE与水平地面 AC平行, 然后小蒋站立不动, 小张移动平放在地面 AC上的平面镜至点G处时, 小蒋刚好在平面镜内看到大树的顶端 B的像, 如图所示. 已知所有点均在同一平面内, ,, ,CD,A均垂直AC, 求这棵大树的高AB. (平面镜的大小忽略不计)答案以及解析1.答案：C解析:过点A作平行横线的垂线,交点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E,则,即,解得:,故选C.2.答案：C解析：依题意得，，，即解得.故选：C.3.答案：C解析：，相似比为2，点E的对应点的坐标是或，即或，故选：C.4.答案：C解析：，，，，，，故选：C.5.答案：B解析：，，，即淇淇的结论正确；，，不能得出或，不能得出，即嘉嘉的结论不正确.故选：B.6.答案：D解析:,,,,,,,.故选:D.7.答案：A解析：如图,过E作于点E,再根据入射角等于反射角可知,,故,由,可知,,.米,米,米,,米.8.答案：B解析：，且，，由勾股定理得：，，，，，，，，，故台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为100cm.故选B.9.答案：B解析:连接PQ,AC,,,,E,F分别是AD,DC的中点,,,,,,,,PQ的长为1,故选:B10.答案：D解析:延长CF交AB于Q矩形ABCD中,,,点E为BC的中点,,,,,,,,,,,,,,,,,,.故选D11.答案：解析:,根据等式的性质,得,则,故答案为:.12.答案：5解析：，，，，，又，.故答案为：5.13.答案：解析：，，， mm，小玻璃管的口径是mm.14.答案：18解析：，，，，，，，四边形ABCD是平行四边形，，故答案为18.15.答案：解析：四边形ABCD是矩形，cm，，，，cm，（cm），G是EF的中点，，，，，，，，（cm），（cm），故答案为：.16.答案：(1)6；(2)证明见解析.解析：(1)，，又，，，解得，；(2)，，，.17.（1）答案：图见解析，点坐标为：解析：如图所示：，即为所求，点坐标为：；（2）答案：图见解析，点坐标为：解析：如图所示：，即为所求，点坐标为：；（3）答案：解析：如果点在线段上，经过（2）的变化后D的对应点的坐标：.18.解析：（1）平分，，，.（2），，，，.19.答案：（1）2（2）6解析:（1）四边形BFED是平行四边形,,,,,,;（2）,,的面积为1,的面积是16,四边形BFED是平行四边形,,,,的面积,平行四边形BFED的面积.20.答案：DE的长度为米.解析：过E作于F，，，设EF为x米，米，米，，，，，即，解得：，，答：DE的长度为米.21.答案：8m解析：如图,延长DE交AB 于点H, 则, 四边形ACDH 为矩形,,在中, 设, 则,,,由题意可得,,,即, 解得,故这棵大树的高AB为8m.。

青岛版2020九年级数学上册第一章图形的相似自主学习培优测试卷A （附答案详解） 1．在平面直角坐标系中，把△ABC 先沿x 轴翻折，再向右平移3个单位，得到△A 1B 1C 1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别是（1，1），（3，1）．把△ABC 经过连续3次翻移变换得到△A 3B 3C 3，则点A 的对应点A 3的坐标是（ ）A ．（5，﹣3）B ．（8，1+3）C ．（11，﹣1﹣3）D ．（14，1+3） 2．延长线段AB 到C ，使BC 2AB =，则AC:AB 为（ ）A ．1:2B ．2:1C ．1:3D ．3:13．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2，点M 为边AD 的中点，连接BD 交CM 于点N ，则BN 的长是（ ）A ．1B ．C ．D ．4．如图，在ABC ∆中，2AC =，4BC =，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC ∆的面积为a ，则ABD ∆的面积为（ ）A ．2aB ．52aC ．3aD ．72a 5．如图，在ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，则:AF CF 等于（ ）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．2:56．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A．235B．233C．334D．4357．图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置，其中与交于H点．若ÐABC=ÐEFC=70°，ÐACB=60°，ÐDGB=40°，则下列哪一组三角形相似？A．△BDG，△CEF B．△ABC，△CEF( C．△ABC，△BDG D．△FGH，△ABC 8．如图，已知每个小正方形的边长均为1，ABC∆与DEF∆的顶点都在小正方形的顶点上，那么DEF∆与ABC∆相似的是（）A．B．C．D．9．已知：如图，小华在打羽毛球时，扣球要使球恰好能打过网，而且落在离网前4米的位置处，则球拍击球的高度h应为（）A．1.55m B．3.1m C．3.55m D．4m10．如图，在ABC△中，D E，分别是AB AC，边上的中点，则ADEDBCESS=△四边形（）A．1 B．12C．13D．1411．如图，在△ABC中，中线BD，CE相交于点O，若S△ABC＝4，则S△DOE＝_____.12．如图，以点O为位似中心，将四边形ABCD按1：2放大得到四边形A′B′C′D′，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是_____．13．如图，已知△ABC中D为AC中点，AB=5，AC=7，∠AED=∠C，则BE=______.14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，（I）△ABC是_____________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）：（Ⅱ）若P，Q分别为边AB，BC上的动点，当PC+PQ取得最小值时，在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PC，PQ，并简要说明点2的位置是如何找到的（不要求证明）.__________________________________________15．如图是小孔成像原理的示意图，点O与物体AB的距离为45厘米，与像CD的距AB CD.若物体AB的高度为27厘米，那么像CD的高度是离是30厘米，//__________厘米．16．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为CD边的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，过点E作EM⊥AF交BC于点M，连接AM与BD交于点N，现有下列结论：①AM＝MF；②ME2＝MC•AM；③MECADESS∆∆＝（sin∠DAE）2；④点N是四边形ABME的外接圆的圆心，其中正确结论的序号是_____．17．已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP 长为_____厘米．18．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AD，S△ABC＝8，则S△DEF等于_____．19．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，G，H为BC上的点连接DH，EG．若AB＝5cm，BC＝6cm，GH＝3cm，则图中阴影部分的面积为_____．20．如图，在△ABC中，AB=10，AC=5，AD是角平分线，CE是高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，若DF=83，则线段CE的长是______．21．已知：如图，四边形ABCD 中，DB ⊥BC ，DB 平分∠ADC ，点E 为边CD 的中点，AB ⊥BE ．（1）求证：BD 2＝AD •DC ；（2）连结AE ，当BD ＝BC 时，求证：ABCE 为平行四边形．22．如图,在菱形ABCD 中，点,M N 在AC 上，ME AD ⊥于点E ,NF AB ⊥于点F ，若2,3NF NM ME ===,求AN 的值．23．如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点(网格线的交点)上，请按要求完成下列各题.(1)试证明△ABC 是直角三角形；(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似,并说明理由.24．如图，已知13AP PQ AB PB ==,且2PQ cm =，求AB 的长。

?相似图形?A卷
创作人：历恰面日期：2020年1月1日
一、单项选择题(一共4题,一共58分)
1.以下选项里面的两个图形是相似图形的是( )
2.观察以下四组图形，不相似的一组图形是( )
3.如图是世博会开幕期间，小明和爸爸拍摄到的海宝照片，小明把它分别洗成了2寸和1寸两种形式，请你仔细观察4个选项里面的小海宝，帮助小明找出与所给大海宝相似的小海宝，那么它是海宝( )
4.以下说法：
①放大(缩小)的图片与原图片是相似图形；
②比例尺不同的中国地图是相似图形；
③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；
④放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像是相似图形；
⑤平面镜中，你的像与你本人是相似的.
其中正确的有( )
二、填空题(一共1题,一共14分)
1.以下几何图形：①两个圆;②两个正方形;③两个矩形;④两个正六边形;⑤两个等边三角形;⑥两个直角三角形;⑦两个菱形；⑧两个平行四边形.其中一定相似的_______(填序号)
三、解答题(一共2题,一共28分)
1.找出图中相似的图形.
2.如图，左边格点图中有一个四边形ABCD,请在右边的格点图中画一个与该四边形相似的四边形A′B′C′D′.
创作人：历恰面日期：2020年1月1日。

第23章 图形的相似检测题（本检测题满分:120分;时间：120分钟）一、选择题（每小题2分;共24分）1.下列四组图形中;不是相似图形的是（ ）2如图;为估算某河的宽度;在河对岸岸边选定一个目标点;在近岸取点B ;C ;D ;AB ⊥BC ;CD ⊥BC ;点E 在BC 上;并且点A ;E ;D 在同一条直线上;若测得BE =20 m;EC = 10 m;CD =20 m;则河的宽度AB 等于（ ）A.60 mB.40 mC.30 mD.20 m3.如图;在△ABC 中;DE ∥BC ;若;则=( )A.B.C.D.4.若875c b a ==;且;则的值是（ ）A.14B.42C.7D.3145.△ABC 与△DEF 的相似比为1∶4;则△ABC 与△DEF 的周长比为( ) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶166.如图;//;//;分别交于点;则图中共有相似三角形（ ）对AB C D△如图所示;则下列4个三角形中;与△相似的是（ ）8.如图;已知AB ;CD ;EF 都与BD 垂直;垂足分别是B ;D ;F ;且AB ＝1;CD ＝3;那么EF 的长是( )A.13B.23 C.34 D.459.如图;笑脸盖住的点的坐标可能为（ ） A ．B ．C.D.10．如图;正五边形是由正五边形经过位似变换得到的;若;则下列结论正确的是( ) A.B.C. D.11.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8;另一个与它相似的直角三角形边长分别是3;4及x ;那么x 的值（ ）x第9题图Oy 第10题图FHMAB CDEA.只有1个B.可以有2个C.可以有3个12. )如图;△ABC中;∠A=78°;AB=4;AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开;剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是( )A. B. C. D.二、填空题（每小题3分;共18分）13.已知;且;则_______.14.如图;为估计池塘两岸边A;B两点间的距离;在池塘的一侧选取点O;分别取O A、OB的中点M;N;测的M N=32 m;则A;B两点间的距离是___________m.15. 在△ABC中;点D、E分别是边AB、AC的中点;那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是.16.如图;阳光从教室的窗户射入室内;窗户框在地面上的影长;窗户下沿到地面的距离;;那么窗户的高为________.17太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位.公共自行车车桩的截面示意图如图所示;AB⊥AD;AD⊥DC;点B;C在EF上;EF∥HG;EH⊥HG;AB＝80 cm;AD ＝24 cm;BC＝25 cm;EH＝4 cm;则点A到地面的距离是cm.（1）（2）18.如图;已知AD∥BC;AB⊥BC;AB=3.点E为射线BC上一个动点;连接AE;将△ABE沿AE折叠;点B落在点B′处;过点B′作AD的垂线;分别交AD;BC于点M;N.当点B′为线段MN的三等分点时;BE的长为.三、解答题（共78分）19.（10分）已知线段成比例（a cb d）;且a=6 cm;;;求线段的长度.20.（8分）如图;在△ABC中;点D;E分别在边AB;AC上;∠AED=∠B;射线AG分别交线段DE;BC于点F;G;且=.(1)求证：△ADF∽△ACG;(2)若=;求的值.21.（10分）试判断如图所示的两个矩形是否相似.22．（12分）已知：如图;平行四边形ABCD的对角线相交于点O;点E在边BC的延长线上;且OE＝OB;连接DE．（1）求证：DE⊥BE;（2）如果OE⊥CD;求证：BD·CE＝CD·DE．23.（12分）如图;在△ABC中;AB=AC=1;BC=;在AC边上截取AD=BC;连接BD.(1)通过计算;判断与AC·CD的大小关系;(2)求∠ABD的度数.24.（12分）从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交;顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形;如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形;另一个与原三角形相似;我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1;在△ABC中;CD为角平分线;∠A=40°;∠B=60°;求证：CD为△ABC的完美分割线.(2)在△ABC中;∠A=48°;CD是△ABC的完美分割线;且△ACD为等腰三角形;求∠ACB的度数.(3)如图2;在△ABC中;AC=2;BC=;CD是△ABC的完美分割线;且△ACD是以CD为底边的等腰三角形.求完美分割线CD的长.图1 图225.(14分)某一天;小明和小亮来到一河边;想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度;两人在确保无安全隐患的情况下;先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).①小明在B点面向树的方向站好;调整帽檐;使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处;如图所示;这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米;②小明站在原地转动180°后蹲下;并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外;其他姿态均不变）;这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处;此时小亮测得BE=9.6米;小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.第25题图根据以上测量过程及测量数据;请你求出河宽BD 是多少米？第23章 图形的相似检测题参考答案1.D 解析：根据相似图形的定义知;A 、B 、C 项中的两个图形都为相似图形;D 项中的两个图形一个是等边三角形;一个是直角三角形;不是相似图形.2.B 解析：∵ AB ⊥BC ;CD ⊥BC ;∴ AB ∥CD ;∴ ∠A =∠D .又∠AEB =∠DEC ; ∴ △BAE ∽△CDE ;∴ =. ∵ BE20 m;EC10 m;CD20 m;∴ =;∴ AB =40 m.3. C 解析：∵ DE ∥BC ;∴ .∵;∴;故选C.点拨：平行线分线段成比例的内容是：两条直线被一组平行线所截;所截得的对应线段成比例.注意对应线段不能找错. 4.D 解析：设x cb a ===875;则所以15x -14x +8x =3;即x =13;所以314. 5. C 解析：△ABC 与△DEF 的周长比=△ABC 与△DEF 的相似比=1∶4. 点拨：掌握“相似三角形周长的比=相似比”是解答此题的关键． 6.C 解析：△∽△∽△∽△. 7.C 解析：由对照四个选项知;C 项中的三角形与△相似.8. C 解析：∵ AB ⊥BD ;CD ⊥BD ;EF ⊥BD ;∴ AB ∥CD ∥EF ; ∴ △ABE ∽△DCE ;∴.∵ AB ∥CD ∥EF ;∴ △BEF ∽△BCD ; ∴14EF BE BE CD BC BE EC ===+; ∴ EF =CD =.9.D 解析：A 项的点在第一象限;B 项的点在第二象限;C 项的点在第三象限;D 项的点在第四象限.笑脸在第四象限;所以选D.10.B 解析：由正五边形是由正五边形经过位似变换得到的;知;所以选项B正确.11.B 解析：当一个直角三角形的两直角边长为6;8;且另一个与它相似的直角三角形的两直角边长为3;4时;x的值为5;当一个直角三角形的一直角边长为6;斜边长为8;另一直角边长为27;且另一个与它相似的直角三角形的一直角边长为3;斜边长为4时;x的值为7.故x的值可以为5或7.（其他情况均不成立）12. C 解析：因为选项A;B中;阴影三角形与原三角形有一个公共角且有一个角与原三角形的一个角相等;所以阴影三角形与原三角形相似;选项D中;阴影三角形与原三角形的两边对应成比例且对应边的夹角相等;所以阴影三角形与原三角形相似;选项C中;虽然阴影三角形与原三角形的两边对应成比例;但对应边的夹角不相等;所以选项C 中的阴影三角形与原三角形不相似.故答案为C.13.4 解析：因为;所以设;所以所以14.64解析：根据三角形中位线定理;得A B=2M N=2×32=64（m）.15.解析：如图;∵D、E分别是边AB、AC的中点;∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥BC;DE=BC.∴△ADE∽△ABC.∴===.规律：相似三角形对应中线、对应角平分线、对应高的比等于相似比;相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方.16.解析：∵∥;∴△∽△;∴;即.又;;;∴17．解析：如图所示;作AM⊥EF;垂足为点M;则AM的长即为点A到EF的距离.作CN⊥AB;垂足为点N;则四边形ADCN是矩形;AD＝CN.∵∠CNB＝∠AMB;∠CBN＝∠ABM;∴△CNB∽△AMB;∴;∴;∴AM;∴点A到地面的距离＝AM＋44(cm).18．或解析：分两种情况：(1)如图1;当B ′M =1时;B ′N =2;由折叠知AB ′=AB =3;BE =B ′E ;∠ABE =∠AB ′E =90°;易证△AB ′M ∽△B ′EN ;∴ =.在Rt △AB ′M 中;由勾股定理求得AM =2;即=;∴ B ′E =BE =.(2)如图2;当B ′M =2时;B ′N =1;由折叠知AB ′=AB =3;BE =B ′E ;∠ABE =∠AB ′E =90°;易证△AB ′M ∽△B ′EN ;∴ =.在Rt △AB ′M 中;由勾股定理求得AM =;即=;∴ B ′E =BE =.综上所述;BE 的长为或.图1 图2点拨：涉及折叠的问题;通常根据其性质找到全等的图形;进而得到相等的角和相等的线段.求线段的长度一般通过寻找相似三角形;根据相似三角形的对应边成比例;建立关于某个未知数的等式来求解.19.分析:列比例式时;单位一定要统一;做题时要看仔细. 解：∵ 6 cm; ;;∴ =a c b d;即;解得.20. (1) 证明：因为∠AED =∠B ;∠DAE =∠CAB ;所以∠ADF =∠C . 又因为=;所以△ADF ∽△ACG . (2) 解：因为△ADF ∽△ACG ;所以=. 又因为=;所以=;所以=1.解析：(1)由已知△ADF 与△ACG 有两组边对应成比例;要证两三角形相似;只需再证明∠ADF =∠C ;这可以由∠AED =∠B ;∠DAE =∠CAB 证得;(2)根据(1)中△ADF ∽△ACG 列出比例式=;进而求得的值.21.分析：要判定两个多边形相似;必须对应角相等;对应边成比例;因矩形的四个角都直角;符合对应角相等;只要证明对应边成比例即可.解：因为两个图形都是矩形;显然它们的四个角都分别相等.从图中数据观察可知小矩形的长为20;宽为10; 于是两个矩形的长之比为4020=21;宽之比为212010=; 符合对应边成比例;对应角相等;故这两个矩形是相似的.22. 证明：（1）∵ OB =OE ;∴ ∠OEB =∠OBE .∵ 四边形ABCD 是平行四边形;∴ OB =OD .∴ OD =OE ;∴ ∠OED =∠ODE . 在△BED 中;∠OEB +∠OBE +∠ODE +∠OED =180°; ∴ 2（∠OEB +∠OED ）=180°;∴ ∠OEB +∠OED =90°;即∠BED =90°;∴ DE ⊥BE . （2）如图;设OE 交CD 于点H .∵ OE ⊥CD 于点H ;∴ ∠CHE =90°;∴ ∠CEH +∠HCE =90°. ∵ ∠CED =90°;∴∠CDE +∠DCE =90°.∴ ∠CDE =∠CEH . ∵ ∠OEB =∠OBE ;∴ ∠OBE =∠CDE .在△CED 与△DEB 中;,,CED DEB CDE DBE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴ △CED ∽△DEB ; ∴CE CDDE DB=;∴ BD ·CE ＝CD ·DE 23. 解：(1)∵ AD =BC =;∴==.∵AC =1; ∴CD =1-=;∴=AC ·CD . (2)∵=AC ·CD ; ∴=AC ·CD ;即=.又∠C =∠C ;∴△ABC ∽△BDC .∴=.又AB =AC ;∴ BD =BC =AD .∴∠A ＝∠ABD ;∠ABC =∠C =∠BDC .设∠A ＝∠ABD ＝x ;则∠BDC =∠A +∠ABD ＝2x ; ∴∠ABC =∠C =∠BDC =2x ;∴∠A +∠ABC +∠C =x +2x +2x =180°.解得x =36°. ∴∠ABD =36°.解析：(1)分别求出与AC·CD的值;然后进行比较;得出它们之间的关系;(2)由(1)中=AC·AD;AD=BC;先证明△ABC∽△BDC;可得=.又AB=AC;从而有BD=BC=AD;设∠A=∠ABD=x;则∠ABC=∠C=∠BDC=2x;根据△ABC的内角和等于180°列方程求出∠ABD的度数.24.（1）证明：∵∠A＝40°;∠B=60°;∴∠ACB=80°;∴△ABC不是等腰三角形.∵CD平分∠ACB;∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°;∴∠ACD=∠A=40°;∴△ACD为等腰三角形.∵∠DCB=∠A=40°;∠CBD=∠ABC;∴△BCD∽△BAC.∴CD是△ABC的完美分割线.(2)解：当AD=CD时(如图①);∠ACD=∠A=48°.∵△BDC∽△BCA;∴∠BCD=∠A=48°;∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.当AD=AC时(如图②);∠ACD=∠ADC=＝66°.∵△BDC∽△BCA;∴∠BCD=∠A=48°;∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.当AC=CD时(如图③);∠ADC=∠A=48°.∵△BDC∽△BCA;∴∠BCD=∠A=48°.∵∠ADC＞∠BCD;矛盾;舍去.∴∠ACB=96°或114°.①②③(3)解：由已知AC=AD=2.∵△BCD∽△BAC;∴=.设BD=x;∴;解得x=－1±.∵x＞0;∴x=－1.∵△BCD∽△BAC;∴==;∴CD=×2=(－1)=.解析：(1)利用三角形内角和求得∠ACB=80°;得△ACB不是等腰三角形.利用角平分线的定义;得∠ACD=∠BCD=40°;从而证明△ACD为等腰三角形;△BCD∽△BAC;故CD是△ABC的完美分割线.(2)若△ACD是等腰三角形;则应分三种情况讨论：①AD=CD;②AD=AC;③AC=CD.①AD=CD与AD=AC时;求得∠ACD的度数;利用相似求得∠BCD的度数;进而求得∠ACB的度数;②AC=CD时;求得∠ADC的度数;利用相似求得∠BCD的度数;进而得矛盾结论;假设不成立.(3)根据条件得AC=AD=2;利用△BCD∽△BAC;得==;从而得=BD·BA;设BD=x;表示出BA;建立方程求得BD;再根据=求出CD的长.25.解：由题意;知∠BAD=∠BCE.∵∠ABD=∠CBE=90°;∴△BAD∽△BCE.∴BD AB BE BC=;∴1.79.6 1.2BD=.∴BD=13.6.∴河宽BD是13.6米.。

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（时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题3分，共36分)1。

下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形;⑥两个正五边形。

其中一定相似的有（）A.2组B.3组C.4组D。

5组2。

如图，在正方形网格上有6个斜三角形:①△ABC，②△BCD，③△BDE,④△BFG，•⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是（）A。

②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D。

②③⑥3.应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问,先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m2，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于（）A。

一个篮球场的面积B。

一张乒乓球台台面的面积C。

《陕西日报》的一个版面的面积 D.《数学》课本封面的面积4。

如图,小明设计两个直角,来测量河宽BC，他量得AB=2米,BD=3米，CE=9米，•则河宽BC为( ）A。

5米 B.4米 C.6米 D。

8米5。

如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则的值等于( )A. B. C.1 D。

6。

如果整张报纸与半张报纸相似,则此报纸的长与宽的比是（ )A。

图形的相似测试时间：60 总分：100一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1.下列四组图形中，一定相似的图形是()A. 各有一个角是30∘的两个等腰三角形B. 有两边之比都等于2：3的两个三角形C. 各有一个角是120∘的两个等腰三角形D. 各有一个角是直角的两个三角形2.下列说法正确的是()A. 矩形都是相似图形B. 各角对应相等的两个五边形相似C. 等边三角形都是相似三角形D. 各边对应成比例的两个六边形相似3.下列结论中，错误的有：()①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形；⑤所有的矩形不一定相似．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.下列图形一定是相似图形的是()A. 任意两个菱形B. 任意两个正三角形C. 两个等腰三角形D. 两个矩形5.在下面的图形中，相似的一组是()A. B.C. D.6.如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.下列图形一定相似的是()A. 两个矩形B. 两个等腰梯形C. 对应边成比例的两个四边形D. 有一个内角相等的菱形8.在下列命题中，正确的是()A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B. 有一个角是70∘两个等腰三角形一定相似C. 两个直角三角形一定相似D. 有一个角是60∘的两个菱形一定相似9.用放大镜将图形放大，应该属于()A. 平移变换B. 相似变换C. 对称变换D. 旋转变换二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）10.若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的______倍.11.如图，△DEF的边长分别为1，√3，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角=k，那么形组成，选择格点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF.如果相似比ABDE k的值可以是______ ．12.如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形.请在如图所示的网格中(网格的边长为1)中，用直尺作出这个大正方形．13.利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是______ ．14.如图，______ 与______ 相似．15.如图，请在方格图中画出一个与△ABC相似且相似比不为1的△DEF(D、E、F必须在方格图的交叉点)．16.已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A(0,2)、B(3,3)、C(2,1).以B为位似中心，画出与△ABC相似(与图形同向)，且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是______17.如图中的等腰梯形(ABCD)是公园中儿童游乐场的示意图.为满足市民的需求，计划扩建该游乐场.要求新游乐场以MN为对称轴，且新游乐场与原游乐场相似，相似比为2：1.又新游乐场的一条边在直线BC上，请你在图中画出新游乐场的示意图．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）18.如图，在坐标系的第一象限建立网格，网格中的每个小正方形边长都为1，格点△ABC的顶点坐标分别为A(2,4)、B(0,2)、C(4,4)．(1)若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为______ ．(2)以点D为顶点，在网格中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为1：2.(画出符合要求的一个三角形即可)19.已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)在原图上作DE//AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．20.如图，已知△ABC，∠BAC=90∘，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形(保留作图痕迹，不写作法)21.已知：如图，在菱形ABCD中AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=1，2求(1)边AB的长；(2)cos∠BAE的值．22.如图，已知△ABC，∠BAC=90∘，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形(保留作图痕迹，不写作法)答案和解析【答案】1. C2. C3. B4. B5. C6. C7. D8. D9. B10. 511. 2，2√3，412. 解：如图所示：所画正方形即为所求．13. 1：414. (1)；(4)15. 解：所画图形如下：△DEF就是所求的相似三角形．16. (−6,0)、(3,3)、(0,−3)17. 解：如图所示：18. (3,1)19. (1)证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∴ABBC =24=12，BD AB =12，∴ABBC =BDAB，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；(2)解：∵DE//AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5．20. 解：如图，AD 为所作．21. 解：(1)连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO =12BD =4， ∵Rt △BOC 中，tan∠CBD =OC OB =12，∴OC =2，∴AB =BC =√BO 2+CO 2=√42+22=2√5；(2)∵AE ⊥BC ，∴S 菱形ABCD =BC ⋅AE =12BD ⋅AC ，∵AC =2OC =4，∴2√5AE =12×8×4，∴AE =8√55， ∴BE =√AB 2−AE 2=√(2√5)2−(8√55)2=6√55， ∴cos∠ABE =BE AB =6√552√5=35．22. 解：如图所示：AD 即为所求．【解析】1. 解：A 、各有一顶角或底角是30∘的两个等腰三角形相似，故错误，不符合题意；B 、有两边之比为2：3的两个三角形不一定相似，故错误，不符合题意；C 、各有一个角是120∘的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；D 、两个直角三角形不一定相似，故错误，不符合题意；故选C ．利用相似图形的定义逐一判断后即可确定正确的选项．本题考查了相似图形的知识，能够了解相似图形的定义是解答本题的关键，难度不大． 2. 解：A.矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；B.各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；C . 等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确； D.各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项错误；故选：C ．根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边与角两个方面考虑解答．3. 解：①：菱形的两组对角不一定分别对应相等，故所有的菱形不一定都相似；即：选项①错误．②：放大镜下的图形与原图形只是大小不相等，但形状相同，所以它们一定相似；即：选项②错误．③：等边三角形的三个内角相等，三条边都相等，故所有的等边三角形都相似；即：选项③正确④：有一个角为110度的两个等腰三角形一定相似.因为它们的顶角均为110∘，两锐角均为35∘，根据“两内角对应相等的两个三角形相似”即可判定.故：选项④正确．⑤：只有长与宽对应成比例的两个矩形相似，故选项⑤正确故：选B利用相似的定义逐一的对五个选项进行判定．本题考查了相似图形的判定，解题的关键是要掌握相似图形的概念与判定方法．4. 解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．故选：B．根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．5. 解：A、六边形与五边形不可能是相似图形，故本选项错误；B、两图形不是相似图形，故本选项错误；C、∵90∘−40∘=50∘，∴两三角形相似，故本选项正确；D、直角梯形与等腰梯形不是相似图形，故本选项错误．故选C．根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了相似图形的判定，是基础题，准确识图是解题的关键．6. 解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件．故选C．根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．7. 解：A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；B、两个等腰梯形不一定相似，故错误；C、对应边成比例且对应角相等的两个四边形是全等形，故错误；D、有一个内角相等的菱形是相似图形，故正确，故选D．根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．8. 解：A、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以A选项错误；B、有一个角是70∘两个等腰三角形不一定相似，所以B选项错误；C、两个直角三角形不一定相似，所以C选项错误；D、有一个角是60∘的两个菱形一定相似，所以D选项正确．故选：D．根据四边形相似要有对应角相等，对应边的比相等可对A、D进行判断；根据70∘的角可能为顶角，也可能为底角可以对B进行判断；根据三角形判定方法对C进行判断．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．9. 解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．10. 解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，∴扩大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的周长的比等于相似比，∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，故答案为：5．由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．11.解：∵△DEF的边长分别为1，√3，2∴△DEF为直角三角形，∠F=30∘，∠D=60∘，根据等边三角形的三线合一，可作三边比为1：(√3+√3)：2的三角形，=k，k可取2，2√3，4．故相似比ABDE故答案为：2，2√3，4．根据题意可得：在正六边形网格找与△DEF相似的三角形；即找三边的比值为1：√3：2的直角三角形；分析图形可得：共三种情况得出答案即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合各边长得出符合题意的图形是解题关键．12. 直接根据阴影部分面积得出正方形边长，进而得出答案．此题主要考查了应用设计与作图，正确得出正方形边长是解题关键．13. 解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的面积比为5：20=1：4，故答案为：1：4．根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，关键是根据等边三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答．14. 解：利用相似图形对应角相等，对应边成比例，只有(1)，(4)图形全等，符合题意．故答案为：(1)，(4)．根据相似图形的定义直接判断得出即可．本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．15. 利用勾股定理计算出三角形的三边长，再让它的各边都乘以2，得到新三角形的三边长，从网格中画出即可．本题主要考查了作图中的相似变换问题，难度不大，注意看清题意是关键．16. 解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：(−6,0)、(3,3)、(0,−3)．故答案为：(−6,0)、(3,3)、(0,−3)．根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变(大小可变)即可得出答案．本题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大(或缩小)相同的倍数．17. 先作轴对称图形，再把它利用位似变换放大为相似比为2：1的等腰梯形．考查了作图−相似变换，作位似变换的图形的依据是相似的性质.画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．18. 解：(1)如图，点P即为所求，其坐标为(3,1)，故答案为：(3,1)；(2)如图，△DEF即为所求三角形．(1)分别作AC、AB的中垂线，两直线的交点即为所求点P；(2)根据相似比为1：2可得DE=√2，DF=1，EF=√5，据此可得．本题主要考查三角形的外心和相似图形，熟练掌握三角形的外心到三顶点的距离相等及相似三角形的性质是解题的关键．19. (1)在△ABD与△CBA中，有∠B=∠B，根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可；(2)由(1)知△ABD∽△CBA，又DE//AB，易证△CDE∽△CBA，则：△ABD∽△CDE，然后根据相似三角形的对应边成比例得出DE的长．本题主要考查了相似三角形的判定及性质.平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．20. 过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD 与△CAD相似．本题考查了作图−相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似．21. (1)首先连接AC，AC与BD相交于点O，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，BO=12BD=4，又由tan∠CBD=12，可求得OC的长，然后由勾股定理求得边AB的长；(2)由AE⊥BC，利用S菱形ABCD =BC⋅AE=12BD⋅AC，即可求得AE的长，在Rt△ABE中可求得BE，则可求得∠ABE的余弦值．本题主要考查菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法、数形结合思想的应用．22. 直接利用直角三角形的性质过点A作AD⊥BC，即可得出答案．此题主要考查了相似变换，正确应用直角三角形的性质是解题关键．。

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图形的相似单元测试题班级 姓名 学号一、填空题（每小题3分,共24分）1。

如果四条线段m ， n, x ， y 成比例，若m=2 ， n=8 , y=20 。

则线段x 的长是__________.2.边长为12cm 的等边三角形按2：1的比例缩小后的三角形是边长为________的_______三角形。

3.已知△ABC ∽△DEF, AB ＝6 ， DE ＝8 ， 则:ABC DEF S S ∆∆＝________.4。

已知三个数2,2,请你再添一个数，写出一个比例式________。

5。

点P 是△ABC 中AB 边上的一点,过点P 作直线 （不与直线AB 重合)截△ABC,使截得三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线最多________条。

6.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台上的黄金分割点处最自然得体,若舞台AB 长为20cm,试计算主持人应走到离A 点至少____________________m 处。

（结果精确到0。

1m)7.一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米.则这个建筑的高度是_________。

8。

如图,若DE ∥BC ，FD ∥AB ，AD ∶AC ＝2∶3 ，AB ＝9，BC ＝6,则四边形BEDF 的周长为________.二、选择题（每小题4分,共40分）1.若果mn ab =，则下列比例式中不正确的是( ) A.a n m b = B.a m n b = C.m n a b = D.m b a n= 2.已知：如图2,在△ABC 中,∠ADE=∠C ，则下列等式成立的是（ )A 。