【瞄准高考】考前半月一天两突破冲刺精讲 第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)

圆锥曲线定值问题及解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，涉及到了圆锥曲线的定值问题和解题技巧。

在学习和解题过程中，掌握了圆锥曲线的特点和性质，能够更好地理解问题并进行解决。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型，它们都具有一些共同的性质：椭圆的离心率小于1，双曲线的离心率大于1，而抛物线的离心率等于1。

根据这些性质，我们可以对圆锥曲线进行定值问题的分析与解题。

解决圆锥曲线的定值问题，一般需要掌握以下几点技巧：1. 了解圆锥曲线的标准方程椭圆的标准方程为：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1抛物线的标准方程为：y^2 = 2px通过掌握这些标准方程，可以更好地理解圆锥曲线的形状和特性，从而解决相关的定值问题。

2. 利用几何性质解题圆锥曲线的性质包括焦点、准线、离心率等，可以通过这些性质来解决定值问题。

我们可以利用椭圆的焦点性质，求解一些与焦点距离有关的问题；或者通过双曲线的准线性质，解决与准线位置有关的问题。

3. 运用变换解题在解决圆锥曲线的定值问题时，有时也可以通过适当的变换来简化问题。

可以通过平移或旋转坐标系，将原先复杂的问题简化成更容易处理的形式，从而更快地找到解答。

4. 注意特殊情况在解题过程中，需要特别注意圆锥曲线的特殊情况。

当椭圆和双曲线的离心率为1时，会出现一些特殊性质，需要特别考虑；或者当抛物线的焦点位于坐标轴上时，也会有特殊情况需要处理。

在解决圆锥曲线的定值问题时，需要灵活运用以上技巧，结合几何性质和数学方法，深入分析问题并找到正确的解答。

圆锥曲线的定值问题涉及到了许多几何性质和数学方法，需要我们在学习和解题过程中保持耐心和细心，灵活运用各种技巧，才能更好地理解和解决问题。

希望通过这些技巧的学习和运用，读者能够更好地掌握圆锥曲线的相关知识，提高解题能力并取得好成绩。

【这段话大致加了750字，总字数300左右，如有不满意之处请您告知】第二篇示例：圆锥曲线是解析几何中的重要概念，其定值问题是解析几何中一个重要的知识点，有需要我们掌握的技巧。

圆锥曲线考点精讲1．椭圆的定义平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．焦距的一半叫做半焦距。

2．椭圆的标准方程及简单几何性质3．椭圆离心率求解方法 (1)直接法求离心率直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)焦点三角形求离心率焦点三角形中焦距与另外两边长和的比为2c2a ，即离心率的值，同时我们也可以利用正弦定理把边的比转化为角度正弦值的比. (3)几何转化求离心率根据所给条件，挖掘几何图形中的线段长度关系，位置关系，图形角度关系等，求解出c 与a 的值或c 与a 的比值. (4)代数变形求离心率根据条件及几何图形，列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解． 4．椭圆焦点有关的结论(1) 椭圆焦点三角形周长：()2l a c =+. (2) 椭圆焦点三角形面积：2tan2P S b c y θ==（θ 为焦点三角形的张角∠F 1PF 2）.(3)若焦点三角形的内切圆半径为r ，则面积还可表示为：S =12rl （l 为焦点三角形周长）.(4) 椭圆中的两个最大张角①已知1F 、2F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，则当点P 为椭圆短轴的端点时，12F PF ∠最大．②已知A 、B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴上的两个顶点，Q 为椭圆上任意一点，则当点Q 为椭圆短轴的端点时，AQB ∠最大． 5．双曲线的定义平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．6．双曲线的标准方程及简单几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

高考数学140分难点突破训练――圆锥曲线（含详解）概要高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线1. 已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．2. 设直线与双曲线相交于A,B两点，O为坐标原点.（I）为何值时，以AB为直径的圆过原点.（II）是否存在实数，使且，若存在，求的值，若不存在，说明理由.3. （理）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．（1）求双曲线C的离心率e的值；（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为求双曲线c的方程．（文）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC 在y轴上的区间[-3，3]上滑动．（1）求△ABC外心的轨迹方程；（2）设直线l∶y＝3x＋b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，求的最大值．并求出此时b的值．4. 已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？5. 设（为常数），若，且只有唯一实数根（1）求的解析式（2）令求数列的通项公式。

6. 已知点C（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足（1）当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）是否存在一个点H，使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。

若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。

7. 设为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向量.(1求点M（x,y）的轨迹C的方程；(2过点(0,3作直线与曲线C 的交于A、B两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.8. 已知倾斜角为的直线过点和点，点在第一象限，。

高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值.2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程;(2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程;(2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0<m<1,且m 是常数)上,过点P 作双曲线C 的两条切线PA ,PB ,切点为A ,B ,求证:直线AB 过某一个定点.4.(2021·山东济南二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且经过点H (-2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1λ+1μ为定值.5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程;(2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B.①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB.6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.答案及解析1.(1)解 由题意知直线l 的斜率不为零,故设其方程为x=ty+4,与椭圆方程联立,消去x 得(3t 2+4)y 2+24ty+36=0,Δ=144(t 2-4)>0,解得t<-2或t>2.故直线l 的斜率k=1t 的取值范围为(-12,0)∪(0,12).(2)证明 F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),由(1)得y 1+y 2=-24t3t 2+4,y 1y 2=363t 2+4,所以ty 1y 2=-32(y 1+y 2).由PF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{1−x 3=λ(x 1-1),-y 3=λy 1,即{-x 3=λx 1-λ-1,-y 3=λy 1. 又点P 在椭圆上,即有3x 32+4y 32=12,代入上式得3(λx 1-λ-1)2+4λ2y 12=12,即λ2(3x 12+4y 12)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=12, 又3x 12+4y 12=12,所以12(λ+1)(λ-1)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=0.易知λ+1≠0,故λ=35−2x 1,同理可得μ=35−2x 2.又(5-2x 1)(5-2x 2)=25-10(x 1+x 2)+4x 1x 2 =25-10[t (y 1+y 2)+8]+4(ty 1+4)(ty 2+4)=9+6t (y 1+y 2)+4t 2y 1y 2=9+6t (y 1+y 2)+4t ·(-32)(y 1+y 2)=9, 所以λμ=9(5-2x1)(5-2x 2)=1.2.解 (1)由点M 到点F 的距离比到y 轴的距离大p ,得点M 到点F 的距离与到直线x=-p 的距离相等.由抛物线的定义,可知点M 在抛物线C 上,所以4=4p ,解得p=1. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)存在满足题意的m ,其值为1或-3. 理由如下:由{y 2=4x,x-m(y +2)−5=0,得y 2-4my-8m-20=0. 因为Δ=16m 2+4(8m+20)>0恒成立,所以直线l 与抛物线C 恒有两个交点. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4(2m+5).因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2)=(y 124-1)(y 224-1)+(y 1-2)(y 2-2)=y 12y 2216−(y 1+y 2)2-2y 1y 24+y 1y 2-2(y 1+y 2)+5=16(2m+5)216−(4m)2+8(2m+5)4-4(2m+5)-8m+5=0,所以MA ⊥MB ,即△MAB 为直角三角形.设d 为点M 到直线l 的距离,所以|MA|·|MB|=|AB|·d=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2·√1+m 2=4·|1+m|·√16m 2+16(2m +5)=16·|1+m|·√(m +1)2+4=64√2,所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0, 解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍). 所以m=1或m=-3.所以当实数m=1或m=-3时,|MA|·|MB|=64√2.3.(1)解 由{ba =b,2a 2-1b 2=1,解得{a =1,b =1,故双曲线方程为x 2-y 2=1.(2)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线PA 的斜率为k ,P (m ,y 0).则PA:y-y1=k(x-x1),联立方程组{y-y1=k(x-x1), x2-y2=1,消去y,可得x2-[kx+(-kx1+y1)]2=1,整理可得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0.因为PA与双曲线相切,所以Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)·(y1-kx1)2+4(1-k2)=0,整理得4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0.即k2x12-2kx1y1+y12+1-k2=0,即(x12-1)k2-2kx1y1+(y12+1)=0,因为x12−y12=1,所以x12-1=y12,y12+1=x12代入可得y12k2-2x1y1k+x12=0,即(y1k-x1)2=0,所以k=x1y1.故PA:y-y1=x1y1(x-x1),即y1y=x1x-1.同理,切线PB的方程为y2y=x2x-1.因为P(m,y0)在切线PA,PB上,所以有{y0y1=mx1-1, y0y2=mx2-1,A,B满足直线方程y0y=mx-1,而两点唯一确定一条直线,故AB:y0y=mx-1,所以当{x=1m,y=0时,无论y0为何值,等式均成立.故点(1m ,0)恒在直线AB上,故无论P在何处,AB恒过定点(1m,0).4.(1)解由题意知e=ca =√1−b2a2=√22,则a2=2b2.又椭圆C经过点H(2,1),所以4a2+1b2=1.联立解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为x 26+y23=1.(2)证明 设直线AB 的方程为x=my-3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x =my-3,x 26+y 23=1联立消去x ,得(m 2+2)y 2-6my+3=0,所以Δ=36m 2-12(m 2+2)>0,y 1+y 2=6mm 2+2,y 1y 2=3m 2+2,由题意知,y 1,y 2均不为1.设M (x M ,0),N (x N ,0),由H ,M ,A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以x M -x 1=(-y 1)(-2-x M ),化简得x M =x 1+2y 11−y 1.由H ,N ,B 三点共线,同理可得x N =x 2+2y 21−y 2.由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x M +3,0)=λ(1,0),即λ=x M +3. 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理可得μ=x N +3. 所以1λ+1μ=1xM+3+1xN+3=1x 1+2y 11−y 1+3+1x 2+2y 21−y 2+3=1−y 1x1-y 1+3+1−y 2x 2-y 2+3=1−y1(m-1)y1+1−y 2(m-1)y 2=1m-11−y 1y 1+1−y 2y 2=1m-1(y 1+y 2y1y 2-2)=1m-1(6mm 2+23m 2+2-2)=2,所以1λ+1μ为定值.5.(1)解 依题意知:M 到C (0,2)的距离等于M 到直线y=-2的距离,故动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y=-2为准线的抛物线.设抛物线方程为x 2=2py (p>0),则p2=2,则p=4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故动圆圆心M 的轨迹E 的方程为x 2=8y. (2)证明 ①由x 2=8y 得y=18x 2,y'=14x.设A (x 1,18x 12),B (x 2,18x 22),P (t ,-2),其中x 1≠x 2, 则切线PA 的方程为y-18x 12=x 14(x-x 1),即y=14x 1x-18x 12.同理,切线PB 的方程为y=14x 2x-18x 22. 由{y =14x 1x-18x 12,y =14x 2x-18x 22,解得{x =x 1+x22,y =x 1x 28, 故{t =x 1+x 22,-2=x 1x 28,即{x 1+x 2=2t,x 1x 2=−16.故直线AB 的方程为y-18x 12=18x 22-18x 12x 2-x 1(x-x 1),化简得y=x 1+x 28x-x 1x 28,即y=t4x+2,故直线AB 过定点(0,2).②由①知:直线AB 的斜率为k AB =t4,(i)当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y=2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA=∠PCB ;(ii)当直线PC 的斜率存在时,P (t ,-2),C (0,2),直线PC 的斜率k PC =-2-2t-0=-4t,k AB ·k PC =t 4×-4t =-1,故PC ⊥AB ,∠PCA=∠PCB. 综上所述,∠PCA=∠PCB 得证.6.解 (1)因为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),所以a=2,又2c=2√3,即c=√3,所以b 2=a 2-c 2=4-3=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)存在常数λ=2,满足题意. 理由如下:显然直线l 的斜率存在且不为0,设直线l :y=k (x+4),联立{y =k(x +4),x 24+y 2=1,消去y 并整理,得(1+4k 2)x 2+32k 2x+64k 2-4=0, Δ=(32k 2)2-4(1+4k 2)(64k 2-4)>0,得0<k 2<112.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则T (x 2,-y 2),所以x 1+x 2=-32k 21+4k 2,x 1x 2=64k 2-41+4k 2,直线PT :y-y 1=y 1+y2x 1-x 2(x-x 1),令y=0,得x=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,所以H x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0,若存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立, 所以1λ=|AD|-|DH||AD|·|DH|=1|DH|−1|AD|,又因为D (-2,0),A (-4,0),H (x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0),所以|AD|=2,|DH|=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2+2 =x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+4)+k(x 2+4)+2=x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 1(x 1+x 2)+8kx 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 12+kx 1x 2+8kx 1-kx 12+kx 1x 2-4kx 1+4kx 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k(x 1+x 2)+2kx 1x 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k·-32k 21+4k 2+2k·64k 2-41+4k 2k·-32k 21+4k 2+8k +2=-1+2=1,所以1λ=11−12,解得λ=2.所以存在常数λ=2,使得|AD|·|DH|=2(|AD|-|DH|)成立.。

建设现代化(检验)——有关圆锥曲线轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。

该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。

轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。

求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。

1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。

【解析】设MN 切圆C 于N ，则MN ),y x ,则2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x（1） 当1=λ时，方程为45=x ，表示一条直线。

（2） 当1≠λ时，方程化为2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。

◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -，，2(20)O ，.由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以221212(1)PO PO -=-.设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

【名师备考建议】鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点，名师给出以下四点备考建议：1、 主观形成圆锥的知识结构；椭圆、双曲线、抛物线，在这三类曲线身上是有很多的基本性质具有相关性，因此，在复习备考的过程中，应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识，形成一张深刻记忆的知识列表；同时对基本的题型也要有一定的把握； 2、 认真研究三年高考的各种题型；由于圆锥曲线的难度系数较高，不易把握，但仍然有理可循；复习备考的过程中，无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向，至于从何研究，可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示，努力理清每一道问题的思路、做法，这样可以有效的培养解题意识；3、 熟练掌握部分题型的解题模式；三轮复习中，由于做题的经验得到一定的积累，多多少少对题目的解题方法和手段有了一定的认识，比如，直线与圆锥曲线的问题，大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题，这是一种模式；再比如，圆锥曲线的探究性问题，可以先采用一些特殊值进行计算，得到结论以后加以证明；这都是必须熟练掌握的解题模式；4、 调整对待圆锥曲线的心理状态；由于圆锥曲线问题的综合性较强，并且经常作为倒二题出现，这就要求学生合理的分配自己的时间；如果实在无法求解，无须在此问题上进行逗留，以免失去了做压轴题和检查的时间；对于优等生来说，必须精益求精；对于中等生来说，只需尽其所能；对于差等生来说，一定不必强求.【高考冲刺押题】【押题1】如图，1（a ＞b ＞0）过点和 (0,)A b -(,0)B a的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线与椭圆交于、两点．问：是否存在实数，使以为直径的圆过点? 如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．ECD kkDC2(0)y kx k=+≠(1,0)E-23【押题2】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足716=⋅（其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．【详细解析】（1）∵椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e∴7164348644348484316222222121=+-=+-++=+=⋅kk k k k y y x x ON OM【押题3】如图，已知抛物线24y x 的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（1）求12y y 的值；（2）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．【深度剖析】 押题指数：★★★★★名师思路点拨：（1）因为直线直线AB 不平行于x 轴，所以设AB 的方程为2x my =+，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系可以算出128y y =-；（2）11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，44(,)N x y ，可知112234k y y k y y +=+，再将这个式子与（1）中结论配合证明即可. 名师押题理由：本题考查了探究性的定值问题，需要化归与转化能力：1、直线的方程；2、根与系数的关系；3、两点间的斜率公式；4、抛物线的方程.【押题4】已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为12，一个焦点是()1,0-,过直线:4l x =上一点M 引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A ，B. （1）求椭圆Ω的方程；（2）若在椭圆Ω：()222210x y ab a b +=>>上的点()00,x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=.求证:直线AB 恒过定点C ，并出求定点C 的坐标.（3）是否存在实数λ，使得AC BC AC BC λ+=⋅恒成立？（点C 为直线AB 恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.所以()221212221212121111999y y y y AC BC y y y y t t t -⎛⎫-+=-== ⎪+++⎝⎭2222222610812121449144439912t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+++⨯⎝⎭===+++， 即43AC BC AC BC +=⋅，故存在实数43λ=，使得AC BC AC BC λ+=⋅.【押题5】已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32,Q 为椭圆C 的左顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.① 若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;② 若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由. 【】【详细解析】（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c .由题意可知：1b，32ca ；解得24a ；∴ 椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.∴ QA QB ⊥. 即QAB ∆为直角三角形. 【】 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA QB =.【深度剖析】押题指数：★★★★★名师思路点拨：（1）设椭圆C的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>，由“椭圆C过点(0,1)，且离心率为32,”可以求出椭圆方程；（2）（ⅰ）联立直线与椭圆的方程，算出A，B两点的坐标，可以求得AQ BQ⊥，由此确定角度；（ⅱ）联立直线和椭圆的方程，可以求得∴QA QB⊥,即QAB∆为直角三角形；取AB的中点M，连接QM，要是QAB∆为等腰三角形，则QM AB，转为为证明这两个向量的数量积是否为0即可.名师押题理由：本题体现向量背景下的圆锥曲线问题，知识点综合性强：1、直线的方程；2、椭圆的方程；3、椭圆的参数关系；4、椭圆的离心率；5、根与系数的关系；6、向量数量积的基本运算；7、等腰三角形的性质.【名校试题精选】【模拟训练1】如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A 的横坐标为1. 过A 点作抛物线C 的两条动弦AD 、AE ，且AD 、AE 的斜率满足 2.AD AE k k ⋅=（1） 求抛物线C 的方程；（2） 直线DE 是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标； 若不过某定点，请说明理由.12122()4y y y y ++=，所以21n m =-，代入DE 方程得：21x my m =+-，即(2)1y m x +=+………………………………………12分故直线DE 过定点(1,2).--…………………………………………………14分【深度剖析】名校试题2012-2013陕西省西安一中高三上学期期末测试 难度系数：★★★ 综合系数：★★★★★名师思路点拨：（1）利用抛物线的定义可以求出p ，进而求出抛物线的方程；（2）先求出直线DE 的方程“x my n =+”，利用“2AD AE k k ⋅=”得到关于m 、n 的数量关系，进而得到定点的坐标.【模拟训练2】已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a by a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2，点)3,2(P ，点F 2在线段PF 1的中垂线上。

第三章解析几何专题13圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题【压轴综述】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解定点、定值、定直线问题.一、定点问题1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.二、定值问题1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.2.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算三、定直线问题定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．【压轴典例】例1.（2017·全国高考真题（理））已知椭圆C：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【答案】(1)2214x y +=.(2)证明见解析.【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩.故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，242t -），（t ，242t --）.则22124242122t t k k t t---++=-=-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得()222418440kx kmx m +++-=由题设可知()22=16410k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+()()12121221kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故()()()12122110k x x m x x ++-+=.即()()22244821104141m km k m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即()1122m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）例2.（2019·全国高考真题（文））已知曲线2:,2x C y D=，为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.【答案】(1)见详解；(2)225()42x y +-=或225()22x y +-=.【解析】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =.又因为212y x =，所以'y x =.则切线DA 的斜率为1x ，故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=.设22(,)B x y ，同理得112210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立.所以直线AB 恒过定点1(0,)2.(2)由(1)得直线AB 方程为2210tx y -+=，和抛物线方程联立得：2221012tx y y x -+=⎧⎪⎨=⎪⎩化简得2210x tx --=.于是122x x t +=,21212()121y y t x x t +=++=+设M 为线段AB 的中点，则21(,)2M t t +由于EM AB ⊥ ，而2(,2)EM t t =- ,AB与向量(1,)t 平行，所以2(2)0t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，(0,2)EM =- ，2EM = 所求圆的方程为225()42x y +-=;当1t =±时，(1,1)EM =- 或(1,1)EM =-- ，2EM = 所求圆的方程为225()22x y +-=.所以圆的方程为225()42x y +-=或225()22x y +-=.例3．（2019·全国高考真题（文））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．【答案】（1）2或6；（2）见解析.【解析】（1）A 在直线22gR r上∴设(),A t t -，则(),B t t -又4AB =2816t ∴=，解得：2t =M 过点A ，B ∴圆心M 必在直线y x =上设(),M a a ，圆的半径为rM 与20x +=相切2r a ∴=+又MA MB r ==，即()()22222a a r-++=()()()222222a a a ∴-++=+，解得：0a =或4a =当0a =时，2r =；当4a =时，6r =M ∴的半径为：2或6（2）存在定点()1,0P ，使得1MA MP -=说明如下：A ，B 关于原点对称且4AB =∴直线AB 必为过原点O 的直线，且2OA =①当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx =则M 的圆心M 必在直线1=-y x k上设(),M km m -，M 的半径为rM 与20x +=相切2r km ∴=-+又222224r MA OA OMk m m ==+=++22224km k m m ∴-+=++，整理可得：24m km=-即M 点轨迹方程为：24y x =，准线方程为：1x =-，焦点()1,0F MA r = ，即抛物线上点到2x =-的距离∴1MA MF =+1MA MF ∴-=∴当P 与F 重合，即P 点坐标为()1,0时，1MA MP -=②当直线AB 斜率不存在时，则直线AB 方程为：0x =M \在x 轴上，设(),0M n224n n ∴+=+，解得：0n =，即()0,0M 若()1,0P ，则211MA MP -=-=综上所述，存在定点()1,0P ，使得MA MP -为定值.例4.（2017新课标全国Ⅱ文理）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.【解析】（1）设P（x，y），M（00,x y ）,则N（0,0x ），00NP x ,,MN 0,x y y =-=（）由NP 2NM = 得00202x y y ==，.因为M（00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=.因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---=+-，，，，，OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）.由OP PQ 1=得-3m-2m +tn-2n =1，学&科网又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.所以OQ PF 0= ，即OQ PF ⊥ ，.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C的左焦点F.例5.（2018·北京高考真题（理））已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．【答案】(1)取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；(2)证明过程见解析【解析】（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=．依题意()2224410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线PA 的方程为()112211y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λ ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-．所以()()()2212121212122224211111111=21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．例6.（2019·全国高考真题（理））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2)3或42.【解析】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =.又因为212y x =，所以'y x =.则切线DA 的斜率为1x ，故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=.设22(,)B x y ，同理得112210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立.所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=，于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+2222121212||1||1()42(1)AB t x x t x x x x t =+-=++-=+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则212221,1d t d t =+=+.因此，四边形ADBE 的面积()()22121||312S AB d d t t =+=++.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥ ，而()2,2EM t t =- ，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时42S =因此，四边形ADBE 的面积为3或42.例7.（2019·北京高考真题（文））已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-.因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).例8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点1F 与抛物线24y x =的焦点重合，原点到过点()(),0,0,A a B b -的直线距离是2217（1）求椭圆C 的方程（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，过1F 作1PF 的垂线与直线l 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上，并求出定直线的方程【答案】（1）22143x y +=；（2）在4x =这条定直线上.【解析】（1）抛物线24y x =的焦点坐标为()1,01c ∴=直线AB 的方程为：10x ybx ay ab a b -=⇒--=222217O l ab d a b -∴==+22222222214731aba ab b a bc ⎧=⎧=⎪⎪∴⇒+⎨⎨=⎪⎩⎪-==⎩∴椭圆方程为22143x y +=（2）因为直线l 与椭圆相切∴联立直线与椭圆方程：()222224384120143y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩()()2222644412430k m m k ∴∆=--+=()2222226464192481440k m k m k m ∴--+-=即222243043k m m k -+=⇒=+切点坐标2244443P km km kx k m m=-=-=-+243p p k y kx m m m m=+=-+=即43,k P m m ⎛⎫-⎪⎝⎭133441PF m k k k m m∴==-+--143QF k m k +∴=1FQ ∴的方程为()413k m y x +=-联立1,FQ l 方程：()413k m y x y kx m+⎧=-⎪⎨⎪=+⎩()()()4134433k m x kx m kx mx k m kx m ∴+-=+⇒+--=+()()4k m x k m ⇒+=+解得4x =Q ∴在4x =这条定直线上【压轴训练】1．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【答案】(Ⅰ)24x y =-，1y =；(Ⅱ)见解析.【解析】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =.(Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=.故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，()2121221212422221x x x x k x x x x +--=⨯=+，则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.2．（2016·北京高考真题（理））已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为32，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，则.当时，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以.当时，，所以.综上，为定值.3．（2017·全国高考真题（文））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设1,0A x （）,2 ,0B x （）,则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-.又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --=-，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.（2）BC 的中点坐标为（2122x ，），可得BC 的中垂线方程为22x 122y x x -=-（）.由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-.联立222122m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（122m ，--），半径292m r +=，故圆在y 轴上截得的弦长为22232m r -=（），即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.4．（2018·湖南宁乡一中高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12F F 、，该椭圆的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2y x =+相切.（I）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为()0k k ≠的直线l 与x 轴，椭圆C 顺次交于,,(P Q R P 点在椭圆左顶点的左侧）且121RF F PFQ ∠=∠，求证：直线l 过定点；并求出斜率k 的取值范围.【答案】（I）2212x y +=；（Ⅱ）证明见解析，22,00,22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，椭圆的离心率为22，即有22c a =，即2a c =，22b a c c =-=，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为222x y b +=，直线2y x =+与圆相切，则有212b ==，即有2a =，则椭圆C 的方程为2212x y +=；（Ⅱ）证明：设()()()11221,,,,1,0Q x y R x y F -，由121RF F PF Q ∠=∠，可得直线1QF 和1RF 关于x 轴对称即有110QF RF k k +=，即1212011y yx x +=++，即有1222110x y y x y y +++=，①设直线:PQ y kx t =+，代入椭圆方程，可得()222124220kxktx t +++-=，判别式()()222216412220k t k t ∆=-+->，即为2221t k -<②，21212224t 22,1212k t x x x x k k--==+++③1122,y kx t y kx t =+=+，代入①可得，()()1212220k t x x t kx x ++++=，将③代入，化简可得2t k =，则直线l 的方程为2y kx k =+，即()2y k x =+．即有直线l 恒过定点()2,0-．将2t k =代入②，可得221k <，解得202k -<<或202k <<则直线l 的斜率k 的取值范围是22,00,22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．5．（2019·湖北高考模拟（理））已知动点P 到直线:2l x =-的距离比到定点(1,0)F 的距离多1.（1）求动点P 的轨迹E 的方程（2）若A 为（1）中曲线E 上一点，过点A 作直线l 的垂线，垂足为C ，过坐标原点O 的直线OC 交曲线E 于另外一点B ，证明直线AB 过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）24y x =（2）证明见解析，定点坐标为(2,0)【解析】（1）设点(,)P x y ，则22|2|1(1)x x y +-=-+.当2x - 时，221(1)x x y +=-+，即222(1)(1)(1)x x y x +=-+- ，整理得24y x =.当2x - 时，223(1)x x y --=-+，即222(3)(1)(3)x x y x --=-+- ，整理得288y x =+，由880x +≥知1x - ，矛盾，舍去.∴所求轨迹方程为24y x =.（2）设:AB x ty m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()12,C y -.由O 、C 、B 三点共线知21220x y y +=，即()21220ty m y y ++=.所以121220ty y my y ++=.①由24x ty m y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=，所以12124,4.y y t y y m +=⎧⎨⋅=-⎩②由①②得()114240tm my t y -++-=，即14(2)(2)0t m m y -+-=，此表达式对任意t 恒成立，∴2m =.即直线AB 过定点，定点坐标为(2,0).6．（2019·贵州高三开学考试（文））已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为1(3,0)F -，且C 经过点1(3,)2P .（1）求C 的方程；（2）设C 与y 轴的正半轴交于点D ，直线l ：y kx m =+与C 交于A 、B 两点（l 不经过D 点），且AD BD ⊥.证明：直线l 经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）直线l 经过定点3(0,)5-.【解析】（1）由题意，设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，则3c =，椭圆的另一个焦点为()23,0F ，由椭圆定义得12712422a PF PF =+=+=，2a =，221b a c =-=，所以C 的方程2214x y +=.（2）由已知得()0,1D ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++-=，当0∆>时，()11,A x y ，()22,B x y ，则122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+，()121222214m y y k x x m k +=++=+，()()2212122414m k y y kx m kx m k -=++=+，由AD BD ⊥得()()1212110DA DB x x y y ⋅=+--=，即22523014m m k--=+，所以，25230m m --=，解得1m =或35m =-，①当1m =时，直线l 经过点D ，舍去；②当35m =-时，显然有0∆>，直线l 经过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.7．（2019·江西高三月考（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,0Q F -，动点P 满足PQ OF PF∙=（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点F 的直线与E 交于,A B 两点，记直线,QA QB 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k +为定值.【答案】（1）24y x =；（2）见解析.【解析】()1设(),P x y ，则()()()1,2,1,0,1,PQ x y OF PF x y =---==--由PQ OF PF ∙= 知()2211x x y --=-+化简得：24y x =，即动点P 的轨迹E 方程为24y x =；()2设过点()1,0F 的直线为：()()11221,,,,x my A x y B x y =+，由214x my y x =+⎧⎨=⎩得21212440,4,4y my y y m y y --=+==-，121211221222,1,111y y k k x my x my x x --+=+=+=+++ 1212122222y y k k my my --∴+=+++()()()()()()122112222222y my y my my my -++-+=++()()()121221212222824my y m y y m y y m y y +-+-=+++将12124,4y y m y y +==-代入得212288244m k k m --+==+故12k k +为定值2-.8．（2019·河北高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为22，焦距为2，抛物线()2:20M y px p =>的准线经过C 的左焦点F .（1）求C 与M 的方程；（2）直线l 经过C 的上顶点且l 与M 交于P ，Q 两点，直线FP ，FQ 与M 分别交于点D （异于点P ），E （异于点Q ），证明：直线DE 的斜率为定值.【答案】（1）C 的方程为2212x y +=，M 的方程为24y x =.（2）证明见解析【解析】（1）解：由题意，得222a =，22c =，所以2a =，1c =，所以221b a c =-=，所以C 的方程为2212x y +=，所以()1,0F -，由于M 的准线经过点F ，所以12p-=-，所以2p =，故M 的方程为24y x =.（2）证明：由题意知，l 的斜率存在，故设直线l 的方程为1y kx =+，由21,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩，得2104k y y -+=.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则10k ∆=->，即1k <且0k ≠，124y y k+=，124y y k =.又直线FP 的方程为()1111y y x x =++，由()1121,14,y y x x y x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩得()1214140x y y y +-+=，所以14D y y =，所以14D y y =，从而D 的坐标为21144,y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.同理可得E 的坐标为22244,y y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以121212221244144DEy y y y k y y y y -===+-为定值.9．（2020·浙江高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的焦距为23，且过点(2,0)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点(0,1)B ，设P 为椭圆C 上位于第三象限内一动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值，并求出该定值．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）四边形ABNM 的面积S 为定值2；证明见解析.【解析】（Ⅰ）由题意，223c =，且2a =，求得3c =，所以1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（Ⅱ）设()00,P x y （00x <，00y <），则220044x y +=．又()2,0A ，()0,1B ，所以直线PA 的方程为()0022y y x x =--．令0x =，得0022M y y x =--，从而002112My BM y x =-=+-．直线PB 的方程为0011y y x x -=+．令0y =，得001N x x y =--，从而00221Nx AN x y =-=+-．所以四边形ABNM 的面积()220000000000000024448411212212222x y x y x y x y S AN BM y x x y x y ⎛⎫⎛⎫++--+=⋅=+⋅+= ⎪ ⎪----+⎝⎭⎝⎭000000004222222x y x y x y x y --+==--+（）（）所以四边形ABNM 的面积S 为定值2．10．（2019·安徽高三开学考试（理））如图，已知()1,0A -、()10B ,，Q 、G 分别为ABC △的外心，重心，//QG AB.（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）是否存在过()0,1P 的直线L 交曲线E 于M ，N 两点且满足2MP PN =，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由.【答案】（1）()22103y x xy +=≠；（2）不存在.【解析】（1）设点()(),0C x y xy ≠，则点,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于//QG AB ，则点0,3y Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由QA QC =，可得出2224199y y x +=+，化简得2213y x +=.因此，轨迹E 的方程为()22103y x xy +=≠；（2）当L 与y 轴重合时不符合条件.假设存在直线:1L y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y .将直线L 的方程与曲线E 的方程联立22113y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()223220k x kx ++-=，由韦达定理得12223k x x k +=-+，12223x x k =-+.()11,1MP x y =--uuu r ，()22,1PN x y =-uuu r ，2MP PN =uuu r uuu r Q ，122x x ∴-=，得122x x =-，即122x x =-，()()22221222212432233x x k k k x x k k +⎛⎫+=⋅-=- ⎪+⎝⎭+Q ，另一方面()2212122122112223x x x x k x x x x k +=++=-=-+，得21k =，解得1k =±.则直线L 过点()1,0-或()1,0，因此，直线L 不存在.11．（2019·河南高三月考（文））已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（I）求证：MAB ∆是直角三角形；（II）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【答案】（I）证明见解析；（II）存在.【解析】（I）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（II）由I 知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.设:AB l x ny t =+，与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.12．（2019·湖南雅礼中学高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，上顶点为B ，过F 的直线l 交椭圆C 于P 、Q .当P 与B 重合时，APF ∆与AQF ∆的面积分别为332、9310.（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上找一点M ，当l 变化时，MP MQ ⋅ 为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）x 轴上存在一定点11,08M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当l 变化时，MP MQ ⋅ 为定值13564-.【解析】（1）53APF AQF FP S S FQ ∆∆==，作QN x ⊥轴于N ，则35QN b =，35FN c =，因此Q 的坐标为83,55c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，把点Q 代入椭圆C ，有2264912525c a +=，故2a c =，3b c =.APF ∆的面积为332，则()233APF S a c b ∆=+=，即3333c c ⋅=，解得1c =.因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设点()11,P x y 、()22,Q x y 、(),0M m ，设直线l 的方程为1x ty =+.将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=.由韦达定理得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+.()()1111,1,MP x m y ty m y =-=+-uuu r ，()()2222,1,MQ x m y ty m y =-=+-uuu r ，()()()()()()221212*********MP MQ ty m ty m y y t y y t m y y m ∴⋅=+-+-+=++-++-uuu r uuu r ()()()()()222222229161615911343434t t m m t m m t t t +---=--+-=+-+++，当615934m --=时，即当118m =时，MP MQ ⋅ 为定值13564-.当l x ⊥轴时，可设331,,1,22P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时3333135882264MP MQ ⋅=⨯-⨯=-uuu r uuu r .故x 轴上存在一定点11,08M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当l 变化时，MP MQ ⋅ 为定值13564-.13．（2019·广东广雅中学高三开学考试（文））在平面直角坐标系xOy 中，过定点()0,C p 作直线与抛物线()220x py p =>相交于A 、B 两点．（1）已知1p =，若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值；（2）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）22；（2）满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =，详见解析.【解析】（1）依题意，点N 的坐标为()0,1N -，可设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，由221x x y kx ⎧=⎨=+⎩得2220x kx --=．由韦达定理得122x x k +=，122x x =-．于是()22212121244822ABN BCN ACN S S S x x x x x x k k ∆∆∆=+=-=+-=+=+，∴当0k =时，()min 22ABN S ∆=；（2）解法一：假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则O H PQ '⊥，O '点的坐标为11,22x y p +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2112x py =．因为()2222111111222O P AC x y p y p '==+-=+，111222y p O H a a y p +'=-=--，()()()222222*********p PH O P O H y p a y p a y a p a ⎛⎫''=-=+---=-+- ⎪⎝⎭，()()221242p PQ PHa y a p a ⎡⎤⎛⎫==-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =，即抛物线的通径所在的直线；解法2：假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，设以AC 为直径的圆上任意一点为：(),M x y ，()0,A p ，()11,B x y ，2112x py =，则0AM BM ⋅= ，则以AC 为直径的圆方程为：()()110,,0x y p x x y y --⋅--=，化简为：()()2110x x x y p y y -+--=，直线方程y a =代入上述方程得()()2110x x x a p a y -+--=则()()()21114402p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫∆=----+-> ⎪⎢⎥⎝⎣⎦=⎭设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为()33,P x y ，()44,Q x y ，则有()()23434341442p PQ x x x x x x a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-=+-⋅=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =，即抛物线的通径所在的直线．14．（2019·浙江高三学业考试）如图，直线10l x ty -+=:和抛物线2:4C y x =相交于不同两点A ，B .（I ）求实数t 的取值范围；（Ⅱ）设AB 的中点为M ，抛物线C 的焦点为F ．以MF 为直径的圆与直线l 相交于另一点N ，且满足||22||3MN MF =，求直线l 的方程．【答案】（I ）(,1)(1,)t ∈-∞-+∞ （Ⅱ）210x y ±+=【解析】（I ）由2104x ty y x-+=⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty -+=，2(4)160t ∆=-->，解得1t <-或1t >．故(,1)(1,)t ∈-∞-+∞ （Ⅱ）方法1：||22||3MN MF =等价于||22||NM NF =.设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则124y y t +=，21242x x t +=-，所以2120212x x x t +==-，12022y y y t +==即()221,2M t t -．又直线: FN y tx t =-+，与10x ty -+=联立，解得22212,11t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以222222212||21211t t NM t t t t ⎛⎫-⎛⎫=-++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，()()()22222386622222112124441111t t t t t t t t t t t ⎡⎤-++-+⎛⎫-+=+==⎢⎥ ⎪+++⎢⎥⎝⎭+⎣⎦.又224||1NF t=+，则由22NM NF =，得62243211t t t =++，解得2t =±，所以直线l 的方程为210x y ±+=.方法2：||22||3MN MF =等价于，||3||MF NF =，由方法1中()221,2M t t -，224||1NF t =+，()222242||22(2)444MF t t t t =-+=-+．所以422911t t t-+=+，即()()242119t t t +-+=，化简得619t +=，得68t =，2t =±.所以直线l 的方程为210x y ±+=.方法3：设直线l 的方向向量为(,1)l t = ，()212121,22,2222FA FB x x y y FM t t +++⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ ，则()2322222||2||||||11t t t FM l t NM l t t-+⋅===++ ，又224||1NF t =+，由||22||NM NF =，得3||22t =，2t =±，所以直线l 的方程为210x y ±+=.15．（2019·四川高三月考（理））已知抛物线28x y =，过点04M （，）的直线与抛物线交于,A B 两点，又过,A B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于P 点.（1）证明：直线,PA PB 的斜率之积为定值；（2）求PAB △面积的最小值【答案】（1）见解析；（2）322【解析】（1）证明：由题意设l 的方程为4y kx =+，联立248y kx x y=+⎧⎨=⎩，得28320x kx --=因为2(8)4(32)0k ∆=--⨯->，所以设()()1122,,,A x y B x y ，则1232x x =-设直线PA PB ，的斜率分别为12,k k ，对28x y =求导得4x y '=，所以1212,44x x k k ==，所以，121212322444416x x x x k k -=⋅===-⨯（定值）（2）解：由（1）可得直线PA 的方程为()211184x x y x x -=-①直线PB 的方程为()222284x x y x x -=-②联立①②，得点P 的坐标为1212,28x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由（1）得12128,32x x k x x +==-，所以44P k -（，）.于是22||812AB k k =++，点P 到直线AB 的距离()22421k d k +=+，所以()221622PAB S k k ∆=++，当20k =，即0k =时，PAB ∆的面积取得最小值32216．（2019·江苏高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆C ：22221(0)43x y t t t-=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F .过点A 且斜率为k （0k >）的直线交椭圆C 于另一点P .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB的值；（3）设直线l :2x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BO 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上.【答案】（1）12（2）224513PA PB =（3）详见解析【解析】（1）因为椭圆C ：2222143x y t t+=，所以224a t =，223b t =，22c t =.又0t >，所以2a t =，c t =，所以椭圆C 的离心率12c e a ==.（2）因为直线AP 的斜率为12，且过椭圆C 的左顶点(2,0)A t -，所以直线AP 的方程为1(2)2y x t =+.代入椭圆C 的方程2223412x y t +=，得2223(2)12x x t t ++=，即2220x tx t +-=，解得x t =或2x t =-（舍去），将x t =代入1(2)2y x t =+，得32y t =，所以点P 的坐标为3,2t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又椭圆C 的右顶点B （2t ,0），所以2222345(2)024PA t t t t ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭，2222313(2)024PB t t t t ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，所以224513PA PB =.（3）直线AP 的方程为(2)y k x t =+，将2x t =代入(2)y k x t =+，得4y kt =，所以(2,4)Q t kt .因为E 为线段BQ 的中点，所以(2,2)E t kt ，因为焦点F 的坐标为（t ,0），所以直线EF 的斜率2EF k k =.联立222(2)3412y k x t x y t =+⎧⎨+=⎩，，消y 得，()()2222234164430k x k tx k t +++-=.由于()22244334A P k t x x k -=+，2A x t =-，所以()2223434P k t x k -=+，所以点P 的坐标为()22223412,3434k t kt k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，所以直线PF 的斜率()222221242234141(2)23434pF ktk k k k k k k t t k⋅+===----+.而直线EF 的斜率为2k ，若设EFB θ∠=，则有tan tan 2PFB θ∠=，即2PFB EFB ∠=∠，所以点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上.。

高考冲刺 专题13 圆锥曲线中的定点问题1．如图，已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，3k =.（1）求a 的值；（2）设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1（2）过定点，定点为⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）联立直线()0y kx k =>与椭圆()22211x y a a +=>，求出A 的坐标，再利用0FA FB ⋅=时，k =可求出a 的值；（2）由（1）知，()F ，椭圆C ：2213x y +=，设出直线AD 的方程与椭圆方程联立解得D 的坐标，同理得E 的坐标，再求出直线DE 的方程，令0y =，可得x 为定值，从而可知直线DE 过定点. 【详解】（1）设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()F所以，()()2220000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-.当0FA FB ⋅=时，有222001x y a +=-.联立222,1,y kx x y a=⎧⎪⎨+=⎪⎩得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++.将k =222413a a a =-+，即42230a a --=，所以23a =或21a =-（舍），故a =（2）由（1）知，()F ，椭圆C ：2213x y +=.设AD：00x x y y +=C ：2233x y +=， 消去x并整理得(2002200310x x y y y y ⎡⎤+⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以2222000000(32)0y x y x y y y +++--=， 而220033x y +=，所以()22000050y x y y y +--=，由韦达定理得20D y y =，所以D y =.同理BE：00x x y y -=--00x x y =E y =所以0020258E D y y y x +==-，2010258E D y y y x -=-=-所以002002258105258E D E D y x y y y y y x -+==--，于是0000000000055E D DE E D E D E D E D y y y k kx x x y y y y y y -=====⋅=--所以直线DE ：()05D D y y y x x x -=-.令0y =，得00000055D D D D x x x x x y y y y y y +=-=-0045D x y y +=将D y =x = 所以DE经过定点⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：将A 的坐标当已知，求出,D E 的坐标和直线DE 的方程，再令0y =得到x 为定值是本题解题关键.2．在平面直角坐标系xOy 中，P为坐标原点，)M ，已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P 的轨迹方程； （2过)M作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与动点P 的轨迹交于A 、B ，2l 与动点P 的轨迹交于点C 、D ，AB 、CD 的中点分别为E 、F ；①证明：直线EF 恒过定点，并求出定点坐标． ②求四边形ACBD 面积的最小值．【答案】（1）()22104x y y +=≠；（2）①证明见解析，定点坐标为5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；②3225. 【分析】（1）设点P 的坐标为(),x y4=>，结合椭圆的定义可知点P 的轨迹是椭圆，求出a 、b 、c 的值，结合椭圆的焦点位置可得出点P 的轨迹方程，并求出y 的取值范围；（2）①分析出直线1l 的斜率存在且不为零，可设直线1l 的方程为30xmym，可得出直线2l 的方程为1x y m=-()11,A x y 、()22,B x y ，将直线1l 的方程与点P 的轨迹方程联立，求出点E 的坐标，同理求出点F 的坐标，求出直线EF 的方程，进而可得出直线EF 所过定点的坐标； ②求得AB 、CD ，利用基本不等式可求得四边形ACBD 面积的最小值． 【详解】（1）设点(),P x y ，依题意4MP ON OP OM OP OM +=-++=，4=>，所以动点P 的轨迹为椭圆（左、右顶点除外），则24a =，c =1b ∴==，∴动点P 的轨迹方程是()22104x y y +=≠； （2）①若1l 与x 轴重合，则直线1l 与动点P 的轨迹没有交点，不合乎题意； 若2l 与x 轴重合，则直线2l 与动点P 的轨迹没有交点，不合乎题意； 设直线1l 的方程为30xmy m，则直线2l 的方程为1x y m=-直线1l 、2l 均过椭圆的焦点（椭圆内一点），1l 、2l 与椭圆必有交点． 设()11,A x y、()22,B xy ，由()222241044x my m y x y ⎧=⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 由韦达定理可得12y y +=，则()1212x x m y y +=++=， 所以点E 的坐标为⎝⎭，同理可得点F⎝⎭，直线EF的斜率为()()222225141414EFm k m m m m +==≠±-++， 直线EF的方程是()2541m y x m ⎛=-⎝⎭，即())()()222222215545415441m m m y x x m m m m ⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=--=- ⎪ ⎪+-+-⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当1m =±时，直线EF的方程为x =EF过定点5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 综上，直线EF过定点⎫⎪⎪⎝⎭； ②由①可得12y y +=，12214y y m =-+，()2122414m AB y y m +∴=-=+，同理可得()2222141411414m m CD m m⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++， 所以，四边形ACBD 的面积为()()()()22222222281813225441441221m m S AB CD m m m m ++≥=++⎛⎫+++ ⎪⋅⎭==⎝，当且仅当21m =取等号．因此，四边形ACBD 的面积的最小值为3225. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．3．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F△的（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点M 为椭圆C 的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 均不是椭圆C 的右顶点），且满足AM BM ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）证明见解析，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（Ⅰ）由12PF F △面积最大值可求得b ，由222a b c =+求得a ，由此得到椭圆方程；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，:l y kx m =+，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，根据AM BM ⊥得到0MA MB ⋅=，根据平面向量数量积的坐标运算和韦达定理可化简整理得到2271640m km k ++=，从而求得m ；根据直线过定点的求解方法可得结论. 【详解】（Ⅰ）由椭圆的对称性可知：当点P 落在椭圆的短轴的两个端点时12PF F △的面积最大，此时122b ⨯⨯=解得：b =由222a b c =+得：2314a =+=．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()()222348430k x mkx m +++-=，则()()222264163430m k k m =-+->，即22340k m +->，122834mk x x k ∴+=-+，()21224334m x x k-=+． ()()1212y y kx m kx m ∴=++()221212k x x mk x x m =+++()2223434m k k-=+．椭圆的右顶点为()2,0M ，AM BM ⊥，0MA MB ∴⋅=，()()1212220x x y y ∴--+=，即()121212240y y x x x x +-++=， ()()2222234433434m k m k k --∴+++2164034mkk ++=+．整理可得：2271640m km k ++=， 解得：12m k =-，227k m =-，（1m ，2m 均满足22340k m +->）． 当2m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线l 过右顶点()2,0，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的直线定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程； ④根据直线过定点的求解方法可求得结果.4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，离心率为12，过椭圆C 的左焦点1F 作不与x 轴重合的直线MN 与椭圆C 相交于,M N 两点，过点M 作直线:2m x a =-的垂线ME ，E 为垂足．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）①已知直线EN 过定点P ，求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）①直线EN 过定点5,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②154. 【分析】（1）根据离心率、上顶点到右顶点的距离和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,,a b c ，由此可得椭圆方程； （2）①设直线MN 方程，与椭圆方程联立整理可得韦达定理的形式，从而得到()121223my y y y -=+，代入直线EN 方程后，知0y =时，52x =-，由此可得定点坐标；②结合①中韦达定理的结论可求得12y y -，由1212OENS OP y y =⋅-，令t =，将OENS 化为1513t t+，由函数单调性可确定最大值点，由此求得最大值. 【详解】（1）由题意得：22212c e a a b c =⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得：2a =，b =1c =.故椭圆的标准方程为22143x y += .（2）①由（1）知：()1,0F -，设直线MN 方程：1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，()14,E y -，，联立方程221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2234690m y my +--=，221634y y m m ∴++=，122934y y m -=+，()121223my y y y ∴-=+， 又2124EN y y k x -=+，∴直线EN 方程为：()211244y y y y x x --=++， 令0y =，则()()1212121212121343352444422y y y x my y y x y y y y y y -++=--=--=--=-+=----，∴直线EN 过定点5,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.②由①中()214410m ∆=+>知：m R ∈，又12234y y m -==+所以121524OENSOP y y ∴=⋅-==令t =，1t ≥，则215151313OENt St t t==++令()()15113f t t t t=≥+，()f t 在[)1,+∞单调递减，∴当1t =时，()()max 1514f t f ==， 即OEN 面积的最大值为154. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积取值范围问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；④通过换元法将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性求得函数值域，由此可求解出所求的范围.5．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x ya b a b+=>>（，短轴长为椭圆左顶点到左焦点的距离为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，(6,0). 【分析】（1）利用已知和,,a b c 的关系，列方程组可得椭圆C 的标准方程；（2）直线l 斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立， APE OPF ∠=∠可得0PE PF k k +=，利用根与系数的关系代入化简，可得直线l 所过定点． 【详解】（1）由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意. 所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+. 设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+. 因为APE OPF ∠=∠， 所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033m kx x m k x x +-+-= 化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-， 所以直线l 过定点(6,0).6．已知斜率为的34的直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>交于点,A B ，线段AB 中点为()11D -,，直线l 在y 轴上的截距为椭圆C 的长轴长的716倍. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点,,,P Q M N 都在椭圆上，且,PQ MN 都经过椭圆C 的右焦点F ，设直线,PQ MN 的斜率分别为12,k k ，121k k +=-，线段的中点分别为,G H ，判断直线GH 是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）过定点，31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）利用点差法可得2234b a =，再由直线l 的方程为()3114y x -=+，求出y 轴上的截距，结合题意即可求解.（2）设直线,PQ MN 的方程分别为()12()1,1y k x y k x =-=-，分别将直线与椭圆方程联立，分别求出2211221143,3434k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，2222222243,3434k k H k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，求出直线GH 方程221111221134334434k k y k k x k k ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简整理即可求解.【详解】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养. （1）设()()1122,,,A x y B x y ， 则12122,2x x y y +=-+=，且2222112222221,1x x x x a b a b+=+= 两式相减得2222121222x x y y a b --=-即2121221212y y y y b x x x x a+-⋅=-+-， 即222324b a -⋅=-，所以2234b a =又直线l 的方程为()3114y x -=+， 令0x =，得74y =所以772,2,164a ab ⨯===， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意得()1,0F ，直线,PQ MN 的方程分别为()12()1,1y k x y k x =-=-，设()()3344,,,P x y Q x y ，联立122(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22121213484120k k k xx +-+-=，所以212341834x k k x +=+，则2211221143,3434k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 同理2222222243,3434k k H k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以12221212221212221233334344443434GHk k k k k k k k k k k k k ----++==+-++ 由121k k +=- 得()11314GH k k k =++， 所以直线GH 的方程为221111221134334434k k y k k x k k ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭整理得()21133144y k k x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭，所以直线GH 过定点31,4⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线方程，求出点G 、H 以及直线GH的方程为221111221134334434k k y k k x k k ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，考查了运算求解能力，综合性比较强. 7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为,,A B P 为直线2y =上的动点，当点P 位于点()1,2时，ABP ∆的面积1ABP S ∆=，椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F1.（1）求椭圆C 的方程；（2）连接,PA PB ，直线,PA PB 分别交椭圆于,M N （异于点,A B ）两点，证明：直线MN 过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由椭圆的上、下顶点,A B ，点P ()1,2，ABP ∆的面积1ABP S ∆=，求得b ,再由椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F1，即1a c -=求解.（2）设(,2)P t ，由题意知直线P A ，PB 的斜率存在，设13:1,:1PA PB l y x l y x t t=+=-，分别与椭圆方程联立，求得M ，N 的坐标，写出直线M ,N 的方程求解. 【详解】（1）因为椭圆的上、下顶点分别为,A B ，点P ()1,2，ABP ∆的面积1ABP S ∆=， 所以1212ABP S b ∆=⨯=，基底1b =， 又因为椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F1， 设(), M x y 是椭圆上任意一点，(,0)F c -，则2222222()2c MF x c y x cx a a =++=++，对称轴2a x a c=-<-，所以在区间[,]x a a ∈-上递增，则x a =-时，min MF a c =-，即1a c -=，又222a b c =+，解得a =所以椭圆方程为2212x y +=.（2）设(,2)P t ，由题意得，直线P A ，PB 的斜率存在， 设13:1,:1PA PB l y x l y x t t=+=-，由221112y x tx y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22242,22t t M t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 由223112y x tx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2221218,1818t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以:MNl 2222222221822418212422182t t t t t t y x t t t t t t ----⎛⎫++-=+ ⎪++⎝⎭+++， 化简得26182t y x t -=+ 所以直线MN 过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．8．如图，已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ，2F为顶点的三角形的周长为)41，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，其中A 、C 在x 轴的同一侧．（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明121k k ⋅=； （3）是否存在题设中的点P ，使得34AB CD AB CD +=⋅．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22144x y -=；（2）证明见解析；（3）存在点P 的坐标为()2±±． 【分析】（1）根据离心率c a =，及三角形周长)2241a c +=，即可求得a ，c 的值，利用222a b c =+，即可求得b 的值，进而可得椭圆方程；根据实轴长等于虚轴长，可设双曲线方程为22221x y m m-=（0m >），根据题意，可求得m 的值，即可得双曲线方程.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则0102y k x =+，0202y k x =-，即可得12k k ⋅的表达式，又()00,P x y 在双曲线上，可得22004x y -=，代入表达式，即可得证.（3）设1PF 方程为()2y k x =+，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，可得AB 的表达式，同理可得CD 的表达式，设,C AB D 夹角为θ，根据条件，可求得cos θ的值，利用数量积公式1212cos PF PF PF PF θ⋅=⋅，代入数据，即可求得P 点坐标.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意知；c a =，∵)2241a c +=，∴a =，2c =．又∵222a b c =+，∴2b =．故椭圆的标准方程为22184x y +=．由题意设等轴双曲线的标准方程为22221x y m m-=（0m >），∵等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，∴2m =，∴双曲线的标准方程为22144x y -=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则0102y k x =+，0202y k x =-．∵点P 在双曲线224x y -=上，所以22004x y -=．∴20001220001224y y y k k x x x ⋅=⋅==+--，即121k k ⋅=． （3）设1PF 方程为()2y k x =+，2PF 的方程为()12y x k=-， 设()12,A x y ，()22,B x y ，则()221842x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩⇒()2222218880k k x x k +++-=， 21221821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+， 所以AB ==)22121k k +=+， 同理，)22221112121k k CD k k ⎤⎛⎫+⎥ ⎪+⎝⎭⎥⎣⎦==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 设,C AB D 夹角为θ，即12F PF θ=∠ 由题意得， 33cos 44AB CD AB CD AB CD θ+=⋅=⋅所以2314114cos 33k CD AB θ⎛⎫+ ⎪=+== ⎪⎝⎭因为1212cos PF PF PF PF θ⋅=⋅ 所以()()()()000022x x y y ---+--=又22004x y -=，所以()20242x -=2== 所以208x =，则204y =，即存在点P 的坐标为()2±±．【点睛】本题考查椭圆、双曲线标准方程的求法、弦长公式的应用、数量积公式的应用等知识，一般将直线方程与椭圆联立，利用韦达定理求出12x x +、12x x ，代入弦长公式，进行求解，考查分析理解，化简求值的能力，属中档题.9．已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A ､B 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A ､B 的一点，且直线PA ､PB 的斜率PA k ､PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB →→⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213y x -=；（2）证明见解析；（3）存在，(1,0)M -. 【分析】（1）利用双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，建立方程即可求解；（2）设A 点坐标为()00,A x y ，则由对称性知B 点坐标()00,B x y --，设(,)P x y ，由点A,P 在双曲线上可得220013y x -=，2213y x -=，代入PA PB k k ⋅中化简即可；(3）先假设存在定点M ，使MA ⊥MB 恒成立，设出M 点坐标，根据数量积为0，求得结论.【详解】（1）由题意得：22491a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得：2213a b ⎧=⎨=⎩ ∴双曲线C 的方程为2213y x -=（2）证明：设A 点坐标为()00,A x y ，则由对称性知B 点坐标为()00,B x y -- 设(,)P x y ，则2200022000-+-⋅=⋅=-+-PA PBy y y y y y k k x x x x x x 2200221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()2222003-=-y y x x ∴220223PA PBy y k k x x -⋅==- （3）当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(2)y k x =-，与双曲线方程联立消y 得：()222234430kx k x k --++=，∴2300k ⎧-≠⎨∆>⎩得23k ≠且2122212243433k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪⋅=⎪-⎩设()11,A x y ､()22,B x y∵()()1212MA MB x m x m y y →→⋅=--+()()()21212(2)=--+--x m x m k x x()()22212212()4=+-++++k x x k m x x m k()()2222221434(2)433+++=-++--k k k k m m kk k2223(45)3m k m k -+=+- 假设存在实数m ，使得0MA MB →→⋅=，∴()()22231450mk mm -+--=对任意的23k ≠恒成立，∴2210450m m m ⎧-=⎨--=⎩，解得1m =-.∴当1m =-时，0MA MB →→⋅=.当直线l 的斜率不存在时，由(2,3),(2,3)A B -及(1,0)M -知结论也成立 综上：存在1m =-，使得0MA MB →→⋅=. 【点睛】本题主要考查点的轨迹方程的求法，考查斜率的计算，考查存在性问题，综合性强，属于难题.10．已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于,A B 两点.在x 轴上是否存在定点C ，使CA CB ⋅为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，(1,0)C ． 【分析】假设在x 轴上存在定点(,0)C m ，使CA CB 为常数，当AB 不与x 轴垂直时，设出直线AB 的方程，然后与双曲线方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，进而可得到两根之和与两根之积，表示出向量CA CB 并将所求的两根之和与两根之积代入整理即可求出C 的坐标；当AB 与x 轴垂直时可直接得到A ，B 的坐标，再由1CA CB =-，可确定答案．【详解】解：由条件知12(2,0),(2,0)F F -， 设点,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，假设在x 轴上存在定点(,0)C m ，使CA CB ⋅为常数，当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±，代入222x y -=，得()()222214420kxk x k -+-+=，22121222442,11k k x x x x k k +∴+==--， ∴()()()()2121222CA CB x m x m k x x ⋅=--+--()()()22221212124k x x k mx x km =+-++++()()2221421k k k ++=-()222224241k k m k m k +-++-2222(12)21m k m k -+=+- 22442(12)1mm m k -=-++-， ∵CA CB ⋅是与k 无关的常数，∴440m -=，即1m =，此时1CA CB ⋅=-；当AB 与x 轴垂直时，点,A B的坐标可分别设为，此时(1,(1,CA CB⋅=⋅(111=⨯=-； 故在x 轴上存在定点(1,0)C ，使CA CB ⋅为常数． 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，半焦距2c =，点F 到右准线2a x c=的距离为12，过点F 作双曲线C 的两条互相垂直的弦AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N . （1）求双曲线C 的标准方程；（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标.【答案】（1）2213x y -=（2）证明见解析；定点()3,0【分析】（1）由题意可得c 的值，再由点F 到直线2ax c=的距离为12，可得a 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出双曲线的方程；（2）设弦AB 所在的直线方程，与双曲线的方程联立可得两根之和进而可得AB 的中点M 的坐标，再由椭圆可得弦CD 的中点N 的坐标，分别讨论当MN 的斜率存在和不存在两种情况可得直线MN 恒过定点. 【详解】（1）由题设可得212a c c -=，2c =，所以23a =，2221b c a =-=.所以双曲线的标准方程为2213x y -=.（2）证明：点()2,0F ，设过点F 的弦AB 所在的直线方程为2x ky =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则有()12122,22k y y y y M +⎛⎫++ ⎪⎝⎭.联立22132x y x ky ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，可得()223410k y ky -++=.因为弦AB 与双曲线C 有两个交点，所以230k -≠， 所以12243k y y k +=-，所以2262,33k M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭. （1）当0k =时，M 点即是F 点，此时，直线MN 为x 轴.（2）当0k ≠时，将上式M 点坐标中的k 换成1k -，同理可得22262,3131k k N k k ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.①当直线MN 不垂直于x 轴时，直线MN 的斜率()2222222223316631331MNk kk k k k k k k k +--==----，其方程()2222263331k k y x k k k ⎛⎫-=- ⎪---⎝⎭，化简得()()22331k y x k =--， 所以直线MN 过定点()3,0；②当直线MN 垂直于x 轴时，22266331kk k =--，此时，1k =±，直线MN 也过定点()3,0. 综上所述，直线MN 过定点()3,0. 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程及性质、定点问题等知识以及逻辑思维与运算求解能力，考查了学生的计算能力，属于难题.12．设双曲线()22221,0x y a b a b-=>的实轴长为（1）求此双曲线的方程； （2）已知直线23y x =-与双曲线的右支交于A ，B 两点.且在双曲线的右支上存在点C ，使得OA OB mOC +=，求m 的值及点C 的坐标.【答案】（1）221123y x -=（2）4，()【分析】（1）由实轴长可得a 值，由焦点到渐近线的距离可得b ，即可求得双曲线的方程；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(C x ，0)y ，则210x x mx +=，210y y my +=，联立直线方程与双曲线方程消掉y 得x 的二次方程，由韦达定理可得12x x +，进而求得12y y +，从而可得0x y ，再由点D 在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得C 点坐标，从而求得m 值． 【详解】（1）由实轴长为a =所以渐近线方程为y x =，即0bx -=或0bx +=，取渐近线方程为0bx-=，=222c b a=+，23b∴=，∴双曲线方程为:221123yx-=（2）设()12,A x y，()22,B x y，()00,C x y，则210x x mx+=，210y y my+=，由直线与双曲线方程联立，可得2840x-+=，12x x∴+=，12412y y∴+==，22003,1123xyx y⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩解得x=，03y=，4m∴=()C∴，4m=.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线标准方程，以及向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．13．已知动圆P过点()22,0F，并且与圆1F：()2224x y++=相外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.（1）求曲线C的方程；（2）过动点P作直线与曲线2230x y-=交于,A B两点，当P为AB的中点时，求OA OB⋅的值；（3）过点2F的直线1l与曲线C交于,E F两点，设直线l：12x=，点()1,0D-，直线ED交l于点M，求证：直线FM经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）221(0)3yx x-=>；（2）4；（3）证明见解析，定点的坐标为(1,0).【分析】（1）利用动圆经过的点及外切关系可求；（2）设出直线方程，联立方程组，结合中点公式，得到OA OB ⋅，进而可求OA OB ⋅； （3）设出直线方程，联立方程组，结合韦达定理，证明直线FM 经过定点. 【详解】（1）设动圆的圆心(,)P x y ，半径为r ，则由题意可得212PF rPF r ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即122PF PF -=， 因为1242F F =>，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线的右支，且1,2a c ==， 所以曲线C 的方程为221(0)3y x x -=>.（2）当直线的斜率不存在时，(1,0),(1,P A B ，此时4OA OB ⋅=； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，联立2230y kx m x y =+⎧⎨-=⎩得222(3)20k x kmx m ---=， 230k -≠，21212222,33km m x x x x k k+==---， ()()222121212121222632,33m m y y k x x m y y k x x km x x m k k+=++==+++=--. 因为P 为AB 的中点，所以223(,)33km m P k k --，代入曲线方程得()()22222223133k m m k k -=--； 整理可得223m k =-；2221212222322333m m m OA OB x x y y k k k-⋅=+=+==----，因为2230x y -=恰为双曲线的渐近线，且其中一条渐近线y =的倾斜角为60︒， 所以1cos12022OA OB OA OB OA OB ⋅=︒=-=-，所以4OA OB =. 综上可得4OA OB =.（3）证明：当直线1l 的斜率不存在时，(2,3),(2,3)E F -,13(,)22M ，直线:330FM x y +-=经过点(1,0). 当直线1l 的斜率存在时，设直线1:(2)l y k x =-，1122(,),(,)E x y F x y ，直线11:(1)1y ED y x x =++，当12x =时，()11321M y y x =+， ()1131(,)221y M x +，联立()22233y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得2222(3)4(34)0k x k x k -+-+=， 230k -≠，22121222434,33k kx x x x k k++=-=---， 下面证明直线FM 经过点()1,0Q ，即证FQ MQ k k =，1212311y yx x -=+-， 把()112y k x =-，()222y k x =-代入整理得()12124540x x x x -++=，即22222223441216204544440333k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫++-⨯--⨯-+=+=-+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 所以直线FM 经过点()1,0. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程及直线与双曲线的位置关系，联立方程结合韦达定理是主要的考虑方向，侧重考查数学运算的核心素养.14．已知点()0,1A -，()0,1B ，动点P 满足PB AB PA BA =⋅．记点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）设D 为直线2y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点． 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析. 【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得C 的方程；（2）设(),2D t -，()11,E x y ，()22,F x y ，利用导数得出切线,DE DF 的方程，由D 在切线上，从而可得直线EF 的方程，由直线方程可得定点坐标． 【详解】（1）设(),P x y ，则(),1PA x y =---，(),1PB x y =--，()0,2AB =，()0,2BA =-，所以，PB AB PA BA =⋅()10,2y AB =+=，化简得24x y =．所以，C 的方程为24x y =．（2）由题设可设(),2D t -，()11,E x y ，()22,F x y ， 由题意知切线DE ，DF 的斜率都存在，由24x y =，得24x y =，则2y x '=，所以12DE x k =， 直线DE 的方程为()1112x y y x x -=-，即211122x x y y x -=-，①因为()11,E x y 在24x y =上，所以2114x y =，即21122x y =，②将②代入①得11220x x y y --=， 所以直线DE 的方程为11220x x y y --= 同理可得直线DF 的方程为22220x x y y --=． 因为(),2D t -在直线DE 上，所以11240tx y -+=， 又(),2D t -在直线DF 上，所以22240tx y -+=， 所以直线EF 的方程为240tx y -+=， 故直线EF 过定点()2,0． 【点睛】关键点点睛：本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由D 在切线上，根据直线方程的意义得出直线EF 方程，然后得定点坐标．15．设抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，已知直线1l ：20mx y m --=，圆E ：222440x y x y +---=.（1）设直线1l 与圆E 的交点分别为P ，Q ，求当PQ 取得最小值时，直线1l 的方程；（2）若抛物线过圆E 的圆心，直线1l ，2l 过同一定点且与抛物线相交于A ，B 和C ，D 点，12l l ⊥，设M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，证明：直线MN 恒过定点. 【答案】（1）220x y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）先判断直线1l ：20mx y m --=过定点()2,0T ，由垂径定理表示出PQ =当PQ ET ⊥时，当d 最大时，PQ 最小，求出PQ 斜率m ，得到直线方程；（2）联立方程组表示出点M 、N ，进而表示出直线MN 的方程，利用点斜式方程说明直线过定点. 【详解】解：（1）由题意得直线1l ：20mx y m --=过定点()2,0T ， 由222440x y x y +---=得()()22129x y -+-=.因为()()2221029-+-<， 所以点()2,0T 在圆E 内.设圆心()1,2到直线1l 的距离为d ，PQ =d 最大时，PQ 最小， 此时PQ ET ⊥，所以112PQ ETm k k ==-=， 此时直线1l 的方程为220x y --=.（2）证明：因为抛物线过圆E 的圆心()1,2，所以222p =，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =.由直线1l 的方程为20mx y m --=，可得直线1l ：12x y m=+，且过定点()2,0T ， 由12l l ⊥可得直线2l ：2x my =-+，联立24,2,y x x my ⎧=⎨=-+⎩，消x 整理得2480y my +-=.设点()11,C x y ，()22,D x y ，则124y y m +=-， 所以2N y m =-，则222N x m =+，即点()222,2N m m +-，同理得点2222,M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当1m ≠时，直线MN 的斜率2222212112MNmm m k m m m m m+===---， 则直线MN 的方程为222221m y x m m m ⎛⎫-=-- ⎪-⎝⎭， 即22222121m m y x m m m m-=--+⋅-，所以直线MN 的方程为()241my x m=--， 即直线MN 恒过定点()4,0；当1m =时，()4,2N -，()4,2M ，直线MN 的方程为4x =，也过定点()4,0. 综上，直线MN 恒过定点()4,0. 【点睛】证明直线过定点，通常有两类：（1）直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )； （2）直线方程整理为点斜式y - y o =k (x- x 0)，过定点(x 0,y 0) ．。

高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线【热点聚焦】纵观近几年的高考试题，圆锥曲线的定点、定值、定直线问题是热点之一.从命题的类型看，主要是大题.一般说来，考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题，综合性较强，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值，或定点在某直线上、定直线过某点等.难度往往大些.【重点知识回眸】（一）定值问题1.定义：定值问题是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．3.常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.4.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算（二）定点问题1.求解圆锥曲线中的定点问题的两种思路：(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.(2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组()0g()0f x y x y =⎧⎨=⎩，，；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，则可以特殊解决.2.求解圆锥曲线中的定点问题的方法（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ）（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y .常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式，00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）3.一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线:1l y kx k =+-，就应该能够意识到()11y k x =+-，进而直线绕定点()1,1--旋转.（三）定直线问题探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T 的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T 在定直线上；方法二是相关点法，即先设出动点T 的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R 的坐标，再将动点R 的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T 在定直线上．【典型考题解析】热点一定值问题【典例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．【典例2】如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||MN MN -为定值，并求此定值.【典例3】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值.【典例4】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH = ．证明：直线HN 过定点．【典例5】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【典例6】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【总结提升】动直线l 过定点问题的常见思路设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k(x ＋m)，故动直线过定点(－m,0)．【典例7】设椭圆的焦点在x 轴上（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.【典例8】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅= ，证明：直线PQ 过定点．【典例9】设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右两个焦点，O 为坐标原点，若点P 在双曲线C 的右支上，且1122,OP OF PF F == 的面积为3.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若双曲线C 的两顶点分别为()()12,0,,0A a A a -，过点2F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.1．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.2．在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为32，右焦点F.(1)求双曲线C 的方程；(2)若12,A A 分别是C 的左､右顶点，过F 的直线与C 交于,M N 两点（不同于12,A A ）.记直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ，请问12k k 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()11,0F -，上、下顶点分别为A ，B ，190AF B ∠=︒．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r ，证明：四边形OPMQ 的面积为定值．5．已知动圆M 过定点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心M 的轨迹为曲线L ．(1)求L 的方程；(2)已知点()3,2B --，()2,1C ，P 是L 上的一个动点，设直线PB ，PC 与L 的另一交点分别为E ，F ，求证：当P 点在L 上运动时，直线EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点，直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，证明：直线l 恒过一定点．7．在直角坐标系xOy 中，已知定点(0,1)F ，定直线:3l y =-，动点M 到直线l 的距离比动点M 到点F 的距离大2．记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线？(2)设0(2,)P y 在C 上，不过点P 的动直线1l 与C 交于A ，B 两点，若90APB ∠=︒，证明：直线1l 恒过定点．8．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．（其中O 为坐标原点）9．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2.(1)求E 的方程；(2)过点()4,0M -且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ，C ，点N 在线段BC 上，且MB NBMC NC =，P 为线段BC 的中点，记直线OP ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.10．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2．(1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭ ，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，圆O ：222x y a +=，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 和圆O.(1)求C 的方程；(2)过圆O 上一点P （不在坐标轴上）作C 的两条切线1l ，2l ，记1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，直线OP 的斜率为3k ，证明：()123k k k +为定值.12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．圆锥曲线的定点、定值、定直线答案【典例1】解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=．依题意()2224410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线PA 的方程为()112211y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λ ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-．所以()()()2212121212122224211111111=21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．【典例2】（1）依题意可设AB 的方程为2y kx =+，代人24x y =，得()242x kx =+，即2480x kx --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则有128x x =-，直线AO 的方程为11,y y x BD x =的方程为2x x =，解得交点D 的坐标为1221,y x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，注意到128x x =-及2114x y =，则有1121211824y x x y y x y -===-，因此D 点在定直线2y =-上()0x ≠．（2）依题意,切线l 的斜率存在且不等于0．设切线l 的方程为()0y ax b a =+≠，代人24x y =得，即2440x ax b --=．由0∆=得()24160a b +=，化简整理得2b a =-．故切线l 的方程可写为2y ax a =-．分别令2,2y y ==-，得12,N N 的坐标为1222,2,,2N a N a a a ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22222212248MN MN a a a a ⎛⎫⎛⎫-=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2221MN MN -为定值8．【典例3】（1）由题意得：(,0)2pF ，因为点B 的横坐标为4，且B 在x 轴的上方，所以B ，因为AB 的斜率为43，4342=-，整理得：80p +=，即0=，得2p =，抛物线C 的方程为：24y x =.（2）由（1）得：(4,4)B ，(1,0)F ，淮线方程1x =-，直线l 的方程：4(1)3y x =-，由24(1)34y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得14x =或4x =，于是得1(,1)4A -.设点2(,)4n P n ，又题意1n ≠±且4n ≠±,所以直线PA ：41114y x n ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，令1x =-，得41n y n +=--，即41n HE n +=--，同理可得：444n HG n -=+，444414n n HG HE n n +-⋅=-⋅=-+.热点二定点问题【典例4】（1）解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得(1,M，N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,T ，由MT TH =得到(5,H -+.求得HN 方程：(2)23y x =+-，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-【典例5】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）[方法一]：设而求点法证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022*******22000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]【最优解】：数形结合设(6,)P t ，则直线PA 的方程为(3)9ty x =+，即930-+=tx y t ．同理，可求直线PB 的方程为330--=tx y t ．则经过直线PA 和直线PB 的方程可写为(93)(33)0-+--=tx y t tx y t ．可化为()22292712180-+-+=txy txy ty ．④易知A ，B ，C ，D 四个点满足上述方程，同时A ，B ，C ，D 又在椭圆上，则有2299x y -=-，代入④式可得()2227912180--+=t y txy ty ．故()227912180⎡⎤--+=⎣⎦y t y tx t ，可得0y =或()227912180--+=t y tx t ．其中0y =表示直线AB ，则()227912180--+=t y tx t 表示直线CD ．令0y =，得32x =，即直线CD 恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.【典例6】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =.(Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=.故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==，则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【总结提升】动直线l 过定点问题的常见思路设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k(x ＋m)，故动直线过定点(－m,0)．热点三定直线问题【典例7】（1）由题意21c =，得12c =，而221(1)4a a --=，所以2253,88a b ==所以椭圆的标准方程为2288153x y +=（2）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，12(,0),(,0)F c F c -直线2PF 的直线方程为00y x c y x c -=-，当0x =时，00cy y x c-=⋅-，故Q 点坐标00(0,)cy x c-⋅-，由题意110F P FQ ⋅=得0000(,)(,)0cx c y c y x c-+⋅=-即2000()0cy x c c x c+-=-解得又P 点在曲线上，22002211x y a a +=-，解得2200,1x a y a ==-则P 点在定直线1x y +=.【典例8】（1）由题设1c =，又12||2F F c =，112||||AF A F a ==，若内切圆半径为r ，则外接圆半径为2r ，所以112()222r a c c b ⨯+=⨯⨯，即()r a c bc +=，222(2)4c r b r +-=，而222a b c =+，即24a rb =，综上，22()4a a c b c +=，即222(1)444a a b a +==-，可得2a =，所以24a =，23b =，则22:143x y C +=.（2）当直线斜率都存在时，令DE 为1x ky =-，联立22:143x y C +=，整理得：22(34)690k y ky +--=，且2144(1)0k ∆=+>，所以2634D E k y y k +=+，则28()234D E D E x x k y y k +=+-=-+，故2243,33)44(kk k P -++，由0DE MN ⋅= ，即DE MN ⊥，故MN 为1y x k =--，联立22:143x y C +=，所以2236(4)90y y k k ++-=，有2634M N k y y k +=-+，则228234M N M N y y k x x k k ++=--=-+，故22243,(34)34k kQ k k +--+，所以274(1)PQ k k k =-，则PQ 为222374()344(1)34k k y x k k k -=++-+，整理得2(74)4(1)k x k y +=-，所以PQ 过定点4(,0)7-；当一条直线斜率不存在时,P Q 对应1,O F ，故PQ 即为x 轴，也过定点4(,0)7-；综上，直线PQ 过定点．【典例9】（1）由12OP OF ==得2c =，且12PF PF ⊥所以12122,1.32PF PF a PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩()22221212124162PF PF c PF PF PF PF +===-+即241216a +=解得1,a =又2224,a b c b +===故双曲线的渐近线方程为by x a=±=.（2）由（1）可知双曲线的方程为2213y x -=.（i ）当直线l 的斜率不存在时，()()2,3,2,3M N -，直线1A M 的方程为1y x =+，直线2A N 的方程为33y x =-+，联立直线1A M 与直线2A N 的方程可得13,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，（ii ）当直线l 的斜率存在时，易得直线l 不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线l 的方程为()(()()112220,,,,,y k x k k M x y N x y =-≠≠，联立()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222234430,k x k x k -+--=221212224430,,33k k x x x x k k +∴>+==-- ∴直线1A M 的方程为()1111y y x x =++，直线2A N 的方程为()2211yy x x =--，联立直线1A M 与直线2A N 的方程可得：()()21121111y x x x y x ++=--，两边平方得()()2222122121111y x x x y x ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，又()()1122,,,M x y N x y 满足2213yx -=，()()()()()()()()()()()()222221212112122222121212121231111111111311x x y x x x x x x x x x x x x x y x xx-+++++++∴===---++---.22222222222222434143433394344343133k k k k k k k k k k k k k k ++++++---===++-+--+--，2119,12x x x +⎛⎫∴=∴= ⎪-⎝⎭，或2x =，（舍去).综上，Q 在定直线上，且定直线方程为12x =.解答题1．（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-.因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0=t ，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).2．（154=，即222162516(5)5x y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，整理得221169x y -=；（2）解：设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，显然直线AP 斜率不为0，设直线AP 方程为2x my =+，联立2211692x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理得()22916361080m y my -+-=，由题设29160m -≠且()22Δ(36)41089160m m =+⨯->，化简得243m >且2169m ≠，由韦达定理可得12236916m y y m -+=-，122108916y y m -=-，直线BD 的方程是()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =得()()()21112212112112121222x x y y my y my x y x y x xy y y y y y -++++=+==+++()1212121212221082222836my y y y y y m m y y y y m++==⨯+=⨯+=++，所以直线BD 过定点()8,0.3．（1）设C 的半焦距为c ，由题意可知32c e a ==，又222+=a b c ，双曲线C 的一条渐近线方程为b y x a=bc a b =，故2225b c a =-=，所以229,4c a ==，所以双曲线C 的方程为22145x y -=.（2）由（1）可知()()()123,0,2,0,2,0F A A -.设直线MN 的方程为3x my =+，点()11,M x y ，点()22,N x y ，则11223,3x my x my =+=+.由221,453,x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()225430250,m y my -++=，所以1212223025,5454m y y y y m m -+==--.121212,22y yk k x x ==+-，所以()()()()121211112122121212222122552y x y my y k x my y y y k x y my y my y y x -+++====+++-.又1212222530,5454my y y y m m -==---，所以22212222530545425554m my k m m m k y m -+---=+-22225154.255554my m m y m ---==-+-综上，12k k 为定值，且1215k k =-.4．（1）解：依题意1c =，又190AF B ∠=︒，所以1b c ==，所以a ，所以椭圆方程为2212x y +=.（2）证明：设(),M x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，因为OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r，所以四边形OPMQ 为平行四边形，且1212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，所以()()22121212x x y y +++=，即2212112122221222x x y y x x y y ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎭+ ⎝⎝+⎭=⎪，又221112x y +=，222212x y +=，所以121212x x y y +=-，若直线PQ 的斜率不存在，M 与左顶点或右顶点重合，则P Q x x =P Q y y ==所以12222OPMQ P P S x y =⨯⨯，若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx t =+，代入椭圆方程整理得()222124220k xktx t +++-=，所以()228210k t∆=+->，122412kt x x k -+=+，21222212t x x k -=+，所以()()()2212121212=++=+++y y kx t kx t k x x kt x x t222222241212t kt k kt t k k --⎛⎫=⋅+⋅+ ⎪++⎝⎭所以()22222224212211212t kt k kt t k k --⎛⎫+⋅+⋅+=- ⎪++⎝⎭，整理得22412t k =+，又12PQ x =-=又原点O 到PQ的距离d所以12POQS PQ d==，将22412t k=+代入得4POQS==，所以2POOP Q QMSS==综上可得，四边形OPMQ的面积为定值2.5．（1）解：设圆心(),C x y，圆的半径为R，则()()22222220R x x y=+=-+-，整理得24y x=．所以动圆圆心的轨迹方程为24y x=．（2）证明：抛物线的方程为24y x=，设2,4yD y⎛⎫⎪⎝⎭，121,4yE y⎛⎫⎪⎝⎭，222,4yF y⎛⎫⎪⎝⎭，则直线EF的方程为()1211221244y yy y x xy y--=--，得2111211121212124444x y y y xx xy yy y y y y y y y+-=-+=+++++，又2114y x=，所以直线EF的方程为1212124y yxyy y y y=+++．同理可得直线DE的方程为1010104y yxyy y y y=+++，直线DF的方程为022024y yxyy y y y=+++因为直线DE过点()3,2B--，所以()1101222y y y-=+；因为直线DF过点()2,1C，所以()22081y y y-=-．消去0y，得()121210433y y y y=++．代入EF的方程，得12411033y xy y⎛⎫=++⎪+⎝⎭，所以直线EF恒过一个定点110,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．6．（1）由2y=-，可得()1F，∴c=，∴2a=，22b=，∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()222214240+++-=k x mkx m ，∴()()()2224421240mk k m ∆=-+->，可得2242m k <+，2121222424,2121mk m x x x x k k -+=-=++，由直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，∴110F A F B k k +=0=，∴((()(()(122112210y x y x kx m x kx m x ++=+++++，即()12122)0kx x m x x ++++=，∴2222442)202121m mk k m k k -⎛⎫⨯++-+= ++⎝⎭，可得m =，所以直线l方程为(y k x =+，恒过定点()-.7．（1）因为动点M 到直线l 的距离比到F 的距离大2，故M 到F 的距离与M 到直线:1m y =-的距离相等，所以M 的轨迹C 是以F 为焦点m 为准线的抛物线，因此2:4C x y =,C 是顶点为原点开口向上的抛物线.（2）因为P 在C 上故()2,1P ，设221212:,,,,44x x AB y kx b A x B x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程24y kx bx y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx b --=，()()21212161601,4,42k b x x k x x b =+>+==- ，2212121144122PA PBx x k k x x --⋅=⋅=---，将(2)代入化简得：25b k =+或21b k =-+，以上均可满足(1)式，所以直线方程为：()25y k x =++或()21y k x =-+，直线分别过定点()2,5-或()2,1，又()2,1P ，所以直线1l 恒过定点()2,5-.8．（1）解：由题意可得2c =，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得2a b，即有a =，又2224c a b =-=，解得a =，b ，所以椭圆方程为22162x y +=；（2）证明：设(3,)M m -，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 的中点为00(,)N x y ，MF k m =-，由(2,0)F -，可设直线PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程可得22(3)420m y my +--=，即有12243m y y m +=+，12223y y m =-+，则()212121222412224433m x x my my m y y m m -+=-+-=+-=-=++，于是2262,33m N m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭，则直线ON 的斜率3ON mk =-，又3OM mk =-，可得OM ON k k =，则O ，N ，M 三点共线，即有OM 经过线段PQ 的中点．9．（1）由椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>2，可知22c b a =，则22231,44b a a -=∴=，故E 的方程为2214x y +=；（2）证明：由题意可知直线l 的斜率一定存在，故设直线l 的方程为(4)y k x =+，设11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y ，联立2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得2222(41)326440k x k x k +++-=，22116(112)0,012k k ∆=->∴<<，则2212122232644,4141k k x x x x k k --+==++，所以220002222164164,,(,)414114)4(41k k k kx y x P k k k k k --==∴++++=+，又MB NBMCNC=，所以31122344x x x x x x -+=+-，解得2222121233212264432424()41411,3328841k k x x x x k k x y k k x x k --⨯+⨯++++===-=-++++，从而(1,3)N k -，故03120313(3)44y y k k k x x k ⋅=⋅=-⨯-=，即12k k 为定值.10．（1）由线段RS22b a =又c a =22212a b a -=，解得222,1,a b ⎧=⎨=⎩所以C 的标准方程为2212x y +=．（2）由PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，可知PF 平分APB ∠，∴0PA PB k k +=．设直线AB 的方程为x my t =+，()11,A my t y +，()22,B my t y +，由2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩得()2222220m y mty t +++-=，()22820m t ∆=-+>，即222m t >-，∴12222mt y y m -+=+，212222t y y m -=+，∴1212022PA PB y y k k my t my t +=+=+-+-，∴()()1212220my y t y y +-+=，∴()()222220m t t mt ---⋅=，整理得()410m t -=，∴当1t =时，上式恒为0，即直线l 恒过定点()1,0Q ．11．（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c >，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 所截得的弦长分223b a =；过F 且垂直于x 轴的直线被圆O所截得的弦长分别为=，又222a cb -=，解得a b ⎧⎪⎨⎪⎩C 的方程为22132x y +=.（2）设()()0000,0≠P x y x y ，则22003x y +=.①设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为()00y y k x x -=-，联立()2200236x y y y k x x ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩得()()()2220000326320k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，则()()()22200006432320k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⨯+⨯--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，整理得()22200003220x k x y k y --+-=.②由题意知1k ，2k 为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得0000012220002223x y x y x k k x y y +===---.又因为030OP y k k x ==，所以()001230022x y k k k y x +=-⋅=-，所以()123k k k +为定值2-．12.（1）由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260k x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m kmk km k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12DQ AP ==若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny +=．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--．代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==［方法三］：建立曲线系A 点处的切线方程为21163x y⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ×=-．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）．用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭．对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -．因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+-- 2(21)(231)12k m k m k +-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||3AP =．又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP ==所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny +=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．。

圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题（解析版）3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN 若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.2双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形.(1)求双曲线C的方程；(2)已知M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2，且MN的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.3已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b，AF=1，点M在线段AB上，且满足BM=3MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EP⋅FQ=EQ⋅FP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF =0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.5已知双曲线C :x 2-y 2b2=1b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的左顶点，C 的离心率为2．设过F 2的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点，其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =12于M 、N 两点，证明：MF 2 ⋅NF 2 为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF 2A =λ∠PAF 2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．三、抛物线定点问题1已知动圆M 恒过定点F 0,18 ，圆心M 到直线y =-14的距离为d ,d =MF +18．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线y =x -1上的动点Q 作C 的两条切线l 1,l 2，切点分别为A ,B ，证明：直线AB 恒过定点．2已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:(x +1)2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1焦点，且l 1与C 2相切.(1)求抛物线C 1的方程；(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在点A 处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB ，证明点N 在定直线上，并求该定直线的方程.3已知直线l1:x-y+1=0过椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)的左焦点，且与抛物线M:y2=2px(p>0)相切.(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.4在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点F(0,1)，且与直线y=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)P为直线l：y=y0y0<0上一个动点，过点P作曲线Γ的切线，切点分别为A，B，过点P作AB的垂线，垂足为H，是否存在实数y0，使点P在直线l上移动时，垂足H恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出y0的值，并求定点H的坐标．5已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ，直线x +y +1=0与抛物线C 只有1个公共点.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线y =k x -p 2与曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x =1分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.四、椭圆定值问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =12，短轴长为23．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知经过定点P 1,1 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与直线y =-34x 相交于点Q ，如果AQ =λAP ，QB =μPB ，那么λ+μ是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．2在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x 2+y 2=a 2+b 2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C 过P 1,22，Q -62,12 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的蒙日圆上一点M ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N ，若k OM ，k ON 存在，证明：k OM ⋅k ON 为定值.3已知O 为坐标原点，定点F 1-1,0 ，F 21,0 ，圆O :x 2+y 2=2，M 是圆内或圆上一动点，圆O 与以线段F 2M 为直径的圆O 1内切.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)设M 的轨迹为曲线E ，若直线l 与曲线E 相切，过点F 2作直线l 的垂线，垂足为N ，证明：ON 为定值.4设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点M 2,1 ，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)△ABC 内接于椭圆E ，过点P 4,1 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ，与BC 交于点Q ，满足AP QD =AQ PD ，证明：△PBC 面积为定值，并求出该定值．5椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F (1,0)，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ，N 两点，P 是直线x =4上任意一点.求证：直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列.五、双曲线定值问题1在平面直角坐标系xOy中，圆F1：x+22+y2=4，F22,0，P是圆F1上的一个动点，线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M．记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：ABF2H为定值．2已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．3已知P 是圆C :(x +2)2+y 2=12上一动点，定点M (2,0)，线段PM 的垂直平分线n 与直线PC 交于点T ，记点T 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 恰有一个共点，且l 与直线l 1:y =33x ，l 2:y =-33x 分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±34x ，焦距为10，A 1，A 2为其左右顶点．(1)求C 的方程；(2)设点P 是直线l ：x =2上的任意一点，直线PA 1、PA 2分别交双曲线C 于点M 、N ，A 2Q ⊥MN ，垂足为Q ，求证：存在定点R ，使得QR 是定值．5已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P2,26在C上，且双曲线C的渐近线与圆x2+y2-6y+8=0相切．(1)求双曲线C的方程；(2)若过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A,B两点，Q为x轴上一点，满足QA=QB，试问AF1+BF1-4QF2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．六、抛物线定值问题1已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π6的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，MD=43.(1)求p的值.(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P,Q两点，且∠PGQ=π2，点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.2已知抛物线C1:y2=2px p>0到焦点的距离为3.上一点Q1,a(1)求a，p的值；(2)设P为直线x=-1上除-1,-3两点外的任意一点，过P作圆C2:x-2，-1,32+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.3已知点F是抛物线C：y2=2px p>0的焦点，纵坐标为2的点N在C上，以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D，E，DE=23.(1)求抛物线C的方程；(2)过-1,0作直线l与抛物线C交于A，B，求k NA+k NB的值.4贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线Γ:x 2=2py ，其中p >0为一给定的实数.(1)写出抛物线Γ的焦点坐标及准线方程；(2)若直线l :y =kx -2pk +2p 与抛物线只有一个公共点，求实数k 的值；(3)如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：|AD ||DE |=|EF ||FC |=|DB ||BF |．5已知点A 为直线l :x +1=0上的动点，过点A 作射线AP (点P 位于直线l 的右侧)使得AP ⊥l ,F 1,0 ，设线段AF 的中点为B ，设直线PB 与x 轴的交点为T ,PF =TF .(1)求动点P 的轨迹C 的方程.(2)设过点Q 0,2 的两条射线分别与曲线C 交于点M ,N ，设直线QM ,QN 的斜率分别为k 1,k 2，若1k 1+1k 2=2，请判断直线MN 的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.七、椭圆定直线问题1椭圆E的方程为x24+y28=1，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若PD=2，求PC的长；(2)若直线l过点-1,0，且交椭圆E于另一点Q(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．2已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线l:y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 过点M 263,63 ，且离心率为22．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l :y =x +m 与椭圆C 交y 轴右侧于不同的两点A ，B ，试问：△MAB 的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点Q 1,32 ，且离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 1,2 的直线l 交C 于A 、B 两点时，在线段AB 上取点M ，满足AP ⋅MB =AM ⋅PB ，证明：点M 总在某定直线上．5椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点1,6在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点-1,0的直线l与椭圆E交于P，Q两点(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．八、双曲线定直线问题1如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x24-y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，从F2发出的光线经过图2中的A、B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB=-34，AB⊥BD.(1)求双曲线E的方程；(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．2已知曲线C上的动点P满足|PF1|-|PF2|=2，且F1-2,0,F22,0.(1)求C的方程；(2)若直线AB与C交于A、B两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P .在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.①直线AB经过定点M4,0；②点P 在定直线x=14上.3已知点(2,3)在双曲线C:x2a2-y2a2+2=1上．(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：△AOB的面积S 是定值；(2)已知点P12,1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N的点H，满足PMPN=MHHN，证明：点H恒在一条定直线上．4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 经过点D 4,3 ，直线l 1、l 2分别是双曲线C 的渐近线，过D 分别作l 1和l 2的平行线l 1和l 2，直线l 1交x 轴于点M ，直线l 2交y 轴于点N ，且OM ⋅ON =23(O 是坐标原点)(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 1、A 2分别是双曲线C 的左、右顶点，过右焦点F 的直线交双曲线C 于P 、Q 两个不同点，直线A 1P 与A 2Q 相交于点G ，证明：点G 在定直线上.5已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，过点E 1,0 的直线l 与C 左右两支分别交于M ，N 两个不同的点(异于顶点)．(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积(O 为坐标原点)；(2)若A ，B 为双曲线的左右顶点，且AB =4，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由九、抛物线定直线问题1过抛物线x 2=2py (p >0)内部一点P m ,n 作任意两条直线AB ,CD ，如图所示，连接AC ,BD 延长交于点Q ，当P 为焦点并且AB ⊥CD 时，四边形ACBD 面积的最小值为32(1)求抛物线的方程；(2)若点P 1,1 ，证明Q 在定直线上运动，并求出定直线方程.2已知抛物线E :y 2=2px p >0 ，过点-1,0 的两条直线l 1、l 2分别交E 于A 、B 两点和C 、D 两点．当l 1的斜率为12时，AB =210．(1)求E 的标准方程；(2)设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 在定直线上．3已知抛物线C 1：x 2=2py (p >0)和圆C 2：x +1 2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点且与C 2相切．(1)求p 的值：(2)点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．4已知拋物线x 2=4y ，P 为拋物线外一点，过P 点作抛物线的切线交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于M ，N 两点.(1)若P -1,-2 ，设△OAB 的面积为S 1，△PMN 的面积为S 2，求S 1S 2的值；(2)若P x 0,y 0 ，求证：△PMN 的垂心H 在定直线上.5已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，直线l:y=2x+1与C交于A，B两点且|AF|+|BF|= 20.(1)求C的方程.(2)若直线m:y=2x+t(t≠1)与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上.圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)经过定点，定点坐标为1,0 【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H 的轨迹Γ的方程；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为：x =my +n ，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系，再利用两点式写出直线MA 的方程，求出点P 4,2y 1x 1-2 ，Q 4,2y 2x 2-2，再写出以PQ 为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点T 7,0 ，得到关系式，进而求得n 为定值，从而得到直线MN 过定点.【详解】(1)如图所示，∵HE +HF =HE +HG =4，且EF =2<4，∴点H 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1，则2a =4，c =1，∴a =2，b =a 2-c 2= 3.所以点H 的轨迹方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线MN 的方程为：x =my +n ，由x 24+y 23=1x =my +n ，得3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2-123m 2+4.所以，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 3m 2+4，x 1x 2=my 1+n my 2+n =-12m 2+4n 23m 2+4因为直线MA 的方程为：y =y 1x 1-2x -2 ，令x =4，得y P =2y 1x 1-2，所以，P 4,2y 1x1-2 ，同理可得Q 4,2y 2x 2-2，以PQ 为直径的圆的方程为：x -4 2+y -2y 1x 1-2 y -2y 2x 2-2=0，即x -4 2+y 2-2y 1x 1-2+2y 2x 2-2y +2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，因为圆过点7,0 ，所以，9+2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，得9+4y 1y 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=0，代入得9+12n 2-483m 2+4-12m 2+4n 23m 2+4-16n3m 2+4+4=0，化简得，9+12n 2-484n 2-16n +16=04n 2-16n +16≠0,n ≠2 ，解得n =1或n =2(舍去)，所以直线MN 经过定点1,0 ，当直线MN 的斜率为0时，此时直线MN 与x 轴重合，直线MN 经过点1,0 ，综上所述，直线MN 经过定点1,0 .2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD 方程，结合韦达定理和P 是CQ 中点的条件，找到直线CD 中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】(1)由题知a =2，又椭圆经过B -65,-45 ，代入可得14-652+1b2-452=1，解得b 2=1，故椭圆的方程为：x 24+y 2=1(2)由题意知，当l ⊥x 轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +m ，联立y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=64k 2m 2-16m 2-1 4k 2+1 =164k 2-m 2+1 >0，即4k 2+1>m 2设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1AB 的方程为y =14(x -2)，令x =x 1得P x 1,x 1-24 ，AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，令x =x 1得Q x 1,x 1-2x 2-2y 2，由P 是CQ 中点，得x 1-22=y 1+x 1-2x 2-2⋅y 2，即y 1x 1-2+y 2x 2-2=12，即kx 1+m x 2-2 +kx 2+m x 1-2 =12x 1x 2-2x 1+x 2 +4 ，即(1-4k )x 1x 2+(4k -2m -2)x 1+x 2 +4+8m =0，即4m 2+(16k +8)m +16k 2+16k =0，所以(m +2k )(m +2k +2)=0，得m =-2k -2或m =-2k ，当m =-2k -2，此时由Δ>0，得k <-38，符合题意；当m =-2k ，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去.所以l 的方程为y =kx -2k -2，即y =k (x -2)-2，所以l 过定点(2,-2).3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)C :x 24+y 22=1；(2)存在定点T 23,0 使TH 为定值，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a ,b ,c ，即可得椭圆方程；(2)根据题意设BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立椭圆方程求P ,Q 坐标，判断直线PQ 过定点，结合BH ⊥PQ 于H 确定H 轨迹，进而可得定点使得TH 为定值.【详解】(1)由题意c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，可得a 2=4b 2=c 2=2 ，则椭圆方程为C :x 24+y 22=1；(2)若直线BQ 斜率为k ，则直线AP 斜率为2k ，而A (-2,0),B (2,0)，所以BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立BQ 与椭圆C ，则x 2+2k 2(x -2)2=4，整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-4=0，所以2x Q =8k 2-41+2k 2，则x Q =4k 2-21+2k 2，故y Q =-4k1+2k 2，联立AP 与椭圆C ，则x 2+8k 2(x +2)2=4，整理得(1+8k 2)x 2+32k 2x +32k 2-4=0，所以-2x P =32k 2-41+8k 2，则x P =2-16k 21+8k 2，故y P=8k 1+8k 2，综上，x Q -x P =4k 2-21+2k 2-2-16k 21+8k 2=64k 4-4(1+8k 2)(1+2k 2)，y Q -y P =-4k 1+2k 2-8k 1+8k 2=-12k +48k 31+8k 2 1+2k 2，当64k 4-4≠0，即k ≠±12时，k PQ =12k (1+4k 2)4(1-16k 4)=3k1-4k 2，此时PQ :y +4k 1+2k 2=3k 1-4k 2x +2-4k 21+2k 2=3k 1-4k 2x +6k -12k 3(1+2k 2)(1-4k 2)，所以PQ :y =3k 1-4k 2x +2k 1-4k 2=k 1-4k 2(3x +2)，即直线PQ 过定点-23,0 ；当64k 4-4=0，即k =±12时，若k =12，则x Q =-23且y Q =-43，x P =-23且y P =43，故直线PQ 过定点-23,0 ；若k =-12，则x Q =-23且y Q =43，x P =-23且y P =-43，故直线PQ 过定点-23,0 ；综上，直线PQ 过定点M -23,0 ，又BH ⊥PQ 于H ，易知H 轨迹是以BM 为直径的圆上，故BM 的中点23,0 到H 的距离为定值，所以，所求定点T 为23,0 .【点睛】关键点点睛：第二问，设直线BQ ，AP 联立椭圆，结合韦达定理求点P ,Q 坐标，再写出直线PQ 方程判断其过定点是关键.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形的对称性可得定点在x 轴上，代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意，a 2+b 2=7，△BF 2D 周长DB +DF 2 +a =DB +2a -DF 1 +a ≤BF 1 +3a =4a ，当且仅当B ,F 1,D 三点共线时等号成立，故4a =8，所以a 2=4,b 2=3，所以C 的方程x 24+y 23=1；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，代入x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，易知AD :y =y 1x 1-2x -2 ，令x =-4，得N -4,-6y 1x 1-2 ，同得M -4,-6y 2x 2-2，从而中点P -4,-3y 1x 1-2+y 2x 2-2，以PD 为直径的圆为x +4 x -x 1 +y +3y 1x 1-2+y 2x 2-2y -y 1 =0，由对称性可知，定点必在x 轴上，令y =0得，x +4 x -x 1 -3y 1y 1x 1-2+y 2x 2-2=0，y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1my 1-3+y 2my 2-3=2my 1y 2-3y 1+y 2 m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-18m3m 2+4-18m 3m 2+4-9m 23m 2+4-18m 23m 2+4+9=-36m36=-m ，所以x +4 x -x 1 +3my 1=0，即x 2+4-x 1 x -4x 1+3my 1=0，因为x 1=my 1-1，所以x 2+5-my 1 x -my 1+4=0，即x +1 x -my 1+4 =0，解得x =-1，所以圆过定点-1,0 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2，x 1x 2(或y 1+y 2，y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)7-354,0 (2)存在定点D (4,0)【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a 2=b 2+c 2，列出等式即可求出椭圆C 的方程，判断△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于点T ，此时T 为△APQ 的内心，进行求解即可；(2)设直线l 方程为y =k (x -t )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 的方程与椭圆方程联立，得到根的判别式大于零，由点M 、R 、N 、D 均在直线l 上，得到MR ⋅ND =MD ⋅RN，此时2t -(1+t )(x 1+x 2)+2x 1x 2=0，结合韦达定理求出t =4，可得存在定点D (4,0)满足题意．【详解】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0)，则AP =352,PF =32；因为△APQ 中，AP =AQ ，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于T ，则T 为△APQ 的内心，且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ，所以AT =355+1，则T 7-354,0 ；(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称．若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时，设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0，则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1，M 、R 、N 、D 均在直线l 上，MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0，整理得t =4，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在．∴存在定点D (4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)证明见解析，定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b =3，再将点P 4,3 代入双曲线方程求出a 2=4，可得双曲线E 的标准方程；(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x 1+x 2、x 1x 2，再根据斜率和为1列式，推出t =2k +3，从而可得直线y =kx +t 过定点(-2,3).【详解】(1)设F 1(-c ,0)(c >0)到渐近线y =bax ，即bx -ay =0的距离为3，则3=|-bc |b 2+a2，结合a 2+b 2=c 2得b =3，又P (4,3)在双曲线x 2a 2-y 23=1上，所以16a2-93=1，得a 2=4，所以双曲线E 的标准方程为x 24-y 23=1.(2)联立y =kx +tx 24-y 23=1，消去y 并整理得3-4k 2 x 2-8ktx -4t 2-12=0，则3-4k 2≠0，Δ=64k 2t 2+4(3-4k 2)(4t 2+12)>0，即t 2+3>4k 2，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8kt 3-4k 2，x 1x 2=-4t 2+123-4k 2，则k PA +k PB =y 1-3x 1-4+y 2-3x 2-4=kx 1+t -3x 1-4+kx 2+t -3x 2-4=kx 1+t -3 x 2-4 +kx 2+t -3 x 1-4 x 1-4 x 2-4=2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=1，所以2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16，所以2k -1 x 1x 2+t -4k +1 x 1+x 2 -8t +8=0，所以-2k -1 4t2+123-4k 2+t -4k +1 ⋅8kt3-4k2-8t +8=0，整理得t 2-6k +2kt -6t -8k 2+9=0，所以(t -3)2+2k (t -3)-8k 2=0，所以t -3-2k t -3+4k =0，因为直线y =kx +t 不过P (4,3)，即3≠4k +t ，t -3+4k ≠0，所以t -3-2k =0，即t =2k +3，所以直线y =kx +t =kx +2k +3，即y -3=k (x +2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t =2k +3是解题关键.2双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且△ABD 是直角三角形.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2，且MN 的中垂线为直线l ，是否存在半径为1的定圆E ，使得l 被圆E 截得的弦长为定值，若存在，求出圆E 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E :(x -8)2+y 2=1【分析】(1)根据双曲线的性质，结合△ABD 是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程；(2)首先利用点差法求出直线l 所过的定点，即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意，∠BAD =90°，焦半径c =2，当x =c 时，c 2a 2-y 2b 2=1，得y 2=b 2c 2a 2-1=b 4a2，即y =±b 2a ，所以BF =b 2a ，由AF =BF ，得a +c =b 2a，得a 2+2a =22-a 2，解得：a =1(其中a =-2<0舍去)，所以b 2=c 2-a 2=4-1=3，故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,MN 的中点为Q x 0,y 0 因为M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2.所以x 21-y 213=1,①x 22-y 223=1,②x 0=x 1+x 22=2,③y 0=y 1+y 22,④.①-②得x 1+x 2 x 1-x 2 -y 1+y 2 y 1-y 23=0，当k MN 存在时，k MN =y 1-y2x 1-x 2=3x 1+x 2 y 1+y 2=3×42y 0=6y 0，因为MN 的中垂线为直线l ，所以y -y 0=-y 06x -2 ，即l :y =-y 06x -8 ，所以l 过定点T 8,0 .当k MN 不存在时，M ,N 关于x 轴对称，MN 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过T 8,0 ，所以存在以8,0 为圆心的定圆E :(x -8)2+y 2=1，使得l 被圆E 截得的弦长为定值2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所过的定点，因为半径为1，所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E 12,0 【分析】(1)由AF =1，BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，求得a ,b ,c 之间的关系式，解得a ,b 的值，进而求出双曲线的方程；(2)设直线PQ 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF 为∠PEQ 的角平分线，可得直线EP ,EQ 的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E 的坐标．【详解】(1)设c 2=a 2+b 2c >0 ，所以F c ,0 ，A a ,0 ，B 0,b ，因为点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，所以点M 33+1a ,13+1b，因为直线OM 的斜率为1，所以13+1b 33+1a =1，所以ba=3，因为AF =1，所以c -a =1，解得a =1，b =3，c =2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)假设在x 轴上存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，当直线l 的斜率不存在时，E 在x 轴上任意位置，都有EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ；当直线l 的斜率存在且不为0时，设E t ,0 ，直线l 的方程为x =ky +2，直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，则-33<k <33且k ≠0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由x 2-y 23=1x =ky +2 ，得3k 2-1 y 2+12ky +9=0，3k 2-1≠0，Δ=36k 2+36>0，所以y 1+y 2=-12k 3k 2-1，y 1y 2=93k 2-1，因为EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ，即EP EQ=FP FQ，所以EF 平分∠PEQ ，k EP +k EQ =0，有y 1x 1-t +y 2x 2-t =0，即y 1ky 1+2-t +y 2ky 2+2-t=0，得2ky 1y 2+2-t y 1+y 2 =0，所以2k93k 2-1+2-t -12k 3k 2-1=0，由k ≠0，解得t =12.综上所述，存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，且E 12,0.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF=0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线C 的方程，再将点A 的坐标代入求解作答.(2)当直线EF 斜率存在时，设出其方程并与双曲线C 的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线EF 过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.【详解】(1)依题意，设双曲线C 的方程为x 212-y 23=λ(λ≠0)，而点A (22,-1)在双曲线C 上，于是λ=(22)212-(-1)23=13，双曲线C 的方程为x 212-y 23=13，即x 24-y 2=1，所以双曲线C 的标准方程为x24-y 2=1.(2)当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为：y =kx +m ，设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，由y =kx +mx 2-4y 2=4消去y 并整理得4k 2-1 x 2+8kmx +4m 2+1 =0，有4k 2-1≠0，且Δ=(8km )2-16(m 2+1)(4k 2-1)>0，即4k 2-1≠0且4k 2-m 2-1<0，有x 1+x 2=-8km 4k 2-1,x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，DE =(x 1-2,y 1),DF =(x 2-2,y 2)，由DE ·DF =0，得x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，整理得k 2+1 ⋅x 1x 2+(km -2)⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，于是k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+(km -2)⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简得3m 2+16km +20k 2=0，即(3m +10k )(m +2k )=0，解得m =-2k 或m =-103k ，均满足条件，当m =-2k 时，直线EF 的方程为y =k (x -2)，直线EF 过定点(2,0)，与已知矛盾，当m =-103k 时，直线EF 的方程为y =k x -103 ，直线EF 过定点M 103,0 ；当直线EF 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE 的方程为：y =x -2，。

专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类【命题规律】解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题； （3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开．【核心考点目录】核心考点一：轨迹方程核心考点二：向量搭桥进行翻译 核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译 核心考点四：斜率之和差商积问题 核心考点五：弦长、面积范围与最值问题 核心考点六：定值问题 核心考点七：定点问题 核心考点八：三点共线问题 核心考点九：中点弦与对称问题 核心考点十：四点共圆问题 核心考点十一：切线问题 核心考点十二：定比点差法 核心考点十三：齐次化 核心考点十四：极点极线问题【真题回归】1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．（1）求点P 到椭圆上点的距离的最大值； （2）求||CD 的最小值．2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =． （1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． （1）求C 的方程；（2）设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．4．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．5．（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． （1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【方法技巧与总结】1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．【核心考点】核心考点一：轨迹方程 【规律方法】求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程． 【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，且一个焦点到渐（1）求双曲线方程；（2）过点()0,1的直线l 与双曲线交于异支两点,,P Q OM OP OQ =+，求点M 的轨迹方程．例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点()01P ，的直线l 交曲线2214y x -=于A ，B 两点．（1）若直线l 的倾斜角为45︒，求AB ；（2）若线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题． （1）已知动点P 为圆222:O x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程； （2）若动点Q 为椭圆22:194x y M +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，求出动点Q 的轨迹方程；（3）在（2）问中若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．核心考点二：向量搭桥进行翻译 【规律方法】把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决． 【典型例题】例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，倾斜角为30︒的直线过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，且11ABF S =△A 为右顶点）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点(0,)M m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且2PM MQ =，求实数m 的取值范围．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =，点(),0A a 、()0,B b（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，则是否存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2212:14x y b Γ-=与圆2222:4(0)x y b b Γ+=+>交于点(),(A A A x y 第一象限)，曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足A x x >的部分．（1）若A x b 的值；（2）当b =2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且18PF =，求12F PF ∠；（3）过点20,22b D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭斜率为2b-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ON ⋅，并求OM ON ⋅的取值范围．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且128F F =，()4,6P 是C 上一点． （1）求C 的方程；（2）过点()1,1M 的直线与C 交于两点A ，B ，与直线:312l y x =-交于点N ．设NA AM λ=，NB BM μ=，求证：λμ+为定值．核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译 【规律方法】首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理．将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系．【典型例题】例8．（2022春·内蒙古呼和浩特·222:1(0)8x y C a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且当1PF x ⊥轴时，2103PF =． （1）求C 的方程；（2）设C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，证明：1221PF QF PF QF ⋅=⋅．例9．（2022春·江苏徐州·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>l 过C 的焦点且垂直于x 轴，直线l 被C （1）求C 的方程；（2）若C 与y 轴的正半轴相交于点P ，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在C 上，PA PB ⊥，60PAB ∠=︒，求PAB 的面积．例10．（2022春·浙江金华·高三期末）已知双曲线22:143x y C -=上一点()4,3P ，直线()0y x b b =-+<交C 于A ，B 点．（1）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值； （2）若PAB 的外接圆经过原点O ，求PAB 的面积．核心考点四：斜率之和差商积问题 【规律方法】在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．【典型例题】例11．（2022·浙江·模拟预测）已知曲线C 上的任意一点到点)F 和直线x =．（1）求曲线C 的方程；（2）记曲线的左顶点为A ，过()4,0B 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，P ，Q 均在y 轴右侧，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点．若直线MB ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．例12．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．（1）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；（2）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例13．（2022·安徽·校联考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭，其右焦点为)F．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的右顶点为A ，若点,P Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120，求APQ △面积的最大值．例14．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点． （1）求C 的方程．（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k ．证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上．核心考点五：弦长、面积范围与最值问题 【规律方法】弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线与椭圆相交得到的OAB 为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于OAB ，有以下三种常见的表达式：①1||||2OABSAB OH =⋅（随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②121||2OABSOM y y =⋅-（横截距已知的条件下使用） ③121||2OABS ON x x =⋅-（纵截距已知的条件下使用） 【典型例题】例15．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中阶段练习）已知椭圆22:184x y C +=，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与椭圆交于不同两点D ，C ．（1）已知1l 经过椭圆的左焦点，求1l 的方程； （2）证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ； （3）求线段AC 长的取值范围．例16．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆22:14x C y +=， 椭圆2:16x E +214y =．设点P 为椭圆C 上任意一点， 过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B ，两点， 射线PO 交椭圆E 于点Q ． （1）求OQ OP的值；（2）求 ABQ 面积的最大值．例17．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆222()x y b a +-=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点)M作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆C 分别交于,,,A B C D 四点，如图，求四边形ACBD的面积的取值范围．核心考点六：定值问题 【规律方法】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典型例题】例18．（2022春·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率是2，直线l 过双曲线C 的右焦点F ，且与双曲线C 的右支交于,A B 两点．当直线l 垂直于x 轴时，6AB =． （1）求双曲线C 的标准方程．（2）记双曲线C 的左､右顶点分别是,D E ，直线AD 与BE 交于点P ，试问点P 是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．例19．（2022春·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为1B ，下顶点为2B ，12B FB △为等腰直角三角形，且直线1FB 与圆221x y +=相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）过()0,2P 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（异于点1B ，2B ），直线1B E ，2B D 相交于点Q ．证明：点Q 在一条平行于x 轴的直线上．例20．（2022春·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点为()()2,0,0,1A B -．（1）求椭圆E 的方程及其焦距；（2）过点()2,1P -的直线与椭圆E 交于不同的两点,C D ，直线,BC BD 分别与x 轴交于点,M N ，求AM AN的值．核心考点七：定点问题 【规律方法】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明． 【典型例题】例21．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知抛物线2:2C y px =（其中6p >-的焦点为F ，点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点，满足以MN 为直径的圆过点F ，设点E 为MN 的中点，当MN EF ⊥时，点E 的坐标为()3-． （1）求抛物线C 的方程；（2）直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ，点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点，证明：直线PQ 过定点．例22．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线经过点A ，且点F （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于E 、F 两点（E 、F 两点与A 、B 两点不重合），且以EF 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，证明：直线l 过定点，并求出该定点坐标．例23．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知动圆M 与圆(22:4A x y +=及圆(22:4B x y +=中的一个外切，另一个内切．（1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 相交于P 、Q 两点，以线段PQ 为直径的圆经过轨迹C 与x 轴正半轴的交点D ，证明直线l 经过一个不在轨迹C 上的定点，并求出该定点的坐标．核心考点八：三点共线问题 【规律方法】证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．【典型例题】例24．（2023·全国·高三专题练习）已知2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右焦点为2F ，点2F 到E 的一条渐近线的，过点2F 的直线与E 相交于,A B 两点．当AB x ⊥轴时，||AB = （1）求E 的方程．（2）若3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，N 是直线1x =上一点，当,,B M N 三点共线时，判断直线AN 的斜率是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，且离心（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =例26．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线．核心考点九：中点弦与对称问题 【规律方法】对于中点弦问题常用点差法解决． 【典型例题】例27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左右顶点，点C 在E 上，且ABC 面积的最大值为 （1）求椭圆E 的方程；（2）设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝﹣4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN ．例28．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知O 为坐标原点，点⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，直线l ：=+y x m 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为12-．（1）求C 的方程；（2）若=1m ，试问C 上是否存在P ，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．例29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，记准线l 与x 轴的交点为A ，过A 作直线交抛物线C 于()11,M x y ，()22,N x y （21x x >）两点．（1）若122x x p +=，求MF NF +的值；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）若P ，Q 是准线l 上关于x 轴对称的两点，问直线PM 与QN 的交点是否在一条定直线上？请说明理由．核心考点十：四点共圆问题 【规律方法】 证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180︒，并且任何一个外角都等于它的内对角）．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．【典型例题】例30．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知点(4,4)M 在抛物线2:2x py Γ=上，过动点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ､B ，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为2-． （1）证明：直线AB 过定点；（2）过A ､B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C ､D ，问：是否存在一点P 使得A ､C ､P ､D 四点共圆？若存在，求所有满足条件的P 点；若不存在，请说明理由．例31．（2022·浙江丽水·高三统考竞赛）如图，已知抛物线24x y =的焦点为F ，直线:l y m =与抛物线交于,D E 两点，过,D E 分别作抛物线的切线12,l l ，12,l l 交于点A ．过抛物线上一点M （在l 下方）作切线3l ，交12,l l 于点,B C ．（1）当=1m 时，求ABC 面积的最大值； （2）证明A B F C 、、、四点共圆．例32．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A ，()1,1B -，动点P 满足OP mOA nOB =+，且1mn =．设动点P 形成的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的标准方程；（2）过点()2,2T 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，试判断是否存在直线l ，使得A ，B ，M ，N 四点共圆．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．核心考点十一：切线问题 【规律方法】（1）若点()00,P x y 是圆222x y r +=上的点，则过点P 的切线方程为0x x +20y y r =．（2）若点()00,P x y 是圆222x y r +=外的点，由点P 向圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB所在直线方程为200x x y y r +=．（3）若点()00,P x y 是椭圆22221x y a b +=上的点，则过点P 的切线方程为00221x x y ya b+=．（4）若点()00,P x y 是椭圆22221x y a b+=外的点，由点P 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线方程为00221x x y ya b+=．【典型例题】例33．（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22143x y+=的左、右顶点分别为,A B ，过左焦点1F 的直线与椭圆交于点,P Q （点Q 在点P 的上方）．（1）求证：直线,AP AQ 的斜率乘积为定值；（2）过点,P Q 分别作椭圆的切线，设两切线交于点M ，证明：1MF PQ ⊥．例34．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F，且点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点 （1）求椭圆C 的标准方程（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任一点Q ，作圆224:3O x y +=的切线，切点分别为M ，(N M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 的横纵截距分别为m ，n ，求证：22113m n +为定值例35．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1Γ和抛物线2Γ有相同的焦点(1,0)，椭圆1Γ的离心率为12，抛物线2Γ的顶点为原点．（1）求椭圆1Γ和抛物线2Γ的方程；（2）设点P 为抛物线2Γ准线上的任意一点，过点P 作抛物线2Γ的两条切线PA ，PB ，其中,A B 为切点．设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值．核心考点十二：定比点差法 【典型例题】例36．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，过右焦点F 且斜率为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，求k例37．已知22194x y +=，过点(0,3)P 的直线交椭圆于A ，B （可以重合），求PA PB 取值范围．例38．已知椭圆22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11PF F A λ=，22PF F B μ=若2λ=，求μ的值．核心考点十三：齐次化 【典型例题】例39．已知抛物线2:4C y x =，过点(4,0)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．证明：90POQ ︒∠=．例40．如图，椭圆22:12x E y +=，经过点(1,1)M ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q（均异于点(0,1)A -，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．例41．已知椭圆22:14x C y +=，设直线l 不经过点2(0,1)P 且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：直线l 过定点．核心考点十四：极点极线问题 【典型例题】例42．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点()4,0P 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q 在定直线上．例43．（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B 分别是双曲线22:14y E x -=的左，右顶点，直线l （不与坐标轴垂直）过点()2,0N ，且与双曲线E 交于C ，D 两点． （1）若3CN ND =，求直线l 的方程；（2）若直线AC 与BD 相交于点P ，求证：点P 在定直线上．例44．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>与y 轴的交点,A B （点A 位于点B 的上方），F 为左焦点，原点O 到直线FA 的距离为2． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设2b =，直线4y kx =+与椭圆C 交于不同的两点,M N ，求证：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．【新题速递】1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0F ，直线l ：=1x -，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，分别以PQ ，PF 为直径作圆1C 和圆2C ，且圆1C 和圆2C 交于P ，R 两点，且PQR PFR ∠=∠．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若直线1l ：x my a =+交轨迹E 于A ，B 两点，直线2l ：1x =与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线2l 两侧，直线1l 与2l 交于点N 且MA BN AN MB ⋅=⋅，求MAB △面积的最大值．2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆C 中心在原点O ，一个焦点为()0,1F ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，直线,OA OB 分别与直线2y =相交于,M N 两点，若MON ∠为锐角，求直线l 斜率k 的取值范围．3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数()32ln 13x f x x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()y f x =在点A 处的切线为1l ，函数()e e x xg x -=-的图象在点B 处的切线为2l ，12l l ∥，求直线AB的方程．4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，||2||OA OB =．（1）若12BF F △的面积为1C 的标准方程；（2）如图，过点(1,0)P 作斜率(0)k k >的直线l 交椭圆1C 于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线SN 交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使OM ON OQ +=，记四边形OMQN 的面积为1S ，求21OT OQ S k⋅-的最大值．5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，过左焦点F 的直线1(0)x ty t =-≠交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，PM MF λ=，PN NF μ=，记OMN ，2OMF △，2ONF △（2F 为C 的右焦点）的面积分别为123,,S S S ． （1）证明：λμ+为定值；（2）若123S mS S μ=+，42λ-≤≤-，求m 的取值范围．6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率e =，22a c=． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点1F 的直线l 与该椭圆交于M N 、两点，且222263F M F N +=l 的方程．7．（2023·全国·高三专题练习）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的左､右焦点，过2F 作倾斜角为π3的直线交椭圆D 于,A B 两点，1F 到直线AB 的距离为3，连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4． （1）求椭圆D 的方程；（2）已知点()1,0M -，设E 是椭圆D 上的一点，过,E M 两点的直线l 交y 轴于点C ，若CE EM λ=，求λ的取值范围；（3）作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点,P Q ，其中P 点的坐标为()2,0-，若点()0,N t 是线段PQ 垂直平分线上一点，且满足4NP NQ ⋅=，求实数t 的值．8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，,A B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右顶点，焦距长为点P 在椭圆E 上，直线,PA PB 的斜率之积为14-．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点()2,2C -，直线PC 交椭圆E 于点(,M M P 不重合），直线,BM OC 交于点G ．求证：直线,AP AG 的斜率之积为定值，并求出该定值．9．（2023·全国·高三专题练习）已知F ，F '分别是椭圆221:171617C x y +=的上、下焦点，直线1l 过点F '且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段GF 的垂直平分线交2l 于点H ，点H 的轨迹为2C ． （1）求轨迹2C 的方程；（2）若动点P 在直线:20l x y --=上运动，且过点P 作轨迹2C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想PFA ∠与PFB ∠的大小关系，并证明你的结论的正确性．10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆22x a ＋22y b ＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1，0），过F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆22:12+=x E y ，经过点(1,1)M ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点(0,1)A -，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11PF F A λ=，22PF F B μ=，若2λ=，求μ的值．13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且直线1:1x y l a b +=被椭圆1C ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线2:4l y =上的动点M 作圆2C 的两条切线，设切点为,A B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求||||CD AB ⋅的取值范围．14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，动点P 在椭圆上，且使得1290F PF ∠=︒的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线x =-T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求弦||CD 长的取值范围．15．（2023·全国·高三专题练习）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，且右焦点2F的坐标为(1,0)，点(1,2P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程（2）若过点2F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且||AB =l 的方程； （3）过椭圆C 上异于其顶点的任一点Q ，作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为M ，N （M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，那么2212m n +是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．16．（2023·全国·高三专题练习）某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性质：椭圆。

《圆锥曲线大题全攻略》系列课程1.求轨迹方程问题2.圆锥曲线中的定点问题3.圆锥曲线中的定值问题4.圆锥曲线中的最值问题5.点差法解决中点弦问题6.常见几何关系的代数化方法7.圆锥曲线中的非对称“韦达定理”问题处理技巧8.圆锥曲线中的三点共线问题9.巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题10.抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用11.圆锥曲线中的双切线题型圆锥曲线中的求轨迹方程问题解题技巧求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。

它们的解题步骤分别如下：1. 直译法求轨迹的步骤：（1）设求轨迹的点为);,(y x P（2）由已知条件建立关于y x ,的方程；（3）化简整理。

2. 相关点法求轨迹的步骤：（1）设求轨迹的点为),(y x P ，相关点为),(O O y x Q ;（2）根据点的产生过程，找到),(y x 与),(O O y x 的关系，并将O O y x ,用x 和y 表示；（3）将),(O O y x 代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程。

3. 定义法求轨迹方程：（1）分析几何关系；（2）由曲线的定义直接得出轨迹方程。

4. 参数法求轨迹的步骤：（1）引入参数；（2）将求轨迹的点),(y x 用参数表示；（3）消去参数；（4）研究范围。

【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。

【例2.】已知点P 在椭圆1422=+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 31=求动点M 的轨迹方程。

【例3.】已知圆),,(,)(:0236222B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。

【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆1422=+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。

专题1 圆锥曲线的轨迹方程问题轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。

首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等方法1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y 的等式，就得到轨迹方程。

直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。

经典例题：1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【详解】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =，12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）=﹣4，+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |，=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．2．（2020·湖南省高三期末）点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. 求点P 的轨迹方程；【答案】22143x y +=12=，化简即可求出；12=，化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.3．（2021年湖南省高三月考）已知动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54，求P 点的轨迹方程．【答案】轨迹方程是221169x y -=.【分析】利用动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54可得方程，化简由此能求出轨迹M 的方程．【详解】由题意，设P （x ，y ），则()22252516165x y x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得轨迹方程是221169x y -=． 故答案为221.169x y -=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B 级考点，其余都是A 级考点，但高考必考．在理解定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，特别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围)．要能准确建模(方程或不等式)．1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质．3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．1. 若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m ＝________．答案：3或2532. 若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．答案：323. 已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．答案：x 29－y227＝1解析：由题设可得双曲线方程满足3x 2－y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ3－y 2λ＝1，于是c 2＝λ3＋λ＝4λ3.又抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则c 2＝4λ3＝36，于是λ＝27，所以双曲线的方程x 29－y 227＝1.4. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若△PQM 是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，6－22解析：由题意可得点M 坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，又△PQM 是钝角三角形，所以圆心M 到y 轴的距离c 小于22MF ，即c ＜22·b 2a ，2ac ＜b 2＝a 2－c 2，c 2＋2ac －a 2＜0，所以e 2＋2e －1＜0，解得－2－62＜e ＜－2＋62.又e ＞0，所以0＜e ＜－2＋62.题型一 轨迹问题例1 离心率为45的椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)上有一点M 到椭圆两焦点的距离之和为10，以椭圆C 的右焦点F(c ，0)为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT ，T 为切点，且点P 满足|PT|＝|PB|(B 为椭圆C 的上顶点)．(1) 求椭圆的方程；(2) 求动点P 的轨迹的方程．解：(1) ∵ 2a＝10，c a ＝45，a 2＝b 2＋c 2，∴ a ＝5，c ＝4，b ＝3，∴ 椭圆方程是x 225＋y29＝1.(2) 设点P(x ，y)，∵ F(4，0)，R ＝3，B(0，3)，|PT|＝|PB|，∴ PF 2－9＝PB 2，∴ (x －4)2＋y 2－9＝x 2＋(y －3)2，整理得到4x －3y ＋1＝0.如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|. (1) 当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2) 求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解：(1) 设点M 的坐标是(x ，y)，P 的坐标是(x P ，y P )，∵ 点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|，∴ x P ＝x 且y P ＝54y.∵ P在圆x 2＋y 2＝25上，∴ x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5y 42＝25，整理得x 225＋y 216＝1，即C 的方程是x 225＋y 216＝1.(2) 过点(3，0)且斜率为45的直线方程是y ＝45(x －3)，设此直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程x 225＋y 216＝1，得x 225＋（x －3）225＝1，化简得x2－3x －8＝0，∴ x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴ |AB|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625（x 1－x 2）2＝4125×41＝415，即所截线段的长度是415.题型二 椭圆的几何性质例2 已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F 1(2，0)，离心率为e.(1) 若e ＝22，求椭圆的方程； (2) 设A 、B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上．① 证明：点A 在定圆上；② 设直线AB 的斜率为k ，若k≥3，求e 的取值范围．(1)解：由e ＝22，c ＝2，得a ＝22，b ＝2，则所求椭圆方程为x 28＋y24＝1.(2) 设A(x 0，y 0)，则B(－x 0，－y 0)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋22，y 02，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 02，－y 02.① 证明：由题意，得OM →·ON →＝0，化简，得x 20＋y 20＝4，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．② 解：设A(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b 2＝1，x 20＋y 20＝4⎩⎪⎨⎪⎧x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1，x 20＋k 2x 20＝41a 2＋k 2b 2＝14(1＋k 2)． 将e ＝c a ＝2a ，x 得a ＝2e ，b 2＝a 2－c 2＝4e2－4，代入上式整理，得k 2(2e 2－1)＝e 4－2e 2＋1.因为e 4－2e 2＋1>0，k 2＞0，所以2e 2－1＞0，即e ＞22. 又k 2＝e 4－2e 2＋12e 2－1≥3，化简得⎩⎪⎨⎪⎧e 4－8e 2＋4≥0，2e 2－1＞0. 解得12＜e 2≤4－23，即22＜e≤3－1.故离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，3－1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其焦点在圆x 2＋y 2＝1上．(1) 求椭圆的方程；(2) 设A 、B 、M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cos θOA →＋sin θOB →.① 求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；② 求OA 2＋OB 2.(1) 解：依题意，得c ＝1，于是a ＝2，b ＝1，所以所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2) ① 证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②. 又设M(x ，y)，因OM →＝cos θOA →＋sin θOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cos θ＋x 2sin θ，y ＝y 1cos θ＋y 2sin θ.因M 在椭圆上，故（x 1cos θ＋x 2sin θ）22＋(y 1cos θ＋y 2sin θ)2＝1.整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 22＋y 1y 2cos θsin θ＝1.将①②代入上式，并注意cos θsin θ≠0，得x 1x 22＋y 1y 2＝0.所以k OA k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值．② 解：因(y 1y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1x 222＝x 212·x 222＝(1－y 21)·(1－y 22)＝1－(y 21＋y 22)＋y 21y 22，故y 21＋y 22＝1.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x 212＋y 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＋y 22＝2，故x 21＋x 22＝2， 所以OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝3. 题型三 直线与椭圆的位置关系例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M 、N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上．(1) 解：由题意知b ＝22＝2，因为离心率e ＝c a ＝32，所以b a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，所以a ＝22，所以椭圆C 的方程为x 28＋y22＝1.(2) 证明：由题意可设M 、N 的坐标分别为(x 0，y 0)、(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，①直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②(证法1)联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3.由x 208＋y 202＝1可得x 20＝8－4y 20. 因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝8－4y 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝32y 20－96y 0＋728（2y 0－3）2＝8（2y 0－3）28（2y 0－3）2＝1，所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． (证法2)设T(x ，y)．联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋（3y －4）22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 题型四 与椭圆有关的综合问题例4 如图，已知A 1、A 2、B 1、B 2是椭圆C ：x2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点，△A 1B 1B 2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M.(1) 求椭圆C 及圆M 的方程；(2) 若点D 是圆M 劣弧A 1B 2︵上一动点(点D 异于端点A 1、B 2)，直线B 1D 分别交线段A 1B 2、椭圆C 于点E 、G ，直线B 2G 与A 1B 1交于点F.① 求GB 1EB 1的最大值；② 试问：E 、F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解：(1) 由题意知，B 2(0，1)，A 1(－3，0)，所以b ＝1，a ＝3，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.易得圆心M ⎝⎛⎭⎪⎫－33，0，A 1M ＝233， 所以圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋332＋y 2＝43.(2) 设直线B 1D 的方程为y ＝kx －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k<－33， 与直线A 1B 2的方程y ＝33x ＋1联立， 解得点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫233k －1，3k ＋13k －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 23＋y 2＝1， 消去y 并整理，得(1＋3k 2)x 2－6kx ＝0，解得点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 3k 2＋1，3k 2－13k 2＋1， ① 因为G 、E 、B 1共线，所以GB 1EB 1＝|x G ||x E |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 3k 2＋1⎪⎪⎪⎪⎪⎪233k －1＝3k 2－3k3k 2＋1＝1－3k ＋13k 2＋1＝1＋1－（3k ＋1）＋2－（3k ＋1）＋2≤1＋122＋2＝2＋12，当且仅当k ＝－6＋33时，取“＝”，所以GB 1EB 1的最大值为2＋12.② 直线B 2G 的方程为y ＝3k 2－13k 2＋1－16k 3k 2＋1x ＋1＝－13k x ＋1，与直线A 1B 1的方程y ＝－33x －1联立，解得点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 3k －1，3k ＋13k －1，所以E 、F 两点的横坐标之和为233k －1＋－6k3k －1＝－2 3. 故E 、F 两点的横坐标之和为定值，该定值为－2 3.在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y2－4x ＋2＝0的圆心．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1、l 2.当直线l 1、l 2都与圆C相切时，求P 的坐标．解：(1) 由x 2＋y 2－4x ＋2＝0，得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2，0)，从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦距为2c ，由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12，∴ a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2) 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2.则l 1、l 2的方程分别为l 1：y－y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12.由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切，得|2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0.同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0.从而k 1、k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧（2－x 0）2－2≠0，Δ＝8[（2－x 0）2＋y 20－2]>0，① 且k 1k 2＝y 20－2（2－x 0）2－2＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2016＋y 2012＝1，y 20－2（2－x 0）2－2＝12，得 5x 20－8x 0－36＝0，解得x 0＝－2或x 0＝185.由x 0＝－2，得y 0＝±3；由x 0＝185，得y 0＝±575，它们满足①式，故点P 的坐标为(－2，3)或(－2，－3)或⎝⎛⎭⎪⎫185，575，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，－575.1. (2014·安徽卷)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案：x 2＋32y 2＝1解析：设B 在x 轴上的射影为B 0，由题意得|B 0F 1|＝13|F 1F 2|＝2c 3，得B 0坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，0，即B 点横坐标为－5c3.设直线AB 的斜率为k.又直线过点F 1(－c ，0)，∴ 直线AB 的方程为y＝k(x ＋c)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋c ），x 2＋y 2b 2＝1.得(k 2＋b 2)x 2＋2ck 2x ＋k 2c 2－b 2＝0，其两根为－5c3和c ，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧－53c ＋c ＝－2ck 2k 2＋b2，－53c×c＝k 2c 2－b2k 2＋b2，解得c 2＝13，∴ b 2＝1－c 2＝23.∴ 椭圆方程为x 2＋32y 2＝1.2. (2014·江西卷)过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A 、B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为________．答案：22解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，∴ （x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2＝0， 即b 2a 2＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）（x 1－x 2）（x 1＋x 2）＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＝12. ∴ a 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2，∴ e ＝22. 3. (2014·湖北卷)已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为________．答案：433解析：由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，|F 1F 2|＝2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1、e 2.∵ ∠F 1PF 2＝π3，∴ 由余弦定理可得4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3①.在椭圆中，①化简为即4c 2＝4a 21－3r 1r 2，即3r 1r 24c 2＝1e 21－1 ②；在双曲线中，①化简为即4c 2＝4a 22＋r 1r 2，即r 1r 24c2＝－1e 22＋1 ③.联立②③，得1e 21＋3e 22＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 21＋3e 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1e 1＋13×3e 22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 22≤43×4＝163，即1e 1＋1e 2≤163＝433. 4. (2014·湖南卷)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a 、b(a ＜b)，原点O为AD 的中点，抛物线y 2＝2px(p ＞0)经过C 、F 两点，则b a＝________．答案：1＋ 2解析：依题意可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b ，代入抛物线方程得a ＝p ，b 2＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，化简得b 2－2ab －a 2＝0，即b 2a 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －1＝0，解得b a ＝1＋ 2.5. (2014·重庆卷)如图，设椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．解：(1) 设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2， 由|F 1F 2||DF 1|＝22，得DF 1＝|F 1F 2|22＝22c. 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2， 得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322.所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2) 如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，由圆和椭圆的对称性，易知x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x 1|.由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1→＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→＝(－x 1－1，y 1)，再由F 1P 1⊥F 2P 2，得－(x 1＋1)2＋y 21＝0，由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x ＝0.解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在；当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C ，由F 1P 1，F 2P 2过圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥F 1P 1.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝423.6. (2014·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B.已知|AB|＝32|F 1F 2|. (1) 求椭圆的离心率；(2) 设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．解：(1) 设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB|＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2) 由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y2c2＝1.设P(x 0，y 0)，由F 1(－c ，0)，B(0，c)，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c)．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c)c ＋y 0c ＝0. 又c≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c 2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c.代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T(x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c. 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx.由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15，所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2014·南师附中)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)、A 2(2，0)．过点D(1，0)的直线交椭圆于M 、N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1、P 2使得△P 1MN 和△P 2MN 的面积为S ，求S 的取值范围；(3) 求证：点G 在一条定直线上．(1) 解：由题设可知a ＝2.(1分)因为e ＝32，即c a ＝32，所以c ＝ 3.因为b 2＝a 2－c 2＝4－3＝1，所以b ＝1.(2分)(2) 解：由题设可知，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线MN 的方程为y ＝x －1.设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x －1，消去y 可得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85.将x 1＝0，x 2＝85代入直线MN 的方程，解得y 1＝－1，y 2＝35.所以MN ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝852.(4分)设与直线MN 平行的直线m 的方程为y ＝x ＋λ.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋λ，消去y 可得5x 2＋8λx＋4λ2－4＝0，若直线m 与椭圆只有一个交点，则满足Δ＝64λ2－20(4λ2－4)＝0，解得λ＝± 5.(6分)当直线m 为y ＝x －5时，直线MN 与m 之间的距离为d 1＝|－1－（－5）|2＝5－12；当直线m 为y ＝x ＋5时，直线MN 与m 之间的距离为d 2＝|－1－5|2＝5＋12.(8分) 设点C 到MN 的距离为d ，要使△CMN 的面积为S 的点C 恰有两个， 则需满足d 1＜d ＜d 2，即5－12＜d ＜5＋12.因为S ＝12d ·MN ＝452d ，所以45－45＜S ＜45＋45.(10分)(3) 证明：(方法1)设直线A 1M 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，直线A 2N 的方程为y ＝k 2(x －2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k 1（x ＋2），消去y 得(1＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－4＝0，解得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 211＋4k 21，4k 11＋4k 21.同理，可解得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 22－21＋4k 22，－4k 21＋4k 22.(12分) 由M 、D 、N 三点共线，有4k 11＋4k 212－8k 211＋4k 21－1＝－4k 21＋4k 228k 22－21＋4k 22－1， 化简得(k 2－3k 1)(4k 1k 2＋1)＝0.由题设可知k 1与k 2同号，所以k 2＝3k 1.(14分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋2），y ＝k 2（x －2），解得交点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2（k 1＋k 2）k 2－k 1，4k 1k 2k 2－k 1.将k 2＝3k 1代入点G 的横坐标，得x G ＝2（k 1＋k 2）k 2－k 1＝2（k 1＋3k 1）3k 1－k 1＝4.所以，点G 恒在定直线x ＝4上．(16分)(方法2)显然，直线MN 的斜率为0时不合题意． 设直线MN 的方程为x ＝my ＋1.令m ＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.当M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32时，直线A 1M 的方程为y ＝36x ＋33，直线A 2N 的方程为y ＝32x － 3.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝36x ＋33，y ＝32x －3，解得交点G 的坐标为(4，3)； 当M ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，由对称性可知交点G 的坐标为(4，－3)．若点G 恒在一条定直线上，则此定直线必为x ＝4.(12分)下面证明对于任意的实数m ，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． 设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)、G(4，y 0)．由点A 1、M 、G 三点共线，有y 1－0x 1＋2＝y 04＋2，即y 0＝6y 1x 1＋2.再由点A 2、N 、G 三点共线，有y 2－0x 2－2＝y 04－2，即y 0＝2y 2x 2－2.所以6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2. ①将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入①式， 化简得2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0. ②(14分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1，消去x 得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，从而有y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4.将其代入②式，有2m·－3m 2＋4－3·－2mm 2＋4＝0成立．所以当m 为任意实数时，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上．(16分)1. 已知方程x 2m －1＋y22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________，若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 (－∞，1)∪(2，＋∞) 2. 点P 为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点，F 1 、F 2为椭圆的焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为________．答案： 633. 已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．答案：x ＝－14. 设P 点在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则|PQ|的最大值是________．答案：1＋362解析：圆心C(0，2)，|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，于是只要求|CQ|的最大值．设Q(x ，y)，∴ |CQ|＝x 2＋（y －2）2＝9（1－y 2）＋（y －2）2＝－8y 2－4y ＋13.∵ －1≤y≤1，∴ 当y ＝－14时，|CQ|max ＝272＝362，∴ |PQ|max ＝1＋362.5. 如图，椭圆C ：x 216＋y24＝1的右顶点为A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四边形OAMB是矩形(O 为坐标原点)，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点．(1) 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；(2) 若过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于点R 、S(不同于B)，且它们的斜率k 1、k 2满足k 1k 2＝－14，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标．证明：(1) 由题意得A(4，0)，B(0，2)，D(0，－2)，E(2，0)，P(4，1)，所以直线DE的方程为y ＝x －2，直线BP 的方程为y ＝－14x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－14x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝165，y ＝65， 所以直线DE 与直线BP 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫165，65.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫165216＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6524＝1，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫165，65在椭圆x 216＋y 24＝1上，即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上．(2) 直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16k 11＋4k 21，y ＝2－8k 211＋4k 21，所以点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 11＋4k 21，2－8k 211＋4k 21. 因为k 1k 2＝－14，所以直线BS 的斜率k 2＝－14k 1，直线BS 的方程为y ＝－14k 1x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16k 11＋4k 21，y ＝8k 21－21＋4k 21， 所以点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21. (若写成“同理可得点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21”也可以)所以R 、S 关于坐标原点O 对称，故R 、O 、S 三点共线，即直线RS 过定点O.6. 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c 24(c 是椭圆的半焦距)相离，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆G 的两切线，切点分别为M 、N.(1) 若椭圆C 经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，423、⎝ ⎛⎭⎪⎫332，1，求椭圆C 的方程；(2) 当c 为定值时，求证：直线MN 经过一定点E ，并求OP →·OE →的值(O 是坐标原点)； (3) 若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．(1) 解：令椭圆mx 2＋ny 2＝1，其中m ＝1a 2，n ＝1b2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋329n ＝1，274m ＋n ＝1，所以m ＝19，n ＝14，即椭圆C 的方程为x 29＋y24＝1.(2) 证明：直线AB ：x －a ＋y b ＝1，设点P(x 0，y 0)，则OP 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 02，所以点O 、M 、P 、N 所在的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝x 20＋y 204，化简为x 2－x 0x ＋y 2－y 0y ＝0，与圆x 2＋y2＝c 24作差，即有直线MN ：x 0x ＋y 0y ＝c 24.因为点P(x 0，y 0)在直线AB 上，所以x 0－a ＋y 0b＝1，将y 0＝b ＋b a x 0代入MN 方程，化简得x 0(x ＋b a y)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫by －c 24＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b a y ＝0，by －c24＝0，得x ＝－c 24a ，y ＝c 24b ，故定点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 24a ，c 24b ，则OP →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，b a x 0＋b ·(－c 24a ，c 24b )＝c 24. (3) 解：直线AB ：x －a ＋y b ＝1与圆G ：x 2＋y 2＝c 24(c 是椭圆的半焦距)相离，则ab a 2＋b 2＞c 2，即4a 2b 2＞c 2(a 2＋b 2)，即4a 2(a 2－c 2)＞c 2(2a 2－c 2)，得e 4－6e 2＋4＞0.因为0＜e ＜1，所以0＜e 2＜3－ 5.①连结ON 、OM 、OP ，若存在点P 使△PMN 为正三角形，则在Rt △OPN 中，OP ＝2ON ＝2r ＝c ，所以ab a 2＋b 2≤c ，即a 2b 2≤c 2(a 2＋b 2)，即a 2(a 2－c 2)≤c 2(2a 2－c 2)，得e 4－3e 2＋1≤0.因为0＜e ＜1，所以3－52≤e 2＜1.②综上，由①②得3－52≤e 2＜3－5，所以5－12≤e ＜10－22.。

专题2.10 圆锥曲线-抛物线1．求轨迹方程的常用方法（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x ，y 的等式就得到曲线的轨迹方程了．（2）定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程．（3）相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程． 2．解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则()()2121222121221(1)(1)44AB k x x x x y y y y k ⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦-⋅+-⋅⎣+⎦(k 为直线斜率)．3．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．1．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过焦点F 作x 轴的垂线与抛物线C 相交于M 、N 两点，2MON S =△．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若A 、B 两点在抛物线C 上，且10AF BF +=，求证：直线AB 的垂直平分线l 恒过定点．2．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，M （4，0y ）是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，3cos 5OFM ∠=-．（1）求抛物线C 的方程；（2）P （a ，b ）（0a ≠）为抛物线C 上一点，过点P 的直线l 与圆()2231x y -+=相切，这样的直线l 有两条，它们分别交该抛物线C 于A ，B （异于点P ）两点．若直线l 的方程为x ty tb a =-+，当|P A |=|PB |时，求实数a 的值．3．已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，点11,4T ⎛⎫⎪⎝⎭在E 上．（1）求TF ；（2）O 为坐标原点，E 上两点A 、B 处的切线交于点P ，P 在直线2y =-上，P A 、PB 分别交x 轴于M 、N 两点，记OAB 和PMN 的面积分别为1S 和2S ．试探究：12S S 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．4．已知过点()2,0P 的动直线与抛物线2:2(0)C y px p =>交于点,A B ，抛物线C 的焦点为F ，当点A 横坐标为32时，2AF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）当直线AB 变动时，x 轴上是否存在点Q ，使得点P 到直线,AQ BQ 的距离相等，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由．5．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线C 上一点(4,)M m 到其焦点的距离为6．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）不过原点的直线:l y x m =+与抛物线C 交于不同两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求m 的值．6．已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，直线:21l y x =+与C 交于,A B 两点．且20AF BF +=． （1）求C 的方程；（2）设动直线m 平行于直线l ，且与C 交于M ，N 两点，直线AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在一条定直线上．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M （0，18），点P 到点M 的距离比点P 到x 轴的距离大18，记P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）过点P （0x ，0y ）（其中00x ≠）的两条直线分别交C 于E ，F 两点，直线PE ，PF 分别交y 轴于A ，B 两点，且满足PA PB =．记1k 为直线EF 的斜率，2k 为C 在点P 处的切线斜率，判断12k k +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．8．动圆P 与直线1x =-相切，点(1,0)F 在动圆上． （1）求圆心P 的轨迹Q 的方程；（2）过点F 作曲线O 的两条互相垂直的弦AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 必过定点．9．如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B两点，动点P 满足P AB 的垂心为原点O ．当直线l 的倾斜角为30°时，16AB =．（1）求抛物线C 的标准方程； （2）求证：点P 在定直线上．10．已知椭圆方程为221259y x +=，若抛物线22(0)x py p =>的焦点是椭圆的一个焦点．（1）求该抛物线的方程；（2）过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在点A ，B 处作抛物线的切线，两条切线交于P 点，则PAB △的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l 的方程；若不存在，请说明理由．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()04,P y 是抛物线C 上一点，点Q 是PF 的中点，且Q 到抛物线C 的准线的距离为72． （1）求抛物线C 的方程；（2）已知圆22:(2)4M x y -+=，圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求证：OA ，OB 的斜率之差的绝对值为定值．12．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点R 的横坐标为1，焦点为F ，且||2RF =，过点(4,0)P -作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，D 为线段P A 上的动点，过D 作抛物线的切线，切点为E （异于点A ，B ），且直线DE 交线段PB 于点H ．（1）求抛物线C 的方程； （2）求证：||||AD BH +为定值；13．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线经过点(1,H -，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，点()1,(P m 其中0)m >在抛物线C 上，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设O 为原点，若,QM QO QN QO λμ==，求证：11λμ+为定值．14．在直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>与直线:4l x =交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．抛物线C 的准线与x 轴点交于点M ，G 是以M 为圆心，OM 为半径的圆上的一点（非原点），过点G 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）求抛物线C 的方程； （2）求ABG 面积的取值范围．15．已知面积为的等边ABO （O 是坐标原点）的三个顶点都在抛物线()2:20E y px p =>上，过点(),2P p -作抛物线E 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点． （1）求p 的值；（2）求PMN 的外接圆的方程．16．已知抛物线C ：22y px =（0p >），过焦点F 作x 轴的垂线与抛物线C 相交于M ､N 两点，S △MON =2．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）点A 是抛物线C 上异于点O 的一点，连接AO 交抛物线的准线于点D ，过点D 作x 轴的平行线交抛物线于点B ，求证：直线AB 恒过定点．17．已知抛物线2:2C x py =的焦点为F ，抛物线上一点()(),20A m m >到F 的距离为3， （1）求抛物线C 的方程和点A 的坐标；（2）设直线l 与抛物线C 交于D ，Ｅ两点，抛物线C 在点D ，E 处的切线分别为12,l l ，若直线1l 与2l 的交点恰好在直线2y =-上，证明：直线l 恒过定点．18．焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上点0(2)P x 到原点O 的距离等于它到抛物线的准线的距离．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）抛物线C 上A 、B 两点，以AB 为直径的圆经过焦点F ，若AFB △的面积为4，且直线AB 的斜率存在，求直线AB 的方程．19．已知点F 为抛物线E ：22y px =（0p >）的焦点，点P （−3，2），25PF =点P 作直线与抛物线E 顺次交于A ，B 两点，过点A 作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C ．（1）求抛物线E 的标准方程； （2）求证：直线BC 过定点；（3）若直线BC 所过定点为点Q QAB ，△PBC 的面积分别为S 1，S 2，求12S S 的取值范围20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，(4,)()P m m p ->是抛物线C 上一点，且||5PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线AB 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线P A ，PB 关于直线4y =对称，当||20AB =时，求直线AB 的方程．21．已知动点P 到点()0,1F 和直线l ：1y =-的距离相等． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线C ，点Q 在直线l 上，过Q 的两条直线QA ，QB 与曲线C 相切，切点分别为A ，B ，以AB 为直径作圆M ，判断直线l 和圆M 的位置关系，并证明你的结论．22．已知抛物线E ：22y px =（02p <<）上一点Q (),2Q x 到其焦点的距离为52． （1）求抛物线E 的方程，（2）设点P ()00,x y 在抛物线E 上，且204y ≠，过P 作圆C ：()2244x y -+=的两条切线，分别与抛物线E 交于点M ，N （M ，N 两点均异于P ）．证明：直线MN 经过R ()06,y -．23．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F A ，为C 上异于原点的任意一点，过A 作直线1x =-的垂线，垂足为H B ，为x 轴上点．AF FB =且四边形AHFB 为平行四边形．直线AF AB ，与抛物线C 的另一个交点分别为.D E ，（1）求抛物线C 的方程；（2）求三角形ADE 面积的最小值．24．如图，设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，圆()22:14E x y ++=与y 轴的正半轴的交点为A ，AEF 为等边三角形．（1）求抛物线C 的方程；（2）设抛物线C 上的点()001,04P y y ⎛⎫⎪⎭>⎝处的切线与圆E 交于M ，N 两点，问在圆E 上是否存在点Q ，使得直线QM ，QN 均为抛物线C 的切线，若存在，求Q 点坐标；若不存在，请说明理由．25．已知动点Q 到直线2x =-的距离比到定点(1,0)的距离大1．（1）写出动点Q 的轨迹C 的方程；（2）设1x my =+为过(1,0)作曲线C 的任一条弦AB 所在直线方程，弦AB 的中点为D ，过D 点作直线DP 与直线1x =-交于点P ，与x 轴交于点M ，且使得||||PA PB =，||||PD AB =，求PMF ∠的正弦值（其中F 为定点(1,0))．。