【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.3(含答案)

第二章２．8 第8课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是()A．－2,3B．2,3C．2，－3 D．－2，－3答案 B解析由f(x)＝－x2＋5x－6＝0，得x＝2,3.即函数f(x)的零点．2．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上()A．有两个零点B．有三个零点C．仅有一个零点D．无零点答案 C解析由于f(x)＝x3－x2－x＋1＝(x2－1)(x－1)令f(x)＝0得x＝－1,1，因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点．3．下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是()答案 B解析用二分法只能求变号零点的近似值，而B中的零点左右值同号．4．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A．[0,1] B．[1,2]C．[－2，－1] D．[－1,0]答案 D解析函数f(x)在区间[a，b]上有零点，需要f(x)在此区间上的图象连续且两端点函数值异号，即f(a)f(b)≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D.5．(2010·天津，文)函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2,1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 C解析由f(x)＝0得e x＋x－2＝0，即e x＝2－x.∴原函数的零点就是函数y＝e x与y＝2－x图象交点的横坐标x0，显然0<x0<1.6．设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于区间()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案 C解析令f(x)＝ln x＋x－4，注意到函数在定义域上是增函数，f(2)＝ln2＋2－4＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋3－4＝ln3－1>0，故函数在(2,3)上有唯一实数根．7.函数f(x)＝ln x－1x－1的零点的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C解析如图可知，y＝1x－1与y＝ln x的图象有两个交点．8．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是() A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 B解析由题意可知f(－2)＝14－6＜0，f(－1)＝12－3＜0，f(0)＝1＞0，f(1)＞0，f(2)＞0，f(－1)·f(0)＜0，因此在区间(－1,0)上一定有零点．因此选B.二、填空题9.右图是用二分法求方程2x＋3x＝7在(1,2)内近似解的程序框图，要求解的精确度为0.01，则框图中(1)处应填________，(2)处应填________．答案f(a)·f(m)<0|a－b|<0.01或f(m)＝0解析由二分法求解过程及程序框图的运行过程可得出答案．10．若f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)＝0有三个零点，则这三个零点之和等于________．答案0解析由于方程f(x)＝0有三个根，且f(x)为偶函数，则一根为零，而另二根为互为相反数．11函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.答案 2解析求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<ln e＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.12．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－log12x，h(x)＝log2x－x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．答案x1<x2<x3解析令函数f(x)＝x＋2x＝0，因为2x恒大于零，故要使得x＋2x＝0，x必须小于零，即x1小于零；令g(x)＝x－log12x＝0，则x＝log12x，要使得log12x有意义，必须有x>0，又x＝log12x，从而0<x<1，即0<x2<1；令h(x)＝log2x－x＝0，得：log2x＝x ，则x >1，即x 3>1，从而x 1<x 2<x 3.三、解答题13．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出零点．答案 m ＝－2，零点是x ＝0解析 解法一 令2x ＝t ，则t >0，则g (t )＝t 2＋mt ＋1＝0 仅有一正根，而g (0)＝1>0，故∴m ＝－2.解法二 令2x ＝t ，则t >0.原函数零点，即方程t 2＋mt ＋1＝0的根 ∴t 2＋1＝－mt∴－m ＝t 2＋1t ＝t ＋1t (t >0)有一个零点，即方程只有一根∵t ＋1t ≥2(当且仅当t ＝1t 即t ＝1时) ∴－m ＝2即m ＝－2时，只有一根．注：解法一侧重二次函数，解法二侧重于分离参数．14．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，当x ∈[－2,2]时，函数至少有一个零点，求a 的范围．答案 a ≤－7或a ≥2解析 (1)有一个零点，则f (－2)f (2)<0或f (－2)＝0或f (2)＝0∴a ≤－7或a >73 (2)有两个零点∴2≤a ≤73综合以上：a ≤－7或a ≥2.拓展练习·自助餐1．若x 0是方程(12)x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A ．(23，1)B ．(12，23)C ．(13，12)D ．(0，13)答案 C解析 结合图形(12)13>(13)13，(12)12<(12)13，∴x 0属于区间(13，12)．2．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 B解析 令f (x )＝x 3－(12)x －2，f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，∴x 0∈(1,2)． 3．已知函数f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则( )A ．－1<a <1B ．a >1或a <－2C ．－2<a <1D ．a >2或a <－1 答案 C解析 由条件知f (1)<0，即a 2＋a －2<0， ∴－2<a <1.4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 答案 B解析 由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f (x 1)<0，在(x 0，＋∞)上f (x 2)>0，故选B.5．如图是二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(14，12)B ．(12，1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案 B解析 因为f (1)＝0，即b ＝a ＋1，又f (0)＝a >0，所以b >1，又对称轴为b2∈(0,1)，所以0<b <2，即1<b <2，又f ′(x )＝2x －b ，所以g (x )＝ln x ＋2x －b ，又g (1)＝2－b >0，g (12)＝ln 12＋1－b <0，所以函数g (x )的零点在区间(12，1)上，故选B.教师备选题1．设函数f (x )＝4sin (2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4] 答案 A解析 f (0)＝4sin 1>0，f (2)＝4sin 5－2，由于π<5<2π，所以sin 5<0，故f (2)<0，故函数f (x )在[0,2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数f (x )在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点；令x ＝5π－24∈[2,4]，则f (5π－24)＝4sin 5π2－5π－24>0，而f(2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点．综合各选项可知选A.2．(高考改编)已知f(x)＝e x－k－x，其中x∈R，当k>1时，判断函数f(x)在[k,2k]内有无零点．解f(k)·f(2k)＝(e k－k－k)·(e2k－k－2k)＝(1－k)·(e k－2k)．∵k>1，∴1－k<0.令g(k)＝e k－2k，g(1)＝e1－2>0，又g′(k)＝e k－2，当k>1时，g′(k)>e－2>0，∴k∈(1，＋∞)，g(k)为增函数．∴g(k)>g(1)>0.∴k>1时，e k－2k>0.∴f(k)·f(2k)<0.∴即函数f(x)当k>1时在[k,2k]内存在零点．3．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则()A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<a<b答案 B解析由于f(－1)＝12－1＝－12<0，f(0)＝1>0，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h(12)＝－1＋12＝－12<0，h(1)＝1>0，故h(x)的零点c∈(12，1)，因此a<c<b.4．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．答案(1)m≥2e(2)m>－e2＋2e＋12解析(1)解法一：∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．解法二：作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的图象如图：可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.解法三：解方程g(x)＝m，即x2－mx＋e2＝0(x>0)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的图象如图．∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是m>－e2＋2e＋1.。

第十一章 11.5 第5课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．实验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )A.y ^＝x ＋1 B.y ^＝x ＋2 C.y ^＝2x ＋1 D.y ^＝x －1 答案 A解析 画出散点图，四点都在直线y ^＝x ＋1.2．下列有关样本相关系数的说法不正确的是( ) A ．相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度 B ．|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大 C ．|r |≤1，且|r |越接近0，相关程度越小 D ．|r |≥1，且|r |越接近1，相关程度越小 答案 D3．由一组样本(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y ^＝a ＋bx ，下面有四种关于回归直线方程的论述：(1)直线y ^＝a ＋bx至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；(2)直线y ^＝a ＋bx 的斜率是∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －nx2；(3)直线y ^＝a ＋bx 必过(x ，y )点；(4)直线y ^＝a ＋bx 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑ni ＝1 (y i －a －bx i )2是该坐标平面上所有的直线与这些点的偏差中最小的直线．其中正确的论述有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 D解析 线性回归直线不一定过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的任何一点；b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2就是线性回归直线的斜率，也就是回归系数；线性回归直线过点(x ，y )；线性回归直线是平面上所有直线中偏差∑ni ＝1 (y i －a －bx i )2取得最小的那一条．故有三种论述是正确的，选D.4．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有( )A ．b 与r 的符号相同B ．a 与r 的符号相同C ．b 与r 的符号相反D ．a 与r 的符号相反 答案 A5．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R 2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是( )A ．甲B ．乙C ．甲、乙相同D ．不确定 答案 A6．某化工厂为预测产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取8对观测值，计算，得∑8i ＝1x i ＝52，∑8i ＝1y i ＝228，∑8i ＝1x 2i ＝478，∑8i ＝1x i y i ＝1849，则其线性回归方程为( )A.y ^＝11.47＋2.62x B.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^＝2.62＋11.47x D.y ^＝11.47－2.62x答案 A解析 利用回归系数公式计算可得a ＝11.47，b ＝2.62，故y ^＝11.47＋2.62x . 二、填空题7．下表是某厂1由散点图可知，其线性回归直线方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a 等于____．解析 x ＝2.5，y ＝3.5，∵回归直线方程过定点(x ，y )，∴3.5＝－0.7×2.5＋a .∴a ＝5.25. 8．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．(参考公式：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x )答案 46解析 由所提供数据可计算得出x ＝10，y ＝38，又b ≈－2代入公式a ＝y －b x 可得a ＝58，即线性回归方程y ^＝－2x ＋58，将x ＝6代入可得．9．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别．________.答案 392×(39×167－29×157)268×324×196×196≈1.78不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论解析 提出假设H 0：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别．根据列联表中的数据，可以求得K 2＝392×(39×167－29×157)268×324×196×196≈1.78.当H 0成立时K 2≈1.78，而K 2＜2.072的概率为0.85.所以，不能否定假设H 0.也就是不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．三、解答题10．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2010年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率； (2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得到的线性回归方程是否可靠？解析 (1)设抽到不相邻的两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)其中数据为12月份的日期数．每种情况都是可能出现的，事件A 包括的基本事件有6种：所以P (A )＝610＝35.所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是35. (2)由数据，求得x ＝12，y ＝27.由公式，求得b ＝52，a ＝y －b x ＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(3)当x ＝10，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|＜2；同样，当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|＜2； 所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．11．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x )解析 (1)散点图如图．(2)由表中数据得：∑4i ＝1x i y i ＝52.5， x ＝3.5，y ＝3.5，∑4i ＝1x 2i ＝54， ∴b ＝0.7， ∴a ＝1.05， ∴y ^＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图所示．(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时 )． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．12．为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .(1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率； (2)下表1和表2分别是注射药物A 和B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm 2)小；(ⅱ)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9% 的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．表3：附：K 2＝n (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解析 (1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为p ＝2C 99198C 100200＝100199.(4分)(2)ⅰ可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数．(ⅱ)表3：K 2＝200×(100×100×105×95≈24.56.由于K 2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．。

第十一章 11.4 第4课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．一组数据的平均数是2.8、方差是3.6、若将这组数据中的每一个数据都加上60、得到一组新数据、则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．57.2,3.6B ．57.2,56.4C ．62.8,63.6D ．62.8,3.6答案 D解析 平均数增加60、即为62.8.方差＝1n ∑n i －1[(a i ＋60)－(a ＋60)]2＝1n ∑n i －1 (a i －a )2＝3.6、故选D.2．商场在国庆黄金周的促销活动中、对10月2日9时至14时的销售额进行统计、其频率分布直方图如图所示、已知9时至10时的销售额为2.5万元、则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元答案 C解析 由0.40.1＝x 2.5、得10万元、故选C.3．在某项体育比赛中、七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后、所剩数据的平均值和方差分别为( )A ．92,2B ．92,2.8C ．93,2D ．93,2.8答案 B解析 去掉一个最高分95与一个最低分89后、所得的5个数分别为90、90、93、94、93、所以x ＝90＋90＋93＋94＋935＝4605＝92、 S 2＝2×(90－92)2＋2×(93－92)2＋(94－92)25＝145＝2.8、故选B.4．如图、样本A 和B 分别取自两个不同的总体、它们的样本平均数分别为xA和x B、样本标准差分别为S A和S B、则()A.x A>x B、S A>S BB.x A<x B、S A>S BC.x A>x B、S A<S BD.x A<x B、S A<S B答案 B解析由图可知A组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10、B组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10、所以x A＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.56、x B＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝706.显然x A<x B、又由图形可知、B组的数据分布比A均匀、变化幅度不大、故B组数据比较稳定、方差较小、从而标准差较小、所以S A>S B、故选B.5．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度、其茎叶图如图．根据茎叶图、下列描述正确的是()A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度、且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度、但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度、且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度、但甲种树苗比乙种树苗长得整齐答案 D解析根据茎叶图计算得甲种树苗的平均高度为27、而乙种树苗的平均高度为30、但乙种树苗的高度分布不如甲种树苗的高度分布集中、故D正确．6．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试、测得他们最大速度的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31乙：33,29,38,34,28,36根据以上数据、判断他们的优秀情况、结论为()A．甲比乙更优秀B．乙比甲更优秀C．甲、乙一样优秀D．不确定答案 B解析根据统计知识可知、需要计算两组数据的x与s2、然后加以比较、最后再做出判断．x甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33、x乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33、s2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝16×94.s2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝16×76.∴x甲＝x乙、s2甲＞s2乙、由此可以说明、甲、乙二人的最大速度的平均值相同、但乙比甲的方差小、故乙比甲更优秀．二、填空题7．在样本的频率分布直方图中、共有11个小长方形、若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14、且样本容量为160、则中间一组的频数为________．答案32解析中间一个占总面积的15、即15＝x160、∴x＝32.8．为了了解某校高三学生的视力情况、随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况、得到频率分布直方图如下图、由于不慎将部分数据丢失、但知道后5组频数和为62、设视力为4.6到4.8之间的学生数为a、最大频率为0.32、则a的值为____．答案54解析前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.∵后五组频数和为62、∴前三组为38.∴第三组为22、又最大频率为0.32的最大频数为0.32×100＝32、∴a＝22＋32＝54.9．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛、9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后、算得平均分为91、复核员在复核时、发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清、若记分员计算无误、则数字x应该是________．答案 1解析 若茎叶图中的x 对应的分数为最高分、则有平均分＝89＋89＋91＋92＋92＋93＋947≈91.4≠91.故最高分应为94. 故去掉最高分94、去掉最低分88、其平均分为91、∴89＋89＋92＋93＋x ＋92＋917＝91、解得x ＝1. 10．在2008年第29届北京奥运会上、我国代表团的金牌数雄踞榜首．如图是位居金牌榜前十二位的代表团获得的金牌数的茎叶图、则这十二个代表团获得的金牌数据的平均数与中位数的差m 的值为( )A.3.5B ．4C ．4.5D ．5答案 B11某棉纺厂为了解一批棉花的质量、从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中、其频率分布直方图如图所示、则在抽测的100根中、有________根棉花纤维的长度小于20 mm.答案 30解析 由题意知、棉花纤维的长度小于20 mm 的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3、故抽测的100根中、棉花纤维的长度小于20 mm 的有0.3×100＝30(根)．三、解答题12．下图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况、作抽样调查后画出的样本频率分布直方图、已知图中第一组的频数为4000、请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点、不包括右端点、如第一组表示收入在[1000,1500))(1)求样本中月收入在[2500,3500)的人数．(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系、必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析、则月收入在[1500,2000)的这段应抽多少人？解析(1)∵月收入在[1000,1500)的概率为0.0008×500＝0.4、且有4000人、∴样本的容量n＝40000.4＝10000；月收入在[1500,2000)的频率为0.0004×500＝0.2；月收入在[2000,2500)的频率为0.0003×500＝0.15；月收入在[3500,4000)的频率为0.0001×500＝0.05；∴月收入在[2500,3500)的频率为1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.2.∴样本中月收入在[2500,3500)的人数为0.2×10000＝2000.(2)∵月收入在[1500,2000)的人数为0.2×10000＝2000、∴再从10000人中用分层抽样方法抽出100人、则月收入在[1500,2000)的这段应抽取100×200010000＝20(人)．13.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高、测量发现被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间、将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)、…、第八组[190,195)、上图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、已知第一组与第八组人数相同、第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180 cm以上(含180 cm)的人数；(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生、记他们的身高分别为x、y、求满足|x－y|≤5的事件频率．解析由频率分布直方图知、前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82、后三组频率为1－0.82＝0.18、人数为0.18×50＝9人、这所学校高三男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144人．(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04、人数为0.04×50＝2人、设第六组人数为m 、则第七组人数为9－2－m ＝7－m 、又m ＋2＝2(7－m )、所以m ＝4、即第六组人数为4人、第七组人数为3人、频率分别为0.08,0.06.频率除以组距分别等于0.016,0.012、见图．(3)由(2)知身高在[180,185]内的人数为4人、设为a 、b 、c 、d 、身高在[190,195]的人数为2人、设为A 、B .若x 、y ∈[180,185]时、有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共六种情况．若x 、y ∈[190,195]时、有AB 共一种情况若x 、y 分别在[180,185][190,195]内时、有aA 、bA 、cA 、dA 、aB 、bB 、cB 、dB 共8种情况．所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15种．事件|x －y |≤5所包含的基本事件个数有6＋1＝7种、故P (|x －y |≤5)＝715.14．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A .将其与原有的一个优良品种B 进行对照实验．两种小麦各种植了25亩、所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A ：357,359,367,368,375,388,392,399,400、 405,412,414,415,421,423,423,427,430、 430,434,443,445,445,451,454品种B ：363,371,374,383,385,386,391,392,394、 394,395,397,397,400,401,401,403,406、 407,410,412,415,416,422,430(Ⅰ)完成数据的茎叶图；(Ⅱ)用茎叶图处理现有的数据、有什么优点？(Ⅲ)通过观察茎叶图、对品种A 与B 的亩产量及其稳定性进行比较、写出统计结论．答案 (Ⅰ)(Ⅱ)由于每个品种的数据都只有25个、样本不大、画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况、便于比较、没有任何信息损失、而且还可以随时记录新的数据．(Ⅲ)通过观察茎叶图可以看出：①品种A 的亩产平均数(或均值)比品种B 高；②品种A 的亩产标准差(或方差)比品种B 大、故品种A 的亩产稳定性较差．15．某工厂有工人1000名、其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)、另外750名工人参加过长期培训 (称为B 类工人)．现用分层抽样方法(按A 类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人、调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．(Ⅰ)求甲、乙两工人都被抽到的概率、其中甲为A 类工人、乙为B 类工人； (Ⅱ)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.表1：类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算、可通过观察直方图直接回答结论)(ⅱ)分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数、并估计该工厂工人的生产能力的平均数．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)解析 (Ⅰ)甲、乙被抽到的概率均为110、且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立、故甲、乙两工人都被抽到的概率为p ＝110×110＝1100.(Ⅱ)(ⅰ)由题意知A 类工人中应抽查25名、B 类工人应抽查75名．故4＋8＋x ＋5＋3＝25、得x ＝5,6＋y ＋36＋18＝75、得y ＝15.频率分布直方图如下：从直方图可以判断、B 类工人个体间的差异程度更小．(ⅱ)x A ＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123、x B ＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8、x ＝25100×123＋75100×133.8＝131.1.A 类工人生产能力的平均数、B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.拓展练习·自助餐1．样本数为9的一组数据、它们的平均数是5、频率条形图如图、则其标准差等于________．(保留根号)答案 2 2解析 由条形图知2与8的个数相等、且多于5的个数、于是这9个数分别为2,2,2,2,5,8,8,8,8.∵x ＝5、∴s 2＝19[(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(5－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2]＝19×8×9＝8、∴s ＝2 2.2．从某小学随机抽取100名同学、将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)、由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)、[130,140)、[140,150]三组内的学生中、用分层抽样的方法选取18人参加一项活动、则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．答案 0.030 3解析 因为直方图中的各个矩形的面积之和为1、所以有10×(0.005＋0.035＋a ＋0.020＋0.010)＝1、解得a ＝0.030.由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60人．其中身高在[140,150]内的学生人数为10人、所以从身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为1860×10＝3人．3．根据空气质量指数API(为整数)的不同、可将空气质量分级如下表：对某城市一年(365天)的空气质量进行监测、获得的API数据按照区间[0,50]、(50,100]、(100,150]、(150,200]、(200,250]、(250,300]进行分组、得到频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；(3)求该城市的某一周至少2天的空气质量为良或轻微污染的概率．(结果用分数表示、已知57＝78125,27＝128、31825＋2365＋71825＋89125＝1239125、365＝73×5)解析(1)根据频率分布直方图可知x＝{1－(31825＋2365＋71825＋89125)×50}÷50＝11918250.(2)空气质量为Y的天数＝(Y对应的频率÷组距)×组距×365＝100(天)．所以一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是11918250×50×365＝119(天)和2365×50×365＝100(天)．(3)设A、B分别表示随机事件“空气质量为良”和“空气质量为轻微污染”、则事件A与B互斥．所以空气质量为良或轻微污染的概率是P＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝119365＋100 365＝35.设X表示该城市某一周的空气质量为良或轻微污染的天数、则X～B(7、3 5)、故所求的概率是P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－(25)7－7·35(25)6＝7665378125.4．为了解学生身高情况、某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查、测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在165～180 cm之间的女生中任选2人、求至少有1人身高在170～180 cm之间的概率．解析(1)样本中男生人数为40、由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知、样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人、样本容量为70、所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝35 70＝0.5、故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率p＝0.5.(3)样本中女生身高在165～180 cm之间的人数为10、身高在170～180 cm之间的人数为4.设A表示事件“从样本中身高在165～180 cm之间的女生中任取2人、至少有1人身高在170～180 cm之间”、则P(A)＝1－C26C210＝23(或P(A)＝C16·C14+C24C210＝23)．。

第十章 10.6 第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．如图为一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)、在其内部随机地撒一粒黄豆、则它落在阴影部分的概率为()A.2πB.1πC.12 D ．1－2π 答案 D解析 S 扇形＝14πR 2＝π、S △＝12×2×2＝2、S 阴影＝S扇形－S △＝π－2.由几何概型概率公式得黄豆落在阴影部分的概率P ＝π－2π＝1－2π.2．在集合{(x 、y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}内任取一个元素、能使不等式x 5＋y2－1≤0成立的概率为( )A.14B.34C.13D.23 答案 A解析 集合{(x 、y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线x ＝0、x ＝5、y ＝0、y ＝4所围成的长为5、宽为4的矩形、而不等式x 5＋y2－1≤0和集合{(x 、y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}表示区域的公共部分是以5为底、2为高的一个直角三角形、由几何概型公式可以求得概率为12×5×25×4＝14.3.如右图、在一个长为π、宽为2的矩形OABC 内、曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成的如图所示的阴影部分、向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能 )、则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4 答案 A解析 S 矩形OABC ＝2π、S 阴影＝⎠⎛0πsin x d x ＝2、由几何概型概率公式得P ＝22π＝1π.4．已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 、其中0≤b ≤4,0≤c ≤4、记函数f(x)满足条件⎩⎨⎧f (2)≤12f (－2)≤4为事件A 、则事件A 发生的概率为( ) A .14 B .58 C .12 D .38 答案 C解析 由题意知、事件A 所对应的线性约束条件为⎩⎨⎧0≤b ≤40≤c ≤44＋2b ＋c ≤124－2b ＋c ≤14、其对应的可行域如图中阴影部分所示、所以事件A 的概率P(A)＝S △OAD S 正方形OABC＝12、选C .5．已知实数a 满足－3<a<4、函数f(x)＝lg (x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1、定义域为R 的概率为P 2、则( )A ．P 1>P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1<P 2D ．P 1与P 2的大小不确定 答案 C解析 若f (x )的值域为R 、则Δ1＝a 2－4≥0、得a ≤－2或a ≥2.故P 1＝－2－(－3)4－(－3)＋4－24－(－3)＝37.若f (x )的定义域为R 、则Δ2＝a 2－4<0、得－2<a <2故P 2＝47.∴P 1<P 2. 二、填空题6．函数f (x )＝x 2－x －2、x ∈[－5,5]、那么任取一点x 0使f (x 0)≤0的概率为________．答案 0.3 解析 如图、在[－5,5]上函数的图象与x 轴交于两点(－1,0)、(2,0)、而x 0∈[－1,2]、那么f (x 0)≤0.所以P ＝区间[－1，2]的长度区间[－5，5]的长度＝310＝0.3.7．在区间(0,2)内任取两数m 、n (m ≠n )、则椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1的离心率大于32的概率为________．答案 12解析 如图、m 、n 的取值在边长为2的正方形中．当m >n 时、椭圆离心率e ＝m 2－n 2m ＝1－(nm )2、由e >32、得m >2n .同理、当m <n 时、n >2m .故满足条件的m 、n 为图中阴影部分．所求概率P ＝2×12×2×122＝12.8．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.其中实数a 、b 满足⎩⎨⎧a ＋b －8≤0a >0，b >0，则函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数的概率是________．答案 13分析 这个概率就是函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数时点(a 、b )在已知区域中所占有的面积和已知区域的面积之比．解析函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在[1、＋∞)单调递增的充要条件是2b a ≤1、即b ≤a2.作出平面区域如图所示、问题等价于向区域OAB 中任意掷点、点落在区域OAC (其中点C 的坐标是(163、83))中的概率、这个概率值是12×83×812×8×8＝13.9．已知菱形ABCD 的边长为2、∠A ＝30°、则该菱形内的点到菱形的顶点A 、B 的距离均不小于1的概率是________．解析如图所示、只有当点位于图中的空白区域时、其到A 、B 的距离才均不小于1、菱形的面积为2×2×sin30°＝2、两个阴影部分的扇形面积之和恰好是一个半径为1的半圆、其面积为π2、故空白区域的面积为2－π2、所求的概率是2－π22＝4－π4＝1－π4.10．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P 、则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．解析 满足条件的点在半径为a 的18球内、所以所求概率为p ＝18×43πa 3a 3＝π6.11．利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a 和b 、则方程x ＝－2a －abx 有实根的概率为________．答案 14解析 方程x ＝－2a －abx 即x 2＋2ax ＋ab ＝0若方程有实根、则有Δ＝4a 2－4ab ≥0、即b ≤a 、其所求概率可转化为几何概率、如图、其概率等于阴影面积与正方形面积之比．∴P ＝12.12．周长为定值的扇形OAB 、当其面积最大时、向其内任意掷一点、则点落在△OAB 内的概率是__________．答案 12sin2解析 设扇形周长为m 、半径为r 、则弧长l ＝m －2r 、扇形的面积是12rl ＝12r (m －2r )≤14·(2r ＋m －2r 2)2＝m 216、当且仅当r ＝m 4时等号成立、此时扇形的弧长为m2、故此时扇形的圆心角为lr ＝2弧度、点落在△OAB 内的概率是12r 2sin212×2×r2＝12sin2.三、解答题13．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头、它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时 、求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时、乙船的停泊时间为2小时、求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y 、则0≤x <24,0≤y <24且y －x >4或y －x <－4.作出区域⎩⎨⎧0≤x <24，0≤y <24y －x <4或y －x <－4设“两船无需等待码头空出”为事件A 、则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时、两船不需等待码头空出、则满足x －y >2或y －x >4、设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B 、画出区域⎩⎨⎧0≤x <24，0≤y <24，y －x >4或x －y >2.P (B )＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.14．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1. (1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}、分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b 、求函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a 、b )是区域⎩⎨⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内随机点、求函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数的概率．解析 (1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1、＋∞)上为增函数、当且仅当a >0且2ba ≤1、即2b ≤a . 若a ＝1、则b ＝－1、 若a ＝2、则b ＝－1,1、 若a ＝3、则b ＝－1,1∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.∴所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时、函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间 [1、＋∞)上为增函数、依条件事知试验的全部结果所构成的区域为{(a 、b )|⎩⎨⎧a ＋b －8≤0a >0b >0}构成所求事件的区域为三角形部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163、83)． ∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.15．已知复数z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4、－3、－2,0}、Q ＝{0,1,2}、从集合P 中随机抽取一个数作为x 、从集合Q 中随机抽取一个数作为y 、求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]、y ∈[0,4]、求点M 落在不等式组：⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解析 (1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4、－4＋i 、－4＋2i 、－3、－3＋i 、－3＋2i 、－2、－2＋i 、.－2＋2i,0、i,2i 、且每种情况出现的可能性相等、属于古典概型、 其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i 、∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知、点M 均匀地分布在平面区域{(x 、y )|⎩⎨⎧0≤x ≤30≤y ≤4}内、属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC 围成的区域、面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x 、y )|⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0}、其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0、32)、∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94. ∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.教师备选题1．平面上有一组平行线、且相邻平行线间的距离为3 cm 、把一枚半径为1 cm 的硬币任意平掷在这个平面上、则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.14B.13C.12D.23 答案 B 解析如图所示、这是长度型几何概型问题、当硬币中心落在阴影区域时、硬币不与任何一条平行线相碰、故所求概率为P ＝13.2．将长为l 的棒随机折成3段、求3段构成的三角形的概率．解析 设A ＝“3段构成三角形”x 、y 分别表示其中两段的长度、则第3段的长度为l －x －y .则试验的全部结果可构成集合Ω＝{(x 、y )|0<x <l,0<y <l,0<x ＋y <l }、要使3段构成三角形、当且仅当任意两段之和大于第3段、即x ＋y >l －x －y ⇒x ＋y >l2、x ＋l －x －y >y ⇒y <l2、y ＋l －x －y >x ⇒x <l2. 故所求结果构成的集合A ＝{(x 、y )|x ＋y >l 2、y <l 2、x <l2}． 由图可知、所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝12·(l 2)2l 22＝14.3．在区间[0,2]内任取两个数a 、b 、那么函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________．答案 34解析 依题意、方程x 2＋ax ＋b 2＝0无零点、则有Δ＝a 2－4b 2<0、即(a ＋2b )(a －2b ) <0.在平面直角坐标系aOb 内画出不等式组⎩⎨⎧0≤a ≤20≤b ≤2①与⎩⎨⎧0≤a ≤20≤b ≤2(a ＋2b )(a －2b )<0②表示的平面区域、注意到不等式组①表示的平面区域的面积是4、不等式组②表示的平面区域的面积是22－12×2×1＝3、因此所求的概率为34.。

第二章 ２．7 第7课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D 项．当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数，所以选A.2．下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图象重合的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 12xC ．y ＝4x2 D ．y ＝log 21x ＋1答案 C3．若函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6) 答案 D解析 依题意，由f (x ＋4)＝f (4－x )知，f (x )的对称轴为x ＝4，所以f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)，由于f (x )在(4，＋∞)上是减函数，所以f (3)＝f (5)>f (6)，选D.4．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )答案 C解析 由解析式可知，当x >b 时，y >0；当x ≤b 时，y ≤0，故选C.5．已知下图①的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案 C6．函数f (x )＝11＋|x |的图象是( )答案 C解析 本题通过函数图象考查函数的性质．f (x )＝11＋|x |＝.当x ≥0时，x 增大，11＋x减小，所以f (x )当x ≥0时为减函数；当x <0时，x 增大，11－x 增大，所以f (x )当x <0时为增函数．本题也可以根据f (－x )＝11＋|－x |＝11＋|x |＝f (x )得f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，选C. 7．已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则函数f (|x |)的图象大致是( )答案 B8．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－1 B ．|a |≤1 C ．|a |<1 D ．a ≥1 答案 B9．f (x )定义域为R ，对任意x ∈R ，满足f (x )＝f (4－x )且当x ∈[ 2，＋∞)时，f (x )为减函数，则( )A ．f (0)<f (1)<f (5)B ．f (1)<f (5)<f (0)C ．f (5)<f (0)<f (1)D ．f (5)<f (1)<f (0) 答案 C解析 ∵f (x )＝f (4－x )，∴f (x ＋2)＝f (2－x )． ∴f (x )的图像关于直线x ＝2对称 又x ∈[2，＋∞)时，f (x )为减函数 ∴x ∈(－∞，2]时，f (x )为增函数而f (5)＝f (－1)，∴f (5)<f (0)<f (1)，选C. 二、填空题10．若函数y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________． 答案 －1≤m <0 解析首先作出y ＝(12)|1－x |的图像(如右图所示)，欲使y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有交点，则－1≤m <0.11．若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________．答案 1≤m < 2解析 曲线y ＝1－x 2表示x 2＋y 2＝1的上半圆(包括端点)，如图． 要使y ＝x ＋m 与曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则直线只能在l 1与l 2之间变动，故此1≤m < 2.12．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝(12)x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝(12)x (x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |三、解答题13．作图： (1)y ＝a |x －1|，(2)y ＝log |(x －1)|a ，(3)y ＝|log a (x －1)|(a >1)． 答案解析 (1)的变换是：y ＝a x→y ＝a |x |→y ＝a |x －1|，而不是：y ＝a x →y ＝a x －1→y ＝a |x －1|，这需要理解好y ＝f (x )→y ＝f (|x |)的交换．(2)题同(1)，(3)与(2)是不同的变换，注意区别．14．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解析f(x)＝⎩⎨⎧(x －2)2－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋－(x －)2＋1，x ∈，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋ay ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0.得a ＝－34.由图象知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个不等实根．。

第十一章 11.3 第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1、某单位有职工750人、其中青年职工350人、中年职工250人、老年职工150人、为了了解该单位职工的健康情况、用分层抽样的方法从中抽取样本、若样本中的青年职工为7人、则样本容量为( )A 、7B 、15C 、25D 、35答案 B解析 设样本容量为n 、则依题意有350750×n ＝7、n ＝15、选B.2、某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品、产品的数量之比依次为3∶4∶7、现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本、样本中A 型号产品有15件、那么样本容量n 为( )A 、50B 、60C 、70D 、80答案 C解析 由分层抽样方法得33＋4＋7×n ＝15、解之得n ＝70、故选C. 3、某高中在校学生2000人、高一级与高二级人数相同并都比高三级多1人、为了响应“阳光体育运动”号召、学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动、每其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5、全校参与登山的人数占总人数的25、为了了解学生对本次活动的满意程度、从中抽取了一个200人的样本进行调查、则高二级参与跑步的学生中应抽取( )A 、36人B 、60人C 、24人D 、30人答案 A解析 ∵登山占总数的25、故跑步的占总数的35、又跑步中高二级占32＋3＋5＝310. ∴高二级跑步的占总人数的35×310＝950.由950＝x 200得x ＝36、故选A.4、问题：①某社区有500个家庭、其中高收入家庭125户、中等收入家庭280户、低收入家庭95户、为了了解社会购买力的某项指标、要从中抽出一个容量为100的样本；②从10名学生中抽出3个参加座谈会、方法一：Ⅰ简单随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法、问题与方法配对正确的是()A、①Ⅲ、②ⅠB、①Ⅰ、②ⅡC、①Ⅱ、②ⅢD、①Ⅲ、②Ⅱ答案 A解析①因为社会购买力与家庭收入有关、因此要采用分层抽样法；②从10名学生中抽取3名、样本和总体都比较少、适合采用简单随机抽样法、5、从2010名学生中选取50名学生参加全国数学联赛、若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人、剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取、则每人入选的概率()A、不全相等B、均不相等C、都相等、且为502010D、都相等、且为502000答案 C6、将参加夏令营的600名学生编号为：001,002、…、600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本、且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区、从001到300在第Ⅰ营区、从301到495在第Ⅱ营区、从496到600在第Ⅲ营区、三个营区被抽中的人数依次为()A、26,16,8B、25,17,8C、25,16,9D、24,17,9答案 B解析依题意及系统抽样的意义可知、将这600名学生按编号依次分成50组、每一组各有12名学生、第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)、令3＋12(k－1)≤300得k≤1034、因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495得1034<k≤42、因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.结合各选项知、选B.7、某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查、经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查、发现有20名同学上次被抽到过、估计这个学校高一年级的学生人数为()A、180B、400C、450D、2000答案 C解析90x＝20100、∴x＝450.故选C.8、某初级中学有学生270人、其中七年级108人、八、九年级各81人、现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查、考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案、使用简单随机抽样和分层抽样时、将学生按七、八、九年级依次统一编号为1、2、…、270；使用系统抽样时、将学生统一随机编号为1、2、…、270、并将整个编号依次分为10段、如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,190,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270；关于上述样本的下列结论中、正确的是()A、②、③都不能为系统抽样B、②、④都不能为分层抽样C、①、④都可能为系统抽样D、①、③都可能为分层抽样答案 D解析对于系统抽样、应在1～27、28～54、55～81、82～108、109～135、136～162、163～189、190～216、217～243、244～270中各抽取1个号；对于分层抽样、应在1～108中抽取4个号、109～189中抽取3个号、190～270中抽取3个号、点评虽然三种抽样的方式、方法不同、但最终每个个体被抽取是等可能的、这正说明了三种抽样方法的科学性和可可行性、要根据不同的研究对象和不同的要求、采取不同的抽样方法、9、衡水中学为了提高学生的数学素养、开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》三门选修课程、供高二学生选修、已知高二年级共有学生600人、他们每人都参加且只参加一门课程的选修、为了了解学生对选修课的学习情况、现用分层抽样的方法从中抽取30名学生进行座谈、据统计、参加《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次组成一个公差为－40的等差数列、则应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为()A、8B、10C、12D、16答案 C解析根据题意可得、参加《数学史选讲》的学生人数为240人、抽取比例是30600＝120、故应该抽取240×120＝12人、二、填空题10、将一个总数为A、B、C三层、其个体数之比为5∶3∶2。

第二章 ２．２ 第２课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先减后增D ．先增后减答案 C解析 对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A. 3．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－3答案 B解析 对称轴x ＝1－a ≥4.∴a ≤－3.4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝－|x －1|C ．y ＝ln 2－x 2＋xD ．y ＝e x ＋e －x 答案 D5．函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)答案 A解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3)∴y ＝log a 5>0，∴a >1由复合函数单调性知单减区间须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3>0x <－1，解之得x <－3.6．已知奇函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立．在下列不等式中，正确的是( )A ．f (－5)>f (3)B ．f (－5)<f (3)C ．f (－3)>f (－5)D ．f (－3)<f (－5)答案 C解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立，可知，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (x )为奇函数，故f (x )在(－∞，0)上也为增函数，故选C.7．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是( )A ．(3,8)B ．(－7，－2)C ．(－2，－3)D ．(0,5)答案 B解析 令－2<x ＋5<3，得：－7<x <－2. 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．又x 2＋4x －(4x －x 2)＝2x 2≥0，∴f (2－a 2)＞f (a )⇒2－a 2＞a ⇒a 2＋a －2＜0⇒－2＜a ＜1，故选C.9．给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 B解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y ＝log 12x 向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方的部分，下方的图象翻折到x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.二、填空题10．给出下列命题①y ＝1x 在定义域内为减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x 在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．11．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________．答案 [1，＋∞)解析 函数图象如图12．函数f (x )＝－x 2＋|x |的递减区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0与⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 数形结合13．在给出的下列4个条件中， ①⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1x ∈(－∞，0) ②⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1x ∈(0，＋∞) ③⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ∈(－∞，0) ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1x ∈(0，＋∞) 能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________．(把你认为正确的条件编号都填上)．答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确．14．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案 (0，110)解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110.三、解答题15．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．答案 (1)略 (2)0<a ≤1解析 (1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述知0<a ≤1.16．函数f (x )对任意的a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.答案 (1)略 (2){m |－1<m <43}解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1.f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0.∴f (x 2)>f (x 1)．即f (x )是R 上的增函数．(2)∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3，∴原不等式可化为f (3m 2－m －2)<f (2)，∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2，解得－1<m <43，故m 的解集为{m |－1<m <43}．拓展练习·自助餐1．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( )A ．(3，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)答案 A解析由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．2．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数答案 A解析 当x <0时，－x >0，－(2x ＋1x )＝(－2x )＋(－1x )≥2(－2x )·(－1x )＝22，即2x ＋1x ≤－22，2x ＋1x －1≤－22－1，即f (x )≤－22－1，当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，此时函数f (x )有最大值，选A.3．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由已知得：|1x |>1⇒－1<x <0或0<x <1，故选C.4．函数f (x )＝x 2x －1(x ∈R 且x ≠1)的单调增区间是______． 答案 (－∞，0)和(2，＋∞)解析 将原函数y ＝x 2x －1变形为y ＝(x －1)＋1x －1＋2 显然x －1在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)内取值时，函数单调递增，即得x 在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内取值时，函数单调递增．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋1，x ≥0(a 2－1)e ax ，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－ 2 ]∪(1， 2 ]解析 因为f (x )为单调函数，若a >0，则当x ≥0时，f (x )＝ax 2＋1是单调递增函数，故当x <0时，f (x )也是单调递增函数，又a >0时，e ax 为单调递增函数，所以a 2－1>0，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调，故还应满足(a 2－1)·e 0≤a ×02＋1，即需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0a 2－1>0⇒1<a ≤2a 2－1≤1同理，当a <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <0a 2－1>0⇒a ≤－ 2.a 2－1≥1 综上得1<a ≤2或a ≤－ 2.6．已知函数f (x )自变量取值区间A ，若其值域区间也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．(1)求函数f (x )＝x 2形如[n ，＋∞)(n ∈R )的保值区间；(2)g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)，求m 的取值范围．解析 (1)若n <0，则n ＝f (0)＝0，矛盾．若n ≥0，则n ＝f (n )＝n 2，解得n ＝0或1，所以f (x )的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．(2)因为g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)，所以2＋m >0，即m >－2，令g ′(x )＝1－1x ＋m>0，得x >1－m ， 所以g (x )在(1－m ，＋∞)上为增函数，同理可得g (x )在(－m,1－m )上为减函数．若2≤1－m即m≤－1时，则g(1－m)＝2得m＝－1满足题意．若m>－1时，则g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．所以满足条件的m值为－1.。

第十章10.1 第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．5B．4C．6 D．8答案 D解析分类考虑，当公比为2时，等比数列可为：1,2,4；2,4,8，当公比为3时，可为：1,3,9，当公比为32时，可为4,6,9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符合题意的，因此，共有4×2＝8个．2．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有()A．6种B．9种C．10种D．12种答案 B解析找出其父母血型的所有情况分二步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．3．已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有()A．9种B．16种C．20种D．28种答案 D解析当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数，当a为其他数时，b都可以取3个数．故共有28种情形．4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为() A．42 B．30C．20 D．12答案 A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．5．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q 到集合P所有的不同映射共有()A．32个B．27个C．81个D．64个答案 D解析可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43＝64.6．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，先从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有()A．6种B．5种C．4种D．3种答案 C解析若选甲、乙2人，则包括甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙B车床，丙操作A车床这1种选派方法．∴共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．7．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种答案 A解析分两类，A类选修课1门，B类选修课2门，或者A类选修课2门，B 类选修课1门，因此，共有C23·C14＋C13·C24＝30种选法，故选A.二、填空题8．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．答案12解析分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．9．在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的二件物品，则他抓的结果有________种．答案10解析设学习用品为a1，a2；生活用品为b1，b2，娱乐用品为c，则结果有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)(a2，b2)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，c)(b2，c)，共10种．10．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有________个．答案162个解析一位数8个，两位数8×9＝72个．3位数有9×9＝81个，另外1个(即200)，共有8＋72＋81＋1＝162个．11．有一名同学在填报高考志愿时，某批次的志愿需从A、B、C三所大学中选择两所大学作为第一志愿和第二志愿，剩余的一所大学和其他三所大学中再选择三所作为平行志愿，则该同学在这个批次填报志愿的方式有________．答案24种解析第一志愿和第二志愿的填报方式有A23种，平行志愿的填报方式有C34种，所以该生在这个批次填报志愿的方式有A23×C34＝24种．12.如图所示，有五种不同颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________．答案180种解析按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)13．春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军，则有________种不同的夺冠情况．答案45三、解答题14．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7个，B型血的共有9个，AB型血的有3个．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1个去献血，有多少种不同的选法？解析从O型血的人中选1个有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1个人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已完成，所以由分类计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法．15．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．①若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？②若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解析①若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．②若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4种．16．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘．根据需要，软件至少买3张，磁盘至少买2盒．则不同的选购方式共有多少种？答案7解析可设购买60元的单片软件和70元的盒装磁盘分别为x片、y盒，依照所用资金不超过500元，来建立数学模型，从而解决问题．设购买单片软件x片，盒装磁盘y盒，则依题意有60x＋70y≤500，(x，y∈N*，有x≥3，y≥2)按购买x片分类；x＝3，则y＝2,3,4，共3种方法；x＝4，则y＝2,3，共2种方法；x＝5，则y＝2，共1种方法；x＝6，则y＝2，共1种方法．依分类计数原理不同的选购方式有N＝3＋2＋1＋1＝7(种)．答：不同的选购方式有7种．探究本题主要考查分类计数原理的灵活运用，在解题中要特别注意知识的联想和应用．拓展练习·自助餐1．已知如图的每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有()A．30种B．10种C．16种D．24种(提示：按有几个开关闭合分类)答案 C解析5个开关闭合有1种接通方式；4个开关闭合有5种接通方式；3个开关闭合有8种接通方式；2个开关闭合有2种接通方式，故共有1＋5＋8＋2＝16(种)．2．已知互不相同的集合A、B满足A∪B＝{a，b}，则符合条件的A，B的组数共有________种．答案9解析当A＝Ø时，集合B＝{a，b}；当A只1个元素时，B可以有2种情况，此时有2×2＝4种情况；当A＝{a，b}时，集合B＝Ø，{a，}，{b}或{a，b}，此时有4种情况，综上可知，符合条件的A、B共有1＋4＋4＝9种．3．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．答案14个解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)．则共有14个点．4．有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这6张人民币可组成________种不同的币值．答案63解析对于每一张人民币来说，都有两种选择，用或不用，而都不用则形不成币值，由分步计数原理．可得N＝2×2×2×2×2×2－1＝26－1＝63(种)5．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()A．1205秒B．1200秒C ．1195秒D ．1190秒答案 C解析 共有A 55＝120个闪烁，119个间隔，每个闪烁需用时5秒，每个间隔需用时5秒，故共需要至少120×(5＋5)－5＝1195秒．教师备选题1．有这样一种数字游戏：在3×3的表格中，要求要每个格子中都填上1,2,3三个数字中的某一个数字，并且每一行和每一列都不能出现重复的数字．若游戏开始时表格的第一行第一列已经填上了数字1(如图①)，则此游戏有________种不同的填法；若游戏开始时表格是空白的(如图②)，则此游戏共有________种不同的填法．① ②答案 4 12解析 对于图①，第1行有2种填法，其余空格有2种填法，故共有4种填法．对于图②，第1行有6种填法，其余空格有2种填法，故共有6×2＝12(种)填法．2．设直线方程为Ax ＋By ＝0，从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数为( )A ．20B ．19C ．18D ．16答案 C解析 确定直线只需依次确定系数A ，B 即可．先确定A ，有5种取法，再确定B 有4种取法，由分步乘法计数原理得5×4＝20种，但是x ＋2y ＝0与2x ＋4y ＝0,2x ＋y ＝0与4x ＋2y ＝0表示相同的直线，所以不同的直线条数为20－2＝18(条)．3．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 型(每次旋转90°仍为L 形图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案的个数是( )A ．16B ．32C ．48D ．64答案C解析 每四个小正方形图案，都可画出四个不同的L 形图案，该图中共有12个这样的正方形，故可画出不同位置L 形图案的个数为4×12＝48个．4．从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中任取3个不同的数作为抛物线方程y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的系数，如果抛物线过原点且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？解析 由抛物线过原点知c ＝0，由(－b 2a ，4ac －b 24a)在第一象限得⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a >0－b 24a >0，⇒⎩⎨⎧ ab <0，a <0，∴a <0，b >0，c ＝0.由分步乘法计数原理．得N ＝3×3×1＝9.即符合条件的抛物线有9条．。

第三章 3.4 第4课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列值等于1的积分是( )A .⎠⎜⎛01x d x B.⎠⎜⎛01(x ＋1)d x C .⎠⎜⎛011d x D.⎠⎜⎛01 12d x 答案 C2．m ＝⎠⎜⎛01e xd x 与n ＝⎠⎜⎛1e 1x d x 的大小关系是( ) A ．m>n B . m<nC ．m ＝nD ．无法确定 答案 A解析 m ＝⎠⎜⎛01e x d x ＝ex | 01＝e －1， n ＝⎠⎜⎛1e 1xd x ＝ln x | e1＝1，m ≈1.72>1， ∴m>n 故选A .3．根据⎠⎜⎛02πsin x d x ＝0推断，直线x ＝0，x ＝2π，y ＝0和正弦曲线y ＝sin x 所围成的曲边梯形的面积时，正确结论为( )A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积 答案 D解析 y ＝ sin x 在[0,2π]上关于(π，0)对称，⎠⎜⎛02πsin x d x ＝⎠⎜⎛0πsin x d x ＋⎠⎜⎛π2πsin x d x ＝0.4．已知f(x)为偶函数且⎠⎜⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛-66f(x)d x 等于( ) A ．0 B ．4C ．8D ．16 答案 D解析 原式＝⎠⎜⎛－60 f(x)d x ＋⎠⎜⎛06f(x)d x ， ∵原函数为偶函数，∴在y 轴两侧的图象对称．∴对应的面积相等.8×2＝16，故选D .二、填空题5． ⎠⎜⎛0π2 (sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数 a 等于________． 答案 1解析 ⎠⎜⎛0π2 (sin x ＋a cos x)d x ＝(－cos x ＋a sin x) ⎪⎪⎪⎪π20＝(－cos π2＋a sin π2)－(－cos 0＋a sin 0)＝a ＋cos 0＝a ＋1＝2，∴a ＝1. 6．f(x)＝3＋2x －x 2，则⎠⎛13f(x)d x 为________．答案 π解析 由y ＝3＋2x －x 2＝4－(x －1)2，(x －1)2＋y 2＝4，(y ≥0)∴⎠⎛133＋2x －x 2d x 是圆面积的14∴等于14·π·22＝π. 7由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为________．答案 112解析 由题可知y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)dx ＝(13x 3－14x 4)⎪⎪⎪1＝13－14＝112. 8．设f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则⎠⎛02f(x)d x ＝______答案 56解析 ⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋(2x －12x 2) ⎪⎪⎪21＝13＋4－2－2＋12＝56.9．有一根弹簧，原长50 cm ，每伸长1 cm 需要5 g 力，如果把它从60 cm ，拉伸80 cm 长，那么拉力F(x)所做的功为______(g ·cm )．答案 2000解析 F(x)＝kx ，F(x)＝5 g 力，x ＝1(cm )，则5＝k·1，k ＝5.∴F(x)＝5x.弹簧由50 cm ，伸长到80 cm ，弹簧实际伸长了由0到30 cm ，此时做的功为：⎠⎜⎛030F(x)d x ＝⎠⎜⎛0305x d x ＝52x 2⎪⎪⎪300＝52×900＝2250.弹簧由50 cm ，伸长到60 cm ，弹簧实际伸长了10 cm ，此时做的功为：⎠⎜⎛010F(x)d x ＝⎠⎜⎛0105x d x ＝52x 2⎪⎪⎪100＝52×100＝250.所以把它从60 cm ，位伸到80 cm 长，F(x)所做的功为2250－250＝2000(g ·cm )10．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．答案 －1解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.11．一条平面曲线在点x 处的切线斜率为2x ，并且经过点(3,5)，则该曲线方程______答案 y ＝x 2－4解析 由题意知该曲线应满足y ＝∫2x d x ＝x 2＋C 且过点(3,5)，∴5＝32＋C ，C ＝－4，故该曲线方程是y ＝x 2－4.12．设函数f(x)＝ax 2＋b(a ≠0)，若⎠⎛02f(x)d x ＝2f(x 0)，x 0>0，则x 0＝________答案233解析 ⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛02(ax 2＋b)d x ＝(13ax 3＋bx) ⎪⎪⎪2＝83a ＋2b ＝2(ax 20＋b)，∴83a ＝2ax 20.又x 0>0∴x 0＝233.三、解答题13．求由抛物线y 2＝x －1与其在点(2,1)，(2，－1)处的切线所围成的面积解析 y ＝±x －1.y ′x ＝±12(x －1)－12.∵过点(2,1)的直线斜率为y ′|x ＝2＝12(2－1)－12＝12，直线方程为y －1＝12(x －2)，即y ＝12x.同理，过点(2，－1)的直线方程为y ＝－12x ，抛物线顶点在(1,0)．如图所示，由抛物线y 2＝x －1与2条切线y ＝12x ，y ＝－12x 围成的面积为：S ＝S △AOB －2⎠⎛12x －1d x ＝12·2·2－2·23·(x －1)32| 21＝2－43(1－0)＝23.14．设y ＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f(x)dx.先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N)．再数出其中满足y i ≤f(x i )(i ＝1,2，…，N)的点数N 1，那么由随机模拟方法求积分⎠⎛01f(x)dx 的近似值答案 N 1N解析 由均匀随机数产生的原理知：在区间[0,1]满足y i ≤f(x i )的点都落在了函数y ＝f(x)的下方，又因为0≤f(x)≤1，所以由⎩⎨⎧0≤x ≤10≤y ≤1y ≤f (x )围成的图形的面积是N 1N ，由积分的几何意义知⎠⎛01f(x)dx ＝N 1N .15．如图，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O ，A ，直线x ＝t(0<t ≤1)与曲线C 1，C 2分别相交于点D ，B ，连结OD ，DA ，AB ，OB.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S 与t 的函数关系式S ＝f(t)； (2)求函数S ＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．解 (1)由⎩⎨⎧ y ＝x 2y ＝－x 2＋2ax ，解得⎩⎨⎧ x ＝0y ＝0或⎩⎨⎧x ＝ay ＝a 2. ∴O(0,0)，A(a ，a 2)．又由已知得B(t ，－t 2＋2at)，D(t ，t 2)，∴S ＝⎠⎛0t (－x 2＋2ax)d x －12t ×t 2＋12(－t 2＋2at －t 2)×(a －t)＝(－13x 3＋ax 2)|t 0－12t 3＋(－t 2＋at)×(a －t)＝－13t 3＋at 2－12t 3＋t 3－2at 2＋a 2t ＝16t 3－at 2＋a 2t.∴S ＝f(t)＝16t 3－at 2＋a 2t(0<t ≤1)．(2)f ′(t)＝12t 2－2at ＋a 2，令f′(t)＝0，即12t2－2at＋a2＝0.解得t＝(2－2)a或t＝(2＋2)a. ∵0<t≤1，a>1.∴t＝(2＋2)a应舍去．若(2－2)a≥1，即a≥12－2＝2＋22时，∵0<t≤1，∴f′(t)≥0.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增，S的最大值是f(1)＝a2－a＋16.若(2－2)a<1，即1<a<2＋22时，当0<t<(2－2)a时f′(t)>0.当(2－2)a<t≤1时，f′(t)<0.∴f(t)在区间(0，(2－2)a]上单调递增，在区间((2－2)a,1]上单调递减．∴f(t)的最大值是f((2－2)a)＝16[(2－2)a]3－a[(2－2)a]2＋a2(2－2)a＝22－23a3.。

第二章 2.1 第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x 非负数 非正数 y 1 －1B.x 奇数 0 偶数 y 1 0 －1C.x 有理数 无理数 y 1 －1D.x 自然数 整数 有理数 y 1 0 －1答案 C解析 A 中0既是非负数又是非正数；B 中0又是偶数；D 中自然数也是整数，也是有理数．2．函数y ＝11－1x的定义域是( ) A ．{x |x ∈R 且x ≠0} B ．{x |x ∈R 且x ≠1}C ．{x |x ∈R 且x ≠0且x ≠1}D ．{x |x ∈R 且x ≠0或x ≠1} 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠01－1x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0x ≠1，故选C 3．已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝2x ，④y ＝log 2|x |，其中能构成从M 到N 的函数的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案 D解析 对于①、②，M 中的2,4两元素在N 中找不到象与之对应，对于③，M 中的－1,2,4在N 中没有象与之对应．故选D.4．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 答案 B解析 要使g (x )有意义，则⎩⎨⎧0≤2x ≤2x －1≠0，解得0≤x <1，故定义域为[0,1)，选B.5．定义x ⊙y ＝3x －y ，则a ⊙(a ⊙a )等于( ) A ．－a B ．3a C ．a D ．－3a 答案 C解析 由题意知：a ⊙a ＝3a －a ，则a ⊙(a ⊙a )＝3a －(a ⊙a )＝3a －(3a －a )＝a .选C.6．设定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝12，且f (2010)＝2，则f (0)等于( )A ．12B ．6C ．3D ．2 答案 B解析 ∵f (x ＋2)＝12f (x )，∴f (x ＋4)＝12f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )的周期为4，f (2010)＝f (4×502＋2)＝f (2)＝2.又f (2)＝12f (0)，∴f (0)＝122＝6.7．图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2) B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2) C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2) D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2) 答案 B解析 当x ∈[0,1]时，y ＝32x ＝32－32(1－x )＝32－32|x －1|；当x ∈[1,2]时，y ＝32－01－2(x －2)＝－32x ＋3＝32－32(x －1)＝32－32|x －1|.因此，图中所示的图象所表示的函数的解析式为y ＝32－32|x －1|.8．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )答案 A 解析 f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (1≤2x )2x(1>2x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)2x (x <0)，结合图象，选A .9已知蟑螂活动在如图所示的平行四边形OABC 内，现有一种利用声波消灭蟑螂的机器，工作时，所发出的圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播，若D 是DFE 弧与x 轴的交点，设OD ＝x (0≤x ≤a )，圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 本题主要考查应用函数知识解决实际问题的能力．由图象知，函数先增得快，后增得慢，故选D.二、填空题10．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________.答案 2解析 由图及题中已知可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －2)，0≤x ≤2x －2，2<x ≤6，f (0)＝4，f (f (0))＝f (4)＝2.11．下图中建立了集合P 中元素与集合M 中元素的对应f .其中为映射的对应是________．答案 (2)(5)解析 (1)中：P 中元素－3在M 中没有象．(3)中，P 中元素2在M 中有两个不同的元素与之对应．(4)中，P 中元素1在M 中有两个不同的元素与之对应．12．(07·北京)已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________． 答案 1,213．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，(x ≤2000)x －100，(x >2000)，则f [f (2010)]＝________.答案 －1解析 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，(x ≤2000)x －100，(x >2000)， 得f (2010)＝2010－100＝1910，f (1910)＝2cos(π3×1910)＝2cos(636π＋2π3)＝2cos 2π3＝－1，故f [f (2010)]＝－1.三、解答题14．一个圆柱形容器的底面直径为d cm ，高度为h cm ，现以S cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y (cm)与注入时间t (s)的函数关系式及定义域．15．下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值． 答案(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋2)2，x ≥1，x 2＋2，x <1.(2)11,9 (3)2或－14 解析(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)2，x ≥1，x 2＋2，x <1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16， 解得x ＝2或x ＝－6(舍去)． 若x <1，则x 2＋2＝16， 解得x ＝14(舍去)或x ＝ －14.综上，可得x ＝2或x ＝－14.16．函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值； (2)求f (x )的解析式．答案 (1)－2 (2)f (x )＝x 2＋x －2 解析 用赋值法(1)由已知f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)·x . 令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2. 又∵f (1)＝0，∴f (0)＝－2.(2)令y ＝0，得f (x )－f (0)＝(x ＋1)x ， ∴f (x )＝x 2＋x －2.拓展练习·自助餐1．下图中，能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x＝0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D 图可以表示函数y＝f(x)，选D.2．定义：区间[x1，x2](x1＜x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为___________________．答案 1解析[a，b]的长度取得最大值时[a，b]＝[－1,1]，区间[a，b]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1.3．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )答案 C解析 函数在[0，π]上的解析式为 d ＝12＋12－2×1×1×cos l ＝2－2cos l ＝4sin 2l 2＝2sin l 2.在[π，2π]上的解析式为d ＝2－2cos (2π－l )＝2sin l2，故函数的解析式为d ＝2sin l2，l ∈[0,2π]．探究 这类题目也是近年来的一个小热点．解决的基本方法有二：一是通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；二是求出具体的函数解析式．4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x ≤0，x ，x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 当x 0≤0时，由－x 0－1>1得x 0<－2，∴x 0<－2；当x 0>0时，由x 0>1，∴x 0>1，∴x 0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．5．国家以前规定个人稿费纳税的办法是：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿费的11%纳税．(1)根据上述规定建立某人所得稿费x (元)与纳税额y (元)之间的函数关系式；(2)某人出了一本书，共纳税660元，则这个人的稿费是多少元？解析 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (0≤x ≤800)，0.14(x －800) (800<x ≤4000)0.11x (x >4000).(2)令0.14(x －800)＝660，得x ＝551427≈5514.29∉(800,4000]． 令0.11x ＝660，得x ＝6000∈(4000，＋∞)． 故稿费是6000元．探究 本类题是分段函数的应用中最常见的问题，写解析式时按规定的税率表达即可，应注意超过4000元的要按全部稿费的11%纳税，第(2)问则利用了方程的方法来求解．教师备选题1．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1] 答案 C解析 由⎩⎨⎧－x 2－3x ＋4＞0x ＋1＞0得－1＜x ＜1，即该函数的定义域是(－1,1)，选C.2．测量大气温度T 时，发现在高空11千米以内，离地面距离越远，温度T 越低，大约每升高1千米降温6℃，在11千米以外的上空，其温度几乎不变．如果地面温度为19℃，则T 与h 之间的函数关系是________．答案 T ＝⎩⎨⎧19－6h ，0≤h ≤11，－47，h >113．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．答案 (－∞，1]解析 由题意得f (x )＝⎩⎨⎧x ， x ≤1，2－x ，x >1.画函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≤0)4sin x (0<x ≤π)，则集合M ＝{x |f (f (x ))＝0}中元素的个数是________．答案 5解析 结合函数表达式知若f (f (x ))＝0得f (x )＝0或f (x )＝π.若f (x )＝0，则x ＝0或x ＝π；若f (x )＝π，则x 2＝π(x ≤0)⇒x ＝－π或4sin x ＝π(0<x ≤π)⇒有2个根．故集合M 中有5个元素．5．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2010)＝________.答案 12解析 因为f (1)＝14，令x ＝1，y ＝0，得4f (1)f (0)＝f (1)＋f (1)，所以f (0)＝12.令y ＝1，得4f (x )f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)，所以f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x )．所以f (x ＋2)＝－f (x －1)，即f (x ＋3)＝－f (x )．所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )周期为6，故f (2010)＝f (0)＝12.6．为了预防甲型H1N1型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，116t －0.1，t >0.1 (2)0.6 解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1) (2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．。

第二章 ２．6 第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题 1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析 若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴对称轴－ba <0，不符合，∴选C.3．函数y ＝x α(x ≥1)的图象如图所示，α满足条件( )A ．α<－1B ．－1<α<0C ．0<α<1D ．α>1 答案 C解析 类比函数y ＝x 12即可．4．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，那么( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (3)>f (2) C ．f (3)＝f (2)D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定 答案 C解析 ∵f (4)＝f (1)∴对称轴为52，∴f (2)＝f (3)．5．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．[1,2]D ．(－∞，2]答案 C解析 由函数的单调性和对称轴知，1≤m ≤2，选C.6设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b2a ＞0，函数f (x )的图象与y 轴的交点(c,0)在x 轴下方．故选D.7．已知f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 答案 B解析 解法1：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，∵x 1＋x 22＝1－a 2∈(－1， 12)，又对称轴x ＝－1，∴AB 中点在对称轴右侧．∴f (x 1)<f (x 2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．解法2：作差f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝a (x 1－x 2)(3－a )又0<a <3，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故选B. 二、填空题8．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则a 的范围是________．解析 由题意知 ∴0≤a ≤19．抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________. 答案 9或25解析 y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162∵顶点在x 轴∴m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，∴m ＝9或25. 10．设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2010)))＝________.答案 12010解析 f 3(2010)＝20102 f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝12010.11．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0∴f (x )有最大值，最大值为c －b 24a ＝－3.12．已知幂函数f (x )＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a ＝________.答案 313．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是________．答案 2<m <52解析 令f (x )＝x 2－mx ＋1由题意知三、解答题14．已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72. (1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 答案 (1)m ＝1 (2)递减解析 (1)∵f (4)＝－72， ∴24－4m ＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下： 任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，即f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减．15．已知对于任意实数x ，二次函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋12(a ∈R )的值都是非负的，求函数g (a )＝(a ＋1)(|a －1|＋2)的值域．答案 [－94，9]解 由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0，∴－32≤a ≤2.①当－32≤a <1时，g (a )＝(a ＋1)(－a ＋3)＝－a 2＋2a ＋3＝－(a －1)2＋4， ∴由二次函数图象可知， －94≤g (a )<4.②当1≤a ≤2时，g (a )＝(a ＋1)2， ∴当a ＝1时，g (a )min ＝4； 当a ＝2时，g (a )max ＝9； ∴4≤g (a )≤9.综上所述，g (a )的值域为[－94，9]．16．函数f (x )＝2x和g (x )＝x 3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C 1、C 2分别对应哪一个函数？(2)若x 1∈[a ，a ＋1]，x 2∈[b ，b ＋1]，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a 、b 的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f (6)、g (6)、f (2007)、g (2007)四个数按从小到大的顺序排列．答案 (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x (2)a ＝1，b ＝9(3)∴f (6)<g (6)<g (2007)<f (2007)解析 (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)a ＝1，b ＝9. 理由如下：令φ(x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 3，则x 1、x 2为函数φ(x )的零点． ∵φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，∴方程φ(x )＝f (x )－g (x )的两个零点x 1∈(1,2)，x 2∈(9,10)，∴整数a ＝1，b ＝9. (3)从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )， ∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )，∴g (2007)<f (2007)． ∵g (6)<g (2007)，∴f (6)<g (6)<g (2007)<f (2007)．拓展练习·自助餐1．若函数f (x )＝log 12(x 2－6x ＋5)在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．[5，＋∞) 答案 D解析 f (x )的减区间为(5，＋∞)，若f (x )在(a ，＋∞)上是减函数，则a ≥5，故选D.2．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列图象之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52答案 B解析 ∵b >0，∴不是前两个图形，从后两个图形看－b2a >0，∴a <0. 故应是第3个图形．∵过原点，∴a 2－1＝0.结合a <0.∴a ＝－1. 3.如图所示，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则|OA |·|OB |等于( ) A.c a B ．－c a C ．±c a D ．无法确定答案 B解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－ca(∵a <0，c >0)．4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2 (x >0)，x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x的不等式f (x )≤1的解集为________．答案 －3≤x ≤－1或x >0 解析 由f (－4)＝f (0)得b ＝4. 又f (－2)＝0，可得c ＝4，∴⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎨⎧x >0，－2≤1，可得－3≤x≤－1或x>0.5．设f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，则() A．f(1)＞c＞f(－1) B．f(1)＜c＜f(－1) C．f(1)＞f(－1)＞c D．f(1)＜f(－1)＜c 答案 B解析由f(－1)＝f(3)得－b2＝－1＋32＝1，所以b＝－2，则f(x)＝x2＋bx＋c在区间(－1,1)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，而f(0)＝c，所以f(1)＜c＜f(－1)．6．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是() A．0≤a≤1 B．0≤a≤2C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0答案 D解析f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2若f(x) 在[0,1]上最大值是a2，则0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故选D.教师备选题1．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝()A．3 B．2或3C．2 D．1或2答案 C解析函数在[1，＋∞)上单增∴b＝b2－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)．2．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝________.答案x2－x＋1解析设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x ∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.3．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是()A．减函数B．增函数C．常函数D．可能是减函数，也可能是常函数答案 D解析函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0当a＝1时，f(x)为常函数当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是()A．α<a<b<βB．a<α<β<bC．a<α<b<βD．α<a<β<b答案 A解析设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.5．对一切实数x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，则a的取值范围是()A．a≥－1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1答案 A解析令t＝x2≥0，则原不等式转化为t2＋(a－1)t＋1≥0，当t≥0时恒成立．令f(t)＝t2＋(a－1)t＋1则f(0)＝1>0(1)当－a－12≤0即a≥1时恒成立(2)当－a－12>0即a<1时．由Δ＝(a－1)2－4≤0得－1≤a≤3∴－1≤a<1，综上：a≥－1.6．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于________．答案c解析∵f(x2)＝f(x1)，∴x2＋x1＝－ba，∴f(x1＋x2)＝f(－ba)＝c.。

第十章 10.8 第八课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B (6，13)，即P (ξ＝2)等于( )A.316B.1243C.13243D.80243答案 D解析 已知ξ～B (6，13)，P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k ， 当ξ＝2，n ＝6，p ＝13时，有P (ξ＝2)＝C 26(13)2(1－13)6－2＝C 26(13)2(23)4＝80243.2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1012(38)10·(58)2B ．C 911(38)9(58)2·38C ．C 911(58)9·(38)2D ．C 911(38)9·(58)2答案 B解析 P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·(38)9(58)2×38. 3．在初三一个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么，其中数学成绩优秀的学生数ξ～B (5，14)，则p (k ；14)取最大值的k 值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 C k 5(34)5－k (14)k ≥C k －15(34)5－(k －1)(14)k －1C k 5(34)5－k (14)k ≥C k ＋15(34)5－(k ＋1)(14)k ＋1 ∴解得12≤k ≤32 ∴k ＝1，故选B4．若X ～B (5,0.1)，则P (X ≤2)等于( )A ．0.665B ．0.00856C ．0.91854D ．0.99144答案 D5．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是()A．(99100)6B．0.01C.C16100(1－1100)5D．C26(1100)2(1－1100)4答案 C解析P＝C16·1%·(1－1 100)5.6．如果ξ～B(15，14)，则使p(ξ＝k)取最大值的k值为()A．3 B．4 C．5 D．3或4 答案 D解析采取特殊值法．∵P(ξ＝3)＝C315(14)3(34)12，P(ξ＝4)＝C415(14)4(34)11，P(ξ＝5)＝C515(14)5(34)10，从而易知P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)＞(ξ＝5)．7．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为()A．(1－p)n B．1－p nC．p n D．1－(1－p)n答案 D解析显然n位同学参加某项选拔测试可看作n次独立重复试验，其中没有一位同学能通过测试的概率为(1－p)n，故至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.二、填空题8．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现在一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是________．答案0.5解析设A＝“能活到20岁”，B＝“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故A∩B＝B，于是P(B|A)＝P(A∩B)P(A)＝P(B)P(A)＝0.40.8＝0.5，所以这个动物能活到25岁的概率是0.5.9．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.答案10 243解析考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B (5，13)， 即有P (ξ＝k )＝C k 5(13)k ×(23)5－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.∴P (ξ＝4)＝C 45(13)4×(23)1＝10243.10．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．答案 35解析 设该队员每次罚球的命中率为p (其中0<p <1)，则依题意有1－p 2＝1625，p 2＝925.又0<p <1，因此有p ＝35.三、解答题11．2011年初，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被考生正确做出的概率都是34.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．解析 (1)记“该考生正确做出第i 道题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P (A i )＝34，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出两道题的概率为：P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝34×34×14＝964.(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B ，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道或4道题，故P (B )＝C 34×(34)3×14＋C 44×(34)4＝189256.12．在一次考试中出了六道是非题，正确的记“”，不正确的记“”，若某考生完全记上六个符号且答对每道题的概率均为12，试求：(1)全部正确的概率；(2)正确解答不少于4道的概率；(3)至少正确解答一半的概率．解析 (1)P 1＝P 6(6)＝C 66·(12)6＝164； (2)P 2＝P 6(4)＋P 6(5)＋P 6(6)＝C 46·(12)4(1－12)2＋C 56·(12)5(1－12)1＋C 66(12)6(1－12)0＝1132； (3)P 3＝P 6(3)＋P 6(4)＋P 6(5)＋P 6(6)＝C 36·(12)3·(12)3＋C 46·(12)4·(12)2＋C 56·(12)5·(12)＋C 66(12)6＝2132. 13．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(2)求ξ的分布列和数学期望；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解析 (1)设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根”为事件A ，则A ＝{(b ，c )|b 2－4c ≥0，b 、c ＝1， (6)Ω中的基本事件总数为：6×6＝36个．A 中的基本事件总数为：6＋6＋4＋2＋1＝19个故所求概率为：P (A )＝1936(2)由题意，ξ可能取值为0,1,2，则：P (ξ＝0)＝1736，P (ξ＝1)＝236＝118，P (ξ＝2)＝1736.∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望Eξ＝0×1736＋1×118＋2×1726＝1. (3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件B ，则P (B )＝1－2536＝1136.P (A ∩B )＝6＋136＝736，∴P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝7361136＝711. 14．某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．解析 (1)设X 为射手在5次射击击中目标的次数，则X ～B (5，23)，在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 25×(23)2×(1－23)3＝40243.(2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中， 有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝(23)3×(13)2＋13×(23)3×13＋(13)2＋(23)3＝881.(3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝(13)3＝127； P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×(13)2＋13×23×13＋(13)2×23＝29；P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝(23)2×13＋13×(23)2＝827；P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝(23)3＝827.所以ξ拓展练习·自助餐1．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．答案 0.128解析 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.2．某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A 、B 、C 三种人工降拟试验的统计数据．(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；(2)考虑到各地的旱情和水土流失情况不同，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只需小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量 ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.解析 (1)由人工降雨模拟的统计数据，用A 、B 、C 三种人工降雨方式对甲、乙、丙三地实施人工降雨得到大雨、中雨、小雨的概率如下表所示．设P (E )＝P (A 2)P (B 2)P (C 2)＝12×12×16＝124.(2)设甲、乙、丙三地都达到理想状态的概率分别为P 1，P 2，P 3，则P 1＝P (A 2)＝12，P 2＝P (B 1)＝14，P 3＝P (C 2)＋P (C 3)＝56.ξ的可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝(1－P 1)(1－P 2)(1－P 3)＝12×34×16＝116；P (ξ＝1)＝P 1(1－P 2)(1－P 3)＋(1－P 1)P 2(1－P 3)＋(1－P 1)(1－P 2)P 3＝12×34×16＋12×14×16＋12×34×56＝1948； P (ξ＝2)＝(1－P 1)P 2P 3＋P 1(1－P 2)P 3＋P 1P 2(1－P 3)＝12×14×56＋12×34×56＋12×14×16＝716；P (ξ＝3)＝P 1P 2P 3＝12×14×56＝548.所以随机变量ξ的分布列为所以，数学期望Eξ＝116×0＋1948×1＋716×2＋548×3＝1912.教师备选题1．在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )A.34B.25C.110D.59答案 D2．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A.5960B.35C.12D.160答案 B解析 三个人都不去北京旅游的概率为：(1－13)(1－14)(1－15)＝25所以至少有1人去北京旅游的概率：1－25＝35.3．金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时平均每小时实际开动12分钟，且开动与否相互独立．现因当地电力供应部门只提供50千瓦的电力，这10台机床能够正常工作的概率有多大？在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约是多大？解析 (1)设10台机床中实际开动的台数为ξ，由于每台机床正在工作的概率为1260＝15，而且每台机床有“工作”与“不工作”两种情况，故ξ～B (10，15)，从而P (ξ＝k )＝C k 10(15)k (45)10－k (k ＝0,1,2，……，10)． 50千瓦电力可同时供给5台机床开动，因而只要10台机床同时开动的台数不超过5台就可正常工作，这一事件的概率为P (ξ≤5)，P (ξ≤5)＝P 10(0)＋P 10(1)＋……＋P 10(5)＝C 010(45)10＋C 110(15)(45)9＋……＋C 510(15)5(45)5≈0.994. (2)由(1)知，在电力供应仅为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅为0.006，从而在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约只有8×60×0.006＝2.88(分钟)，这说明10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响．4．中国篮球职业联赛(CBA )某赛季总决赛在某两队之间进行，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)若组织者在此次决赛中获得的门票收入恰好为300万元，问此决赛共比赛了多少场？(2)求组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为多少？ 解析 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列，设此数列为{a n }，则易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (10n ＋70)2＝300. 解得n ＝5或n ＝－12(舍去)．∴此次决赛共比赛了5场．(2)由S n ≥390得n 2＋7n ≥78，∴n ≥6.∴若要获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6场．①若比赛共进行了6场，则前5场比赛的比分必为2∶3，且第6场比赛为领先一场的球队获胜，其概率P (6)＝C 35×(12)5＝516；②若比赛共进行了7场，则前6场胜负为3∶3，则概率为P (7)＝C 36×(12)6＝516；∴门票收入不少于390万元的概率为P ＝P (6)＋P (7)＝1016＝58＝0.625.5．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望． 解析 (1)记A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用．则D ＝A ＋B ·C ，P (A )＝0.5×0.5＝0.25，P (B )＝2×0.5×0.5＝0.5，P (C )＝0.3.P (D )＝P (A ＋B ·C )＝P (A )＋P (B ·C )＝P (A )＋P (B )P (C )＝0. 25＋0.5×0.3＝0.40.(2)X ～B (4,0.4)，其分布列为：P (X ＝0)＝(1－0.4)4＝0.1296，P (X ＝1)＝C 14×0.4×(1－0.4)3＝0.3456，P (X ＝2)＝C 24×0.42×(1－0.4)2＝0.3456，P (X ＝3)＝C 34×0.43×(1－0.4)＝0.1536，P (X ＝4)＝0.44＝0.0256.期望EX ＝4×0.4＝1.6.6．一个口袋中装有n 个红球(n ≥5且n ∈N *)和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．(1)试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；(2)若n ＝5，求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率；(3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为f (p )．当n 取多少时，f (p )最大？ 解析 (1)一次摸奖为从n ＋5个球中任选两个，有C 2n ＋5种，它们等可能发生，其中两球不同色有C 1n C 15种，一次摸奖中奖的概率p ＝C 1n C 15C 2n ＋5＝10n (n ＋5)(n ＋4)(n ≥5且n ∈N *)．(2)若n ＝5，一次摸奖中奖的概率p ＝10×5(5＋5)(5＋4)＝59，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是P 3(1)＝C 13·p ·(1－p )2＝80243.(3)设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为f (p )＝C 13·p ·(1－p )2＝3p 3－6p 2＋3p,0<p <1. 由f ′(p )＝9p 2－12p ＋3＝3(p －1)(3p －1)知，在(0，13]上f (p )为增函数，在[13，1)上f (p )为减函数，则当p ＝13时，f (p )取得最大值．即p ＝10n (n ＋5)(n ＋4)＝13，解得n ＝20或n ＝1.又∵n ≥5且n ∈N *.∴当n ＝20时，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大.。

第一章 1.3 第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列全称命题中假命题的个数()①2x＋1是整数(x∈R)；②对所有的x∈R，x>3；③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数；④任何直线都有斜率．A．1B．2C．3 D．4答案 C解析①②④是假命题．2．下列命题的否定是真命题的是()A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B3．下列命题中正确的是()A．对所有正实数t，有t<tB．不存在实数x，使x<4，且x2＋5x－24＝0C．存在实数x，使|x＋1|≤1且x2>0D．不存在实数x，使x3＋x＋1＝0答案 C解析选项A不正确，如t＝14时，有t>t；选项B不正确，如x＝3<4，而x2＋5x－24＝0；选项D不正确，设f(x)＝x3＋x＋1，f(－1)＝－1<0，f(0)＝1>0，故方程x3＋x＋1＝0在(－1,0)上至少有一个实数根．对于C，x＝－1时即满足条件，故选C.4．已知命题p：∀x∈R，x2＋x－6<0，则命题綈p是()A．∀x∈R，x2＋x－6≥0B．∃x∈R，x2＋x－6≥0C．∀x∈R，x2＋x－6>0D．∃x∈R，x2＋x－6<0答案 B解析全称命题的否定为特称命题，选B.5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)答案 C解析由题知：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，选C.6．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q 为假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2 B．m≤－2C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2答案 A解析若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，则綈p：∀x∈R，mx2＋1>0与綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0均为真命题．根据綈p：∀x∈R，mx2＋1>0为真命题可得m≥0，根据綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.二、填空题7．命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．答案∃x0，y0∈R，x0＋y0>1；∀x，y∈R，x＋y≤1；假8．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠09若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．答案－22≤a≤2 2解析因为“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤2 2.10．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R 为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．答案q1，q4解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．∴真命题是q1，q4.11．已知：p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为______________．答案{x|－1≤x≤2}解析p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1∴綈p：－1≤x≤212．设命题p：若a>b，则1a<1b；命题q：1ab<0⇔ab <0.给出下面四个复合命题：①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)．其中真命题的个数有________个．答案2个解析p假，q真，故①④真三、解答题13．已知p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m 的取值范围．答案 －2≤m ≤－1解析 2x >m (x 2＋1)可化为mx 2－2x ＋m <0.若p ：∀x ∈R,2x >m (x 2＋1)为真，则mx 2－2x ＋m <0对任意的x ∈R 恒成立．当m ＝0时，不等式可化为－2x <0，显然不恒成立；当m ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，4－4m 2<0，∴m <－1.若q ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－m －1＝0为真，则方程x 2＋2x －m －1＝0有实根，∴4＋4(m ＋1)≥0，∴m ≥－2.又p ∧q 为真，故p 、q 均为真命题． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1，m ≥－2，∴－2≤m <－1. 14．已知命题p ：|x 2－x |≥6; q ：x ∈Z ，若“p ∧q ”与“綈q ”同时为假命题，求x 的值．答案 －1,0,1,2解析 ∵“p 且q ”为假，∴p 、q 中至少有一个命题为假命题；又“綈q ”为假，∴q 为真，从而知p 为假命题故有⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |＜6，x ∈Z 即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6＜0，x 2－x ＋6＞0，x ∈Z得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜x ＜3，x ∈R ，x ∈Z .∴x 的值为：－1,0,1,2 15．设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋14a )的定义域为R ；命题q ：不等式3x －9x ＜a 对一切正实数均成立．如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．答案 0≤a ≤1解析 若命题p 为真，即ax 2－x ＋14a ＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ＜0，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞01－a 2＜0，∴a ＞1.令y ＝3x －9x ＝－(3x －12)2＋14，由x ＞0得3x ＞1，∴y ＝3x －9x 的值域为(－∞，0)．∴若命题q 为真，则a ≥0.由命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，得命题p 、q 一真一假．当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤1.拓展练习·自助餐1．下列命题中正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“x ＝5”是“x 2－4x －5＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否定为：“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”D ．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1≥0答案 B解析 若p ∨q 为真命题，则p 、q 有可能一真一假，此时p ∧q 为假命题，故A 错；易知由“x ＝5”可以得到“x 2－4x －5＝0”，但反之不成立，故B 正确；选项C 错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D 错．2．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“綈p ”形式的命题是( )A ．存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B ．不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根D ．至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实根答案 C解析 特称命题的否定是全称命题．3．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|＞3”的否定是________．答案 存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3解析 由定义知命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3”4．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：函数y ＝(2a －1)x 为减函数，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤23B ．0<a <12C.12<a ≤23D.12<a <1答案 C解析 命题p 等价于3a 2≤1,3a ≤2，即a ≤23.命题q ：由函数y ＝(2a －1)x 为减函数得：0<2a －1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 均为真命题，所以取交集得12<a ≤23，因此选C.。

第二章 ２．5 第5课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列大小关系正确的是( )A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.43答案 C解析 ∵log 40.3<0,0<0.43<1,30.4>1，∴选C.2．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 依题意知log 2(α＋1)＝1，则α＋1＝2，故α＝1.3． log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( ) A ．－4 B ．4C ．－2D ．2答案 C解析 log 2sin π12＋log 2cos π12＝log 2sin π12cos π12＝log 212sin π6＝log 214＝－2，故选C. 4．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a 答案 A 解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，∴a ＞b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，∴b ＞c ，故a ＞b ＞c ，选A.5．设log b N ＜log a N ＜0，N ＞1，且a ＋b ＝1，则必有( )A ．1＜a ＜bB ．a ＜b ＜1C ．1＜b ＜aD ．b ＜a ＜1答案 B解析 0＞log a N ＞log b N ⇒log N b ＞log N a ，∴a ＜b ＜1 6．0＜a ＜1，不等式1log a x＞1的解是( ) A ．x ＞a B ．a ＜x ＜1C ．x ＞1D ．0＜x ＜a答案 B解析 易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜17．下列四个数中最大的是( )A ．(ln 2)2B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 2答案 D解析 0<ln2<1,0<(ln2)2<ln2<1，ln(ln2)<0， ln 2＝12ln2<ln2. 8．已知实数a ，b 满足log 12a ＝log 13b ，给出五个关系式：①a >b >1，②0<b <a <1，③b >a >1，④0<a <b <1，⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 当a ＝b ＝1时，显然满足题意．故⑤a ＝b 有可能成立；当a ≠1且b ≠1时，根据log 12a ＝log 13b 得lg a lg 12＝lg b lg 13，因此lg a ＝lg 12lg 13lg b ＝(log 1312)lg b .因为log 1312<log 13131，所以0<lg a <lg b ，或lg b <lg a <0，故③b >a >1和②0<b <a <1有可能成立．二、填空题9．若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝________.答案 829 解析 由已知得x ＝1log 32＝log 23，所以4x ＋4－x ＝22x ＋2－2x ＝22log 23＋2－2log23＝9＋19＝829. 10．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是__________．解析 ∵a 2＋1＞1, log a (a 2＋1)＜0，∴0＜a ＜1.又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12 ∴实数a 的取值范围是(12，1) 11．若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m ，则m ＝__________.(lg2≈0.3010)答案 155解析 由10m －1＜2512＜10m 得m －1＜512lg2＜m ∴m －1＜154.12＜m∴m ＝15512．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝________.答案 124 解析 由于1<log 23<2，则f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)＝(123＋log 23＝(12)3·(12)log 23＝18·2－log 23＝18·2log 213＝18·13＝124. 13．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(4－x )，x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为________．答案 －2解析 由题知，f (3)＝f (2)－f (1)，f (2)＝f (1)－f (0)，则f (3)＝－f (0)＝－2.三、解答题14．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，求m 的值． 答案 10 解析 a ＝log 2 m ，b ＝log 5 m ，代入已知，得log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，所以m ＝10. 15．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x. (1)求f (－12007)＋f (－12008)＋f (12007＋f (12008的值． (2)若x ∈[－a ，a ](其中a ∈(0,1))，试判断函数f (x )是否存在最大值或最小值？ 答案 (1)0(2)有最小值f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a ，有最大值为f (－a )＝a ＋log 21＋a 1－a解析 (1)由1－x 1＋x>0得函数的定义域是(－1,1)， 又f (－x )＋f (x )＝log 21＋x 1－x ＋log 21－x 1＋x＝log 21＝0， ∴f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )是奇函数，∴f (－12007)＋f (12007)＝0， f (－12008)＋f (12008)＝0， ∴f (－12007)＋f (－12008)＋f (12007)＋f (12008)＝0. (2)f (x )＝－x ＋log 2(1－x )－log 2(1＋x )，∴f ′(x )＝－1＋－1(1－x )ln2－1(1＋x )ln2<0， 有最小值f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a ，有最大值为f (－a )＝a ＋log 21＋a 1－a. 评析 本题可以运用单调函数的定义域来证明函数单调递减，但相对来说，在许多情况下应用导数证明函数的单调性比运用定义证明函数的单调性，运算量小得多．16．设f (x )＝log 121－ax x －1为奇函数，a 为常数．(1)求a 的值；(2)证明f (x )在区间(1，＋∞)内单调递增；(3)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式f (x )>(12)x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即log 121＋ax －1－x ＝－log 121－ax x －1， 即log 121＋ax －x －1＝log 12x －11－ax，∴1＋ax －x －1＝x －11－ax ， 化简整理得(a 2－1)x 2＝0，∴a 2－1＝0，a ＝±1，经检验a ＝－1，f (x )是奇函数，∴a ＝－1.(2)证明 由(1)得f (x )＝log 12x ＋1x －1设1<x 1<x 2，则x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)>0， ∴x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1>0， 从而log 12x 1＋1x 1－1<log 12x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(1，＋∞)内单调递增．(3)原不等式可化为f (x )－(12)x >m ， 令φ(x )＝f (x )－(12)x ，则φ(x )>m 对于区间[3,4]上的每一个x 都成立等价于φ(x )在[3,4]上的最小值大于m .∵φ(x )在[3,4]上为增函数，∴当x ＝3时，φ(x )取得最小值，log 123＋13－1－(12)3＝－98m <－98.拓展练习·自助餐1．若集合A= 则∁R A ＝( )A ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪[22，＋∞) D ．[22，＋∞) 答案 A2．若log a (π－3)<log b (π－3)<0，a 、b 是不等于1的正数，则下列不等式中正确的是( )A ．b >a >1B ．a <b <1C ．a >b >1D ．b <a <1答案 A解析 ∵0<π－3<1，log a (π－3)<log b (π－3)<0，∴a ，b ∈(1，＋∞)且b >a ，∴选A.3．当0<x <1时 ，下列不等式成立的是( )A ．(12x ＋1>(12)1－x B ．log (1＋x )(1－x )>1 C ．0<1－x 2<1 D ．log (1－x )(1＋x )>0答案 C解析 法一：考察答案A ：∵0<x <1，∴x ＋1>1－x ，∴(12)x ＋1<(12)1－x ，故A 不正确；考察答案B ：∵0<x <1，∴1＋x >1,0<1－x <1，∴log (1＋x )(1－x )<0，故B 不正确；考察答案C ：∵0<x <1，∴0<x 2<1，∴0<1－x 2<1，故C 正确；考察答案D ：∵0<1－x <1,1＋x >1.∴log (1－x )(1＋x )<0，故D 不正确．法二：(特值法)取x ＝12，验证立得答案C. 4．f (x )＝a x ，g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (3)·g (3)<0，则y ＝f (x )与y ＝g (x )在同一坐标内的图象可能是下图中的( )答案 D解析 由于指数函数与对数函数互为反函数，所以，f (x )与g (x )同增或同减，排除A 、C.由于f (3)·g (3)<0，即当x ＝3时，f (x )、g (x )的图象位于x 轴的两侧，排除B ，选D.5．若0<a <1，在区间(0,1)上函数f (x )＝log a (x ＋1)是( )A ．增函数且f (x )>0B ．增函数且f (x )<0C ．减函数且f (x )>0D ．减函数且f (x )<0答案 D解析 ∵0<a <1时，y ＝log a u 为减函数又u ＝x ＋1为增函数，∴f (x )为减函数；又0<x <1时，x ＋1>1，又0<a <1，∴f (x )<0.选D.教师备选题1．已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1是奇函数(a >0，a ≠1)． (1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈ (r ，a －2)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 与r 的值．答案 (1)m ＝－1(2)a >1时减，0<a <1时增(3)r ＝1，a ＝2＋ 3解析 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )在其定义域内恒成立，即log a1＋mx －x －1＝－log a 1－mx x －1， ∴1－m 2x 2＝1－x 2恒成立，∴m ＝－1或m ＝1(舍去)，故m ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，a ≠1)， 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)．设x 1<x 2，令t (x )＝1＋x x －1， 则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1， t (x 2)＝x 2＋1x 2－1， ∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2，∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0.∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1， ∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1， f (x )在(1，＋∞)上是减函数；当0＜a ＜1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)当a >1时，要使f (x )的值域是(1，＋∞)，则log a x ＋1x －1>1，∴x ＋1x －1>a ， 即(1－a )x ＋a ＋1x －1>0， 而a >1，∴上式化为x －a ＋1a －1x －1<0. ① 又f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)， ∴当x >1时，f (x )>0；当x <－1时，f (x )<0.因而，欲使f (x )的值域是(1，＋∞)，必须x >1， 所以对于不等式①，当且仅当1<x <a ＋1a －1时成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，a －2＝a ＋1a －1，a >1，解得r ＝1，a ＝2＋ 3.。

第二章 ２．6 第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题 1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析 若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴对称轴－ba <0，不符合，∴选C.3．函数y ＝x α(x ≥1)的图象如图所示，α满足条件( )A．α<－1B．－1<α<0C．0<α<1D．α>1答案 C解析类比函数y＝x12即可．4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么() A．f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)C．f(3)＝f(2)D．f(3)与f(2)的大小关系不确定答案 C解析∵f(4)＝f(1)∴对称轴为52，∴f(2)＝f(3)．5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞) B．[0,2]C．[1,2] D．(－∞，2]答案 C解析由函数的单调性和对称轴知，1≤m≤2，选C.6设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是() 答案 D解析若a＞0，b＜0，c＜0，则对称轴x＝－b2a＞0，函数f(x)的图象与y轴的交点(c,0)在x轴下方．故选D.7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，则()A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)<f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定答案 B解析解法1：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，∵x1＋x22＝1－a2∈(－1，12)，又对称轴x＝－1，∴AB中点在对称轴右侧．∴f(x1)<f(x2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．解法2：作差f(x1)－f(x2)＝(ax21＋2ax1＋4)－(ax22＋2ax2＋4)＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝a(x1－x2)(3－a)又0<a <3，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故选B. 二、填空题8．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则a 的范围是________．解析 由题意知 ∴0≤a ≤19．抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________. 答案 9或25解析 y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162∵顶点在x 轴∴m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，∴m ＝9或25. 10．设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2010)))＝________. 答案 12010解析 f 3(2010)＝20102 f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝12010.11．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0∴f (x )有最大值，最大值为c －b24a ＝－3.12．已知幂函数f (x )＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a ＝________.答案 313．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是________．答案 2<m <52解析 令f (x )＝x 2－mx ＋1由题意知三、解答题14．已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72. (1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 答案 (1)m ＝1 (2)递减解析 (1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，即f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．15．已知对于任意实数x ，二次函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋12(a ∈R )的值都是非负的，求函数g (a )＝(a ＋1)(|a －1|＋2)的值域．答案 [－94，9]解 由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0，∴－32≤a ≤2.①当－32≤a <1时，g (a )＝(a ＋1)(－a ＋3)＝－a 2＋2a ＋3＝－(a －1)2＋4， ∴由二次函数图象可知， －94≤g (a )<4.②当1≤a ≤2时，g (a )＝(a ＋1)2， ∴当a ＝1时，g (a )min ＝4； 当a ＝2时，g (a )max ＝9； ∴4≤g (a )≤9.综上所述，g (a )的值域为[－94，9]．16．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1、C2分别对应哪一个函数？(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f(6)、g(6)、f(2007)、g(2007)四个数按从小到大的顺序排列．答案(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x(2)a＝1，b＝9(3)∴f(6)<g(6)<g(2007)<f(2007)解析(1)C1对应的函数为g (x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)a＝1，b＝9.理由如下：令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1、x2为函数φ(x)的零点．∵φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，∴方程φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈(1,2)，x2∈(9,10)，∴整数a＝1，b＝9.(3)从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴g(2007)<f(2007)．∵g(6)<g(2007)，∴f(6)<g(6)<g(2007)<f(2007)．拓展练习·自助餐(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是1．若函数f(x)＝log12()A．(－∞，1] B．(3，＋∞)C．(－∞，3) D．[5，＋∞)答案 D解析f(x)的减区间为(5，＋∞)，若f(x)在(a，＋∞)上是减函数，则a≥5，故选D.2．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为()A．1 B．－1C.－1－52 D.－1＋52答案 B解析∵b>0，∴不是前两个图形，从后两个图形看－b2a>0，∴a<0.故应是第3个图形．∵过原点，∴a2－1＝0.结合a<0.∴a＝－1.3.如图所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则|OA|·|OB|等于()A.ca B．－ca C．±ca D．无法确定答案 B解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－ca (∵a <0，c >0)．4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2 (x >0)，x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x的不等式f (x )≤1的解集为________．答案 －3≤x ≤－1或x >0 解析 由f (－4)＝f (0)得b ＝4. 又f (－2)＝0，可得c ＝4，∴⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎨⎧x >0，－2≤1， 可得－3≤x ≤－1或x >0.5．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (1)＞c ＞f (－1) B ．f (1)＜c ＜f (－1) C ．f (1)＞f (－1)＞c D ．f (1)＜f (－1)＜c 答案 B解析 由f (－1)＝f (3)得－b 2＝－1＋32＝1，所以b ＝－2，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 在区间(－1,1)上单调递减，所以f (－1)＞f (0)＞f (1)，而f (0)＝c ，所以f (1)＜c ＜f (－1)．6．函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2，则实数a 的取值范围是( ) A ．0≤a ≤1 B ．0≤a ≤2 C ．－2≤a ≤0 D ．－1≤a ≤0 答案 D解析 f (x )＝－x 2－2ax ＝－(x ＋a )2＋a 2 若f (x ) 在[0,1]上最大值是a 2，则0≤－a ≤1，即－1≤a ≤0，故选D.教师备选题1．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 答案 C解析 函数在[1，＋∞)上单增∴b ＝b 2－2b ＋2解之得：b ＝2或1(舍)．2．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，f (0)＝1，则f (x )＝________. 答案 x 2－x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵f (0)＝1，∴c ＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋a ＋b ＝2x ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.3．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f (x )是( )A ．减函数B．增函数C．常函数D．可能是减函数，也可能是常函数答案 D解析函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0当a＝1时，f(x)为常函数当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是()A．α<a<b<βB．a<α<β<bC．a<α<b<βD．α<a<β<b答案 A解析设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.5．对一切实数x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，则a的取值范围是()A．a≥－1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1答案 A解析令t＝x2≥0，则原不等式转化为t2＋(a－1)t＋1≥0，当t≥0时恒成立．令f(t)＝t2＋(a－1)t＋1则f(0)＝1>0(1)当－a－12≤0即a≥1时恒成立(2)当－a－12>0即a<1时．由Δ＝(a－1)2－4≤0得－1≤a≤3∴－1≤a<1，综上：a≥－1.6．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于________．答案cba，∴f(x1＋x2)＝f(－ba)＝c.解析∵f(x2)＝f(x1)，∴x2＋x1＝－。

第三章 3.2 第2课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．函数y＝x3－3x的单调递减区间是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)答案 C解析∵y′＝3x2－3，∴由3x2－3<0得－1<x<1.故选C.2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案 D解析函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝1·e x＋(x－3)·e x＝(x －2)·e x，由函数导数与函数单调性关系得：当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·e x>0解得：x>2.3．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为()A．(0，1a) B．(1a，＋∞)C．(－∞，1a) D．(－∞，a)答案 A解析由f′(x)＝1x－a>0得0<x<1 a，∴f(x)的单调递增区间为(0，1 a)．4．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()答案 A解析依题意，f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A满足，故选A.5．已知函数f(x)(x∈R)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x20－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)答案 C解析 根据函数f (x )(x ∈R )的图象上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x )＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)(x －1)(x －2)，令f ′(x )<0得x <－1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2)．6．设f (x )、g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )>g ′(x )，∴[f (x )－g (x )]′>0， ∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数． ∴f (a )－g (a )<f (x )－g (x )， 即f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．7．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )＞0，且f (－3)·g (－3)＝0，则不等式f (x )·g (x )＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) 答案 D解析 f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数 ∴f (x )·g (x )为奇函数 x ＜0时，f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )＞0 即x ＜0时，[f (x )·g (x )]′＞0 ∴f (x )·g (x )为增函数，且f (－3)·g (－3)＝0 根据函数性质可知，f (x )·g (x )＜0的解集为 (－∞，－3)∪(0,3)8．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a 答案 B解析 由f (x )＝f (2－x )可得对称轴为x ＝1，故f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)， 又x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，可知f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，1)上单调递增，f (－1)<f (0)<f (12)，即c <a <b . 二、填空题9．函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________．答案 (π3，5π3)∴函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的增区间为(π3，5π3)．10．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调递增函数，则b 的范围是________．答案 b <－1或b >2解析 假设y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上是单调递增函数，则f ′(x )＝y ′≥0恒成立．即x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，所以Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0成立，解得－1≤b ≤2，故所求为b >2或b <－1.11．函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，f ′(x )>1，则不等式f (x )－x >0的解集为________答案 (2，＋∞)解析 令g (x )＝f (x )－x ∴g ′(x )＝f ′(x )－1由题意知g ′(x )>0，∴g (x )为增函数 ∵g (2)＝f (2)－2＝0∴g (x )>0的解集为(2，＋∞)．12．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f (4π3)，f (－5π4)的大小关系为______(用“<”连接)．答案 f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)．解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈[5π4，4π3]时，sin x <0，cos x <0，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在x ∈[5π4，4π3]时为减函数，∴f (4π3)<f (4)<f (5π4)，又函数f (x )为偶函数，∴f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)． 三、解答题13．求函数f (x )＝x (e x－1)－x 22的单调区间．解 f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．14．已知函数f (x )＝ax ＋x ＋(a －1)ln x ＋15a ，其中a <0，且a ≠－1.讨论函数f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝－ax 2＋1＋a －1x ＝(x ＋a )(x －1)x 2.①若－1<a <0，则当0<x <－a 时，f ′(x )>0；当－a <x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(0，－a )，(1，＋∞)上单调递增，在(－a,1)上单调递减．②若a <－1，同①可得f (x )分别在(0,1)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(1，－a )上单调递减．15．已知f (x )＝e x －ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(3)是否存在a ，使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析 f ′(x )＝e x －a .(1)若a ≤0，f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即f (x )在R 上递增． 若a >0，e x －a ≥0，∴e x ≥a ，x ≥ln a . ∴f (x )的单调递增区间为(ln a ，＋∞)．(2)∵f (x )在R 内单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， ∴e x －a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立， ∴a ≤(e x )min .又∵e x >0，∴a ≤0.(3)由题意知e x －a ≤0在(－∞，0]上恒成立， ∴a ≥e x 在(－∞，0]上恒成立． ∵e x 在(－∞，0]上为增函数， ∴x ＝0时，e x 最大为1，∴a ≥1.同理可知e x －a ≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤e x 在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上可知：a ＝1即存在a ＝1满足条件．16．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线 y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．解析 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x.所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk >0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk ，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk )上， f ′ (x )<0；故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－k k ，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k ＞1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk ∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－k k )和(0，＋∞)上，f ′(x )＞0；在区间(1－kk ，0)上，f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(－1，1－k k )和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．拓展练习·自助餐1若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是先增后减的函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )答案 C解析 根据题意f ′(x )在[a ，b ]上是先增后减的函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线斜率是先随x 的增大而增大，然后随x 的增大而减小，由四个选项的图形对比可以看出，只有选项C 满足题意．2．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是( )A ．(2,4)B ．(－3，－1)C ．(1,3)D ．(0,2) 答案 D解析 由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)知，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0.函数f (x )在(1,3)上为减函数，函数f (x ＋1)的图象是由函数y ＝f (x )图象向左平移1个单位长度得到的，所以(0,2)为函数y ＝f (x ＋1)的单调减区间．3．设曲线y ＝x 2＋1在其任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，则函数y ＝g (x )·cos x 的部分图象可以为( )答案 A解析 g (x )＝2x ∴y ＝2x ·cos x 此函数为奇函数，排除B 、D当x ∈(0，π2)时，y >0，排除C 选A.4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0 C ．a ＞1 D ．0＜a ＜1 答案 A解析 y ′＝a (3x 2－1)解3x 2－1＜0得 －33＜x ＜33∴f (x )＝x 3－x 在(－33，33)上为减函数∴a ＞05．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)函数y ＝f (x )的图象在x ＝4处的切线的斜率为32，若函数g (x )＝13x 3＋x 2[f ′(x )＋m2]在区间(1,3)上不是单调函数，求m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a (1－x )x (x >0)，当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为[1，＋∞)； 当a <0时，f (x )的单调递增区间为[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由f ′(4)＝－3a 4＝32，得a ＝－2，则f (x )＝－2ln x ＋2x －3，∴g (x )＝13x 3＋(m2＋2)x 2－2x ， ∴g ′(x )＝x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(1,3)上不是单调函数，且g ′(0)＝－2<0，故m 的取值范围是(－193，－3)．6．设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2. (1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围．解析 (1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加．(2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立．故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时， f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)，从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x(e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln 2a )时，f ′(x )<0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln 2a )时，f (x )<0，综合得a 的取值范围为(－∞，12]。