带余除法

| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2知识站牌第十一讲带余除法和余数性质| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲2.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

高等代数带余除法例题讲解高等代数中的带余除法可以用来求两个整数的商和余数。

例题：计算多项式 P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4 除以多项式 D(x) = 2x + 1 的商和余数。

解答：首先，我们将 P(x) 和 D(x) 的次数按照降幂排列：P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4D(x) = 2x + 1然后，我们将 D(x) 的最高次项的系数反转，得到 1/2x。

接下来，我们用 P(x) 的最高次项去除 D(x) 的最高次项，即 x^3 / (1/2x) = 2x^2。

将得到的结果乘以 D(x)，得到 2x^2 * (2x + 1) = 4x^3 + 2x^2。

然后，将结果减去 P(x)，得到 (4x^3 + 2x^2) - (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) = 3x^3 - 3x - 4。

现在，我们已经得到了一个新的多项式 3x^3 - 3x - 4，其次数较之前的多项式减少了 1。

接下来，我们重复之前的步骤，将其次数减少，直到次数小于除数的次数。

对于这个新的多项式 3x^3 - 3x - 4，它的最高次项为 3x^3，除以除数 2x + 1 得到 3/2x^2。

将得到的结果乘以 D(x)，得到 3/2x^2 * (2x + 1) = 3x^3 +3/2x^2。

然后，将结果减去 P(x)，得到 (3x^3 + 3/2x^2) - (3x^3- 3x - 4) = (3/2x^2 + 3x + 4)。

现在，我们已经得到了一个新的多项式 3/2x^2 + 3x + 4，其次数小于除数的次数 2x + 1。

所以我们已经完成了带余除法的计算。

最后，我们得到了商为 2x^2 + 3/2 和余数为 3/2x^2 + 3x + 4。

这个例题中，多项式 P(x) 除以多项式 D(x) 的商为 2x^2 + 3/2，余数为 3/2x^2 + 3x + 4。

带余除法应用题专项练习
姓名: 学号:
1、教室里有40个小朋友，每6个小朋友分为一组，最少需要分几组？
2、30个气球，每8个穿成一串,最多可以串成几串？
3、同学们坐船，每条船坐5个人，27个人最少需要几条船？
4、一件衣服订6个纽扣,40个纽扣最多可以订几件衣服？
5、75人坐车，每车限坐9人，至少需要安排几辆车？
6、68个苹果，每10个装一个大盘,剩下的每2个装一小盘，要用几个大盘，几个小盘？
7、有50个苹果，最少拿出几个，正好分给8个同学;最少加上几个，可以放在9个盘子里？
8、40个萝卜，最少吃掉几个,可以平均放在6个袋子里；最少加上几个，可以每袋放7个？。

第四讲余数的三大定理一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)例题1【提高】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【分析】1013121001=⨯⨯，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于-=，100171113除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。

华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。

（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。

有余数的除法重点知识有余数的除法是数学中的一个重要概念，在我们的日常生活中也有很多应用。

本文将重点介绍有余数的除法的相关知识和应用。

一、基本概念有余数的除法是指除数不能整除被除数的情况。

在有余数的除法中，被除数可以写成除数乘以商加上余数的形式。

例如，当被除数为10，除数为3时，可以进行一次除法运算得到商为3，余数为1，即10 = 3 × 3 + 1。

二、整数除法与余数在整数除法中，当被除数不是除数的整数倍时，会产生余数。

余数是除法运算中不能整除的部分。

例如，当被除数为15，除数为4时，可以进行一次除法运算得到商为3，余数为3，即15 = 4 × 3 + 3。

三、余数的意义和应用1. 剩余问题：有余数的除法可以用来解决一些剩余问题。

例如，一共有27个苹果，每个篮子最多可以装6个苹果，问最后剩下几个苹果？可以通过27除以6进行运算，得到商为4，余数为3，即最后剩下4个篮子，每个篮子装满，还剩下3个苹果。

2. 时钟问题：有余数的除法也可以用来解决时钟问题。

例如，现在是晚上8点，过了13个小时后，现在几点钟？可以通过8加上13除以12进行运算，得到商为1，余数为9，即过了13个小时后，现在是凌晨1点，再加上余数9分钟，即凌晨1点9分。

3. 年龄问题：有余数的除法也可以用来解决年龄问题。

例如，父亲今年38岁，儿子今年8岁，问几年后，父亲的年龄是儿子的3倍？可以通过38加上x除以3等于8加上x进行运算，解得x为6，即6年后，父亲的年龄是儿子的3倍。

四、有余数的除法的性质1. 余数小于除数：在有余数的除法中，余数的绝对值一定小于除数的绝对值。

例如，当被除数为10，除数为3时，可以进行一次除法运算得到商为3，余数为1，即1 < 3。

2. 余数不为负数：在有余数的除法中，余数不可能为负数。

例如，当被除数为10，除数为3时，可以进行一次除法运算得到商为3，余数为1，即余数为正数。

3. 除数为1时余数为0：当除数为1时，无论被除数是多少，结果的余数都为0。

数学 - 有余数的除法（通用8篇）数学 - 有余数的除法篇1［教学内容］九年义务教育六年制小学数学教科书（浙江版）第四册第50－51页例1、例2。

［教学目标］1、使学生认识有余数除法和余数的含义，懂得“余数一定要比除数小”的道理。

2、掌握有余数除法的计算方法。

3、通过操作尝试培养学生的思维能力和自学能力。

［教学重点、难点］理解“余数一定要比除数小”是教学的重点。

掌握试商方法是教学的难点。

［教学准备］学生每人准备10个小圆片、投影仪、小黑板。

［教学过程］一、基础训练（出示小黑板）：1、口算。

2×6 4×8 27÷9 24÷84×2 3×5 16÷2 24÷32、口答。

（）里最大能填几？你是怎样想的？（）×2く7 6×（）く25 （）×2く13（）×4く27 （）×8く42 3×（）く303、竖式计算。

4）8 4）16 9）45二、动手操作导入新课。

1、摆一摆。

请小朋友拿出10个圆片，按照老师的要求动手摆一摆。

（1）10个圆片，每组2个，可放几组？（2）10个圆片，每组5个，可放几组？（3）10个圆片，每组3个，可放几组？还剩余几个？（4）10个圆片，每组4个，可放几组？还剩余几个？根据学生操作后汇报的结果，填出下表：图片个数每组个数组数余下个数1025105 210 3 3 110 4 2 22、导入新课以上分圆片有两种不同的结果：一种正好分完，一种是分后还有剩余。

这个剩余的数，在除法算式中我们把它叫做“余数”。

今天这节课，我们就来学习“有余数的除法”。

（板书课题：有余数的除法）三、进行新课1、出示尝试题。

（投影仪）（1）老师有8个梨，每人分2个，可以分给几人？操作：用小圆片代替梨来摆一摆，看谁摆后能很快写出一道算式。

学生口述算式和计算过程，教师进行板书：8÷2=442）88（可以分给4人，没有剩余。

带余除法知识框架带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。

【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，复赛，第2题，5分【解析】125【答案】125【巩固】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727⨯+=÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980【答案】980【例 2】除法算式÷□□=208中，被除数最小等于。

【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2007年，第5届，希望杯，4年级，初赛，4题【解析】本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是819+=，所以本题答案为：20×（8+1）+8=188.【答案】188【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。

余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。

（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。

带余除法的计算在数学中，带余除法是一种常见的算术运算方法，用于计算两个整数相除时的商和余数。

带余除法的计算方法简单易懂，可以应用于多种实际问题的求解。

本文将介绍带余除法的基本概念、计算过程以及一些应用案例。

一、带余除法的基本概念带余除法，也称为余数定理或欧几里德除法，是指在两个整数相除时，得到的商和余数的关系。

该定理的表述如下：对于任意的整数a和正整数b（b不等于零），存在唯一的整数q和r，满足a =b * q + r，其中0 ≤ r < |b|其中，a称为被除数，b称为除数，q称为商，r称为余数。

二、带余除法的计算过程带余除法的计算过程包括以下几个步骤：1. 确定被除数a和除数b的值。

2. 将被除数a除以除数b，得到商q和余数r。

3. 检查余数r的值是否满足0 ≤ r < |b|的条件，如果不满足，则需要进行调整。

4. 返回计算结果，包括商q和余数r。

三、带余除法的应用案例1. 求解方程：带余除法可以用于求解一元多项式的除法运算。

例如，我们希望求解多项式f(x)除以多项式g(x)的商和余数，可以利用带余除法进行计算。

2. 分配资源：在实际的资源分配问题中，带余除法可以用于确定每个参与者能够获得的均等份额和剩余数量。

例如，一辆卡车运送货物，希望将货物平均分配给多个收货点，那么带余除法可以用来确定每个收货点能够分得的货物数量以及剩余的货物数量。

3. 时间计算：在时钟和日期计算中，带余除法可以用于确定给定的时间段内包含多少个完整的周期，并计算剩余的时间。

例如，计算一段时间内包含多少个整小时或者计算某一天的是星期几等问题。

四、总结带余除法是一种常用的算术运算方法，用于计算两个整数相除的商和余数。

本文介绍了带余除法的基本概念、计算过程以及一些应用案例。

通过学习和掌握带余除法，我们可以更好地理解和应用数学知识，解决实际问题。

带余除法在数学的各个领域都有广泛的应用，希望读者通过本文的介绍能够对带余除法有更深入的认识和理解。

带余除法的公式好的，以下是为您生成的关于“带余除法的公式”的文章：咱先来说说啥是带余除法。

就比如说，你有 17 个苹果要分给 5 个小伙伴，每个人能平均分几个，还剩下几个？这就是一个典型的带余除法问题。

带余除法的公式是：被除数÷除数 = 商……余数。

就拿刚刚分苹果的例子来说，17 是被除数，5 是除数，通过计算17÷5 = 3……2，这里的 3 就是商，2 就是余数。

这意味着每个小伙伴能分到 3 个苹果，还剩下 2 个苹果。

记得我小时候，有一次和小伙伴们玩卖糖果的游戏。

我们找了一堆小石子当糖果，一共有23 颗“糖果”，要平均卖给7 个“顾客”。

一开始，我们可懵了，不知道咋分。

后来我想到了老师教的带余除法，23÷7 = 3……2，这一下就清楚啦，每个“顾客”能买到 3 颗“糖果”，还剩下 2 颗。

那时候，我们因为搞懂了这个，可高兴了，觉得自己特别厉害。

在数学的世界里，带余除法可是个很有用的工具。

比如在解决一些实际问题，像安排车辆运输货物，如果货物有 105 件，每辆车能装 20 件，那就用105÷20 = 5……5，这就知道需要 5 辆车，还剩下 5 件货物。

还有做手工的时候，假如你有 87 厘米的彩绳，要剪成每段 12 厘米的小段，87÷12 = 7……3，能剪成 7 段，还剩 3 厘米。

学习带余除法，可不能死记硬背公式，得真正理解它的意义。

多做几道题，多在生活里用一用，你就会发现它真的很有趣，也很实用。

比如说，妈妈买了35 个鸡蛋，要放到每个能装8 个鸡蛋的盒子里，35÷8 = 4……3，得用 4 个盒子，还剩 3 个鸡蛋。

再比如，学校组织春游，有 68 个同学，每辆大巴能坐 9 个人，68÷9 = 7……5，那就得安排 7 辆大巴，还多出来 5 个同学，可能就得再想想办法怎么安排这 5 个同学了。

总之，带余除法的公式虽然简单，但用处可大啦。

带余除法练习题带余除法练习题在数学中，除法是一个基础而重要的运算。

而带余除法则是除法中的一个特殊形式，它可以帮助我们求得商和余数。

带余除法也被广泛应用于数论、代数以及计算机科学等领域。

本文将为大家提供一些带余除法的练习题，帮助大家更好地理解和掌握这个概念。

题目一：小明有15个苹果，他想把这些苹果平均分给他的三个朋友。

请问，每个朋友能分到几个苹果？还剩下几个苹果？解答一：我们可以使用带余除法来解决这个问题。

即15除以3。

首先，我们将15除以3，得到商5。

这意味着每个朋友可以分到5个苹果。

然后，我们计算余数，即15除以3的余数为0。

这意味着没有剩下任何苹果。

题目二：小明有23个糖果，他想把这些糖果平均分给他的四个朋友。

请问，每个朋友能分到几个糖果？还剩下几个糖果？解答二：同样地，我们可以使用带余除法来解决这个问题。

即23除以4。

首先，我们将23除以4，得到商5。

这意味着每个朋友可以分到5个糖果。

然后，我们计算余数，即23除以4的余数为3。

这意味着还剩下3个糖果。

通过以上两个练习题，我们可以看到带余除法的应用。

它不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以用于数学的推理和证明。

下面，我们来看一个更复杂的例子。

题目三：某班级有60名学生，老师想把这些学生平均分成若干个小组，每组有8名学生。

请问，能够分成几个完整的小组？还剩下几名学生？解答三：我们同样可以使用带余除法来解决这个问题。

即60除以8。

首先，我们将60除以8，得到商7。

这意味着可以分成7个完整的小组。

然后，我们计算余数，即60除以8的余数为4。

这意味着还剩下4名学生。

带余除法的应用不仅仅局限于整数的除法，它还可以用于分数的除法。

下面，我们来看一个分数除法的例子。

题目四：小明想把一个圆形蛋糕平均分给他的三个朋友。

蛋糕的面积为3/4平方米。

请问，每个朋友能分到多少平方米的蛋糕？解答四：对于分数的除法，我们同样可以使用带余除法来解决。

即3/4除以3。

首先，我们将3/4除以3，得到商1/4。