2017-2018学年河南省洛阳市高三期末考试数学（文）试题一、单选题1．设全集{}|15U x N x =∈-<<，集合{}13A =，，则集合U C A 的子集的个数是（ ）A. 16B. 8C. 7D. 4 【答案】B【解析】因为{}{}|1501234U x N x =∈-<<=，，，，，{}13A =，，所以{}024U C A =，，，集合U C A 的子集的个数是32=8 ，故选B.2．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()1,1和()2,1-，则21z z =（ ） A.1322i + B. 1322i -+ C. 1322i - D. 1322i -- 【答案】C【解析】由复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()1,1,2,1-，得121i,2i z z =+=-，则()()()()212i 1i 2i 131+i 1i 1i 2z i z -+--====+-1322i -，故选C.3．设m R ∈，是 “2m =”是“1,,4m 为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】2m = 时，1,2,4为等比数列，而1,,4m 为等比数列时，2m =或2m =-，即2m =，可以得到“1,,4m ”为等比数列，而1,,4m 为等比数列不使得到2m =一定成立，所以“2m =”是“1,,4m ”为等比数列的充分不必要条件，故选A. 4．已知函数()[][]2,0,1{,0,1x f x x x ∈=∉，若()()2f f x =，则x 取值的集合为（ ） A. ∅ B. {}|01x x ≤≤ C. {}2 D. {}|201x x x =≤≤或 【答案】D【解析】当[]0,1x ∈时，()2f x =，()()22f f x f ⎡⎤==⎣⎦，合题意，当[]0,1x ∈时，()()(),2f x x f f x f x x ⎡⎤====⎣⎦，x ∴取值的集合为{| 2 x x =或}01x ≤≤，故选D.5．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面,则下列四个命题中错误．．的为：( ) A.若a b ⊥，,a b αα⊥⊄，则//b αB. 若//a α，a β⊥，则αβ⊥ C.若a β⊥，αβ⊥，则//a αD.若a b ⊥，,a b αβ⊥⊥，则αβ⊥ 【答案】C【解析】试题分析：若a b ⊥，,a b αα⊥⊄，则//b α，正确； 若//a α，a β⊥，则αβ⊥，正确；若a β⊥，αβ⊥，则//a α或 a α⊂，即C 错误； 若a b ⊥，,a b αβ⊥⊥，则αβ⊥正确，综上知，选C. 【考点】平行关系、垂直关系6．设等差数列{}n a 满足3835a a =，且10a >，n S 为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项为（ ）A. 15SB. 16SC. 29SD. 30S 【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，3935a a = ，()()113257a d a d ∴+=+，化为12290a d +=，10,0,a d >∴<∴ 等差数列{}n a 单调递减，()112n n n S na d -=+()()2129225152222n n d d n d n d -⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，∴当15n =时，数列{}n S 取得最大值，故选A.7．等比数列{}n a 中，1102,4a a ==，函数()()()()1210f x x x a x a x a =--- ，则()0f '=（ ）A. 62B. 92C. 122D. 152【答案】D【解析】在等比数列{}n a 中，由1102,4a a ==，得110293847a a a a a a a a ====356242a a =⨯=，函数()()()()1210...f x x x a x a x a =---是11个因式的乘积，展开后含x 的项仅有()1210...a a a x ，其余的项x 的指数均大于等于2，()'f x ∴中的常数项仅有1210...a a a ，()()53151210'0...22f a a a ∴===，故选D. 8．已知函数()sin 01y a bx b b =+>≠且的图象如图所示，那么函数()log b y x a =+的图象可能是（）A. B.C.D.【答案】D【解析】由函数sin y a bx =+图象，可由sin y bx =向上平移a 各单位，由图知，1a >，根据图象可知sin y a bx =+的周期2,2T b bπ=，排除A 、B ；而()log y b x a =+，由log b y x =向上平移a 各单位，选项中只有D 符合题意，故选D.9．某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的体积为（ ）A. 60B. 48C. 24D. 20 【答案】C【解析】由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图，三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥和三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∴几何体的体积11134534330624232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及棱锥与棱柱的体积公式，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 10．已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，则下列说法不正确的为（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为πB. ()f x 在37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C. ()f x 的图象关于直线8x π=-对称D. 将()f x 的图象向右平移8π，再向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图象 【答案】D【解析】函数()()2sin cos sin sin cos sin f x x x x x x x=+=+11cos2122222x sin x x x ⎫-=+=+⎪⎪⎝⎭12242sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2,T A ππω==∴正确；37,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()f x 是单调递减，B ∴正确；当6x π=-时，()1442f x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭12=+为最小值，6x π∴=-是()f x 的对称轴，C 正确；将()f x 的图象向右平移8π，再向下平移12个单位长度后会得cos22y x =-的图象，它是偶函数，D 错误，说法不正确的为D ，故选D . 11．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()()()2,3,3,2,1,1A B C ，点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，设(),,OP mAB nCA m n R =-∈，则2m n +的最大值为 （ ）A. -1B. 1C. 2D. 3 【答案】B【解析】()()()2,3,3,2,1,1A B C ,()()1,1,1,2AB AC ∴=-=--,(),OP mAB nCA m n R ∴=-∈()(),2,m n m n x y =---=,23{ { 23x ym m n x m n y x yn -=-=⇒--=--=,2m n x y +=-,设x y z -=，画出,,A B C 连线的表示的区域，如图，平移直线y x z =-，当直线经过()3,2B 时，z 有最大值321-=，故选B.【方法点晴】本题主要考查转化与划归思想以及线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属于难题题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 12．已知定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x ，满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当[]1,x π∈时()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,ln e ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B.{}ln ,ln 0ππππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦C. []0,ln ππD. {}1,ln 0e ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,[]1,x π∈时，()ln f x x =，1,1x π⎛⎤∴∈- ⎥⎝⎦时，[]()1111,,ln f f x xx x π⎛⎫∈== ⎪⎝⎭，()ln f x x =-，()g x 零点，就是()y f x =与y ax =的交点，画出两函数图象，如图，由图知，ln OA k ππ=过原点与ln y x=相切的直线斜率为1e，所有直线与曲线有一个交点的a 的范围是{}1,ln 0e ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，故选D. 【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式以及函数与方程思想、数形结合思想，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．已知()()2,2,1,0a b =-= ，若向量()1,2c = 与a b λ+共线，则λ=__________． 【答案】3【解析】()()2,2,1,0a b =-= ,()()()+2,2+1,02+,2a b λλλ∴=-=-,由向量()1,2c = 与a b λ+共线，得()12220λ⨯-⨯-+=，解得3λ=，故答案为3.14．若函数f (x )=k −2x1+k ⋅2x在其定义域内为奇函数，则实数k =__________．【答案】−1或1【解析】∵f x =k −2x1+k ⋅2x在定义域上为奇函数，∴f −x =−f x,k −2−x 1+k ⋅2−x=−k −2x1+k ⋅2x ，即 k 2−1 4x +1 =0 ，根据等式恒成立可得k 2−1=0，k =1或k =−1，故答案为±1. 15．已知()11sin 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2017a =__________．【答案】1009【解析】因为sin y x =的图象关于原点对称，()1122f x sin x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象由sin y x =向上平移12个单位，向右平移12个单位，()f x ∴的图象关于11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，()()11f x f x ∴+-=，()()()()1101==...=10=1n f f ff f f n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()110...1n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()111...0n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两式相加可得， ()()()()11201...10n n a f f f f f f n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=++++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()()()()1120...102018n n a f f n f f f f n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=++++++= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 1009n a =，故答案为1009.16．已知菱形ABCD 边长为2，060A =，将ABD ∆沿对角线BD 翻折形成四面体ABCD ，当四面体ABCD 的体积最大时，它的外接球的表面积为__________．【答案】203π【解析】当平面ABD ⊥平面CBD 时，四面体体积是最大，当体积最大时，设ABD ∆外心为2O ，CBD ∆外心为1O ，过12,O O ，分别作平面面CBD 与平面ABD 的垂线交于O ，则O 即是外接球的球心，22225333R OC ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，外接球表面积22043R ππ=，故答案为203π.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和求出半径.三、解答题17．设函数()21cos sin 22f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值．【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式可将()f x 化为cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用余弦函数的单调性解不等式即可得结果；（2）由34x ππ-≤≤，可得52336x πππ-≤+≤，结合余弦函数的图象可得()f x 的最值.试题解析：（1）()211cos21cos ?sin ?cos 2222xf x x x x x x π+⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭cos2cos 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭． 由222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得222233k x k ππππ-≤≤+， ∴63k x k ππππ-≤≤+，所以()f x 的单调递减区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）∵34x ππ-≤≤， ∴52336x πππ-≤+≤， 当()20,cos 21,33x x f x ππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭取到最大值1，此时6x π=-；当()52,cos 2363x x f x πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭取得最小值4x π=． 18．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为6，且248,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415n S <的n 的最大值．【答案】（1）n a n =．（2）13．【解析】试题分析：（1）根据等差数列{}n a 的前三项和为6，且248,,a a a 成等比数列列出关于首项1a 、公差d 的方程组，解方程组可得1a 与d 的值，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得()11111n b n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，解不等式即可得结果.试题解析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意有12324286{a a a a a a ++==，即1212{a d d a d +=-=， 由0d ≠，解得11{1a d ==，所以n a n =． （2）由（1）可得()11111n b n n n n ==-++，所以()111111122311n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++=-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 解1141115n -<+，得14n <， 所以n 的最大值为13．【方法点晴】本题主要考查等差数列、等比数列的综合运用以及裂项相消法求和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1k=；③()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；④()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()2,,cos ,cos m c b a n A C =-=，且m n ⊥ ．（1）求角A 的大小；（2）若3a b c =+=，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）3A π=．（2【解析】试题分析：（1）由m n ⊥，得()2cos cos 0c b A a C -+=，根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2A =，从而可得结果；（2）由3a b c =+=，结合余弦定理可得 2bc =，利用三角形面积公式可得结果.试题解析：（1）由m n ⊥ ，得·0m n =， 即()2cos cos 0c b A a C -+=，由正弦定理，得()sin 2sin cos sin cos 0C B A A C -+=， 所以2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，()2sin ?cos sin B A A C =+，2sin cos sin B A B =，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =．因为0A π<<，所以3A π=．（2）在ABC ∆中，由余弦定理，得()22222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-，又3a b c =+=，所以393bc =-，解得2bc =，所以ABC ∆的面积11sin 223222S bc π==⨯⨯=． 【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 20．已知函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =+++∈．（1）若函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，求,a b 的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,3x ∈-时，()2f x c >恒成立，求c 的取值范围．【答案】（1）3{ 26a b =-=-；（2）(),10-∞-．【解析】试题分析：（1）求出导函数()f x '，利用()10f '-=，且()2f '=0，解方程组可求得3{ 26a b =-=-；（2）利用导数研究函数()f x 的单调性，可得函数()f x 在[]2,3x ∈-时，()f x 的最小值为10c -，只需102c c ->即可求c 的取值范围.试题解析：（1）由题可得 ，()232f x x ax b =++'，∵函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值， ∴1,2-是方程2320x ax b -+=的两根，∴2123{ 123ab-+=--⨯=， ∴3{ 26a b =-=-； （2）由（1）知()32362f x x x x c =--+，()2336f x x x '=--， 当x 变化时，()(),f x f x '随x 的变化如下表：∴当[]2,3x ∈-时，()f x 的最小值为10c -， 要使()2f x c >恒成立，只要102c c ->即可， ∴10c <-，∴c 的取值范围为(),10-∞-．21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，090ADC ∠=，ADP ∆是边长为2的等边三角形，Q 是AD 的中点，M 是棱PC 的中点，1,BC CD PB =（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥B PQM -的体积．【答案】（1）见解析（2）14． 【解析】试题分析：（1）由090ADC ∠=，可得 QB AD ⊥，由勾股定理可知PQ QB ⊥，从而可得BQ ⊥平面PAD ，进而根据面面垂直的判定定理可得结论；（2）连接CQ ，先证明PQ ⊥平面ABCD ，再根据等积变换可得1122B PQM P BQC M BQC P DQC P BQC P BQC V V V V V V ------=-=-=，从而可得结果.试题解析：（1）∵底面四边形ABCD 是直角梯形，Q 是AD 的中点， ∴1,//BC QD AD BC ==，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//CD BQ ， ∵090ADC ∠=， ∴QB AD ⊥，又22,PA PD AD Q ===，是AD 的中点，故PQ ，又QB CD PB =∴222PB PQ QB =+，由勾股定理可知PQ QB ⊥，又PQ AD Q ⋂=， ∴BQ ⊥平面PAD ， 又BQ ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）解：连接CQ ， ∵2PA PD ==，Q 是AD 的中点，∴PQ AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴PQ ⊥平面ABCD ，又M 是棱PC 的中点，故1122B PQM P BQC M BQC P DQC P BQC P BQC V V V V V V ------=-=-=，而112BQC PQ S ==⨯=，∴111·332P BQC BQC V S PQ -∆===，∴111224B PQM V -=⨯=．22．已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()x f x ae =，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ebx y a -+-=． （1）求,a b 的值；；（2）若存在实数m ，对任意的[]()1,1x k k ∈>，都有()2f x m ex +≤，求整数k 的最小值．【答案】（1）2a b ==．（2）2．【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程y aex =，根据此方程与20ebx y a -+-=重合可得,a b 的值；（2））因为()f x 为偶函数，所以存在实数m ，对任意的[]()1,1x k k ∈>，都有()2f x m ex +≤，等价于以ln 1ln 1x x m x x ---≤≤-++在[]1,k 上恒成立，设()ln 1g x x x =-++，()ln 1h x x x =---，利用导数研究函数的单调性求出()min g x 与()max h x ，只需令()()min max g x m h x ≤≤即可得结果. 试题解析：（1）0x >时，()()(),1,1x f x ae f ae f ae ===''，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()()111y f f x '-=-，即y aex =．又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ebx y a ++-=， 所以2a b ==．（2）因为()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()x f x ae =， 那么()2x f x e =， 由()2f x m ex +≤得22x meex +≤，两边取以e 为底的对数得ln 1x m x +≤+，所以ln 1ln 1x x m x x ---≤≤-++在[]1,k 上恒成立， 设()ln 1g x x x =-++， 则()1110x g x x x'-=-+=≤（因为[]1,x k ∈） 所以()()min ln 1g x g k k k ==-++，设()ln 1h x x x =---，易知()h x 在[]1,k 上单调递减， 所以()()max 12h x h ==-，故2ln 1m k k -≤≤-++，若实数m 存在，必有ln 3k k -+≥-，又1k >，所以2k =满足要求，故所求的最小正整数k 为2．。
