2023年九年级中考数学高频考点突破——反比例函数与一次函数综合1. 如图，将一把直角三角尺 放在平面直角坐标系中，其中点 ，，点OAB B (2,0)∠AOB =60∘A 在第一象限，反比例函数的图象经过点 ．在 轴上取一点 ，过点 作直线y =kx (k ≠0)A x P P 的垂线 ，垂足为 ，以直线 为对称轴，线段 经轴对称变换后的像是 ．OA l M l OB OʹBʹ(1) 当点 与点 重合时，求点 的坐标．OʹA P (2) 设点 ，当线段 与反比例函数 的图象有交点时，求 的取值范围．P (t,0)OʹBʹy =kx (k ≠0)t 2. 如图，已知反比例函数 的图象经过点 ，过 作 轴于点 ．点y =kx (x >0)A (4,2)A AC ⊥y CB 为反比例函数图象上的一动点，过点 作 轴于点 ，连接 ．直线 与 轴的负B BD ⊥x D AD BC x 半轴交于点 ．E(1) 求 的值；k (2) 若 ，求四边形 的面积．BD =3OC ACED3. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于 ， 两点，y =k 1x +b x y A B 与反比例函数的图象在第二象限交于 ， 两点， 交 轴于点 ．若y =k 2x C D (−6,2)DE ∥OC x E ，求：AD AC=13(1) 一次函数和反比例函数的表达式；(2) 四边形 的面积．OCDE 4. 如图，一条直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点，与 轴交于 点，y =kxA (1,4)B (4,n )x D 轴，垂足为 ．AC ⊥x C (1) 如图甲．①求反比例函数的解析式．②求 的值及 点坐标．n D(2) 如图乙，若点 在线段 上运动，连接 ，作 ， 交 于 点．E AD CE ∠CEF =45∘EF AC F ①试说明 ．△CDE ∽△EAF ②当 为等腰三角形时，直接写出 点坐标．△ECF F5. 如图， 的顶点 是双曲线 与直线 在第二象限的交点，Rt △ABO A y =kxy =−x−(k +1)AB ⊥x 轴于 且 ．B S △ABO =32(1) 求这两个函数的解析式．(2) 求直线与双曲线的两个交点 ， 的坐标和 的面积．A C △AOC 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 与坐标原点重合，点 的坐标为 OABC O C ，点在轴的负半轴上，点，分别在边，上，且(0,3)A x D M AB OA ，，一次函数 的图象过点 和 ，反比例函数 的图象AD =2DB AM =2MO y =kx +b D M y =mx 经过点 ，与 的交点为 ．D BC N(1) 求反比例函数和一次函数的表达式．(2) 若点 在直线 上，且使 的面积与四边形 的面积相等，直接写出点P DM △OPM OMNC P 的坐标：．7. 如图，已知点 是一次函数图象上一点，过点 作 轴的垂线 ， 是 上A y =13x (x ≥0)A x lB l 一点（ 在 上方），在 的右侧以 为斜边作等腰直角三角形 ，B A AB AB ABC(1) 若 点坐标是 ，反比例函数 的图象过点 ．求 的值．B (3,5)y =kx (x >0)C k (2) 若反比例函数的图象过点 ，，且 的面积为 ，求 的面y =kx (x >0)B C △OAB 8△ABC 积．8. 如图所示，直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与反比例函数（y 1=14x +1x A y B y 2=kx）的图象交于点 ，且 ．x >0C AB =BC(1) 求点 的坐标和反比例函数 的解析式．C y 2(2) 点 在 轴上，反比例函数 图象上存在点 ，使得四边形 为平行四边形，求P x y 2M BPCM 点 的坐标．M 9. 如图，函数与的图象交于点 ，．若点 的坐标为 ．y =1k xy =kxA B A (−k,−1)(1) 点 的坐标为；B (2) 若点 为第一象限内双曲线上不同于点 的任意一点．P B ①设直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，求证 ；PA x M PB x N PM =PN ②当 的坐标为 时，连接 延长交 于 ，求证四边形 为矩P (1,k )(k ≠1)PO y =kxC PACB 形．10. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，点 y =ax +b y =kx (x >0)A B A 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，．m B n m <n(1) 点 的纵坐标．A (2) 作 轴， 轴，垂足分别为 ，， 与 相交于点 ，连接 ．AM ⊥x BN ⊥y M N AM BN C MN ①求证：．MN ∥AB ②若四边形 是正方形且面积为 ，把直线 向右平移 个单位，平移后的直线ABMN 8OC c 与反比例函数的图象交于 点，与 轴交于 点，求 的值．y =kx (x >0)P x Q OP 2−OQ 211. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 与 轴交于点 ，且与反比例函AC x A y B (0,52)数在第一象限的图象交于点 ， 轴于点 ，．y =10x C CD ⊥y D CD =2(1) 根据函数图象，直接写出当反比例函数的函数值 时，自变量 的取值范围．y =10x y ≤5x (2) 动点 在 轴上， 轴交反比例函数的图象于点 ．若 ，求P x PQ ⊥x y =10x Q S △PAC :S POQ =2点 的坐标．P 12. 如图，在 中，，直角顶点 位于 轴的负半轴，点 ，斜边Rt △ABC ∠ABC =90∘B x A (0,−2) 交 轴于点 ， 与 轴交于点 ，且 ， 轴平分 ，反比例函数AC x D BC y E tan∠OAD =12y ∠BAC 的图象经过点 ．y =kx (x >0)C(1) 求点 ， 坐标；B D (2) 求的函数表达式．y =kx (x >0)13. 已知，直线 与反比例函数 交于点 ，且点 的横坐标为 ，过 轴上一点 OA y =12xA A 4x 作 垂直于 交 于 点．B (8,0)BC OB OA C(1) 若点 是线段 上一动点，过点 作 ，，垂足分别于 ，，求线段P OC P PE ⊥OB PF ⊥BC E F长度的最小值．EF (2) 在（）的 取得最小值的前提下，将 沿射线 平移，记平移后的三角形为1EF △PEF OA ，当 时，在平面内存在点 ，使得 ，，， 四点构成平行四边形，△PʹEʹFʹOPʹ=2OA Q A EʹFʹQ 这样的点 有几个？直接写出点 的坐标．Q Q 14. 在平面直角坐标系中，已知点 ， 的坐标分别为 ，，把点 绕坐标原点A B (−2,0)(0,−1)A O 顺时针旋转 得点 ，若点 在反比例函数 的图象上．135∘C C y =kx(1) 求反比例函数的表达式．(2) 若点 在 轴上，点 在反比例函数 的图象上，且以点 ，，， 为顶点的四D yE y =kx A B D E 边形是平行四边形，请画出满足题意的示意图并在示意图的下方直接写出相应的点 ， 的D E 坐标．15. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与函数的图象交于点 ．xOy y =x y =kx (x <0)A (−3,m )(1) 求 ， 的值；m k (2) 点 为直线 上任意一点，将直线 沿 轴向上平移两个单位得到直线P (x p ,y p )y =x y =x y ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交函数的图象于点 ．l P x l C y =kx (x <0)D ①当 时，判断 与 的数量关系，并说明理由；x p =−1PC PD ②当 ，结合函数图象，直接写出 的取值范围．PC +PD ≤4x p16. 如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线 交于点 ．xOy y =kx (x >0)y =x−2A (3,m )(1) 求 ， 的值．k m (2) 已知点 ，过点 作平行于 轴的直线，交直线 于点 ，过点P (n,n )(n >0)P x y =x−2M P 作平行于 轴的直线，交函数的图象于点 ．y y =kx (x >0)N ①当 时，判断线段 与 的数量关系，并说明理由．n =1PM PN ②若 ，结合函数的图象，直接写出 的取值范围．PN ≥PM n 17. 请回答下列问题．(1) 如图，已知点 ， 在双曲线上， 轴于 ， 轴于点 ， 与A B y =kx (x >0)AC ⊥x C BD ⊥y D AC 交于点 ， 是 的中点，点 的横坐标为 ． 与 的坐标分别为 ，BD P P AC B b A B （用 与 表示），由此可以猜想 与 的数量关系是．b k AP CP(2) 四边形 的四个顶点分别在反比例函数与 的图象上，对ABCD y =mx y =nx (x >0,0<m <n )角线 轴，且 于点 ， 是 的中点，点 的横坐标为 ．BD ∥y BD ⊥AC P P BD B 4①当 ， 时，判断四边形 的形状并说明理由．m =4n =20ABCD ②四边形 能否成为正方形？若能，直接写出此时 ， 之间的数量关系；若不能，ABCD m n 试说明理由．18. 如图，直线 与双曲线相交于点 ，，已知点 的横坐标为 ．y =kx +2y =1.5x A B A 1(1) 求直线 的解析式及点 的坐标；y =kx +2B (2) 以线段 为斜边在直线 的上方作等腰直角三角形 ．求经过点 的双曲线的解析AB AB ABC C 式．19. 如图，直线 分别交 轴、 轴于 ， 两点，交反比例函数 的图象于 ，l x y A B y =kx (k ≠0)P Q 两点．若 ，且 的面积为 ．AB =2BP △AOB 4(1) 求 的值；k (2) 当点 的横坐标为 时，求 的面积．P −1△POQ 20. 已知在平面直角坐标系 中，点 是反比例函数（）图象上的一个动点，连接xOy A y =1xx ＞0， 的延长线交反比例函数 （，）的图象于点 ，过点 作 于AO AO y =kx k >0x <0B A AE ⊥y 轴点 ．E (1) 如图 ，过点 作 ，于点 ，连接 ．1B BF ⊥x 轴F EF ①若 ，求证：四边形 是平行四边形；k =1AEFO ②连接 ，若 ，求 的面积．BE k =4△BOE(2) 如图 ，过点 作 ，交反比例函数 （，）的图象于点 ，连接2E EP ∥AB y =kx k >0x <0P ．试探究：对于确定的实数 ，动点 在运动过程中， 的面积是否会发生变化？OP k A △POE请说明理由．答案1. 【答案】(1) 当点 与点 重合时，易知直线 垂直平分 ．OʹA l OA 点 ，∵B (2,0) ．∴OB =2在 中，Rt △AOB ，∵∠AOB =60∘，∴∠OAB =30∘，∴OA =2OB =4 ．∴OM =2在 中，Rt △OPM ，∵∠POM =60∘，∴∠OPM =30∘，∴OP =2OM =4 此时点 的坐标是 ．∴P (4,0)(2) 点 ，∵P (t,0) ．∴OP =∣t∣在 中，易得 ，Rt △OPM ∠OPM =30∘，∴OM =12OP =12∣t∣．∴OOʹ=∣t∣过点 作 轴于点 ．OʹOʹN ⊥x N 易得 ，∠OOʹN =30∘，∴ON =12∣t∣．∴NOʹ=32∣t∣当 时，点 在第一象限；∵t >0Oʹ当 时，点 在第三象限，t <0Oʹ 点．∴Oʹ(12t,32t)根据对称性可知，点 在直线 上，设直线 的函数表达式是 ．将点 ， P OʹBʹOʹBʹy =kx +b OʹP 的坐标代入，得{12tk +b =3t,tk +b =0,解得{k =−3,b =3t, ． ∴y =−3x +3t ⋯⋯①在 中，Rt △AOB ，，∵OB =2OA =4 ，∴AB =23点 ．∴A (2,23)将点 的坐标代入反比例函数 ，得 ，A y =kx k =2×23=43∴y =43x . ⋯⋯②联立①②，得 ，3x 2−3tx +43=0即x 2−tx +4=0, ⋯⋯③ ，∴Δ=b 2−4ac =t 2−4×1×4≥0解得 或 ．t ≥4t ≤−4当 时，易知 为等边三角形，t ≥4△OOʹP ．∴OʹP =OP =t ，∵OB =2 ，∴OʹBʹ=2 ，∴BʹP =t−2易知点 的横坐标 ．Bʹ=OP−12BʹP =1+12t 当点 为直线 与函数 图象的交点时，OʹOʹBʹy =43x 易知点 与点 重合，此时 ．OʹA t =4当点 为直线 与函数 图象的交点时，将点的横坐标代入③，得BʹOʹBʹy =43x Bʹ，(1+12t )2−t (1+12t )+4=0整理，得 ，t 2=20解得 （负值舍去）．t =25 ．∴4≤t ≤25当 时，同理可得 ．t ≤−4−25≤t ≤−4综上所述， 的取值范围是 或 ．t 4≤t ≤25−25≤t ≤−42. 【答案】(1) 反比例函数 的图象经过点 ，∵y =k x (x >0)A (4,2) ，∴2=k 4解得 ，k =8 反比例函数的解析式为 ．∴y =8x (x >0)(2) 轴，，∵AC ⊥y A (4,2) 点 的坐标为 ，，∴C (0,2)OC =2 ，∵BD =3OC ，∴BD =3×2=6轴，∵BD ⊥x 点 的纵坐标为 ，代入中，得 ，∴B 6y =8x 6=8x 解得，x =43 ，∴B (43,6)设直线 的解析式为 ，BC y =mx +b (m ≠0)将 ， 代入 中得B (43,6)C (0,2)y =mx +b {43m +b =6,b =2,解得{m =3,b =2. 直线 的解析式为 ，∴BC y =3x +2令 ，得 ，y =03x +2=0解得，x =−23，∴E (−23,0) ，∴DE =43−(−23)=2，∵AC ∥DE∴S 四边形ACED=12(AC +DE )⋅OC =12×(4+2)×2=6.3. 【答案】(1) 将 代入 中，得 ，D (−6,2)y =k 2x k 2=−6×2=−12 反比例函数的表达式为 ．∴y =−12x 过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ．D DM ⊥x M C CN ⊥x N ，．∴DM =2DM ∥CN ．∴△ADM ∽△ACN ．∴AD AC =DM CN =13 ．∴CN =3DM =6将 代入 中，得 ，y =6y =−12x x =−2 点 的坐标为 ．∴C (−2,6) 一次函数 的图象经过点 ，，∵y =k 1x +b C (−2,6)D (−6,2)解得∴{−2k 1+b =6,−6k 1+b =2,{k 1=1,b =8. 一次函数的表达式为 ．∴y =x +8(2) 设直线 对应的函数表达式为 ．OC y =mx 将 代入，得 ，解得 ，C (−2,6)−2m =6m =−3 直线 对应的函数表达式为 ．∴OC y =−3x 由 ，可设直线 对应的函数表达式为 ．DE ∥OC DE y =−3x +n 将 代入，得 ，解得 ．D (−6,2)−3×(−6)+n =2n =−16 直线 对应的函数表达式为 ．令 ，得．∴DE y =−3x−16y =0x =−163 点 的坐标为．∴E (−163,0) ．∴OE =163在 中，令 ，得 ，y =x +8y =0x =−8 点 的坐标为 ．∴A (−8,0) ．∴OA =8 ．∴AE =OA−OE =8−163=83∴S 四边形OCDE=S △AOC −S △AED=12OA ⋅CN−12AE ⋅DM=12×8×6−12×83×2=24−83=643.4. 【答案】(1) ① 点 在反比例函数图象上，∵A (1,4) ，即反比例函数关系式为 ．∴k =4y =4x ② 点 在反比例函数图象上，∵B (4,n ) ，∴n =1设一次函数的解析式为 ，y =mx +b 点 和 在一次函数 的图象上，∵A (1,4)B (4,1)y =mx +b ，，解得 ，，∴m +b =44m +b =1b =5m =−1 一次函数关系式为 ，令 ，得 ，∴y =−x +5y =0x =5 点坐标为 ．∴D D (5,0)(2) ① ， 轴于点 ，∵A (1,4)AC ⊥x C ，∴C (1,0) ．∴AC =4又 ，∵D (5,0) ，∴CD =4 ，∴AC =CD ，∴∠CAD =∠CDA =45∘ ．∴∠AFE +∠AEF =135∘又 ，∵∠CEF =45∘ ，∴∠CED +∠AEF =135∘ ．∴∠AFE =∠CED 又 ，∵∠FAE =∠EDC =45∘ ．∴△CDE ∽△EAF ② ，，(1,2)(1,4)(1,8−42)【解析】(2) ②当 时，由 ，CE =FE △CDE ≌△EAF 可得 ，，AE =CD =4DE =AF =4(2−1) ，∵A (1,4) 点的纵坐标 ，∴F =4−AF =4−4(2−1)=8−42 ，∴F (1,8−42)当 时，由 知 ，此时 与 重合，CE =CF ∠FEC =45∘∠ACE =90∘E D 与 重合，∴F A ，∴F (1,4)当 时，由 知 ，CF =EF ∠FEC =45∘∠CFE =90∘显然 为 中点，F AC ，∴F (1,2)当 为等腰三角形时，△ECF 点 的坐标为 ；；．F F 1(1,2)F 2(1,4)F 3(1,8−42)5. 【答案】(1) 方法一：轴于 ，且 ，AB ⊥x B S △ABO =32 ，∴12∣k ∣=32 ，∴k =±3 反比例函数图象在二、四象限，∵ ，∴k <0 ，∴k =−3 反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 ．∴y =−3x y =−x +2(2) 联立两函数解析式成方程组，解得{y =−3x ,y =−x +2,{x 1=−1,y 1=3,{x 2=3,y 2=−1, 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，∴A (−1,3)C (3,−1)设直线 与 轴交与点 ，AC x D 当 时，，y =−x +2=0x =2 点 ，∴D (2,0) ．∴S △AOC =12OD ⋅(y A −y C )=12×2×[3−(−1)]=4【解析】(1) 方法二：设 点坐标为 ，且 ，，A (x,y )x <0y >0则 ，S △ABO =12⋅∣OB ∣⋅∣AB ∣=12⋅(−x )⋅y =32 ，∴xy =−3又 ，∵y =k x ，∴k =−3 所求的两个函数的解析式分别为，．∴y =−3x y =−x +26. 【答案】(1) 点 坐标为 ，∵C (0,3) ，∴OC =3 四边形 ∵OABC ，∴OA =AB =BC =OC =3又 ，，∵AD =2DB AM =2MO ，，∴AD =AM =2DB =OM =1 点 坐标为 ，点 坐标为 ，∴D (−3,2)M (−1,0) 点 坐标为 在反比例函数 上，∵D (−3,2)y =m x ，∴m =−6 反比例函数为 ，∴y =−6x 点 坐标为 ，点 坐标为 在一次函数 上，∵D (−3,2)M (−1,0)y =kx +b解得： ∴{2=−3k +b,0=−k +b,{k =−1,b =−1, 一次函数为：．∴y =−x−1(2) 或(−10,9)(8,−9)【解析】(2) 设 点坐标为 ，P (x P ,y P )则，S 四边形OMNC =12(1+2)×3=12×OM ×∣y P ∣=92 ，∴∣y P ∣=9 ，∴y P =−9或9则其坐标为 或 ．(−10,9)(8,−9)7. 【答案】(1) 点 是一次函数 图象上一点，过点 作 轴的垂线 ， 是 上一点∵A y =13x (x ≥0)A x l B l （ 在 上方）， 的坐标为 ，B A B (3,5) 点 的横坐标为为 ，代入一次函数解析式得 ，∴A 3A (3,1) 为等腰直角三角形，∵△ABC 根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线是斜边一半可得点 的坐标为 ，∴C (5,3) 反比例函数的图象过点 ，∵y =k x (x >0)C ，∴3=k 5 ．∴k =15(2) 如图，过 作 轴于 ，交 于 ，C CD ⊥y D ABE 轴，∵AB ⊥x ，∴CD ⊥AB 是等腰直角三角形，∵△ABC ，∴BE =AE =CE 设 ，则 ，AB =2a BE =AE =CE =a 设 ，则 ，，A (x,13x )B (x,13x +2a )C (x +a,13x +a ) ， 在反比例函数的图象上，∵B C ，∴x (13x +2a )=(x +a )(13x +a)解得，x =32a ，∵S △OAB =12AB ⋅DE =12⋅2a ⋅x =8 ，∴ax =8，∴32a 2=8，∴a 2=163 ．∵S △ABC =12AB ⋅DE =12⋅2a ⋅a =a 2=1638. 【答案】(1) 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，∵y 1=14x +1x A y B 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．∴A (−4,0)B (0,1)过点 作 于点 ，如图 所示．C CD ⊥x 轴D 1 ，∵AB =BC 为 的中位线，∴OB △ACD ，，∴OD =OA =4CD =2OB =2 点 的坐标为 ．∴C (4,2) 点 在反比例函数（）的图象上，∵C (4,2)y 2=k x x >0 ，∴k =4×2=8 反比例函数 的解析式为 ．∴y 2y 2=8x (2) 连接 交 于点 ，如图 所示．PM BC G 2 四边形 为平行四边形，∵BPCM 点 为线段 的中点，点 为线段 的中点．∴G BC G PM 点 的坐标为 ，点 ，∵B (0,1)C (4,2) 点 的坐标为 ，即 ，∴G (0+42,1+22)(2,32) 点 的纵坐标为 ，∴M 32×2−0=3 点 的坐标为 ．∴M (83,3)9. 【答案】(1)(k,1)(2) ①设 ，直线 的解析式为 ，P (m,k m )PA y =ax +b 则有 解得{−ka +b =−1,ma +b =k m ,{a =1m ,b =k m −1,直线 的解析式为 ，∴PA y =1m x +k−m m 令 ，得到 ，y =0x =m−k 设直线 的解析式为 ，PB y =cx +d 则有 解得 {kc +d =1,mc +d =k m ,{c =−1m ,b =k m +1,直线 的解析式为 ，∴PB y =−1m x +k +m m令 ，得到 ，y =0x =k +m 如图，作 于 ．PH ⊥MN H 则 ．H (m,0) ，，∴HM =m−(m−k )=k NH =k +m−m =k ，∴MH =HN ．∴PM =PN ② ，∵P (1,k ) ，∴C (−1,−k ) ，，∵OP =OC OA =OB 四边形 是平行四边形，∴PACB ，，，∵PH =k MH =k HN =k ，∴PH =HM =HN ，∴∠MPN =90∘ 四边形 是矩形．∴PACB 【解析】(1) 函数 与 的图象交于点 ，，∵y =1k x y =k x A B ， 关于原点对称，∴A B ，∵A (−k,−1) ．∴B (k,1)10. 【答案】(1)k m (2) ①当 时，x =n y =k x n , 点 的坐标为∴B (n,k n ) 轴， 轴，∵AM ⊥x BN ⊥y 点 的坐标为 ，∴C (m,k n ) ，，，，∴NC =m BC =n−m MC =k n AC =k m −k n ，，∵NC BC =m n−m MC AC =k n k m −k n =k n k (n−m )mn =m n−m∴NC BC =MC AC 又 ，∵∠ACB =∠MCN =90∘ ，∴△ACB ∽△MCN ，∴∠ABC =∠MNC ．∴AB ∥MN②如图，四边形 是正方形，∵ABMN ，，，∴CM =CN BN =2CN AM =2CM ， 为等腰直角三角形．∴n =2m △CMN ，∵S 正方形ABMN =MN 2=8∴MN =22, ，∴CM =CN =2 ，，∴m =2n =4 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，∴A (2,4)C (2,2) ，直线 的解析式为 ．∴k =2×4=8OC y =x 把直线 向右平移 个单位得到直线 ，∵OC c PQ 直线 的解析式为 ，点 的坐标为 ．∴PQ y =x−c Q (c,0)联立直线 和反比例函数解析式成方程组，得： PQ {y =x +c,y =8x ,解得： （舍去），{x 1=c +c 2+322,y 1=c 2+32−c2,{x 2=c−c 2+322,y 2=−c−c 2+322 点 的坐标为 ，∴P (c +c 2+322,c 2+32−c 2) ．∴OP 2−OQ 2=(c +c 2+322−0)2+(c 2+32−c 2−0)2−c 2=16【解析】(1) 当 时，，x =m y =k x =km 点 的纵坐标为 ．∴A k m 11. 【答案】(1) 或 ．x ≥2x <0(2) 轴于点 ，，∵CD ⊥y D CD =2 点的横坐标为 ．∴C 2把 代入反比例函数 ，得 ，x =2y =10x y =102=5 ．∴C (2,5)设直线 的解析式为 ，AC y =kx +b 把 ， 代入，B (0,52)C (2,5)得 解得{b =52,2k +b =5,{k =54,b =52. 直线 的解析式为 ，∴AC y =54x +52令 ，解得 ．y =54x +52=0x =−2 ，∴A (−2,0) 轴，点 在反比例函数 的图象上，∵PQ ⊥x Q y =10x ．∴S △POQ =12×10=5 ，∵S △PAC :S △POQ =2 ，则 ，∴S PAC =1012PA ⋅y c =10 ，∴PA =2×105=4 或 ．∴(−6,0)(2,0)【解析】(1) 当 时，，y =5x =10y =2观察图形可知： 时， 或 ．y ≤5x ≥2x <012. 【答案】(1) 点 ，∵A (0,−2) ，∴OA =2 ，∵tan∠OAD =OD OA =12 ，∴OD =1 轴平分 ，∵y ∠BAC ，∴∠BAO =∠DAO ，，∵∠AOD =∠AOB =90∘AO =AO ，∴△AOB ≌△AOD (ASA ) ，∴OB =OD =1 点 坐标为 ，点 坐标为 ；∴B (−1,0)D (1,0)(2) 过 作 轴于 ，C CH ⊥x H ，∴∠CHD =90∘ ，∵∠ABC =90∘ ，∴∠ABO +∠CBO =∠ABO +∠BAO =90∘ ，∴∠BAO =∠DAO =∠CBD ，∵∠ADO =∠CDH ，∴∠DCH =∠DAO ，∴∠DCH =∠CBH，∴tan∠CBH =tan∠DCH =12 ，∴CH BH =DH CH =12设 ，则 ，，DH =x CH =2x BH =4x ，∴2+x =4x ，∴x =23，，∴OH =53CH =43，∴C (53,43) ，∴k =53×43=209 的函数表达式为．∴y =kx (x >0)y =209x13. 【答案】(1) 当 时，，x =4y =12x=3点 的坐标为 ．∴A (4,3)设直线 的解析式为 ，OA y =kx (k ≠0)将 代入 ，，解得：，A (4,3)y =kx 3=4k k =34直线 的解析式为 ．∴OA y =34x设点 的坐标为 ，则，，P (m,34m )(0≤m ≤8)PE =34m PF =8−m ，即 ．∴EF 2=PE 2+PF 2EF 2=(34m )2+(8−m )2=2516(m−12825)2+57625 ，∵2516>0当时， 取得最小值，此时 最小值，最小值为，∴m =12825EF 2EF 245 线段 长度的最小值为 ．∴EF 245(2)符合题意得点 有 个，点 的坐标为 ，，．Q 3Q (12825,5425)(27225,24625)(27225,5425)【解析】(2)由（）可知，当 最小时，点 的坐标为 ．1EF P (12825,9625) ，∵OB =2OA ，∴OC =2OA 平移后点 与点 重合，∴PʹC 平移后点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．∴Pʹ(8,6)Eʹ(8,5425)Fʹ(27225,6)设点 的坐标为 ，分三种情况考虑，如图所示：Q (a,b )①当 为对角线时，PʹEʹ ，，，∵Pʹ(8,6)Eʹ(8,5425)Fʹ(27225,6)∴{a +27225=8+8,b +6=6+5425,解得：{a =12825,b=5425,点 的坐标为；∴Q 1(12825,5425)②当 为对角线时，PʹFʹ ，，，∵Pʹ(8,6)Eʹ(8,5425)Fʹ(27225,6)∴{a +8=8+27225,b +5425=6+6,解得：{a =27225,b =24625, 点 的坐标为；∴Q 2(27225,24625)③当 为对角线时，EʹFʹ ，，，∵Pʹ(8,6)Eʹ(8,5425)Fʹ(27225,6∴{a +8=8+27225,b +6=5425+6,解得：{a =27225,b=5425,点 的坐标为．∴Q 3(27225,5425)综上所述：符合题意的点 有 个，点 的坐标为 ，，．Q 3Q (12825,5425)(27225,24625)(27225,5425)14. 【答案】(1) 由旋转得：，，OA =OA =2∠AOC =135∘过点 作 轴，垂足为 ，C CM ⊥y M 则 ，∠COM =135∘−90∘=45∘在 中，，，Rt △OMC ∠COM =45∘OC =2 ，∴OM =CM =1 点 ，代入得：，∴C (1,1)y =kxk =1 反比例函数的关系式为：．∴y =1x(2) ①当点 在第三象限反比例函数的图象上，如图 ，E 1，；E (−2,−22)D (0,−1−22)如图 ，2，；E (−2,−22)D (0,−1+22)②当点 在第一象限反比例函数的图象上时，如图 ，过点 作 轴，垂足为 ，E 3E EN ⊥y N ，．E(2,22)D (0,1+22)【解析】(2) ① 点 在 轴上， 是平行四边形，∵D y AEDB ，，，当 时，，∴AE ∥DB AE =BD AE ⊥OA x =−2y =1−2=−22，∴E (−2,−22) ，，∵B (0,−1)BD =AE =22当点 在 的下方时，D B，∴D (0,−1−22)当点 在 的上方时，D B；∴D (0,−1+22)② 是平行四边形，∵ABED，∴AB =DE ，∴∠ABO =∠EDO ，∴△AOB ≌△END (AAS ) ，，∴EN =OA =2DN =OB =1当 时，代入 得：，x =2y =1xy =22，∴E(2,22) ，，∴ON =22OD =ON +DN =1+22．∴D (0,1+22)15. 【答案】(1) 直线 经过点 ，∵y =x A (−3,m ) ．∴m =−3又 函数的图象经过点 ，∵y =kx (x <0)A (−3,−3) ．∴k =−3×(−3)=3(2) ① ，理由：PC =PD 点 为直线 上一点，，∵P y =x x p =−1 ，∴y p =−1 ．∴P (−1,−1) 直线 向上平移两个单位得到直线 ，∵y =x l 直线 的解析式为 ，∴l y =x +2 ，∵PC ⊥x 轴 ．∴C (−1,1)由（）知，，1k =3 反比例函数的解析式为 ，∴y =3x (x <0)把 代入，得 ．x =−1y =3xy =−3 点 的坐标为 ．∴D (−1,−3) ．∴PC =PD =2② ．−3≤x p ≤−1【解析】(2) ②如图，由①知，当 时，，x p =−1PC =PD =2 ．∴PC +PD =4由平移知，，PʹCʹ=PC =2 当点 与点 重合时，．∴DʹCʹPʹCʹ+PʹDʹ=4解得 或 （舍去）．{y =x +2,y =3x{x =−3,y =−1{x =1,y =3 点 与 重合时，．∴DʹCʹx pʹ=−3由图象知，．−3≤x p ≤−116. 【答案】(1)函数的图象与直线 交于点 ，∵y =kx (x >0)y =x−2A (3,m ) ，，，∴m =3−2=1A (3,1)k =3×1=3即 的值为 ， 的值为 ．k 3m 1(2) ①当 时，，n =1P (1,1)令 ，代入 ，，，，．y =1y =x−2x−2=1x =3M (3,1)PM =2令 ，代入，，，．x =1y =kx (x >0)y =3N (1,3)PN =2 ．∴PM =PN ② 或 ．0<n ≤1n ≥3【解析】(2) ② ，点 在直线 上，P (n,n )P y =x 过点 作平行于 轴的直线，交直线 于点 ，，P x y =x−2M M (n +2,n ) ，PM =2 ，即 ，PN ≥PM PN ≥2 或 ．0<n ≤1n ≥317. 【答案】(1)；；相等(b 2,2k b )(b,k b )(2) ① 点 的横坐标为 ，，，∵B 4m =4n =20，，∴y B =44=1y D =204=5，，∴B (4,1)D (4,5) 是 中点，∵P BD，∴P (4,3) 点 ， 的纵坐标为 ，∴A C 3 ，，解得：，，∴3=4xA3=20xC x A =43x C =203，，∴A (43,3)C (203,3) ，，∴PA =4−43=83PC =203−4=83，∴PA =PC ，，∵PB =PD BD ⊥AC 四边形 为菱形．∴ABCD ②能，．m +n =32【解析】(1) 点 在反比例函数图象上，点 横坐标为 ，∵B y =kxB b，即，∴y =kxB (b,k b) 轴， 轴，， 交于点 ，∵AC ⊥x BD ⊥y AC BD P 点纵坐标为，∴P k b 点 为 中点，∵P AC ，点 的纵坐标为 ，∴AP =PC A 2k b 点 在 图象上，∵A y =kx，解得：，∴2k b=kbx =b2．∴A (b 2,2k b)(2) ② 点 的横坐标为 ，∵B 4 ，，∴B (4,m 4)D (4,n 4) 点 为 中点，∵P BD ，∴P (4,m +n8) ，，∴A(8m m +n ,m +n 8)C (8n m +n ,m +n 8) 是正方形，∵ABCD ，即 ，∴AC =BD 8n m +n −8m m +n =n 4−m4 ．∴m +n =3218. 【答案】(1)点 在双曲线上，且点 的横坐标为 ，∵A y =1.5x A 1 点 的纵坐标为 ，∴A 1.51=32点 ，∴A (1,32) 点 在直线 上，∵A (1,32)y =kx +2 ，∴k +2=32，∴k =−12直线 的解析式为，∴AB y =−12x +2联立直线 和双曲线的解析式得， 解得（点 的纵横坐标）或AB {y =1.5x,y =−12x+2,{x =1,y =32A {x =3,y =12,．∴B (3,12)(2) 如图，过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，两线相交于点 ，过点 作 A x B y F C ，交 于 ，过点 作 于 ，CD ⊥AF AF D C CE ⊥BF E ，∴∠D =∠F =∠CEF =∠CEB =90∘四边形 是矩形，∴CDFE ，∴∠DCE =90∘，∵∠ACB =90∘，∴∠ACD =∠BCE 以线段 为斜边在直线 的上方作等腰直角三角形 ，∵AB AB ABC ，∴AC =BC ，∴△ACD ≌△BCE (AAS ) ，，∴AD =BE CD =CE 设点 ，C (m,n ) ，，∵A (1,32)B (3,12) ，，，，∴AD =n−32CD =m−1BE =3−m CE =n−12∴{n−32=3−m,m−1=n−12,∴{m =52,n =2, ，∴C (52,2)设过点 的双曲线的解析式为 ，C y =kʹx，∴kʹ=2×52=5过点 的双曲线的解析式为．∴C y =5x19. 【答案】(1) ，且 的面积为 ，∵AB =2BP △AOB 4 的面积为 ，∴△POB 2作 轴于 ，PM ⊥y M ，∴PM ∥OA ，∴△PBM ∼△ABO ，即 ，∴S △PBMS△ABO=(PB AB )2S △PBM4=(12)2的面积为 ，∴△PBM 1 ，∴S △POM =1+2=3，∵S △POM =12∣k ∣，∴∣k ∣=6 ，∵k <0 ;∴k =−6(2) 点 的横坐标为 ，∵P −1 ，∴PM =1 ，∵△PBM ∼△ABO，即，∴PMOA =PBAB1OA=12，∴OA =2 ，∴A (2,0)把 代入得，，x =−1y =−6xy =6 ，∴P (−1,6)设直线 为 ，AB y =mx +n 把 ， 的坐标代入得 解得 P A {−m +n =6,2m +n =0,{m =−2,n =4, 直线 为 ，∴AB y =−2x +4解 得 或 {y =−6xy =−2x +4{x =3y =−2{x =−1,y =6, ，∴Q (3,−2)．∴S △POQ =S △POA +S △QOA =12×2×6+12×2×2=820. 【答案】(1)①设点 的坐标为 ，则当点 时，点 的坐标为，A (a,1a )k =1B (−a,−1a ) ，∴AE =OF =a ，∵AE ⊥y 轴 ，∴AE ∥OF 四边形 是平行四边形．∴AEFO ②过点 作 于点 ，如图 ，B BD ⊥y 轴D 1 ，∵AE ⊥y 轴 ，∴AE ∥BD ，∴△AEO ∽△BDO ，∴S △AEOS△BDO=(AO BO )2 当 时，，∴k =4122=(AO BO )2即 ，AO BO=12．∴S △BOE =2S △AOE =1(2) 不改变．理由如下：过点 作 于点 ， 与 轴交于点 ，P PH ⊥x 轴H PE x G 设点 的坐标为，点 的坐标为 ，A (a,1a)P (b,kb)则 ，，AE =a OE =1a ,PH =−kb四边形 是平行四边形，∵AEGO ，，∴∠EAO =∠EGO AE =OG ，∵∠EGO =∠PGH ，∴∠EAO =∠PGH 又 ，∵∠PHG =∠AEO ，∴△AEO ∽△GHP，∴AEGH =EOPH，∵GH =OH−OG =−b−a，∴a −b−a=1a−kb，∴(b a )2+ba−k =0解得，b a=−1±1+4k2， 异号，，∵a b k >0 ，∴ba =−1−1+4k2 ，∴S △POE =12×OE ×(−b )=12×1a ×(−b )=−12×ba =1+1+4k4对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．∴k A △POE。
