101.相交线垂线三线八角[1]

知识点四、三线八角同位角：F内错角：Z同旁内角：U三线九角图：✓找出∠B的同位角✓找出∠B的内错角✓找出∠B的同旁内角三线12角1．如图，直线AB，CD被直线EF所截，则与∠1构成内错角的是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5 2．如图，直线AB，CD被射线CE所截，与∠1构成同位角的是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5 3．如图，与∠4是同旁内角的是（）A．∠1B．∠2C．∠3D．∠5 4．如图，直线a、b被直线c所截，下列说法不正确的是（）A．∠1与∠5是同位角B．∠2与∠4是对顶角C．∠3与∠6是同旁内角D．∠5与∠6互为余角5.如图所示同位角一共有对，分别是；内错角一共有对，分别是；同旁内角一共有对，分别是．．6．如图，下列判断正确的是（）A．∠1，∠2，∠6互为邻补角B．∠2与∠4是同位角C．∠3与∠6是同旁内角D．∠5与∠3是内错角7.如图根据图形填空：先描线、在判断（1）直线AB和CD被直线AC所截形成的内错角是；（2）直线AB和CD被直线BE所截形成的同位角是；（3）直线AD和BE被直线AB所截形成的同旁内角是；（4）∠3和∠6是直线和被直线所截形成的角；（5）∠2和∠6是直线和被直线所截形成的角．三角形的三个内角，互为同旁内角找出∠C的同旁内角，并指出是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？8．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．（1）如图1，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了对同旁内角．（2）如图2，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有对同旁内角．（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角．（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角．本节思维导图。

人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章介绍了平面内两条直线相交与平行的关系，重点探讨了两条直线相交时形成角的特征、两条直线互相垂直的特性、两条直线平行的条件和特征，以及有关图形平移变换的性质。

本文将对其中的重点知识点进行总结。

5.1 相交线1.邻补角与对顶角当两条直线相交时，所形成的四个角具有不同的关系。

其中，对顶角是具有特殊位置关系的两个角，它们的大小相等；邻补角则是互为反向延长线的两个角，它们的和为180度。

2.垂线垂线是指当两条直线相交时，其中一个角为直角的情况。

垂线具有两个性质：一是过一点只有一条直线与已知直线垂直；二是连接直线外一点与直线上各点的垂线段最短。

3.垂线的画法画垂线的方法有两种：一是过直线上一点画已知直线的垂线；二是过直线外一点画已知直线的垂线。

画法可采用“一靠二移三画”的方法。

4.点到直线的距离点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

记忆时应结合图形进行理解。

本章内容的重点是垂线和其性质、平行线的判定方法和性质、平移和其性质，以及这些知识点的组织运用。

在研究这些知识点时，需要注意记忆其定义和性质，掌握其画法和应用方法。

垂线是指从一个点垂直于一条直线或平面的线段，而垂线段则是垂线的长度。

它们都具有垂直的性质，可以用来计算点到直线的距离或两点间的距离。

点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离，而两点间的距离是点与点之间的长度。

线段和距离都是长度的概念，但线段是一种图形，不能等同于距离。

平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的位置关系只有两种：相交和平行。

判断两条直线的位置关系可以根据它们的公共点个数来确定，有且只有一个公共点时两直线相交，无公共点时两直线平行，两个或两个以上公共点时两直线重合。

平行公理指出，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

同时，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成的八个角，包括同位角、内错角和同旁内角。

相交线 垂线 三线八角(复习)090414【目标导航】1．理解对顶角与邻补角的概念和性质． 2．了解垂线的定义性质、垂线段的概念、点到直线的距离.3．了解同位角、内错角、同旁内角的概念．【基础训练】1．如图所示，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，∠AOD 的对顶角是_____，∠AOC 的邻补角是 ；若∠AOC ＝50°，则∠BOD ＝______，∠COB ＝_______．OFE D CB A1.答案：∠BOC ；∠AOD 、∠BOC ；50°；130°. 2．对顶角的性质是___________________．2.答案：对顶角相等.3．如果CD ⊥AB 于点D ，自CD 上任一点向AB 作垂线，那么所画垂线均与CD 重合，这是因为 ． 3.答案：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.如图所示，下列说法不正确的是 ( ) A .点B 到AC 的垂线段是线段AB ； B .点C 到AB 的垂线段是线段AC ； C .线段AD 是点D 到BC 的垂线段； D .线段BD 是点B 到AD 的垂线段.DCBA4.答案：C.5.如图所示，AD ⊥BD ，BC ⊥CD ，AB ＝a ，BC ＝b ，则BD 的范围是 ，理由是 .DCBA5.答案：b ＜BD ＜a ；垂线段最短.6． 如图：(1)∠1和∠B 是由直线 截直线 和 所成的 角.(2)∠2和∠C 是由直线 截直线 和 所成的 角.(3)∠B 和∠C 是由直线 截直线 和 所成的 角.6. 答案：（1）BE 、AD 、BC 、同位；（2）AC 、AD 、BC 、内错；（3）BC 、AC 、AB 、同旁内角.【例题解析】例1．下列说法正确的有( )①一个角的两边分别是另一角的两边的延长线的两个角是对顶角；②相等的两个角是对顶角；③过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；④有一条公共边且互补的两个角是邻补角．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 例1．答案：B. 例2．两两相交但无三线共点的若干条直线，将平面划分成的区域个数有如下事实：一条直线将平面划分成 个区域；两条直线将平面划分成 个区域；n 条直线将平面划分成 个区域． 例2．答案：2、4、2)1(1++n n . 例3.已知∠AOB 和∠BOC 互为邻补角，OD 是∠AOB 平分线，OE 在∠BOC 内，∠EOC ＝2∠BOE ，∠DOE ＝72°，求∠EOC .例3.答案：设∠BOE ＝x °，则∠COE ＝(2x)°，∠BOD ＝∠AOD ＝(72－x)° ∵∠AOB 和∠BOC 互为邻补角 ∴2(72－x)＋x ＋2x ＝180 得x ＝36∴∠EOC ＝72°.例4.画∠A ＝30°，在∠A 的两边上分别截取AC ＝40mm ，AB ＝26mm ，连结BC ，过C 点分别画CA ，AB 的垂线，画B 点到AC 的垂线段，并量出C 点到AB 的距离和B 点到AC 的距离. 例4. 答案：如图，C 点到AB 的距离CE ＝20㎜，B 点到AC 的距离BF ＝13㎜.例5．⑴如图，∠A 的同位角是＿＿＿＿，∠1的内错角是＿＿＿＿，∠2的同旁内角是＿＿＿＿．⑵如图所示，∠B 与∠CAD 是由直线＿＿＿＿与直线＿＿＿＿被直线＿＿＿＿所截得到的＿＿＿＿角．例5．答案：（1）∠BFG 、∠CGF ；∠CGF ；∠CGF 或∠B 或∠A ；（2）BC 、AC 、BD （或BA 或AD ）、同位. 例6．如图，AB 、CD 、EF 相交于O 点，EF⊥AB ，OG 为∠COF 的角平分线，OH 为∠DOG 的角平分线，若∠AOC ∶∠COG ＝4∶7，求∠DOF 、∠DOH 的大小.例6．答案：设一份为x ，由∠AOC ：∠COG ＝4：7得到：∠AOC ＝4x ，∠COG ＝7x ， ∵OG 平分∠COF ，∴∠COG ＝∠GOF ＝7x ， 又∵AB ⊥EF ，则4x+7x+7x ＝90°， 解得x ＝5°，∴∠COG ＝7x ＝35°， 则∠GOD ＝180°-35°＝145°， 又OH 为∠DOG 的平分线，所以∠GOH ＝21∠GOD ＝72.5°．【课堂操练】1．如图，三条直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，则∠AOE +∠DOB +∠COF ＝ °OF E D CBA1．答案：180. 2．（2011•柳州）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（ ） A ．∠2和∠3 B ．∠1和∠3 C ．∠1和∠4 D ．∠1和∠22．答案：A.3．两条相交直线所成的角中( ) A ．必有一个钝角 B ．必有一个锐角 C ．必有一个不是钝角 D ．必有两个锐角 3．答案：C. 4．（2011•梧州）如图，直线a 、b 相交，∠1＝65°，则∠2的度数是＿＿＿＿°．4．答案：65.5．如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD＝2：3，则∠EOD＝______．OEDC BA5．答案：42°.6．两条直线相交于一点构成对对顶角；三条直线相交于一点，构成对对顶角；n直线相交于一点，构成对对顶角；100条直线相交于一点构成对对顶角.6．答案：2、6、n（n-1）、9900.7．平面上三条直线相互间的交点个数是；平面上四条直线相互间的交点个数是．7．答案：0个或1个或2个或3个；0或1或3或4或5或6.8．点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，P A＝4cm，PB＝5cm，PC ＝2cm，则点P到直线m的距离为( ) A．4cm B．2cmC．小于2cm D．不大于2cm 8．答案：D.9．如图，∠1的同旁内角有个．9．答案：3.10．对于下图，有以下判断：①∠1与∠3是内错角；②∠2与∠3是内错角；③∠2与∠4是同旁内角；④∠2与∠3是同位角．其中说法正确的有(填写序号) ．10.答案：①③.11.如图所示，能表示点到直线(线段)的距离的线段有条．DCBA11.答案：5.12．如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15．（1）试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；（2）点C到直线AB的距离是多少？你是怎样求得的？12．答案：（1）点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离分别是：9，12．（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D.D△ABC的面积＝21BC•AC＝21AB•CD，∴15CD＝12×9，∴CD＝536．∴点C到直线AB的距离为536．13．如图所示，l1，l2，l3交于点O，∠1＝∠2，∠3：∠1＝8：1，求∠4的度数．34l3l2l11213．答案：设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝(8x)°由∠1＋∠2＋∠3＝180°得x＋x＋8x＝180解得x＝18，∴∠4＝2∠1＝36°.【课后盘点】1．若一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，则这两个角 .1．答案：相等或互补.2．已知点O，画和点O的距离是3厘米的直线可以画＿＿＿＿条.2．答案：无数.3．（2011•广西）如图，O是直线AB上一点，∠COB＝30°，则∠1＝＿＿＿＿°3．答案：150.4．平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是 .4．答案：6.5．下列说法正确的个数是（）①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②对顶角的平分线在同一条直线上；③如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角；④两个有公共顶点的角相等，且一个角的一边是另一个角一边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．A、1个B、2个C、3个D、4个5．答案：B.6．如图，线段AB的长是到的距离；点D到AB的距离是的长；线段＿＿＿＿的长是点B到AC的距离.6．答案：点A；点B；线段DE；BC.7．如图，(1)∠B、∠EDB是直线和被直线所截得角；(2)直线截直线和所得的∠AFD和∠C是角；(3)与∠CFD成内错角的有；(4)与∠C成同旁内角的有个，它们是.7．答案：（1）BE、DE、BD、同旁内角；（2）AC、DF、CD、同位；（3）∠EDF；（4）5个、∠CFD，∠CDF，∠CDE，∠A，∠B.8．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥CD，OF平分∠BOC，∠AOC＝30°，则∠BOE＝°，∠COF＝°，∠EOF＝°，∠AOE＝°.8．答案：60°、75°、15°、120°. 9．如图，已知OA⊥OB，OD⊥OC，则下列说法不正确的是( )A.∠BOC＝∠AODB.∠AOC+∠BOD＝180°C.∠COD与∠AOB互补D.∠COB与∠BOD相等9．答案：D.10．（2011•梧州）如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．140°10.答案：C11．如图，直线AB、CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE，若∠AOC＝28°，则∠EOF＝＿＿＿＿度．11．答案：62.12．如图，西部某地有四个村庄A、B、C、D，为了解决缺水问题，当地政府准备投资修建一个蓄水池P的位置，使它和四个村庄的距离之和最小，若计划把河中的水引入蓄水池P中，怎样开挖的渠道最短，并说明理由. 12．答案：如图，连结AC，BD，它们的交点是P，点P就是修建蓄水池的位置，这一点到A，B，C，D四点的距离之和最小．过点P向河岸作垂线段PH，可使开挖的渠道最短，理由是：垂线段最短.PH13．完成下列作图：作∠AOB的平分线，并在平分线上任找一点P，过P作∠AOB两边的垂线段，并量出处线段的长度，看看它们有什么关系.13．答案：如图，量得PE＝PF.F14．如图，找出图中∠DEA，∠ADE的同位角、内错角和同旁内角．14．答案：图中∠DEA的同位角为∠C、内错角为∠BDE、同旁内角为∠A或∠ADE；∠ADE的同位角为∠B、内错角为∠CED、同旁内角为∠AED或∠A．.15．如图，两直线AB，CD相交于点O，已知OE平分∠BOD，且∠AOC：∠AOD＝3：7，（1）求∠DOE的度数；（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．15．答案：（1）∵两直线AB，CD相交于点O，∠AOC：∠AOD＝3：7，∴∠AOC＝180°×373＝54°，∴∠BOD＝54°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝54°÷2＝27°．（2）∵OF⊥OE，∠DOE＝27°，∴∠DOF＝63°，∠COF＝180°-63°＝117°．【课外拓展】1．如图，过P作线段PQ⊥l1，垂足为Q；再过P作直线MN⊥PQ.1．答案：如图.N2．如图，BE是AB的延长线，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？（1）∠A和∠D；（2）∠A和∠CBA；（3）∠C和∠CBE．2．答案：（1）∠A和∠D是由直线AE、CD被直线AD所截形成的，它们是同旁内角；（2）∠A和∠CBA是由直线AD、BC被直线AE所截形成的，它们是同旁内角；（3）∠C和∠CBE是由直线CD、AE被直线BC所截形成的，它们是内错角．3．如图，直线AB，CD相交于点O．写出∠1，∠2，∠3，∠4中每两个角之间的位置关系．3．答案：∠1和∠3是对顶角；∠1和∠2是邻补角，∠2与∠3是邻补角；∠1和∠4是同位角，∠2与∠4是同旁内角，∠3与∠4是内错角．4．已知点O是直线AB上一点，OC，OD是两条射线，且∠AOC=∠BOD，则∠AOC与∠BOD是对顶角吗？为什么？4．答案：∠AOC与∠BOD不一定是对顶角．应分两种情况讨论：（1）如图（1），当OC，OD在直线AB的同侧时，∠AOC与∠BOD不是对顶角．（2）如图（2），当OC，OD在直线AB的两侧时，∠AOC与∠BOD是对顶角．（设计人：江云桂）。

北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案（授课内容：直线的相交、垂直、三线八角）（一）知识梳理回顾 一、直线的相交 1．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行．【注】两条直线：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线．2．直线的相交——两线四角（1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角．【例】如图1，∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4互为邻补角． 【注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角．（2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角．【例】如图1，∠1和∠3，∠2和∠4，互为对顶角．【注】互为对顶角的两个角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角．图1 图2 图3二、垂直1．垂直：一条直线与另一条直线相交成90︒，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．【例】如图2，AB CD ⊥，垂足为O ，可记为“AB CD ⊥于点O ”． 2．性质：4321DCBADC BAO87654321FE DCBA（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 三、三线八角1．同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（即两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同侧），叫做同位角．【例】如图3，∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8都是同位角．2．内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错的一对角（即两个角分别在第三条直线的两侧），叫做内错角．【例】如图3，∠3和∠5，∠4和∠6都是内错角．3．同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同侧的一对角，叫做同旁内角．【例】如图3，∠3和∠6，∠4和∠5都是同旁内角． 4．角的计数技巧：（1）“F ”字型中的同位角，如下图所示：（2）“Z ”字型中的内错角，如下图所示：（3）“U ”字型中的同旁内角，如下图所示：FMNDB F M N CAMNDB EMNECANMDANM B C（二）例题精讲 1、直线的相交（1）在同一平面内的两条直线的位置关系有（ ）A ．平行或垂直B ．垂直或相交C ．平行，垂直或相交D ．平行或相交（2）判断正误：①两条直线的位置关系只有两种：平行或相交． （ ） ②平面内，两条线段不相交，则平行． （ ） ③平面内不平行的两条射线必定相交．（ ）（1）D ；（2）①错误，异面；②错误；③错误．（1）下列图中∠1和∠2是对顶角的有（ ） A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对（2）下列四个图中，α∠与β∠成邻补角的是（ ）NMCAMNDB（4）12（3）12（2）12（1）12αβαβαβαβA ．B ．C ．D ．（3）下列各项中，①有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；②如果两个角是对顶角，则这两个角相等；③相等的两个角是对顶角；④如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等；⑤如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角，其中正确的有________．（填序号）【解析】（1）A ；（2）C ；（3）②⑤．（1）如图3-1，AB 、CD 、EF 交于点O ，AOE ∠=25︒，DOF ∠=45︒，求AOD ∠的对顶角和邻补角的度数．（2）如图3-2，直线AB 、CD 交于O ，OE 平分AOD ∠，BOC BOD ∠=∠-30︒，求COE ∠的度数．图3-1 图3-2【解析】（1）由对顶角相等可知，COE DOF ∠=∠=45︒，故AOC AOE COE ∠=∠+∠=25︒+45︒=70︒．由AOC ∠、AOD ∠互为邻补角可知，AOD ∠=180︒-70︒=110︒ 由对顶角相等可知，AOD ∠的对顶角BOC ∠=110︒． （2）由BOC ∠、BOD ∠互为邻补角可知，BOC BOD ∠+∠=180︒．又BOC BOD ∠=∠-30︒，故BOD ∠=105︒，BOC ∠=75︒． 由对顶角相等可知，AOD BOC ∠=∠=75︒．AECBODAEF D CBO又OE 平分AOD ∠，故.AOE ∠=375︒， 从而可知，..COE ∠=375︒+105︒=1425︒．【提示】两线四角倒角，规范书写．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOC ∠，COF ∠=90︒．（1）若BOE ∠=70︒，求AOF ∠的度数； （2）若::BOD BOE ∠∠=12，求AOF ∠的度数．【解析】（1）50︒；（2）54︒．求证：成对顶角的两个角的平分线在同一直线上．【解析】如图，AB 、CD 交于点O ，则AOC ∠与BOD ∠成对顶角．设OE 、OF 分别为AOC ∠、BOD ∠的平分线，则AOE COE AOC 1∠=∠=∠2，BOF DOF BOD 1∠=∠=∠2，∵AOC BOD ∠=∠，∴AOE BOF ∠=∠． 又∵BOF DOF AOD ∠+∠+∠=180︒， ∴AOE DOF AOD ∠+∠+∠=180︒，即EOF ∠=180︒，∴OE 、OF 在同一直线上．【提示】可补充证明：成邻补角的两个角的平分线互相垂直． 2、垂直（1）下列说法中正确的是（ ） ①点到直线的距离是点到直线所作的垂线；②两个角互为邻补角，这两个角的角平分线互相垂直； ③两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直；ECBDAOF④连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④（2）P 为直线外一点，点A 、B 、C 为l 上的三点，且PB l ⊥，下列说法错误的是（ ） A ．P A 、PB 、PC 三条线段中，PB 最短 B ．线段PB 叫做点P 到直线的l 的距离 C ．PB 是点P 到l 的垂线段D ．线段AB 的长是点A 到PB 的距离【解析】（1）D ；（2）B ．（1）如图7-1，直线AB 与CD 相交于点O ，OE CD ⊥，OF AB ⊥，DOF ∠=65︒，求BOE ∠和AOC ∠的度数．（2）如图7-2，已知直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，OF 平分AOE ∠，COF ∠=35︒，求BOD ∠的度数．图7-1 图7-2【解析】（1）∵OF AB ⊥，∠DOF =65︒∴BOD ∠=90︒-65︒=25︒（垂直定义）． ∴AOC BOD ∠=∠=25︒（对顶角相等）． ∵OE CD ⊥，∴BOE ∠=90︒-25︒=65︒（垂直定义）． lCBAPF ACDBOEFA CDB OE（2）∵COE ∠是直角，∴COE ∠=90︒． 又∵COF ∠=35︒，∴FOE COE COF ∠=∠-∠=90︒-35︒=55︒． ∵OF 平分AOE ∠， ∴AOF FOE ∠=∠=55︒．∴AOC AOF COF ∠=∠-∠=55︒-35︒=20︒． ∵BOD AOC ∠=∠， ∴BOD ∠=20︒．【提示】利用垂直的定义来倒角，倒角一定要反复练习．如图所示，在一个面积为1843200平方米的正方形货场中有一条长为1600米的直线铁路AE ．现有一辆装满货物的卡车停放在D 点，如果卡车的速度是每分钟96米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？【解析】由垂线段最短，可知比较D 到AE 的垂线段长度与卡车行驶11分钟路程的大小，即可得出结论．如右图所示，汽车由D 到AE 的最短距离是由D 向AE 引的垂线DH ，连结DE ．则△AED ABCD S S 11==1843200⨯=92160022正方形，又△AED S AE DE DH DH 11=⋅=⨯1600⋅=800⋅22，解得DH =1152（米）． A BCD EHEDCBA而卡车行驶11分钟的路程为96⨯11=1056（米）<1152（米），所以11分钟内不能将这车货物由D 点运到铁路线旁． 3、三线八角如图，填空：①∠1与∠2是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．②∠1与∠3是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．③∠2与∠4是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角． ④∠3与∠4是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角． ⑤∠5与∠6是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．【解析】①∠1与∠2是两条直线l 2与l 3被第三条直线l 1所截构成的同位角．②∠1与∠3是两条直线l 1与l 3被第三条直线l 2所截构成的同位角． ③∠2与∠4是两条直线l 2与l 3被第三条直线l 1所截构成的内错角． ④∠3与∠4是两条直线l 1与l 3被第三条直线l 2所截构成的内错角． ⑤∠5与∠6是两条直线l 1与l 2被第三条直线l 3所截构成的同旁内角．过点O 任意作7条直线，求证：以O 为顶点的角中，必有一个小于26︒．【解析】如图所示，点O 把7条直线分成14条射线，记为OA 1，OA 2，…，OA 14.相邻两射线组成14个角，记为α1，α2，…，α14. 其和为一个周角：ααα1214+++=360︒L . 若结论不成立，则i α≥26︒，(,,,)i =1214L . 相加，得ααα1214360︒=+++≥26︒⨯14=364︒L .l 2l 1l 3124563A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1O这一矛盾说明，在α1，α2，…，α14中，必有一个角小于26︒．（三）课后作业设计1、（1）如图1-1所示，AB 与CD 相交所成的四个角中，1∠的邻补角是______，1∠的对顶角是______．若125∠=︒，则2∠=______，3∠=______，4∠=_______．（2）如图1-2，直线AB 、CD 、EF 相交于O ，图中对顶角共有（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对图1-1 图1-2【解析】（1）2∠和4∠，∠3，155︒，25︒，155︒．（2）D ．2、（1）如图2-1，已知直线a 、b 、c 相交于点O ，∠1=30︒，∠2=70︒，则∠3=______．（2）如图2-2，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分AOD ∠，若BOD ∠=100︒，则AOE ∠=___________．图2-1 图2-2∴∠3=180︒-∠1-∠2=80︒．O c ba321CBODEA ACD B1234A FCEOBD（2）40︒．3、如图，已知直线AB 和CD 相交于点O （AOC ∠为锐角）（1）写出AOC ∠和BOD ∠的大小关系；判断的依据是_____________． （2）过点O 作射线OE 、OF ，若COE ∠=90︒，OF 平分AOE ∠，求AOF COF ∠+∠的度数，说明你的理由．（3）在（2）的条件下，若AOD ∠=120︒，请计算COF ∠的度数．【解析】（1）AOC BOD ∠=∠；对顶角相等．（2）AOF COF ∠+∠=90︒． （3）COF ∠=15︒．4、如图，已知∠ACB =90︒．CD AB ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段________的长；线段DB 的长为点________到直线________的距离．【解析】AC ，B ，CD ．5、已知：如下图A 、O 、B 三点共线，OC 为任意一条射线，OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠．求证：OD OE ⊥．【解析】∵A 、O 、B 三点共线∴AOB ∠=180︒，∵OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠， ∴COE BOC 1∠=∠2，DOC AOC 1∠=∠2，∴()COE DOC BOC AOC BOC AOC 111∠+∠=∠+∠=∠+∠222AOB 11=∠=⨯180︒=90︒22又∵DOE COE DOC ∠=∠+∠，∴DOE ∠=90︒， ∴OD OE ⊥．6、如图，A 点处是一座小屋，BC 是一条公路，一人在O 处． （1）此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？FE ODCBAAC D BE（2）此人要到公路，怎么走最近？理由是什么？【解析】（1）走线段OA最近，因为两点之间线段最短；（2）如图，过点O作OD BC⊥，垂足为D，则走线段OD最近，因为垂线段最短．7、如图，判断下列各对角的位置关系：①∠1与∠4；②∠2与∠6；③∠5与∠8；④∠4与BCD∠；⑤∠3与∠5．【解析】①∠1与∠4是同位角，∠2与∠6是内错角，∠5与∠8是对顶角，∠4与BCD∠是同旁内角，∠3与∠5是内错角．。

一、什么是相交线？如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线．相交线的性质：两直线相交只有一个交点． 二、什么是对顶角？一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 三、什么是邻补角？两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角.1.相交线如图所示，直线a 与直线b 只有一个公共点，称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线．相交线的性质：两直线相交只有一个交点．2.邻补角如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

baO相交线、三线八角知识回顾知识讲解3.对顶角（1）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角.（2）对顶角的性质：对顶角相等。

4.垂线的概念及性质：（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ”（2）垂线的性质：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.5.同位角、内错角、同旁内角的概念：①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角4321DCB ADCBA③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.看图识角：（1）“F ”型中的同位角.如图.（2）“Z ”字型中的内错角，如图.（3）“U”字型中的同旁内角.如图.板块一 相交线【例1】 判断正误：⑴ 三条直线两两相交有三个交点（ ）87654321FE DCBA FMNDB F M NCAMNDB EMNECANMDANM B CNMCAMNDB 同步练习⑵ 两条直线相交不可能有两个交点．（ ）⑶ 在同一平面内的三条直线的交点个数可能为0，1，2，3．（ ）⑷ 同一平面内的n 条直线两两相交，其中无三线共点，则可得()112n n -个交点．（ ）⑸ 同一平面内的n 条直线经过同一点可得()21n n -个角（平角除外）．（ ）【例2】 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为几个？最多为几个？板块二 对顶角和邻补角【例3】 下列四个命题：①如果两个角是对顶角，则这两个角相等． ②如果两个角相等，则这两个角是对顶角． ③如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等． ④如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角． 其中正确的命题有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例4】 下列说法中正确的有（ ）①一个角的邻补角只有一个； ②一个角的补角必大于这个角；③若两角互补，则这两个角一定是一个锐角、一个钝角； ④互余的两个角一定都是锐角。

七年级数学三线八角知识点三线八角是中学数学中常见的一个知识点，也是七年级数学中必须掌握的重点内容。

在这份文章中，我们将详细介绍三线八角的定义、性质以及解题技巧。

一、定义三线八角，顾名思义，就是由三条直线和八个角所组成的图形，如图1所示。

图1其中三条直线相交于一点O，八个角分别为∠AOC、∠AOB、∠BOD、∠EOC、∠EOF、∠FOG、∠GOH和∠BOH，且每两条直线之间的夹角均相等。

二、性质1.每一对相邻的外角互补，即∠AOC+∠BOD+∠EOF+∠GOH=180°。

2.每一对相邻的内角互补，即∠AOB+∠BOH+∠EOC+∠FOG=180°。

3.相邻的外角与其对应的内角互补，即∠AOC+∠EOC=∠AOB+∠BOH=∠BOD+∠FOG=∠EOF+∠GOH =180°。

三、解题技巧对于三线八角的解题，主要是应用它的性质进行推导和运用。

以例题为例：例1 在图2中，∠AOB=30°，∠EOC=110°，则∠BOD和∠EOF的和为多少度？图2解：由三线八角的性质可知，∠AOB+∠BOH+∠EOC+∠FOG=180°。

则∠BOH+∠FOG=180°-∠AOB-∠EOC=180°-30°-110°=40°。

而∠BOD+∠EOF=（180°-∠AOC）÷2+（180°-∠EOC）÷2=(180°-∠BOH)÷2+(180°-∠FOG)÷2=80°。

因此，∠BOD和∠EOF的和为80°。

例2 在图3中，AB//CD，∠BAE=55°，∠CFE=40°，则∠BEF 为多少度？图3解：由三线八角的性质可知，∠AOC+∠EOC=∠AOB+∠BOH=∠BOD+∠FOG=∠EOF+∠GOH =180°。

七年级下册数学30个核心考点北师大版七年级下册数学可分为代数表达式的运算、相贯线与平行线、变量的关系、三角形与全等三角形、轴对称图形与概率、30个核心考点6个模块。

代数式的运算与变量的关系属于代数部分，以运算和简单应用为主；相贯线与平行线、三角形与全等三角形、轴对称图形属于几何部分，线与角的数量关系的计算与证明、位置关系的证明是主要内容。

30个核心考点模块分布如下，•整式的运算包含幂的运算，零指数幂、负指数幂，整式乘除运算，乘法公式，整式化简求值和整式应用六大核心考点。

•相交线和平行线包含相交线，垂线，三线八角，平行线的性质，平行线的判定和平行线探究六大核心考点。

•变量之间的关系包含图像法，表格法和关系式法三大核心考点。

•三角形和全等三角形包含三角形的认识，三角形的边角，三角形的三线，全等三角形的性质•，全等三角形的判定，全等三角形的应用，作图和全等三角形综合等八大核心考点。

•轴对称图形包含轴对称图形的认识，等腰三角形，等边三角形，角平分线，垂直平分线五大核心考点。

•概率包含事件和概率计算两大核心考点。

模块一整式的运算1.幂的运算【考点分析】【考点分析】幂的运算通常在选择题和填空题中考查，大部分都属于基础题，难度不大。

幂的运算公式都可逆用，在运用的过程中需要注意公式的特征和适用条件及不同公式之间的区别，防止混淆使用，有时需要对代数式进行合理变形再运用，在变形应用的过程中需要注意符号、系数和指数等问题。

2.零指数幂、负指数幂【知识要点】【考点分析】零指数幂和负指数幂的运算一般在选择题和填空题中考查，难度不大。

零指数幂、负指数幂的运算都是通过同底数幂除法运算公式得到，在运用的过程中需要注意底数不能为0。

在负指数幂的运算公式中需要注意当底数为分数时的运算，比较容易出错。

3.整式乘除运算【知识要点】【考点分析】代数表达式的乘除运算一般在解题中考查，所以需要掌握并灵活运用代数表达式的乘除统一规律，主要是考查基本运算能力。

数学七年级下册三线八角一、三线八角的概念。

1. 三线。

- 在平面内，两条直线被第三条直线所截，这里的三条直线就简称为“三线”。

例如直线a、b被直线c所截，直线a、b是被截直线，直线c是截线。

2. 八角。

- 这三条直线相交形成八个角。

根据角的位置关系，可以分为同位角、内错角和同旁内角。

- 以直线a、b被直线c所截为例：- 同位角：在截线c的同侧，并且在被截直线a、b的同一方的两个角。

例如∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角。

同位角的形状像字母“F”（可以是倒置、斜置等情况）。

- 内错角：在截线c的两侧，并且在被截直线a、b之间的两个角。

如∠3与∠5，∠4与∠6是内错角。

内错角的形状像字母“Z”（同样可以有不同的放置角度）。

- 同旁内角：在截线c的同侧，并且在被截直线a、b之间的两个角。

像∠3与∠6，∠4与∠5是同旁内角。

同旁内角的形状像字母“U”（也会有不同的摆放形式）。

二、三线八角的识别方法。

1. 先找截线。

- 在复杂的图形中，要准确识别三线八角，首先要确定哪条是截线。

截线是与另外两条直线都相交的直线。

例如在一个三角形和一条直线相交的图形中，如果我们要研究三角形的两条边与这条直线所形成的角的关系，这条直线就是截线。

2. 再根据位置确定角的类型。

- 确定截线后，观察角相对于被截直线和截线的位置。

- 如果角在截线同侧且在被截直线同一方，就是同位角；如果在截线两侧且在被截直线之间，就是内错角；如果在截线同侧且在被截直线之间，就是同旁内角。

三、三线八角的性质在解题中的应用。

1. 平行线下的三线八角性质。

- 如果两条被截直线平行（假设a∥ b，被直线c所截）：- 同位角相等，即∠1=∠5，∠2 = ∠6，∠3=∠7，∠4=∠8。

- 内错角相等，∠3=∠5，∠4=∠6。

- 同旁内角互补，∠3+∠6 = 180^∘，∠4+∠5=180^∘。

- 这些性质可以用来求解角的度数。

例如已知a∥ b，∠1 = 70^∘，求∠5的度数。

相交线知识点总结如下：
邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。

对顶角：两个角有一个共同的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做对顶角。

对顶角相等。

垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

垂线的性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

点到直线的距离：垂线段的长度叫做点到直线的距离。

同位角、内错角、同旁内角：
两直线被第三条直线所截，在截线同旁，被截线相同的一侧的两个角叫做同位角。

两直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。

两直线被第三条直线所截，在截线的一侧，且夹在两条被截线之间的两个角，叫做同旁内角。

平行公理及推论：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

以上是相交线的主要知识点，涵盖了邻补角、对顶角、垂线、垂线的性质、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角以及平行公理及推论等内容。

“三线八角”探究我们知道，两直线与第三条直线相交（或说两直线被第三条直线所截），可形成八个角，简称为“三线八角”．如图1，直线AB、CD被直线EF所截，就形成了八个角．把这八个角分为同位角，内错角，同旁内角三类．同位角：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3与∠7，∠4与∠8（共4对）内错角：∠3与∠5，∠4与∠6（共2对）同旁内角：∠3与∠6，∠4与∠5（共2对）要学好“三线八角”，同学们应把握以下几点：1．同位角、内错角、同旁内角这三类角一定是由两条直线被第三条直线所截而形成的，并且是不同顶点处的两个角之间的位置关系．因此，每一对角应同时满足两个条件：（1）必须是两直线被第三条直线所截而形成的角；（2）必须是两公共顶点处的角．2．注意与前边学过的对顶角、邻补角的区别和联系．它们也是有特殊的位置关系，但它们是由两条相交直线形成的一对角，总是成对出现的，这是关键．它们不仅有位置关系，而且有一定的大小关系，即两对对顶角，是没有公共边，大小一定相等；四对邻补角有公共顶点，还有一条公共边，两角一定互补．但上述的三类角的每一类角都是不同顶点处的两个角的关系，即都没有公共的顶点，而且主要强调的是它们的位置关系，而一律不考虑它们的大小．当然只要注入条件两直线平行，这三类角的大小有一定的关系．3．为了辨析这三类角，还可以从它们的名称定义来加深理解．例如：抓住同位角、同旁内角的“同”字，同旁内角、内错角中的“内”字，内错角中的“错”字等，真正理解了这些字的内涵，对这三类角的概念理解把握就能非常清楚．4．其实，对于区分这三类角，较准确、较快捷的方法是通过分解图形，把每一对角从图中分解出来，观察分类出的这三类角的形状结构特征，寻找出规律加以区分．为了正确的识别它们，我们可以把有一边“共线”的两个角从复杂图形中分离出来见下面各图（图2）：于是，不难看出其中∠1与∠4是同位角，∠3与∠4，∠3与∠6，∠4与∠6是同旁内角，∠2与∠6，∠5与∠6是内错角．观察各类角的图形形状，有什么特点呢？不难发现，同位角、内错角类似大写英文字母“F”、“Z”，同旁内角类似小写英文字母“U”，只是它们的形状字母不规则，且开口方向较随意．掌握这一特点，我们在判断这三类角时，只需分离出每一对角，判断是那一种类型字母，就很容易知道究竟是否为三类角中的一类，是哪一类，也可判断这一对角是由哪两条直线被哪一条直线所截而形成的，这样就能做到一目了然，毫无差错．。

相交线，垂线（基础）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3.【高清课堂：相交线两条直线垂直】知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定AOC90CD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？【答案与解析】解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】(1)×（2）×（3）×（4）√（5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB 为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解：∵∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角∴∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用“对顶角相等”，求∠3和∠4．举一反三：【变式】（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON 的度数为度．【答案】145．解：∵∠BOC=110°，∴∠BOD=70°，∵ON为∠BOD平分线，∴∠BON=∠DON=35°，∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4．下列语句中，正确的有 ( )①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C5.（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C．【解析】解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．6.（2016春•抚州校级期中）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．【答案】A．【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条? 【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。

海陵中学七年级数学教学案第六章《相交线与平行线》E D OO相交线 垂线 三线八角(复习)090414【目标导航】1. 理解对顶角与邻补角的概念和性质．2. 了解垂线的定义性质、垂线段的概念、点到直线的距离.3. 了解同位角、内错角、同旁内角的概念．【基础训练】1. 如图所示，直线 AB ，CD ，EF 相交于点O ， ∠AOD 的对顶角是 ，∠AOC 的邻补角是 ； 若∠AOC ＝ 50°， 则 ∠BOD ＝，∠COB ＝．E DOAB CF2.对顶角的性质是 ．3. 如果 CD ⊥AB 于点 D ，自 CD 上任一点向 AB 作垂线，那么所画垂线均与 CD 重合， 这是因为 所成的 角. (3)∠B 和∠C 是由直线 截直线 和所成的 角.【例题解析】 例 1．下列说法正确的有( ) ①一个角的两边分别是另一角的两边的延长线的两个角是对顶角；②相等的两个角是对顶角；③过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；④有一条公共边且互补的两个角是邻补角．A.1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个例2．两两相交但无三线共点的若干条直线， 将平面划分成的区域个数有如下事实：一条直线将平面划分成 个区域；两条直线将平面划分成 个区域；n 条直线将平面划分成 个区域．例 3.已知∠AOB 和∠BOC 互为邻补角，OD例 6．如图，AB 、CD 、EF 相交于 O 点，EF ⊥AB ， OG 为∠COF 的角平分线，OH 为∠DOG 的角平分线，若∠AOC ∶∠COG ＝4∶7，求∠DOF 、 ∠DOH 的大小.【课堂操练】1．如图，三条直线 AB ，CD ，EF 相交于点 O ， 则∠AOE +∠DOB +∠COF ＝ °6.两条直线相交于一点构成 对对顶角； 三条直线相交于一点，构成 对对顶角； n 直线相交于一点，构成 对对顶角；100 条直线相交于一点构成 对对顶角. 7. 平面上三条直线相互间的交点个数是 ；平面上四条直线相互间的交点个数是 ． 8. 点 P 为直线 m 外一点，点 A ，B ，C 为直线 m 上三点， PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝ 2cm ，则点 P 到 直线 m 的距离为( ) A ．4cm B ．2cm C ．小于 2cm D ．不大于 2cm 9. 如图，∠1 的同旁内角有 个．10.对于下图，有以下判断：①∠1 与∠3 是内错角；②∠2 与∠3 是内错角；③∠2 与∠4 是同旁内角；④∠2 与∠3 是同位角．其中说法正确的有 (填写序号) ． 11. 如图所示，能表示点到直线(线段)的距离．4. 如 图 所 示 ， 下 列 说 法 不 正 确 的 是()是∠AOB 平分线，OE 在∠BOC 内，∠EOC ＝2 ∠BOE ，∠DOE ＝72°，求∠EOC .AB 的线段有 条．CFAA. 点 B 到 AC 的垂线段是线段 AB ；B. 点 C 到 AB 的垂线段是线段 AC ；C. 线段 AD 是点 D 到 BC 的垂线段； 2．（2011•柳州）如图，在所标识的角中，互 为对顶角的两个角是（ ） BDCA ．∠2 和∠3B ．∠1 和∠3 D. 线段 BD 是点 B 到 AD 的垂线段.A例4.画∠A ＝30°，在∠A 的两边上分别截取AC ＝40mm ，AB ＝26mm ，连结 BC ，过 C 点分别画 CA ，AB 的垂线，画 B 点到 AC 的垂线段， C ．∠1 和∠4 D ．∠1 和 ∠2 3．两条相交直线所成的角中( ) A ．必有一个钝角 B ．必有一个锐角 C ．必有一个不是钝角 D ．必有两个锐角 12．如图，AC ⊥BC ，AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15． （1） 试说出点 A 到直线 BC 的距离；点 B 到直线 AC 的距离； （2） 点 C 到直线 AB 的距离是多少？你是怎 BDC并量出C 点到AB 的距离和B 点到AC 的距离. 4．（2011•梧州）如图，直线 a 、b 相交，∠1＝65 样求得的？5. 如图所示，AD ⊥BD ，BC ⊥CD ，AB ＝a ，BC＝b ，则 BD 的范围是，理由是.A例 5．⑴如图，∠A 的同位角是＿＿＿＿，∠1 的内错角是＿＿＿＿，∠2 的同旁内角是＿＿ ＿＿．°，则∠2 的度数是＿＿＿＿°．DAE DBBC5．如图所示，直线 AB ，CD 相交于点 O ，已6. 如图：(1)∠1 和∠B 是由直线 截直线 和 所成的 角. (2)∠2 和∠C 是由直线 截直线和⑵如图所示，∠B 与∠CAD 是由直线＿＿＿＿与直线＿＿＿＿被直线＿＿＿＿所截得到的 ＿＿＿＿角．知∠AOC ＝70°，OE 把∠BOD 分成两部分，且∠BOE ：∠EOD ＝2：3，则∠EOD ＝．13．如图所示，l 1，l 2，l 3交于点O ，∠1＝∠2，∠3：23 14∠1＝8：1，求∠4 的度数．l1l2l 3【课后盘点】1．若一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，则这两个角.2．已知点 O，画和点 O 的距离是 3 厘米的直线可以画＿＿＿＿条.3．（2011•广西）如图，O 是直线AB 上一点，∠COB＝30°，则∠1＝＿＿＿＿°4.平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是.5.下列说法正确的个数是（）①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②对顶角的平分线在同一条直线上；③如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角；④两个有公共顶点的角相等，且一个角的一边是另一个角一边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个6．如图，线段AB的长是到的距离；点D到AB的距离是的长；线段＿＿＿＿的长是点B到AC的距离.7.如图，(1)∠B、∠EDB是直线和被直线所截得角；(2)直线截直线和所得的∠AFD和∠C是角；(3)与∠CFD成内错角的有；(4)与∠C成同旁内角的有个，它们是.8.如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥CD，OF平分∠BOC，∠AOC＝30°，则∠BOE＝°，∠COF＝°，∠EOF＝°，∠AOE＝°.9.如图，已知OA⊥OB，OD⊥OC，则下列说法不正确的是( )A.∠BOC＝∠AODB.∠AOC+∠BOD＝180°C.∠COD与∠AOB互补D.∠COB与∠BOD相等10．（2011•梧州）如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB 平分∠EOD，则∠BOD 的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．140°1.如图，直线AB、CD 相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF 平分∠AOE，若∠AOC＝28°，则∠EOF＝＿＿＿＿度．12.如图，西部某地有四个村庄A、B、C、D，为了解决缺水问题，当地政府准备投资修建一个蓄水池P 的位置，使它和四个村庄的距离之和最小，若计划把河中的水引入蓄水池P 中，怎样开挖的渠道最短，并说明理由.13.完成下列作图：作∠AOB 的平分线，并在平分线上任找一点P，过P 作∠AOB 两边的垂线段，并量出处线段的长度，看看它们有什么关系.14.如图，找出图中∠DEA，∠ADE的同位角、内错角和同旁内角．15.如图，两直线 AB，CD 相交于点 O，已知 OE平分∠BOD，且∠AOC：∠AOD＝3：7，（1）求∠DOE的度数；（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．【课外拓展】1.如图，过P作线段PQ⊥l1，垂足为Q；再过P作直线MN⊥PQ.2.如图，BE是AB的延长线，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？（1）∠A和∠D；（2）∠A和∠CBA；（3）∠C和∠CBE．3.如图，直线AB，CD 相交于点O．写出∠1，∠2，∠3，∠4 中每两个角之间的位置关系．4.已知点 O 是直线 AB 上一点，OC，OD 是两条射线，且∠AOC=∠BOD，则∠AOC与∠BOD是对顶角吗？为什么？（设计人：江云桂）NM参考答案：课题：相交线 垂线 三线八角则∠GOD ＝180°-35°＝145°，13．答案：150. 4．答案：6. ∴∠DOE＝54°÷2＝27°．（2）∵OF⊥OE，∠DOE＝27°， 【基础训练】1.答案：∠BOC；∠AOD、∠BOC；50°；130 又 OH 为∠DOG 的平分线，所以∠GOH ＝∠GOD ＝72.5°．25. 答案：B.6. 答案：点A ；点B ；线段DE ；BC. ∴∠DOF＝63°，∠COF＝180°-63°＝117°．°.【课堂操练】7．答案：（1）BE 、DE 、BD 、同旁内角；（2）AC 、DF 、 【课外拓展】2. 答案：对顶角相等.3. 答案：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4. 答案：C.5. 答案：b ＜BD ＜a ；垂线段最短.6. 答案：（1）BE 、AD 、BC 、同位；（2）AC 、AD 、BC 、内错；（3）BC 、AC 、AB 、同旁内角.【例题解析】例 1．答案：B. n (n +1) 例 2．答案：2、4、1+.2例 3.答案：设∠BOE＝x°，则∠COE＝(2x) °，∠BOD＝∠AOD＝(72－x)° ∵∠AOB 和∠BOC 互为邻补角 ∴2(72－x)＋x ＋2x ＝180 得 x ＝36∴∠EOC ＝72°. 例 4. 答案：如图，1．答案：180. 2. 答案：A. 3. 答案：C. 4．答案：65. 5．答案：42°.6．答案：2、6、n （n-1）、9900. 7. 答案：0 个或 1 个或2 个或3 个；0 或 1 或 3 或4 或5 或 6. 8. 答案：D. 9．答案：3. 10.答案：①③. 11.答案：5.12．答案：（1）点 A 到直线 BC 的距离，点 B 到直线 AC 的距离分别是：9，12． （2）过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.CD 、同位；（3）∠EDF；（4）5个、∠CFD，∠CDF， ∠CDE，∠A，∠B.8．答案：60°、75°、15°、120°.9. 答案：D. 10. 答案：C11．答案：62.12. 答案：如图，连结 AC ，BD ，它们的交点是P ，点 P 就是修建蓄水池的位置，这一点到 A ， B ，C ，D 四点的距离之和最小．过点 P 向河岸作垂线段 PH ，可使开挖的渠道最短，理由是：垂线段最短.13. 答案：如图，量得 PE ＝PF.1. 答案：如图.2. 答案：（1）∠A和∠D是由直线AE 、CD 被直线AD 所截形成的，它们是同旁内角； （2） ∠A和∠CBA是由直线AD 、BC 被直线AE 所截形成的，它们是同旁内角； （3） ∠C和∠CBE是由直线CD 、AE 被直线BC 所截形成的，它们是内错角．3．答案：∠1 和∠3 是对顶角；∠1 和∠2 是 邻补角，∠2 与∠3 是邻补角；∠1 和∠4 是同位角，∠2 与∠4 是同旁内角， ∠3 与∠4 是内错角．4．答案：∠AOC 与∠BOD 不一定是对顶角．应分两种情况讨论： （1） 如图（1），当OC ，OD 在直线AB 的同侧时，∠ AOC 与∠BOD 不是对顶角．1 1△ABC 的面积＝ BC•AC＝ AB•CD，22∴15CD＝12×9，36 C 点到 AB 的距离 CE ＝20㎜，B 点到 AC 的距离 BF ＝13㎜.∴CD＝．536 14. 答案：图中∠DEA 的同位角为∠C 、内错角为∠BDE、同旁内角为∠A 或∠ADE； （2）如图（2），当OC ，OD 在直线AB 的两侧时，∠ AOC 与∠BOD 是对顶角．例 5．答案：（1）∠BFG、∠CGF；∠CGF；∠ CGF 或∠B 或∠A；（2）BC 、AC 、BD （或 BA 或 AD ）、同位. 例 6．答案：设一份为 x ，由∠AOC ：∠COG ∴点 C 到直线 AB 的距离为．513．答案：设∠1＝∠2＝x °，则∠3＝(8x)°由∠1＋∠2＋∠3＝180°得 x ＋x ＋8x ＝180 解得 x ＝18， ∠ADE 的同位角为∠B、内错角为∠CED、同旁内角为∠AED 或∠A．. 15. 答案：（1）∵两直线 AB ，CD 相交于点 O ，∠ AOC ：∠AOD＝3：7， ＝4：7 得到：∠AOC ＝4x ，∠COG ＝7x ， ∵OG 平分∠COF ，∴∠COG ＝∠GOF ＝7x ，又∵AB ⊥EF ，则 4x+7x+7x ＝90°， ∴∠4＝2∠1＝36°. 【课后盘点】1. 答案：相等或互补.∴∠AOC＝180°×∴∠BOD＝54°， 37 + 3＝54°， 解得 x ＝5°，∴∠COG ＝7x ＝35°，2. 答案：无数.又∵OE 平分∠BOD，PHDEP。

第1讲 相交线及三线八角对顶角和邻补角相交线和三线八角垂线三线八角⎧⎪⎨⎪⎩知识点1 对顶角和邻补角对顶角1. 对顶角的模型：∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③角的两边互为反向延长线. 2. 对顶角的性质：对顶角相等. 邻补角1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.2. 邻补角的模型：∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角， 特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.【典例】例1 （2020春•滨海新区期末）已知：如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．求证：∠A＝∠B．【方法总结】此题考查对顶角，关键是根据对顶角相等，邻补角互补解答．例2 （2020春•环江县期中）如图，两条直线a，b相交．（1）如果∠1＝50°，求∠2，∠3的度数；（2）如果∠2＝3∠1，求∠3，∠4的度数．【方法总结】本题考查了对顶角相等，互为邻补角的两个角的和等于180°，是基础题，熟记概念是解题的关键．【随堂练习】1．（2020春•黄石港区校级期中）下列图中∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．2．（2020秋•鹿城区校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE，∠AOC ＝42°，则∠AOE的度数为（）A．126°B．96°C．102°D．138°3．（2020春•沙坪坝区期末）若∠1＝64°，则∠1的邻补角度数为．4．（2020春•荔城区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON ＝90°．若∠BON＝50°，则∠BOD的度数为．知识点2 垂线垂线1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.2. 垂直的模型：说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线段1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.2. 垂线段模型：线段AB是点A到直线a的垂线段.3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注意：距离是长度，不是线段.【典例】例1 （2020•公主岭市一模）如图，想过点A建一座桥，搭建方式最短的是垂直于河两岸的AO，理由是．【方法总结】本题主要考查垂线段的性质，掌握垂线段最短是解题的关键．例2 （2020春•顺庆区校级月考）如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的为（填序号）．①点A到BC的距离是线段AD的长度；②线段AB的长度是点B到AC的距离；③点C到AB的垂线段是线段AB．【方法总结】本题考查了点到直线的距离的定义，结合图形和定义是解决问题的关键．例3 （2020春•浦北县期末）如图AB与CD相交于O，OP⊥AB，若∠1＝20°，则∠2＝．【方法总结】本题主要考查垂线的定义，角的计算，掌握垂线的定义是解题的关键．例4 （2020春•珠海校级期中）如图所示，已知∠ACB＝90°，若BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm，则点A到BC的距离是，点C到AB的距离是．【方法总结】此题主要考查了点到直线的距离，正确结合三角形面积求出C到AB的距离是解题关键．【随堂练习】1．（2020春•平度市校级期中）如图，直角三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到直线BC的距离等于线段的长度，点A到直线CD的距离等于线段的长度．2．（2020春•来宾期末）如图，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，图中线段的长表示点A到BC的距离．3．（2020春•胶州市期中）如图，在直角三角形ABC中，已知三角形三条边的长度分别为，AB＝8，AC＝6，BC＝10，则点A到线段BC所在直线的距离为．4．（2020春•南海区期末）如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间直线最短C．两点之间线段最短D．垂线段最短5．（2020春•新乡期末）如图，田地A的旁边有一条小河l，要想把小河里的水引到田地A 处，为了省时省力需要作AB⊥l，垂足为B，沿AB挖水沟，则水沟最短，理由是（）A．点到直线的距离B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．两点之间，线段最短6.（2020春•曹县期末）如图，直线AB，CD相交于O，OE⊥CD于O，OF是∠BOE的平分线，∠DOF＝25°，求∠AOC的度数．知识点3 三线八角模型：1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.【典例】例1（2020春•高州市期中）如图所示，下列选项中是一组同位角的是（）A．∠1和∠3B．∠2和∠5C．∠3和∠4D．∠3和∠5【方法总结】本题考查了同位角．解题的关键是掌握同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．例2（2020春•麻城市校级月考）如图，∠1和∠3是直线和被直线所截而成的角；图中与∠2 是同旁内角的角有个．【方法总结】本题考查了同位角、内错角、同旁内角等知识点，能根据图形找出各对角是解此题的关键．例3 （2020春•高州市期中）如图，如果∠1＝40°，∠2＝100°，那么∠3的同位角等于，∠3的内错角等于，∠3的同旁内角等于．【方法总结】此题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．例4 （2020春•南昌期末）如图所示，已知∠1＝115°，∠2＝65°，∠3＝100°．（1）图中所有角中（包含没有标数字的角），共有几对内错角？（2）求∠4的大小．【方法总结】本题综合考查了平行线的判定与性质．解题的关键是掌握平行线的判定与性质，邻补角的定义，对顶角的性质，等量代换等相关知识，重点掌握平行线的判定与性质．【随堂练习】1．（2020春•南丹县期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角D．相等2．（2020春•西华县期中）如图所示，直线AB、CD被直线EF所截，直线EF与AB、CD 分别交于点E、F，下列结论正确的是（）①∠1与∠2互为同位角；②∠3和∠4互为内错角；③∠1＝∠4；④∠4+∠5＝180°．A．②③B．②④C．①③D．③④3．（2020春•瑞安市期中）如图，∠1的同旁内角是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5综合运用1.如图是一把剪刀，其中∠1=∠2，其理由是__________．2.如图，线段AD、AE、AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最短的是_________________.3.如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段_________的长度．4.如图所示，直线AD与直线BD相交于点D，BE⊥AD，垂足为点E，AC与DC垂直于点C.点B到直线AD的距离是线段_______的长度，点D到直线AB的距离是线段______的长度．5.如图，直线a、b被直线c所截，互为同旁内角是______________.6.如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成__________.7.如图，OC⊥AB于点O，∠1=∠2，则图中互余的角有____________对．8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=76°，∠DOF=90°，求∠EOF 的度数．9.如图所示：（1）与∠B是同旁内角的有哪些角？（2）与∠C是内错角的有哪些角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？。

相交线、垂线、三线八角（一）概念知识点：一、邻补角与对顶角两直线相交所成旳四个角中存在几种不一样关系旳角，它们旳概念及性质如下表：注意点：⑴对顶角是成对出现旳，对顶角是具有特殊位置关系旳两个角；⑵假如∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之假如∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶假如∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之假如∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成旳四个角中，每一种角旳邻补角有两个，而对顶角只有一种。

二、垂线⑴定义，当两条直线相交所成旳四个角中，有一种角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中旳一条直线叫做另一条直线旳垂线，它们旳交点叫做垂足。

符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

A BCDO⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点旳所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

三、垂线旳画法：⑴过直线上一点画已知直线旳垂线；⑵过直线外一点画已知直线旳垂线。

注意：①画一条线段或射线旳垂线，就是画它们所在直线旳垂线；②过一点作线段旳垂线，垂足可在线段上，也可以在线段旳延长线上。

四、点到直线旳距离直线外一点到这条直线旳垂线段旳长度，叫做点到直线旳距离。

如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 旳距离是PO 旳长。

PO 是垂线段。

PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短旳一条。

现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质旳应用。

五、怎样理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线旳距离”这些相近而又相异旳概念 ⑴垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。

联络：具有垂直于已知直线旳共同特性。

(垂直旳性质) ⑵两点间距离与点到直线旳距离区别：两点间旳距离是点与点之间，点到直线旳距离是点与直线之间。

•PA BO联络：都是线段旳长度；点到直线旳距离是特殊旳两点(即已知点与垂足)间距离。

相交线，垂线(基础)知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位宜和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质：2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的左义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到宜线的距离：4.能依据对顶角、邻补角及垂直的槪念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.要点诠释：⑴邻补角的泄义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位宜相邻，"补”指的是两个角的和为180° .(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角.(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角.(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点：②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：(1)定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角.(2)性质：对顶角相等.要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角.(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角：②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3.知识点二、垂线1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，英中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.(1)记法：直线a与b垂直，记作：d丄方：直线AB和CD垂直于点0,记作：AB丄CD于点0.(2)垂直的泄义具有二重性，既可以作垂直的判泄，又可以作垂直的性质，即有：ZAOC =90° M性CD丄AB.、性质2.垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知宜线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点, 沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示).要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上.(2)过宜线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段.3.垂线的性质：(1)在同一平而内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 要点诠释：(1)性质(1)成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.(2)性质(2)是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线的距离：定义：直线外一点到这条宜线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.要点诠释：(1)点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离：(2)求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后汁算或度量垂线段的长度.【典型例题】类型一、邻补角与对顶角▼ 1.如图所示，M. N是直线AB上两点，Z1 = Z2,问Z1与Z2, Z3与Z4是对顶角吗？Z1与Z5, Z3与Z6是邻补角吗？【答案与解析】解：Z1和Z2, Z3和Z4都不是对顶角.Z1与Z5, Z3与Z6也都不是邻补角.【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角.举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角.（）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）（3）有一条公共边的两个角是邻补角.（）（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补.（）（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】⑴ X （2） X （3） X （4）J（5） X,反例：ZAOC 为120° , 射线OB为ZAOC的角平分线，ZAOB与ZA0C互补，且有边公共为AO,公共顶点为0,但它们不是邻补角..如图所示，直线AB、CD相交于点O, Zl=65a ,求Z2、Z3、Z4的度数A【答案与解析】解：•・• Z1是Z2的邻补角，Zl=65° ,・•.Z2=180° -65° =115° .又•・• Z1和Z3是对顶角，Z2与Z4是对顶角Z3 = Z1=65° , Z4=Z2=115° .【总结升华】（1）两条直线相交所成的四个角中，只要已知苴中一个角，就可以求出另外三角：（2）求出Z2后用'‘对顶角相等”，求Z3和Z4.举一反三：【变式】（2015・梧州）如图,已知直线AB与CD交于点O, ON平分Z DOB,若Z BOC=110\ 则Z AON的度数为度.【答案】145.解:VZBOC=110°,・•・ z BOD=70%V ON为Z BOD平分线.・・・ z BON=z DON=35%•・・zBOC=z AOD=llO\・・・ z AON=Z AOD+Z DON=145°.aV 3.任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类.【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线：②有公共顶点，角的两边互为反向延长线.这6对角为Z1与Z2, Z1与Z3, Z1与Z4, Z2与Z3, Z2与Z4, Z3与Z4,其中Z1 = Z3, Z2=Z4, Zl+Z2=180a , Z3+Z4=180° , Zl+Z4=180° , Z2+Z3= 180° .在位宜上Z1与Z3, Z2与Z4是对顶角，Z1与Z2, Z3与Z4, Z1与Z4, Z2 与Z3是邻补角.【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线^^4.下列语句中，正确的有()①一条直线的垂线只有一条：②在同一平而内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直：③两直线相交，则交点叫垂足：④互相垂直的两条直线形成的四个角一宦都是直角.A.0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.C. 55°D ・65°举一反三：【变式1】直线/外有一点P,则点P 到直线/的距离是（）.A. 点P 到直线/的垂线的长度.B. 点P 到直线/的垂线段.C. 点P 到直线/的垂线段的长度.D.点P 到直线/的垂线.【答案】CWF 5. （2015＞河北模拟）如图,已知点O 在直线AB 上,CO 丄DO 于点6若Z 1=145% 则z 3的度数为（）【答案】C ・【解析】解：TZ 1 = 145。