人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式课件

( D)
互动探究学案
命题方向1 ⇨利用诱导公式进行化简、求值
典例 1 已知 α 是第三象限角， f(α)＝sinπ－αcocoss2－π－αα－tπan－α＋32π． (1)若 cosα－32π＝15，求 f(α)的值； (2)若 α＝－1920°，求 f(α)的值．
[思路分析] 若f(α)的表达式很繁琐，可先化简再代入求值．
[解析]
f(α)＝sinα·cosco－sαα＋·csoiπns3322ππ－－αα＝sinα·c－oscαo·s－－α csoinsαα＝－cosα．
(1)∵cos(α－32π)＝－sinα＝15，∴sinα＝－15，
∵α 为第三象限角，∴cosα＝－256，
∴f(α)＝－cosα＝2 5 6．
『规律总结』 1.本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了 运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归 思想和整体思想．
2．在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因．
〔跟踪练习 3〕已知 A＝scionskπ2π－＋αα＋csoisnkπ2π＋－αα(k∈Z)，则 A 的值构成的集合
π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成__锐__角____时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式
[知识点拨]1.对诱导公式五、六的两点说明 (1)诱导公式五、六反映的是角π2±α 与 α 的三角函数值之间的关系．可借用口 诀“函数名改变，符号看象限”来记忆． (2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是是一个单角，也可以是一 个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通． 2．对诱导公式一～六的两点说明 (1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间 的关系． (2)公式一～六的记忆口决和说明 ①口诀：奇变偶不变，符号看象限． ②说明：
是
(C )
A．{1，－1,2，－2}
B．{－2,0}
C．{2，－2}
D．{1，－1,0,2，－2}
诱导公式的应用
典例 4 已知 sin(π4－α)＝a,0<α<π2，求 sin(54π＋α)． [错解] ∵0<α<π2，∴－π4<π4－α<π4， ∴cos(π4－α)>0， ∴cos(π4－α)＝ 1－sin2π4－α＝ 1－a2， sin(54π＋α)＝sin[32π－(π4－α)]＝cos(π4－α)＝ 1－a2．
分类讨论思想在三角函数化简中的应用
典例 3 化简：sin(4n－ 4 1π－α)＋cos(4n＋ 4 1π－α)(n∈Z)． [思路分析] (1)角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论；(2)利用诱导 公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个 整体来看．
[解析] 当 n 为偶数时，设 n＝2k(k∈Z)， 则原式＝sin(8k－4 1π－α)＋cos(8k＋4 1π－α) ＝sin[2kπ＋(－π4－α)]＋cos[2kπ＋(π4－α)] ＝sin(－π4－α)＋cos(π4－α) ＝－sin(π4＋α)＋cos[π2－(π4＋α)] ＝－sin(π4＋α)＋sin(π4＋α)＝0． 当 n 为奇数时，设 n＝2k＋1(k∈Z)，
1．sin95°＋cos175°的值为 A．sin5° C．0
B．cos5° D．2sin5°
(C)
2．已知 sinα＝35，则 sin(π2＋α)的值为
A．－35
B．－45
C．45
D．±45
3．计算：sin211°＋sin279°＝___1__．
4．若 cos(π2＋α)＝m，则 sinα＝__－__m____．
〔跟踪练习 1〕sinco－sαπ2－－3α2π·c·soisnπ232＋π－αα·c·otas2n2π－2πα－ α．
[解析]
原式＝sinc－osαπ2＋－π2α·[·－cossinπ2＋π2－αα·c]o·sta2nπ2－2πα－ α
＝csoinsαα··－－scionsαα··ctoasn22αα＝tsainn22αα＝co1s2α．
『规律总结』 利用诱导公式证明等式问题，主要思路在于如何配角、如 何去分析角之间的关系．
〔跟踪练习 2〕求证：cossi3nπθ－－θ5cπocso3s2ππ2＋－θθsisnin－π2＋4πθ－ θ＝－1． [证明] 左边＝cos－π－sinθ5siπn－θ[θ－ssiinnθc4oπs＋θ θ] ＝－－scinosπθ－sinθθs－inθsicnoθsθ＝－sisninθθ＝－1＝右边，故原式得证．
4．若 α∈(π，32π)，则 A．sinα C．cosα
1－sin232π－α＝ B．－sinα D．－cosα
[解析] ∵α∈(π，32π)，∴sinα<0， ∴ 1－sin232π－α＝ 1－cos2α＝－sinα．
( B)
5．若 α 是三角形内角，且 sin(π2＋α)＝－sinπ6，则 α＝___23_π____． [解析] sin(π2＋α)＝cosα＝－12，又∵α∈(0，π)，∴α＝23π．
角 α 关于水平面对称的角的度数是多少？这两个角的三角函数值有什么关系 呢？
诱导公式五、六如下表：
公式五
sin(π2－α)＝____c_o_s_α_____
公式六
sin(π2＋α)＝____c_o_s_α_____
公式五和公式六可以概括为：
cos(π2－α)＝______si_n_α____ cos(π2＋α)＝______－__si_n_α____
[错因分析] 对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不好，在 sin[32π－(π4－α)] 中，要把“π4－α”看成锐角来确定三角函数值符号．
[思路分析] 诱导公式共有六组公式，公式较多，易错记错用(如本题错 解)，特别是诱导公式右边的符号要记准．
[正解] ∵0<α<π2，∴－π4<π4－α<π4，∴cos(π4－α)>0， ∴cos(π4－α)＝ 1－sin2π4－α＝ 1－a2， sin(54π＋α)＝sin[π＋(π4＋α)] ＝－sin(π4＋α)＝－cos[π2－(π4－α)] ＝－cos(π4－α)＝－ 1－a2． [点评] 在公式“奇变偶不变，符号看象限”中角可以单角，也可以是一个 复角．
则原式＝sin(8k＋4 3π－α)＋cos(8k＋4 5π－α) ＝sin[2kπ＋(34π－α)]＋cos[2kπ＋(54π－α)] ＝sin(34π－α)＋cos(54π－α) ＝sin[π－(π4＋α)]＋cos[π＋(π4－α)]
＝sin(π4＋α)－cos(π4－α) ＝sin(π4＋α)－cos[π2－(π4＋α)] ＝sin(π4＋α)－sin(π4＋α)＝0． 故 sin(4n－ 4 1π－α)＋cos(4n＋ 4 1π－α)＝0．
〔跟踪练习 4〕已知 cos(π＋α)＝－12，求 cos(π2＋α)的值．
[解析] ∵cos(π＋α)＝－cosα＝－12， ∴cosα＝12，∴α 为第一或第四象限角．
①若 α 为第一象限角， 则 cos(π2＋α)＝－sinα＝－ 1－cos2α ＝－ 1－122＝－ 23． ②若 α 为第四象限角， 则 cos(π2＋α)＝－sinα＝ 1－cos2α＝
1－122＝ 23．
1．若 cos65°＝a，则 sin25°的值是 A．－a C． 1－a2
B．a D．－ 1－a2
[解析] sin25°＝sin(90°－65°)＝cos65°＝a．
( B)
2．若 sin(π2＋θ)<0，且 cos(π2－θ)>0，则 θ 是
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
(2)∵－1920°＝－5×360°－120°，
∴f(－1920°)＝－cos(－5×360°－120°)＝－cos120°＝cos60°＝12．
『规律总结』 三角函数式化简的方法和技巧： (1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关 系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题． (2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．
D．第四象限角
[解析] 因为cosθ<0，sinθ>0，∴θ是第二象限角．
( B)
3．已知 cosπ2＋α＝－35，且 α 是第二象限角，则 sinα－32π的结果是 ( B )
A．45
B．－45
C．±45
D．35
[解析] ∵cosπ2＋α＝－35，∴－sinα＝－35，∴sinα＝35， 又 α 是第二象限角，∴cosα＝－45， ∴sinα－32π＝cosα＝－45．
命题方向2 ⇨三角恒等式的证明
典例 2 求证：2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11．
[思路分析]
左边
―选 公―用 式→
－2cosθsinθ－1 1－2sin2θ
“消1―”公―的因→代式换
sinθ＋cosθ sinθ－cosθ
右边 公式―― 一→、二
新课标导学
数学
必修④ ·人教A版
第一章
三角函数 1.3 三角函数的诱导公式
第2课时 诱导公式五、六
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山的巍 峨、水的柔媚在那一刻融合……如果你的手中拿着一个度数 为 α 的角的模型，你观察一下湖中的这个角的模型与你手中 的这个角的模型有什么关系？你当然会准确地回答出来：对 称！
tanθ＋1 tanθ－1
切化―弦―，→化简
Байду номын сангаас
sinθ＋cosθ sinθ－cosθ
得证 ．
[证明] 左边＝－2sin321π－－2θs·in－2θsinθ－1 ＝2sin[π＋1－π22－siθn2]θsinθ－1＝－2sin1－π2－2sθins2iθnθ－1 ＝cos－2θ2＋cossinθ2sθin－θ－2si1n2θ＝ssiinn2θθ＋－ccoossθ2θ2＝ssiinnθθ－＋ccoossθθ． 右边＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11＝ttaannθθ＋－11＝ssiinnθθ－＋ccoossθθ． ∴左边＝右边，故原式得证．