09-10学年福建省泉州七中高二下学期期中考(数学理)试题及答案--高中数学.doc

泉州七中2009-2010下高二数学（理）期中考试卷
班级______ 座号_______ 姓名_____________ 成绩 ______________
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.如果z是3 + 4/的共辄复数，则z对应的向量刃的模是（）
A. 1
B. V7
C. V13
D. 5
2.用列举法表示集合4二{无|无=厂+（-0",虑們，正确的是（）
A. A = {-1,0,1}
B. A = {0,1,2}
C. A = {-2,0,2}
D. A = {-2-1,0}
3.已知集合A = {—2,-1,0,1,2},集合B = {xeZ\\x\< a},则满足的实数o可以取
的一个值为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4・设To（兀）=cos兀J（x） =九G）, f2M = f l '（x）,…，力+]（x） = f n\x）, ne N*,则f2m（x）=
()
A. -sin 兀
B. 一cosx C・ sinx D. cos x
5.如图，是函数f（x）= x3+bx2 +cx + d的大致图像，则X,2+ €等于（）
8 10
A.—
B.
9 9
16 .28
c.—9 9
6.已知函数f(x) = log2X - （$，若实数兀0是方程/（X）=0的解，且0 v西 < 兀°,贝!]/（兀
1 ）的
值（)
A.恒为负
B.等于零
C.恒为正
D.不小于零
7.用数学归纳法证明不等式“丄 + 丄+ ••• +丄〉—（,?>2） ”时的过程中，由心£到
' n +1 n + 2 2n 24' 7
n = k^\时，不等式的左边（）
A.增加了一项 1
B.增加了两项2伙+ 1)
1 十 1
2R + 1' 2伙+ 1)
C.增加了两项 1
+ 1,又减少了一项1
2£ + 1 2 伙 + 1) k +1
D.增加了一项 1 ，又减少了 i项一!一
2伙+ 1) £ + 1
8.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在
一起，则不同的排法种数共有（）
A. 12 种
B. 20 种
C. 24 种
D. 48 种
9.如图，圆周上按顺吋针方向标
有1,2,3,4,5五个点。

一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。

若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点。

该青蛙从5这点跳起，经2008次跳后它将停在的点是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.△ABC内有任意三点不共线的2002个点，加上4 B, C三个顶点，共2005个点，把这
2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（）
A. 4005
B. 4002
C. 4007
D. 4000
11.若e'x-e-y <\nx-lny（其中幺= 2.71828…），则之间的关系是（）
A. y > x > 0
B. x = y>0
C. x> y > 0
D. x> y
12.如图，圆弧型声波刃诃从坐标原点0向外传播.若D是〃朋弧与x轴的交点，玻OD二
x（Q<x<a）,圆弧型声波血在传播过程屮扫过平行四边形创％的面积为y （图屮阴影部分），则函数j = /（x）的图象大致是（）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
13.求曲线y = ________________________ = 所围成图形的而积
14. _______________________________________________ 观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_____________________________________ 个小正方形，第刀个图中有个小正方形.
9 4
15.设d",cw（0，+oo）,且一+ —= 1，贝iJ使a^b>c tl成立的c的取值范围a b
是_____________ .
16・己知等差数列｛%｝中，有知+葺：…十％二⑷+色二卄為成立类似地，在等比数列｛$｝中，有AAAA成立.
17.设4，G，…，d”是1，2,…，n的一个排列，把排在4的左边且比q•小的数的个数称
• • •
为q•的顺序数（/ = 1, 2, •••, n）.如在排列6, 4, 5, 3, 2, 1中，5的顺序数为1, 3的
顺序数为0.则在1至8这八个数字构成的全排列屮，同时满足8的顺序数为2, 7的顺
序数为3, 5的顺序数为3的不同排列的种数为▲▲▲▲
18.数/、（x）的定义域为D,若对于任；S X P X2G D,当<x2时，都有/（x（）< /（x2）,则
称函数/（劝在D上为非减函数。

设函数/（兀）在［0, 1］上为非减函数，且满足以下三个
r 1 1 5条件：®/（o）=o；②/（i-x）+/u）=i；③ijiij/（-）+/（-）的值
J J［乙为__________ C
三、解答题：（本大题共5题，满分66分）
19（本题共有二个小题，你只需从中任选一题做答，满分13分。

二题同时解答按第一题给分。

）19 （第一题）•函数f（x）^x-］\ + \x-a\f
（1）若d = —1,解不等式/（%） > 3 ；（2）如果V XG /?, /（x） > 2 ,求a的取值范围
19 （第二题）已知实数满足a +方+ c + d + w = 8, ci~ + Z? 4- c2 + c~ =16,试
确定£的最大值。

20.（本小题满分13分）下列命题是真命题，还是假命题，并证明你的结论.
21、（本小题满分13分）某工厂日生产某种产品最多不超过30件，II 在生产过程中次品率“ 与
日产量兀（XG N*）件间的关系为
x + 20
200 ' x 1
+ 300
3000
每生产一件正品盈利2900元，每出现一件次品亏损1100元. （I ）将日利润y （元）表示为日
产量兀（件）的函数；
（II ）该厂的FI 产量为多少件时，日利润最大？
22. （木小题满分13分）在数列｛色｝中，a ｝且前n 项的算术平均数等于第n 项的2n-l 倍（庇AO 。

（1）写出此数列的前5项:（2）归纳猜想｛匕｝的通项公式，并加以证明。

23. (本小题满分14分)设函数f(x) = xsinx(xe R)
(1)证明：/(x4-IkTu)- f(x) = 2k7T sin x ,其中比为整数;
（3）设/（兀）在（0,+oo ）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为…4-4…
0 < x < 15, 15 < x < 30.
(2) 设兀0为/（兀）的—个极值点，证明：［/（无0）］2 证明: 71
~2 < % -a n v;r,(斤= 1,2,…)
1 +兀
泉州七中2009-2010下高二期中考试卷数学（理〉参考答案
泉州七中2009-2010下高二数学期中考试卷
理科参考答案
—、选择題匸（各5分.共60分）1—5 DCDDC
二、填空題：（各4分，共24分）
解=（1）当匕=一1 时，/（.r ）=（x-l| + ；.v^r,由 /（X ）> 3 得：.v-l|+|x+l|>3, （法一）由绝对值的
几何意义知不等式的解集为或工上；｝。

• X < —1 —] < X 1 X>1
（法二）不等式可化为或]或
X.
J
■
・•・不等式的解集为｛.V r
■
（2）若-7=1, /（.X ） = 2|.Y -1|，不满足题设条件；
-2X + 6/ + 1,（X < ci ）
若 QV1, /（x ） = « \-a, （tz<x<l ）, /（兀）的最小值为 1一0 ;
2兀一（。

+ 1）,（兀》1）
-2x + a + l,（x < 1）
若 tz > 1 , f （x ） = < a-\y （｝<x<a ）. /（x ）的最小值为a-\o
2兀一（。

+ 1）,（兀 > a ）
所以对于Vxe /?, /（x ） > 2的充要条件是|t7-l|>2,从而a 的取值范（_oo,_l]U[3,+oo ）。

19. （第二题）解：
6—10 ACCAA 11—12 CA
0? +1)0? + 2)
15. (O r 25]
17.
14^
13. 玩
14. 28, 三、解答题：（本大題共5小題.共66分）
19.（第一題）（本小题満分分）
1
_
+ c + N = 8 — w
由已知線―
.
X
由柯西不等式知3： +护+/+/)(12 4?…：：心；；.：：：.7•亠&+c+/)2 故4(16-c r >(8-^)2
解得・
• •
• •
当且仅当/•「广：眄W 我觀屣大两兰
；■
5
20. (本小题满分13分)
解：此命题是真命题.
T a + 方 + c = 0, a > b > c,二 a > 0, c< 0 .
要证逻二竺V 巧成立，只需证Jb2—ac<m
a
即证 b 2
- ac < 3«2
,也就是证(a + c)2 - ac < 3a 2
, 即证(a - c)(2a + c) > 0 ・
T a - c > 0 , 2G + c = (a + c) + a = -方 + d > 0 ,
.*. (a 一 c)(2a + c) > 0 成立，
故原不等式成立.
21. （本小题满分13分）
2500兀-20/,
4 7
2500% — —
3
（11）当 0 vxW15 时，）；二2500兀一20兀2
2900 1
21、解：(I ) y = {
( ' 2900 1- 兀+20、
200 > x-HOOx x 2 + 300
3000
兀+ 20
-------- XX, 200 x 2 + 300 - X JT, 3000
0 < x < 15, 15 < x < 30.
0<x<15, 15 — 5 30.
+ 20x
・••当兀=15时，y取得最大值33000（元）. 当15<x<30时，y =2500 —4/.
令y=0,得x = 25. 当 15 < x< 25时，y >0；当25 < x< 30时，y <0.
・•・y = 25OOx--x 3在区间（15,25］上单调递增,在区间［25,30］上单调递减.……8分
故当x = 25时，y 取得最大值是2500x25 —《x253」
25000 （元.……口分 3 3
”八心 125000 斗 . 和侣曰|①125000 /一、 ••• 33000 < ---------- ,
•••当x = 25时，y 取得取大值 ---- （兀）.
3
3
答：该厂的口产量为25件时，日利润最大且最大值为空型 元 ................... 13分
3
①当n 二1时，公式显然成立。

②假设当归时成立，即廿（2—；（2屮 那么由已知，得 ——=——二一:——-——
=
（2比+ 1）绞+「
即马 + 色 ++ • • • + @ =(2疋 + 3£)@+]
即(2—1)%=(2£ + 3)。

叶，由归纳假设，得：(2£-1)
― =(2£ + 3)%|
(2k-l)(2k+l) 所以"（221）1 + 3）'即当归+ 1时’公式也成立
22.(本小题满分13分)
解：(1)由已知a {= —,
1 1 1 禺= — a,= ---- =—, 「5 3x5 15
1 z 、 1 心+色+…+ — ⑷“,分别取心2,3,4,5,得:
3
14 1
5x7 35
1 / 、 1 1
CI A — (Q[ + Cl^ + Qq) — — 9 4
27 1 - 3 7x9 63
1 / 、 1 1
a. = — (a. + o, + © + 他)二 ----- 二—
所以数列的前5项是：吗=丄，@=丄
1 3
2 15 1
偽=— 3
35 1 1 CI A — 9 Clc —
63 5
99 ⑵由⑴中的分析可以猜想仔⑵i （2〃 + l ）
O 下面用数学归纳法证明:
所以(2£~ — £)% = (2£~ + 3 k)血十\
由①，②，对-吩都有今莎丽而成立.
23.(本小题满分14分)
23•证明(1)由函数/ (%)的定义，对任意整数斤，
有f (对2斤兀)—f (x) = (屮2斤兀)sin (%+2^n ) —xsinx= (屮2&开)sin^—^sin^=
2&兀sinx. .................. 2分
(2)函数f (x)在定义域R上可导，F (x) =sin<v+xcosx, 得sin^+^cos^=0.
①令尸(x) =0,
显然，对于满足上述方程的/有cosxHO,上述方稈化简为/= —Znx如图所示，此方程一定有解.Hx)的极值点y —定满足tanAo= —Ao.由sinO=s =,；；：丫，得si
『弘tanxo
= l+tan\；
因此，［/(Xo)F =^sin'x0= “、................... 7 分
1 +心
(3)设必＞0是f (力=0的任意正实根，即%o=-tan^o,则存在一个非负整数斤，使心丘(寿+斤兀，兀+斤兀)，即xo在第二或第四彖限内.由①式，f (/) =cosx・(tanx^-x) 在笫二象限或笫四象限中的
符号可列表如下：
所以满足F (Q =0的正根心都为f 5的极值点. .................... 10分
由题设条件，日1, G,…，a nf…为方程^= —tan^的全部正实根且满足ai<a2< —<a fl 男b么对于刀=1, 2, …，a^\ —a n= — (tan曰川一tan$”)= — (1+ta门盘旳• tan々”)tan (臼川i
—<3°).②
由于
JI JT
—+ (/?—1) H<$”<H+ (/?—1)兀, —+/7Ji <a n^< Ji+/?n ,
Ji 3 n
则~^~V—由于tana^i • tan/〉。

，
由②式知tan (站一日”)<0. rtl此可知a^\—a n必在第二象限，即a^—a n< n .
JT
综上，—<a^\ — a n< n . ................... 14 分。