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利用导数处理与不等式有关的问题
关键词：导数，不等式，单调性，最值。
导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。
一、利用导数证明不等式
（一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式
我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式：
1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）
区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。
例1：x>0时,求证；x
2x
2
-－ln(1+x)＜0
证明：设f(x)= x
2x
2
-－ln(1+x) (x>0), 则f'(x)=
2x
1x
-
+
∵x>0,∴f '
(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减，
所以x>0时,f(x) 2x 2 -－ln(1+x)<0成立。 2、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。例2：已知：a,b∈R,b>a>e, 求证:a b>b a, (e为自然对数的底) 证：要证a b>b a只需证lna b>lnb a 即证：blna－aln b>0 设f(x)=xlna－alnx (x>a>e)；则f ' (x)=lna－ a x , ∵a>e,x>a ∴lna>1,a x <1,∴f ' (x)>0,因而f(x)在（e, +∞）上递增 ∵b>a,∴f(b)>f(a)；故blna－alnb>alna－alna=0；即blna>alnb 所以a b>b a成立。 （注意，此题若以a为自变量构造函数f(x)=blnx－xlnb (e 则 b f'(x)ln b x =-，f′(x)>0时 b x,f'(x)0 ln b <<时 b x ln b >，故f(x)在区间（e, b）上 的增减性要由 b e ln b 与的大小而定，当然由题可以推测 b e ln b > 故f(x)在区间（e, b ）上的递减,但要证明b e ln b >则需另费周折，因此，本题还是选择以a 为自变量来构造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数是比较重要的。） （二）、利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。 例3、求证：n ∈N *,n ≥3时，2n >2n+1 证明：要证原式，即需证：2n －2n －1>0,n ≥3时成立 设f(x)=2x －2x －1(x ≥3),则f '(x)=2x ln2－2(x ≥3), ∵x ≥3,∴f '(x)≥23ln3－2>0 ∴f(x)在[3，+∞ )上是增函数， ∴f(x)的最小值为f(3)=23－2×3－1=1>0 所以，n ∈N *,n ≥3时，f(n)≥f(3)>0, 即n ≥3时,2n －2n －1>0成立， 例4、x b 2 2g (x)(1)(1)A a x =-+-的定义域是A=[a,b )，其中a,b ∈R +,a 若x 1∈I k =[k 2,(k+1)2), x 2∈I k+1=[(k+1)2,(k+2)2 ) 求证:g (x )g (x )12I I k k 1++> 4k(k 1) +（k ∈N * ） 证明：由题知g '(x)=2 2x 2 2b 2b 223a a x x -+- g '(x)= 22x 22b 2b 223a a x x -+-=0时x 4－ax 3－a 2b 2+a 2 bx=0 即(x 4－a 2b 2)－ax(x 2－ab)=0,化简得(x 2－ab)(x 2－ax+ab)=0 所以x 2－ax+ab =0或x 2－ab=0，∵0 由x 2－ab=0解得x =x=（舍） 故g '(x)>0时x ∈, g '(x)<0时x ∈, 因而g(x)在上递增，在上递减 所以是g A (x)的极小值点， 又∵g A (x)在区间[a,b )只有一个极值 ∴g A )=221)-是g A (x)的最小值。 所以，g (x )1I k 的最小值为2(k 1)g ()2I k k + =2k 12221)2(1)2k k +-=-= g (x )2I k 1 +的最小值为2k 2222(1)()k 1k 1+-=++ 又∵22422k(k 1)k (k 1)+≥=++ ∴x 1∈I k =[k 2,(k+1)2), x 2∈I k+1=[(k+1)2,(k+2)2)时 g (x )g (x )12I I k k 1 ++> 4k(k 1)+（k ∈N *）成立 3、利用导数求出函数的值域，再证明不等式。 例5：f(x)=1 3x 3－x, x 1,x 2∈[－1,1]时，求证：|f(x 1)－f(x 2)|≤ 43 证明：∵f '(x)=x 2－1, x ∈[－1,1]时,f '(x)≤0, ∴f(x)在[－1,1]上递减.故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)=23 最小值为f(1)=23- ,即f(x)在 [－1,1]上的值域为22[,]33 -； 所以x 1,x 2∈[－1,1]时，|f(x 1)|23≤, |f(x 2)|23 ≤, 即有 |f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x 1)|+ |f(x 2)|224333≤+= 二、利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x) (或m 例6 、已知函数a 9f (x)((a R)x =+∈,对f(x)定义域内任意的x 的值， f(x)≥27恒成立，求a 的取值范围 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞），由f(x)≥27对一切x ∈（0，+∞）恒成立 知 a x +≥=x ∈（0，+∞）恒成立， 即a ≥-x ∈（0，+∞）恒成立 设h(x)=- 则h '(x)=-h ′(x)=0 解x 9 =
