精编2020高考数学《立体几何初步》专题模拟题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷
立体几何初步
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．
表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）
A
．3 B ．13π C ．2
3
π D
．3(2006安徽理)
2．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 (A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题(2005浙江理)
3．如图，在三棱柱C B A ABC '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为C A '、B C '、B A '、C B '' 的中点，G 为ΔABC 的重心从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平
面PEF 平行，则P 为
A ．K
B ．H
C ．G
D ．B '(2005湖北理)
4．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是
A 2
8cm π B 212cm π C 216cm π D
220cm π
5．给出下列四个命题，其中正确的命题是----------------------------------------------------------（ ） ①存在一个平面与异面直线a b 、都垂直；②过异面直线a b 、外一点P ，存在一个平面与
a b 、都平行；③存在一条直线与异面直线a b 、都垂直；④存在两条相交直线与异面直线
a b 、都相交
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②③
6．下列命题中，不正确的命题是---------------------------------------------------------------------（ ） (A)空间四边形两组对边都是异面直线 (B)空间四边形的两条对角线是异面直线 (C)空间四边形各边中点的连线构成平行四边形 (D)空间四边形各边中点的连线构成空间四边 二、填空题
7．设平面α∥平面β，,A C α∈，,B D β∈，直线AB 与CD 交于点S ，且8AS =，
9BS =，34CD =，SC =____ ．
8．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，则下列四个命题：
①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l 其中正确命题的序号是 ▲ ．
9．在立体几何中，下列结论一定正确的是： ▲ （请填所有正确结论的序号） ①一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；
②用一个平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台； ③将直角三角形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥； ④将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆台. 10．已知a 、b 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，给出下列命题： ①若α∥β，a ⊂α，则a ∥β ； ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b ； ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ； ④若a ⊥α, a ⊥β，则α∥β 其中正确的命题的序号是 .
11．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2cm ，高位5cm ，一质点自A 点出发，
沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为 cm ．
12．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的 中点．
（1）求证：EF //平面11ABC D ； （2）求证：1EF B C ⊥； （3）求三棱锥1-B FB C 的体积．
13．如图所示,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧棱PA=a,
,
则它的5个面中互相垂直的面有__________对.
14．已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题： ①若l m ⊥，则α∥β；②若α∥β，则l m ⊥； ③若l ∥m ，则αβ⊥；④若αβ⊥，则l ∥m ； 其中为真命题的序号是_______.
C
D
B
F
E D 1
C 1
B 1
A A 1
A
B
C
D
E
F
（第16题）
15．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ________.
解析：若直线l ⊥α，l ∥α，或l ⊂α，虽然在α内必有直线m ，使m ⊥l ；若l 是平面的斜 线可找出其射影l ′，则存在直线m ⊥l ′，即m ⊥l .
16．过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行
（ ）
17．如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以9πcm 3/s 的速度向该容器注水，则水深10cm 时水面上升的速度为 ▲ cm /s ．
三、解答题 18
．
如
图
，
在
底
面
是
菱
形
的
四
棱
锥
P —ABCD
中,a PD PB a AC PA ABC 2,,60====︒=∠，点E 在PD 上，且PE ：ED= 2： 1，
(Ⅰ)证明 PA ⊥平面ABCD;
(II)在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.
19．如图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ， AE =EB =BC =2,F 为CE 上的点，且
BF ⊥ 平面ACE .
（1）求证：AE //平面BDF ； （2）求三棱锥D －BCE 的体积.
第13题图
20．如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落
在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；
（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为 直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由． (本小题满分14分)
21．三棱锥ABC S -中，,29,13,2,90====∠=∠=∠SB BC AC ACB SAC SAB （1）证明：BC SC ⊥；
（2）求三棱锥的体积ABC S V -（本题满分14分）
（第16题图）
22．如图：AD=2,AB=4的长方形ABCD 所在平面与正PAD ∆所在平面互相垂直，Q M ,分别为AD PC ,的中点．
（1）求四棱锥P -ABCD 的体积；（2）求证：//PA 平面MBD ；
（3）试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使得平面⊥PCN 平面PQB ？若存在，试指出点N 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．（本题满分16分）
A
S
B
C
23．四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面B C D E ，
,2,2==CD BC AB AC =．
（1）取CD 的中点为F ，AE 的中点为G ，证明：||FG 面ABC ； （2）证明：AD CE ⊥．
24．在所有棱长都相等的斜三棱柱ABC DEF -中，已知BF AE ⊥，BF
CE O =，且
AB AE =，连接AO
（1）求证：AO ⊥平面FEBC
（2）求证：四边形BCFE 为正方形（本题满分14分）
25．已知,m n 是两条不重合的直线，,,αβγ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命
C
D
E
A
B
题： ①
若
,,m m αβαβ⊥⊥则∥；②
若
;αγβαγβ
⊥⊥，，则∥③若,,,m n m n αβαβ⊂⊂∥则∥④若,m n 是异面直线，,,,m m n αβααβ⊂∥∥则∥
其中所有真命题的序号是
26．如图，在四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 是直角梯形， 90=∠BED ，BE ∥CD ，AB =6，BC =5，
3
1
=BE CD ，侧面ABE ⊥底面BCDE ，︒=∠90BAE ． ⑴求证：平面ADE ⊥平面ABE ；
⑵过点D 作面α∥平面ABC ，分别于BE ，AE 交于点F ，G ，求DFG ∆的面积．
27．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90,
ACB ∠=，
侧面11AA B B 的两条对角线交于点D ，11B C 的中点为
E
B
C
D
A
第16题图 C
D
证明：连结1A C ，∵90,ACB ∠=∴BC AC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中
1CC AC ⊥，∴AC ⊥平面1CB ，∵11AA =，1AC =
∴1AC =1
A C BC =，∵D 是侧面11AA
B B 的两条对角 线的交点，∴D 是1A B 与1AB 的中点，∴CD BD ⊥，连结
1B C ，取1B C 的中点O ，连结DO ，则//DO AC ，
∵AC ⊥平面1CB ，∴DO ⊥平面1CB ，∴CO 是CD 在 平面1B C 内的射影。

在1BB C ∆
中，1tan BB C ∠=在1BB M ∆
中，1tan BMB ∠=11BB C BMB ∠=∠ ∴1B C BM ⊥，∴,CD BM BM
BD B ⊥=，∴CD ⊥平面BDM
28．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，试证：点P 在平面ABC 上的正投影O 为
ABC 的外心。

A
B
C
P
29．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA ＝45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点.
（1）求证：AF ∥平面PCE ； （2）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；
（3）求三棱锥C -BEP 的体积．（本小题满分15分）
30．已知：平面α∩平面β=l ，,,a b a b αβ⊂⊂∥，求证：a l ∥
l
a
b β
α。