山东省菏泽一中高中数学《曲线与方程(一)》学案 新人教版选修21

曲线与方程（1）【教学目标】(1) 知识目标：①了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；②初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；③学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

(2) 能力目标：①通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；②在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；③能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

(3) 情感目标：①通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；②通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；③学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。

【重点难点】1.教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．2.教学难点：难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延．据此可用举反例的方法来突破难点，促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义．【教学过程】☆情境引入☆11月7日8时34分，嫦娥一号卫星顺利完成第３次近月制动，成功进入经过月球南北两极，轨道周期127分钟的圆轨道。

通过3次制动，嫦娥一号相对月球的速度共减小约848米每秒，从近月点高度212公里、远月点高度8617公里的椭圆轨道调整为轨道高度约为200公里的圆形轨道.☆探索新知☆直线与方程的关系设曲线C表示直角坐标系中平分第一、三象限的直线.思考1:曲线C上的点有什么几何特征？到两坐标轴的距离相等.思考2:如果点M（x0，y0）是曲线C上任意一点，则x0，y0应满足什么关系？x0＝y0思考3: x0＝y0可以认为是点M的坐标是方程x－y＝0的解，那么曲线C上的点的坐标都是方程x－y＝0的解吗？都是思考4:如果x0，y0是方程x－y＝0的解，那么点M（x0，y0）一定在曲线C上吗？一定在思考5:曲线C上的点的坐标都是方程 |x|＝|y|的解吗？以方程|x|＝|y|的解为坐标的点都在曲线C上吗？都是 不一定在思考6:曲线C 上的点的坐标都是方程 的解吗？以方程的解为坐标的点都在曲线C上吗？不都是 都在 圆与方程的关系设曲线C 表示直角坐标系中以点（1，2）为圆心，3为半径的圆. 思考1:曲线C 上的点有什么几何特征？ 与圆心的距离等于3.思考2:如果点M （x 0，y 0）是曲线C 上任意一点，则x 0，y 0应满足什么关系？ (x 0－1)2＋(y 0－2)2＝9思考3: (x 0－1)2＋(y 0－2)2＝9可以认为是点M 的坐标是方程(x －1)2＋(y －2)2＝9的解，那么曲线C 上的点的坐标都是方程(x －1)2＋(y －2)2＝9的解吗？ 都是思考4: 如果x 0，y 0是方程(x －1)2＋(y －2)2＝9的解，那么点M （x 0，y 0）一定在曲线C 上吗？ 都在思考5:曲线C 上的点的坐标都是方程的解吗？以这个方程的解为坐标的点都在曲线C 上吗？ 不都是 都在 曲线与方程的概念思考1: 在直角坐标系中，若曲线C 表示平分第一、三象限的直线，则方程x －y ＝0叫做曲线C 的方程，同时曲线C 叫做方程x －y ＝0的曲线.那么，过原点且平分第一象限的射线的方程是什么？ x －y ＝0（0,0≥≥y x ）思考2: 在直角坐标系中，若曲线C 表示以点（1，2）为圆心，3为半径的圆，则方程(x －1)2＋(y －2)2＝9叫做曲线C 的方程，同时曲线C 叫做该方程的曲线，那么，方程(x －1)2＋(y －2)2＝9（x ≤1）的曲线是什么？以点（1，2）为圆心，3为半径的左半圆思考3:一般地，对于曲线C 和方程f(x ，y)＝0，在什么条件下，该方程是曲线C 的方程？同时曲线C 是该方程的曲线？（1）曲线C 上的点的坐标都是方程 f(x ，y)＝0的解； （2）以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上. 定义:一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线. 说明:1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. 由曲线的方程的定义可知:如果曲线C 的方程是 f(x,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y 0)在曲线C 上的充要条件是 f(x 0, y 0)=0 题型一 曲线与方程的概念例1 (1)已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A.曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B.凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上 C.不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D.不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系；解 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5. ②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系.题型二 由方程判断其表示的曲线例2 方程(2x ＋3y －5)( x －3－1)＝0表示的曲线是什么？解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0，或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)一条直线x ＝4. 题型三 曲线与方程关系的应用例3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R)，求k 的取值范围. 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋0.5)2＋0.5. ∴k ≤0.5，∴k 的取值范围是(－∞，0.5]. ☆课堂提高☆1.“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2 ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析 ∵y ＝－2≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上时，点M 不一定在y ＝－2 上.反之，点M 在y ＝－2上时，点M 一定在y 2＝4x 上.2.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A.两个点 B.四个点 C.两条直线D.四条直线解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.选B.3.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )4.已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π3B.5π3C.π3或5π3D.π3或π6解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或α＝5π3.☆课堂小结☆1. “曲线的方程”和“方程的曲线”的定义:（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解；（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.在领会定义时，要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可.2.曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。

4．1 曲线与方程(一)○一 学习引导探究点一 曲线与方程的概念思考1 直线y ＝x 上任一点M 到两坐标轴距离相等吗？答 相等． 思考2 到两坐标轴距离相等的点都在直线y ＝x 上，对吗？答 不对． 思考3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答 y ＝±x .理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M 的坐标(x 0，y 0)满足y 0＝x 0或y 0＝－x 0，即(x 0，y 0)是方程y ＝±x 的解；反之，如果(x 0，y 0)是方程y ＝x 或y ＝－x 的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．小结 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线．○二思考引导思考4曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？答不能，还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是不是都在曲线上．如以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分和方程x2＋y2＝4.例1证明圆心为M(3,4)，半径等于5的圆的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝25，并判断点O(0,0)，A(－1,0)，B(1,2)是否在这个圆上．证明首先，证明圆心为M(3,4)，半径等于5的圆的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝25.一方面，设P(x0，y0)是已知圆上任意一点，由于点P到圆心M的距离等于5，所以有(x0－3)2＋(y0－4)2＝5，即(x0－3)2＋(y0－4)2＝25.这说明圆上任一点的坐标(x0，y0)都是方程(x－3)2＋(y－4)2＝25的一组解．另一方面，设数对(x1，y1)是方程(x－3)2＋(y－4)2＝25的任意一组解，那么就有(x1－3)2＋(y1－4)2＝25. 两边开平方取算术根，得(x1－3)2＋(y1－4)2＝5.这说明P(x1，y1)是以M(3,4)为圆心，半径等于5的圆上的一点．所以(x－3)2＋(y－4)2＝25是圆心为点M(3,4)，半径等于5的圆的方程．将点O(0,0)的坐标代入方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，显然，左右两边的值相等，这说明数对(0,0)是方程的解，所以点O在这个圆上；因为(－1－3)2＋(0－4)2＝32＞25，这表明(－1,0)不是方程(x－3)2＋(y－4)2＝25的解，所以点A(－1,0)不在这个圆上，它在圆外；同理，点B(1,2)也不在这个圆上，它在圆内．○三小结引导反思与感悟解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．探究点二由方程判断曲线表示的图形例2 下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正． (1)x －y ＝0；(2)x 2－y 2＝0； (3)|x |－y ＝0.解 (1)中，曲线上的点不全是方程x －y ＝0的解，如点(－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；(2)中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但以方程x 2－y 2＝0的解为坐标的点不全在曲线上，如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论； (3)中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：反思与感悟 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线． 探究点三 曲线与方程关系的应用 例3 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝⎛⎭⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值． 解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上． (2)∵M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴⎝⎛⎭⎫m22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.○三小结引导反思与感悟 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上． (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问炼·学题．○四 拓展引导若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R )，求k 的取值范围． 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0. ∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a ＋122＋12. ∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 作业：课本 习题2-1课后提炼1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫15，15 C ．(1,5) D ．(4,4) 答案 D 2．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在C 上 C ．不在C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0答案 C 3．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )答案 D4．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是________．答案 a >1 [呈重点、现规律]1．曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．2．点(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是点(x 0，y 0)适合曲线C 的方程．思·学课型：课题： 4．1 曲线与方程 (二)第_ 2 _课时三维目标知识与技能 1.了解求曲线方程的步骤.2.会求简单曲线的方程．过程与方法曲线与方程求解过程．学生阅读、思考情感、态度价值观重点求曲线方程的难点求解曲线方程的步骤○一学习引导探究点一求曲线方程的一般步骤例1设A、B两点的坐标分别是(－1，－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．解如图所示，设点M(x，y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是点M属于集合P＝{M||MA|＝|MB|}．由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为(x＋1)2＋(y＋1)2＝(x－3)2＋(y－7)2. 两边平方，并整理得x＋2y－7＝0.①预·学我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程．(1)由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，即x1＋2y1－7＝0，x1＝7－2y1.点M1到A，B的距离分别是|M1A|＝(x1＋1)2＋(y1＋1)2＝(8－2y1)2＋(y1＋1)2＝5(y21－6y1＋13)；|M1B|＝(x1－3)2＋(y1－7)2＝(4－2y1)2＋(y1－7)2＝5(y21－6y1＋13). 所以|M1A|＝|M1B|，即点M在线段AB的垂直平分线上．由(1)(2)可知，方程①是线段AB的垂直平分线的方程．思考1你能根据以上的求解过程归纳出求曲线方程的一般步骤吗？答求曲线的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．○二思考引导演·学思考2求曲线方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解．答坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的繁杂程度．小结建立坐标系的基本原则(1)让尽量多的点落在坐标轴上．(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴．建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．例2已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．解如图所示，取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.设点M (x ，y )是曲线上任意一点，作MB ⊥x 轴，垂足为B ，那么点M 属于集合P ＝{M ||MF |－|MB |＝2}．由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为x 2＋(y －2)2－y ＝2，①将①式移项后两边平方，得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2， 化简得y ＝18x 2.因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.虽然原点O 的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是y ＝18x 2(x ≠0)．反思与感悟 (1)求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程也不同．(2)求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上点的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上的点应注意剔除．○三小结引导探究点二 求曲线方程的常用方法思考 求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？答(1)直接法建立适当的坐标系后，设动点为(x ，y )，根据几何条件寻求x ，y 之间的关系式． (2)定义法：如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(3)代入法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标(x ，y )来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线的方程，由此可求得动点坐标(x ，y )满足的关系．(4)参数法：如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关点，但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响，此时，可先建立x 、y 分别与这个变量的关系，然后将该变量(参数)消去，即可得到x 、y 的关系式． ○四 拓展引导例3 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 的中点Q 的轨迹方程． 解 方法一 (直接法)如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2，即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9，所以x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94 (x ≠0)． 方法二 (定义法)如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为 x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(x ≠0)． 方法三 (代入法) 设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )， 由题意，得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝⎛⎭⎫y －322＝9，即x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(x ≠0)． 反思与感悟 解答本题可以用三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法．在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法．求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件．作业：课本 习题2-1课后提炼1．已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (－3，0)，B (3，0)，顶点C 的轨迹是( B ) A ．一条直线 B ．一条直线去掉一点 C ．一个点 D ．两个点2．平面内有两定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A →＋PB →|＝4，则点P 的轨迹是(C) A ．线段 B ．半圆 C ．圆 D ．直线3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( D )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝04．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则动点P 的轨迹方程是____________．(x －1)2＋y 2＝2 [呈重点、现规律]1．坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．2．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x ，y )，而不要设成(x 1，y 1)或(x ′，y′)等．3．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y 的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．4．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．○一学习引导探究点一 圆锥曲线的共同特征例1 (1)若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是(A) A ．抛物线 B ．线段 C ．直线 D ．射线(2)已知曲线上的点M (x ，y )到定点F (2,0)和它到定直线l ：x ＝8距离的比是常数12，求曲线方程，并说明特征．答 由求轨迹方程方法可得曲线方程为x 216＋y 212＝1.这是椭圆的标准方程，因此椭圆上的点到定点的距离与到定直线的距离之比也是常数． (3)已知曲线上的点M (x ，y )到定点F (5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的距离的比是常数54，求曲线方程，并说明特征．答 由求轨迹方程方法可得曲线方程为x 216－y 29＝1.这是双曲线的标准方程．因此双曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数． 思考 三种圆锥曲线有什么共同特征？答 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e .当0<e <1时，圆锥曲线是椭圆；当e >1时，圆锥曲线是双曲线；当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．跟踪训练1 (1)点M (x ，y )与定点(3,0)的距离和它到定直线l ：x ＝253的距离的比是常数35，则点M 的轨迹方程为__________．答案 x 225＋y 216＝1解析 由题设及圆锥曲线的共同特征，知M 点的轨迹是椭圆，且右焦点F (3,0)，e ＝35，因为c ＝3且F (3,0)，所以椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上．故方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．由a ＝5，c ＝3，得b ＝4，故所求点M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.(2)点M 与F (0，－2)的距离比它到直线l ：y －3＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是__________．答案 x 2＝－8y○二 思考引导探究点二 圆锥曲线共同特征的应用思考 圆锥曲线的共同特征体现了一种什么数学思想？答 转化思想，曲线上的点到定直线的距离和到焦点的距离可以相互转化．例2 试在抛物线y 2＝4x 上求一点A ，使A 到点B (3，2)与到焦点的距离之和最小． 解 由已知易得点B 在抛物线内，p2＝1，准线方程x ＝－1，过B 作C ′B ⊥准线l 于C ′，直线BC ′交抛物线于A ′，则|A ′B |＋|A ′C ′|为满足题设的最小值．因为C ′B ∥x 轴，B 点坐标为(3，2)，所以A ′点坐标为(x,2)．又因点A ′在抛物线上，所以A ′(1,2)即为所求A 点，此时最小值为|BC ′|＝3＋1.○三 小结引导反思与感悟 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到定直线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．○四 拓展引导(1)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是(B)A ．4B ．6C ．8D ．12(2)椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到一个焦点F 1(－3,0)的距离等于3，则它到直线x ＝－253的距离为________．答案 5作业：习题2-1课后练习1．已知动点P 的坐标(x ，y )满足(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋2|2＝12，则动点P 的轨迹是________．椭圆2．已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到直线x ＝－43b3的距离．解 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.演·学 炼·学 思·学由椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4b ， 得|PF 1|＝4b －|PF 2|＝4b －b ＝3b .又|PF 1|d 1＝e ，d 1为P 到直线x ＝－43b 3的距离，∴d 1＝|PF 1|e ＝23b ，即P 到直线x ＝－43b 3的距离为23b .3．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解 (1)如图，抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. ∵点P 到准线x ＝－1的距离等于点P 到点F (1,0)的距离．∴问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然P 是AF 与抛物线的交点，最小值为|AF |＝ 5. (2)同理，|PF |与点P 到准线的距离相等，如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1. ∵|P 1Q |＝|P 1F |，∴|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝4.∴|PB |＋|PF |的最小值为4.小结引导[呈重点、现规律]1．三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数． 2．利用圆锥曲线的共同特征可实现曲线上的点到焦点的距离与到○一学习引导探究点一 直线与圆锥曲线的交点的求法 思考1 怎样求直线与圆锥曲线的交点？答 可以通过解直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组解得交点． 思考2 怎样判定直线与圆锥曲线的交点个数？答 通过直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的情况来进行判定． ①若方程组消元后得到一个一元二次方程，根据判别式Δ来讨论．②若方程消元后得到一个一元一次方程，则相交于一个公共点．值得注意的是，直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必相切．例1 已知直线y ＝(a ＋1)x －1与y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值．解 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax .当a ＝0时，此方程组恰有一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.当a ≠0时，得a ＋1a y 2－y －1＝0.①若a ＋1a＝0，即a ＝－1，则方程为－y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1；②若a ＋1a ≠0，即a ≠－1，由Δ＝0，得1＋4(a ＋1)a ＝0，解得a ＝－45.这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上，当a ＝0，－1，－45时， 直线与y 2＝ax 只有一个公共点．反思与感悟 直线与抛物线的位置关系，通过对直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况来讨论．对于直线与抛物线只有一个公共点的情况，应特别注意平行于抛物线对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，但它不是切线，不能用Δ＝0求解，此时应分类讨论，千万不要漏掉斜率不存在和k ＝0的情况．○二思考引导探究点二 圆锥曲线弦长问题思考1 直线和圆锥曲线相交，怎样求弦长？答 (1)斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的点，则弦长 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|.(2)抛物线中的弦过焦点时，求弦长可以不用弦长公式，而利用|AB |＝x 1＋x 2＋p . 当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)． 思考2 解决圆锥曲线弦长问题，是否一定要求出交点坐标．答 一般对交点坐标采用“设而不求”，利用根与系数的关系和根的判别式解决问题．如：|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.例2 已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝－x 交于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)若△OAB 的面积为10，求k 的值；(2)求证：以弦AB 为直径的圆必过原点．(1)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，原点O 到直线AB 的距离为d ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝－x，化简整理得k 2x 2＋(2k 2＋1)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，由根与系数的关系得， x 1＋x 2＝－2k 2＋1k 2，x 1x 2＝1.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·1k 4＋4k 2， 由点到直线距离公式d ＝|k |1＋k 2，∴S △OAB ＝12|AB |·d ＝121k 2＋4＝10，解得k ＝±16. (2)证明 ∵k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2，∴k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2.∵y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)2，∴k OA ·k OB ＝1y 1y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝－x，得ky 2＋y －k ＝0，∴y 1y 2＝－1，即k OA ·k OB ＝－1，∴OA ⊥OB ，∴以弦AB 为直径的圆必过原点．反思与感悟 直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．○三小结引导探究点三 中点弦问题思考 直线和圆锥曲线相交，涉及弦的中点问题一般怎样解决？ 答 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.在使用根与系数关系时，要注意使用条件是Δ≥0.例3 已知椭圆的两个焦点为F 1(0，－22)，F 2(0,22)，离心率e ＝223.(1)求椭圆方程；(2)一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，且线段MN 中点的横坐标为－12，求直线l 倾斜角的取值范围． 解 (1)∵c ＝22，c a ＝223，∴a ＝3，c ＝2 2.∴b 2＝1.∴椭圆方程为y 29＋x 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且MN 中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，k MN ＝k (k ≠0)， 则y 219＋x 21＝1，y 229＋x 22＝1. 相减，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－9(x 1＋x 2)y 1＋y 2.∴y 0＝92k .由于点⎝⎛⎭⎫－12，92k 在椭圆y 29＋x 2＝1内部，∴92(2k )2·19＋14<1.∴k 2>3.∴k >3或k <－ 3. ∴直线l 倾斜角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，2π3.反思与感悟解决“中点弦”问题的“点差法”巧妙处理中点坐标和斜率的关系，简化了计算．○四 拓展引导 C ：x 24＋y23＝1，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线y ＝4x ＋m 对称．解 方法一 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)是椭圆上关于直线l ：y ＝4x ＋m 对称的两个点，则k PQ＝－14. 设PQ 所在的直线方程为y ＝－14x ＋b ，由⎩⎨⎧y ＝－14x ＋b ，x 24＋y23＝1，消去y ，得13x 2－8bx ＋16b 2－48＝0，∴Δ＝(－8b )2－4×13×(16b 2－48)>0， 解得b 2<134.又x 1＋x 2＝813b ，x 1x 2＝16b 2－4813，设PQ 的中点为M (x ，y )， 则x ＝x 1＋x 22＝4b 13，y ＝－14·4b 13＋b ＝12b 13.∵点M ⎝⎛⎭⎫4b 13，12b 13在直线y ＝4x ＋m 上，∴1213b ＝4·413b ＋m ，∴b ＝－134m . ∴⎝⎛⎭⎫－134m 2<134.解得－21313<m <21313. ∴当－21313<m <21313时，椭圆上有两个不同的点关于直线y ＝4x ＋m 对称．方法二 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)是椭圆C 上关于直线l ：y ＝4x ＋m 对称的两个点，M (x ，y )是它们的中点，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12.∴3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.∵x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，x 1≠x 2，∴3x 4y ＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k PQ ＝14，∴y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝4x ＋m ，解得M (－m ，－3m )．∵点M 在椭圆C 的内部，∴(－m )24＋(－3m )23<1， ∴－21313<m <21313.∴当－21313<m <21313时，椭圆上有两个不同的点关于直线y ＝4x ＋m 对称．。

2.1曲线与方程（3课时）一、教学目标使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．二、教学重难点：1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．) 2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．) 三、活动设计提问、讲解方法、演板、小测验．四、教学过程(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2 (a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．分析：∵点P在AQ的垂直平分线上，∴|PQ|=|PA|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程．解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．3．相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y)的变动而变动，且x、y可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．4．待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程．分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．∴△=1664-4a2b2=0，即a2=2b．(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a2．(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．答案：义法)由中点坐标公式得：(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．五、布置作业1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案：1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=42．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线六、板书设计课后反思：求轨迹方程一节难度较大，通过学习圆锥曲线前的学习，学生对求轨迹方程所遵循的五个基本步骤掌握的很好，在心理上战胜了困难，这一节课在原有的基础上难度有所加大，学生掌握的比预计的理想，说明学生的兴趣及信心非常重要，在平时教学过程中一定要注意培养学生的学习积极性。

分析：以方程x y =
的解为坐标的点都在曲线上；但曲线上的点如（-1，1）不是方程x y =的解；
② 图中曲线与方程122=+y x 有什么关系？
③ 对于图中的曲线与对应的方程应作怎样修改？
练习：1．A (1,0)，B (0,1)，线段AB 的方程是x +y -1=0吗？（不是）
2．由到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y -5=0吗？（不是）
3．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？
思考：从集合的角度来看：曲线C 可以看成点集C ，方程),(y x f 的解集可以看成集合F ，若方程),(y x f 是曲线C 的方程，则C 与F 有什么样的关系？（F=C ）
2、讲解例题
例1：点P (1,a )在曲线x 2+2xy -5y =0上，则a =_______________．
例2：求证：与两坐标轴的距离的积是常数K （K >0）的点的轨迹方程是1±=xy 。

3、巩固练习：
1、以O 为圆心，2为半径，上半圆弧、下半圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别
是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？
2、下列方程的曲线分别是什么？
(1) 2x y x = (2) 222x y x x
-=- (3) log a x y a =
3、设集合2{(,)|10}A x y x y =--=，{
}01),(2=--=x y y x B ，
则A ⋂B 表示的曲线是____________________，A ⋃B 表示的曲线是
____________________．
4、画出方程2()(1)0x y x y +--=的曲线．。

高二.二部数学学案N0.82.1.1 曲线与方程（1）设计人：郭保军 审核人：李俊娟 日期：2012-11-28【课标要求】1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义. 2．会判定一个点是否在已知曲线上，初步掌握求曲线的方程的方法【学习目标】1.理解曲线和方程的概念2. 能按照求曲线方程的一般步骤求曲线方程【自主学习】预习1：求出如图所示AB 的垂直平分线的方程．预习2：画出2y x =所表示的曲线预习3： l 是过点)1,0(且斜率为2的直线，能否说方程)0(12≥+=x x y 是直线l 的方程？为什么？预习4：求轨迹方程的一般步骤是什么？曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．【典型例题】例1：判断下列命题是否正确(1)过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线的方程为︱x ︱=3 (2)到x 轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy ︱=1 (4) △ABC 的顶点A(0,-3)，B(1, 0)，C(-1,0)，D 为BC 中点，则中线AD 的方程x=0变式：下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？(1)曲线C 为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0 (2)曲线C 是顶点在原点的抛物线其方程为x+=0(3)曲线C 是Ⅰ, Ⅱ象限内到x 轴，y 轴的距离乘积为1的点集其方程为y=1x例2已知坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上， 那么下列说法正确的是（ ）（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程(,)0f x y =;（B ）凡坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上; （C ）不在曲线C 上的点的坐标必不满足方程(,)0f x y =;（D ）不在曲线C 上的点的坐标有些满足方程(,)0f x y =，有些不满足方程(,)0f x y =.变式：若命题“曲线C 上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( ) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C 上C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C 的一部分或是曲线CD.曲线C 是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部例3：证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．例4：两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹方程．【课堂练习】1.0= (2)0x y -= (3)0x y -=A B C D 2.22(2)2,M y l P +-=设圆的方程为（x-3）直线的方程为:x+y-3=0点的坐标为（2,1）,那么（ ）A.点P 在直线上，但不在圆上B.点P 在圆上，但不在直线上C.点P 既在圆上,也在直线上D.点P 既不在圆上，也不在直线上3.2240--mx ny +-=已知方程的曲线经过点A （1，2），B （2,1）则m=______ n=______4．.C A “曲线C 上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线的方程”的（ ）条件充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要5.---ABC 的顶点坐标分别为A （4，3），B （2，1），C （5,7）则AB 边上的中线的方程为___________.。

人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程一、教学目标（一）学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3.学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法. （二）学习重点“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.（三）学习难点怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第34页至第35页.（2）想一想：什么是曲线的方程与方程的曲线？（3）写一写：以前学习过的直线的方程与圆的方程.2.预习自测1.如果曲线C上的点的坐标满足方程(,)0F x y=，则下面说法正确的是（）A.曲线C的方程是(,)0F x y=B.方程(,)0F x y=的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0F x y=的点不在曲线C上D.坐标满足(,)0F x y=的点在曲线C上【知识点】曲线的方程与方程的曲线.【解题过程】利用曲线与方程的关系判断，条件中曲线C上的点的坐标(,)x y都是方程(,)0F x y=的解，满足了曲线和方程的概念条件，而且阐明曲线C上没有坐标不满足方程(,)0F x y=的点，故C正确.【思路点拨】有关曲线方程与方程曲线应正确理解概念的两方面内容.【答案】C（二）课堂设计1. 新知讲解探究一结合实例，认识曲线与方程●活动①归纳提炼概念在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线.引例1：作出方程x-y=0表示的直线.借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：必须同时满足：（1）直线上的点的坐标都是方程的解和（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么直线（图形）方程（数量）变式：作出函数2xy=的图象.类比方程2xy=与如图所示的抛物线.这条抛物线是否与这个二元方程2xy=也能建立这种对应关系呢？（按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）推广：那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？ 现在请同学们思考这样的问题：【设计意图】培养学生由特殊到一般的解决问题的方法，以及归纳概括的能力.方程F (x,y )=0的解与曲线C 上的点的坐标具备怎样的关系，就能用方程F (x,y )=0表示曲线C ，同时曲线C 也表示着方程F (x,y )=0,为什么要具备这些条件？引例2：用下列方程表示如图所示的曲线C ，对吗？为什么？（1）0=-y x（2）022=-y x（3）0=-y x方程（1），（2），（3）都不是表示曲线C 的方程.第（1）题中曲线C 上的点不全是方程0=-y x 的解.例如点A (-2,-2)，)3,3(--B 等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第（2）题中，尽管“曲线上的点的坐标都是方程的解”，但是以方程022=-y x 的解为坐标的点却不全在曲线C 上.例如D (2,-2)、)3,3(-E 等，即不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第（3）题中，则既有以方程0=-y x 的解坐标的点，如G (-3,3)、)2,2(-H 等不在曲线C 上，又有曲线C 上的点，如M (-3,-3)、N (-1,-1)等的坐标不是方程0=-y x 的解.事实上，（1）、（2）、（3）中各方程所表示的曲线应该是如图所示的三种情况.上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1；又观察、分析了例2中所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对立关系.假如我们把例1这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了.在下定义时，针对例2（1）中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”，以及（2）中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程”应作何规定？为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点，必须规定“曲线上的点的坐标都是方程的解”；为了防止以方程的解为坐标的点不在曲线上，必须规定“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这样我们可以对“曲线的方程”、“方程的曲线”下这样的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x,y )=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；（纯粹性）（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C ；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F .请大家思考：如何用集合C 和F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系？进而重新认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义.关系（1）指点集C 是点集F 的子集；关系（2）指点集F 是点集C 的子集.这样，根据集合的性质，我们可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即探究二 判断曲线的方程例1 证明与两条坐标轴的距离之积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是k xy ±=.【知识点】曲线的方程.【解题过程】（1）设00(,)M x y 是轨迹上的任意一点，因为点M 与x 轴的距离为0y ，与y 轴的距离为0x ，所以k y x =⋅00即00(,)x y 是方程k xy ±=的解.（2）设1M 的坐标),(11y x 是方程k xy ±=的解，那么k y x ±=11即k y x =⋅11. 而11,y x 正是点1M 到x 轴，y 轴的距离，因此点1M 到两条直线的距离的积是常数k ，点1M 是曲线上的点.由（1）（2）可知，k xy ±=是与两条坐标轴的距离之积是常数k (k >0)的点的轨迹方程.【思维点拨】先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明.例2 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：（1）过点A (2,0)平行于y 轴的直线与方程||2x =之间的关系；（2）与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy =5之间的关系.【知识点】曲线的方程与方程的曲线的概念.【解题过程】（1）过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程||2x =的解，但以方程||2x =的解的坐标的点不都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上，因此，||2x =不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线方程.（2）与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy =5，如(x,y )=(-1,5)，但以方程xy =5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5，因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy =5.【思维点拨】定义中的两个条件缺一不可，是不可分割的.同类练习 已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和(1,1)B ，求,a b 的值. 【知识点】曲线的方程与方程的曲线的概念.【解题过程】曲线过点A 、B ，则A 、B 点的坐标为方程222ax by +=的解，故有25292b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得：32251825a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【思维点拨】根据曲线的方程定义可知：曲线上的点都是方程的解，从而可以建立方程求解a,b .例3. 指出下列方程表示的曲线分别是什么？（1）20x -=；（2）(231)0x y +-=；（3）2(3412)[log (2)3]0x y x y --+-=；【知识点】本题考查如何理解方程表示的曲线.【解题过程】（1）表示的曲线为过（2，0）且平行于y 轴的直线；（2）因为 0)13)(532(=---+x y x.4)3(05324)3(0532013030532=≥=-+=≥=-+=--⎩⎨⎧≥-=-+∴x x y x x x y x x x y x 和一条直线线故表示的曲线为一条射或即或故方程表示的曲线为一条射线2350(3)x y x +-=≥和一条直线4x =. （3）因为2(3412)[log (2)3]0x y x y --+-=直线。

高二数学学案（理科）
课题：2.1.1曲线与方程（一）
一、学习目标：
1.知道曲线的方程与方程的曲线的概念；
2.会根据简单的方程判断其对应的曲线；
3. 体会坐标法研究几何问题的数学思想. 二、重点：曲线的方程与方程的曲线的概念.
难点：曲线的方程与方程的曲线的概念. 三、自学指导:
导读：阅读课本34p ,完成下列问题: 导思：
1.一、三象限角平分线上的点),(00y x M 与方程0=-y x 有怎样的对应
关系？请叙述.
2.以),(b a 为圆心，r 为半径的圆上的点),(00y x M 与方程
222)()(r b y a x =-+-有怎样的对应关系？请叙述.
3.请归纳出曲线方程与方程曲线的定义.
4.请叙述过点)0,2(A 平行于y 轴的直线l 与方程2=x 之间的关系，
后者能否称为直线l 的方程？
四、导练展示：
1.命题“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解.”是正确的,下列命题
中正确的是()
A.方程0),(=y x f 的曲线是C.
B.方程0),(=y x f 的曲线不一定是
C. C.0),(=y x f 是曲线C 的方程.
D.以方程0),(=y x f 的解为坐标的点都在曲线C 上. 2.方程y x -=-11表示（）
A.两条线段
B.两条直线
C.两条射线
D.一条射线和一条线段
3.证明:与两坐标轴的距离的积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程式k xy ±=
五、达标检测： 1.课本37p 1、2
2.求方程01)1(=--+x y x 所表示的曲线.
六、反思小结：。

2.1 曲线与方程1．结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系．(了解)2．理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)3．通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)[基础·初探]教材整理1 曲线的方程与方程的曲线阅读教材P33～P35，完成下列问题．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列命题正确的是( )A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错．【答案】 D教材整理2 求曲线方程的步骤阅读教材P36～P37，完成下列问题．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.1．分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义．2．定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可．条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性．两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化．[再练一题]1．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值．【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.(1)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0； (2)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？ (2)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.从而方程表示的图形是一个点(1，－1)． (2)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2)．1．判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定．2．方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想．[再练一题]2．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( )【导学号：15460021】A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x －y ＝0对称【解析】 同时以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变， 所以方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线关于原点对称． 【答案】 C[探究共研型]探究1 【提示】 建立坐标系的基本原则： (1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴．建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．探究2 求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法．在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法．求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件．(2016·德州高二检测)在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)．由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以(x＋a2＋y2)2＋(x－a2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．1．求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．2．一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．3．没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系．[再练一题]3．已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}．由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋y－2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线．∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0)．[构建·体系]1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( ) A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上．【答案】 B2．在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是( )【解析】当x＞0时，方程为xy＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象； 当x ＜0时，方程为－xy ＝1， ∴y ＞0，故在第二象限有一支图象． 【答案】 C3．如果方程ax 2＋by 2＝4的曲线过点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________.【答案】 4 14．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【导学号：15460022】【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝85．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 【解】 法一 如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二 如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上．由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4,0)和(－1,0) B ．(4,0)和(－2,0) C ．(4,0)和(1,0)D ．(4,0)和(2,0)【解析】 在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)． 【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】 由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( )A ．x ＋y ＝4B ．2x ＋y ＝4C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】 由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( )【导学号：15460023】A ．一个点与一条直线B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆 【解析】 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C.【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】 由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】 一条射线和一条直线8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________．【解析】 由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图2­1­1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2­1­1【解】 以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)． 连接PO 1，O 1M ，PO 2，O 2N . 由已知|PM |＝2|PN |，得 |PM |2＝2|PN |2，又在Rt △PO 1M 中，|PM |2＝|PO 1|2－|MO 1|2， 在Rt △PO 2N 中，|PN |2＝|PO 2|2－|NO 2|2， 即得|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 化简得(x －6)2＋y 2＝33.因此所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.10．△ABC 的三边长分别为|AC |＝3，|BC |＝4，|AB |＝5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最小值与最大值．【解】因为|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，所以∠ACB ＝90°.以C 为原点O ，CB ，CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC |＝3，|BC |＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )， 由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1，由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|PA |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是( )A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0) B ．y ＝－43x (0≤x ≤4) C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4) D ．y ＝－43x (0≤x ≤5) 【解析】 注意到|AB |＝5，则满足到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A. 【答案】 A2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )【导学号：15460024】A ．y 2＝4xB ．y 2＝－12(x －4)C ．y 2＝4x (x ≥3)或y 2＝－12(x －4)(x <3)D ．y 2＝4x (x ≤3)或y 2＝－12(x －4)(x >3)【解析】 设P (x ，y )，由题意得x －2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】 设动点P (x ，y )，依题意|PA |＝2|PB |， ∴x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2， 化简得(x －2)2＋y 2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S ＝π·22＝4π.【答案】 4π4．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 法一 设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)，∴PA ⊥PB ，即k PA ·k PB ＝－1，而k PA ＝4－02－2x ＝21－x(x ≠1)， k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二 设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM . ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.而|PM |＝x －2＋y －2， |AB |＝x 2＋y 2， ∴2x －2＋y －2＝4x 2＋4y 2， 化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程.。

§2．1．1曲线与方程[学情分析]：学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程，熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形式，能解决直线与圆的有关问题，对解析几何的研究方法与思路有一定的了解，这些对本节学习有很大帮助。

[教学目标]：知识与技能1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，2、领会“曲线的方程〞与“方程的曲线〞的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；过程与方法1.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；2.体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.情感态度与价值观培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神[教学重点]：理解曲线与方程的有关概念与相互联系[教学难点]：定义中规定两个关系〔纯粹性和完备性〕[课前准备]：多媒体、实物投影仪[教学过程设计]：教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1、问题： (1)求如下图的直线的方程,并说明曲线上的点与方程之间的关系；观察、思考，求得方程为xy=引导学生分析：〔1〕如果点00(,)M x y是这条直线上的任意一点，那么它到两坐标轴的距离相等，即00x y=，那么它的坐标00(,)x y是方程xy=的解。

〔2〕如果00(,)x y是方程xy=的解，即00x y=，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。

通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴趣。

二．复习、引入(2) 仿照〔1〕说明：以(,)a b为圆心，以r为半径的圆与方程222()()x a y b r-+-=的关系王新敞引导学生在前一个例子的基础上类比归纳，得出结论，使他们理解几何中的“形〞与代数中的⑴ 设M(x o ,y o )是圆上任一点，那么它到圆心的距离等于半径，即2200()()x a y b r -+-=，即：222()()x a y b r -+-=，这就是说，(x o ,y o )是此方程的解；⑵ 如果(x o ,y o )是方程222()()x a y b r -+-=的解，那么可以推得2200()()x a y b r -+-=，即点M(x o ,y o )到圆心的距离等于半径 ，点M 在圆上。

【学习目标】1、从实例了解方程的曲线与曲线的方程的概念；2、掌握求曲线方程的步骤和方法.【学习重点与难点】3、教学重点：掌握求曲线方程的步骤和方法. 4、教学难点：掌握求曲线方程的步骤和方法. 【学习过程】一、阅读课本第页，了解方程的曲线与曲线的方程的概念二、阅读课本例1和例2，体会并总结求曲线的方程的步骤和方法。

※、求曲线的方程的步骤⑴建系：建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标⑵写集合：写出适合条件P 的点M 的集合}M P |{M P ）（⑶列方程：用坐标表示条件P （M ），列出方程f(x,y)=0 ⑷化简：化方程f(x,y)=0为最简形式※、求曲线的方程的一般方法①直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x,y 的等式，就得到曲线的轨迹方程②代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程③待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程的形式，在根据条件确定待定的系数④定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，在确定其中的基本量预测练习1、已知曲线方程为10)1(22y x . (1)判断点)3,2(),2,1(q p 是否在此方程表示的曲线上（2）若点),2(m mM 在此方程表示的曲线上，求m 值2、等腰三角形ABC 的顶点是)2,4(A ，底边一个端点是)5,3(B ，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线。

3、已知ABC ，)2,0(),0,2(A B ，第三个顶点C 在曲线上移动，求ABC 的重心的轨迹方程。

（三角形重心坐标公式3x3321321{x x x y y y y ）。

2.4.2抛物线的简单几何性质【课程标准】 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道抛物线的几何性质【学习目标】1. 通过自主学习了解抛物线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质2. 能从抛物线的标准方程出发推导抛物线的性质，从而培养学生的分析、归纳、推理能力3. 通过例题和练习逐步掌握对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质【自主学习】 请类比椭圆、双曲线的几何性质，讨论抛物线的性质 以 为例1、 范围2、 对称性3、 顶点4、 离心率【典型例题】例1. 轻松判断（1）顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3,2）的抛物线有4条（ ）（2）像椭圆、双曲线一样，一条抛物线有两个焦点，两条对称轴，一个对称中心（ ）（3）抛物线 的的取值范围是不同的，但其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同（ ）（4）过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点A,B,则 与抛物线标准方程的一次项系数相等( )例 2. 边长为4的正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求抛物线方程22(0)y px p =>22(0)y px p =>224,4x y y x ==,x yAB例3. 已知抛物线 ,设点A 的坐标为 ，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离.22y x =2(,0)3例4.斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长.变式: 抛物线x 2=4y 的焦点为F, 斜率为2的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长.拓展提高： 抛物线y 2=4x 的焦点为F, 点M 在抛物线上运动, A(2,2), 试求|MA|+|MF|的最小值.【课堂练习】1、若抛物线 上一点P 到准线的距离等于它到顶点O 的距离，则P 点的坐标为（ ）2、连接抛物线上任意四点组成的图形有可能是 （填写所有正确序号）2y x =1212.(,) .(,44841212.(,.(,4484A B C D ±±①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形3、求顶点在原点，焦点在y 轴上且通径长为8的抛物线方程4、已知抛物线C: ,焦点F 到准线 的距离为2.（1）求p 的值（2）过点F 作直线交抛物线于A 、B ，交 于点M ，若点M 的纵坐标为-2，求22(0)y px p =>l l AB。

圆锥曲线综合（三）【课程标准】1、能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题2、通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想【学习目标】会解决解析几何的五大基本问题中的定点和定值问题、最值问题、参变量的取值范围问题。

【自主学习】1、 解析几何中的最值和定值问题是以圆锥曲线与直线为载体，以函数、不等式、导数等知识为背景，综合解决实际问题，我们经常采取哪几种方法？2、 在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找.对于圆锥曲线的参数的取值范围问题，我们采取什么方法解决？【典型例题】例1、已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．例2、椭圆22221(0)y x a b a b+=>>与直线10x y +-=相交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥（O 为坐标原点）.1112121212(10)(10).2(2)2.A B P PA BA PB AB P C M m C M l l C D E l l k k k k DE -⋅=⋅=例3、已知，,，,是平面上一动点，且满足（1）求点的轨迹的方程；（）已知点，在曲线上，过点作直线、与交于、两点，且、的斜率、满足，求证：直线过定点，并求此定点例4、设()()1122,,,A x y B x y 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>上的两点,1122(,),(,)x y x y s t b a b a ==,且0s t ⋅=,椭圆的离心率3e = 2.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，试问ABC ∆的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【拓展提高】【课堂练习】已知椭圆()22220y x C a b a b∶＋＝1＞＞3F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22(Ⅰ) 求a ，b 的值； (Ⅱ) C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB ＝＋成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．设12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，且椭圆上一点3(1,)2P 到12,F F 两点距高二二部数学作业NO.24圆锥曲线综合（三）设计人：苏瑞娟 审核人：李凤英 时间：12.2622222111422x y x y A a a a +=-=、椭圆与双曲线有共同的焦点，则的值是（ ） A.2 B.1 C. D.3 A2.设抛物线x 4y :C 2=的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线C 于B A ,两点，则AOB ∆的最小面积是（ ）A. 2 B . 2 C. 4 D. 1 B3.斜率为2的直线l 过双曲线()0,01x 2222>>=-b a by a 的右焦点，且与双曲线的左，右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A. 2<e B .31<<e C.51<<e D. 5>eA4. 已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|P Q|的最小值是____________ 234AB x =B5.长度为的线段的两个端点在抛物线y 上移动，线段AB 的中点为M,则点M 到y 轴距离的最小值为_______。

§2.1.1曲线与方程教学目标：1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义2．会判定一个点是否在已知曲线上，并会证明曲线方程。

教学重点：曲线和方程的概念教学难点：曲线和方程概念的理解课型：新授课教具：多媒体教学方法：启发式教学过程一、复习回顾在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系。

二、讲授新课1．曲线与方程关系举例：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x－y=0.这就是说，如果点M（x0,y0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x0=y0，那么它的坐标（x0,y0）是方程x－y=0的解；反过来，如果（x0,y0）是方程x－y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上。

又如，以),(b a 为圆心、r 为半径的圆的方程是222)()(r b y a x =-+-。

这就是说，如果),(00y x M 是圆上的点，那么它到圆心的距离一定等于半径，即r b y a x =-+-2020)()(，也就是22020)()(r b y a x =-+-，这说明它的坐标),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解；反过来，如果),(00y x 是方程222)()(r b y a x =-+-的解，即22020)()(r b y a x =-+-，也就是r b y a x =-+-2020)()(，即以这个解为坐标的点到点),(b a 的距离为r ，它一定在以为圆心),(b a 、r 为半径的圆上的点。

2．曲线与方程概念一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。