从一道课本例题对水仙花数的探究

从一道课本例题对水仙花数的探究200023　上海市五爱高级中学　章　文
新教材高二数学第一学期(上海教育出版社)第十章算法初步例8是这样的:设abc表示百位、十位、个位分别为a,b,c的三位数,试设计算法,求所有满足等式abc =a3+b3+c3的三位数abc.这道关于“水仙花数”的例题体现了新教材的人文时代特征.
在数学中存在一类三位数,具有很奇妙的性质:它的每位数字的三次方的和等于这个三位数本身,例如13 +53+33=153,我们称像153这种数为三位水仙花数.然而,找出100到999间全部的水仙花数并不容易,需要一个一个去试.但利用计算机就很容易解决这类问题和课本上只给出了算法框图,根据算法,我们用C语言PASCAL语言编写一个求解的程序,其内容如下:
◆C　语言的“水仙花数”实现代码:
#include<stdio.h>
intmain(void)
{inta,b,c;
for(a=1;a≤9;a++)
for(b=0,b≤9;b++)
for(c=0;c≤9;c++)
if(100∗a+10∗b+c==a∗a∗a+b∗b∗b+c∗c∗c) printf(“%d%d%d\n”,a,b,c);
return0;}
◆PASCAL语言的“水仙花数”实现代码: programshuixianhuashu;
var
a,b,c:integer;
begin
fora:=1to9do
forb:=0to9do
forc:=0to9do
ifa∗a∗∗a+b∗b∗b+c∗c∗c=100∗a+10∗b+ cthenwriteln(100∗a+10∗b+c);end.
利用程序可以找到三位水仙花数有4个,分别为153,370,371和407.
实际上,最早发现三位水仙花数特征的是英国大数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947),后来有人推广为:如果一个n位正整数等于它的n个数字的n次方和,则称这个数为n位水仙花数(又称为n位n次幂回归数).容易得到:
一位水仙花数:1,2,3,4,5,6,7,8,9;
二位水仙花数不存在,实际上,假设x,y是自然数且都小于10,而且x不等于0,则两位水仙花数应该满足:10x+y=x2+y2,解关于y的方程可求出y=
若是要满足y是自然数,开平方的结果
应该是个奇数,即1+40x-4x2应该是个奇数平方数,由二次函数的知识可知1+40x-4x2的最大值是101,当令其分别等于1,3,5,7,9的平方时,发现无自然数解.
利用程序还可以找到四位水仙花数有3个,分别为1634,8208,9474.
那么,对于什么样的自然数n是水仙花数?这样的n是有限个还是无穷多个?解决这个问题,我们不妨设
A
n
是n位的水仙花数,即A n=a1a2…a n=a n1+a n2+…+a n (其中0≤a1,a2,…a n≤9,且全为自然数,a1≠0),从而10n-1≤A n≤n·9n,即n必须满足10n-1≤n·9n也就是(109)n≤10n,(1)随着自然数n的不断增大,由此(109)n为10n的高阶无穷大量,很快就会使得(1)式不成立,因此,满足(1)的n不能无限增大,即n只能取有限多个.进一步的计算表明:(109)60≈556.4798×10×60=600,(109)61≈618.3109>10×61=610,对于n≥61,便有(109)n>10n,由此可知,使(1)式成立的自然数n≤60.故这种水仙花数最多是60位数.
借助于计算机可以得到最大的水仙花数是39位
数,它们是: 1151322190187639925650955973971522401
和115132219018763992565095597973971522400.
(收稿日期:20100210)
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