(完整word版)第四章图形的相似(知识点),推荐文档

第四章图形的相似
一•成比例线段 1.
线段的比
探1.如果选用同一个长度单位量得两条线段
AB, CD 的长度分别是 m n,那么就说这两条线
A m
段的比AB:CD=m:n ,或写成 一 一
B n
探2.成比例线段及比例的性质：
（1）成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即- -,那
b d
么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段.,简称比.例线段一. ※注意点：
①a:b=k,说明a 是b 的k 倍； ②由于线段a 、b 的长度都是正数 ,所以k 是正数；
③比与所选线段的长度单位无关
,求出时两条线段的长度单位要- 致
（2）比例的基本性质 :右 a c ,贝U ad=bc ;
若 ad=bc,贝U
a c 卡a 或_
b
b d
b
d
c
d
※合比性质:如果a
c 那么 a b c
d ; b d ，
b d
※等比性质：如果-
c
m , , (b d
n 0),
那么
a c
m a b d
n
b d
n b
注意：若没有“ b+d+…+n 丰0”这个条件，需分类讨论 二.平行线分线段成比例
※平行线分线段成比例定理 ：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
AB
如图 1, l i // I 2// I 3，贝U
- DE A /
7 A L B /
\E L
图1
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例 定理推论：
① 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例
② 平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三 边对应成比例 三.黄金分割
AC BC
AC 和BC,如果AC -BC ,那么称线段AB 被点C 黄金分 AB AC
,AC 与AB 的比叫做黄金.比，…一条线段有两个黄金分割BC
EF
如图，点C 把线段AB 分成两条线段 割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点 点.AC : AB
—5―1 0.618:1 ; BC
四•相似多边形
一般地，形状相同的图形称为相似图形•
1. 概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形..... 相似多边形对应边的比叫做相似比•
2. 性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方•
（3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可）
五•三角形的相似（“S”不需分类讨论，“相似”需分类讨论）
1.探索三角形相似的条件※相似三角形的判定方法：
一般三角形直角三角形
基本定理：平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形与原三角形相似.
①两角对应相等；
②两边对应成比例，且夹角相等；
③三边对应成比例.①一个锐角对应相等；
②两条边对应成比例；
a. 两直角边对应成比例；
b. 斜边和一直角边对应成比例.
2. 相似三角形的判定定理的证明
3. 利用相似三角形测高（3种方法）
（1）利用太阳光线平行
运用方法1：可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高
（2 ）利用标杆
运用方法2 :观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度
（3 ）利用反射
2
运用方法3:光线的入射角等于反射角 . 4.相似三角形的性质
(1) 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形…….相似三角形对应边的比叫做相似…_ 比..
(2) 全等三角形是相似三角的特例 ，这时相似比等于1.注意：证两个相似三角形，与证两个 全等三角形一样，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 (3) 性质：
① 相似三角形对应角相等，对应边成比例；
② 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； ③ 相似三角形周长的比等于相似比； ④ 相似三角形面积的比等于相似比的平方 • 探5.图形的位似：
T
位似图形的概念：
如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点|,对应边互相平行或在一条直线上 ,
那么这样的两个图形叫做位似图形 ，这个点叫做位似中心•这时两个相似图形的相似比又叫
做它们的位似比•
T
位似图形的性质：
(1) 位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；
(2) 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比; (3) 位似图形中的对应线段平行(或在一条直线上) T 位似图形的画法： (1 )画出基本图形；
(2)选取位似中心;
(3)根据条件确定对应点，并描出对应点；
(4) 顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形
例题：如图，已知△ ABC 和点O.以0为位似中心，求作△ ABC 的位似图形，并把△ ABC 的边 长扩
大到原来的两倍•
T
位似变换与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k ,那么位似图形对应
点的坐标的比等于 k 或-k.
例如：点A(x,y)的对应点为A',则A '点的坐标可以这样确定
xA'=xA X k , yA'=yA X k 即 A' ( kx ，ky )或 xA'=xA X (-k) , yA '=yA X (-k) 即 A' (-kx ，-ky ) 例题：在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为
1
A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4), 画出它的一个以原点 0为位似中心，相似比为一的位似分别在位似中心同侧和异
注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似, 侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图
图形•
题：△ ABC三个顶点坐标分别为A（2,3）, B（2,1）, C（6,2）,以点0为位似中心，相似比为2, 将厶ABC放大，点A的对应点A'的坐标为_______________
总结：至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似•
（1）平移：
上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移
（2）轴对称：
关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标
互为相反数
（3）旋转：
绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数
（4）位似：
以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
相愀三角形判定的基本模塑
（1）“平彳己密型"（有 y 型和忖型图〉
⑵盒斜交型”」〈有“反A共甬型叫“反R共角共边型叫“蛭型多
⑶"垂直型化有”双垂直共角型叭山猱边垂直共甬其边型罠M三垂直型J。