山东省潍坊第四中学导数及其应用多选题试题含答案

山东省潍坊第四中学导数及其应用多选题试题含答案
一、导数及其应用多选题
1．函数ln ()x
f x x
=，则下列说法正确的是（ ）
A ．(2)(3)f f >
B ．ln π>
C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则2
12x x e <
D ．若25,x y x y =、均为正
数，则25x y < 【答案】BD 【分析】
求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．
由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设
25x
y
k ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5
x k y k =
=，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】
由ln (),0x f x x x
=
>得：21ln ()x
f x x -'=
令()0f x '=得，x e =
当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：
故，()f x x
=
在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，
x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，
A ．11
32ln 2
(2)ln 2,(3)ln 32
f f ===
66
111
13322
3232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，故A 错
B ．
e e π<，且()
f x 在(0,)e 单调递增
ln
f fπ
∴<<<∴>，故：B正确C．()
f x m
=有两个不相等的零点()()
1212
,x x f x f x m
∴==
不妨设12
0x e x
<<<
要证：2
12
x x e
<，即要证：
22
122
2
,()
e e
x x e e f x
x x
<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()
2
1
2
e
f x f
x
⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
即：()
2
2
2
e
f x f
x
⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
只需证：()
2
2
2
e
f x f
x
⎛⎫
-<
⎪
⎝⎭
……①
令
2
()(),()
e
g x f x f x e
x
⎛⎫
=->
⎪
⎝⎭
，则
22
11
()(ln1)
g x x
e x
'
⎛⎫
=--
⎪
⎝⎭
当x e
>时，
22
11
ln1,()0()
x g x g x
e x
'
>>∴>∴在(,)
e+∞单调递增
()
22
()0
x e g x g e
>∴>=，即：()
2
2
2
e
f x f
x
⎛⎫
->
⎪
⎝⎭
这与①矛盾，故C错
D．设25
x y k
==，且,x y均为正数，则25
ln ln
log,log
ln2ln5
k k
x k y k
====
25
2ln,5ln
ln2ln5
x k y k
∴==
1
1
5
2
ln2ln5
ln2,ln5
25
==且
10
10
11
11
53
22
2525
⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
⎪
>> ⎪
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
ln2ln525
025
25ln2ln5
x y
∴>>∴<∴<，故D正确．
故选：BD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()
f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两
个变量
12
,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．
2．已知(0,1)
x
∈，则下列正确的是（）
A．cos
2
x x
π
+<B．22x
x<C．sin
2
x
>D．
1
ln1
x
x
<-
【答案】ABC
【分析】
构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减，即可得sin 22
x x ππ
⎛⎫-<-
⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2y
x 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin
2
x
f x =，()2
24
x h x x =
+的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在
()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以02
2
x π
π
<
-<
，令()sin f x x x =-，
()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，所以()()00f x f <=，
即sin x x <，所以sin 22
x x ππ
⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正
确， 对于选项B ：
由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；
对于选项C ：要证2
2
sin 2
4
x
x x >
+ 令()sin 2x f x =，()2
2
4
x
h x x =+()()f x f x -=-，()sin
2
x
f x =是奇函数， ()()h x h x -=，()2
2
4
x h x x =
+是偶函数，
令222
4
144
x t x x ==-++ ，则y t =， 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以24
14
t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =单调递增，由符合函数的单调性可知()2
2
4
x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：
由图知当()0,1x ∈时2
2
sin 2
4
x
x x >
+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()22111
0x g x x x x
-'=-=<， 所以()1
ln 1x g x x
=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x
+
->，可得1
ln 1x x >-，故选项D 不正确.
故选：ABC 【点睛】
思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）
一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
3．函数()()3
2
0ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正
确的是（ ） A ．230b ac ->
B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减
C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点
D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=
【答案】ACD 【分析】
利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛
⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对称，可判断D 选项的正误. 【详解】
()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.
对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()2
3200ax bx c a ++=≠有两个不等的实
根，
则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；
对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间
()12,x x 上单调递增，B 选项错误；
对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.
所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，
此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：
由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内；
当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，
此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：
由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223b
x x a +=-
，123c x x a
=， ()()()()()()()()3232
f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤
-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦
()()()()()(322322
322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣
()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，
取3b
t a
=-
，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
32
222223333b b b b a b c d f
a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛
⎫
⎛⎫-
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对称， 1223b
x x a
+=-
，()()1223b f x f x f a ⎛⎫
∴+=- ⎪⎝⎭
，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.
4．已知函数()1
ln f x x x x
=-+
，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点
C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点
D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】
根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()12
1
()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】
由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()211
0g x x x
''=--<，
所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()1
10,12ln 202
g g '=>=-+
<，
所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x
=-+
， 当0x >时，()1ln f x x x x
=-+，可得 ()221
x x f x x -+-'=，
因为2
2131()024
x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；
又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=，
因为2
2
13
1()02
4
x x x -+-=---
<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1
ln f x x x x
=-+
在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-
，则 ()211
0x x x
ϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，
结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；
由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，
可得()()1222222221111
1ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即
()121
(
)f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 12
1x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
5．下列说法正确的是（ ） A ．函数()2
3sin 30,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-
∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值域为(
2 C ．函数()1
sin 2cos 2
f x x a x =
+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()2222sin 42cos tx t x x
f x x x
π⎛
⎫+++ ⎪⎝⎭=
+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】
化简函数解析式为()2
3cos 12f x x ⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3231
t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正
误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】
A 选项，
(
)2
22311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝
⎭， 又
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦可得：
[]cos 0,1x ∈，则当cos x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x x
f x x x x x
+∴=+=
⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x
++-⋅=
⋅
()(
)2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x
⎡⎤
++-⋅
⎣⎦=
⋅，
设sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则
21
sin cos 2
t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3,
444x πππ⎛⎫∴+
∈ ⎪⎝⎭，sin 4x π⎤⎛
⎫∴+∈⎥
⎪⎝
⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223
2
2132311
2
t t t t t g t t t ⎛⎫
--⨯ ⎪-
⎝⎭==--，(
t ∈，()()422301t g t t --'=<-
， ()g t ∴在区间(
上单调递减，(
)
()3
2
min 1
g t g
==
=-
所以，函数()f x 的值域为)
+∞，B 错； C 选项，
()1
sin 2cos 2
f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，
()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，
令sin t x =，(]
0,1t ∈，即2210t at --+≥，
1
2a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t
'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，
()11a g ∴≤=-
，C 对；
D
选项，(
)2
22cos 222cos tx x x x
f x x x
⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=
+
()()
2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x x
x x ++⋅+⋅+==+++， 所以，()()()()
22sin sin 2cos 2cos t x x
t x x f x t t x x x x --+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=， 所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD.
【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；
（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；
（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点；
（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
6．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()sin f x x =有3个不动点
B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点
C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数）
【答案】BCD
【分析】
根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可.
【详解】
令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，
因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，
所以()g x 在R 有且仅有一个零点，
即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；
0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，
所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；
()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，
显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；
因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，
x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2
()x m x e x x =+-， ()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，
()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，
∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->，
∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，
min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，
∴1a e ≤≤，D 正确，.
故选：BCD
【点睛】
方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
7．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ）
A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数
B ．()f x 存在唯一极小值点0x
C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点
D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点
【答案】ABD
【分析】
根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在
(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.
【详解】
由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin x f x e x ''=-，
(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，
()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，
又3423()0,()0,(0)20422
f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=>
(0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42
x ππ∈-
-，使0()=0f x '，即00cos x e x =-， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，
又()00f e ππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误. 故选：ABD.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
8．对于函数2ln ()x f x x =
，下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 在x =12e
B ．()f x 有两个不同的零点
C ．f f f <<
D ．若()2
1f x k x <-在()0,∞+上恒成立，则2
e k > 【答案】ACD
【分析】 求得函数的导数3
12ln ()-'=x f x x ，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判
定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >
()0f x >，可判定B 不正确；
由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x
+>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x
+=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】 由题意，函数2
ln ()x f x x =，可得312ln ()(0)x f x x x -'=>，
令()0f x '=，即
312ln 0x x -=，解得x =
当0x <<
()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；
当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，
所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e
=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，
因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，
当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，
综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；
由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，
由于ln ln 2ln ,242f f πππ
====，
则2ln ln 2ln ln 22444f f π
πππππ
-=-=-，
因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，
所以f f f <<，所以C 正确；
由()2
1f x k x <-
在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()3
2ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即
32ln 10x x --=，解得x = 所以当0x
<<
()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x
>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x
=
()g x 取得最大值，最大值为22e e g e =-=， 所以2
e k >，所以D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把
问题转化为函数的最值问题．。