2018届静安区高三二模数学Word版(附解析)

2018.4上海静安中考数学二模试卷及答案（word
版）
2018年4月上海静安初三数学二模考了哪些题目？数学网中考频道第一时间为大家整理2018.4上海静安中考数学二模试卷及答案，更多上海中考二模试卷及答案详见2018.4上海黄浦中考数学二模试卷及答案
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上海市静安区 2018 届高三一模数学试卷2018.01一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 计算lim(1 -n →∞nn +11 - i ) 的结果是2 2. 计算行列式x 23i +1 1 + iy 2的值是 （其中i 为虚数单位）3. 与双曲线- = 1有公共的渐近线，且经过点 A (-3, 2 3) 的双曲线方程是9 164. 从 5 名志愿者中选出 3 名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案有种（用数值作答）5. 已知函数 f (x ) = a ⋅ 2x + 3 - a （ a ∈ R ）的反函数为 y = f -1(x ) ，则函数 y = f -1(x ) 的图像经过的定点的坐标为6. 在(x - a )10 的展开式中， x 7 的系数是 15，则实数 a =7. 已知点 A (2,3) 到直线 ax + (a -1) y + 3 = 0 的距离不小于 3，则实数 a 的取值范围是8. 类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O 点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜坐标系 xOy 中，若OP = xe 1 + ye 2（其中e 1 、e 2 分别为斜坐标系的 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量， x , y ∈ R ），则点 P 的坐标为(x , y ) ，若在斜坐标系 xOy 中， ∠xOy = 60︒ ，点 M 的坐标为(1, 2) ，则点 M 到原点O 的距离为9. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为8，则该圆锥的侧面积等于3⎧(5 - a )x +1 x < 110. 已知函数 f (x ) = ⎨ x⎩ a取值范围为（ a > 0 ， a ≠ 1）是 R 上的增函数，则实数 a 的 x ≥ 111. 已知函数 f (x ) =| sin 2x - 3 cos x cos(3- x ) - 1| ，若将函数 y = f (x ) 的图像向左平移 2 2a 个单位（ 0 < a < ），所得图像关于 y 轴对称，则实数 a 的取值集合为12. 已知函数 f (x ) = ax 2 + 4x +1，若对任意 x ∈ R ，都有 f ( f (x )) ≥ 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知无穷等比数列{a } 的各项之和为 3，首项 a = 1 ，则该数列的公比为（）n212A. 1B.2C. - 1D.1或 23 33 3 314. 设全集U = R ， A = {x | y = log 3 (1 - x )}， B = {x || x -1 |< 1} ，则(C U A ) B = （）A. (0,1]B. (0,1)C. (1, 2)D. [1, 2)15. 两条相交直线l 、 m 都在平面内，且都不在平面内，若有甲： l 和 m 中至少有一条直线与相交，乙：平面与平面相交，则甲是乙的（）16. 取值范围为（）三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1 = 4 ，异面直线 BC 1 与 AA 1 所成角的大小为 3.（1） 求正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的体积； （2） 求直线 BC 1 与平面 AA 1C 1C 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）A.C. 充分非必要条件充要条件B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件若曲线| y |= x + 2 与C : x 2 + y 2= 1 恰有两个不同交点，则实数A. (-∞, -1] (1, +∞) 4 4B. (-∞, -1]C. (1, +∞)D. [-1,0) (1, +∞)18.在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，设向量m = (a,cos B) ，n = (b,cos A) ，且 m ∥ n ， m ≠n .（1）求证：A +B =；2（2）若x ⋅ sin A sin B = sin A + sin B ，试确定实数x 的取值范围.19.如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°（其中点P、Q 分别在边BC 、CD 上），设∠PAB =，tan=t.（1）当三点C 、P 、Q 不共线时，求直角∆CPQ 的周长；（2）设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域PAQC 的面积为S （平方百米），试求S 的最大值.3 = ⋅20. 如图，已知满足条件| z - 3i |=| - i | （其中i 为虚数单位）的复数 z 在复平面 xOy 对应 点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面 xOy 上的复数 z = x + yi （ x ∈ R ， y ∈ R ）对应的点为(x , y ) ，定直线 m 的方程为 x + 3y + 6 = 0 ，过 A (-1,0) 的一条动直线l 与直线 m 相交于N 点，与圆C 相交于 P 、Q 两点， M 是弦 PQ 中点.（1）若直线l 经过圆心C ，求证： l 与 m 垂直； （2）当| PQ |= 2 时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN ，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.321.已知数列{a } 的通项公式为a =n（n, a∈N *）.n n n +a（1）若a1 、a2 、a4 成等差数列，求a 的值；（2）是否存在k （k ≥ 10 且k ∈N *）与a ，使得a 、a 、a 成等比数列？若存在，求出k 的取值集合，若不存在，请说明理由；1 3 k（3）求证：数列{a n } 中的任意一项a n 总可以表示成数列{a n } 中的其它两项之积.7B 1AC7 [ , - =参考答案一. 填空题1. 02.-6i x 2 y 2 1 3. 4. 60 5. (3,0)6. - 129 16 4 7. (-∞,3] U 3+∞) 77 58. 9.4 210. [3,5)11. { , , , } 12 3 12 612. a ≥ 3二. 选择题 13. B14. D15. C16. A三. 解答题17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） A 1C 1B解：（1） ∠BBC 是异面直线 BC 与 AA 所成的角，所以∠BBC = ………2 分1 1 1 11 1 3因为 BB 1 = AA 1 = 4 ，所以B 1C 1 = 4 ，................4 分于是，三棱柱体积V = SH = S AA = 3 ⋅16 ⋅ 3⋅ 4 = 48………6 分∆ABC 1 4（2） 过 B 作 BD ⊥ AC ，D 为垂足，则 BD ⊥ 平面 AA 1C 1C ，∠B C 1D 是直线 BC 1 与平面 AA 1C 1C 所成的角， ............................................... 8 分BD = 6,B C 1 = 8 ，（ DC 1 = 2 ），所以直线 BC 与平面 AAC C 所成的角为arcsin 3 ………………14 分1 1 1 4( arctan 3 7 ， arccos 7)7 418．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）3 32 = = ) ∴ t 1 -∈= =解：（1） m = (a , cos B ), n = (b , cos A ), 且m // n ， ∴ a cos A - b cos B = 0 ………2 分又 a sin A = b sin B= 2R ∴sin A cos A = sin B cos B , 即sin 2 A = sin 2B又∆ABC 中0 < 2 A , 2B < 2∴ 2 A = 2B 或2 A + 2B = 即 A = B 或 A + B = ……5 分2若 A B ，则 a = b 且cos A = cos B ， m n ，m ≠ n∴ A + B = 2………………………………6 分 （2）由 x ⋅sin A sin B = sin A + sin B 可得 x = sin A + sin B =sin A + cos A………………8 分sin A sin B sin A c os A设sin A + cos A = t ，则t = 2 sin( A + ，34.................................................................. 10 分0 < A < 2 ∴ 4< A + 4 < 4∴1 < 2 sin( A + ) ≤4∴t 2 = 1+ 2 s in A c os A 2 - sin A ⋅ cos A =……………11 分22t21x ， t在t (1, 2] 上单调增 ∴ x = t = 2 ≥2 = 2t 2-1 t - 1t tt 2 -12t - 1 -t∴实数 x 的取值范围为[2 2, +∞) ............................................ 14 分19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）Q CDPAB解：（1）∠PAB =, tan = t ，所以 BP = t ， CP = 1- t ； 因为点C 、P 、Q 不共线，所以0 < t < 1 ， DQ = tan(45︒ -) = 1- t , CQ = 1- 1- t;PQ =1+ t 2 =;… ................... 5 分1+ t1+ t 1+ t直角△ CPQ 的周长= (1- t ) + (1- 1- t ) + 1+ t 1+ t 2 1+ t=2… ...................6 分 (2) S =1- t - 1 ⋅ 1- t2 2 1+ t ………………8 分=2 - 1 (t +1+ 2 ) ≤ 2 -………………12 分2 t +1212245CP 2 + CQ 2 2= ⋅ = - ⎩ ylCM Q P AOxNm当t +1 = 时，等号成立． ......................... 13 分探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为2 - 平方百米．……14 分 20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）解: (1) 由已知，圆心C (0,3) , k m= - 3, ................................ 2 分则 k l =3 - 0 = 30 + 1.故 k m ⋅ k l = -1 ，所以直线l 与m 垂直 ........................................ 4 分 （直线l 经过点（-1，0）和（0，3），所以方程为3x - y + 3 = 0 ） (2) 当直线l 与 x 轴垂直时,易知 x = -1符合题意; ....................................... 5 分当直线与 x 轴不垂直时,设直线l 的方程为 y = k (x + 1) ....................... 6 分由于 PQ = 2 ,所以 CM = 1....................... 7 分由 CM == 1 ,解得 k =4 .................................................. 9 分3故直线l 的方程为 x = -1或4x - 3y + 4 = 0 ......................................10 分(3)当l 与 x 轴垂直时,易得 M (-1,3) , N (-1,- 5) ,又 A (-1,0) ，则 AM 3= (0,3),AN = (0,- 5) ,故t AM AN5 ....................................... 11 分 3当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y = k (x + 1) ,代入圆的方程 x 2 + ( y - 3)2 = 4 得2222x + x - k 2 + 3k(1 + k )x + (2k - 6k )x + k - 6k + 5 = 0 .则 x M = 1 2 = 2 1 + k 2 ,y M = k (x M + 1) = 3k 2 + k 1 + k 2 ,即 M ( - k 2 + 3k 1 + k 23k 2+ k , 1 + k 2) ,………13 分 3k +1 3k 2 + k 3k +1⎧ y = k (x + 1), AM = (1+ k 2 , 1+ k 2 )= 1+ k 2（1, k ) .又由⎨x + 3y + 6 = 0, - 3k - 6 - 5k -5 -5k -5得 N (, ) ,则 AN = ( , )= (1, k ) . 1 + 3k 1 + 3k 1+ 3k 1+ 3k 1+ 3k2 23 - k + 3 k 2 + 1AM AN AM ⋅ AN = - AM l1 3 k 3 1 k -15k - 5 -5k (3k2 + k ) -5(1+ 3k )(1+ k 2 )故t = AM ⋅ AN =（ (1+ k 2 )(1+ + 3k ) (1 =） + k 2 )(1+ 3k ) (1+ 3k )(1+ k 2 )= -5 . 综上, t 的值与直线l 的斜率无关,且t = ⋅= -5 . ……16 分（3） 另解:连结CA 并延长交直线m 于点 B ,连结CM , CN , 由(1)知 AC ⊥ m , 又CM ⊥ l ,所以四点 M , C , N , B 都在以CN 为直径的圆上,由相交弦定理得t =21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 7 分）124解：(1) a 1 =1 + a ， a2 =2 + a ， a 4 =4 + a ，∵ a 1 ， a 2 ， a 4 成等差数列，∴ a 1 + a 4 = 2a 2 ， ............................... 2 分 化简得 a 2 = 2a ，∵ a ∈N *，∴ a = 2 ．................................................. 4 分(2) 假设存在这样的k ， a 满足条件， a 1 =1 1 + a ， a 3 = 3 3 + a， a k = k ， k + a∵ a ， a ， a 成等比数列，∴ (a )2 = a a ， ................................... 6 分去分母,展开得9a 2 + 9ka + 9a = ka 2 + 6ka ,化简得(3k + 9)a = (k - 9)a 2 , ∵ a ∈N *，∴ (k - 9)a = 3k + 9,(a - 3)k = 9 + 9a ，当 k = 10 时, a = 39 ;当k = 11 时, a = 21；等等． .................................8 分 一般的,设t = k - 9 ∈ N *, l = a - 3∈ N * ,则 a = 3 +36 , k = 9 +36 . ……9 分tl∵ a ∈N *，∴ l , t 需为 36 的公约数, k 的取值集合为⎧k k = 9 + 36 , l = 1, 2, 3, 4, 6, 9,12,18, 36⎫⎨ ⎬⎩ ⎭(或者列举{10，11，12，13，15，18，21，27，45} ) ........................................... 11 分(3) 即证存在k ， t ≠ n ，使得 a n = a k a t……………………12 分即证：⇔k - n = k + a ⇔ k - n =k + an (k + a ) ， t = …………15 分 nk ktn t k - n令 k = n + 1，则t = n (k + a ) = n (n + 1 + a ) ∴对任意n ， a n = a n +1a n (n +1+a ) , 即数列中的任意一项 a n 总可以表示成数列中的其它两项之积．………18 分 n 2n 2n 2n + a注:直接构造出 a k 与 a t 亦可，例如：n + a =2n + 2a = 2n + a ⋅(2n ， + a ) + a⋅ AN = - AC ⋅ AB = -5............................ 16 分 n = k ⋅ t ⇔ 1 + a = (1 + a )(1 + a ) ⇔1 = 1 + 1 + an + a k + a t + a n k tn k t kt所以 a n =a2n ⋅a2n+a .。

静安区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P 的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．2． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜03． 已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ）A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥βC ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥nD ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β4． 若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ）A ．（0，10）B ．（，10）C ．（，+∞）D ．（0，）∪（10，+∞）5． 已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m ∥β，应选择下面四个选项中的（ ）A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤6． 若函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x ，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g （x ）=log a （x+k）的是（）A ．B ．C ．D ．7． 命题：“∀x ＞0，都有x 2﹣x ≥0”的否定是（ ）A ．∀x ≤0，都有x 2﹣x ＞0B ．∀x ＞0，都有x 2﹣x ≤0C ．∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0D ．∃x ≤0，使得x 2﹣x ＞08． 若为等差数列，为其前项和，若，，，则成立的最大自{}n a n S 10a >0d <48S S =0n S >然数为（）A ．11B ．12C ．13D ．149． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则=（）A ．3B ．4C ．D ．1310．若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ）A ．﹣2B ．±2C ．0D ．2班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________11．已知x ＞0，y ＞0， +=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（ ）A ．（﹣∞，]B ．（﹣∞，]C ．（﹣∞，]D ．（﹣∞，]12．常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x ）{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）A ．h （）B ．h （）C ．h （）D ．h （）二、填空题13．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ．14．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．15．不等式恒成立，则实数的值是__________.()2110ax a x +++≥16．i 是虚数单位，化简： = ．17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数的单调递减区间为__________.()21ln 2f x x x =-18．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；②若点P 到点A 的距离为，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线；⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝．其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三、解答题19．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P （x ，y ）变换为点P （2x+y ，3x ）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1；（Ⅱ）求曲线4x+y ﹣1=0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程．　20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程是1C 2=ρ2C 是参数）．θππθθ],2,6[,0(21sin 2,1∈>⎪⎩⎪⎨⎧+==t t y x （Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；1C 2C （Ⅱ）求的取值范围，使得，没有公共点．t 1C 2C 21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点, 极轴为轴正半轴，建立直角坐标系．C 4sin()3πρθ=-x xOy （1）求曲线的直角坐标方程；C （2）若点在曲线上，点的直角坐标是（其中P C Q (cos ,sin )ϕϕ)ϕ∈R 22．已知函数f （x ）=lnx ﹣a （1﹣），a ∈R ．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）的最小值为0．（i ）求实数a 的值；（ii ）已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=f （a n ）+2，记[x]表示不大于x 的最大整数，求证：n ＞1时[a n ]=2．23．已知直线l：x﹣y+9=0，椭圆E：+=1，（1）过点M（，）且被M点平分的弦所在直线的方程；（2）P是椭圆E上的一点，F1、F2是椭圆E的两个焦点，当P在何位置时，∠F1PF2最大，并说明理由；（3）求与椭圆E有公共焦点，与直线l有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．24．已知一个几何体的三视图如图所示．（Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．静安区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．　2．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x﹣1|无解，∵﹣|x﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x﹣1|≤1，∴﹣m≤0或﹣m＞1，解得m≥0或m＞﹣1故选：A．3．【答案】C【解析】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，如墙角；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故C正确；对于D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选C．【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．4．【答案】D【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．5．【答案】D【解析】解：当m⊂α，α∥β时，根据线面平行的定义，m与β没有公共点，有m∥β，其他条件无法推出m∥β，故选D【点评】本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．　6．【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g （x ）=log a （x+k ）=log a （x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f （﹣x ）﹣f （x ）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．　7． 【答案】C【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0，故选：C ．【点评】本题主要考查含有量词的命题 的否定，比较基础．　8． 【答案】A 【解析】考点：得出数列的性质及前项和．【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“，”判断前项和的符号问题是解答的关键．10a >0d <9． 【答案】D【解析】解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，=4，∴S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8也成等比数列，且S 8=4S 4，∴（S 8﹣S 4）2=S 4×（S 12﹣S 8），即9S 42=S 4×（S 12﹣4S 4），解得=13．故选：D ．【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．　10．【答案】C【解析】解：∵复数（2+ai ）2=4﹣a 2+4ai 是实数，∴4a=0，解得a=0．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．11．【答案】D【解析】解：x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，所以（x+y）（+）=10+≥10=16，当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；故m的取值范围是（﹣]；故选D．12．【答案】B【解析】解：（h（x））′=x x[x′lnx+x（lnx）′]=x x（lnx+1），令h（x）′＞0，解得：x＞，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜，∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴h（）最小，故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．二、填空题13．【答案】　1　．【解析】解：f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（1）=f（5）=1，f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=1．故答案为：1．14．【答案】5【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5故答案为：5．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．a15．【答案】1试题分析：因为不等式恒成立，所以当时，不等式可化为，不符合题意；()2110ax a x +++≥0a =10x +≥当时，应满足，即，解得.10a ≠2(1)40a a a >⎧⎨∆=+-≤⎩20(1)0a a >⎧⎨-≤⎩1a =考点：不等式的恒成立问题.16．【答案】　﹣1+2i ．【解析】解： =故答案为：﹣1+2i ．　17．【答案】()0,1【解析】18．【答案】　①②④　【解析】解：对于①，∵BD 1⊥面AB 1C ，∴动点P 的轨迹所在曲线是直线B 1C ，①正确；对于②，满足到点A 的距离为的点集是球，∴点P 应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；对于③，满足条件∠MAP=∠MAC 1 的点P 应为以AM 为轴，以AC 1 为母线的圆锥，平面BB 1C 1C 是一个与轴AM 平行的平面，又点P 在BB 1C 1C 所在的平面上，故P 点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；对于④，P 到直线C 1D 1 的距离，即到点C 1的距离与到直线BC 的距离比为2：1，∴动点P 的轨迹所在曲线是以C 1 为焦点，以直线BC 为准线的双曲线，④正确；对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE ⊥BC ，EF ⊥AD ，PG ⊥CC 1，连接PF ，设点P 坐标为（x ，y ，0），由|PF|=|PG|，得，即x 2﹣y 2=1，∴P 点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为P ′（x ′，y ′），则即=，∴M=．又det （M ）=﹣3，∴M ﹣1=；（Ⅱ）设点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为A ′（x ′，y ′），则=M ﹣1=，即，∴代入4x+y ﹣1=0，得，即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．　20．【答案】【解析】 【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程是，1C 222=+y x 曲线的普通方程是…………5分2C )21221(1+≤≤+=t y t x（Ⅱ）对于曲线 ，令，则有．1:C 222=+y x 1x =1y =±故当且仅当时，，没有公共点，001112-122t t t t >>⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+<⎪⎪⎩⎩或1C 2C 解得．……10分12t >21．【答案】【解析】（1）∵，4sin()3πρθ=- ∴，4(sin cos cos sin )33ππρθθ=- ∴，22sincos ρρθθ=-∴曲线的直角坐标方程为．C 2220x yy ++-= （2）曲线可化为，C 22((1)4x y ++-=∴曲线是圆心，半径为的圆，C 2∵点的直角坐标是，Q (cos ,sin )ϕϕ ∴点在圆：，Q O 221x y +=∴，即的最大值为．125PQ OC ≤++=PQ 522．【答案】【解析】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f ′（x ）=﹣=．当a ≤0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在区间（0，+∞）内单调递增；当a ＞0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＞a ；由f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜a ．所以f （x ）的单调递增区间为（a ，+∞），单调递减区间为（0，a ）．综上述：a ≤0时，f （x ）的单调递增区间是（0，+∞）；a ＞0时，f （x ）的单调递减区间是（0，a ），单调递增区间是（a ，+∞）．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时，f （x ）无最小值，不合题意；当a ＞0时，[f （x ）]min =f （a ）=1﹣a+lna=0，令g （x）=1﹣x+lnx （x ＞0），则g ′（x ）=﹣1+=，由g ′（x ）＞0，解得0＜x ＜1；由g ′（x ）＜0，解得x ＞1．所以g （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．故[g （x ）]max =g （1）=0，即当且仅当x=1时，g （x ）=0．因此，a=1．（ⅱ）因为f （x ）=lnx ﹣1+，所以a n+1=f （a n ）+2=1++lna n ．由a 1=1得a 2=2于是a 3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a 3＜．猜想当n ≥3，n ∈N 时，2＜a n ＜．下面用数学归纳法进行证明．①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜a k＜成立．则当n=k+1时，a k+1=1++lna k，由（Ⅰ）知函数h（x）=f（x）+2=1++lnx在区间（2，）单调递增，所以h（2）＜h（a k）＜h（），又因为h（2）=1++ln2＞2，h（）=1++ln＜1++1＜．故2＜a k+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立．根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜a n＜成立．综上可得，n＞1时[a n]=2．【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．23．【答案】【解析】解：（1）设以点M（，）为中点的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=1，y1+y2=1，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆E：+=1，得，∴k AB==﹣=﹣，∴直线AB的方程为y﹣=﹣（x﹣），即2x+8y﹣5=0．（2）设|PF1|=r1，|PF2|=r1，则cos∠F1PF2==﹣1=﹣1=﹣1，又r1r2≤（）2=a2（当且仅当r1=r2时取等号）∴当r1=r2=a，即P（0，）时，cos∠F1PF2最小，又∠F1PF2∈（0，π），∴当P为短轴端点时，∠F1PF2最大．（3）∵=12，=3，∴=9．则由题意，设所求的椭圆方程为+=1（a2＞9），将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y，得（2a2﹣9）x2+18a2x+90a2﹣a4=0，依题意△=（18a2）2﹣4（2a2﹣9）（90a2﹣a4）≥0，化简得（a2﹣45）（a2﹣9）≥0，∵a2﹣9＞0，∴a2≥45，故所求的椭圆方程为=1．【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P在何位置时，∠F1PF2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧=×2π×2×2=4π；S圆柱侧=2π×2×4=16π；S圆柱底=π×22=4π．∴几何体的表面积S=20π+4π；（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：则AB===2，∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．。

静安区2017学年第二学期教学质量检测 高三数学解答及评分标准 2018.5一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．{0，2，4}2．3． {}1x x ≥- 4．125． 46．（-4，-3，2） 7．5,12x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8．24x y =- 9． 50 10．94 11．112．[二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13． D ． 14．A 15．C 16．B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分)解（1）2(8)=1000(cos0+2)9908010m C =-=； 4分 （2）当cos((8))12t π⋅-=-时，C 达到最小值，得(8)(2+1),2t k k Z ππ⋅-=∈，8分又[8,16]t ∈，解得10t =或14.所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10. 14分 18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)解：（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，1分由已知有212,2a a b ==， 2分 所以椭圆方程为：221369x y +=， 3分圆心(,2)k A k - 5分 所以，△12k A F F的面积121211222k K A F F A S F F y =⋅=⨯= 6分 （2）当0k ≥时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：22601202115120k k ++--=+>，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；10分当0k <时，22(6)01202115120k k -+---=->，可知椭圆顶点（-6，0）在圆外； 所以，不论k 取何值，圆k A 都不可能包围椭圆Γ．14分 （用椭圆另外两个顶点（短轴端点））在圆上进行判断也可） 19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 1分则(1,0,0)A ,1(0,,0)2B ,(0,0,2)P ,(1,0,0)C -,1(,0,1)2M -． 所以(1,0,2)AP =-，11(,,1)22BM =--，52AP BM ⋅=||5AP =，6||BM =． 3分 则cos ,6||||5AP BM AP BM AP BM ⋅<>===． 故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………6分（2）1(1,,0)2AB =-，11(,,1)22BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，C第19题图则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10211022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令2x =，得4y =，3z =． 得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =． 9分又平面PAC 的一个法向量为1(0,,0)2OB =， ……………10分所以n 2OB ⋅=，||29n =，1||2OB =．则cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 解：（1）1111111111221(1)111n n n a a a n n n n n n n n n --+=+++=++-++++++ ＝112122()n n a a n n--+=+ 2分 即12nn b b -= 3分 又 111122b a a =+=+，由12a ≠-，则10b ≠ 所以{}n b 是以112b a =+为首项，2为公比的等比数列． 4分 （2）11()22n n b a -=+⋅，所以111221n n a a n -⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭ 6分 若{}n a 是单调递增数列，则对于*n N ∈，10n n a a +->恒成立 7分111111222221n n n n a a a a n n -+⎛⎫⎛⎫-=+⋅--+⋅+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭＝11112212n a n n -⎛⎫+⋅+- ⎪++⎝⎭＝11122(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+ ⎪++⎝⎭ 8分 由 111202(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+> ⎪++⎝⎭，得 11122(1)(2)n a n n -+>-++对于*n N ∈恒成立 由于 112(1)(2)n n n --++单调递增，且1102(1)(2)n n n --<++，11lim[]02(1)(2)n n n n -→∞-=++， 所以102a +≥，又12a ≠-，则12a >-． 10分 （3）因为数列{}nb 的各项皆为正数，所以102a +>，则12a >-．112211log [()2]1log ()22n n c a n a -=+=-+-+， 13分若数列{}n T 是单调递减数列，则21T T <，即2221112log ()1log (),log ()1222a a a -+-<-++>-，即1122a +>，所以0a >．又a Z ∈，所以对所有正整数a ，都能使数列{}n T 是单调递减数列． 16分 21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)解：（1）由()0f x ≥得271x x -≥-，………………………1分解不等式得8|63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ………………………………4分 （利用图像求解也可）（2）由01xx>-解得01x <<． 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥，当01x <<时，该不等式即为(2)7a x -+≥； …………………………5分 当=2a 时，符合题设条件；……………………6分 下面讨论2a ≠的情形，当2a >时，符合题设要求；……………………7分当2a <时，72x a ≤-，由题意得712a≥-，解得25a >≥-； 综上讨论，得实数a 的取值范围为{}|5a a ≥- ………………………10分 （3）由21()=21(1)1x g x x a x a x +=-++--，…………………………12分代入()()f x g x ≤得|27|2|1|1x x a ---+≤，令()|27|2|1|1h x x x =---+，则6,17()410,1274,2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 74()()(1)62h h x h -=≤≤=，∴min ()4h x =-…………………………15分若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，则min (),4h x a a ≤≥-即．…………18分。

2018届上海市高三年级检测试卷（二模模拟）数学（理）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ=2.若bi ia-=-11，其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则bi a += 3.现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为4.抛物线22y x =的焦点为F ，点00(,)M x y 在此抛物线上，且52MF =，则0x =______5.某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为6.平行四边形ABCD 中，AB =（1，0），AC =（2，2），则AD BD ⋅ 等于7.已知关于x 的二项式n xa x )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为8.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒，则b =9.用半径为210cm ，面积为π2100cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是10.已知椭圆12222=+by a x （0>>b a1-，短轴长为椭圆方程为 11.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++若“对于任意[)+∞∈,0x ，()1f x a <+”是假ss ，则a 的取值范围为12.已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343a =q ，数列{}n a 的前2018项的和为0，则q 的值为 13.][x 表示不超过x 的最大整数，若函数a xx x f -=][)(，当0>x 时，)(x f 有且仅有3个零点，则a 的取值范围为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅= ．若PQ PM PN =+ ，则PQ的最小值为二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 点是A ．A B.BC ．C 16.“lim,lim n n n n a A b B →∞→∞==”是“lim nn na b →∞存在”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充分条件.D.既不充分也不必要条件. 17.已知函数()sin 2x f x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列ss ，其中真ss 的个数是 ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称； ④函数()()y f x g x =⋅A.1B.2C.3D.418.如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC 和棱1DD 上的动点（包括端点），则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是A 此四面体体积既存在最大值，也存在最小值；B 此四面体的体积为定值；C 此四面体体积只存在最小值；D 此四面体体积只存在最大值。

上海市静安区达标名校2018年高考二月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a ，b ，b =(1)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2B ．1C ．12D ．02．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]3．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C的对边，cos sin a C A b c +=+，则A =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π5．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个6．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为m =（ ） A ．1B ．2CD ．37．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3-8．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④10．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23 B ．33C ．323D ．23311．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人B．物理化学等级都是B的学生至少有5人C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人12．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )A．1 2B．35C．710D．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、填空题静安区 2019-2020 学年度第一学期高中教学质量检测 高三数学试卷（模拟试卷）1. 若复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 _______．【答案】4【解析】∵，且复数 是纯虚数∴，即故答案为 42. 若 为 上的奇函数，当 时，【答案】-2【解析】∵ 为 上的奇函数∴，∵当 时，，则_______．∴∴故答案为 3. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上，则该正三棱锥的体积是_______；【答案】【解析】试题分析：正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该 球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为 1，所以底面三角形的边长为 a，， ，该正三棱锥的体积：．考点：正三棱锥的体积．4. 在菱形中，，【答案】1 【解析】如图所示：， 为 的中点，则的值是_______；在菱形中，，∴ 故答案为 1 5. 用半径 1 米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为________立方米． 【答案】【解析】半径为 1 米的半圆的周长为为1设圆锥的底面半径为 ，则，即，则制作成圆锥的底面周长为 ，母线长∴圆锥的高为∴圆锥的体积 故答案为 6. 已知 为锐角，且 【答案】 【解析】∵ ∴ ∵，则 ________ ．∴∴故答案为点睛：三角函数求值中，要注意“角”的变换，察出“已知角”与“待求角”之间的关系， 再选择应用两角和与差的正弦余弦公式变形．7. 设函数，若存在同时满足以下条件：①对任意的 ，都有成立；②【答案】，则 的取值范围是_________．∴∴或故答案为点睛：本题主要考查三角函数的性质，考查了转化思想、恒成立问题与存在问题、逻辑推理能力与计算能力，本题的解答中正确转化不等式恒成立是解答本题的关键8. 若不等式的解集是区间的子集，则实数 的取值范围为________．【答案】【解析】由题意可得：不等式等价于设∵不等式的解集是区间 的子集∴ ∴ 故答案为 9. 已知且 ， )，，若对任意实数 均有，则 的最小值为________．【答案】4【解析】∵且 ， )，，且对任意实数 均有∴对任意的实数 均成立∴，即∵ ∴ ，则，即 故答案为 4，当且仅当 ， 取等号......................10. 如图，正方形的边长为 2， 为 的中点，射线 从 出发，绕着点 顺时针方向旋转至 ，在旋转的过程中，记为， 所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数 有以下三个结论：①；② 对任意，都有；③ 对任意，且，都有；其中所有正确结论的序号是_______；【答案】①②【解析】设 交正方形于点 ，如图所示：①当 时，∵∴,故①正确②∵根据题意可知，当∴表示正方形∴时，∵，且表示射线 未经过正方形的面积，∴成立，故正②确③不妨设∵则由题意可知，从 到 ，阴影部分面积不断扩大，即有∴∵即∴，故③错误故答案为①② 二、选择题11. “抛物线的准线方程为 ”是“抛物线重合”的（ ）的焦点与双曲线的焦点A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】∵抛物线的标准方程为，其准线方程为∴∵双曲线的∴焦点为 ∵抛物线即为∴抛物线的焦点为 ，则∴∴“抛物线的准线方程为 ”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的充分不必要条件 故选 A 12. 已知等比数列 前 项和为 ，则下列一定成立的是（ ）A. 若 ，则； B. 若 ，则；C. 若 ，则； D. 若 ，则．【答案】C【解析】设等比数列 的公比为 ，且若，则 ，所以，故 正确， 不正确；若，则可能大于 0，也可能小于 0，因此 ， 不正确．故选 C 13. 某班班会准备从含甲、乙的 6 名学生中选取 4 人发言，要求甲、乙两人至少有一人 参加，那么不同的发言顺序有（ ）A. 336 种； B. 320 种； C. 192 种； D. 144 种.【答案】A 【解析】根据题意，分 2 种情况讨论， 若只有甲乙其中一人参加,有种情况；若甲乙两人都参加,有种情况，则不同的发言顺序种数 192+144=336 种， 故选：A.14. 已知椭圆 抛物线 焦点均在 轴上， 的中心和 顶点均为原点 ，从每条 曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则 的左焦点到 的准线之间的距离为 （）A. ； B. 【答案】B； C. 1； D. 2．【解析】∵由表可知，抛物线 焦点在 轴的正半轴，设抛物线,∴将代入 ，代入可得,即∴抛物线 的标准方程为，则焦点坐标为 ,准线方程为,,则有设椭圆,把点代入得,，即∴ 的标准方程为;∵ ∴左焦点∴ 的左焦点到 的准线之间的距离故选 B 点睛：本题考查椭圆与抛物线的标准方程及简单几何性质，考查待定系数法的应用及学生的 计算能力，属于中档题．15. 对于集合 ，定义了一种运算“ ”，使得集合 中的元素间满足条件：如果存在元素 ，使得对任意 ，都有，则称元素 是集合 对运算“ ”的单位元素．例如： ，运算“ ”为普通乘法；存在 ，使得对任意，都有，所以元素 是集合 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“ ”：① ，运算“ ”为普通减法；②{表示 阶矩阵，}，运算“ ”为矩阵加法；③（其中 是任意非空集合），运算“ ”为求两个集合的交集．其中对运算“ ”有单位元素的集合序号为（ ） A. ①②； B. ①③； C. ①②③； D. ②③． 【答案】D 【解析】对于①，若 ，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单 位元素；对于②，表示 阶矩阵，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为 0 的矩阵；③（其中 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集，其单位元素为集合 ．故选 D三、解答题 16. 将边长为 的正方形（及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为 ，其中 与 在平面的同侧.(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线 与 所成的角的大小.【答案】(1) (2) .【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高 ，底面半径 ，，再由三角形面积公式计算后即得.（2）设过点 的母线与下底面交于点 ，根据，知或其补角为直线 与所成的角，再结合题设条件确定，．得出试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高 ，底面半径 ．由 的长为 ，可知．即可．，．（2）设过点 的母线与下底面交于点 ，则，所以或其补角为直线 与 所成的角．由 长为 ，可知，又 从而 因为，所以 为等边三角形，得 平面 ，所以， ． ．在中，因为，，，所以，从而直线 与 所成的角的大小为 ．【考点】几何体的体积、空间角 【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、 直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的 角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选 择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运 算能力等.视频17. 设双曲线 ：，为其左右两个焦点．(1)设 为坐标原点， 为双曲线 右支上任意一点，求的取值范围；(2)若动点 与双曲线 的两个焦点 求动点 的轨迹方程．的距离之和为定值，且的最小值为 ，【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）设， ，左焦点，由利用二次函数的性质求出对称轴，求出的取值范围；（2）根据题设得 点轨迹为椭圆，利用，本不等式求解椭圆方程即可.试题解析：（1）设，，左焦点，，结合余弦定理以及基（）对称轴 ∴（2）由椭圆定义得： 点轨迹为椭圆，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立∴，则∴，∴动点 的轨迹方程为18. 如图，在海岸线 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为．边界的中间部分为长 千米的直线段 ，且．游乐场的后一部分边界是以 为圆心的一段圆弧 ．（1）求曲线段的函数表达式；（2）曲线段上的入口 距海岸线 最近距离为 千米，现准备从入口 修一条笔直的景观路到 ，求景观路 长；（3）如图，在扇形 区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线 上，一边在半径 上，另外一个顶点 在圆弧 上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时 的值．【答案】（1）（2）景观路 长为 千米 (3)【解析】试题分析：（1）由题意可得，代入点 ，即可求出解析式．本题考察的三角函数求值，令，即可求出此时的横坐标，从而根据两点间的距离即可求出景观路 的长度．作图求平行四边形的面积，再根据，即可求出最值． 试题解析：1）由已知条件，得 又∵又∵当时，有∴ 曲线段 的解析式为．（2）由得又∴ 景观路 长为 千米 （3）如图，作轴于 点，在在中，…6 分 中，∴当时，即时：平行四边形面积最大值为考点：实际问题中建立三角函数模型19. 设集合存在正实数 ，使得定义域内任意 都有．(1) 若，试判断 是否为 中的元素，并说明理由；(2) 若，且，求 的取值范围；(3) 若（ ），且，求 的最小值．【答案】（1）（2） （3）【解析】试题分析：（1）利用，判断出；（2）由，通过判别式小于 0，求出 的取值范围；（3）由题意得，推出，即对任意都成立，然后分离变量，通过当时，当时及当时，分别求解最小值即可.试题解析：（1）∵，∴.（2）由∴，故.（3）由,即：∴对任意都成立∴当时，；当时，；当时，.综上：20. 设数列 满足：① ；②所有项；③．设集合，将集合 中的元素的最大值记为 ．换句话说， 是数列 中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列 为数列 的伴随数列．例如，数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3．（1）若数列 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3，请写出数列 ；（2）设，求数列 的伴随数列 的前 100 之和；（3）若数列 的前 项和 前 项和 ．（其中 常数），试求数列 的伴随数列【答案】（1）1,4,7（2） 见解析（3）【解析】试题分析：（1）根据伴随数列的定义求出数列 ；（2）根据伴随数列的定义得：，由对数的运算对 分类讨论求出伴随数列 的前 100 项以及它们的和；（3）由题意和 与 的关系式求出 ，代入得，并求出伴随数列 的各项，再对 分类讨论，分别求出伴随数列 的前 项和 ．试题解析：（1）1,4,7．（2）由，得∴当时，当时，当时，当时，当时，∴（3）∵∴当 时，∴由得：∵使得成立的 的最大值为 ，∴当时：当时：当时：∴点睛：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻 找规律是难点，是难题．。

静安区2018学年第二学期期中教学质量检测高三数学试卷2019.05一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．不等式0121762<++x x 的解集是_____________．答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛--34,232．已知复数i 2i1i2-+=z （其中i 是虚数单位），则=||z ________． 答案：23．已知点A 1,−2,−7 ，B (3,10,9)，C 为线段AB 的中点，则向量CB 的坐标为________． 答案：(1,6,8)4．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤--≥-+,20,01,02y y x y x 则目标函数y x z +-=2的最大值为______．答案：25．若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为4，则该圆柱的体积为________． 答案：2π6．已知514tan =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则=αtan ___________． 答案：237．已知双曲线C 与椭圆131222=+y x 的焦点相同，且双曲线C 的一条渐近线方程为x y 25=，则双曲线C 的方程为___________． 答案：15422=-y x8．函数y =sinx +cosx − sinx −cosx 的值域是____________． 答案：[−2, 2]9．已知甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个（两盒中每个球除颜色外都相同）．从两个盒子中各取1个球，则取出的2个球颜色不同的概率是_____（结果用最简分数表示）． 答案：97 10．若等比数列}{n a （*N ∈n ）满足3031=+a a ，1042=+a a ，则n a a a ⋅⋅⋅ 21的最大值为_______． 答案：729（36）11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c .已知a ，b ，c 依次成等比数列，且21cos )cos(=--B C A ，延长边BC 到D ，若BD =4，则△ACD 面积的最大值为___________． 答案： 312．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21sin )(x a x f ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+201920172019220191)0(f f f f 1010)1(20192018=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+f f ，则实数=a ____________． 答案：21二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民．在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（）（A ）总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007．（B ）总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007．（C ）总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007． （D ）总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是2007．答案：B14．若a ，b 均为单位向量，则“|2||2|b a b a+=-”是“b a ⊥”的（）（A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件． （C ）充分必要条件．（D ）既不充分又不必要条件． 答案：C15．函数c x b x x f ++=cos sin )(2的最小正周期（）（A ）与b 有关，且与c 有关．（B ）与b 有关，但与c 无关． （C ）与b 无关，且与c 无关．（D ）与b 无关，但与c 有关． 答案：B16．设)(x f 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有)()()(y f x f y x f =+，若211=a ，)(n f a n =（*N ∈n ），数列}{n a 的前n 项和n S 组成数列 S n ，则有（）（A ）数列 S n 递增，最大值为1．（B ）数列 S n 递减，最小值为12．（C ）数列 S n 递增，最小值为12．（D ）数列 S n 递减，最大值为1．答案：C三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB ⊥AD ，BC BA AD m ===12，VA ⊥平面ABCD ．（1）求证：CD ⊥平面VAC ； （2）若VA m =2，求CV 与平面VAD 所成角的大小．17. （1）法1：连结ACAB BC ABC CAB ACB =∠=︒∴∠=∠=︒，9045取AD 中点G ，连CG ，因为BC ∥AD ，所以四边形ABCG 为正方形． 所以CG GD CGD o =∠=，90∴∠=DCG o 45∴∠=DCA o 90……………………（4分）所以CD ⊥CA ，又VA ⊥平面ABCD ，所以CD ⊥VA ， CD ⊥平面VA C ………………（6分）法2：用勾股定理逆定理证明∴∠=DCA o 90或者以A 为原点，射线AB ，AD ，AV 所在直线为x,y,z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，DC ∙CA =0. （2）法1：连VG由CG AD VA CG CG VAD ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥面∴∠CVG 是CV 与平面VAD 所成的角………………（11分）VC VA AB BC m CG m CVG o=++==∴∠=222230，∴CV 与平面VAD 所成角为30°………………（14分）法2：以A 为原点，射线AB ，AD ，AV 所在直线为x,y,z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，则平面VAD 法向量AB =(m ,0,0)，又VC =(m ,m ,− 2m )，设向量AB 与VC 夹角为θ，则cos θ=VC ∙AB 2m∙m=12，θ=π3，CV 与平面VAD 所成的角为π6。

2018年四区(杨浦、静安、青浦、宝山)联合高考模拟第二学期高三年级教学质量检测数学试卷（满分150分，答题时间120分钟） 2018.4考生注意：1． 本试卷包括试题卷和答题纸两部分．试题卷上题号后注明[文科]的试题，表示文科生做，注明[理科]的试题表示理科生做，未注明的试题所有考生都要做．答题纸另页，正反面． 2． 在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组21320x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为 .2．函数sin cos y x x = .3．已知=U R ，集合23|02x M x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则R C M = . 4．若sin(2)cos(2)y x x αα=+++为奇函数，则最小正数α的值为 .5．若11{2,1,0}12x∈--，则x = . 6．[文科] 若α是方程2x 4x 50-+=在复数范围内的根，则||α= .[理科]设集合{}C x x x A ∈=-=,01|4，z 23i =-，若A x ∈，则z x -的最大值是 .7. [文科]非负实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-+≤-+03042y x y x ，则3x y +的最大值为 .[理科]在极坐标系中，圆θθρsin 3cos 4+＝的半径长是 .8．[文科]有8本互不相同的书，其中数学书3本、外文书2本、其他书3本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书排在一起，外文书也排在一起的概率是 .[理科] 有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是 分.9．程序框图如图所示，其输出的结果是 . 10．若二项式7()+x a 展开式中，5x 项的系数是7，则)(lim 242n n a a a +++∞→ = .11．[文科] 一个用立方块搭成的立体图形，小张从前面看和从上面看到的图形都是同一图形，如图，那么，搭成这样一个立体图形最少需要 个小立方块．[理科]在ABC ∆中，若2,3,4===c b a ，则ABC ∆的外接圆半径长为 . 12．[文科]如图，要做一个圆锥形帐篷（不包 括底面），底面直径6米，高4米，那么至少 需要 平方米的帆布.[理科]已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径 均是d ，那么，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 .13．[文科] 以抛物线x y 82=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以x y 3±=为渐近线的双曲线方程是 .[理科]已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是方程02=++q px x （,p q 是实数）的两个实根，则直线AB 的方程是 .14．[文科] 已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且543=⋅+⋅+⋅，则ABC S ∆= .[理科]已知O 是∆ABC 的外心，2=AB ，3=AC ，21+=x y ，若=⋅+⋅AO x AB y AC ，(0)xy ≠，则cos ∠=BAC .二．选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15.“直线l 垂直于ABC ∆的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（ ）.第9题第12题[文科]第11题(A)充要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件16.下列类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若,a b R ∈，则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b -=⇒=”； ②“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则a c a c,b d +=+==”；③“若,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b ->⇒>”． 其中类比结论正确的个数是（ ）.(A) 0(B) 1(C) 2(D) 317. [文科]若nn n a n 212111+⋅⋅⋅++++=（n 是正整数），则+=+n n a a 1（ ）.(A))1(21+n (B)11221+-+n n (C) 11221121+-+++n n n (D) 221121+++n n [理科] 观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，可以猜想结论为( ) .(A)2221112n 1123n n++++⋅⋅⋅+< (n N*)∈ (B) 2221112n 1123(n 1)n-+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈ (C) 2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈ (D) 2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈ 18．[文科] 已知函数2a x f (x)x+=，(a 0)>，x (0,b)∈，则下列判断正确的是（ ）.(A)当b >时，f (x)的最小值为；(B)当0b <≤时，f (x)的最小值为(C)当0b <≤时，f (x)的最小值为2a b b+；BA 1C 1D(D)对任意的b 0> ，f (x)的最小值均为[理科] 设函数2()()1||xf x x R x =∈+，区间[,]M a b =，()a b <，集合{|(),}N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(),a b 有（ ）.(A)3对； (B)5对； (C)1对； (D)无数对．三．解答题 （本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤． 19. (本题满分12分)[文科]已知1111ABCD A BC D -是底面为菱形的直四棱柱，P是棱1DD 的中点，060BAD ∠=，底面边长为2，四棱柱的体积为1AD 与PB 所成的角大小.（结果用反三角函数值表示）[理科]已知1111ABCD A BC D -是底面为菱形的直四棱柱，P 是棱1DD 的中点，060BAD ∠=，底面边长为2，若PB 与平面11ADD A 成045角，求点1A 到平面ACP 的距离.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．把水放在温度为0θ℃的空气中冷却，若水原来的温度是1θ℃10()θθ>，t 分钟后物体温度θ℃可由公式010()kt e θθθθ-=+-求得，其中，k 是由不同盛水的容器所确定的正常量．（1）若室温为20℃，往某容器中倒入98℃的热水，一小时后测得水温为71.2℃，求k 的值；（精确到0.001）（2）若一保温杯的0.01k =，往该保温杯中倒入100℃的开水，经过2.5小时测得水温为40℃，求此时的室内温度（假设室内恒温，精确到0.1℃）．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．[文科]已知平面向量)1),(sin(x a -=π，)cos ,3(x b =，函数b a x f ⋅=)(． （1）写出函数)(x f 的单调递减区间；第19题[文、理科]（2）设1)6()(+-=πx f x g ，求直线2=y 与)(x g y =在闭区间],0[π上的图像的所有交点坐标.[理科] 已知平面向量(sin(2),1)=- a x π，b =，函数a x f ⋅=)(．（1）写出函数)(x f 的单调递减区间；（2）设nnnn g(x)lim ,(0x 2)x →+∞π=<<ππ+，求函数()=y f x 与)(x g y =图像的所有交点坐标. 22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分．已知12,F F 为椭圆2222:1x y C a b+=,()0a b >>的左右焦点，O 是坐标原点，过2F 作垂直于x 轴的直线2MF 交椭圆于M ，设2MF d = .（1）证明：,,d b a 成等比数列；(2)若M 的坐标为)，求椭圆C 的方程；（3）[文科]在(2)的椭圆中，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若0⋅=OA OB ，求直线l 的方程．[理科]在(2)的椭圆中，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若椭圆C 上存在点P ，使得OP OA OB =+，求直线l 的方程．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()=y f x 使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()=y f x 是数列{}n a 的“保三角形函数”，(n N*)∈.(1)已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若(),(1)x f x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；(2)已知数列{}n c 的首项为2018，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足1438040+-=n n S S ，证明{}n c 是“三角形”数列；(3) [文科] 若()lg =g x x 是(2)中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项．[理科] 根据“保三角形函数”的定义，对函数2()2h x x x =-+，[1,]∈x A ，和数列1，1+d ，12+d ，（0>d ）提出一个正确的命题，并说明理由.2018年四区(杨浦、静安、青浦、宝山)联合高考模拟数学试卷参考答案2018.4一、填空题1.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023112 2.π=T 3.]23,2[- 4.43πα= 5. 0 6. 文理7. 文9 理2.5 8. 文128 理 7759. 127 10.12 11. 文5 理15158 12. 文 15π13. 文1322=-y x 理03=++q y px2(40)∆=->p q14. 文65 理 34二、选择题 15.B 16.C 17. 文 C 理C 18.文 A 理A 三、解答题19．[文科]解：由体积为202sin 60⋅=h h=4… 3分 取AD 的中点为E ，联结PE ，PB ，则11⊥BE ADD A ， ……5分1//AD PE ，∠EPB 为直线PB 与直线1AD 所成的角． ……8分经计算=BE=PB …… 10分sin ∠=EPB ， 即异面直线1AD 与PB所成的角为arcsinarctan ）．… 12分 [理科] 解：取AD 的中点为E ，联结BE ，PB ，则11⊥BE ADD A ，∠EPB 为PB 与平面11ADD A 所成的角． …… 2分经计算=BE=PB=PD1=DD…… 4分以OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OO 为z 轴建立空间直角坐标系，… 5分A，(C，(0,1-P ，= AC，,=PA ， …… 7分 设平面ACP 的法向量(,,)=n x y z ，由00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ AC n PA n得= n ， … 10分而1= A A，所以1||⋅== A A n d n …… 12分20．（1）由题意，6071.220(9820)0.007k e k -=+-⇒= …5分 （2）01(1)kt kt e e θθθ--=-+，当0θ、1θ越大时，水温保持时间越长．… 7分0.011500.0115000040(1)10022.8-⨯-⨯=-+⇒=e e C θθ …… 13分答:此时的室内温度为022.8C ． …………………… 14分 21. [文科] 解：（1）)6sin(2cos )sin(3)(ππ+=+-=x x x x f ，…4分单调递减区间)](342,32[Z k k k ∈++ππππ； …… 6分 （2）1sin 21)6()(+=+-=x x f x g π，…………………………… 8分 解2)(=x g ，即21sin =x ，],0[π∈x 得65,6ππ=x ，…………12分 所以交点坐标为：)2,65(),2,6(ππ． ……14分 [理科]解：(1))62sin(22cos )2sin(3)(ππ+=+-=x x x x f ，…2分单调递减区间为2[k ,k ](k Z)63πππ+π+∈； ……6分 （2）1,(0x )1g(x),(x )20,(x 2)<<π⎧⎪⎪==π⎨⎪π<<π⎪⎩， …… 8分当0x <<π时，解2sin(2x )16π+=，得x 3π=， ……10分 当x =π时，解12sin(2x )62π+=，无解， ……11分 当x 2π<<π时，解2sin(2x )06π+=，得17x 12π=， ……13分 所以交点坐标为：(,1)3π，17(,0)12π． ……14分22.(1)证明：由条件知M 点的坐标为()0,c y ，其中0=y d ，222221,∴+===c d b d b a b a， …… 3分 d bb a∴=，即,,d b a 成等比数列． …… 4分 (2)由条件知1c d =，22212b a a b ⎧=⋅∴⎨=+⎩ …… 6分2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩椭圆方程为22142x y += …… 8分 （3）[文科]设点A ),(11y x 、B ),(22y x ，当x l ⊥轴时，A )1,2(--、B )1,2(-，所以0⋅≠OA OB ． …… 9分设直线l 的方程为)2(+=x k y ，代入椭圆方程得04424)21(2222=-+++k x k x k ．…………… 11分所以21222122x x ,12k 4k 4x x 12k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪⎩+…………………………………………… 13分 由0⋅=OA OB 得1212x x y y 0⋅+⋅=222212121212x x k (x (1k )x x (x x )2k 0⋅+=+⋅++=代入得2222222(1k )(4k 4)2k 012k 12k+--+=++，解得k = 所以直线l的方程为=y x ． …… 16分[理科]设点P （x,y ），A ),(11y x 、B ),(22y x ，由 OP OA OB =+ ，得1212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩当x l ⊥轴时，A )1,2(--、B )1,2(-，此时P )0,22(-不在椭圆上． …… 9分设直线l 的方程为)2(+=x k y ，代入椭圆方程得04424)21(2222=-+++k x k x k ． …… 11分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=++=+=+-=+=222212122212122)222124()22(,2124k kk k k x x k y y y k k x x x … 13分把点P （x,y ）代入椭圆方程得1)21(28)21(432222224=+++k k k k ，解得212=k ， 所以直线l的方程为=y x ． …… 16分 23． (1)显然1n a n =+，12n n n a a a +++>对任意正整数都成立， 即{}n a 是三角形数列． …… 2分因为k>1，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<<⋅⋅⋅，由12()()()n n n f a f a f a +++>得12n n n k k k +++>，解得k <所以当∈k 时，()x f x k =是数列{}n a 的“保三角形函数”. …… 5分 (2) 由1438040+-=n n S S 得1438040--=n n S S ,两式相减得1430+-=n n c c所以，1320104-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n c ，经检验，此通项公式满足1438040+-=n n S S ……7分显然12++>>n n n c c c ，因为11123321320102010201044164+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⋅> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n c c c ，所以{}n c 是“三角形”数列． …… 10分(3) [文科] 因为n g(c )是单调递减函数，所以，由12lg lg lg --+>n n n c c c 得333lg 2010(2)lg lg 2010(1)lg lg 2010(3)lg 444+-++->+-n n n ……14分 化简得4lg 2010lg 3>n ，解得26.4<n ， 即数列{}n b 最多有26项． ……18分(3) [理科] 探究过程： 函数2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d > 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d (0)d >是三角形数列，所以1112d d ++>+，即01d <<．②数列中的各项必须在定义域内，即12+≤d A .③(1),(1),(12)++h h d h d 是三角形数列.由于2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是单调递减函数，所以(1)(12)(1)h d h d h +++>，解得0d <<． 评分建议原则：从考生解答的整体结构上判断考生的思维水平、把握考生的得分层次．对于非完备性的探索包括指向有误的探索，应坚持完成评卷．1．没有写出命题，但有比较完整的探究过程，得分最高不超过4分．2．写出“2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’” 的必要条件之一或者充分条件之一（当……时，2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’），并能适当说明理由，得分最高不超过6分．3．能正确指出“当……时，2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈不是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’”，并能适当说明理由，得分最高不超过4分．4．考生解答出现上述2、3两条交叉情况的，以较高的得分赋分．第一层次 ………………命题4分，证明4分.示例1： 2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”的充要条件是12,05+≤<<d A d ． 证明：必要性：因为当x=1时，h(x)的最大值为1，则由1112(1)(12)1++>+⎧⎨+++>⎩d d h d h d得5d <，且12+≤d A .充分性：当12,0+≤<<d A d 时，22(1)1,(1)1,(12)14h h d d h d d =+=-+=-， 有(1)(1)(12)0h h d h d >+>+>，且22(1)(12)(1)(14)1(1)h d h d d d h +++=-+->=，故函数2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d > 的“保三角形函数”．综上，充要条件是12,05+≤<<d A d . 第二层次 …………… 命题3分，证明3分.示例2：2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”的必要条件是550<<d . 解：在A d ≤+21条件下，因为当x=1时，h(x)的最大值为1，则由1112(1)(12)1++>+⎧⎨+++>⎩d d h d h d得5d <. 第三层次 …………… 命题2分，证明2分.示例3：当12d A +>时，显然()y h x =不是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”.因为，此时(12)h d +不存在.。

2018学年上海高三数学二模分类汇编——解析几何-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One11（2018松江二模）. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =1（2018普陀二模）. 抛物线212x y =的准线方程为2（2018虹口二模）. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =2（2018宝山二模）. 设抛物线的焦点坐标为(1,0)，则此抛物线的标准方程为 3（2018奉贤二模）. 抛物线2y x =的焦点坐标是4（2018青浦二模）. 已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =4（2018长嘉二模）. 已知平面直角坐标系xOy 中动点(,)P x y 到定点(1,0)的距离等于P 到定直线1x =-的距离，则点P 的轨迹方程为7（2018金山二模）. 若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值范围是8（2018静安二模）. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的标准方程为8（2018崇明二模）. 已知椭圆2221x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =8（2018杨浦二模）. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =9（2018浦东二模）. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为 米10（2018虹口二模）. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为10（2018金山二模）. 平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =10（2018青浦二模）. 已知直线1:0l mx y -=，2:20l x my m +--=，当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 11（2018奉贤二模）. 角α的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2225x y +=的中心，角的终边与曲线2225x y +=的交点A 的横坐标是3-，角2α的终边与曲线2225x y +=的交点是B ，则过B 点的曲线2225x y +=的切线方程是 （用一般式表示）11（2018金山二模）. 已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r =11（2018青浦二模）.已知曲线:C y =:2l y =，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是12（2018普陀二模）. 点1F 、2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右焦点，点N为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：212||2MN MF MF =⋅，则12|2|MF MF +的最大值为12（2018青浦二模）. 已知22sin 1cos 1a a M a a θθ-+=-+（,a θ∈R ，0a ≠），则M 的取值范围是12（2018长嘉二模）. 若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是14（2018奉贤二模）. 设直线l 的一个方向向量(6,2,3)d =，平面α的一个法向量(1,3,0)n =-，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 直线l 在平面α内 D. 直线l 在平面α内或平行14（2018青浦二模）. 椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（ ）A. (4,0)±B. (0,4)±C. (5,0)±D. (0,3)±α15（2018虹口二模）. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A. 15（2018杨浦二模）. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 16（2018崇明二模）. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题：① 对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥；② 已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =；③ 定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足12|(,)(,)|2d P F d P F a -=（220c a >>），则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点； 其中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 318（2018静安二模）. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12. 圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A . （1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ请说明理由.18（2018崇明二模）. 已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b-=（,0a b >）的左右焦点，12||6F F =，1(0,)B b -，2(0,)B b .（1）若a =，以(3,4)d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.19（2018黄浦二模）. 已知动点(,)M x y 到点(2,0)F 的距离为1d ，动点(,)M x y 到直线3x =的距离为2d，且123d d =. （1）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线:(2)(0)l y k x k =-≠交曲线C 于P 、Q 两点，若△OPQ 的面积OPQ S ∆=(O 是坐标系原点)，求直线l 的方程.19（2018金山二模）. 已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆Γ交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（点A 在x 轴上方），点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点，记M 、N 两点的纵坐标分别为M y 、N y .（1）求直线PB 的斜率（用k 表示）；（2）求点M 、N 的纵坐标M y 、N y （用1x 、1y 表示）， 并判断M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.19（2018青浦二模）. 已知椭圆2222:1x yCa b+=（0a b>>）的一个顶点坐标为(2,0)A，且长轴长是短轴长的两倍.（1）求椭圆C的方程；（2）过点(1,0)D且斜率存在的直线交椭圆于G、H，G关于x轴的对称点为G'，求证：直线G H'恒过定点(4,0).19（2018浦东二模）. 已知双曲线22:1C x y-=.（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点(0,1)P-的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围.19（2018普陀二模）. 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为52km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？20（2018奉贤二模）. 设复平面上点Z 对应的复数z x yi =+(,)x y ∈∈R R （i 为虚数单位）满足|2||2|6z z ++-=，点Z 的轨迹方程为曲线1C . 双曲线2C :221y x n -=与曲线1C 有共同焦点，倾斜角为4π的直线l 与双曲线2C 的两条渐近线的交点是A 、B ，2OA OB ⋅=，O 为坐标原点. （1）求点Z 的轨迹方程1C ； （2）求直线l 的方程；（3）设△PQR 三个顶点在曲线1C 上，求证：当O 是△PQR 重心时，△PQR 的面积是定值.20（2018松江二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q 两点，1sin BF O ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值； （2）若b =，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设直线1:l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.20（2018虹口二模）. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M且是椭圆C 的“切线”.（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由.20（2018宝山二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2212723x y +=的右焦点为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右顶点，直线210x y ++=与C 的一条渐近线平行.（1）求C 的方程；（2）如图，1F 、2F 为C 的左右焦点，动点00(,)P x y （01y ≥）在C 的右支上，且12F PF ∠的平分线与x 轴、y 轴分别交于点(,0)M m （55m -<<）、N ，试比较m 与2的大小，并说明理由；（3）在（2）的条件下，设过点1F 、N 的直线l 与C 交于D 、E 两点，求2F DE ∆的面积最大值.20（2018杨浦二模）. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．20（2018长嘉二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的焦距为(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆Γ上. （1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同的点C 、D （点C 在点D 的上方），试求COD ∆面积的最大值；（3）若直线m 经过点(1,0)M ，且与椭圆Γ交于两个不同的点A 、B ，是否存在直线00:l x x =（其中02x >），使得A 、B 到直线0l 的距离A d 、B d 满足||||A B d MA d MB =恒成立？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由.20（2018青浦二模）. 如图，A 、B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，M 、N是椭圆上与A 、B 均不重合的相异两点，设直线AM 、BN 、AN 的斜率分别是1k 、2k 、3k . （1）求23k k ⋅的值；（2）若直线MN 过点2，求证：1316k k ⋅=-； （3）设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t （t 为常数且0t ≠），试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.。

静安区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的概率为（ ）A． B． C． D．2． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜03． 已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ） A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥βC ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥nD ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β4． 若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ） A ．（0，10）B．（，10）C．（，+∞）D ．（0，）∪（10，+∞）5． 已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m ∥β，应选择下面四个选项中的（ ） A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤6． 若函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x ，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g （x ）=log a （x+k ）的是（ ）A． B． C． D．7． 命题：“∀x ＞0，都有x 2﹣x ≥0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，都有x 2﹣x ＞0 B ．∀x ＞0，都有x 2﹣x ≤0 C ．∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0 D ．∃x ≤0，使得x 2﹣x ＞08． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 9． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则=（ ）A ．3B ．4C ．D ．1310．若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．±2 C ．0D ．2班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________11．已知x ＞0，y ＞0， +=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（ ）A ．（﹣∞，]B ．（﹣∞，] C ．（﹣∞，] D ．（﹣∞，]12．常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x）{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）A ．h （）B ．h （）C ．h （）D ．h （）二、填空题13．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ． 14．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．15．不等式()2110ax a x +++≥恒成立，则实数的值是__________.16．i 是虚数单位，化简：= ．17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()21ln 2f x x x =-的单调递减区间为__________. 18．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；②若点P 到点A 的距离为，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三、解答题19．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P （x ，y ）变换为点P （2x+y ，3x ）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1；（Ⅱ）求曲线4x+y ﹣1=0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程．20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的极坐标方程是2=ρ，曲线2C 的参数方程是θππθθ],2,6[,0(21sin 2,1∈>⎪⎩⎪⎨⎧+==t t y x 是参数）．（Ⅰ）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）求t 的取值范围，使得1C ，2C 没有公共点．21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=-,以极点为原点, 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ（其中)ϕ∈R22．已知函数f （x ）=lnx ﹣a （1﹣），a ∈R ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若f （x ）的最小值为0． （i ）求实数a 的值；（ii ）已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=f （a n ）+2，记[x]表示不大于x 的最大整数，求证：n ＞1时[a n ]=2．23．已知直线l：x﹣y+9=0，椭圆E：+=1，（1）过点M（，）且被M点平分的弦所在直线的方程；（2）P是椭圆E上的一点，F1、F2是椭圆E的两个焦点，当P在何位置时，∠F1PF2最大，并说明理由；（3）求与椭圆E有公共焦点，与直线l有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．24．已知一个几何体的三视图如图所示．（Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．静安区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．2．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x﹣1|无解，∵﹣|x﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x﹣1|≤1，∴﹣m≤0或﹣m＞1，解得m≥0或m＞﹣1故选：A．3．【答案】C【解析】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，如墙角；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故C正确；对于D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选C．【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．4．【答案】D【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．5．【答案】D【解析】解：当m⊂α，α∥β时，根据线面平行的定义，m与β没有公共点，有m∥β，其他条件无法推出m ∥β，故选D【点评】本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．6．【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．7．【答案】C【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：∃x＞0，使得x2﹣x＜0，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．8．【答案】A【解析】考点：得出数列的性质及前项和．【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“10a>，0d<”判断前项和的符号问题是解答的关键．9．【答案】D【解析】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，=4，∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8也成等比数列，且S8=4S4，∴（S8﹣S4）2=S4×（S12﹣S8），即9S42=S4×（S12﹣4S4），解得=13．故选：D．【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．10．【答案】C【解析】解：∵复数（2+ai）2=4﹣a2+4ai是实数，∴4a=0，解得a=0．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．11．【答案】D【解析】解：x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，所以（x+y）（+）=10+≥10=16，当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；故m的取值范围是（﹣]；故选D．12．【答案】B【解析】解：（h（x））′=x x[x′lnx+x（lnx）′]=x x（lnx+1），令h（x）′＞0，解得：x＞，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜，∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴h（）最小，故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．二、填空题13．【答案】1．【解析】解：f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（1）=f（5）=1，f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=1．故答案为：1．14．【答案】5【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5故答案为：5．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．a15．【答案】1试题分析：因为不等式()2110ax a x +++≥恒成立，所以当0a =时，不等式可化为10x +≥，不符合题意；当0a ≠时，应满足2(1)40a a a >⎧⎨∆=+-≤⎩，即20(1)0a a >⎧⎨-≤⎩，解得1a =.1考点：不等式的恒成立问题. 16．【答案】 ﹣1+2i ．【解析】解： =故答案为：﹣1+2i ．17．【答案】()0,1【解析】18．【答案】 ①②④【解析】解：对于①，∵BD 1⊥面AB 1C ，∴动点P 的轨迹所在曲线是直线B 1C ，①正确；对于②，满足到点A 的距离为的点集是球，∴点P 应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；对于③，满足条件∠MAP=∠MAC 1 的点P 应为以AM 为轴，以AC 1 为母线的圆锥，平面BB 1C 1C 是一个与轴AM 平行的平面，又点P 在BB 1C 1C 所在的平面上，故P 点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误； 对于④，P 到直线C 1D 1 的距离，即到点C 1的距离与到直线BC 的距离比为2：1， ∴动点P 的轨迹所在曲线是以C 1 为焦点，以直线BC 为准线的双曲线，④正确； 对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE ⊥BC ，EF ⊥AD ，PG ⊥CC 1，连接PF ，设点P 坐标为（x ，y ，0），由|PF|=|PG|，得，即x 2﹣y 2=1，∴P 点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为P ′（x ′，y ′），则即=，∴M=．又det （M ）=﹣3，∴M ﹣1=；（Ⅱ）设点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为A ′（x ′，y ′），则=M ﹣1=，即，∴代入4x+y ﹣1=0，得，即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．20．【答案】【解析】 【解析】（Ⅰ）曲线1C 的直角坐标方程是222=+y x ， 曲线2C 的普通方程是)21221(1+≤≤+=t y t x …………5分（Ⅱ）对于曲线1:C 222=+y x ，令1x =，则有1y =±．故当且仅当001112-122t t t t >>⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+<⎪⎪⎩⎩或时，1C ，2C 没有公共点， 解得12t >．……10分21．【答案】【解析】（1）∵4sin()3πρθ=-，∴4(sin coscos sin )33ππρθθ=-，∴22sin cos ρρθθ=-，∴曲线C的直角坐标方程为2220x y y ++-=． （2）曲线C可化为22((1)4x y +-=， ∴曲线C 是圆心，半径为2的圆， ∵点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ， ∴点Q 在圆O ：221x y +=，∴125PQ OC ≤++=，即PQ 的最大值为5．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f ′（x ）=﹣=．当a ≤0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在区间（0，+∞）内单调递增； 当a ＞0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＞a ；由f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜a ． 所以f （x ）的单调递增区间为（a ，+∞），单调递减区间为（0，a ）． 综上述：a ≤0时，f （x ）的单调递增区间是（0，+∞）；a ＞0时，f （x ）的单调递减区间是（0，a ），单调递增区间是（a ，+∞）． （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时，f （x ）无最小值，不合题意； 当a ＞0时，[f （x ）]min =f （a ）=1﹣a+lna=0， 令g （x ）=1﹣x+lnx （x ＞0），则g ′（x ）=﹣1+=，由g ′（x ）＞0，解得0＜x ＜1；由g ′（x ）＜0，解得x ＞1．所以g （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）． 故[g （x ）]max =g （1）=0，即当且仅当x=1时，g （x）=0． 因此，a=1．（ⅱ）因为f （x ）=lnx ﹣1+，所以a n+1=f （a n）+2=1++lna n ．由a 1=1得a 2=2于是a 3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a3＜． 猜想当n ≥3，n ∈N 时，2＜a n ＜．下面用数学归纳法进行证明．①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜a k＜成立．则当n=k+1时，a k+1=1++lna k，由（Ⅰ）知函数h（x）=f（x）+2=1++lnx在区间（2，）单调递增，所以h（2）＜h（a k）＜h（），又因为h（2）=1++ln2＞2，h（）=1++ln＜1++1＜．故2＜a k+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立．根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜a n＜成立．综上可得，n＞1时[a n]=2．【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．23．【答案】【解析】解：（1）设以点M（，）为中点的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=1，y1+y2=1，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆E：+=1，得，∴k AB==﹣=﹣，∴直线AB的方程为y﹣=﹣（x﹣），即2x+8y﹣5=0．（2）设|PF1|=r1，|PF2|=r1，则cos∠F1PF2==﹣1=﹣1=﹣1，又r1r2≤（）2=a2（当且仅当r1=r2时取等号）∴当r1=r2=a，即P（0，）时，cos∠F1PF2最小，又∠F1PF2∈（0，π），∴当P为短轴端点时，∠F1PF2最大．（3）∵=12，=3，∴=9．则由题意，设所求的椭圆方程为+=1（a2＞9），将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y，得（2a2﹣9）x2+18a2x+90a2﹣a4=0，依题意△=（18a2）2﹣4（2a2﹣9）（90a2﹣a4）≥0，化简得（a2﹣45）（a2﹣9）≥0，∵a2﹣9＞0，∴a2≥45，故所求的椭圆方程为=1．【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P在何位置时，∠F1PF2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧=×2π×2×2=4π；S圆柱侧=2π×2×4=16π；S圆柱底=π×22=4π．∴几何体的表面积S=20π+4π；（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：则AB===2，∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．。

上海市静安区达标名校2018年高考二月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 和2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ ） A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．20173．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．4．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．925．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ） A ．33y x =±B ．3y x =C ．22y x =±D ．2y x =±6．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．327．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．14D ．139．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ） A ．10B ．32C ．40D ．8010．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N11．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市静安区2018学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为.2. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z .5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为.6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为（结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是.8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为. 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f=.10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，，3π=∠BAC ，则球的表面积为.11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则O 4=AC Oa 的取值范围是.二、选择题（每小题5分，满分20分）12、已知a ，b ，c 都是实数，则“a ，b ，c 成等比数列”是“2b a c =⋅的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件13、1l 、2l 是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（ ）．.A 如果1l ∥α，2l ∥α，则一定有1l ∥2l ． .B 如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l α⊥．.C 如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l ∥α． .D 如果1l α⊥，2l ∥α，则一定有12l l ⊥． 14、已知函数()2x x e e f x --=，1x 、2x 、3x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）.A 一定等于零． .B 一定大于零． .C 一定小于零． .D 正负都有可能．15、已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论： ①3450a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③221a b +>； ④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞ . 正确的个数是（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 4三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 16．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，等腰AOB ∆Rt ，2==OB OA ，点C 是OB 的中点，AOB ∆绕BO 所在的边逆时针旋转一周．（1）求ABC ∆旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S ；（2）设OA 逆时针旋转至OD ，旋转角为θ，且满足BD AC ⊥，求θ．17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）设函数x x x f 2sin 32cos )(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π．（1）求函数)(x f y =的最大值和最小正周期； （2）设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，若31cos =B ，413-=⎪⎭⎫⎝⎛C f ，求A sin ．18．（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入)(n g 是生产时间n 个月的二次函数kn n n g +=2)(（k 是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元． （1）求前8个月的累计生产净收入)8(g 的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入． 19．（本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）设点1F 、2F 是平面上左、右两个不同的定点，m F F 221=，动点P 满足：221216)cos 1(||||m PF F PF PF =∠+⋅．（1）求证：动点P 的轨迹Γ为椭圆；（2）抛物线C 满足：①顶点在椭圆Γ的中心；②焦点与椭圆Γ的右焦点重合．设抛物线C 与椭圆Γ的一个交点为A ．问：是否存在正实数m ，使得21F AF ∆的边长为连续自然数．若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由． 20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，91-=a ，2a 为整数，且对任意*N ∈n 都有5S S n ≥．（1）求}{n a 的通项公式； （2）设341=b ，⎩⎨⎧-+-=+为偶数为奇数n b n a b n n n n ,)2(,,1（*N ∈n ），求}{n b 的前n 项和n T ； （3）在（2）的条件下，若数列}{n c 满足)N ()21()1(*5122∈-++=++n b b c n a n n n n λ．是否存在实数λ，使得数列}{n c 是单调递增数列．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．静安区2018学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷评分标准与答案1 （-∞，0）⋃（1，+∞）2.1 3.3 4 -1+i ，52 616917 1≤m ≤28 5 9 4 10 20∏ 11 a ≤-2 二、选择题（每小题5分，满分20分）12、A ； 13、D ； 14、B ； 15、B ；三、16．解：（1）()ππ34122312=-⨯⨯=V ;﹒﹒﹒3分()()32223222221+=+⨯⨯=ππS ﹒﹒3分（2）如图建立空间直角坐标系，得()0,0,2A ，()1,0,0C ，()2,0,0B由三角比定义，得()0,sin 2,cos 2θθD ﹒﹒﹒﹒1分则，()1,0,2-=AC ，()2,sin 2,cos 2-=θθBD ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分02cos 4=--=⋅θBD AC ，得21cos -=θ，θ[0,2)∈π， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分所以，3432ππθ或=．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分16．解：（1）因为x x x f 2sin 32cos )(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π22cos 13sin2sin 3cos2cos xx x -+-=ππ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分 x 2sin 2321-=， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 所以，函数)(x f y =的最大值为231+，最小正周期π． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分xyz（2）由4132sin 23213-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛C C f ，得2332sin=C ，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分 解得，2π=C 或π=C （舍去）． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分因此，31cos sin ==B A ． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分18．解：（1）据题意30933)3(2=+=k g ，解得100=k ，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分第5个月的净收入为)5(g 109)4(=-g 万元，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分所以，8521093)5()8(=⨯+=g g 万元．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分（2）[]⎩⎨⎧>--+≤+=）（），（5.)4()5()5()5(5100)(2n g g n g n n n n g即⎩⎨⎧>-≤+=），（），（5201095100)(2n n n n n n g ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分要想投资开始见效，必须且只需⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+->+-22)1(370100500)(n n n n n g即.040068)(2>--+n n n g ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分当5,4,3,2,1=n 时，,04006810022>--++n n n n即200)16(>+n n 不成立；﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分当5>n 时，,040068201092>--+-n n n 即420)41(>+n n ，﹒﹒﹒﹒2分 验算得，9≥n 时，420)41(>+n n ． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分所以，经过9个月投资开始见效． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分19．解：（1）若点21F F P 、、构成三角形则||||2||||||cos 21221222121PF PF F F PF PF PF F ⋅-+=∠ ，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分2212212221216)||||2||||||1(||||m PF PF F F PF PF PF PF =⋅-++⋅∴．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 整理得222116|)||(|m PF PF =+，即)024(4||||21>>=+m m m PF PF．1分 若点21F F P 、、不构成三角形，也满足)024(4||||21>>=+m m m PF PF ．1分所以动点P 的轨迹为椭圆．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分（2）动点P 的轨迹方程为1342222=+m y m x ． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分抛物线的焦点坐标为)0,(m 与椭圆的右焦点2F 重合． 假设存在实数m ，使得21F AF ∆的边长为连续自然数． 因为1212||||42||PF PF m F F +==，不妨设|12||1+=m AF ，)(12||,2||*221N m m AF m F F ∈-==． ﹒﹒﹒﹒﹒2分由抛物线的定义可知m x m AF A +=-=12||2，解得1-=m x A ，﹒﹒﹒﹒﹒1分设点A 的坐标为),1(A y m -，⎪⎩⎪⎨⎧=+--=134)1()1(422222m y mm m m y A A ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分整理得032272=+-m m ，解得舍）(71=m 或3=m ．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分所以存在实数3=m ，使得21F AF ∆的边长为连续自然数．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分20．解：（1）设}{n a 的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧≥≤0065a a ，,4959≤≤∴d ﹒ ﹒﹒﹒2分22=∴∈d Z a ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分112-=∴n a n ． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分（2）当n 为偶数时，n n n n b b 2)2(1=-=++． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分① 当n 为奇数时)3(≥n ，)()()(154321n n n b b b b b b b T +++++++=-1421222-++++=n b3241)41(434121+-=--+=n n ． 当1=n 时也符合上式． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分② 当n 为偶数时， 132323211-+=+=+=--n a b T T nn n n n n ﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=∴+.13232,321为偶数，为奇数，n n n T n n n ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分（3）3)41()1(4--+=n n n n c λ由题意得，0)41(80431>--⋅=-+n n n n c c λ对任意*N n ∈都成立，11 ① 当n 为奇数时，n 24803⋅->λ， 当1=n 时，53)4803(max 2-=⋅-n ，53->λ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分 ② 当n 为偶数时，n 24803⋅<λ， 当=n 2时，548)4803(min 2=⋅n ，548<λ．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分 综上：)548,53(-∈λ．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分。