上海市静安区2018届高三二模数学试卷
2018.05
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，
7-12
每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,3,5,7,9}A =，{0,1,2,3,4,5}B =，则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是
2. 若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z =
3. 函数lg 2y x =+（）
的定义域为 4. 在从4个字母a 、b 、c 、d 中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d 事件 的概率是
5. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h =
6. 如上右图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线
为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu r 的坐标为(4,3,2)，则1BD uuu r
的坐标为
7. 方程3
cos2x =-
的解集为 8. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上
一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的 标准方程为
9. 秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所著的《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算 法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n 、x 的值分别为4、2，则输出q 的值为
（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5210*=） 10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，4215
8
a a =--，则3a 的值为
11. 在直角三角形ABC 中，2
A π
∠=
，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点， 且2
2AE =，若AE AB AC λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则34λμ+的最大值等于
12. 已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤，
222{(,)|(2)(1)}2
a
B x y x a y a a =-+--≤-，若A B ≠∅I ，则实数a 取值范围为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 能反映一组数据的离散程度的是（ ）
A. 众数
B. 平均数
C. 中位数
D. 方差
14. 若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根α，β，且||3αβ-=，那么实数m 的值是（ ） A.
52 B. 1 C. 1- D. 52
- 15. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示，则()3
f π
的值为（ ）
A.
22 B. 32 C. 6
2
D. 0 16. 已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）
A. 一定大于30
B. 一定小于30
C. 等于30
D. 大于30、小于30都有可能
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间t 的连续函数（即函数图像不间断）. 昆虫密度C 是指
每平方米的昆虫数量，已知函数21000(cos(4)2)990,816()2
,081624t t C t m t t ππ⎧
-+-≤≤⎪
=⎨⎪≤<<≤⎩
或， 这里的t 是从午夜开始的小时数，m 是实常数，(8)m C =.
（1）求m 的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻.
18. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为
1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12.
圆22
:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A .
（1）求△12k A F F 的面积；
（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ？请说明理由.
19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，2AC =，1BD =，2OP =. （1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；
（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值.
20. 已知数列{}n a 中，1a a =1(,)2a R a ∈≠-，1112(1)
n n a a n n n -=+++，2n ≥，*n ∈N . 又数列{}n b 满足：1
1
n n b a n =+
+，*n ∈N . （1）求证：数列{}n b 是等比数列；
（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；
（3）若数列{}n b 的各项皆为正数，12
log n n c b =，设n T 是数列{}n c 的前n 和，问：是否存
在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列？若存在，求出整数a ；若不存在，请说明理由.
21. 设函数()|27|1f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；
（2）若当01x
x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21
()1
x g x a x +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.
