湖南大学高数a1试题期末试卷
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大学课程考试试卷
4. 当
0→x 时, ln(1)1x e x +--与n x 是同阶无穷小, 则n =
【 】
(A)
1 (B)
2 (C)
3 (D) 4
5. 设
[0,1]f C ∈且()0f x ≥,记1
10()d ,I f
x x =⎰220(sin )d ,I f x x π=⎰430
(tan )d ,I f x x π=⎰ 则下列不等
式成立的是 【 】
(A) 123I I I << (B) 312I I I << (C) 231I I I << (D) 132I I I <<
三、计算题(每小题5分,共20分)
1. 计算极限
x →.
湖南大学课
2. 计算极限2
3
01lim (1)d x
t x e t x -→-⎰
.
3. 计算积分
()d xf x x
'⎰,其中
()x e f x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
4. 设函数
()y y x =由方程组(1)0,
10
y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩确定,求0
d t y =.
四、(11分)设
2sin ,0,
()ln(1), 0,
ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩试问,,a b c 为何值时,()f x 在
0x =处二阶导数存在?
五、(7分)若
()2(1),n f x nx x =-记[0,1]
max{()}n x M f x ∈=(即()f x 在[0,1]上的最
大值),求
lim n n M →∞
.
体积的衰减率与其体积,问融化掉其六、(8分)(融化立方体冰块)某地为了解决干旱问题,需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨大的立
方体,其表面积成正比. 如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时?(结果精确到小数点后一位,
不能使用计算器)
湖
南大
余
七、(10分)过点
(1,5)作曲线3
:y x Γ=的切线L . 试求(1)切线L 的方程;
(2)Γ与L 所围平面图形
D 的面积;
(3)图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.
八、(8分)利用定积分的换元法我们可以证明: 若
()f u 是连续函数,则有
0(sin )d (sin )d 2
xf x x f x x π
π
π=
⎰
⎰. 现要求将
此结论推广到满足在[,]a b 上连续且关于2
a b
x +=为偶函数 (即对[,]a b 中的任何x 有
()()22a b a b f x f x ++-=+)的任意函数
()f x 的情形, 请叙述并证明你的结论.
九、(6分)设
()f x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 可导, 且()0f b =,试证: 至少存在一点(,)a b ξ∈,
使得()
()0()
f f a ξξξ'+
=-.