人教版高中数学必修二知识点归纳

2.(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的 ________倍.
(2)把球队表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来 的_______倍.
(3)三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为 _________.
(4)三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为 ________.
四、主要知识点 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互 相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体 叫做棱台
球的表面积
S i
o o
球的表面积
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S1，S2，S3 ,, Sn
则球的表面积： O
S S1 S2 S3 Sn
设“小锥体”的体积为 Vi
Si
O Vi
则球的体积为：
V V1 V2 V3 Vn
第 二 步： 求 近 似 和
球的表面积
似的看成是边长分别是
R和R的矩形 .
那么圆的面积就近似等 于R2 .
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就 得到了圆的面积公式．
分割
求近似和
化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值 相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体 积推出准确体积．
棱锥的结构特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其 相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 圆锥的结构特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一 个扇形。
棱台的结构特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于 原棱锥的顶点。 圆台的结构特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面 展开图是一个弓形。
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、主要知识点 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。
∴ S侧面积=
1 2
〔c
l
+
（c-c
’）cc-c’’l
〕
= 1（c+c ’）l
2
=∏（r+r ’）l
§1.3.2 球的体积和表面积
教学目标 （1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 （2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
截面问题
• 用一个平面α去截一个球O，截面是圆面
球的截面的性质：
球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d，球的半径为R，则
r2 R2 d 2
O
Rd
ß
r
平面（公理1、2、3、4） 空间直线、平面的位置关系
直线与直线的位置关系
线线平行 线线垂直
直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系
空间平行关系的转化
线面平行
面面平行
空间垂直关系的转化
线面垂直
面面垂直
第二章 直线与平面的位置关系 §2.1.1 平面
一、教学目标： （1）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。 二、教学重点、难点 重点：1、平面的概念及表示；
4、注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些 不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握。
5、利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平 面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和地面进行转化，借助体积的不变 性解决问题。
如果圆柱的底面半径是r，周长是c，侧面母线 长是l，那么它的侧面积是 S侧面积=cl=2∏rl
下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看 作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小 块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.
2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥, 这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就 精确到等于球的体积.
难点突破 1、异面直线的引入通过生活中的实例引入，如教室中组成桌子的很多线条就是
异线面 的直夹线角，的让定学义生，充异分面体直会线到的异夹面角直是线θ是∈(既0，不 平] ；行也不相交的。接着引出异面直
2
2、异面直线的判断一般是采用根据定义的直观判断法，也可以用反证法来判定。
难点突破
1、运用实物使学生感受几何体的结构特征，并引导他们从底面、侧面等方面总 结不同几何体的本质结构特征，再分别以选择题、填空题、解答题的形式巩固。
棱柱的结构特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四 边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 圆柱的结构特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂 直；④侧面展开图是一个矩形。
4、本节课还需要学生能够较熟练的掌握几何符号语言，可以通过一些简单的例 子加以训练巩固。比如课本43页的第3题。
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、教学目标： （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 二、教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念；
高中数学必修（2）章节分析
柱
结构
锥
台
第
球
一
章
三视图
空 间
三视图和直观图
几
直观图
何
体
表面积和体积
表面积
体积
第一章：空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
一、教学目标 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
球的体积 A
O
A
C2
O
B2
r1 R2 R,
r2
R2 ( R)2 , n
r3
R2 (2R)2 , n
A
球的体积
ri
O
R (i 1)
n
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2, n. n
球的体积
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2,, n n
Si
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
S
i
hi
由第一步得：
V V1 V2 V3 Vn
V
1 3
S1h1
1 3
S2h2
1 3
S3h3
1 3
Snhn
第
三
S i
步： hi
化
Vi
为
准 确 和
O
Si
R
Vi
球的表面积
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
hi的值就趋向于球的半径 R
Vi
1 3
Si
R
V
1 3
Si R
1 3
S2R
1 3
S3R
1 3
Sn R
1 3
R(Si
S2
S3
...
Sn
)
1 3
RS
又球的体积为：V 4 R3
3
4 R 3 1 RS , 从而S 4R 2
3
3
基本计算问题
1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直
径,求证:
O
(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.
(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
主要知识点：
S球
4R 2，V球
4 R3
3
球的体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆锥
1 R3
3
V半球 ?
V圆柱
3 R3
3
猜测 : V半球
2 R 3 , 从而V
3
4 R 3 .
3
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以我们先来回忆圆面积 计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近
难点突破
本节内容较简单，学生在初中就已经比较多的接触三视图了，高中只是把几何体 稍微做了组合后再画三视图的，只要让学生熟练掌握几种常见几何体的三视图， 组合几何体的三视图就不难画出来了。
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、教学目标 （1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 （2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体 之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 二、教学重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体体积公式的推导
证明：作圆柱的侧面展开图
∵ 圆柱的侧面展开图是矩形，它的一边长是底面边长 2∏r，另一边长为圆柱 母线 l
∴ S侧面积=cl=2∏rl
l
侧面展开图
r
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2∏r
如果圆台的上、下底面半径是r’、r，周长是 c’、c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是: S侧面积 = （12 c ’+c）l=∏（r ’+r）l
证明：将圆台补成圆锥. 作其侧面展开图，设OA=x
∴ S侧面积
= 1 c（l+x）—
2
1 2
c ’x
= 1 cl+ 1(c-c ’)x
2
2
又∵
c c
’ =
X X+l
∴x=
c ’l c-c ’
定理3：如果圆台的上、下底面半径是r’、r，周长是 c’、c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是: S侧面积 = （12 c ’+c）l=∏（r ’+r）l
V半球 R 3 [1
n
n]
6
当n 时, 1 0. n
V半球
2 R 3
3
从而V 4 R 3 .
3
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3
3
球的表面积
球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表 面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导 球的表面积公式呢?
球体的结构特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2空间几何体的三视图
一、教学目标 （1）掌握画三视图的基本技能 （2）丰富学生的空间想象力 二、教学重点、难点 重点：画出简单组合体的三视图 难点：识别三视图所表示的空间几何体
三、主要知识点 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行 光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
2、公理4及等角定理。 难点：异面直线所成角的计算。 三、主要知识点 1、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互
补3、。两条异面直线所成的角θ∈(0，2；]
4、当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记 作a⊥b； 5、两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 6、计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
Vi
ri 2
R n
R 3
n
[1 ( i
1)2 ], i n
1,2, n
V半球 V1 V2 Vn
R 3
12 22 (n 1)2
[n n
n2
]
R3 1 (n 1) n (2n 1)
n [n n2
6
]
R3[1
1 n2
(n
1)(2n 6
1) ]
球的体积
1
1
(1 )(2 )
三、主要知识点
柱体、锥体、台体的表面积和体积公式
难点突破
1、在求多面体的侧面面积时，应该对每一个侧面展开再分别求解后再相加。 比如长方体。
2、在解决台体的有关计算问题时，注意应用“还台为锥”的处理策略。 比如求圆台的表面积。
3、计算柱体、锥体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意 充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解。
难点突破
1、从实例出发引申出几何里的平面，重点说明几何里的平面是无限延伸的。
2、通过让学生自己画平面巩固平面的表示方法，因为平面是由无数个点组成的， 所以点与面之间是属于或者不属于的关系，而线也是由点组成的集合，所以线与 面之间是包含或者不包含的关系。
3、本节课学生学习的是三条公理，不需要证明，只要学生能根据实际经验理解 即可，以后可以直接应用在证明中。