2019-2020学年安徽省合肥市一六八中学高一下学期入学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}40log 1A x x =<<，{}21x B x e -=≤，则A B =U （ ）A ．(),4-∞B ．()1,4C ．()1,2D ．(]1,2【答案】A【解析】分别化简集合,A B ,再求并集即可 【详解】{}{}40log 1=14A x x x x =<<<<{}{}21=2x B x e x x -=≤≤，则A B =U (),4-∞故选：A 【点睛】本题考查指数不等式及对数不等式求解，考查集合的并集运算，是基础题2．已知向量)a θθ=r， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b =r ，则向量a r 与b r的夹角为（ ） A ．32πθ- B ．2πθ+ C ．2πθ-D ．θ【答案】C【解析】直接用向量的夹角公式求出两向量的夹角即可. 【详解】解:因为)a θθ=r,()0,1b =r,所以cos ,sin ||||a b a b a b θ⋅<>===r r r rr r , 因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,2a b πθ<>=-r r ,所以向量a r与b r的夹角为2πθ-.故选:C .【点睛】本题考查了向量夹角的求法和诱导公式,属基础题. 3．已知432a =，1ln33e b =，233c =，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【解析】结合指数式与对数式的性质，可将三个式子化为指数为13的形式，然后利用幂函数的单调性可得出答案. 【详解】 由题意，4133216a ==，1311ln3ln333ee3b ===，213339c==，因为函数13y x =在()0,+?上单调递增，所以1113333916<<，即b c a <<.故选：B. 【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查指数式与对数式的运算性质，考查幂函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.4．若函数f （x ）221x x m-=++tanx 的定义域为[﹣1，1]，且f （0）=0，则满足f （2x—1）<f （x —m +1）的实数x 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．（﹣1，0）C ．[1，2）D ．[0，1）【答案】D【解析】由(0)0f =，可求m ，进而可求()f x ，结合函数的单调性即可求解不等式． 【详解】由(0)0f =，即1(0)02mf -==得：1m =. 所以21()tan 21x x f x x -=++.2()1tan 21x f x x =-++在[-1，1]上单调递增. 则由(21)()f x f x -<可得，1211x x -≤-<≤. 解可得：01x ≤<， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，属于中档试题． 5．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（02πϕ<<），将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度，得到的函数的图象关于y 轴对称，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 在2,32ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 的图象关于3x π=-对称【答案】B【解析】根据“左加右减”的平移原则，以及得到的函数为偶函数，求出ϕ的值，再讨论()f x 的单调性和对称性即可. 【详解】对于函数()()sin 2f x x ϕ=+（02πϕ<<），将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度， 可得sin 23y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象， 再根据得到的函数的图象关于y 轴对称， 可得32ππϕ+=，即6π=ϕ， ∴()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭. 在2,32ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，752,666x πππ⎡⎫+∈--⎪⎢⎣⎭，()f x 单调递减，故A 正确； 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上，52,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 在该区间上不是单调函数，故B 错误； 当512x π=时，()0f x =，故()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确； 当3x π=-时，()1f x =-，为最小值，故()f x 的图象关于3x π=-对称，故D 正确，综上所述，错误的是B .本题考查根据正弦型函数的奇偶性求参数的值，以及正弦型函数单调区间的求解，以及对称轴的求解，属综合性中档题.6．函数21,0,()1,0.xx f x xx x +⎧<⎪=⎨⎪-⎩…则函数(())y f f x =的零点个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】根据解析式分情况分段求解零点即可. 【详解】设()f x t =,令()0f t =,则1t =或1t =-.当0x ≥时,由()1f x =,得x =由()1f x =-,得0x =；当0x <时,由()1f x =,即111x+=,无解；由()1f x =-,即111x+=-,得12x =-,所以有三个零点,故选：B. 【点睛】本题主要考查了分段函数的零点个数问题,需要分段求解零点并判断零点是否在对应区间内.属于中档题.7．在ABC ∆中，60BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，且有23AD AC t AB =+u u u v u u u v u u u v.若6AB =u u u v ，则BC =u u u v （ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由B 、C 、D 三点共线，可得t 的值，求出,BD DC 关系，再利用AD 是角平分线，结合面积公式，求出AC 边长，用余弦定理求出BC . 【详解】由B 、C 、D 三点共线知13t =，2133AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r ,2BD DC =u u u r u u u r，即2,2ABD ACD BD DC S S ∆∆=∴=，0011sin 30,sin 3022ABD ACD S AB AD S AC AD ∆∆∴=⨯⨯=⨯⨯， 26AB AC ∴==，所以3AC =，由余弦定理得BC =本题考查点共线的条件关系，考查角平分线的性质，以及余弦定理，属于中档题. 8．已知，且都是锐角，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由已知利用同角三角函数的基本关系式可得的值，利用两角和的正弦函数公式得到的值，结合的范围，即可求解.【详解】 由题意，可得，可得，即，所以由，可得，所以，解得， 因为都是锐角，所以，所以,因为，所以，故选A. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式和两角和的正弦函数的化简求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.9．已知向量a r ，b r 满足3a r =，1b =r ，且对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+r r r r 恒成立，设a r 与b r的夹角为θ，则tan2θ=（ ）A 2B ．2-C ．22-D ．22【答案】D【解析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+r r rr 恒成立所以22210x a bx a b +⋅-⋅-≥r r r r 对任意实数x 恒成立所以0∆≤，即()224(21)0a ba b rrr r ⋅+⋅+≤又cos 3cos a b a b θθ⋅=⋅=r rr r所以212cos 4(23cos 1)0θθ++≤，即23cos 23cos 10θθ++≤2(3cos 1)0θ+≤，解得3cos θ=-又0θπ≤≤，所以6sin θ=，所以tan θ=2- 因为22tan tan 21tan θθθ=-，所以tan 222θ= 故选D【考点】三角函数求值；恒成立问题；平面向量的数量积. 10．已知两条直线1l ：y m =和2l ：41y m =+（0m >），1l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于点A 、B ，2l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于C 、D ，记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b ，当m 变化时，ba的最小值为（ ） A ．16 B ．8C ．82D ．42【答案】B【解析】根据函数图像，以及对数运算，将,b a 表示为m 的函数，再利用均值不等式求解最小值即可. 【详解】在同一坐标系中作出y m =，41y m =+（0m >），与2log y x =的图象，设A ，B ，C ，D 各点的横坐标分别为,,,,A B C D x x x x则由log2x m =，解得2m A x -=，2mB x =；由4log 21x m =+（0m >）， 解得412m Cx -+=，412m D x +=；∴4|1|22mm A Ca x x --+=-=-4122mm B D b x x +=-=-，则41412222mm m m b a+-+-=-414141222222mm m m m m +++-=⋅⋅-4122mm +=⋅412m m ++= 41112m m ++-+=14132228-==≥=当且仅当411m m +=+，即1m =时取得最小值.故ba的最小值为8， 故选：B. 【点睛】本题考查对数型函数的图像，以及对数运算，涉及均值不等式的使用，属中档题. 11．已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，且(1)1f =，函数(1)f x +的图象关于点(1,0)-中心对称，对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞≠，都有20192019112212()()0x f x x f x x x ->-成立. 则20191()f x x≤的解集为（ ）A ．[]1,1-B ．(][),11,-∞-+∞UC ．(](],10,1-∞-UD ．()2019,2019-【答案】C【解析】根据条件判断函数()f x 是奇函数，构造函数()()2109h x x f x =，研究函数()h x 的奇偶性和单调性，分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】∵函数()1y f x =+的图象关于点()1,0-中心对称，∴函数()y f x =的图象关于点(0,0)中心对称，即函数()f x 是奇函数，对任意的正数1x ，2x ()12x x ≠，()()201920191122120x f x x f x x x >--恒成立，不妨设12(0,)x x <∈+∞，则()()2109210911220x f x x f x <-， 设()()2109h x xf x =，则不等式等价为()()12h x h x <，且函数()h x 是偶函数，即()h x 在()0,∞+上为增函数，则函数在(),0-∞上是减函数. 当0x >时，不等式20191()f x x≤即2019()1x f x ≤，即()()1h x h ≤，所以01x <≤；当0x <时，不等式20191()f x x ≤即2019()1x f x ≥，即()()1h x h ≥-，所以1x ≤-；因此不等式的解集为：(](],10,1-∞-U ． 故选：C. 【点睛】本题考查抽象函数与不等式的综合应用，解题关键是正确构造函数，通过研究函数的性质解不等式.12．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()112f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-.若对任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≥-，则m 的最小值是（ ）A ．43-B ．53- C ．54- D ．65-【答案】A【解析】根据函数在(]0,1上的解析式，以及()()112f x f x +=，求出函数在(](]1,0,2,1---上的解析式，求出满足题意的临界值即可.【详解】Q ()()112f x f x +=，∴()()21f x f x =+当(]0,1x ∈时，()()11,04f x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， (]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，()()()2,021211x f x f x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣+=+⎦=，(]2,1x ∈--时，(]11,0x +∈-，()()()()[]214211,0f x f x x x =+=++∈-，将函数大致图象绘制如下：(]2,1x ∈--时，令()()84219x x ++=-，解得：153x =-，243x =-，若对于任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≥-，所以43m ≥-，故选：A. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，以及数形结合求解恒成立问题的能力，属综合性中档题.二、填空题13．设3,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，且//a b v v ，则cos2=α__________． 【答案】0【解析】根据平面向量共线定理可以得到等式，用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，求出2α的值，最后计算出它的余弦值即可. 【详解】因为//a b r r ，所以31sin cos sin 2122()232k k Z πααααπ⨯=⇒=⇒=+∈，因此cos 2cos(2)0()2k k Z παπ=+=∈.故答案为：0 【点睛】本题考查了两个平面向量共线定理，考查了二倍角的正弦公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.14．函数22()log (3)f x x =-+的单调递减区间是________.【答案】【解析】求出原函数的定义域，再求出内层函数的减区间，由复合函数的单调性求得函数22()log (3)f x x =-+的单调递减区间．【详解】解：由230x -+>，得x << 又内层函数23t x =-+在上为减函数，∴函数22()log (3)f x x =-+的单调递减区间是．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数的内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．15．()f x 是定义域为R 的偶函数，对x R ∀∈，都有()()4f x f x +=-，当02x ≤≤时，()221,01,log 1,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨+≤≤⎩，则()9212f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.【解析】先由已知等式和偶函数推出周期为4,再根据偶函数性质和周期可求得答案. 【详解】因为()f x 是定义域为R 的偶函数,所以()()4f x f x +=-()f x = ,所以周期4T=,所以129911()()(4)()2112222f f f f -==+==-=,2(21)(451)(1)log 111f f f =⨯+==+=,所以()9212f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭2112-+=.故答案为:2. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,周期性,利用周期将自变量转化为已知范围后,利用分段函数解析式求值是解题关键,本题属于中档题. 16．已知函数()sin f x x =，若方程()()()230f x f x m -+=在50,6π⎛⎫⎪⎝⎭内有两个不同的解，则实数m 的取值范围为____. 【答案】112,0,412⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】通过x 的范围，得到sin x 的图像与取值范围；设sin x t =，根据图像可知，若{}1sin 0,12x ⎛⎤∈⋃ ⎥⎝⎦时，每个t 的取值对应唯一的x ，即230t t m -+=有两个不同解；若1sin ,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，每个t 的取值对应两个不同的的x ，即230t t m -+=有唯一解即可．根据图像，求得m 的取值范围. 【详解】 当50,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 图像如下：()(]0,1f x ∴∈设()f x t =，则(]23,0,1m t t t =-+∈当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若方程有两个不同解，只需y m =与()23g t t t =-+图像只有一个交点12,4m ⎛⎫⇒∈-- ⎪⎝⎭当1t =时，若方程有两个不同解，需y m =与()23g t t t =-+图像有两个交点，不合题意当10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，若方程有两个不同解，需y m =与()23g t t t =-+图像有两个交点 10,12m ⎛⎫⇒∈ ⎪⎝⎭综上所述：112,0,412m ⎛⎫⎛⎫∈--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 本题正确结果：112,0,412⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了利用三角函数的范围，求出与二次函数有关的复合函数的值域问题.易错点在于将函数转化为二次函数后，忽略了t 与x 的对应关系，错误的认为只需y m =与23y t t =-+在(]0,1上有两个交点即可，从而错误求得部分结果.17．已知向量())2,2,,m sinx cosx n cosx ==r r，()1f x m n =⋅-r r.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移6π单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【答案】（1）最小正周期为T π=，单调递增区间为1,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z （2）()min g x =【解析】（1）根据向量的数量积运算以及倍角公式和辅助角公式，将函数整理为标准型正弦型函数，再求解其性质即可；（2）先根据三角函数图像的变换，求得()g x ，再求函数值域即可. 【详解】（1）因为()2cos 2cos 1f x x x x =+-2cos 22sin 26π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭x x x∴函数()f x 的最小正周期为T π=， 由222262k x k πππππ-≤+≤+得()f x 的单调递增区间为1,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）根据条件得()52sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭当0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5544,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当8x π=时，()min g x =【点睛】本题考查利用倍角公式和辅助角公式化简三角函数解析式并求其性质的问题，涉及三角函数图像的变换，属综合性中档题.三、解答题18．已知集合A 为函数()222log 21y x ax a =-+-的定义域，集合{}ln 2lg1000B x e x =≤≤．（1）当1a =-时，求()R A B I ð； （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()()(),20,23,-∞-+∞U U ；（2）()(),14,-∞⋃+∞．【解析】（1）求出集合A 、B ，然后利用补集和交集的定义可求出集合()R A B I ð； （2）由A B A ⋃=可得出B A ⊆，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】 （1）据题意{}()(){}22210110A x x ax a x x a x a ⎡⎤⎡⎤=-+->=--⋅-+>⎣⎦⎣⎦()(),11,a a =-∞-++∞U ，当1a =-时，()(),20,A =-∞-+∞U .{}[]ln 2lg10002,3B xe x =≤≤=Q ，所以()(),23,R B =-∞+∞U ð，因此，()()()(),20,23,R A B =-∞-+∞I U U ð；（2）A B A =Q U ，B A ∴⊆，所以12a +<或13a ->，解得1a <或4a >， 因此，实数a 的取值范围是()(),14,-∞⋃+∞. 【点睛】本题考查集合的基本运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC V 外的地方种草，ABC V 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花.若BC a =，ABC θ∠=，设ABC V 的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S .（1）用a ，θ表示1S 和2S ； （2）当a 为定值，θ变化时，求12S S 的最小值，及此时的θ值. 【答案】（1）211sin cos 2S a θθ=；22sin cos 1sin cos a S θθθθ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（2）当4πθ=时，12S S 的值最小，最小值为94【解析】（1）利用已知条件，根据锐角三角形中正余弦的利用，即可表示出1S 和2S ；（2）根据题意，将12S S 表示为θ的函数，利用倍角公式对函数进行转化，利用换元法，借助对勾函数的单调性，从而求得最小值. 【详解】（1）在Rt ABC V 中，cos ,sin AB a AC a θθ==， 所以2111sin cos 22S AB AC a θθ=⋅=；设正方形的边长为x ，则sin xBP θ=，cos AP x θ=， 由BP AP AB +=，得cos cos sin xx a θθθ+=， 解得sin cos 1sin cos a x θθθθ=+；所以222sin cos 1sin cos a S x θθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭；（2）()2121sin cos 12sin cos S S θθθθ+=⋅ 211sin 22sin 2θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=11sin 21sin 24θθ=++，令sin 2t θ=，因为02πθ<<，所以02θπ<<，则(]sin 20,1t θ=∈，所以121114S t S t =++； 设()1114t t g t =++， 根据对勾函数的单调性可知，()g t 在(]0,1上单调递减， 因此当1t =时，()g t 有最小值()()min 119111414g t g =+=+⨯=， 此时sin 21θ=，解得4πθ=；所以当4πθ=时，12S S 的值最小，最小值为94. 【点睛】本题考查倍角公式的使用，三角函数在锐角三角形中的应用，以及利用对勾函数的单调性求函数的最值，涉及换元法，属综合性中档题.20．如图，已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，点A 、B 分别是()f x 的图象与y 轴、x 轴的交点，C 、D 分别是()f x 的图象上横坐标为2π、23π的两点，//CD x 轴，且A 、B 、D 三点共线．（1）求函数()y f x =的解析式； （2）若()1213f α=，,123ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求4f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）若关于x 的函数()2log 4g x f x k π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好有一个零点，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）5413f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（3）2⎡⎣． 【解析】（1）求出B 点的横坐标，线段CD 中点坐标，再求函数()y f x =的最小正周期T ，从而求出ω、ϕ的值，即可写出函数解析式； （2）由题意得出12sin 2313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式可求出4f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （3）由函数()y g x =的解析式，利用分离常数法得出2log cos 23k x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求出,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 23x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的范围，可得出关于k 的不等式，解出即可.【详解】（1）根据题意，点A 与点D 关于点B 对称，B ∴点的横坐标为120233ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭. 又点C 与点D 关于直线12722312x πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭对称，∴函数()y f x =的最小正周期23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==，又2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23k k Z πϕπ∴+=∈， 解得()3k k Z πϕπ=+∈，0ϕπ<<Q ，3πϕ∴=，因此，()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）由()12sin 2313f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，,123ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，2,32ππαπ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，所以，5cos 2313πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭， 所以5sin 2sin 2cos 244332313f ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦；（3）()22log cos 2log 43g x f x k x k ππ⎛⎫⎛⎫=--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，令()0g x =，得2log cos 23k x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,323x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 2,032x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以210log 2k ≤≤，解得1≤k所以实数k 的取值范围是⎡⎣.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题以及三角函数值的计算，也考查了函数与方程思想方法，是综合题． 21．已知函数()()()12142,21x xx x f x m m R g x +-=-⋅∈=+.（1）求函数()f x 在区间)1,⎡+∞⎣上的最小值；（2）若存在不相等的实数,a b 同时满足()()()()0,0f a f b g a g b +=+=，求m 的取值范围.【答案】（1）2m ≥时：()2min f x m =-；2m <时：()min 44f x m =-；（2）1,2m ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）设2(2)x t t =≥，化简得到函数22y t mt =-，讨论对称轴范围2m ≥和2m <两种情况计算得到答案.（2）根据()()0g a g b +=化简得到0a b +=，代入函数得到114422a a a a m -+-++=+，设 22(2)a a t t -+=>得到函数12t y t=-，根据函数的单调性得到取值范围. 【详解】（1）()142xx f x m +=-⋅，设2(2)x t t =≥，22y t mt =-，对称轴为t m =当2m ≥时：222min 2y m m m =-=-；当2m <时：min 44y m =-.综上所述：2m ≥时：()2min f x m =-；2m <时：()min 44f x m =-（2）()()0g a g b +=，则()()()()212102121212102121a b a b a b a b --+=∴-+++-=++化简得到：210a b a b +=∴+=()()0f a f b +=即1111114442424402222a b a aab a b a b a a m m m -+++++-++++=-⋅-⋅∴==++设22(2)aat t -+=>则22122t t m t t-==-易知函数12t y t =-在()2,+∞单调递增，故211222m >-=即1,2m ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数的最值问题，求参数的取值范围，意在考查学生对于函数性质和换元法的灵活运用.22．已知函数()2f x x x a x =-+.（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方；（3）若存在[]2,4a ∈-，使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围.【答案】（1）[]22-,（2）3,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）98t <【解析】（1）将函数写成分段函数的性质，根据分段函数在R 上是单调增函数，即可求得参数的范围；（2）根据题意，分离参数，将问题转化求解函数在区间上最值的问题，即可求得； （3）将方程根的个数的问题，转化为函数图像交点个数的问题，求出函数的值域，结合函数的单调性即可求得. 【详解】（1）∵函数()()()222,22,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩. 由于()f x 在R 上是连续的增函数，所以只要当x a ≥时为增函数且当x a <时也为增函数；即2222a a a a -⎧≥-⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩，解得22a -≤≤，则a 的范围为[]22-,. （2）由题意得对任意的实数[]1,2x ∈，()()f x g x <恒成立， 即1x x a -<，当[]1,2x ∈恒成立， 即1x a x-<， ∴11x a x x -<-<， ∴11x a x x x -<<+，故1a x x>-且1a x x <+在[]1,2x ∈上恒成立，即在[]1,2x ∈时，只要1a x x>-的最大值且1a x x <+的最小值即可，而当[]1,2x ∈时，1y x x =-为增函数，max 13222y =-=；当[]1,2x ∈时，1y x x=+为增函数，min 2y =，∴322a <<. 所以满足条件的所有3,22a ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （3）由题意得，关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根()2f x at ⇔=有三个不相等的实数根；即()y f x =与2y at =有三个不同的交点；①当22a -≤≤时，由（1）知，()f x 在R 上是增函数， 则关于x 的方程()()f x tf a =不可能有三个不等的实数根；②当(]2,4a ∈时，由()()()222,22,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩.当x a ≥时，∵(]2,4a ∈， ∴()()22f x x a x =+-对称轴22a x a -=<， 则()f x 在[),x a ∈+∞为增函数；此时()f x 的值域为())[),2,f a a +∞=+∞⎡⎣， 当x a <时，()()22f x x a x =-++对称轴22a x +=， ∵(]2,4a ∈，∴22022a aa +--=<， ∴对称轴22a x a +=<， 则()f x 在2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ⎛⎫+-∞ ⎪⎝⎭， ()f x 在2,2a a +⎡⎫⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦； 综上所述，若存在(]2,4a ∈，使()y f x =与2y at =有三个不同的交点， 则()22224a a at +<<，即存在(]2,4a ∈，使得()2218a t a+<<即可，令()()2214488a a a aa g +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 只要使()()maxt g a <即可，而()g a 在(]2,4a ∈上是增函数，()()max 948g a g ==.故可得94t <.【点睛】本题考查由分段函数在R上的单调性求参数的范围，以及由恒成立问题求参数的范围，涉及由方程根的个数，求参数的范围，属综合性中档题.第 21 页共 21 页。
