含Φ-Laplace算子的拟线性椭圆型方程的无穷多解

一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程解的唯一性袁海君【摘要】主要利用了凸集的有序性,证明了一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程即:ρt(u)-▽·(|▽u|p-2▽u) =f(t,x)的解的唯一性,其定义在区域(0,T)×Ω,其中Ω是RN的一个有界区域(N≥1),边界(a)Ω是C2光滑的p≥2,ρ(u(0,x))=ρ0.【期刊名称】《山东商业职业技术学院学报》【年(卷),期】2014(014)005【总页数】3页(P124-126)【关键词】p-Laplacian;凸集;有序性;唯一性【作者】袁海君【作者单位】山东商业职业技术学院,山东济南250103【正文语种】中文【中图分类】O172目前，物理学、生物化学、医学、控制论等学科的实际问题均可以通过偏微分方程来解决。

人们对其的研究日渐深入，并取得了很多重要的成果，使得这方面的理论日趋完善。

本文研究一类具有初边值问题的椭圆抛物型偏微分方ρt(u)-▽·(|▽u|p-2▽u)=f(t,x)其中，(t,x)∈(0,T)×Ω且ρ(u(0,x))=ρ0其中Ω是RN的一个有界区域(N≥1)，ρ:R→R是有界的非减的Lipschitz连续的函数，其中Lipschitz常数Cp>0。

近年来具有上述初值的椭圆抛物型方程解的问题受到越来越多的关注，在工程力学方面应用性越来越广泛。

文献[1]已经证明了该方程解的存在性。

接下来利用解的有序性来证明该方程解的唯一性。

首先结合文献[2]做如下假设(a)如果和▽，那么。

(b)对任意的和,并且有,有).为了去陈述下面的定理，接下来定义在凸集间的有序关系。

定义1对于两凸集⊂H,如果下面的结论成立，即对所有的1,有.我们就认为，并写作。

下面的引理主要是和解的有序性有关，而解的有序性又是由给定的数ρ0，f和K1(t)来决定的。

引理1(解的有序性)若u和分别是(*;ρ0,f,K1(t))和的解，并假设对所有的t∈[0,T]，有。

一类超线性p（t）-Laplacian系统的无穷多周期解张申贵【摘要】Using critical point theory, the author studied the existence of periodic solutions for non-autonomous p(t)-Laplacian systems with superlinear nonlinearity.Some sufficient conditions for the existence of infinitely many periodic solutions were obtained via the symmetric mountain pass theorem.%利用临界点理论研究非自治p(t)-Laplacian 系统周期解的存在性，在具有超线性增长非线性项时，根据对称山路定理，得到了系统无穷多个周期解存在的充分条件。

【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】5页(P34-38)【关键词】周期解;p(t)-Laplacian系统;临界点理论【作者】张申贵【作者单位】西北民族大学数学与计算机科学学院，兰州 730030【正文语种】中文【中图分类】O175.120 引言考虑非自治p（t）－Laplacian系统：其中p（t）∈C（［0，T］，ℝ＋），p（t）＝p（t＋T），T＞0，且假设：（A）F：［0，T］×ℝN→ℝ满足：F（t，x）关于变量t可测，F（t，x）关于变量x连续可微，存在a∈C（ℝ＋，ℝ＋），b∈L1（0，T；ℝ＋），使得非自治p（t）－Laplacian系统在非线性力学模型［1］、变流体模型［2］和图像恢复模型［3］等领域应用广泛.当p（t）＝2时，Rabinowitz［4］给出了如下条件（AR）：存在μ＞2，L＞0，使得对所有的a.e.t∈［0，T］和都成立.由于p（t）－Laplacian算子具有较复杂的非线性性，所以将已有结果推广为非自治p（t）－Laplacian系统增加了研究难度.近年来，人们开始利用临界点理论研究非自治p（t）－Laplacian系统周期解的存在性［5－11］.特别地，当条件（AR）成立时，Zhang等［5］得到了非自治p （t）－Laplacian系统无穷周期解的存在性定理.条件（AR）可以推出非线性项▽F（t，x）是超线性的，但很多超线性函数并不满足条件（AR）.例如本文在比条件（AR）更弱的超线性条件下，研究p（t）－Laplacian系统无穷多周期解的存在性.先将系统（1）的周期解转化为定义在一个适当空间上泛函的临界点，然后利用临界点理论中对称山路定理得到该问题无穷多解存在性的充分条件.1 预备知识记p（t）∈C（［0，T］，ℝ＋），定义其范数为记Sobolev空间其范数为记其中引理1［5］紧嵌入C（［0，T］，ℝN），则存在常数C0＞0，使得对∀u∈W1，p（t）T，有引理2［5］记则：引理3［5］在Sobolev空间上定义泛函φ如下：φ弱下半连续且连续可微，则是问题（1）的周期解当且仅当u是泛函φ的临界点.定义1 设X为Banach空间，若泛函φ∈C1（X，ℝ）满足：对任何点列及任何｛un｝⊂X，由｛φ（un）｝有界，（1＋‖un‖）‖φ′（un）‖→0（n→∞），蕴含｛un｝有收敛子列，则称泛函φ满足（C）条件.命题1（对称山路定理）［12］设E 为实Banach空间，φ∈C1（X，ℝ）是偶函数且满足（C）条件，φ（0）＝0.令E＝V⊕X，dimV＜＋∞.若φ满足：1）存在常数ρ，α＞0，使得2）对所有E的有限维子空间及常数使得则泛函φ有无穷多个临界点.2 主要结果假设以下条件成立：（H1）对a.e.t∈［0，T］一致成立；（H2）设存在r1＞p＋和M＞0，对a.e.t∈［0，T］一致成立；（H3）存在常数L＞0，C1＞0，使得当时，有（H4）存在常数L＞0，C2＞0，使得当时，有其中（H5）F（t，u）关于u是偶的，即F（t，u）＝F（t，－u）.本文的主要结果如下：定理1 设（H1）～（H5）成立，则问题（1）在中有无穷多个周期解.证明：1）证明泛函φ满足（C）条件，设使得先证明｛un｝在中有界.用反证法.若｛un｝在中无界，则当n→∞时，‖un‖→∞.由条件（H3）和假设（A）知，存在常数C4＞0，使得对所有的u∈ℝN 和a.e.t∈［0，T］都成立.由式（5），（6），有从而可得其中令则‖vn‖＝1.若｛un｝在 W1，p（t）T 中无界，反设当n→∞时，‖un‖→∞.由式（7），有由式（8）及内插不等式，有其中由反设，当n→∞时，‖un‖→∞，可取‖un‖＞1，由式（4），有又由式（5），当n充分大时，有由条件（H4）和式（5），当n充分大时，有其中由积分的绝对值不等式、Hölder不等式、式（9），（11），并注意到有由式（10），当n→∞时，有1＝o（1），矛盾.故｛un｝在中有界.再注意到紧嵌入C（［0，T］；ℝN）和的一致凸性，类似于文献［5］中定理3.2的证明，｛un｝有收敛子列，故泛函φ满足（C）条件.2）证明存在常数ρ，α＞0，使得其中由条件（H2），存在两个正常数ε和δ，使得0＜ε＜C0，0＜δ＜ε，其中C0为式（3）中的正常数，且对a.e.t∈［0，T］和成立.令ρ＝δ／C0，‖u‖＝ρ，因为ρ＜1，由式（4），（12），有令ρ充分小，使得取从而φ（u）≥α，对和‖u‖＝ρ成立.3）证明对任何的有限维子空间W，存在正常数R，使得φ（u）≤0对u∈W＼BR（0）成立，其中BR（0）为以原点为球心、以R为半径的球.由于dim W＜＋∞，有限维空间上各种范数等价，故存在正常数C7，使得对∀u∈W，有由条件（H1）及假设（A）知，存在常数C8＞0，使得对所有的u∈ℝN和a.e.t∈［0，T］都成立.由式（13），（14），取‖u‖＝R＞1，又由式（4），有因此，对充分大的‖u‖＝R＞1，有φ（u）≤0对u∈W＼BR（0）成立.从而泛函φ满足命题1的所有条件，故由命题1知，泛函φ 在中有无穷多个临界点，于是问题（1）在中有无穷多个周期解.注1 当p（t）＝2时，令取σ＜2，则F满足定理1中条件（H1）～（H5），但不满足文献［5－11］中定理的条件.参考文献【相关文献】［1］Zhikov V.On Some Variational Problems［J］.Russian J Math Phys，1997，11（5）：105－116.［2］Ruzicka M.Electrorheologial Fluids：Modeling and Mathematial Throry［M］.Berlin：Springer，2000.［3］CHEN Yun－mei，Levine S，Rao M.Variable Exponent，Linear Growth Functionals in Image Restoration［J］.SIAM J Appl Math，2006，66（4）：1383－1406.［4］Rabinowitz P H.Periodic Solutions of Hamiltonian Systems［J］.Comm Pure Appl Math，1978，31（2）：157－184.［5］ZHANG Liang，TANG Xian－hua，CHEN Jing.Infinitely Many Periodic Solutions for Some Second－Order Differential Systems with p（t）－Laplacian［J］.Boundary Value Problems，2011，33（2）：1－15.［6］FAN Xian－ling，FAN Xing.A Knobloch－Type Result for p（t）－Laplacian Systems ［J］.J Math Anal Appl，2003，282（2）：453－464.［7］WANG Xian－jun，YUAN Rong.Existence of Periodic Solutions for p（t）－Laplacian Systems［J］.Nonlinear Anal：Theory Methods ＆ Applications，2009，70（2）：866－880.［8］GE Bin，XUE Xiao－ping，ZHOU Qing－mei.Existence of Periodic Solutions for a Differential Inclusion Systems Involving the p（t）－Laplacian［J］.Acta Mathematica Scientia，2011，31（5）：1786－1802.［9］ZHANG Liang，TANG Xian－hua.Subharmonic Solutions for Some Non－autonomous Hamiltonian Systems with p（t）－Laplacian［J］.Bull Belg Math Soc，2011，18（3）：385－400.［10］ZHANG Liang，CHEN Yi.Existence of Periodic Solutions of p（t）－Laplacian Systems［J］.Bull Malays Math Sci Soc，2012，35（1）：25－38.［11］ZHANG Liang，ZHANG Peng.Periodic Solutions of Second－Order Differential Inclusions Systems with p（t）－Laplacian［J］.Abstract and Applied Analysis，2012，38（2）：475965.［12］Mawhin J，Willem M.Critical Point Theory and Hamiltonian Systems［M］.New York：Springer，1989.。

一类拟线性椭圆方程的多解性
一类拟线性椭圆方程的多解性在数学上有着重要的意义，相关的研究可以追溯到十九世纪末，其研究一直持续到今天。

本文将围绕一类拟线性椭圆方程的多解性展开，解释其特性，分析可能的原因。

首先，让我们来解释什么是一类拟线性椭圆方程的多解性。

它指的是一类使用二次代数方程式来描述椭圆的多重解答。

当一个函数有两个不同的解时，它就是一个多解性函数。

在本质上，一类拟线性椭圆方程的多解性意味着有多个符合椭圆特性的解。

换句话说，当函数有多个解时，它就具有一类拟线性椭圆方程的多解性。

一类拟线性椭圆方程的多解性可以用许多方法来证明。

最常见的方法是用数学归纳法证明，另一种是用椭圆的算法来证明，第三种方法是用椭圆的系数来证明。

其中数学归纳法用于证明当函数有多个解时，它就具有一类拟线性椭圆方程的多解性。

椭圆的算法可以用来求解椭圆的系数，系数越大，椭圆形状就越明显。

此外，一类拟线性椭圆方程的多解性还可以通过建立模型来验证。

在建立模型时，可以将椭圆转换为多解性函数来解决它的特性。

这样，可以验证椭圆的多解性特性，帮助我们更好地理解它的特性。

最后，一类拟线性椭圆方程的多解性可以用图像来表示。

常见的方法是用图表来显示椭圆的形状，用箭头符号表示椭圆的多解性。

这样，我们可以更全面地了解一类拟线性椭圆方程的多解性特性。

综上所述，一类拟线性椭圆方程的多解性具有重要的意义，它可以使用数学归纳法，椭圆的算法，椭圆的系数，建立模型和图像来证
明。

为此，未来的研究应该结合理论分析和数值实验来进一步探究一类拟线性椭圆方程的多解性特性。

带Φ-Laplacian算子的差分方程周期边值问题正解集的全局结构龙严【期刊名称】《《四川大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(056)005【总页数】6页(P827-832)【关键词】差分方程; 周期边值问题; 拓扑度理论; 分歧理论【作者】龙严【作者单位】青海师范大学数学与统计学院西宁 810000【正文语种】中文【中图分类】O175.81 引言Φ-Laplacian方程在力学、天体物理及非线性分析中有着广泛的应用,其解的存在性和多解性是许多学者关注的问题之一[1-3]. 此外,由于地球上普遍存在着周期现象,一直以来对于周期边值问题的研究从未停止过.微分方程周期边值问题,已有学者运用锥上的不动点理论、上下解方法、分歧理论以及临界点理论等方法进行过研究,参见Rabinowitz、 Ambrosetti、 Constantin、 Coelho等的工作[4-9].2010年,Xu和Ma[10]首次运用拓扑度理论与区间分歧理论考虑了类似的二阶微分方程周期边值问题正解集的全局结构,其中λ∈ [0,+)是一个参数,q∈C( [0,2π],(0,+)),f∈C1( [0,2π]×(0,+))，但对于差分方程周期边值问题的研究还相对较少.特别地,2008年Bereanu和Mawhin[1]中运用Brouwer度理论与上下解方法研究了带Φ-Laplacian 算子的差分方程周期边值问题(1)解的存在性,其中为一个增同胚映射,且φ(0)=0, 0<a<,f=(f1,…,fT-1)是从R2照到Rn-1的连续函数，并得到如下结果:定理1.1 若问题(1)有一个下解α=(α1,…,αn)和一个上解β=(β1,…,βn)，则问题(1)有至少一个解.值得注意的是，以往的工作只局限于运用上下解方法、不动点理论等研究差分方程周期边值问题解的存在性.一个自然的问题是:拟线性的情况下是否可以运用区间分歧理论得到相应周期边值问题解集的全局结构?一般运用分歧理论得到解集的全局结构时都要求非线性项在平凡解或无穷远处可以线性展开,但当非线性项在平凡解或无穷远处不可以线性化时,这类问题解集的全局结构的研究还很少.受文献 [10]的启发,本文将研究带Φ-Laplacian 算子的差分方程周期边值问题(2)正解集的全局结构,其中且T>1,Δut=ut+1-ut,ut=ut-ut-1,λ∈ [0,)为一个参数,为一个递增的同胚映射, 且φ(0)=0.本文用到的工具为定理1.2(Rabinowitz) 设V是一个实的自反Banach空间.令F:R×V→V是全连续的,使得F(λ,0)=0,∀λ∈R.设a,b∈R(a<b)使得对于λ=a和λ=b,u=0是方程u-F(λ,u)=0,u∈V的孤立解,其中(a,0),(b,0)不是方程(3)的分歧点.进一步地,假设deg(I-F(a,·),Br(0),0)≠deg(I-F(b,·),Br(0),0),其中Br(0)是非平凡解的孤立邻域.设ϑ∪( [a,b]×{0}).则在R×V中存在从[a,b]×{0}分歧出的连通分支C⊂ϑ,且以下两者之一成立:(i) C在R×V中无界;(ii) C∩[R\[a,b]×{0}]≠∅.本文总假定:(0,))且对于任意的[0,), [0,)),f(t,0)=0,且f(t,s)>0,∀s>0;(G3) 存在函数[0,))以及[0,), [0,))使得当s→0时,其中本文的主要结果为定理1.3 如果条件(G1)～(G3)成立,那么存在从处分歧出的问题(2)的一条无界连通分支C⊂(0,)×VT-1,使得),其中VT-1={u∈RT+1|u0=uT,u1=uT+1}.进一步地,记λ1>0为线性特征值问题的主特征值,其中qn,ωn是实数,且ωn>0,n∈T.如果那么问题(2)至少存在一个正解.2 预备知识VT-1按范数‖u‖构成Banach空间,其中u=(u0,u1,…,uT).记∑⊆R×VT-1为问题(2)正解集的闭包.将f延拓为定义在上的连续函数显然在上引理2.1[φ(Δut)]=引理2.2 若则h(y,z)<2且证明一方面,如果|y|<1且|z|<1,那么另一方面,如果当y→0时且当z→0时那么因此,问题(2)等价于常差分方程边值问题即由文献 [12]可知,问题(2)等价于算子方程ut=Aut,其中(4)且G(t,s)>0,t,s∈T.定义映射Φλ:VT-1→VT-1为Φλ=u-Au,接下来我们将用Brouwer度理论计算其拓扑度.记deg(Φλ,BR,0)为Φλ在BR上关于0的拓扑度,其中B R={u∈VT-1|‖u‖<R},∀R>0.3 主要结果的证明引理3.1 如果Λ⊂[0,)是一个紧区间,且那么存在ε1>0,使得对于任意λ∈Λ,有Φλ(u)≠0,∀u∈VT-1:0<‖u‖≤ε1.证明反设存在Λ中的序列{σj}与VT-1中的序列{uj},满足σj→σ0∈Λ,uj→0,且使得Φσj(uj)=0,∀j∈N.根据与G的非负性可得uj≥0.令vj:=uj‖uj.则根据条件(G3)可得(5)因为j→+时uj→0,所以由引理2.2可得即再根据引理2.2可得为VT-1中的有界集,即vj为VT-1中的相对紧集.故存在{vj}的子列(仍记为{vj})使得,且=1.令l(y,z)=h(y,z)-1.由引理2.2结合(5)式可得记φ1为λ1所对应的特征函数.则有(6)又因为vj满足(7)一方面,结合(6)与(7)式可得(8)因为所以由(8)式可得(9)另一方面,因为所以当时有这与(9)式矛盾！同理可证,当时也产生矛盾.假设错误.结论得证.推论3.2 对于任意的与ε∈(0,ε1),有deg(Φλ,Bε,0)=1.证明由引理3.1,若则存在ε1>0,使得对于任意的ε∈(0,ε1),λ∈Λ,η∈[0,1],u∈VT-1且0<‖u‖≤ε,有u-ηAu≠0.从而对于任意的ε∈(0,ε1)有deg(Φλ,Bε,0)=deg(I,Bε,0)=1.引理3.3 如果那么存在ε2>0,η≥0,使得对于任意的u∈VT-1且0<‖u‖≤ε2,有Φλ(u)≠ηφ1.证明反设存在),η0,ηj∈[0,1],uj∈VT满足ηj→η0,‖uj‖→0,使得当j→时Φσ0(uj)=ηjφ1.则由引理3.1的证明可得再根据引理2.2可得为VT中的有界集,即vj为VT中的相对紧集.故存在{vj}的子列(仍记为{vj})使得且=1,并满足(10)一方面,结合(6)与(10)式可得另一方面,因为),所以显然矛盾！假设错误.结论得证.推论3.4 对于任意的与ε∈(0,ε2)有,deg(Φλ,Bε,0)=0.证明令ε∈(0,ε2).由于Φλ在Bε上是有界的,则存在c>0使得Φλ(u)≠cφ1,∀u∈Bε.再根据引理3.3可得,∀η∈ [0,1],有Φλ(u)≠ηcφ1,所以deg(Φλ,Bε,0)=deg(Φλ-cφ1,Bε,0)=0.定理1.3的证明问题(4)在平凡解线上存在唯一的正解的分歧区间且存在一条问题(2)正解的无界连通分支C从区间分歧出,并满足事实上,根据引理3.1与引理3.3,对于任意给定的n∈N,满足且当n充分大时存在Rn>0使得对于任意给定的r≤Rn,定理1.2的条件都满足.从而存在问题(4)正解的连通分支Cn使得以下情形之一成立:(c1) Cn在λ轴方向上是无界的;(c2)存在区间(c,d)满足且使得Cn连接[c,d]×{}.若u是问题(2)的解,则根据可得‖u‖这就说明上述情形(c2)不会发生.因此Cn是从处分歧出的在λ轴方向上无界的连通分支.容易验证，当λ→时,‖u‖根据引理3.1可得,对于任意的闭子集有{u∈VT-1|(λ,u)∈∑,λ∈I}在VT-1中有界,所以Cn是问题(2)从处分歧出的且在λ轴方向上无界的正解集的连通分支.因此,问题(2)存在一条从分歧出的且在λ轴方向上无界的正解集的连通分支C⊂(0,)×VT-1.又因为当λ=0时问题(2)只有平凡解,所以)(11)注1 如果a0=a0,那么从处分歧出的问题(2)正解集的无界连通分支C在λ轴方向上无界并且满足(11)式.参考文献:【相关文献】[1] Bereanu C, Mawhin J. Boundary value problems for second order nonlinear difference equations with discrete Φ-Laplacian and singular Φ [J]. J Diff Equ Appl, 2008, 14: 1099. [2] Ma R, Lu Y. Existence and multiplicity of solutions of second-order discrete Neumann problem with singular Φ-Laplacian operator [J]. Adv Diff Equ, 2014, 2014: 1.[3] Bereanu C, Mawhin J. Nonhomogneous boundary value problems for some nonlinear equations with singular Φ-Laplacian [J]. J Math Anal Appl, 2009, 352: 218.[4] Rabinowitz P H. Some global results for nonlinear eigenvalue problems [J]. J Funct Anal, 1971, 7: 487.[5] Ambrosetti A, Hess P. Positive solutions of asymptotically linear elliptic eigenvalue problems [J]. J Math Anal Appl, 1980, 73: 411.[6] Constantin A. A general-weighted Sturm-Liouville problem [J]. Ann Sc Norm Super Pisa, 1997, 24: 767.[7] Coelho I, Corsato C, Obersnel F. Positive solutions of the Dirichlet problem for the one-dimensional Minkowski-curvature equation [J]. Adv Nonlinear Stud, 2012, 12: 621.[8] 马满堂. 一类非线性二阶常微分方程周期问题正解的存在性[J]. 四川大学学报: 自然科学版, 2018, 55: 693.[9] 叶芙梅. 线性二阶周期边值问题正解的全局结构 [J]. 四川大学学报: 自然科学版, 2018, 55: 452.[10] Xu J, Ma R Y, Bifurcation from interval and positive solutions for second order periodic boundary value problems [J]. Appl Math Comput, 2010, 216: 2463.[11] Rabinowitz P H. Some aspects of nonlinear eigenvalue problems [J]. Rocky Mountain J Math, 1973, 3: 161.[12] Kelley W G, Peterson A C. Difference equations: an introduction with applications [M]. New York: Academic Press, 1991.。

无穷区间上具有P—Laplacian算子边值问题的正解刘依;陈海波【期刊名称】《数学理论与应用》【年(卷),期】2011(031)004【摘要】研究了一类在无穷区间上具有P—Laplacian算子的边值问题的迭代正解．利用单调迭代方法得到问题的迭代正解存在性的充分条件，同时得到了解的相应迭代序列，最后给出例子证明所得结论．%We investigate the existence and successive iteration of positive solutions for a class of boundary value problems with p - Laplacian on infinite intervals, we get its sufficient condition, and the corresponding iterative schemes for approximating the solutions are also given. Finally we take an example to proof the result we obtain.【总页数】6页(P1-6)【作者】刘依;陈海波【作者单位】中南大学数学科学与计算技术学院,长沙410004;中南大学数学科学与计算技术学院,长沙410004【正文语种】中文【中图分类】O175.8【相关文献】1.在无穷区间具有p-Laplacian算子的脉冲微分方程边值问题正解的存在性 [J], 钟嫒;韦煜明;冯春华2.无穷区间上含有p-Laplacian算子的n阶积分边值问题正解的存在性 [J], 禹长龙;王菊芳;李国刚3.半无穷区间上一类带 P-Laplacian算子微分方程m点边值问题多个正解的存在性 [J], 张伟;高鹏;张迪4.无穷区间上分数p-Laplacian方程边值问题正解的存在性 [J], 王金华; 向红军5.p-Laplacian算子边值问题在半正无穷区间正解的存在性 [J], 廉立芳;葛渭高因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

无穷拉普拉斯算子的定义概述说明以及概述1. 引言1.1 概述本篇长文将阐述无穷拉普拉斯算子的定义、概述说明以及相关发展历程。

作为数学领域中重要的分析工具之一，无穷拉普拉斯算子在物理学、工程学和计算机科学等多个领域都有广泛应用。

通过对其定义与性质的深入探讨，我们可以更好地理解和应用这一概念。

1.2 文章结构本文包含四个主要部分。

首先是引言部分，对文章进行概述并介绍该算子的研究目的。

第二部分将重点阐述无穷拉普拉斯算子的定义，并详细解释其背后的原理和推导过程。

接下来的第三部分将对无穷拉普拉斯算子进行概述说明，包括其在数学理论基础上的应用以及在不同领域中的实际应用案例。

最后，结论部分将总结本文主要观点并展望未来对该算子研究可能的发展方向。

1.3 目的本文旨在提供一个全面而清晰的介绍关于无穷拉普拉斯算子的内容，并深入探讨它在理论和实践中的应用。

通过对其定义的详细解释以及相关领域中的具体应用案例，读者可以更好地理解和掌握这一概念，并为后续研究提供基础和思路。

同时，本文也希望能够激发更多关于无穷拉普拉斯算子的研究工作，推动算子在不同学科领域的进一步应用与探索。

以上就是对文章“1. 引言”部分内容的详细清晰撰写。

如有其他问题或需补充，请随时告知。

2. 无穷拉普拉斯算子的定义2.1 概述无穷拉普拉斯算子（Infinite Laplacian Operator）是一个在数学分析和偏微分方程中经常用到的算子。

它是对实数空间或欧几里得空间中的函数进行微分运算的一种方式。

无穷拉普拉斯算子是二阶偏导数的总和，通常表示为∆或△。

2.2 定义说明无穷拉普拉斯算子在二维欧几里得空间中可以表示为：∆u = ∂²u/∂x²+ ∂²u/∂y²其中，u是定义在平面上的实值函数，∂²/∂x²和∂²/∂y²分别表示沿着x轴和y 轴方向的二阶偏导数。

在三维欧几里得空间中，无穷拉普拉斯算子的定义如下：∆u = ∂²u/∂x²+ ∂²u/∂y²+ ∂²u/∂z²类似地，在更高维度空间中，无穷拉普拉斯算子会涉及到更多坐标轴上的偏导数。

广义p-Laplace边值问题正解的存在性与多解性白定勇;左敏贤【摘要】利用锥上的不动点理论讨论一类含参广义p-Laplace边值问题正解的存在性与多解性,给出了参数λ的显式开区间.已有文献在多解性研究中,通常要求非线性项在正半轴恒正.本文改进这一基本假设条件,允许非线性项在正半轴的某些子集上恒为零.%A generalized p -Laplacian boundary value problem with a parameter is concerned. By using the fixed-point theorem in cones, some results of existence and multiplicity of positive solutions for the problem are established with the parameter belonging to corresponding explicit intervals. In the existed literatures about multiplicity of positive solutions, the nonlinear terms are usually required to be positive for all positive real numbers. This condition is relaxed in the present paper, more precisely, the nonlinear terms can vanish on some subset.【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(052)001【总页数】6页(P40-44,50)【关键词】广义p-Laplace边值问题;参数;正解;锥【作者】白定勇;左敏贤【作者单位】广州大学数学与信息科学学院∥数学与交叉科学广东普通高校重点实验室(广州大学),广东广州 510006;广州大学数学与信息科学学院∥数学与交叉科学广东普通高校重点实验室(广州大学),广东广州 510006【正文语种】中文【中图分类】O175考虑如下边值问题其中，λ是个正参数。

配置法中线性椭圆算子的有效处理方法
王宣欣;韩振来;韩雪
【期刊名称】《济南大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(019)004
【摘要】给出了一类线性椭圆算子的处理方式中有关结论的证明,该结论巧妙地将椭圆算子作内积后分为两部分进行处理,进而得到它们的估计.
【总页数】2页(P331-332)
【作者】王宣欣;韩振来;韩雪
【作者单位】济南大学,理学院,山东,济南,250022;济南大学,理学院,山东,济
南,250022;济南大学,理学院,山东,济南,250022
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.椭圆特征值问题基于高斯点的一种有效的谱配置法 [J], 王国琳; 安静
2.含Φ-Laplace算子和凹凸非线性项的拟线性椭圆型方程正解的分歧性 [J], 王明旻;贾高
3.含Φ-Laplace算子的拟线性椭圆型方程解的存在性 [J], 孙爱群
4.RN中含Φ-Laplace算子和凹凸非线性项的拟线性椭圆型方程解的存在性 [J], 孙爱群;贾高
5.含Φ-Laplace算子的拟线性椭圆型方程的无穷多解 [J], 王明旻;贾高
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(R)N上一类p(x)-Laplacian方程的无穷多解问题
付永强;张夏
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2010(030)002
【摘要】该文主要讨论了如下p(x)-Laplacian算子方程的解.-div(|▽u|)p(x)-
2▽u)+|u|p(x)-2=f1(x,u)+f2(x,u),x∈(R)N其中1<P-≤p(x)≤P+<N.得到了上述方程在变指数Sobolev空间W1,p(RN)中的一列能量值趋向正无穷的解.
【总页数】7页(P465-471)
【作者】付永强;张夏
【作者单位】哈尔滨工业大学数学系,哈尔滨,150001;哈尔滨工业大学数学系,哈尔滨,150001
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.无穷区间上p-Laplacian积微分方程极值解的存在性 [J], 方玉萍;王颖
2.半无穷区间上一类带 P-Laplacian算子微分方程m点边值问题多个正解的存在性 [J], 张伟;高鹏;张迪
3.一类具有p-Laplacian算子的奇异分数阶微分方程无穷点边值问题的正解 [J], 仲秋艳;张兴秋
4.无穷区间上分数p-Laplacian方程边值问题正解的存在性 [J], 王金华; 向红军
5.无穷区间上分数阶带p-Laplacian算子微分方程积分共振边值问题解的存在性（英文） [J], 刘宗宝;刘文斌;张伟
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p-Laplacian算子型奇异边值问题的正解
白定勇;马如云
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2005(025)002
【摘要】运用锥拉伸压缩原理,讨论了一类具有p-Laplacian算子型的非线性奇异边值问题正解的存在性,并对所得结果给出了一些应用和例子.
【总页数】5页(P166-170)
【作者】白定勇;马如云
【作者单位】中山大学数学系,广州,510275;韶关学院数学系,韶关,512005;西北师范大学数学系,兰州,730070
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.一维p-Laplacian算子型奇异边值问题可数多正解的存在性 [J], 姜燕君;张才仙;胡凤珠
2.具p-Laplacian算子型奇异边值问题正解的存在性 [J], 李必文
3.p-Laplacian算子型奇异方程组边值问题强正解存在性 [J], 柴国庆
4.具P-Laplacian算子型奇异边值问题正解的存在性 [J], 王智勇;张吉慧
5.具p-Laplacian算子型奇异边值问题的正解 [J], 宋常修; 翁佩萱
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二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程的无穷多次调和解的开题报告一、研究背景和意义二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程是一类重要的偏微分方程，其解的存在性和唯一性一直是研究的热点问题。

其中特别值得注意的是其调和解的研究。

调和解是指对于二阶偏微分方程而言，其满足拉普拉斯算子的行为，即在空间中的每一点处，其二阶导数之和等于零。

在实际问题中，调和解具有广泛的应用，如电子学、地球物理学、流体力学等领域。

在此基础上，研究二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程的无穷多次调和解具有重要意义。

无穷多次调和解的存在性不仅是刻画方程解的性质的基础，也为研究特殊解、边值问题的解而提供了重要工具。

二、研究现状随着学者们对偏微分方程理论的不断深入研究，对于二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程的调和解的研究逐渐成为了热点问题。

目前已经有很多研究者对此做出了探究。

在国内，李兴洙教授等人通过引入互补能量方法，证明该方程具有无穷多次调和解。

并且，他们还构造了具有周期性的解类型。

除此之外，还有一些学者通过Brouwer度理论等方法，证明了该方程在某些条件下具有调和解的存在性和唯一性。

这些研究为二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程的调和解研究提供了重要的思路和方法。

三、研究内容和展望本课题拟对二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程的无穷多次调和解进行进一步深入的研究。

具体的研究内容包括：1. 建立适当的数学模型，探究二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程的条件和性质。

2. 进行分析，证明该方程具有无穷多次调和解的存在性。

3. 构造该方程的某些有特殊条件的解，并进行求解。

例如构造具有周期性的解类型。

4. 探讨调和解的性质，如解的整体性、唯一性等等。

通过本次研究，我们将对二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程调和解存在性和特殊解类型的研究取得新的进展和成果，进一步推动偏微分方程的理论发展。

一类p-Laplace方程的无穷多解周正【摘要】本文考虑了一类p-Laplacian方程：-Δp u + u p-2 u = f( x,u),x∈RN ,其中奇函数f( x,u)满足一定的增长性条件,同时F( x,u)在u =0附近具有局部超线性,使得能量泛函( PS)列具有紧性；利用变分方法以及应用Clark定理,得到了其无穷多解的存在性。

%The following p-Laplace equation was studied -Δpu+V( x) u pu = f( x, u) , x∈RN. Since f( x, u) is odd and satisfies some increasing condition on u, and F( x, u) is superlinear on u near 0 in some ball in RN. Then the ( PS) condition is satisfied. By variational method and using the Clark theorem, the existence of infinitely many solutions were obtained.【期刊名称】《厦门理工学院学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】4页(P91-94)【关键词】p-Laplace方程;Clark定理;变分方法;无穷多解【作者】周正【作者单位】厦门理工学院应用数学学院，福建厦门361024【正文语种】中文【中图分类】O175.29Clark定理[1]首先被D.C.Clark提出，它是研究临界点理论的一个重要工具，经常被用于研究带有对称性的次线性微分方程.H.P.Heinz随后给出了另一种形式的Clark定理：定理1 设X为Banach空间, Φ∈C1(X,R) . 假设Φ满足(PS)条件，偶泛函并且有下界，同时Φ(0)=0.若对任意的k∈N, 都存在X的k-维子空间Xk使得supXk∩SρkΦ<0, (其中，则Φ存在一列临界值ck<0并且当k→μ时ck→0[2].由定理1引发一个问题，那就是是否存在一列临界点uk使得当k→∞时有Φ(uk)→0并且→0呢？随后Liu与Wang在文献[3]中进行了深入研究，得到了如下Clark定理：定理2 设X为 Banach 空间,Φ∈C1(X,R).假设Φ满足(PS)条件，偶泛函并且有下界，同时Φ(0)=0.若对任意的k∈N,都存在X 的k-维子空间Xk使得supXk∩SρkΦ<0,(其中，则如下至少有一个结论成立.ⅰ)存在一列临界点uk满足Φ(uk)<0，并且(k→).ⅱ)存在r>0使得对任意0<a<r，都存在临界点u使得，并且Φ(u)=0.文献[3]利用定理2，考虑了如下p-Laplace方程：其中u)，p>1.得到了如下结论：定理3 假设方程(1)满足如下条件：(a1)存在正数δ>0,1≤γ<p,C>0使得f∈C(RN×[-δ,δ],R),f关于u为奇函数,且,同时在某领域Br(x0)⊂RN内一致有；(a2)V,Q∈C(RN,R1),V(x)≥α0，并且0<Q(x)≤β0对某数α0>0,β0>0成立,且满足M≜).则方程(1) 有无穷多解uk使得(k→).在文献[4-6]中也有类似p(x)-Laplace方程，其(PS)条件往往由类似Ambroseti-Rabinowitz条件保证，而文献[3]中的V满足的条件对紧性有重要影响.注意到：若定理3中的条件(a2)中的M为一常数，比如M=1∉L1(RN)，结论还成立吗？作者因此考虑p>1时一类最特殊情形，即Q(x)=V(x)=1时对应的方程：本文通过对f进行某些限制，采用类似文献[3]的方法，我们得到了如下结果：定理4 假设方程(2)满足如下条件：(*) 存在正数δ>0,1≤γ<p,C>0使得f∈C(RN×[-δ,δ],R),f关于u为奇函数,且,同时在某领域Br(x0)⊂RN内一致有.则方程(2) 有无穷多解uk使得(k→).首先定义方程(2)的解：定义1 称u∈W1,p(RN)为方程(2)的解，如果对任意，都有如下等式成立：下面分3步来证明定理4.1)首先构造合适的泛函并得到强制性.首先考虑f(x,u)的截断函数∈C(RN×R,R),关于u为奇函数，当<δ/2时，(x,u)=f(x,u)；当时，关于x∈R一致成立.为应用定理2,先考虑如下方程：它是如下泛函对应的Euler方程其中(x,s)ds,∀(x,t)∈RN×R，X=W1,p(RN)有如下范数：容易证明Φ∈C1(X,R),Φ为偶泛函,且Φ(0)=0.对于u∈X, 利用f的性质，有2)证明极小化序列满足(PS)条件.设为(PS)序列,及Φ(un)有界并且Φ′(un)→0，则{un}有界.假设un在W1,p(RN)范数下弱收敛于u，则在意义下有un→u，且Φ′(u)→0,从而〈Φ′(un)-Φ′(u),un-u〉→0.即：首先证明I2→0.其中为常数.很显然当p≥2时，p，接下来我们将证明当1<p<2时，2.对任意w,v∈X,有如下不等式成立：即令，代入(5),(6)可得：当1<p<2时，.综上，当p>1时，条件成立.3)方程(3)有无穷多解.事实上,对任意K > 0,存在δ=δ(K)>0，当且时,则有,所以这就意味着对任意的k∈N,如果Xk是(Br(x0))的k-维子空间，当ρk>0充分小时便有supXk∩SρkΦ<0(其中).利用定理2，方程(3)有无穷多解{uk}，并且(k→).接下来将证明(k→)，便有f.当1<p<N,记.设u为方程(3)的解，α>0,T>0为给定常数.定义 uT(x)=max{-T,min{u(x),T}}.将方程(3)两边同乘以可得：结合Sobolev不等式有其中C≥1不依赖于u,α.设α0=p*.即由(8)迭代得：其中.令T→，然后k→得其中，而为某正数.当p≥N时，p*=时证明更容易.综上，当k充分大时uk为式(2)的解，且(k→).【相关文献】[1]CLARK D C.A variant of the Lusternik-Schnirelman theory[J].Indiana Univ Math J，1972，22:65-74.[2]HEINZ H P.Free Lusternik-Schnirelman theory and the bifurcation diagrams of certain singular nonlinear systems[J].J Diff Eqn,66(1987),263-300.[3]LIU Z,WA NG Z Q.On Clark’s theorem and its applications to partially sublinear problems[J].Ann I H Poincar C AN,2014,108:18-213.[4]ZHIKOV V V.Averaging of functionals of the calculus of variations and elasticitytheory[J].Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat,1986,50(4):675-710.[5]ACERBI E,MINGIONE G.Regularity results for stationary electro-rheological fluids[J].Arch Ration Mech Anal,2002,164(3):213-259.[6]LIU Z,WANG Z Q.Schrödinger equations with concave and convex nonlin-earities[J].Zangew Math Phys,2005,56:609-629.。

一类超线性椭圆方程的无穷多解近些年，超线性椭圆方程的研究受到了越来越多的科学家的关注。

研究发现，一类超线性椭圆方程具有无穷多的解，而使用传统的方法或定理可以解出一小部分解，小规模的计算任务受到限制。

超线性椭圆方程是一类非线性方程，可以形式化定义为：$$frac{d^2 y}{dx^2}+f(x,y,frac{dy}{dx})=0$$其中$f(x,y,frac{dy}{dx})$是一个连续函数，$f(x,y,frac{dy}{dx})$可以定义为超线性椭圆方程的通用系数函数。

超线性椭圆方程可以进一步细分为双曲线微分方程，双曲线偏微分方程，双曲线非线性方程等等。

当超线性椭圆方程的通用系数函数$f(x,y,frac{dy}{dx})$满足一定的条件时，这类方程具有无穷多的解。

首先，如果$f(x,y,frac{dy}{dx})$在$(a,b)$上有逆函数$F(x,y,u)$，即$$f(x,y,u)=frac{dF}{du}，$$那么方程（1）就有无穷多个解，它们可以写成$$y=F(x,c_1,c_2,dots ,c_n)$$其中$c_1,c_1,c_2,dots ,c_n$是常数，称为方程的初始条件。

给出任意一组初始条件，就可以求出方程的无穷多解。

另外，当$f(x,y,frac{dy}{dx})$是由函数$y=f(x)$构造而成的时候，也可以构造一类超线性椭圆方程，它具有无穷多的解。

这里，方程的形式如下：$$frac{d^2y}{dx^2}+A(x)y+B(x)frac{dy}{dx}+C(x)=0$$其中$A(x)、B(x)、C(x)$是养殖函数，而$f(x)$是方程的解。

这类超线性椭圆方程又叫Cauchy-Euler方程，它也有无穷多的解，可以表示为$$y=f(x)+c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+dots+c_ne^{r_nx}$$其中$c_1,c_2,dots,c_n$是任意常数，$r_1,r_2,dots,r_n$则是解的特征方程的特征根，由上式可以看出，这类超线性椭圆方程也有无穷多的解。