仿真卷07-决胜2020年高考数学(理)实战演练仿真卷(解析版)

决胜2020年高考数学（理）实战演练仿真卷05（满分150分，用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型B.填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则集合A∩B的子集的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．41.【答案】D【解析】A表示圆x2＋y2＝1上所有点的集合，B表示直线y＝x上所有点的集合，故A∩B 表示直线与圆的交点构成的集合，由图可知交点的个数为2，即A∩B中元素的个数为2. 子集的个数为4.2．若数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2－1，则a1＋a3＝()A．10 B．11 C．17 D．182.【答案】B【解析】a1＝S1＝2－1＝1，a3＝S3－S2＝2×32－2×22＝10，所以a1＋a3＝11．故选B．3.已知7sin cos5αα+=-，22sin cos5αα-=-，则cos2α=（）A．725B．725-C．1625D．1625-3.【答案】A【解析】因为7sin cos522sin cos5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，所以3sin5α=-，从而27cos212sin25αα=-=.4．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是空气质量合格，下面四种说法正确的是()①1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个②第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了③8月是空气质量最好的一个月④6月的空气质量最差A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④4.【答案】A【解析】1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5个，故①正确；第一季度合格天数的比重为22＋26＋1931＋29＋31≈0．736，第二季度合格天数的比重为19＋13＋2530＋31＋30≈0．626，所以第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了，故②正确；8月空气质量合格的天数达到30天，是空气质量最好的一个月，故③正确；5月空气质量合格天数只有13天，空气质量最差，故④错误．故选A．5．如图，在ABC∆中，23AN NC=u u u r u u u r，P是BN上一点，若13AP t AB AC=+u u u r u u u r u u u r，则实数t的值为A．23B．25C．16D．345.【答案】C【解析】因为B、P、N共线，所以2(1)(1)5AP t AB t AN t AB t AC=+-=+-⨯⨯u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，因而21(1)=53t-⨯解得：16 t=.6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z226.【答案】D【解析】对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1＝z2，正确；对于选项B，若z1＝z2，则z1＝z2＝z2，正确；对于选项C，z1·z1＝|z1|2，z2·z2＝|z2|2，若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2，正确；对于选项D，如令z1＝1＋i，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|，而z21＝2i，z22＝－2i，故不正确．故选D．7. 在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1n＋1＝a nn＋ln⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n，则a n＝()A．2＋n ln n B．2n＋(n－1)ln nC．2n＋n ln n D．1＋n＋n ln n 7.【答案】C【解析】由题意得a n＋1n＋1－a nn＝ln(n＋1)－ln n，则a nn＝a11＋⎝⎛⎭⎪⎫a22－a11＋⎝⎛⎭⎪⎫a33－a22＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫a nn－a n－1n－1＝2＋(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋[ln n－ln(n－1)]＝2＋ln n，所以a n＝n(ln n＋2)．故选C．8．一个四棱锥的三视图如右图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，该几何体内有一球与几何体的各个面均相切，则该球的表面积为A．(6310)π-B．(1683)π-C．4πD．43π8.【答案】B【解析】根据几何体的三视图，转换为几何体为：2的正方形，故底面的对角线长为2，所以四棱锥的高为12×2＝12.设内切圆半径为r，则由等体积法2111(22)4(22sin60)3332V r r︒==⨯+⨯⨯，解得31r=，内切球表面积为=(1683)Sπ-.故选：B.9. 7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为() A．120 B．240 C．360 D．4809.【答案】C【解析】前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C14C13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻有A25种，若相邻有C15C12种，故共有C14C13(A25＋C15C12)＝360(种)，故选C．10.已知函数()42x xf x a a=-⋅+，在(0,)x∈+∞的图像恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A．3a≤B．2a>C．04a<<D．4a<10.【答案】D【解析】令2xt=，(0,)x∈+∞则()1,t∈+∞，函数化成2y t at a=-+则函数()42x x f x a a =-⋅+，在(0,)x ∈+∞图象恒在x 轴上方， 可转化成20t at a -+>在()1,t ∈+∞恒成立，故21t a t <-在()1,t ∈+∞恒成立，则有2211111121111t t t t t t t t t t -+-+==++=-++----且10t ->，则22241t t ≥+=-，又21t a t <-在()1,t ∈+∞恒成立， 则2min41t a t ⎛⎫<= ⎪-⎝⎭，故a 的范围4a <.故选：D11.已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ；当sin x >cos x 时，f (x )＝sin x .给出以下结论：①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；④当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0； ⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 11.【答案】C【解析】易知函数f (x )是周期为2π的周期函数．函数f (x )在一个周期内的图象如图所示．由图象可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当 x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.12．已知函数2()2ln 3f x x a x =++，若12,[4,)x x ∀∈+∞（12x x ≠），[2,3]a ∃∈，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是（ ）A ．[2,)-+∞B ．5[,)2-+∞ C. 9(,)2-+∞ D ．19[,)4-+∞12.【答案】D【解析】设12x x >，因为2112()()2f x f x m x x -<-，所以1122()2()2f x mx f x mx +>+，记()()2g x f x mx =+，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，故'()0g x ≥在[4,)+∞上恒成立，即2220a x m x ++≥在[4,)+∞上恒成立，整理得am x x-≤+在[4,)+∞上恒成立，因为[2,3]a ∈，所以函数a y x x =+在[4,)+∞上单调递增，故有44am -≤+，因为[2,3]a ∃∈，所以max 19(4)44a m -≤+=，即194m ≥-.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，共20分，将最终结果填在答题纸上.）13．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为____________．I ＝1 S ＝1WHILE I ＜6 I ＝I ＋2 S ＝2S WEND PRINT SEND13.【答案】8【解析】该伪代码运行3次：第1次，I ＝3，S ＝2；第2次，I ＝5，S ＝4；第3次，I ＝7，S ＝8，结束运行．故输出的S 的值为8.14．设变量x ，y 满足36020,3x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则变量1y z x =+的最大值为 ．14.【答案】32【解析】根据约束条件画出可行域，如图所示，1yz x =+的几何意义可以看做可行域内一点(,)x y 和点D (1,0)-的连线的斜率.因此可知变量z 的最大值为32.15. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <2， a n ＝f (n )，若数列{a n }是递减数列，则实数a 的取值范围是______________. 15.【答案】a ＜74【解析】由题意，知f (x )＝(a －2)x 在(2，＋∞)上是减函数，且a 1＞a 2，所以⎩⎨⎧a －2<0，f （1）>f （2），即⎩⎨⎧a <2，⎝ ⎛⎭⎪⎫121－1>2（a －2）， 解得a ＜74．16．已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆22(2)1x y -+=于点A ，B ，C ，D 四点，则||4||AB CD +的最小值为 ． 16.【答案】13【解析】因为28y x =，所以焦点(2,0)F ，准线0:2l x =-，由圆：22(2)1x y -+=，可知其圆心为(2,0)，半径为1， 由抛物线的定义得：2A AF x =+，又因为1AF AB =+，所以1A AB x =+，同理1D CD x =+， 当l x ⊥轴时，则2A D x x ==，所以4214(21)15AB CD +=+++=， 当l 的斜率存在且不为0时，设:(2)l y k x =-时，代入抛物线方程，得： 2222(48)40k x k x k -++=，2248,4A D A D k x x x x k++=⋅=， 所以4(1)4(1)545245813A D A D A D AB CD x x x x x x +=+++=++≥+⋅=+=， 当且仅当4A D x x =，即1,4D A x x ==时取等号， 综上所述，4AB CD +的最小值为13， 故答案是：13.三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17.(本小题满分12分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝23，AC ＝2，∠ADC ＝∠CAB ＝90°，设∠ACD ＝θ.(1)若θ＝60°，求BD 的长度； (2)若∠ADB ＝30°，求tan θ.17.【解析】 (1)∵在Rt △ADC 中，AC ＝2，∠ACD ＝θ＝60°， ∴AD ＝AC sin 60°＝ 3.又在△ABD 中，AB ＝23，∠BAD ＝120°， ∴BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠BAD ＝(3)2＋(23)2－2×3×23cos 120°＝21，∴BD ＝21.(2)∵在Rt △ADC 中，∠ACD ＝θ，AC ＝2， ∴AD ＝AC sin θ＝2sin θ.又在△ABD 中，∠ADB ＝30°，∠CAB ＝90°， ∴∠CAD ＋∠ABD ＝180°－∠ADB －∠CAB ＝60°， ∴∠ABD ＝60°－∠CAD ＝60°－(90°－θ)＝θ－30°.∴在△ABD 中，由正弦定理得A D sin ∠AB D ＝ABsin ∠A D B ，即2sin θsin θ－30°＝ABsin 30°＝43，∴sin θ32sin θ－12cos θ＝23，∴2sin θ＝3cos θ，∴tan θ＝32.18. (本小题满分12分）如图所示，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =.（1）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（2）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E -- 所成角的余弦值为64？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）∵AE ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴AE BE ⊥，AE BC ⊥， 又∵BC AB ⊥，∴AE AB A =I ，∴BC ⊥平面ABE ， 又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABE . （Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -， ∵1AE =，2AB =，AE BE ⊥，∴3BE =假设线段AD 上存在一点F 满足题意，31(,0)22E ，(0,2,0)B ，(0,0,)F h ，(0)h >， 易知：平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =u r， ∵33,,0)22BE =-u u u r ，(0,2,)BF h =-u u u r ，∴设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由00n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，得3302220x y y hz -=⎨⎪-+=⎩，取1y =，得2(3,1,)n h =r ， 263cos ,||||44m n m n m n h⋅===⋅+u r ru r r u r r ，∴1h =. 点F 为线段AD 的中点时，二面角A BF E --619. (本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列．19.【解析】记E ＝“甲组研发新产品成功”，F ＝“乙组研发新产品成功”，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝“至少有一种新产品研发成功”，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315．(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25．故所求的分布列为X 0 100 120 220P 215 15 4152520. (本小题满分12分）已知点3(1,A 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，O 为坐标原点，直线23:1x y l a -=的斜率与直线OA 的斜率乘积为14-.（1）求椭圆C 的方程； （2）不经过点A 的直线3:2l y x t =+（0t ≠且t R ∈）与椭圆C 交于P ，Q 两点，P 关于原点的对称点为R （与点A 不重合），直线AQ ，AR 与y 轴分别交于两点M ，N ，求证：AM AN =.20. 【解析】：（Ⅰ）由题意，2212231243OA b k k a a ⋅=-⋅=-=-， 即224a b =①又221314a b+=② 联立①①解得21a b =⎧⎨=⎩ 所以，椭圆C 的方程为：2214x y +=.（Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，11(,)R x y --，由223214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22310x tx t +-=，所以240t ∆=->，即22t -<<， 又因为0t ≠，所以，(2,0)(0,2)t ∈-U ，123x x t +=-，2121x x t ⋅=-，解法一：要证明AM AN =，可转化为证明直线AQ ，AR 的斜率互为相反数，只需证明0AM AN k k +=，即证明0AQ AR k k +=.1212332211AQ ARy y k k x x -++=++-12211233(1)()(1)22(1)(1)y x y x x x --++=+- ∴1221123333)(1)1)2222(1)(1)x t x x t x x x +-++++=+- 1212123()3x x t x x +++=2123(1)(3)30t t t -+-+== ∴0AM AN k k +=，∴AM AN =.21．(本小题满分12分)已知函数()()212ln ,x f x a x x a x -=-+∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 21．【解析】：(1) ()f x 的定义域为()0,+∞，()233(2)122()1x ax x f x a x x x ---⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭. (i )当0a ≤时，210ax -<恒成立，()0,2x ∈时，'()0f x >，()f x 在()0,2上单调递增；()2,x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在()2,+∞上单调递减； (ii ) 当0a >时，由()0f x '=得，1232,x x x a a===（舍去）， ①当12x x =，即14a =时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当12x x >，即14a >时， x a ⎛∈ ⎝或()2,x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，()f x 在a ⎛ ⎝，()2,+∞单调递增；x a ⎫∈⎪⎭时，()0f x '<恒成立，()f x 在a ⎫⎪⎭上单调递减； ③当12x x <即104a <<时， x a ⎫∈+∞⎪⎭或()0,2x ∈时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,2),a ⎫+∞⎪⎭单调递增； x a ⎛∈ ⎝时，()0f x '<恒成立，()f x 在a ⎛ ⎝上单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； 当14a =时，()f x 单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间； 当14a >时，()f x 单调递增区间为a ⎛ ⎝，()2,+∞，单调递减区间为a ⎫⎪⎭； 当104a <<时，()f x 单调递增区间为(0,2),a ⎫+∞⎪⎭，单调递减区间为a ⎛ ⎝． (2)由(1)知，当0a <时，()f x 单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,)+∞，又因为()10f a =<，取01max{,5}x a=-，令1()2ln f x x x =-，21()f x x =，则12'()10f x x =->在(2,)+∞成立，故1()2ln f x x x =-单调递增，10()52ln 512(2ln 5)1f x ≥-=+->，0002220000011111()(2ln )0f x a x x a x x x x x =-+-≤+-≤-<， （注：此处若写“当x →+∞时，()f x →-∞”也给分） 所以()f x 有两个零点等价于1(2)(22ln 2)04f a =-+>，得188ln 2a >--，所以1088ln 2a >>--．当0a =时，21()x f x x -=，只有一个零点，不符合题意； 当14a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，至多只有一个零点，不符合题意； 当0a >且14a ≠时，()f x 有两个极值， 1(2)(22ln 2)04f a =-+>，2ln f a a a a a =+-， 记()2ln g x x x x x =-，'()(1ln )1ln 2g x x x x x=++-=，令1()ln h x x x =+，则()3322112122x h x x x x -'=-+=. 当14x >时，()0h x '>，'()g x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增； 当104x <<时，()0h x '<，'()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减． 故1()22ln 204g x g ⎛⎫''>=-> ⎪⎝⎭，()g x 在(0,)+∞单调递增．0x →时，()0g x →，故2ln 0f a a a a a =->．又1(2)(22ln 2)04f a =-+>，由(1)知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围为1,088ln 2⎛⎫-⎪-⎝⎭.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

12020年普通高校招生全国(II 卷)统一考试高考仿真数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(3)Z i i =+对应的点的坐标为（ ）..A (1,3) .B (3,1) .C (1,3)- .D ()3,1 -2. 设集合{}{},2,0,3|,5A x x a B =>=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ）..A [)0,3 .B ()3, +∞ .C [)0,+∞ .D [)2,3 -3.在等差数列{}n a 中，若2103,9a a ==，则6a =（ ）..A 8 .B 6 .C 12 .D 104.已知向量(,1),(2,3)a x b ==r r ，若()a b b -⊥r r r，则x 的值为（ ）..A 2 .B 32 .C 5 .D 65. 已知命题11:2p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax -+>，则p 成立是q 成立的（ ）..A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件6．“仁义礼智信”为儒家“五常”美德，这“五常”贯穿于中华伦理的发展中。

由孔子提出“仁、义、礼”,又由孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.现将“仁义礼智信”排成一排,“礼”排在第1位,且“智信”不相邻的概率为（ ）..A 110 .B 15 .C 910 .D 2527．已知F 是抛物线2:4x C y =的焦点，点P 在曲线C 上，O 为坐标原点，若23OP OF =，则POF ∆的面积为（ ）..A 27 .B 7 .C 22 .D 28.已如定义在R 上的函数f (x )的周期为5，且()[]()()1,2,03,0,2xx f x f x x ⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈⎩，则()()84f f +-=（ ）..A 12 .B 134.C 7 .D 1149.函数()34sin x f x x =+的图像大致是（ ）..A .B .C .D10.把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1]，②()g x 的一个对称轴是12x π=，③()g x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭， ④()g x 存在两条互相垂直的切线，其中正确的是（ ）..A ①② .B ①③.C ③④.D ②④11.已知椭圆222:15x y C b +=的焦点在x 轴上，离心率为25，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()0,1P 满足PM PN ⊥，则PM NM uuu r uuurg 的取值范围（ ）.3.A 250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.B 250,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ .C 25,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭ .D 25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12.已知正三棱柱111ABC ABC -中，16AB AA ==,用一个平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC 分别交于三点E F G 、、，若EFG ∆为直角三角形，则EFG ∆的面积的最小值为（ ）.A .B .C 9 .D 18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为________．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且32z x y =-的最小值为________．15.已知数列{}n a 中，且满足11a =，当2n ≥时，1n n a a n -=+，若18n a n λλ-=-，对n N *∈恒成立，则实数λ的取值范围________．16.点A 在曲线:()ln 2C f x x =上，过A 作x 轴垂线l ，设l 与曲线2:()3D g x x x =-交于点B .点P 在x 轴上，且2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r,我们称点A 为曲线C 上的“平衡点”，则曲线C 上的“平衡点”的个数为________．三、解答题：共70分。

2020年江苏高考数学实战演练决胜仿真卷高考数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.设集合2{1}A x x =<，集合{02}B x x =<<，则=B A I ．【答案】(0,1)【解析】集合A ＝{11}x x -<<，所以，=B A I (0,1).2.若，其中都是实数，是虚数单位，则= ．【解析】由题意i b b bi i a )1(1)1)(1(+--=--=，得1,2-==b a ，则5=+bi a .3.某市有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家，为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为n 的样本，已知从国有企业中抽取了12家，那么n =______.bi i a -=-11b a ,i bi a +【答案】40【解析】由题意可知12240800n=，解得：40n =.故答案为：40 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为____________．【答案】25【解析】由题意可知21=a b ，则25122=+==a b a c e .5.函数12log y x =的定义域为__________．【答案】(0,1]【解析】由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧≥>0log 021x x ，解得：(]1,0∈x .6.根据如图所示的伪代码，输出S 的值为______. 【答案】10【解析】模拟执行程序，可得1,1S I ==， 满足条件6I ≤，2,3S I ==， 满足条件6I ≤，5,5S I ==， 满足条件6I ≤，10,7S I ==，不满足条件6I ≤，退出循环，输出的S 的值为10，故答案为：107.已知{}1 2 3a ∈，，，{}1 2 3 4 5b ∈，，，，，直线1l ：3ax by +=，直线2l ：22x y +=，则这两条直线的交点在第一象限的概率为 ．第6题5【解析】联立方程组解得交点)223,262(a b a a b b ----，这两条直线的交点在第一象限得0262>--a b b ，0223>--ab a满足的（a ，b ）有（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），而两条直线相交满足a b 2≠的（a ，b ）有3×5=15，故所求得概率为52. 8.如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列125,,,a a a L 构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若3865,524a a ==，则d =________.【答案】3【解析】Q 从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，235a a d d ∴=-=-，第n 行的个数为21n -，从第1行到第n 行的所有数的个数总和为2(121)2n n n +-=，28695=+，86a ∴是第10行第5个数，8888682242452(24)524a a d a d d ∴=+=⋅+=⋅--=，整理得252756,3d d =∴=,故答案为:3.9.设A, B, C,P 分别是球O 表面上的四个点，P A, PB,PC 两两垂直,P A =PB =PC =1 ,则球的表面积为________. 【答案】π3【解析】以P A, PB,PC 为棱构造正方体，则球O 的直径2r=3，所以ππ342==r S .10.已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ（π02ϕ<<）个单位长度得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的值为 ．123456789a a a a a a a a a ⋅⋅⋅第8题图12【解析】因为函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ个单位长度，所以)22sin(ϕ+=x y ，得622ππϕ+=k ，得Z k k ∈+=,12ππϕ，因为π02ϕ<<，12πϕ=所以. 11.已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =u u u r u u u r ，若6AE EB ⋅=-u u u r u u u r，则cos C = ．【答案】31 【解析】因为6AE EB ⋅=-u u u r u u u r，所以6)()(-=-•-,得6-=•+•-•-•CE DA CB DA CE DE CB DE ，得692-=•+-+•-,得131=•,所以1cos 3331=⨯⨯C ，得31cos =C . 12.已知()()1,4,2,1A B -，圆()()22:216C x a y -+-=，若圆C 上存在点P ，使得22224PA PB +=成立，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】[-5，-1]⋃[3，7]【解析】设),(y x P ，则01782)4()1(22222=+-++=-++=y x y x y x PA ，0524)1()2(22222=+--+=-+-=y x y x y x PB ,因为22224PA PB +=，所以，4)2()1(22=-+-y x .所以P 的轨迹方程为4)2()1(22=-+-y x ，由题意得两圆有公共点，可知：612≤-≤a ，解得a 的取值范围为[-5，-1]⋃[3，7].13.设函数,若当时，求的取值范围 ．【答案】2()1x f x e x ax =---0x ≥()0f x ≥a 1(,]2-∞【解析】,且，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，，而， 于是当时，.由可得.从而当时，，故当时，，而，于是当时，.综合得的取值范围为.14.实数x 、y 满足22(2)1x y +-≤的最大值是 ．【答案】2【解析】当0x =时，此时P ==0x >时，此时1P +=易知：)y x ∈+∞，令tan y x α=，[,)32ππα∈，则2sin()6P πα=+∈， 当0x <时，此时1P =，易知：(,y x ∈-∞，令tan y x β=，(,]23ππβ∈--，则2sin()6P πα=-+∈，综上：P 最大值为2.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．'()12xf x e ax =--1xe x ≥+0x ='()2(12)f x x ax a x ≥-=-120a -≥12a ≤'()0 (0)f x x ≥≥(0)0f =0x ≥()0f x ≥1(0)x e x x >+≠1(0)xex x ->-≠12a >'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--(0,ln 2)x a ∈'()0f x <(0)0f =(0,ln 2)x a ∈()0f x <a 1(,]2-∞15．（本小题满分14分）已知向量a r ＝(sin x ，34)，b r ＝(cos x ，﹣1)．（1）当a r ∥b r时，求tan2x 的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，且x ∈(0，2π)，求()f x 的最大值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为b a ∥，所以x x cos 43sin 1-=⨯，43tan -=x .……………3分 所以724)43(1)43(2tan 1tan 22tan 22-=---⨯=-=x x x .……………6分 （2）232cos 2sin 21cos 2cos sin 2)(2)(2++=++=⋅+=x x x x x b b a x f ……………10分23)42(sin 2++=πx .因此f(x)最大值为232+，此时ππk x +=8,k ∈N.……………14分16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D 。

决胜2020年高考数学（理）实战演练仿真卷01（满分150分，用时120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合{}(,)2M x y x y =+=,{}(,)2N x y x y =-=,则集合M N =I （ ） A ．{}2,0 B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,02．复数z 满足()211z i i -=+，则z =（ ）． A ．12B ．22C ．1D 23．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验。

根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程为＝0．67x ＋54．9。

零件数x /个10 20 30 40 50加工时间y /min6275 81 89现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（ ） A ．68B ．68.3C ．68.5D ．704．若直线1l ：60x ay ++=与2l ：()2320a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为( ) A 26B ．823C 3D 835．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边与x 轴正半轴重合，终边过点()2,y ，且14sin α=cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A 17- B ．17+-C 17-71- D ． 17+17+ 6.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，MN 与x 轴相交于点R ，若∠NRF ＝60°，则|FR |等于( )A ．12 B ．1C ．2D ．47．已知1,2a b ==v v ，且()a ab ⊥-vv v ，则向量b r 在向量a b -r r 方向上的投影为( )A ．3B 3C ．32-D ．328．如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且AD u u u rx AB y AC =+u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（ ）A ．52B ． 5C ．92D ． 99.已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ）A ．54πB ．34π C ．3πD ．2π10．梅赛德斯-奔驰（Mercedes-Benz ）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化.已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O 为圆心，15OAB ∠=o ，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A. 394π B ．334π C ．392π D ．332π11．已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(],0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若()()0.60.622a f =⋅，()()ln2ln2b f =⋅，118822log log c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >>12.曲线C 为：到两定点()2,0M -、()2,0N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹.以下结论正确的个数为（ ） （1）曲线C 一定经过原点； （2）曲线C 关于x 轴、y 轴对称； （3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为64的矩形范围内.A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，共20分，将最终结果填在答题纸上.）13．函数()log 232a y x =-的图象恒过定点P , P 在幂函数()f x x α=的图象上，则()9f = 。

决胜2020年高考数学实战演练仿真卷（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.设集合2{1}A x x =<，集合{02}B x x =<<，则=B A I ． 2.若，其中都是实数，是虚数单位，则= ．3.某市有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家，为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为n 的样本，已知从国有企业中抽取了12家，那么n =______.4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为____________． 5.函数12log y x =的定义域为__________．6.根据如图所示的伪代码，输出S 的值为______.7.已知{}1 2 3a ∈，，，{}1 2 3 4 5b ∈，，，，，直线1l ：3ax by +=，直线2l ：22x y +=，则这两条直线的交点在第bi ia -=-11b a ,i bi a +第6题一象限的概率为 ．8.如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列125,,,a a a L 构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若3865,524a a ==，则d =________.9.设A, B, C,P 分别是球O 表面上的四个点，P A, PB,PC 两两垂直,P A =PB =PC =1 ,则球的表面积为________.10.已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移ϕ（π02ϕ<<）个单位长度得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的值为 ．11.已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =u u u r u u u r ，若6AE EB ⋅=-u u u r u u u r，则cos C = ．12.已知()()1,4,2,1A B -，圆()()22:216C x a y -+-=，若圆C 上存在点P ，使得22224PA PB +=成立，则实数a 的取值范围为 ．13.设函数,若当时，求的取值范围 ．14.实数x 、y 满足22(2)1x y +-≤的最大值是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量a r ＝(sin x ，34)，b r ＝(cos x ，﹣1)．（1）当a r ∥b r时，求tan2x 的值；2()1x f x e x ax =---0x ≥()0f x ≥a 123456789a a a a a a a a a ⋅⋅⋅第8题图TUTUTU 图（2）设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，且x ∈(0，2π)，求()f x 的最大值以及对应的x 的值．16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D 。

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(七)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合A ={x |2x −5x +4 0}，B ={x |(x −2)(x +1)>0}，则A ∪(R B ð)=（ ）A ．[−1，4]B ．[1，2]C ．(−1，4]D ．(−∞，−1)∪[1，+∞) 2．已知复数z 满足(z +1)(2+3i)=5−2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ）A ．−1913 B ．1913 C ．−913 D ．9133．给出下列三个命题：①回归直线ˆˆˆ=+ybx a 恒过样本点的中心(x ，y )，且至少过一个样本点； ②“x =−1”是“2x −5x −6=0”的必要不充分条件；③“存在0x ∈R ，使得20x +0x +1<0”的否定是“对任意的x ∈R ，均有2x +x +1<0”．其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．2B ．6C ．3D ．65．欧阳修的《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3cm的圆，中间有直径为1 cm的圆孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则油滴正好落入圆孔的概率为（）A．19B．29C．13D．496．若将函数y=3sin(2x+3π)+12的图象向右平移6π个单位长度，则平移后图象的对称中心为（）A．(2kπ+4π，12)(k∈Z) B．(2kπ+4π，0)(k∈Z)C．(2kπ，12)(k∈Z) D．(2kπ，0)(k∈Z)7．已知实数x，y满足2310+⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥x yx yy若目标函数z=mx+y(m>0)的最大值为5，则m的值为（）A．15B．12C．2 D．58．已知双曲线C：22214x ym m-=+的离心率为5，左、右焦点分别为1F，2F，则双曲线C上满足12MF MF⋅=u u u u r u u u u r的点M构成的图形的面积为（）A．285B．565C．745D．9659．已知函数()f x=2x−2x+1，()g x=x()f x+b2x+a，若()'g x=0在区间(12，1)上有解，则实数b的取值范围为（）A．(−1，2)B．(1，2) C．[1，2) D．(0，2−3]10．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为232，则判断框内应填写（）A ．i <45B ．i <46C ．i >45D ．i >4611．已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，若SC ⊥AC ， SC ⊥BC ， SC =AB =AC =1，BC =3，则球O 的表面积为（ ） A ．53π B ．43πC ．5πD ．4π 12．已知函数()f x =22|2|,0,0x x x x -+⎧⎨>⎩≤()g x =4()3k x -(k ∈R )．若存在唯一的整数x ，使得()()0f x g x x -<，则k 的取值范围是（ ） A ．[−35，−37] B ．(−∞，−3)∪(−35，−37]C ．(−∞，−3]D ．(−∞，−3]∪(−35，−37]二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =CD =2，BC =4，若向量a ，b 满足u u u r BA =2a +b ，u u u rAD =2a ，则向量a ，b 的夹角为 ．14．(22x −x −1)4(1)-x 的展开式中含3x 项的系数是 ．15．一艘货轮在航海中遇险，发出求救信号．在离遇险地点A 南偏西45°方向10海里的B 处有一艘海难搜救艇收到求救信号后展开搜救，已知遇险货轮的航行方向为南偏东75°，且正以9海里/时的速度向一小岛靠近．若海难搜救艇的最大速度为21海里/时，且在C 处追上货轮，则海难搜救艇追上货轮所需的最短时间为 小时．16．已知抛物线C ：2y =16x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴的交点为P ，A 为抛物线C 上任意一点，若|AP |=173|AF |，则△APF 的面积S = ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =1，1+n S −2n S =1(n ∈N*)． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足n b =+nnn a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．(本小题满分12分)为参加全国第二届“登峰杯”科技创新大赛，某市重点中学准备举办一次选拔赛，共有60名高二学生报名参加，按照不同班级统计参赛人数，如表所示：班级 宏志班 珍珠班 英才班 精英班 参赛人数20151510(1)从这60名高二学生中随机选出2人，求这2人在同一班级的概率；(2)现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表，进行大赛前的发言，设选出的2人中宏志班的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC −111A B C 中，BC =2，AB =AC =1AA =1，1C 是1A P 的中点，AP 与棱1C C 相交于点D ．(1)求证：1PB ∥平面1BDA ； (2)求二面角1A −1B D −P 的正弦值． 20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为12，左、右焦点分别为1F ，2F ，在直线20x y-+=上有且只有一个点M 满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点0(1,)P y 是椭圆C 上第一象限的点，弦AB 过椭圆C 的右焦点2F ，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆C 交于另一点Q ，问：是否存在A ，B ，使得四边形P ABQ 是平行四边形?若存在，求出弦AB 所在直线的方程；若不存在，请说明理由． 21．(本小题满分12分)已知函数()g x =ln x x ，()h x =−2a x +ax−1(a ∈R)，且函数()f x =()g x +()xh x 有两个不同的极值点1x ，2x ．(1)求实数a 的取值范围； (2)证明：12ln ln +x x >2．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ−6cos θ=0，直线l 的参数方程为3312⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x t y t (t 为参数)，l 与C交于1P ，2P 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程及l 的普通方程； (2)已知0P (3，0)，求|01P P |·|02P P |的值．23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数()f x=|12-x|+|+axx|，()g x=x+3．(1)当a=4时，画出函数()f x的图象；(2)当a=2时，求不等式2()f x<()g x的解集．2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(七)答案1．A【解析】由题意得A={x|2x−5x+4 0}={x|1≤x≤4}，B={x|(x−2)(x+1)>0}={x|x<−1或x>2}，则A∪(R Bð)={x|1 x 4}∪{x|−1 x 2}={x|−1 x 4}，故选A．2．A【解析】解法一由(z+1)(2+3i)=5−2i，得z=52i23i-+−1=(52i)(23i)49--+−1=419i13-−1= −913−1913i，所以复数z的虚部为−1913．解法二设z=a+b i(a，b∈R)，则[(a+1)+b i](2+3i)=5−2i，即2(a+1)−3b+[3(a+1)+2b]i=5−2i，所以2(1)353(1)22+-=⎧⎨++=-⎩a ba b，解得a=−913，b=−1913，所以复数z的虚部为−1913．3．A【解析】命题正误理由①错误回归直线ˆˆˆ=+y bx a恒过样本点的中心(x，y)，但不一定过样本点②错误“x=−1”是“2x−5x−6=0”的充分不必要条件③错误“存在x∈R，使得2x+x+1<0”的否定是“对任意的x∈R，均有2x+x+1 0”4．B【解析】根据题意，将三视图还原成如图所示的几何体ABCDEA1M，易知四边形A1MCE532，故该几何体的表面积为2×2+2×12×1×2+2×122+×2+12×326．5．A【解析】由题意可得直径为3 cm的圆的面积为π×23()2=94π(cm2)，而直径为1 cm的圆孔的面积为π×21()2=4π(cm 2)，故所求概率P=14994ππ=．6．C 【解析】y =3sin(2x +3π)+12的图象向右平移6π个单位长度得到y=3sin[2(x −6π)+3π]+12=3sin 2x +12的图象，由2x =kπ，k ∈Z 得x =2k π，k ∈Z ，所以对称中心为(2k π，12)(k ∈Z)，故选C ．7．C 【解析】不等式组2310+⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥x y x y y 变形为20301-+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥x y x y y 作出其所表示的平面区域如图中阴影部分所示．目标函数z =mx +y (m >0)的最大值为5，①当−m <−1，即m >1时，z =mx +y 在点A (2，1)处取得最大值，则2m +1=5，m =2；②当−m =−1，即m =1时，z =x +y 的最大值为3，与题意矛盾，舍去； ③当−m >−1，即0<m <1时，z =mx +y 在点B (12，52)处取得最大值，则12m +52=5，m =5，舍去．综上，m =2，故选C ．8．D 【解析】由题意得m >0，245m m m++=m =2，所以双曲线C ：22128x y -=，设00(,)M x y ，则2200128x y -=，因为120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，所以20x +20y =10，故0y =±410，0x =±310，所以满足条件的点M 810610965．9．D 【解析】易知()g x =3x +(b −2)2x +x +a ，则()'g x =32x +2(b −2)x +1，因为()'g x =0在区间(12，1)上有解，故Δ=4(b−2)2−12 0，即b 2+3或b 2−3，同时2(b −2)=−(3x +1x)∈(−4，−23]，所以0<b 2−3，从而实数b 的取值范围为(0，2−3]．10．B 【解析】根据程序框图，第1次循环：S=1+tan 1°，i =2；第2次循环： =(1+tan 1°)(1+tan2°)，i =3；第3次循环：S =(1+tan 1° )(1+tan 2° )(1+tan 3°)，i =4；……；第45次循环： S =(1+tan 1° )(1+tan 2° )·…·(1+tan 44° )(1+tan 45°)，i =46．由于(1+tan n ° )[1+tan (45−n )°]=2(n 为小于45的正整数)，则S =(1+tan 1°)(1+tan 2°)·…·(1+tan 44°)(1+tan 45°)=232，故结合题意选B ． 11．C 【解析】因为AB =AC =1，BC =3，所以由余弦定理可得∠BAC =120°，以底面三角形ABC作菱形ABDC ，如图所示，则OD ⊥平面ABC ，又SC ⊥AC ， SC ⊥BC ，AC ∩BC =C ，所以SC ⊥平面ABC ，则OD ∥SC ．过点O 作OE ⊥SC ，垂足为E ，设球O 的半径为r ，则在直角梯形ODCS 中，OC =OS =r ，所以EC =12， 所以r 22215()12+=+=EC OE ，所以球O 的表面积S=4π2r =4×π×25=5π，故选C ． 12．B 【解析】不等式()()0f x g x x -<⇔0()()x f x g x >⎧⎨<⎩或0()()x f x g x <⎧⎨>⎩． 作出函数()f x =22|2|,0,0x x x x -+⎧⎨>⎩≤的大致图象如图所示．当k =0时，x >0，()f x <()g x 无整数解，x <0，()f x >()g x 不止一个整数解．如①或②所示，当k >0，x >0时，由图象可得()f x <()g x 无整数解或不止一个整数解，x <0时，()f x >()g x 不止一个整数解． 当k <0时，若x >0，如③所示，若直线y =4()3k x -经过点C (1，1)，此时()f x <()g x 无整数解，故当k <AC k =−3时，恰有一个整数解x =1，而此时 x <0，()f x >()g x 无解．如④所示，若直线y =4()3k x -经过点E (−2，2)时，此时x >0，()f x <()g x 无整数解，x <0，()f x >()g x 无整数解．如⑤所示，若直线y=4()3k x -经过点D (−1，1)时，此时x >0，()f x <()g x 无整数解，x <0，()f x >()g x 有唯一整数解x =−2，故−35=EA k <k ≤DA k =−37．如⑥所示，若直线y =4()3k x -经过点F (−3，1)时，此时x >0，()f x <()g x 无整数解，x <0，()f x >()g x 有两个整数解x =−2和x =−1，不符合题意．综上，k 的取值范围为(−∞，−3)∪(−35，−37]．13．23π【解析】根据题意，作出等腰梯形ABCD 如图所示，取BC 的中点E ，连接DE ，则=u u u r u u u rED BA =2a +b ，=u u u r u u u r EC AD =2a ．易知=-u u u r u u u r u u u r CD ED EC =2a +b −2a =b ，△EDC 是等边三角形，则向量a ，b 的夹角为23π．14．−10【解析】由题意得(22x −x −1)4(1)-x =(2x +1)5(1)-x ，根据二项展开式的通项，得展开式中含3x 项的系数是225C (1)-+2335C (1)-=−10． 15．23【解析】设海难搜救艇追上货轮所需的最短时间为t 小时． 在△ABC 中，∠BAC =45°+75°=120°，AB =10，AC =9t ，BC =21t ， 由余弦定理得，2BC =2AB +2AC −2AB ·AC ·cos ∠BAC ， 所以2(21)t =210+2(9)t −2×10×9t ×(−12)，化简得362t −9t −10=0， 解得t =23或t =−512(舍去)．所以海难搜救艇追上货轮所需的最短时间为23小时．16．2或2F (4，0)，准线l ：x =−4，P (−4，0)．设A (x ，y )，则2y =16x ，由抛物线的定义可得|AF |=x −(−4)=x +4，又|AP |=222(4)(4)16++=++x y x x ，|AP 17|AF |，所以2(4)+x +16x =1792(4)+x ，整理得2x −10x +16=0，解得x =2或x =8． 而|PF |=8，当x =2时，2y =16×2=32，故|y 2， 此时△APF 的面积S =12×|PF |×|y |=12×8×22 当x =8时，2y =16×8=128，故|y 2， 此时△APF 的面积S =12×|PF |×|y |=12×8×22 所以S 2或2．17．【解析】(1)由1+n S −2n S =1(n ∈N*)得n S −21-n S =1(n 2，n ∈N*)，两式相减得1+n a =2n a (n 2，n ∈N*)．（1分）又2S −21S =1，1a =1，所以1a +2a −21a =1，得2a =2，（3分） 则2a =21a ，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以n a =12-n ．（5分）(2)由(1)知n b =12-+n nn ， 所以n T =1+2+…+n +1+22+232+…+12-n n =(1)2+n n +1+22+232+…+12-n n，令n A =1+22+232+…+12-n n①，则12n A =12+222+332+…+112--n n +2n n ②，①−②得12n A =1+12+212+…+112-n −2n n =2[1−1()2n ]−2n n =2−22+n n ，所以n A =4−122-+n n ．所以n T =(1)2+n n +4−122-+n n ．（12分）【备注】在历年高考中，数列解答题的考查重点是等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式以及数列求和的常用方法(错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法等)．常见的命题形式有以下几种：(1)等差数列、等比数列内部的综合；(2)将数列与函数、不等式等知识综合起来；(3)给出一个递推关系式，在此基础上设计几个小问，此时第一小问求出的数列往往是特殊数列，第二问通常有一定难度，需要考生有较高的悟性．18．【解析】(1)从这60名高二学生中随机选出2名的基本事件总数为260C =1 770，且这2人在同一班级的基本事件个数为220C +215C +215C +210C =445，故所求概率P =445891770354=．（5分） (2)由题意得X 的所有可能取值为0，1，2，则P (X =0)=240260C C =2659，P (X =1)=112040260C C C =80177，P (X =2)=220260C C =91771，（10分） 所以X 的分布列为EX =0×2659+1×80177+2×91771=177．（12分） 19．【解析】(1)在直三棱柱ABC −111A B C 中，1A A ∥1C C ，1A A =1C C ，由1C 为1A P 的中点，可知D 是AP 的中点，D 是棱1C C 的中点．如图，连接1B A 交1BA 于点O ，连接OD ，则OD 是△1AB P 的中位线，∴OD ∥1B P ． 又OD ⊂平面1BDA ，1PB ⊄平面1BDA ，∴1PB ∥平面1BDA ．（5分） (2)∵在直三棱柱ABC −111A B C 中，BC=2，AB =AC =1，∴AB ⊥AC ，以1A 为坐标原点，11A B ，1A P ，1A A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1A (0，0，0)，1B (1，0，0)，D (0，1，12)，P (0，2，0)， 11u u u u r A B =(1，0，0)，1u u u u r A D =(0，1，12)．（7分） 设平面11A B D 的法向量为m =(x ，y ，z )，则11100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r A B A D m m 即0102=⎧⎪⎨+=⎪⎩x y z 则x =0，取z =2，得y =−1， ∴m =(0，−1，2)是平面11A B D 的一个法向量．（9分） 同理可得平面1PB D 的一个法向量为n =(2，1，2)． 设二面角1A −1B D −P 的平面角为θ，则|cos θ|=||||||⋅m n m n=5，∴sin θ5=，即二面角1A −1B D −P的正弦值为5．（12分） 【备注】求解二面角时，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．在用这种方法求解时，有一个易错的地方是没有判断二面角是锐角还是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是二面角．20．【解析】(1)满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r的点M 在以12F F 为直径的圆222x y c +=上，又在直线0x y -+=上有且只有一个点M 满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r，所以直线0x y -+=与圆222x y c +=c ==1．（3分）又椭圆C 的离心率12c e a ==， 则a =2，2b =2a −2c =3，椭圆C 的方程为22143x y +=．（5分）(2)由题意可得3(1,)2P ，假设存在满足条件的A ，B ，易知直线AB 的斜率一定存在，设为k ， 则直线AB 的方程为(1)y k x =-，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-． 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，（7分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1x +2x =22834k k+，1x 2x =2241234k k -+． 由223(1)2143y k x x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 消去y 整理得2222(34)(812)41230k x k x k k +--+--=（8分）由Δ>0得12k ≠-，设Q (3x ，3y )，又3(1,)2P ，则3x+1=2281234k k k -+，3x ·1=22412334k k k --+．若四边形P ABQ 是平行四边形，则PB 的中点与AQ 的中点重合， 所以132122x x x ++=，即1x −2x =1−3x ，（10分） 则212()x x +−41x 2x =23(1)x -，所以2228()34k k +−4×2241234k k -+=(1−22412334k k k--+)2， 化简得4222164(3)(34)9(21)k k k k --+=+，解得34k =， 所以存在A ，B ，使得四边形P AB Q 是平行四边形，弦AB 所在直线的方程为3(1)4y x =-，即3x −4y −3=0．（12分） 21．【解析】(1)依题意，()f x =()g x +()xh x =ln x x −22a x −x +a ，定义域为(0，+∞)， 则()'f x =ln -x ax ，所以方程()'f x =0在(0，+∞)上有两个不同实根，即方程ln -x ax =0在(0，+∞)上有两个不同实根．（2分）解法一 方程ln -x ax =0在 (0，+∞)上有两个不同实根转化为函数y=ln x 的图象与函数y=ax 的图象在(0，+∞)上有两个不同的交点，如图所示．令过原点且切于函数y=ln x 图象的直线斜率为k ，切点A (0x ，0ln x )， 所以k =0'=y x x =01x ．又k =00ln x x ，所以000ln 1=x x x ， 解得0=x e ，于是k =1e ，所以0<a <1e．（5分）解法二 令()F x =ln -x ax (x >0)，从而方程ln -x ax =0在(0，+∞)上有两个不同实根转化为函数()F x 在(0，+∞)上有两个不同零点，而()'F x =1x −a =1-axx(x >0)，若a ≤0，则()'F x >0在(0，+∞)上恒成立，所以()F x 在(0，+∞)上单调递增，此时()F x 在(0，+∞)上不可能有两个不同零点．若a >0，则当0<x <1a 时，()'F x >0，当x >1a 时，()'F x <0， 所以()F x 当(0，1a )上单调递增，在(1a ，+∞)上单调递减，从而()F x 极大值=F (1a )=ln 1a −1．又当x 趋近于0时，()F x 趋近于−∞，当x 趋近于+∞时，()F x 趋近于−∞， 于是只需()F x 极大值>0，即ln1a −1>0，所以0<a <1e． 综上所述，实数a 的取值范围是(0，1e )．（5分）(2)由(1)可知1x ，2x 分别是方程ln -x ax =0的两个根， 即ln 1x =a 1x ，ln 2x =a 2x ，（6分）不妨设1x >2x ，则ln 12x x =a (1x −2x )，即a =1212ln-x x x x ．ln 1x +ln 2x >2⇔a (1x +2x )>2⇔ln12x x >12122()-+x x x x ， 令12x x =t ，则t >1，ln 12x x >12122()-+x x x x ⇔ln t >2(1)1-+t t ．（9分） 设()m t =ln t −2(1)1-+t t ，则()'m t =22(1)(1)-+t t t ≥0， 所以函数()m t 在(0，+∞)上单调递增，所以当t ∈(1，+∞)时，()m t >(1)m =0，即不等式ln t >2(1)1-+t t 成立， 故12ln ln +x x >2成立．（12分）【备注】历年新课标高考试题会将函数与导数题放在解答题的最后一题，主要考查函数的零点、导数的求法以及导数在研究函数性质和证明不等式等方面的应用，考查等价转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法以及考生综合分析问题与解决问题的能力． 22．【解析】(1)由ρsin 2θ−6cos θ=0，得2ρsin 2θ−6ρcos θ=0，即2y −6x =0，故曲线C 的直角坐标方程为2y =6x ．将直线l 的参数方程消去参数t ，得x −3y −3=0．（5分） (2)将l 的参数方程代入2y =6x ，得2t −123t −72=0． 设1P ，2P 对应的参数分别为1t ，2t ， 则1t +2t =123，1t 2t =−72，又0P (3，0)在直线l ：x −3y −3=0上， 所以|01P P |·|02P P |=|1t 2t |=72．（10分）23．【解析】(1)当a =4时，()f x =|12-x |+|+a x x |=32,2251,222312,22x x x x x ⎧---⎪⎪⎪-<<⎨⎪⎪+⎪⎩≤≥画出()f x 的图象如图所示．（5分）(2)当a =2时，设()h x =2()f x =|2x −1|+2|x +1|=41,113,12141,2x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-⎨⎪⎪+>⎪⎩≤≤由2()f x<()g x得，①1413<-⎧⎨--<+⎩xx x，无解；②11233xx⎧-⎪⎨⎪<+⎩≤≤，解得0<x12；③12413⎧>⎪⎨⎪+<+⎩xx x，解得12<x<23．综上所述，不等式2()f x<()g x的解集为(0，23)．（10分）。

决胜2020年高考数学（文）实战演练仿真卷07（满分150分，用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型B.填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．21.【答案】D【解析】分析集合A 中元素的特点，然后找出集合B 中满足集合A 中条件的元素个数即可．集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.2. 教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线 ( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．异面 2．【答案】B【解析】当直尺垂直于地面时，A 不对；当直尺平行于地面时，C 不对；当直尺位于地面上时，D 不对．3.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>C 的渐近线方程为（ ）A.14y x =±B.13y x =±C.12y x =±D.y x =±3.【答案】C【解析】已知2c a =，所以12b a a ===. 4.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A ．110 B ．15C ．310D ．254.【答案】D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：总计有25种情况，满足条件的有10种． 所以所求概率为102255=． 5.命题p ：复数12iz i-=对应的点在第二象限，命题q ：00x ∃>，使得00ln 2x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）A.p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ∨⌝D.()()p q ⌝∧⌝5.【答案】B 【解析】复数122iz i i-==--，对应的点在第三象限，命题p 错误. ln 2y x y x ==-与有交点，命题q 正确. ()p q ⌝∧正确.6. 已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （5π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）等于( )A ．－32B.32C ．0D.236.【答案】B【解析】根据题意知tan θ＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （5π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）=3sin 2cos()2sin sin()2πθπθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－3cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.故选B.7. 在如图所示的平面区域内有A (5，3)，B (1，1)，C (1，5)三点，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的值是( )A ．2B ．12C ．23D ．32 7.【答案】B【解析】由题意知，当z ＝ax ＋y 即y ＝－ax ＋z (a >0)与直线AC 斜率相等时最优解有无穷多个(线段AC 上的点)．因为k AC ＝－12，所以－a ＝－12，即a ＝12．故选B ．8.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙 B ．甲 C ．丁 D ．丙8.【答案】A【解析】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）； 假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的， 由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为( )A ．83B ．43C ．643+D ．623+9.【答案】D【解析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，其中一个面是腰长为2的等腰直角三角形，这个面上的高为2，故所求表面积为11223+2222sin 6062322⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭．故选D ．10.已知函数f (x )＝log a (x 2－2ax )在[4，5]上为增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1，4) B ．(1，4] C ．(1，2) D ．(1，2] 10.【答案】C【解析】设g (x )＝x 2－2ax ，则f (x )＝log a [g (x )]，且g (x )的对称轴为x ＝a .当a >1时， f (x )在[4，5]上为增函数，y ＝log a x 在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性可知，g (x )在[4，5]上为增函数，且g (x )>0在[4，5]上恒成立，则⎩⎨⎧a >1，a ≤4，g （4）＝16－8a >0，解得1<a <2；当0<a <1时， f (x )在[4，5]上为增函数，y ＝log a x 在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性可知，g (x )在[4，5]上为减函数，且g (x )>0在[4，5]上恒成立，则⎩⎨⎧0<a <1，a ≥5，g （5）＝25－10a >0，不等式组无解． 综上，a 的取值范围是(1，2)．11. 若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则c a 的取值范围是( )A. 1(,)2+∞B. (2,)+∞C. 1(,2)2D. 1(0,)(2,)2+∞U11.【答案】B【解析】因为S △ABC ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝12ac sin B ，所以a 2＋c 2－b 22a c ＝sin B 3，即cos B ＝sin B 3，所以sin B cos B ＝3，即tan B ＝3，所以B ＝π3，则c a ＝sin C sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝32cos A －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin A sin A ＝32·1tan A ＋12， 因为C 为钝角，B ＝π3，所以0<A <π6， 所以tan A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，33，1tan A ∈(3，＋∞)．故ca ∈(2，＋∞)． 12. 函数f (x )＝11－x＋tan π2x 落在区间(－3，5)的所有零点之和为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 12.【答案】C【解析】由f (x )＝11－x ＋tan π2x ＝0得，1x －1＝tan π2x ，且函数y ＝1x －1与y ＝tan π2x 的图像都关于点(1，0)对称．在同一坐标系中分别作出函数y ＝1x －1与y ＝tan π2x 的图像，如图所示．由图像可知，两个函数的图像在区间(－3，5)上共有4个交点，它们关于点(1，0)对称，不妨设关于点(1，0)对称的两个点A ，B 的横坐标分别为a ，b ，则a ＋b2＝1，即a ＋b ＝2，∴所有交点的横坐标之和为2(a ＋b )＝4，即所有零点之和为4，故选C.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，共20分，将最终结果填在答题纸上.）13.已知单位向量12,e e u r u u r 的夹角为θ，且tan θ=1223m e e =-u r u r u u r，则||m =u r ________. 13.【答案】3【解析】由tan θ=，得1cos 3θ=，则||3m ===u r .14. 数列{a n }中，a n ＝n －2018n －2019，则该数列前100项中的最大项是第__________项．14.【答案】45【解析】a n ＝n －2018n －2019＝n －2019＋2019－2018n －2019＝1＋2019－2018n －2019，根据函数 f (x )＝1＋2019－2018x －2019的单调性可知，a n ＝1＋2019－2018n －2019，当n∈[1，44]时，单调递减，且a n <1；当n ∈[45，100]时，单调递减，且a n >1，则a 44＝44－201844－2019 最小，a 45＝45－201845－2019 最大．15.已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为___________.15.【答案】14【解析】设|F 1F 2|＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，所以|F 1F 2|＝|F 2P |＝2c .过点P 作x 轴的垂线，垂足为H .因为∠F 1F 2P ＝120°，所以∠PF 2H ＝60°，所以|F 2H |＝12|PF 2|＝c ，|PH |＝32|PF 2|＝3c .又直线AP 的斜率为36，所以|PH ||AH |＝36，即|PH ||AO |＋|OF 2|＋|F 2H |＝3c a ＋c ＋c＝36，解得a ＝4c ，所以e ＝c a ＝14.16. 已知函数f (x )＝ sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )的图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为_________.16.【答案】9【解析】由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k π，π4ω＋φ＝m π＋π2(k ，m ∈Z )，所以φ＝m ＋k 2π＋π4，ω＝1＋2(m －k )， 又|φ|≤π2，所以φ＝π4或φ＝－π4.当φ＝π4时，ω＝1－4k ，若ω＝9，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36时，9x ＋π4的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，当φ＝－π4时，ω＝－1－4k ，若ω＝11，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36 时，11x －π4的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13π36，23π18，不满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以ω的最大值为9.三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17.(本小题满分12分) 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，()12222n n a a a n -=+-≥.（I ）证明：{}1n a +为等比数列；（II ）求{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？ 17.【解析】(I)∵37a =，3232a a =-，∴23a =， ∴121n n a a -=+， ∴11a =，()1111222211n n n n a a n a a ---++==≥++， ∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列. （II ）由（I ）知，12n n a +=，∴21nn a =-，∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n nn n n S a n n ++-=+----=，∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列.18.(本小题满分12分) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(I)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；(II)(III)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）．18.【解析】(I)旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62． 因此，事件A 的概率估计值为0.62． (II)K 2＝200×（62×66－34×38）2100×100×96×104≈15.705．由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(III)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg 到55kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg 到50kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，新养殖法优于旧养殖法．19. (本小题满分12分)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=23，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．19.【解析】（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥B C．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，N D．又因为M为棱AB的中点，故MN∥B C．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM=22=13AD AM+因为AD⊥平面ABC，故AD⊥A C．在Rt△DAN中，AN=1，故DN22=13AD AN+．在等腰三角形DMN中，MN=1，可得1132cosMNDMNDM∠=．所以，异面直线BC与MD13（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM3又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面AB D．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD22AC AD+．在Rt△CMD中，3sinCMCDMCD∠=所以，直线CD与平面ABD3．20.(本小题满分12分)已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的右焦点F与抛物线28y x=的焦点重合，6过x轴正半轴一点(),0m且斜率为3-l交椭圆于,A B两点.（I）求椭圆的标准方程；（II）是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由.20.【解析】（I）Q抛物线28y x=的焦点是()2,0()2,0F∴，2c=∴，又Q66ca=6a=∴26a=，则2222b a c=-=故椭圆的方程为22162x y+=.（II）由题意得直线l的方程为)()3y x m m=->由()221623x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得222260x mx m -+-=. 由()224860m m ∆=-->，解得2323m <-<. 又0m >，023m <<∴.设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=.()()()21212121233133333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=--•--=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴.()112,FA x y =-u u u r Q ，()222,FB x y =-u u u r，()()()()21212121223462243333m m m m FA FB x x y y x x x x -+•=--+=-+++=u u u r u u u r ∴ 若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB •=u u u r u u u r ，即()2303m m -=， 解得0,3m =.又023m <<，3m =∴. 即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点. 21.(本小题满分12分)已知函数．Ⅰ若函数在上有2个零点，求实数a 的取值范围注Ⅱ设，若函数恰有两个不同的极值点，证明：．21.【解析】Ⅰ由，得，令，，，故在递减，在递增，又，，，故， 故；Ⅱ，故，，是函数的两个不同的极值点不妨设，易知若，则函数没有或只有1个极值点，与已知矛盾，且，，故，，两式相减得，于是要证明，即证明，两边同除以，即证，即证，令，即证不等式，当时恒成立，设，则，设，则，当时，，递减，故，即，故，故在时递减，在处取最小值，故得证，故． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=．（I ）求C 和l 的直角坐标方程； （II ）求C 上的点到l 距离的最小值．22.【解析】（I ）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-. l 的直角坐标方程为23110x y ++=.（II ）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.C 上的点到l π4cos 11|2cos 23sin 11|77ααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭=.当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l 7.23.[选修4-5：不等式选讲] (本小题满分10分)已知函数()21f x x =-，()212mg x x m =++-. （I ）若0m =，解不等式()()f x g x ≤；（II ）若()()20f x g x +≥对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 23.【解析】（I ）当0m =时()1g x x =+原不等式可化为211x x -≤+两端平方得()()22211x x -≤+化简得220x x -≤ 解得02x ≤≤则不等式()()f x g x ≤的解集为{}|02x x ≤≤. （II ）()()2221212f x g x x x m m +=-+++-Q2212120x x m m -+++-≥∴对任意x R ∈恒成立，即221222x x m m -++≥-对任意x R ∈恒成立，即{}2min 22122m m x x -≤-++ 又因为()()212221223x x x x -++≥--+= 则223m m -≤，解得312m -≤≤则实数m 的取值范围为3|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭。

2020年高考名校仿真模拟联考试题(新课标全国卷)理科数学(七)答案1．D 【解析】由2230x x -->得1x <-或3x >，从而{|13}R A x x =-≤≤ð，由10x -≥，得集合{|1}B x x =≥，从而()R A B U ð={|1}x x -≥，故选D ． 2．C 【解析】2i (2i)(1i)3i 1i (1i)(1i)2z ++--===++-，所以3i 3i 5222zz -+=⨯=，故选C ． 3．A 【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q (0q >)，由3114819a a a a =，可得22769a a =，化简得763a a =，所以13q =．又21312a a =-，所以1113123a a ⨯=-，得113a =，所以该数列的通项公式为1111()333n n n a -=⨯=，故101013a =，故选A ．4．B 【解析】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为216222r r r ⨯⨯⨯=，因而所求概率为222112r ππ-=-≈0.17，故选B ． 5．B 【解析】如图，取AC 的中点E ，连接DE ，SE ，则DE AB ∥，SDE ∠或其补角为异面直线AB 与SD 所成的角．SEDCBA由SA ⊥平面ABC ，得SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，又AB AC ⊥，所以AB ⊥平面SAC ，易得DE SE ⊥．不妨设2AB AC SA ===，则1DE =，SE =故SD ．在Rt SDE ∆中，cos DE SDE SD ∠===B ． 6．A 【解析】解法一22cos 2cos sin coscos sin )(cos )44ππαααααα=-=--， 所以22cos sin (cos sin )cos ααααα-=-，所以(cos sin )sin 0ααα-=． 又sin 0α≠，所以cos sin αα=，所以tan 1α=，因此tantan 3tan()231tantan 3παπαπα++==---A ． 解法二cos 2sin(2))(cos )24ππαααα=-=--，所以2sin()cos())(cos )444πππαααα--=--，所以sin(cos()cos ]044ππααα---=， 所以sin()sin 04παα-=，又sin 0α≠，所以sin()04πα-=，所以4k παπ-=，k ∈Z ，即4k παπ=-，k ∈Z ，所以tan 1α=，故tantan 3tan()231tantan 3παπαπα++==--A ． 7．B 【解析】由题意得，10a a >>，得01a <<，11a>．由211()0f x x x '=-=得1x =， 当(,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1(1,)x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，因而()f x 的极小值为(1)1f a =-，∴1a a -≤，∴12a ≥，又01a <<，∴112a <≤，故选B ．8．A 【解析】解法一 由于每个人必须参与且只能玩1个项目，每个项目至多有2个人参与，因此可以将6个人分配到除超级摩天轮外的4个项目或3个项目，可以分两种情况：第一种，先将6个人分成四组，分别为1，1，2，2，再分配到4个项目，不同的方案种数为22114642142222C C C C A 1080A A ⨯=；第二种，将6人平均分成三组，再分配到除超级摩天轮外的4个项目中的任意3个项目，不同的方案种数为2223642433C C C A 360A ⨯=．由上可知，不同的方案数共有1 080+360=1 440(种)．故选A ．解法二 考虑到实际玩3个项目或4个项目．第一种情况，玩3个项目，从4个项目中选3个项目，有34C 种选法，依次分配人，有2264C C 种分法，所以从4个项目中选3个项目游玩的方案种数为322464C C C =360．第二种情况，玩4个项目，从4个项目中选2个项目，有24C 种选法，这2个项目各分配1人，有26A 种分法，剩下的2个项目各分配2人，有24C 种分法，所以玩4个项目的方案种数为222464C A C 1080=．因此，不同的方案数共有360+1 080=1 440(种)，故选A ．9．D 【解析】该空间几何体可看作是由两个相同的半圆柱(底面半径为1，高为2)拼接而成，因此，该空间几何体的表面积是圆柱的表面积与其轴截面面积的2倍的和，故该几何体的表面积222121222268S S S πππ=+=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+圆柱表面积轴截面．故选D ．10．A 【解析】由(1)1f <，得01a <<，则函数()f x 为偶函数，且在(0，+∞)上为减函数，∴()()am f a f a a =-==，∴()1a f a <<． ∵log 1log 212aa a=->，∴(1)()n f a f a <=<． 又[()](1)p f f a f n =>>，[()]()p f f a f a =<，故n p m <<．11．D 【解析】如图，不妨记双曲线22221x y a b -=(0a >，0b >)的右焦点2F 关于渐近线by x a=的对称点为P ，连接1F P ，OP ，则2||||OP OF c ==，又1121||||2F P F F c ==，所以112||||||||F P OP OF OF c ====，知13PF O π∠=，容易求得122F PF π∠=，从而1F P 与渐近线b y x a =平行，因此，1tan tan 3b PFO a π=∠==，所以该双曲线的离心率2e ==．分析四个选项可知选D ．12．C 【解析】由题意知，12n n nS a a =+，即221n n n S a a -=，① 当1n =时，由①式可得11S =．当2n ≥时，1n n n a S S -=-，代入①式，得2112()()1n n n n n S S S S S -----=， 整理得2211n n S S --=，所以2{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以211n S n n =+-=．因为0n a >，所以n S所以12)n n n a S S n -=-=≥， 又111a S ==，满足上式，所以n a ，(1)(1)n nn n a -==-， 故10021431001111(1)a a a a a --+-+⋅⋅⋅+=10012341001111(1)a a a a a --+-++⋅⋅⋅+11)=-+-+⋅⋅⋅-+10==．故选C ．13．60°【解析】由题意得22(3)(2)3523580-⋅+=+⋅-=+⋅-=a b a b a a b b a b ，∴550⋅-=a b ，=1⋅a b ，∴1cos ,||||2⋅<>==a b a b a b ，∴,60<>=o a b ．14．6π【解析】由函数()f x 的最小正周期为2π，得242πωπ==，由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得432k ππϕπ+=+，k ∈Z ，即54k πϕπ=-+，k ∈Z ．又(0,)ϕπ∈，所以6πϕ=．15【解析】设直线AB ，AC 的倾斜角分别为1θ，2θ，不妨记12θθ>， 由9tan 2BAC ∠=，知2BAC π∠<，则数形结合易知当12BAC θθ-=∠时，才能满足题意，故129tan()2θθ-=，即912ABAC AB AC k k k k -=+， 又222222462421111A A A A AB ACA A A A y y y x k k x x x x -+---⋅=⋅===--+--，所以92AB AC k k -=-，结合2AB ACk k ⋅=-，解得412AC AB k k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，或124AC AB k k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，而当124AC AB k k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩时，数形结合易知12BAC θθ∠≠-，且2BAC π∠>，故舍去．当412AC AB k k =⎧⎪⎨=-⎪⎩时，直线AC 、直线AB 的方程分别为24(1)y x +=+，12(1)2y x -=--，可得122(,)99A ．易得直线BC 的方程为20x y -=，故点A 到直线BC222||-=．由椭圆的对称性知：当12θθ<时，同理可得点A 到直线BC． 16．5【解析】根据题意，设培优小组A ，B 能够成立的学生人数分别为x ，y (x ，y 均为正整数)，则目标函数z x y =+，231429,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪∈∈⎩N N ≤≤，作出不等式组所表示的平面区域，为图中四边形OABC 及其内部的整数点，作出直线0x y +=，平移该直线，当平移后的直线经过点(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)时，目标函数z x y =+取得最大值，max 5z =，故两培优小组能够成立的学生人数和最多是5名．17．【解析】(1)∵222222sin ()2sin sin ()A a b c aBC c b a c +-=-+-，∴由余弦定理得2222222()sin cos 22sin sin cos 2()2b c a abc A A bc b a c B C C abc ab+-==+--，。