上海市重点中学2020学年高二数学下学期期中考试试题(无答案)

2020-2021学年上海市第三女子中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．若，则n＝2．半径为1的球的表面积是．3．在的二项展开式中，常数项是．4．有6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有种．（用数值表示）5．面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为．6．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小为．7．有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有不同的报名方法．8．已知一个长方体的长、宽、高的比为1：2：3，它的对角线长是，则这个长方体的体积为．9．设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是10．已知空间中两条不同的直线m、n和平面α，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α．请以其中两个论断作为条件，另一个为结论，写出一个真命题：若，则．（填写相应序号）11．在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O到平面ABC 的距离是，则B、C两点的球面距离是．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，若任取其中两条，则它们所在的直线是异面直线的概率为．二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．1615．下列四个命题中真命题是（）A．空间中垂直于同一直线的两条直线互相平行B．经过空间中的三个点有且只有一个平面C．过球面上任意两点的大圆有且只有一个D．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条16．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种三、解答题17．从某中学200名新生中随机抽取10名进行身高测量，得到的数据为：168、159、166、163、170、161、167、155、162、169（单位：cm），试估计该中学200名新生身高的平均值和中位数，并求身高大于165cm的概率估计值．18．已知n∈N*，n≥3，二项式（x﹣2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中a1，a2满足a2＝﹣3a1．（1）求n；（2）求a0+a1+a2+⋯+a n的值．19．如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱下底面在圆锥的底面上，圆柱上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，AB、CD是底面的两条直径，且AB＝4，AB⊥CD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心．（1）求圆柱与圆锥的体积的比值；（2）求异面直线OF和PC所成角的大小．20．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．21．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC，AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝BC＝2．（1）求点A到平面A1B1C1的距离；（2）求平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体ABC﹣A1B1C1的体积．参考答案一、填空题1．若，则n＝10解：若，则n＝6+4＝10．故答案为：10．2．半径为1的球的表面积是4π．解：由题意，半径为1的球的表面积是4π•12＝4π．故答案为4π．3．在的二项展开式中，常数项是20．解：由．由6﹣2r＝0，得r＝3．∴常数项是．故答案为：20．4．有6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有240种．（用数值表示）解：因为甲、乙两人相邻，所以先将甲、乙两人进行捆绑，方法共有种，再将甲、乙两人看成整体进行排序共有种排法，所以共有种，故答案为：240．5．面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为8π．解：面积为4的正方形边长为2，正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得几何体是底面半径为2，母线长为2的圆柱，所以该圆柱的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×2×2＝8π．故答案为：8π．6．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小为60°．解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR＝2πr，∴R＝2r，∴母线与底面所成角的余弦值＝＝，∴母线与底面所成角是60°．故答案为：60°．7．有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有36不同的报名方法．解：四个运动员分为3组共有种情况，将分好的3组分到三个比赛项目，共有种情况，有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有种情况．故答案为：36．8．已知一个长方体的长、宽、高的比为1：2：3，它的对角线长是，则这个长方体的体积为48．解：设长方体的长宽高分别为m，2m，3m（m＞0），由题意可得：，∴m2＝4，m＝2，长方体的体积：V＝m×2m×3m＝6m3＝48．故答案为：48．9．设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是0.8解：设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，∴该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是：p＝1﹣（1﹣0.5）（1﹣0.6）＝0.8．故答案为：0.8．10．已知空间中两条不同的直线m、n和平面α，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α．请以其中两个论断作为条件，另一个为结论，写出一个真命题：若②③，则①．（填写相应序号）解：由m⊥n，n∥α，得m∥α或m⊂α或m与α相交，相交也不一定垂直，故由①②不能得到③；由m⊥n，m⊥α，得n∥α或n⊂α，故由①③不能得到②；由m⊥α，得m必垂直于平面α内的任意一条直线，又n∥α，所以m⊥n，故由②③可得①．故答案为：②③，①．11．在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O到平面ABC 的距离是，则B、C两点的球面距离是π．解：根据题意，∠ABC＝90°，AC是小圆的直径．所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点，|O′C|＝＝，AC＝3，则BC＝OB＝OC＝3，则∠BOC＝，故B、C两点的球面距离l＝×3＝π；故答案为：π．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，若任取其中两条，则它们所在的直线是异面直线的概率为．解：正方体有12条棱，从中取两条的方法数式，其中异面直线的方法数：12×4÷2＝24，所以所在的直线是异面直线的概率为：＝＝，故答案为：．二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：①若m∥β，m为α内的一条直线，则α∥β或α与β相交，∴充分性不成立，②若α∥β，m为α内的一条直线，根据面面平行得性质可得m∥β，∴必要性成立，∴m∥β是α∥β的必要不充分条件，故选：B．14．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．16解：由题意可知，以AA1为底面矩形的一边，则矩形可以为矩形AA1B1B，矩形AA1D1D，故阳马可以为：C1﹣AA1B1B，C1﹣AA1D1D，D1﹣AA1B1B，D1﹣AA1D1D，C﹣AA1B1B，C﹣AA1D1D，D﹣AA1B1B，D﹣AA1D1D，所以阳马的个数是8个．故选：B．15．下列四个命题中真命题是（）A．空间中垂直于同一直线的两条直线互相平行B．经过空间中的三个点有且只有一个平面C．过球面上任意两点的大圆有且只有一个D．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条解：空间中垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故A错误；经过空间中不在同一直线上的三个点有且只有一个平面，故B错误；过球的一个直径的两个端点的大圆有无数个，故C错误；过空间任一点作两条异面直线的平行线，则所作的两条直线确定一个平面，过该点与所确定的平面垂直的直线有且只有一条，故过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，故D正确．故选：D．16．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2×＝6种情形；第三类：五局为止，共有2×＝12种情形；故所有可能出现的情形共有2+6+12＝20种情形故选：C．三、解答题17．从某中学200名新生中随机抽取10名进行身高测量，得到的数据为：168、159、166、163、170、161、167、155、162、169（单位：cm），试估计该中学200名新生身高的平均值和中位数，并求身高大于165cm的概率估计值．解：将数据从小到大排序得155，159，161，162，163，166，167，168，169，170．故其平均值为＝164，其中位数为＝164.5，身高大于165cm的概率估计值为＝．18．已知n∈N*，n≥3，二项式（x﹣2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中a1，a2满足a2＝﹣3a1．（1）求n；（2）求a0+a1+a2+⋯+a n的值．解：（1）∵n∈N*，n≥3，二项式（x﹣2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，其中a1，a2满足a2＝﹣3a1，∴•（﹣2）n﹣2＝﹣3•（﹣2）n﹣1，解得n＝13．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+⋯+a n＝（1﹣2）13＝﹣1．19．如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱下底面在圆锥的底面上，圆柱上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，AB、CD是底面的两条直径，且AB＝4，AB⊥CD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心．（1）求圆柱与圆锥的体积的比值；（2）求异面直线OF和PC所成角的大小．解：（1）连接PO，则，∴圆锥的体积为：；∵F是PA的中点，且AB＝4，∴圆柱的底面直径为2，∴圆柱的侧棱长为，∴圆柱的体积为：；则圆柱与圆锥的体积的比值为＝；（2）由题可知，OC，OB，OP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，﹣2，0），P（0，0，），F（0，﹣1，），C（2，0，0），则，所以cos＜＞＝，∴异面直线OF和PC所成的角的大小为arccos．20．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．【解答】（1）从1、3、5、7中任取2个数字为，从2、4、6、8中任取2个数字为，组成无重复数字的四位数；（2）从1、3、5、7中任取2个数字为，必选0，所以从2、4、6、8中任取1个数字为，0不排首位，先给0选个位置，剩余数字全排为；故含有数字0的元素的个数为＝432；（3）能被5整除分情况讨论：①选5不选0：＝108，②选0不选5：＝72，③0，5都选：＝120，所以能被5整除得方法数：108+72+120＝300，所以能被5整除的概率．21．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC，AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝BC＝2．（1）求点A到平面A1B1C1的距离；（2）求平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体ABC﹣A1B1C1的体积．解：（1）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以，，设平面A1B1C1的法向量为，则，即，令y＝1，则z＝2，，故，所以点A到平面A1B1C1的距离为＝；（2）由（1）可知，平面A1B1C1的法向量为，又平面ABC的一个法向量为，所以，又平面ABC与平面A1B1C1所成的角为锐二面角，所以平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小为；（3）过点B1作B1E∥AB交AA1于点E，过点B1作B1F∥BC交CC1于点F，取AB的中点P，连结BP，则BP⊥AC，因为AA1⊥平面ABC，且BP⊂平面ABC，则BP⊥AA1，又AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面AA1C1C，所以BP⊥平面AA1C1C，＝＝＝，故多面体ABC﹣A1B1C1的体积为．。

2018-2019学年上海市嘉定区第一中学高二下学期期中检测数学试题一、单选题1．下列命题中正确的是（）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面【答案】D【解析】利用定理及特例法逐一判断即可。

【详解】解：如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线相交、平行或异面，故A不正确；过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直，不正确．反例：如果该直线本身就垂直于已知平面的话，那么可以找到无数个平面与已知平面垂直，故B不正确；如果这两条直线都在平面内且平行，那么这直线不平行于这个平面，故C不正确；如果两条直线都垂直于同一平面，则这两条直线平行，所以这两条直线共面，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了线线平行的判定，面面垂直的判定，线面平行的判定，线面垂直的性质，考查空间思维能力，属于中档题。

2．如图，一个水平放置的平面图的直观图（斜二测画法）是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D【答案】B【解析】先还原几何体，再根据直角梯形面积公式得结果.【详解】几何体为一个直角梯形，上底长为1，下底长为，高为2，因此面积为12(1122⨯⨯++=+选B. 【点睛】本题考查直观图，考查基本分析求解能力，属基础题.3．已知直线:4360l x y -+=，抛物线C ：24y x =上一动点P 到直线l 和y 轴距离之和的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．65D ．2116【答案】A【解析】抛物线24y x =上一动点P 到直线l 和y 轴距离之和最小转化为：抛物线24y x =上一动点P 到直线l 和直线x ＝-1的距离之和最小，x ＝−1是抛物线24y x =的准线，则P 到x ＝−1的距离等于PF ，F （1，0）为抛物线24y x =的焦点，过F 作4360x y -+=垂线，和抛物线的交点就是P ，所以点P 到直线:4360l x y -+=的距离和到y 轴的距离之和的最小值就是F （1，0）到直线4360x y -+=距离再减1．【详解】解：x ＝−1是抛物线24y x =的准线，抛物线24y x =的焦点F （1，0），则P 到x ＝−1的距离等于PF ，过F 作4360x y -+=垂线，和抛物线的交点就是P ，所以点P 到直线l ：4360x y -+=的距离和到直线：x ＝−1的距离之和的最小值 就是F （1，0）到直线4360x y -+=距离， 所以最小值2==． 抛物线24y x =上一动点P 到直线l 和y 轴的距离之和的最小值是：2−1＝1故选：A ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意抛物线的性质的灵活运用．4．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ）（1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆；（2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线；（3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线；（4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5]A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断.【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误.故选：B.【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线.二、填空题5．复数13i z i -=的虚部是________ 【答案】-1【解析】根据复数的除法运算即可.【详解】 解：133i z i i-==--， 复数13i z i -=的虚部是-1， 故答案为：-1.【点睛】本题考查复数的除法，是基础题.6．已知321()22(1)z i -+=-，则z =______________ 【答案】12【解析】利用除法的模就是模的除法，乘方的模就是模的乘方来进行计算即可.【详解】解：()32121z i ⎝⎭===-，故答案为：12【点睛】 本题考查复数模的计算，是基础题.7．已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点，则a 的值为______【答案】4【解析】由题得2493a -=+，解之即得a 的值.【详解】由题得2493a -=+，所以a=4,故答案为：4【点睛】（1）本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)椭圆中222c a b =-，双曲线中222.c a b =+8．棱长为a 的正方体外接球的表面积为________【答案】23a π【解析】先求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】解：由已知外接球的半径r ==，外接球的表面积为222443S r a πππ===⎝⎭， 故答案为：23a π【点睛】本题考查球的表面积公式，考查学生空间想象能力，是基础题.9．232021i i i i ⋅⋅的值是________________ 【答案】i -【解析】变形12320212432021,(03,,)n k i i k n k i i i N i++++==≤≤⋅⋅∈，确定,n k 的值，即可得答案.【详解】 解：(12021)202321123202120201011100834(5051011252)3032221i i i i i i i i i i +⨯+++⨯++⨯++=====-⋅⋅=，故答案为：i -.【点睛】本题考查复数的乘方运算，充分利用41i =是关键，是基础题.10．34i +的平方根为________【答案】(2)i ±+【解析】先设复数z a bi =+，可得2()34a bi i +=+，再结合复数相等的充要条件求解即可.【详解】解：设所求复数为z a bi =+，由题意有2()34a bi i +=+，即22234a b abi i -+=+， 则22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，即2z i =+或2z i =--， 即34i +的平方根为(2)i ±+，故答案为：(2)i ±+.【点睛】本题考查了复数的运算及复数相等的性质，属基础题.11．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为__________．【答案】45︒【解析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．【详解】设侧棱与底面所成的角为θ．因为是正四棱锥，所以顶点到底面的高的垂足一定是底面正方形的中心，所以在由侧棱、高和底面对角线的一半所构成的直角三角形中，2cos 1θ==，故45θ=︒． 【点睛】本题考查棱锥的结构特征，以及求直线和平面成的角的方法，体现了数形结合的数学思想．z-=，则z i-的最大值为____________12．已知复数z满足311【解析】由已知得到复数z对应点的轨迹，然后利用数形结合的思想求解．【详解】z-=，可知复数z对应的点在以(3,0)为圆心，以1为半径的圆周上，解：由31而z i-表示复数z对应的动点到点(0,1)的距离．=．所以z i-11故答案为: 1．【点睛】本题考查了复数模的求法，考查了复数模的几何意义，是基础题．13．圆锥的母线长为3cm，底面半径为1cm，底面圆周上有一点A，由A点出发绕圆锥侧面一周到点A的最短距离为____________cm【答案】【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短路线是展开图中扇形的弧所对弦长，求弦长即可．【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短路线即展开图得到的扇形弧所对的弦长如图所示：设展开图的扇形圆心角为α，由圆锥底面半径1r cm =，母线长是3OA cm =，根据弧长公式得213πα⨯=⨯， 解得23πα=，即扇形的圆心角是120︒， 60AOH ︒∴∠=，∴动点P 自A 出发在侧面上绕一周到A 点的最短路程为弧所对的弦长：22sin 23AH OA AO A H A '==⨯∠=⨯=故答案为：【点睛】 本题考查了圆锥的侧面展开图是扇形应用问题，是基础题．14．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是___________.【答案】36【解析】根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即可得出结果.【详解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对. 如下图所示：①对于正方体的每一条棱，都有2个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12224⨯=个；②对于正方体的每一条面对角线（如11A C ，则11A C ⊥平面11BB D D ），均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12112⨯=个.综上所述，正方体中的“正交线面对”共有36个.故答案为：36.15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的半焦距c ，坐标原点到直线bx ay ab +=的距离等于114c +，则c 的最小值为_______ 【答案】4【解析】14ab c c ==+，进而根据均值不等式的性质求得22222a b c ab +≤=求得c 的范围． 【详解】14ab c c ==+， 214ab c c ∴=+， 22222a b c ab +≤=， 22142c c c ∴+≤，解得4c ≥或0c ≤（舍去） 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是利用点到直线的距离求得,a b 和c 的关系16．在三角形ABC 中，,AB AC AD BC ⊥⊥，D 是垂足，则2AB BD BC =⋅推广到空间，三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC AO ⊥，面BCD ，O 为垂足，且O 在三角形BCD 内，则类似的结论为___________【答案】2ABC BCO BCD S S S ∆∆∆=⋅【解析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中在△ABC 中，AB ⊥AC ，点D 是点A 在BC 边上的射影，则2AB BD BC =⋅，我们可以类比这一性质，推理出若在三棱锥A −BCD 中，BA ⊥平面ACD ，点O 是点A 在平面BCD 内的射影，即可得到答案【详解】解：由已知在平面几何中，若三角形ABC 中，,AB AC AD BC ⊥⊥，D 是垂足，则2AB BD BC =⋅，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC AO ⊥，面BCD ，O 为垂足，则2ABC BCO BCD S S S ∆∆∆=⋅。

2021-2022学年上海市控江中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知ab ＜0，bc ＞0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过（ ）象限 A ．第一、二、三 B ．第一、二、四 C ．第一、三、四 D ．第二、三、四【答案】C【解析】将方程整理为斜截式，即可根据斜率以及y 轴上的截距的正负判断直线经过的象限.【详解】0ax by c 等价于a cy x b b=--，根据题意0,ab <∴0ab->，故直线必经过第一、三象限； 又因为0,bc >∴0cb-<，故直线必经过第三、四象限，故直线必经过第一、三、四象限. 故选：C.【点睛】本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.关键是转化为斜截式，然后根据斜率和截距的正负进行判定.2．下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（ ） A ．OA OB OC OP ++=- B ．OA OB OC OP ++= C ．2OA OB OC OP ++= D ．3OA OB OC OP ++=【答案】D【分析】要使空间中的P 、A 、B 、C 四点共面，只需满足OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=即可.【详解】对于A 选项，OP OA OB OC =---，()()(1)1131-+-+-=-≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于B 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面； 对于C 选项，111222OP OA OB OC =++，111312222++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于D 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=,所以点P 与A 、B 、C 三点共面.故选：D.3．若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y 恰有两个不同公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可【详解】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3) ，曲线2:1C y x =-为以(0,0) 为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)- 时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+- ，解得32k . 当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0) 到直线:3(1)l y k x -=-的距离2311k d k -==+ ，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤ 时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点(,)P x y ，定义[]||||OP x y =+.对于下列两个命题：①设点P 是直线1()y kx k =+∈R 上任意一点，则“使得[]OP 最小的点P 有无数个”的充要条件是“1k =±”；②设点P 是椭圆2214x y +=上任意一点，则max []5OP =则下列判断正确的是（ ） A ．①真②真 B ．①真②假C ．①假②真D ．①假②假【答案】A【分析】对于①，根据x y x y +≥±，把1y kx =+代入得到当[]OP 最小时的点P 有无数个时，1k =±；而1k =±时，推导出[]OP 最小的点P 有无数个，即可证明；对于②，P 的坐标用参数形式表示，然后利用三角函数的辅助角公式化简可求得[]OP 的最大值.【详解】对于①，先证充分性：由[]()111OP x y x y x kx k x =+≥+=++=++，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意； 又[]()(1)11OP x y x y x kx k x =+≥-=-+=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意. 再证必要性：不难得到，当1k =±时，直线1y x =±+上使得[]OP 最小的点P 有无数个； 所以“使得[]OP 最小的点P 有无数个”的充要条件是“1k =±”，即①是真命题；对于②，因为点P 是椭圆2214x y +=上任意一点，则可设2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，所以[]()2cos sin OP x y θθθϕ=+=++（0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，tan 2ϕ=且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），则当2πθϕ+=时，[]max OP ②是真命题；故选：A.二、填空题5．设a ∈R ，若直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，则直线l 的斜率是___________. 【答案】1【分析】利用直线的斜率公式求解.【详解】解：因为直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +， 所以直线l 的斜率是3211k a a-==+-，故答案为：16．直线1:260l x y ++=与2:10l x y -+=夹角的余弦值是___________.【分析】分别设12,l l 的倾斜角为,αβ，再根据斜率与倾斜角的关系，结合两角差的正切公式与正切和余弦的关系求解即可【详解】设12,l l 的倾斜角为,αβ，12,l l 的夹角为θ ，则tan 2α，tan 1β=，故()()21tan tan 3121θαβ--=-==+-⨯ ，故12,l l 夹角的余弦值cos θ===7．若直线l 经过点(1,3)，且与圆2210x y +=相切，则直线l 的方程是___________. 【答案】3100x y +-=【分析】分析可得点(1,3)在圆2210x y +=上，故直接根据过圆心与切点的直线与直线l垂直即可求得直线l 的斜率，进而求得方程【详解】因为221310+=，故点(1,3)在圆2210x y +=上，又圆心()0,0到()1,3的斜率为30310-=-， 故直线l 的斜率13k =-，故直线l 的方程是()1313y x -=--，化简可得3100x y +-=故答案为：3100x y +-=8．直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则a 的值为_________. 【答案】1-【解析】根据两直线平行得出实数a 满足的等式与不等式，解出即可.【详解】由于直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则()()23262a a a a ⎧-=⎪⎨≠-⎪⎩，解得1a =-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 9．已知方程2212x y t t +=-表示双曲线，则实数t 的取值范围是___________.【答案】(0,2)【分析】根据题意得()20t t -<，即可求解.【详解】根据题意得，要使2212x y t t +=-表示双曲线，只需要()20t t -<即可， 解得02t <<，所以实数t 的取值范围是(0,2). 故答案为：(0,2).10．如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，设1AB e =，2AC e =，3AD e =，请用1e ､2e ､3e 的线性组合表示DE =___________.【答案】1231122e e e +-【分析】先求出()12AE AB AC =+，再由DE DA AE =+求解即可.【详解】在ABC 中，因为E 是BC 的中点，所以()()121122AE AB AC e e +=+=， 所以1231122DE DA AE e e e =+=+-.故答案为：1231122e e e +-.11．设1F ､2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左､右焦点，点P 在椭圆C 上，且满足120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=___________.【答案】32【分析】根据椭圆的定义得到1210PF PF +=，由120PF PF ⋅=，得到221236PF PF +=，结合()2221212122PF PF PF PF PFPF +=+-，即可求解.【详解】由题意，椭圆22:12516x y C +=，可得5,4a b ==，则3c =，根据椭圆的定义，可得1210PF PF +=，又由120PF PF ⋅=，可得12PF PF ⊥，所以22212436PF PF c +==， 因为()2221212121221002PF PF PF PF PFPF PF PF +=+-=-，即12100236PF PF -=，解得1232PF PF =. 故答案为：32.12．已知圆222450x y x y ++--=与22210x y x ++-=相交于A B ､两点，则公共弦AB 的长是___________. 【答案】2【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.【详解】解：由题意AB 所在的直线方程为：()()2222245210x y x y x y x ++---++-=，即1y =-，因为圆22210x y x ++-=的圆心()1,0O -，半径为r = 所以，圆心()1,0O -到直线1y =-的距离为1，所以2AB ==. 故答案为：213．已知向量1(1,0,0)u =，1(0,0,1)v =，它们分别在平面xOy 和yOz 上绕坐标原点旋转α得到向量2u ､2v ，其中(0,2)απ∈，若220u v ⋅=，则α=___________.【答案】π【分析】依题意可得()1cos0,sin 0,0u =，10,cos ,sin 22v ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义及诱导公式得到2u ､2v ，最后根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】解：因为()1(1,0,0)cos0,sin 0,0u ==，()10,0,10,cos ,sin 22v ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭将()1cos0,sin 0,0u =在平面xOy 上绕坐标原点旋转()()0,παα∈得到()2cos ,sin ,0u αα=，同理可得()20,cos ,sin 0,sin ,cos 22v ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以222sin 0u v ⋅=-α=，所以sin 0α=，又(0,2)απ∈，所以απ=； 故答案为：π14．设m ∈R ，已知直线1:(1)20l m x my m +++-=，过点(1,2)作直线2l ，且1l //2l ，则直线1l 与2l 之间距离的最大值是___________.【分析】由直线()()121(2:1)00l m x my m m x y x +-+++-++⇒==，可得1l 过定点()2,1-，又知2l 过定点(1,2)，且12//l l ，则两直线之间距离的最大值等于两定点之间的距离.【详解】由直线1:(1)20l m x my m +++-=，得()()120m x y x +-++=；令1020x y x ++=⎧⎨+=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，则直线1l 过定点()2,1-；又12//l l ，且2l 过点()1,2，则直线1l 与2l 之间距离的最大值d.15．已知()2,0A ､()8,0B ､()4,2C ，且动点P 满足12PA PB =，则2PC PB +取得最小值时，点P 的坐标是___________.【答案】)1【分析】设(),P x y ，由214PA PB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭得P 点轨迹为2216x y +=；由()22PC PB PC PA +=+可知当,,A P C 三点共线且P 在线段AC 上时取得最小值，联立圆的方程和直线AC 方程即可求得结果.【详解】设(),P x y ，则()()222222148PA x y PB x y ⎛⎫-+== ⎪ ⎪-+⎝⎭，整理可得：2216x y +=；()2222PC PB PC PA PC PA +=+=+，∴当,,A P C 三点共线且P 在线段AC 上时，2PC PB +取得最小值，又直线AC 方程为：240224y x --=--，即2y x =-， 由22162x y y x ⎧+=⎨=-⎩得：7171x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或1717x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩又P 在线段AC 上，)771P ∴.故答案为：)771+.16．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M ､N 是椭圆22142x y +=上的两个动点，动点P 满足：2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为12-，若点(0,1)A ，则||PA 的最大值是___________. 22【分析】设11(,)M x y 、22(,)N x y ，根据直线OM 与直线ON 斜率之积为12-，得到121220x x y y +=，根据2OP OM ON =-得到1212(2,2)P x x y y --，根据两点间的距离公式以及2211142x y +=，2222142x y +=，121220x x y y +=，得到||PA =()2122122y y --++据二次函数知识可得结果.【详解】设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则2211142x y +=，2222142x y +=， 因为直线OM 与直线ON 斜率之积为12-，所以121212y y x x ⋅=-，即121220x x y y +=，因为2OP OM ON =-1212(2,2)x x y y =--，所以1212(2,2)P x x y y --， 所以221212||(2)(21)PA x x y y =-+--222212121212124441442x x x x y y y y y y =+-+++--+222212*********(42)424(2)41442y y y y y y y y y y =-+---+++--+22121212444221y y y y y y =--+-++21212(2)2(2)21y y y y =----+ ()2122122y y =--++，因为122y -≤≤，所以122222y -≤≤， 因为222y -≤≤，所以222y -≤-≤， 所以1232232y y -≤-≤，所以当1221y y -=-时，||PA 取得最大值22. 故答案为：22. 三、解答题17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.(1)求直线1BC 与平面11CC D 所成的角的大小； (2)求直线1BC 到平面1ACD 的距离.【答案】(1)π4(2)23【分析】（1）说明BC ⊥ 平面11CC D ，则1BC C ∠ 即为直线1BC 与平面11CC D 所成的角，解直角三角形，可得答案;（2）证明1BC ∥平面1ACD ，即说明点B 到平面1ACD 的距离即为直线1BC 到平面1ACD 的距离，根据等体积法求得答案.【详解】(1)在长方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥ 平面11CC D D , 即BC ⊥ 平面11CC D ，则1BC C ∠ 即为直线1BC 与平面11CC D 所成的角， 由于1BC AD ==，111CC A A ==，故1π4BC C ∠=， 即直线1BC 与平面11CC D 所成的角为π4；(2)在长方体1111ABCD A B C D -中，由于1111,AB D C AB D C =∥ ,故四边形11ABC D 是平行四边形， 故11BC AD ∥，而1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，故1BC ∥平面1ACD ，则点B 到平面1ACD 的距离即为直线1BC 到平面1ACD 的距离.； 而11415,2,5AC AD CD +===, 故1212325()222ACD S=-= , 设点B 到平面1ACD 的距离为h ，则11B ACD D ACB V V --=,即13112113232h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ,则23h =， 即直线1BC 到平面1ACD 的距离为23.18．在平面直角坐标系内，已知点P 及线段l ，Q 是线段l 上的任意一点，线段PQ 长度的最小值称为“点P 到线段l 的距离”，记为(,)d P l .(1)设点(2,0)P ，线段:(02)l y x x =≤≤，求(,)d P l ；(2)设(0,0)A ､(1,1)B ､(2,1)C ，线段1l AB =，线段2l AC =，若点(,)P x y 是2l 上的动点，请将1(),d P l 表示成x 的函数. 【答案】(2)()140,3,4,23x d P l x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据“点P 到线段l 的距离”的定义结合两点的距离公式即可得出答案； （2）分别求出线段AB 所在直线和线段AC 所在直线的方程，然后求出过点B 且垂直于线段AB 的直线方程，与线段AC 所在直线的方程联立，求出交点坐标，再由交点横坐标分情况讨论，从而可得出答案. 【详解】(1)解：可设(),,02Q a a a ≤≤， 则PQ =当1a =时，min PQ所以(,)d P l =(2)解：线段AB 所在直线的方程为0x y -=， 线段AC 所在直线的方程为20x y -=，过点B 且垂直于线段AB 的直线方程为()11y x -=--，即20x y +-=，联立2020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得4323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点(,)P x y 是2l 上的动点，所以12y x =， 当40,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，点(,)P x y 到线段AB 的最短距离即为点P 到线段AB 所在直线的距离，此时1(,)d P l =当4,23x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，点(,)P x y 到线段AB 的最短距离即为点B 到线段AC 上的点的最短距离，此时1(,)d P l =综上所述，1224,0,43(,)5432,,243x x d P l x x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩.19．我国计划发射火星探测器天问一号，该探测器的运行轨道是以火星（其半径34R =百公里）的中心F 为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点），A 到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为800百公里.(1)请求出天问一号运行轨道的椭圆标准方程；(2)假定该探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O ab 时进行变轨，其中a ､b 分别为椭圆的长半轴､短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）. 【答案】(1)22119184435028x y += (2)187百公里【分析】（1）设椭圆方程为：22221x y a b+=，由80034,834+=+-=+a c a c 求解；（2）设变轨时，探测器位置为()00,P x y ，由220x yab +=和2200119184435028x y +=求解.【详解】(1)解：设椭圆方程为：22221x y a b+=，由题意得80034,834+=+-=+a c a c ， 解得438,396==a c ，则22235028b a c =-=， 所以椭圆方程为：22119184435028x y +=； (2)设变轨时，探测器位置为()00,P x y ， 则220081975.1x y ab +==，又2200119184435028x y +=，解得00239.7,156.7x y ==， 所以()2200187xc y R -+-≈.20．如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，M ､N 是线段PB ､DC 上的点，满足BM DNMP NC==λ.(1)若1λ=，求证：直线MN //平面PDA ；(2)是否存在实数λ，使直线MN 同时垂直于直线PB ，直线DC ？如果有请求出λ的值，否则请说明理由；(3)若1λ=，求直线MN 与直线PD 所成角的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析； (3)最大值为22arccos3. 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合线线的位置关系进行判断即可； （3）根据异面直线所成的角的定义，结合余弦定理、换元法、配方法进行求解即可. 【详解】(1)取AP 的中点Q ，连接,QM QD ， 因为1λ=，所以M 是线段PB 上的中点，因此有1//,2QM AB MQ AB =， 因为ABCD 是矩形，N 是线段DC 上的中点， 所以1//,2DN AB DN AB =， 因此有//,DN MQ DN QM =，所以四边形DNMQ 是平行四边形，所以有//NM QD ，而NM ⊄平面PDA ，QD ⊂平面PDA ，所以直线MN //平面PDA ； (2)假设存在实数λ，使直线MN 同时垂直于直线PB ，直线DC ， 因为四边形ABCD 是矩形，所以//CD AB ， 即,MN PB MN AB ⊥⊥，而=,,PB AB B PB AB ⊂平面ABP ，所以MN ⊥平面ABP ，因为ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA AD ⊥，而=,,PA AB A PA AB ⊂平面ABP ，所以AD ⊥平面ABP ，因此//MN AD ，显然不可能，所以假设不成立， 因此不存在实数λ，使直线MN 同时垂直于直线PB ，直线DC ； (3)当1λ=时，由（2）可知：//MN DQ ，所以PDQ ∠是直线MN 与直线PD 所成角，设(0)AD a a =>， 由（2）可知PA AD ⊥，所以PD DQ = 在PDQ 中，由余弦定理可知：222222cos 2PD DQ PQ PDQ PD DQ +-∠==⋅ 令22(2)a t t +=>，所以1102t <<，于是有cos PDQ ∠==当114t =时，cos PDQ ∠， 所以PDQ ∠有最大值，最大值为21．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆相似.如图，椭圆1C 、2C 是两个相似的椭圆，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的长半轴长是4，短半轴长是2，且1C 的左､右焦点1F 、2F 都在椭圆22222:1(0)m n x y C m n +=>>上.(1)求1C 、2C 的方程；(2)在1C 上是否存在点P 满足，线段1PF 的中点在2C 上，如有请求出P 的坐标，否则请说明理由；(3)如图，若Q 是2C 上异于1F 、2F 的任意一点，直线1QF 与1C 交于A ､B 两点，直线2QF 与1C 交于D ､E 两点，求证：||||AB DE +为定值. 【答案】(1)221:1164x y C +=，222:1123x y C += (2)存在，5369P ⎛ ⎝⎭ (3)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的基本量求解即可；（2）设()11,P x y，进而得到12y Q ⎫⎪⎪⎝⎭，再分别代入对应的方程，联立求解即可； （3）先证明1214F Q F Q k k ⋅=-，再设AB的方程为x ty =-1C 的方程，根据弦长公式可得AB 关于t 的表达式，同理可得DE 的表达式，再化简求得定值即可【详解】(1)由题，4,2a b ==，故221:1164x y C +=，又22212m a b =-=，且1C 、2C 相似，故2222a m b n=，故23n =，故222:1123x y C +=(2)由题，()1F -，设()11,P x y ，1PF中点12y Q ⎫⎪⎪⎝⎭，故2211221116421123x y y ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩即(2211221111643164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，故(221132x x --=，解得1x =1y =，故P ⎛ ⎝⎭ (3)设()00,Q x y，则12202012F Q F Qy k k x ⋅==-，又22001123x y +=，故2200412x y +=，故122020144F Q F Qy k k y ⋅==--. 显然直线AB 斜率不为0，设AB的方程为x ty =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立221164x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22440t y +--=，故1212244y y y y t -+==+，又()2122814t AB y t +=-=+，又1214F Q F Qk k ⋅=-，故 12114F Q F Qk k ⋅=-，故有()2222481216444t t DE t t ⎡⎤-⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故()()2222228121610401044||||4t t t t t t AB DE ++++==++++=，即||||AB DE +为定值10【点睛】本题主要考查了椭圆中设点，根据椭圆的方程化简求解的方法，同时也考查了椭圆中的定值问题，包括弦长公式等化简，属于难题。

2023学年第二学期高二年级数学期中考试试卷（A ）（答案在最后）时间:120分钟满分:150分注:请将试题的解答全部写在答题纸的相应位置，写在试卷上无效.一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设随机变量X 服从二项分布19,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则[]D X =_________.2.8位选手参加射击比赛，最终的成绩(环数)分别为42,38,45,43,41,47,44,46，这组数据的第75百分位数是_________.参考表格:3.在一个22⨯列联表中，通过数据计算28.325χ=，则这两个变量间有关的可能性为________．参考表格：()20P x χ≥0.050.0250.0100.0010x 3.841 5.024 6.63510.8284.曲线()ln f x x x =+在1x =处的切线方程是________.5.某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有90%的可能性能做对，没思路的有25%的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.6.“守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的月销售额y （单位：百万元）与月份x 具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为 4.23ˆy x =+，则该国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的总销售额为______百万元.7.今天星期三，再过1天是星期四，那么再过20242天是星期_________.8.已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=________．（用数字作答）9.双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线()2222:10x yC a ba b-=>，，如图从C的一个焦点F射出的光线，经过P Q，两点反射后，分别经过点M和N.若12cos13PM PQ PM PQ PQN∠+=-=-，，则C的离心率为_________. 10.函数()11,03ln,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若方程()0f x ax-=恰有3个根，则实数a的取值范围为______.11.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房........此类推，用na表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数.设集合{}232025S a a a=，，，，集合B是集合S的非空子集，则B中所有元素之和为奇数的概率为________.12.现有6根绳子，共有12个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这6根绳子恰好能围成一个圈的概率为______.二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每远4分，第15-16题每题5分，满分18分)毎题有且只有一个正确选项.考生应在答題纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑.13.要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A.某城市居民3月份人均网上购物的次数B.某品牌新能源汽车最大续航里程C.检测一批灯泡的使用寿命D.调查一个班级学生每周的体育锻炼时间14.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（）A.123r r r >>B.231r r r >>C.132r r r >>D.321r r r >>15.江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布2(38,7)N ，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布2(44,2)N ，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（）参考数据：若2()~(,)P Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=A .若8:00出门，则开私家车不会迟到B.若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C.若8:06出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大D.若8:12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到16.n S 是数列{}n a 前n 项和，11243,41n n a a a n +==--，给出以下两个命题:命题211212:2n p a a a a a a n n +++=+ ；命题q :对任意正整数n ，不等式()ln 21n S n n >++恒成立.下列说法正确的是（）A.命题p q 、都是真命题B.命题p 为真命题，命题q 为假命题C.命题p 为假命题，命题q 为真命题D.命题p q 、都是假命题三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段1,DD BD 的中点．（1）求异面直线EF 与BC 所成的角；（2）求三棱锥11C B D F -的体积．18.已知函数2()6ln(1),f x ax x a =-+为常数.（1）若()y f x =在1x =处有极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点;（2）若()y f x =在[]23，上是增函数，求实数a 的取值范围.19.本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图.（1）若数据分布均匀，记随机变量X 为各区间中点所代表的身高，写出X 的分布列及期望.（2）现从身高在区间[)170,190的高中生中分层抽样抽取一个160人的样本.若身高在区间[)170,180中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[)180,190中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这160人身高的方差.20.已知椭圆()22:11x C y t t+=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线():0l y kx m m =+≠与椭圆C 交于M N 、两点(M 点在N 点的上方)，与y 轴交于点E .（1）当3t =时，点A 为椭圆C 上除顶点外任一点，求12AF F △的周长;（2）当4t =且直线l 过点()10D -，时，设EM DM EN DN λμ== ，，求证:λμ+为定值，并求出该值;（3）若椭圆C 的离心率为223，当k 为何值时，22OM ON +恒为定值;并求此时MON △面积的最大值.21.对于有穷数列()12,,,3m a a a m ≥ ，若存在等差数列{}n b ，使得11221m m m b a b a b a b +≤<≤<<≤< ，则称数列{}n a 是一个长为m 的“弱等差数列”.（1）证明:数列124，，是“弱等差数列”;（2）设函数()sin f x x x =，()f x 在()0,2024内的全部极值点按从小到大的顺序排列为12,,,m a a a ，证明：12,,,m a a a 是“弱等差数列”;（3）证明:存在长为2024的“弱等差数列”{}n a ，且{}n a 是等比数列.2023学年第二学期高二年级数学期中考试试卷（A ）时间:120分钟满分:150分注:请将试题的解答全部写在答题纸的相应位置，写在试卷上无效.一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设随机变量X 服从二项分布19,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则[]D X =_________.【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算得解.【详解】依题意，11[]9(1)233D X =⨯⨯-=.故答案为：22.8位选手参加射击比赛，最终的成绩(环数)分别为42,38,45,43,41,47,44,46，这组数据的第75百分位数是_________.参考表格:【答案】45.5【解析】【分析】先排序，再由875%6⨯=，可取第6和第7个数之和的一半即可得解.【详解】先排序可得38,41,42,43,44,45,46,47，由875%6⨯=，所以第75百分位数是454645.52+=.故答案为：45.53.在一个22⨯列联表中，通过数据计算28.325χ=，则这两个变量间有关的可能性为________．参考表格：()20P x χ≥0.050.0250.0100.0010x 3.841 5.024 6.63510.828【答案】99%##0.99【解析】【分析】根据独立性检验的知识确定正确答案.【详解】由于28.325 6.635χ=>，所以两个变量之间有关系的可能性为99%.故答案为：99%4.曲线()ln f x x x =+在1x =处的切线方程是________.【答案】21y x =-【解析】【分析】求出函数的导函数，把1x =代入即可得到切线的斜率，然后根据(1,1)和斜率写出切线的方程即可.【详解】解：由函数ln y x x =+知1'1y x=+，把1x =代入'y 得到切线的斜率112k =+=则切线方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-.故答案为：21y x =-【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题．5.某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有90%的可能性能做对，没思路的有25%的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.【答案】5980【解析】【分析】根据全概率公式求解即可.【详解】设事件A 表示“考生答对”，设事件B 表示“考生选到有思路的题”则小明从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：3159()()()()(0.90.254480P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣.故答案为：5980.6.“守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的月销售额y （单位：百万元）与月份x 具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为 4.23ˆyx =+，则该国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的总销售额为______百万元.【答案】225【解析】【分析】根据样本中心点()x y 在回归直线上的性质，先计算出x ，代入回归方程求得y ，再用y 代表月平均销售额，即可算得总销售额.【详解】依题意，89101112105x ++++==，因样本中心点()x y 在回归直线上，代入得：4.210345y =⨯+=，所以该国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的总销售额为545225⨯=百万元.故答案为：225.7.今天星期三，再过1天是星期四，那么再过20242天是星期_________.【答案】天(或日)【解析】【分析】首先由67432642026474724284(71)⨯+==⨯=+，再利用二项展开式即可得解.【详解】由()()6742024674326740674167367467467467422484714C 7C 7C ⨯+==⨯=+=⋅+⋅++ ()067416736736746746744C 7C 7C 74=⋅+⋅+⋅+ ，所以20242除7余4，所以再过20242天是星期天.故答案为：天（或日）.8.已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=________．（用数字作答）【答案】15【解析】【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.9.双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线()2222:10x y C a b a b-=>，，如图从C 的一个焦点F 射出的光线，经过P Q ，两点反射后，分别经过点M 和N .若12cos 13PM PQ PM PQ PQN ∠+=-=- ，，则C 的离心率为_________.【答案】3【解析】【分析】作出MP ,QN 的反向延长线交于双曲线的左焦点1F ,由已知可得PM PQ ⊥ ，112cos 13PQF ∠=，设1||13||12,F Q t PQ t ==，可得||2,23,PF t a t ==由勾股定理可求得1||,F F =进而可求C 的离心率.【详解】由双曲线的光学性质可知MP ,QN 的反向延长线交于双曲线的左焦点1F ,如图所示：由||||PM PQ PM PQ +=- ,两边平方可得222222PM PM PQ PQ PM PM PQ PQ ++=-+ ,所以0PM PQ = ，所以PM PQ ⊥ ，所以190∠=︒F PF ，又12cos 13PQN ∠=-，所以112cos 13PQF ∠=，设1||13||12,F Q t PQ t ==，则1||5PF t =，设||FQ m =，则||12FP t m =-，根据双曲线定义，可得11||||||||2PF PF QF QF a -=-=，所以5(12)132t t m t m a --=-=，解得10m t =，所以||2,23,PF t a t ==在1Rt F PF 中，222211||||||29,F F PF PF t =+=所以1||,F F =所以C的离心率为3c e a ==.故答案为：3.10.函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若方程()0f x ax -=恰有3个根，则实数a 的取值范围为______.【答案】11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】画出()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩的图象,再分析()y f x =与直线y ax =的交点个数即可.【详解】画出函数()f x 的图象,如图所示：由题意可知0a >，先求y ax =与ln y x =相切时的情况，由图可得此时ln y x =,1y x'=设切点为()00,ln x x ,则0001ln a x x ax ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得0e x =,1e a =，此时直线e x y =，此时直线e x y =与()y f x =只有两个公共点，所以1e a <，又斜率11e 3>，又当13a =时13y x =与11,(0)3y x x =+≤平行，13y x =与()y f x =有三个公共点，而当13a <，直线y ax =与()y f x =有四个交点，故11,3e a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.一只蜜蜂从蜂房A 出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如:从蜂房A 只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房........此类推，用n a 表示蜜蜂爬到n 号蜂房的方法数.设集合{}232025S a a a = ，，，，集合B 是集合S 的非空子集，则B 中所有元素之和为奇数的概率为________.【答案】20232024221-【解析】【分析】根据题意，得到数列{}n a 满足12n n n a a a --=+，求得在{}232025S a a a = ，，，偶数项共有675项，奇数项为1349项，得到S 中有202421-的非空子集，以及B 中所有元素之和为奇数的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意知，该蜜蜂爬到1号蜂房的路线数为1，第2号蜂房的路线数为2，第3号蜂房的路线数为3，第4号蜂房的路线数为5，第5号蜂房的路线数为8， ，则第n 号蜂房的路线数为12(3,N )n n n a a a n n *--=+≥∈，所以54575686713,21,34,a a a a a a a a a =+==+==+= ，即数列{}n a 为1,2,3,5,8,13,21,34, ，其中25811,,,,a a a a 为偶数，所以在{}232025S a a a = ，，，偶数项共有675项，奇数项为1349项，又由{}232025S a a a = ，，，，可得S 中有202421-的非空子集，若B 中元素之和为奇数，则B 中的奇数共有奇数个，偶数可以随意，所以满足条件的B 的个数为：01267513134867513482023675675675675134913491349(C C C C )(C C C )222+++++++=⋅= ，所以B 中所有元素之和为奇数的概率为20232024221P =-.故答案为：20232024221-.12.现有6根绳子，共有12个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这6根绳子恰好能围成一个圈的概率为______.【答案】256693【解析】【分析】直接根据圆排列及古典概型计算.【详解】依题意，环排列有：11111108642C C C C C 3840⋅⋅⋅⋅=种,总的连接方式有：22222121086466C C C C C 66452815610395A 720⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯==种，所以恰好能围成一个圈的概率为384025610395693P ==.故答案为：256693.二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每远4分，第15-16题每题5分，满分18分)毎题有且只有一个正确选项.考生应在答題纸的相应位置，将正确选项用2B 铅笔涂黑.13.要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A.某城市居民3月份人均网上购物的次数B.某品牌新能源汽车最大续航里程C.检测一批灯泡的使用寿命D.调查一个班级学生每周的体育锻炼时间【答案】D 【解析】【分析】结合普查和抽查的适用条件即可求解.【详解】A ，B 选项中要调查的总体数量和工作量都较大，适合采用抽查；C 选项的检测具有毁损性，适合抽查；D 选项要调查的总体数量较小，工作量较小，适合采用普查，故选：D.14.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（）A.123r r r >>B.231r r r >>C.132r r r >>D.321r r r >>【答案】C 【解析】【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案.【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关，故10r >；第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，故23,0r r <，且23r r >，故230r r <<，综合可得231r r r <<，即132r r r >>，故选：C15.江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布2(38,7)N ，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布2(44,2)N ，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（）参考数据：若2()~(,)P Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=A.若8:00出门，则开私家车不会迟到B.若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C.若8:06出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大D.若8:12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由(59)0.0013P Z ≥=即可判断；对于BC ，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D ，计算(38)0.0013P Z ≤=即可判断【详解】对于A ，当满足1(1759)10.9974(59)0.001322P Z P Z -<≤-≥===时，江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A 错误；对于B ，若8:02出门，①江先生开私家车，当满足1(2452)(52)(2452)0.97722P Z P Z P Z -<<≤=+<<=时，此时江先生开私家车不会迟到；②江先生乘坐地铁，当满足()()().1P 40Z 48P Z 48P 40Z 48097722-<<≤=+<<=时，此时江先生乘坐地铁不会迟到；此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B 错误；对于C ，若8:06出门，①江先生开私家车，当满足1(3145)(48)(45)(3145)0.84132P Z P Z P Z P Z -<<≤>≤=+<<=时，此时江先生开私家车不会迟到；②江先生乘坐地铁，当满足().1P Z 44052≤==时，此时江先生乘坐地铁不会迟到；此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C 错误；对于D ，若8:12出门，江先生乘坐地铁上班，当满足()().1P 38Z 50P Z 38000132-<<≤==时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分别分析得江先生使用不同交通工具在路上所花时间，结合正态分布的对称性求得其对应的概率，从而得解.16.n S 是数列{}n a 前n 项和，11243,41n n a a a n +==--，给出以下两个命题:命题211212:2n p a a a a a a n n +++=+ ；命题q :对任意正整数n ，不等式()ln 21n S n n >++恒成立.下列说法正确的是（）A.命题p q 、都是真命题B.命题p 为真命题，命题q 为假命题C.命题p 为假命题，命题q 为真命题D.命题p q 、都是假命题【答案】A 【解析】【分析】由题意可求出12n a a a 的表达式，利用等差数列的求和公式可判断命题p ；证明出当01x <≤时，ln 1≤-x x ，可得出212ln2121n n n +≤--，再结合放缩法可判断命题q .【详解】因为()()11244223,4121212121n n n n a a a a a n n n n n +⎛⎫==-=-=-- ⎪--+-+⎝⎭，所以()12221121n n a a n n +-=-+--，所以，数列221n a n ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为常数列，则122121n a a n -=-=-，所以22112121n n a n n +=+=--；所以123521211321n n a a a n n +=⨯⨯⨯=+- ，令21n b n =+，则12n n b b +-=，所以数列{}n b 为首项为3，公差为2的等差数列，因此()()2112123213572122n n n a a a a a a n n n +++++=+++++=+ ，即命题p 正确；设()1ln x x x ϕ=--，其中01x <≤，则()111xx x xϕ'-=-=，当01x <<时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，则()()10x ϕϕ≥=，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，等号成立，所以21212ln1212121n n n n n ++<-=---，即2235212ln ln ln 3211321n n S n n n n +⎛⎫=++++>++++ ⎪--⎝⎭ ，则()3521ln ln 211321n n S n n n n +⎛⎫=+⨯⨯⨯=++ ⎪-⎝⎭，所以命题q 正确.故选：A.三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段1,DD BD 的中点．（1）求异面直线EF 与BC 所成的角；（2）求三棱锥11C B D F -的体积．【答案】（1）arccos 3.（2）43.【解析】【分析】（1）分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF 与BC 所成的角．（2）先求出11C B D S ，再由向量法求出点F 到平面11D B C 的距离，由此根据1111C B D F F B D C V V --=即可求出三棱锥11C B D F -的体积．【小问1详解】以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，∵在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段1,DD BD 的中点，∴(0,0,1),(1,1,0),(2,2,0),(0,2,0)E F B C ，∴(1,1,1),(2,0,0)EF BC =-=-，设异面直线EF 与BC 所成的角为π,(0]2θθ∈，，则|||2|3cos cos ,|3||||32|EF BC EF BC EF BC θ⋅=〈〉==⋅⨯，∴异面直线EF 与BC 所成的角为3arccos 3．【小问2详解】∵在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11112B D B C D C ===,∴111322222322B DC S ⨯== ∵112,2,2),0,0,2),(0,2,0),(1,1,0)((B D C F ，∴1111(2,20),(0,22),(1,1,2)D B D D C F ==-=-，，，设平面11D B C 的法向量(,,)n x y z =，则1110n D B n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴220220x y y z +=⎧⎨-=⎩，令1x =，则可取(1,1,1)n =--r ，∴点F 到平面11D B C 的距离1||33||3n D F d n ⋅== ，∴三棱锥11C B D F -的体积11111111234233333C BD F F B D C B D C V V S d --==⨯=⨯⨯= .18.已知函数2()6ln(1),f x ax x a =-+为常数.（1）若()y f x =在1x =处有极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点;（2）若()y f x =在[]23，上是增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）32a =；1x =是()y f x =的极小值点（2）实数a 的取值范围为)1,2∞⎡+⎢⎣【解析】【分析】（1）先根据函数在1x =处有极值求出a 的值，将a 值代入原函数求导进行判断函数在1x =左右的导函数正负号即可得到结果；（2）()y f x =在[]23，上是增函数，转化成()0f x '≥在[]23x ∈，恒成立，进而分离参数转化成23a x x≥+在[]23x ∈，恒成立进行求解即可得到结果.【小问1详解】()f x 的定义域为[)1,∞-+，则6()21f x ax x-'=+；由题意，()y f x =在1x =处有极值，即()01f '=，即230a -=；∴32a =；∴63(2)(1)()311x x f x x x x+-=-'=++，∴当1x >时，()0f x '>，()f x 为增函数；当11x -<<时，()0f x '<，()f x 为减函数；∴1x =是()y f x =的极小值点.【小问2详解】∵()y f x =在[]23，上是增函数，∴()0f x '≥在[]23x ∈，恒成立，即有6201ax x-≥+，23a x x ∴≥+在[]23x ∈，恒成立，只需求2max3a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭；[]23x ∈ ，，[]22116,1224x x x ⎛⎫∴+=+-∈ ⎪⎝⎭，2311,42x x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦；12a ∴≥，∴a 的取值范围为)1,2∞⎡+⎢⎣.19.本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图.（1）若数据分布均匀，记随机变量X 为各区间中点所代表的身高，写出X 的分布列及期望.（2）现从身高在区间[)170,190的高中生中分层抽样抽取一个160人的样本.若身高在区间[)170,180中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[)180,190中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这160人身高的方差.【答案】（1）分布列见详解，期望为171.7（2）27.25【解析】【分析】（1）依据分布列和期望的定义即可求得X 的分布列及期望；（2）依据方差的定义去求这160人的方差.【小问1详解】由(0.0270.0250.0220.010.001)101x +++++⨯=，解得0.015x =，所以X 的分布列为：X155165175185195205P0.220.270.250.150.10.01()0.221550.271650.251750.151850.11950.01205171.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由于身高在区间[)170,180，[)180,190的人数之比为5:3，所以分层抽样抽取160人，区间[)170,180，[)180,190内抽取的人数分别为100人与60人.在区间[)170,180中抽取的100个样本的均值为176，方差为10，即176x =，2110s =，在区间[)180,190中抽取的60个样本的均值为184，方差为16，即184y =，2216s =，所以这160人身高的均值为10017660184179160z ⨯+⨯==，从而这160人身高的方差为2s 22221210060()()160100s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦221006010(176179)16(184179)27.25160160⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，因此这160人身高的方差为27.25.20.已知椭圆()22:11x C y t t+=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线():0l y kx m m =+≠与椭圆C 交于M N 、两点(M 点在N 点的上方)，与y 轴交于点E .（1）当3t =时，点A 为椭圆C 上除顶点外任一点，求12AF F △的周长;（2）当4t =且直线l 过点()10D -，时，设EM DM EN DN λμ==，，求证:λμ+为定值，并求出该值;（3）若椭圆C 的离心率为223，当k 为何值时，22OM ON +恒为定值;并求此时MON △面积的最大值.【答案】（1）（2）83（3）32【解析】【分析】（1）根据椭圆定义求解三角形周长；（2）联立:(0)l y kx m m =+≠与22:19x C y +=，得到两根之和两根之积，由,EM DM EN DN λμ== 得到121211x x x x λμ+=+++，结合两根之和，两根之积求出答案；（3）先由离心率得到椭圆方程，联立直线方程，得到两根之和，两根之积，表达出()()()2222222919121691k m k OM ON k -+++=+⨯+，结合22||||OM ON +为定值得到13k =±，并求出此时MN ，和点O 到直线l 的距离d ，利用基本不等式得到32MON S ≤.【小问1详解】当3t =时，椭圆方程为22:13x C y +=，故a =c =，由椭圆定义可得，12AF F △的周长为22a c +=；【小问2详解】4t =时，椭圆方程为22:14x C y +=，故联立:(0)l y kx m m =+≠与22:14x C y +=可得，()222418440k x kmx m +++-=设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k --+==++，因为直线l 过点()10D -，，所以0k m =-+，即k m =，所以22121222844,4141k k x x x x k k --+==++因为()10D -，，设()0,E E y ，所以()11,E x EM y y =- ，()111,D x M y =+ ，()22,E x EN y y =- ，()221,x DN y =+ ，又因为,EM DM EN DN λμ== ，所以()()11221,1x x x x λμ=+=+，所以111x x λ=+，221x x μ=+，所以121212*********x x x x x x x x x x λμ+++=+=-+++++222222841844413224218231k k k k k k +=--=+--+++=++，所以λμ+为定值83.【小问3详解】由题意得3=，解得9t =，椭圆方程2219x y +=，联立2299y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消元得()2229118990k x kmx m +++-=，当()()2222Δ324369110k m k m =-+->，即22910k m -+>时，设()()1122,,,M x y N x y ，则1221891km x x k -+=+，21229991m x x k -⋅=+，又因为M 、N 在椭圆上，则121219y x =-，222219y x =-，则22222212121199x x OM ON x x +=+-++-()()2221112222228899x x x x x x ⎡⎤=++=+-⋅⎣+⎦()()()()()2222222222299191912162169191k m m k k m k k k ⎡⎤-++-++⎢⎥=+=+⨯⎢⎥++⎣⎦当22OM ON +为定值时，即与2m 无关，故2910k -=，得13k =±，此时219MN k ===+又点O 到直线l的距离d ==所以12MON S d MN =⨯⨯=△()222333322222m m +-==≤⋅=，当且仅当m =1m =±时，等号成立，因为2291k m ∆=-+，经检验，此时Δ0>成立，所以MON △面积的最大值为32.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21.对于有穷数列()12,,,3m a a a m ≥ ，若存在等差数列{}n b ，使得11221m m m b a b a b a b +≤<≤<<≤< ，则称数列{}n a 是一个长为m 的“弱等差数列”.（1）证明:数列124，，是“弱等差数列”;（2）设函数()sin f x x x =，()f x 在()0,2024内的全部极值点按从小到大的顺序排列为12,,,m a a a ，证明：12,,,m a a a 是“弱等差数列”;（3）证明:存在长为2024的“弱等差数列”{}n a ，且{}n a 是等比数列.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）找到一个符合条件的数列{}n b 即可证明；（2）令()0f x '=得到极值点符合的等式关系，即为y x =-和tan y x =图象交点的横坐标，再结合二者图象的特点找到交点的位置，确定数列{}n b 即可证明；（3）先构造一个等比数列{}n a ，其通项公式为()()1202411,2,,2024n n n a k k n --=+= ，证明存在一个正整数k ，使其为长为2024的“弱等差数列”即可.【小问1详解】存在数列21125,,3,366是等差数列，且211251234366<<<<<<，所以数列124，，是“弱等差数列”.【小问2详解】()sin cos f x x x x +'=，令()0f x '=得tan x x -=，所以极值点即为y x =-和tan y x =图象交点的横坐标，由y x =-和tan y x =在()0,∞+内的图象可知，在每个周期都有一个交点，所以令12n n b -=π，则1n n n b a b +<<，所以12,,,m a a a 是“弱等差数列”.【小问3详解】构造正整数等比数列{}n a ，()()1202411,2,,2024n n n a k k n --=+= ，其中k 是待定正整数，下面证明：存在正整数k ，使得等比数列{}n a 是长为2024的“弱等差数列”.取20242024202320231,1,b a b a =-=-若存在这样的正整数k 使得()()()()2202220232023202220211232023202420251111b k b k k b k k b k k b k b ≤<≤+<≤+<<≤+<≤+< 成立，所以()()()2023202220222024202320242023111d b b a a k k k k =-=-=+-+=+，由()()1202411,2,,2024n n n a k k n --=+= ，得()()()()112022202412024202311111n n n n n n n n a a k k k k k k k d ------+-=+-+=+<+=，于是()()()202420232024120242024n n n n a a a a a a b n d b -=+-++->--= ()12023n ≤≤，又因为2024202420241b a a =-<，所以当1,2,,2024n = 时，<n n b a ，而()()()1211211n n n n a a a a a a b n d b -+=+-++-<+-= ，所以1122202420242025b a b a b a b ≤<≤<<≤< ，最后说明存在正整数k 使得12a b <，由()()()()()202320222022122024202211211320241m b b d k m k k k k -=-=+---+=++-->，上式对于充分大的k 成立，即总存在满足条件的正整数k .所以，存在长为2024的“弱等差数列”{}n a ，且{}n a 是等比数列.【点睛】思路点睛：新定义题目解题策略：（1）依据新定义取特殊值证明其成立；（2）如果有多个条件，先假设符合其中一个条件，再证明其余的条件也符合.。

同济大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器）一、填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，共54分）1. 抛物线的准线方程为________．2. 若与a 的等差中项为18，则实数a 的值为__________．3. 在的二项展开式中，常数项等于_______.4. 函数的导数_________________.5. 已知事件与事件相互独立，为事件的对立事件．若，，则__________．6. 现利用随机数表发从编号为的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为______．7. 一个圆锥的表面积为，母线长为，则其底面半径为______.8. 已知等比数列的公比为，且，则__________．9. 已知正四棱锥底面边长为，则它体积为__________．10. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_______．11. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左支交于A ，B 两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为______．12. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．二、选择题（13～14题每题4分，15～16题每题5分，共18分）13. 设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的的2y x =3a +61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()ln f x x x =()f x '=A B A A ()0.3P A =()0.6P B =()P A B ⋂=00,01,02,,18,19 952260004984012866175168396820274377236627096623925808564389099006482834597418582977814964608925π56{}n a 125342a a a =8a =30︒{}n a n 221n S n n =+-{}n a 1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1F 112AF F B = O 2OF B C ()(21)x f x e x ax a =--+1a <0x ()00f x <a ,m n ,αβn β⊥是（ ）A. ，且B. ，且C ，且 D. ，且14. 设，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 15. 某校举行演讲比赛，10位评委对某选手评分如下：7.5，7.8，7.8，7.8，8.0，8.0，8.3，8.3，8.8，8.9，选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数．则下列说法错误的是（ ）．A. 剩下的8个评分的众数为7.8B. 原来的10个评分的80％分位数8.3C. 剩下的8个评分的平均数比原来的10个评分的平均数小D. 剩下的8个评分的方差比原来的10个评分的方差小16. 设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是（ ）①可能为等差数列；②可能为等比数列；③均能写成的两项之差；④对任意，总存，使得．A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④三、解答题（17～19每题14分，20～21题每题18分，共78分）17. 在三棱柱中，平面ABC ，，D 为AB 中点，．.的在的//αβn ⊂α//m n m β⊥m n ⊥m β⊂m n ⊥//m β()5501521x a a x a x -=+++ 01a =123451a a a a a ++++=024121a a a ++=-135121a a a ++={}n a n n S n m n m S a ={}n a {}n a (2)i a i ≥{}n a N,1n n ∈≥N,1m m ∈≥n m a S =111ABC A B C -1CC ⊥AC CB ⊥12AC CB CC ===（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．18. 已知数列满足，，数列满足，．（1）求证：为等差数列，并求通项公式；（2）若，记前n 项和为，对任意的正自然数n ，不等式恒成立，求实数的范围．19. 为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分．先按照考生原始分从高到低按比例划定,共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，和E 级排名各占比5％，其余各级排名各占比10％．现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中至少有一人原始成绩在内的概率；（2）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差1AC ∥1B CD 1AC 1B CD {}n a 12a =1122n n n a a ++=+{}n b 11b =12121n n n b b n ++=-2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a 11n n n c b b +={}n c n S n S λ<λ,,,,,,,A A B B B C C C ++-+-,,D D E +A +[)60,70[)70,80[)60,70[)80,9083x =218s =[]90,10090y =，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差s （结果精确到0.1）．20. 已知曲线．（1）当时，若曲线交轴于、两点，为曲线上异于、的点，求直线、的斜率之积；（2）若直线与曲线交于、两点，①当时，求面积的最大值；②当实数为何值时，对任意，都有为定值？并求出的值．21. 已知函数．（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性及极值；（3）若，任意且，都有成立，求实数m 的取值范围．2210s =[]80,100z []80,100()22:2,E ax y m a +=∈R 1a =-E y A B M E A B MA MB :1l y mx =+E C D 2a =COD △a m ∈R OC OD ⋅ T T ()()3143f x ax x a =-∈R 4a =()y f x =()()1,1f ()f x 1a =12,x x ⎡∈⎣12x x ≠()()1212ln ln f x f x m x x -<-同济大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，共54分）【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】##【3题答案】【答案】-20【4题答案】【答案】.【5题答案】【答案】【6题答案】【答案】18【7题答案】【答案】【8题答案】【答案】##【9题答案】【答案】【10题答案】【答案】【11题答案】【12题答案】14x =-33216.5ln 1x +0.4223180.125122,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【答案】二、选择题（13～14题每题4分，15～16题每题5分，共18分）【13题答案】【答案】B【14题答案】【答案】C【15题答案】【答案】B【16题答案】【答案】A三、解答题（17～19每题14分，20～21题每题18分，共78分）【17题答案】【答案】（1）证明略（2）【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1） （2）；【20题答案】【答案】（1） （2；②，【21题答案】【答案】（1） 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2n n a n =⋅1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭71085 4.3113a =2T =-83y =-（2）答案略（3）m。

上海市莘庄中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分．1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 直线经过点和，则直线的倾斜角为______2. 用斜二测画法画出水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________．3. 平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面，则此球的表面积为___________．4. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________.5. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条.6. 如图所示，以长方体的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为____________．7. 如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以的l ()2,0-(l ABC V 1B O C O ''''==ABC V A O ''=αO 1O α2π111ABC A B C -1A B 1111ABCD A B C D -1DB ()3,4,21AC u u u r 1111ABCD A B C D -111A C B D ⊥1111D C B A是______________（只需写出一个正确的条件）8. 已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为_______9. 已知直线，斜率为的直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点，过作x轴的平行线，交于点，过作y 轴的平行线，交于点，再过作x 轴的平行线交于点，…，这样依次得线段、、、、…、、，记为点的横坐标，则__________．10. 已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为____________11. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为________时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大的AB C ABC 1:l y x =()01q q <<2l ()00,B a 0B 1l 1A 1A 2l 1B 1B 1l 2A 01B A 11A B 12B A 22A B 1n n B A -n n A B n x n B lim n n x →+∞=0{}n a n n S {}457,,10,0a S S ∈-n S12. 如图，在长方体中，已知，．动点P 从出发，在棱上匀速运动；动点Q 同时从B 出发，在棱BC 上匀速运动，P 的运动速度是Q 的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为，则的取值范围是____________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分．13，14题每题4分，15，16题每题5分）13. 一个直角三角形的两条直角边长分别为2和4，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 814. 如图：在平行六面体中，M 为，的交点．若，，，则向量（ ）A. B. C. D. 15. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（）1111ABCD A B C D -2AB =11AD AA ==1A 11A B θtan θ1111ABCD A B C D -11A C 11B D 11A B a = 11A D b = 1A A c = BM = 1122-++ a b c 1122a b c -+- 1122a b c --+ 1122a b c -+A. 2B. 4C. 6D. 816. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）A. 四棱锥为“阳马”B. 四面体为“鳖臑”C. 四棱锥体积的最大值为D. 过A 点作于点E ，过E 点作于点F ，则面AEF三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17. 如图，已知点P 在圆柱的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，圆柱的表面积为，，．111ABC A B C -AC BC ⊥12AA AB ==11B A ACC -11AC CB 11B A ACC -231AE A B ⊥1EF A B ⊥1A B ⊥1O O 20π2OA =120AOP ∠=︒（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离．18. 已知数列各项均为正数，且，记其前n 项和为．（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，，求满足时，n 的最小值．19. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，四边形是正方形，平面平面.（1）证明：平面平面；（2）求多面体的体积；（3）若点是线段上的一点，且满足平面.求二面角的大小.20. 如图，在直角梯形中，，点A 是PB 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，设.(1)当为直角时，求异面直线PC 与BD所成角的大小；1A P ABP A 1A BP {}n a 11a =n S {}n a 651S ={}n a {}n a 6132a =50n n S a >ABCDEF ABCD 60BAD ∠=︒BDEF BDEF ⊥ABCD ACE ⊥BDEF ABCDEF M BF DM ⊥ACE A DM B --P BCD -//,,22PB DC DC BC PB BC CD ⊥===PAB θ∠=θ(2)当为多少时，三棱锥?(3)剪去梯形中的，留下长方形纸片，在BC 边上任取一点E ，把纸片沿AE 折成直二面角,问E 点取何处时，使折起后两个端点间的距离最短.21. 已知是底面边长为1正四棱柱，为与的交点．（1）设与底面所成角大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：；（2）若点C 到平面的距离为，求正四棱柱的表面积；（3）若正四棱柱的高为2，在矩形内（不包含边界）存在点P ，满足P 到线段BC 的距离与到线段的距离相等，求的最小值．上海市莘庄中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷 简要答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分．1-6题每题4分，7-12题每题5分）【1题答案】【答案】##【2题答案】【答案】1的的θP ABD -PAD ∆ABCD B D '、1111ABCD A B C D -1O 11A C 11B D 1AB 1111D C B A α1AD 11A C β22cos 2cos αβ=11AB D 431111ABCD A B C D -1111ABCD A B C D -11BB C C 11C D 1PD PAπ630【4题答案】【答案】1【5题答案】【答案】3【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】（答案不唯一）【8题答案】【答案】．【9题答案】【答案】【10题答案】【答案】【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】二、选择题（本大题共有4题，满分18分．13，14题每题4分，15，16题每题5分）【13题答案】【答案】B【14题答案】【答案】B【15题答案】【答案】A(3,4,2)-1111AC B D ⊥1a q-12-π31[2三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【17题答案】【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1）；（2）6.【19题答案】【答案】（1）证明略（2.（3）.【20题答案】【答案】（1）；（2）或；（3）当时，沿AE 折起后间距离最短【21题答案】【答案】（1）证明略（2）10 （3.32n a n =-arctan AGO ∠=4π34π1BE =B D '、。

山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.展开式中 的系数为（ ）A. B. C. 30D. 902. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 或 D.3. 2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有A. 15 B. 60 C. 90 D. 5404. 若，则（ ）A. B. C. D. 5. 在5个大小相同的球中有2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（ ）A.B.C.D.6. 随机变量ξ的分布列如下：其中，则等于（ ）A.B.()()6231x x --3x 90-30-()32112132f x x x x =-+++()1,4m m -+m 5m ≤-3m ≥5m ≤-3m ≥53m -≤≤2022220220122022(32)x a a x a x a x -=++++ 2022a a =2022220221()220222(320223()2110142512ξ1-01Pabc2b a c =+(1)P ξ=1314C.D.7. 蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（）A. B. C. D. 8. 已知函数，若恰有四个不同的零点，则a 取值范围为（）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知A ，B ，C 为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）A B. C. D. 10. 对于函数，下列说法中正确是（ ）A. 存在有极大值也有最大值.的122310928'︒7032'︒n n m (),A n m ()3,11A =()4,23A =()10,81A m ≤{}1,2,3,7,8,9{}1,2,3,8,9,10{}1,2,3,9,10,11{}4,5,6,7,8()xf x x e =()()()21g x fx af x =-+()2,∞+1,e e⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭12,e e ⎛⎫+⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()()()P AB P A P B =()()()P B C A P B A P C A ⋃=+()1P A A =()()P A B P AB ≥()222272exx x f x +-=()f xB. 有三个零点C. 当时，恒成立D. 当时，有3个不相等的实数根11. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ）A. 若输入信号，则输出信号只有两个的概率为B.C.D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若，则实数a 取值范围为________13. 编号为A 、B 、C 、D 、E 的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A 品种不能种在1，2试验田里，B 品种必须与A 种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为________14. 设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．的的()f x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x >450,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x a =,,M N P ()01αα<<12α-,,MMMM NNNN PPPP 123,,p p p 1231p p p ++=111,,M N P MMMM NNNN PPPP D MNPM MMMM M ()221αα-()22112P D M αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭()3112P D P αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭()()1112311p P M D p ααα=-+-e ln()x ax x ax -≥-+ξ0ξ=1ξ=ξE ξ15. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等．（1）求展开式中各项系数之和；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中的有理项．16. 学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．（1）求学生甲被录取的概率；（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列．17. 已知函数在点处切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.18. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.19. 已知函数，．的1n⎫⎪⎭3423X X ()21ex x af x -+=()()1,1f 420240x y ++=a ()f x 12()23ln f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭R a ∈（1）若的定义域为，值域为，求的值；（2）若，且对任意的，当，时，总满足，求的取值范围．（附加题）20. 帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m ，n ，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为．（1）求实数a ，b 的值；（2）比较与的大小；（3）若在上存在极值，求的取值范围．()f x {|0,R}x x x ≠∈R a 0a >1,13c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x ∈()()12ln2f x f x -≤a ()f x 0x =[,]m n 011()1mm nn a a x a x R x b x b x+++=+++ (0)(0)f R =(0)(0)f R ''=(0)(0)f R ''''=()()(0)(0)m n m n f R ++=[]()()f x f x '='''[]()()f x f x ''''''=[](4)()()f x f x ''''=(5)(4)()()f x f x '⎡⎤=⎣⎦()()n f x (1)()n f x -()ln(1)f x x =+0x =[]1,1()1ax R x bx=+()f x ()R x ()1()()()2f x h x m f x R x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(0,)+∞m山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AB【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】30【14题答案】四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）0（2）（3）有理项为，，【16题答案】【答案】（1）（2）分布列略【17题答案】【答案】（1）（2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.【18题答案】【答案】（1） （2）①；②方案二中取到红球的概率更大.【19题答案】【答案】（1） （2）（附加题）【20题答案】【答案】（1），； (]0,e 4370x -228x -156x --1563a =-(),1-∞-()3,+∞()1,3-()f x ()263e f =()212e f -=-1120190a =45,7∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭1a =12b =（2）答案略；（3）．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。

石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（时间：120分钟，分值150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. 0B.C. 2D. 33. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望E(Y)等于（）012A. B. C. D.4. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.5. 为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班()22x x'-=-()2e2ex x'=()cos cos sinx x x x x'=-()()122xx x-'=⋅()e xf x a b=+()πcos2xg x c=+()02P，+ab cπX Y21Y X=-YXP1613a43835373()(1)ln1f x x x=+-现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）A 120B. 150C. 240D. 3006. 的展开式中的系数为（ ）A B. 17C. D. 137. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 展开式中最大的系数为10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A. 若，，则函数F (x )有最小值B. 若，，则过原点可以作2条直线与曲线相切C. 若，且对任意，恒成立，则D. 若对任意，任意，恒成立，则的最小值是11 已知函数，若且，则有（ ）...()632x x ⎛- ⎝6x 17-13-35ln 23a =253e 5b =1c =c b a >>a b c >>a c b >>c a b>>()()23ln 12ln x a x ax x x--=a 224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，()224e 10114e 4e ⎛⎫+⋃ ⎪-⎝⎭，，()224e 1014e 4e ⎧⎫+⋃⎨⎬-⎩⎭，()62601262a a x a x a x =+++⋯+3360a =-()()2202461351a a a a a a a +++-++=(6612622a a a ++⋯+=--2a ()()()2e 114ax F x m x m =++++0m =1a =-1m =-0a ≠()y F x =0a =m ∈R ()0F x >11x -<<R m ∈0x >()0F x ≥a 2e()()y f x x =∈R ()0f x >()()0f x xf x '+>A. 可能是奇函数或偶函数B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法.13. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为_____________.14. 若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．16. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意恒成立，求的最大整数值.18. 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前的()f x ()()11f f -<ππ42x <<()()cos22sin e cos x f x f x >()()01f >35[]0,2x ∃∈()1eln e e 1ln xa a x x a --+≥-+e 2.71828= a nx ⎛- ⎝a b 32a b +=n 5343222()ln f x x x x =+()f x ()()1k x f x -<1x >k 1312两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.19. 设定义在R 上的函数．（1）若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及，问：和哪个更接近？并说明理由．石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】2315ξξ()()e xf x ax a =-∈R [)01,x ∈+∞()0e f x a <-s r t r -≤-1x ≥ex1e x a -+ln x【答案】C 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）4 （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值，无极大值为1441100.121e,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42135,54,81T x T x T x-===377122e --（2）3【18题答案】【答案】（1）；（2）答案略.【19题答案】【答案】（1） （2）比更接近，理由略1115e a >ex1e x a -+ln x。

上海市吴淞中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一．填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 双曲线的右焦点坐标是________．2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______.3. 展开式中的常数项为________．4. 已知n 为正整数，且，则________．5. 设等比数列的前n 项和为，若，，则________．6 设随机变量X 服从正态分布，若，则___________．7. 函数的图像在点处的切线的倾斜角为______.8. 市场上某种商品由三个厂家同时供应，甲厂家的供应量是乙厂家的2倍，乙、丙两个厂家的供应量相等，且甲、乙、丙三个厂家的产品的次品率分别为，则市场上该商品的次品率为___________．9. 甲乙两位游客慕名到南阳旅游，准备分别从武侯祠､南阳府衙､卧龙岗和人民公园4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择武侯祠，事件B ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率__________.10. 已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为________.11. 2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：区区区区区外来务工人员数50004000350030002500.2213=x y -O xyz -()1,2,4P xOy Q 6(x 332P 10P n n =n ={}n a n S 21a =24S =lim n n S →∞=()22,N σ()10.2P X ≤=()3P X <=()cos 2f x x =π12⎛ ⎝2%,2%,4%()P BA =∣2012(1)(1)m n m n m n x x a a x a x a x +++++=++++ m n x 112a =2a ABCD E留在当地的人数占比根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数与外来务工人员数的线性回归方程为.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴2000元，该市区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为__________万元（参考数据：取.12. 已知实数a 、b 、c 、d满足，则的最小值为______．二．选择题（本大题共4题，满分20分）13. “”是“直线与垂直”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A. 120种B. 90种C 60种 D. 30种15. 已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（ ）A. B.C. D..80%90%80%80%84%y x ˆˆ0.8135y x a =+F F 0.81353629.29)⨯=ln 20a b c d a -+-+=()()22a c b d -+-2a =2y ax =-+14a y x =-()y f x =()y f x '=()y f x =16. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”.则下列三个命题中正确命题的个数是（ ）①在黄金椭圆中，；②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，，则；③在黄金椭圆中，以，，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，．A B. C. D. 三．解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知等差数列的前项和为，，．（1）求数列通项公式；（2）若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和．18. 正方体的棱长为1.（1）为中点，求异面直线与所成的角的大小；（2）求二面角的大小.19. 雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.分组区间人数30751056030支持态度人数2466904218（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数.的2222:1(0)x y C a b a b+=>>1(,0)-F c 2(,0)F c 0.618)=≈e e C C 2b ac =C E B 190F EB ∠=o C (,0)A a -(,0)B a (0,)D b -(0,)E b ADBE 1F 2F 0123{}n a n n S 12a =520=S {}n a {}n b 12q =449a b +={}n n a b -n n T ABCD A B C D -''''E CC 'D C 'B E 'C D B C ''--[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70不支持态度人数总计（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望.参考数据：参考公式：20. 已知函数.（1）已知时函数极值为3，求和的值；（2）已知在上是严格增函数，求的取值范围；（3）设，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21. 已知点在抛物线：上，点F 为的焦点，且．过点F 的直线l 与及圆依次相交于点A ，B ，C ，D ，如图．（1）求抛物线的方程及点M 的坐标；（2）证明：为定值；（3）过A ，B 两点分别作的切线，，且与相交于点P ，求与的面积之和的最小值．的X X ()2 3.8410.05P χ≥≈()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++21()ln (,R)2f x ax x x b a b =-+∈1x =()y f x =a b ()y f x =(e,)+∞a ()(),(0,e]g x f x x ='∈a ()g x a (),4M m Γ()220x py p =>Γ5MF =Γ()2211x y +-=ΓAC BD ⋅Γ1l 2l 1l 2l ACP △BDP △上海市吴淞中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一．填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】15【4题答案】【答案】8【5题答案】【答案】【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】##【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】【10题答案】【答案】【11题答案】【答案】1637.2【12题答案】【答案】##4.5(2,0)(1,2,4)-920.83π4135︒2.5%673092二．选择题（本大题共4题，满分20分）【13题答案】【答案】A【14题答案】【答案】C【15题答案】【答案】B【16题答案】【答案】D三．解答题（本大题共有5题，满分76分）【17题答案】【答案】（1）（2）【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）列联表、答案略（2）分布列略，【20题答案】【答案】（1） （2） （3）存在，【21题答案】【答案】（1）；或 （2）证明过程略 （3）21n a n =+6(3)2642n n n -++-π383EX =51,2a b ==2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2e a =24x y =()4,4M ()4,4M -。

2020-2021学年上海市浦东新区高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.抛物线y2=12x的准线与双曲线x24−y212=1的两条渐近线围成的三角形的面积为()A. 6B. 6√3C. 9D. 9√32.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6√2π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为()A. x236+y22=1 B. x218+y216=1 C. x212+y26=1 D. x29+y28=13.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点按逆时针排列顺序依次为A，B，C，D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为()A. 3−√52B. 3+√58C. √5−12D. 1+√584.已知双曲线mx2−ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2，则mn的值为()A. √33B. √3 C. 3 D. 13二、单空题（本大题共11小题，共33.0分）5.设i是虚数单位，则复数i−1+i的虚部是______．6.已知复数z1满足(z1−2)(1+i)=1−i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1⋅z2是实数．则z2=______．7.若复数z=a−2+ai(a∈R)为纯虚数，则|a+i|=______ ．8.设点P在直线y=2x+1上运动，过点P作圆C：(x−2)2+y2=1的切线，切点为A，则△CAP面积的最小值是______．9.若a1−i=1−bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则a+b=______．10.若复数(1+ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数的模是______ ．11.已知动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是．12.已知圆x2+y2−6x−7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切，则p=__________．13.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为________程序框图如图所示，若，输入，则输出结果为______________已知，则=__________________已知双曲线G：与抛物线H：在第一象限相交于点A，且有相同的焦点F，轴，则双曲线G的离心率是．14.能说明“若m(n+2)≠0，则方程x2m +y2n+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是______．15.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则p的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共55.0分）16.已知点A(2,3)，B(−5,2)，若直线l过点P(−1,6)，且与线段AB不相交，求直线l的斜率的取值范围．17.已知ω=z+i(i∈C)，z−2是纯虚数，又|ω+1|2+|ω−1|2=16，求ω．z+218..已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点(不同于)，直线，分别与直线交于两点(1)求双曲线的方程；(2)是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由。

北京市第三十一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题姓名___________学号___________成绩___________班级___________（考试时间120分钟 试卷满分150分）一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.3，…，则9是这个数列的第（ ）A. 12项B. 13项C. 14项D. 15项2. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，则 A.B.C.D.3. 2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2017届全市高三期末联考，已知数学考试成绩（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为A. 120B. 160C. 200D. 2404. 在数列 中，，则 （ ）A. 2B.C.D.5. 如图，函数的图象在点处的切线是l ，则等于（）A. B. 3 C. D. 16. 篮子里装有3个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个白球，一个黑球”，（ ）X ()~6,X B p ()1E X =()D X =13122356()2100,X N σ~34{}n a 11111n na a a +==+，4a =325385()y f x =()2,P y (2)(2)f f '+4-2-A =B =()P B A =A.B.C.D.7. 已知是等差数列公差，是的首项，是的前项和，设甲：存在最小值，乙：且，则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 随机变量的分布列是234若，则随机变量方差的值为（ ）A.B.C.D.9. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若＝，则等于（ ）A. 1 B. －1C. 2D.10. 对于正项数列中，定义：为数列的“匀称值”已知数列的“匀称值”为，则该数列中的（ ）A.B.C.D.二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分11. 2，x ，y ，z ，18成等比数列，则x ＝________.12. 若数列的通项公式为，，数列的前30项和___________.13. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________．14. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P （X <2）等于________．的的211411322622d {}n a 1a {}n a n S {}n a n n S 10a >0d >ξξpa14b11()4E ξ=2ξ(2)D ξ111611811411253a a 5995S S 12{}n a 12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+={}n a {}n a 2n G n =+10a =83125942110{}n a n a n =()*11N n n n b n a a +=∈⋅{}n b 30T =2:10.020.0115. 网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E ､F ､G ､H ，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M ､N ､P ､Q ，作第三个正方形，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形的边长为，后续各正方形的边长依次为､､…､､…，如图阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为､､…､､…，则下列说法正确的是___________.①正方形的面积为②③使不等式成立的正整数的最大值为4④数列的前项和三､解答题（共6小题，共85分）16. 已知等差数列共有20项，各项之和，首项（1）求数列的公差；（2）求第20项17. 某中学校本课程开设了A ､B ､C ､D 共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲､乙､丙3名学生（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（3）求A 选修课被这3名学生选择的人数的分布列及数学期望.的ABCD ABCD EFGH EFGH MNPQ ABCD 1a 2a 3a n a AEH 1b 2b 3b n b MNPQ 251614n n a -=⨯14n b >n {}n b n 4n S <{}n a 201050S =15a =d ξ18. 已知等比数列前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列中，满足，求数列的前项和．19. 某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了名男生和名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（年）到高中三年级（年）每年的视力平均值，如图所示．（1）从年到年中随机选取年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；（2）从年到年这年中随机选取年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望：（3）由图判断，这名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）20. 为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，（1）两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；的{}n a n n S 5190a a -=490S ={}n a {}n b 2log n n n b a a =+{}n b n n T 1001002010202120112021120102021122X X 200[]50,100（2）两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响（i ）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目数量，求的分布列及数学期望（ii ）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率21. 已知数列的前项和为，且（1）求，并证明数列是等差数列：（2）若，求正整数的所有取值.的3:03423X X {}n a n n S 221nn n S a +=+1a 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭222k k a S <k北京市第三十一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】D二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】②③④三､解答题（共6小题，共85分）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）64（2）（3）分布列略，期望为【18题答案】【答案】（1） （2）【19题答案】【答案】（1）（2）分布列略；数学期望 （3）自年开始的连续三年，名学生的视力平均值方差最小【20题答案】【答案】（1）学生的成绩的平均分的估计值为73.8分 （2）（i ）分布列略，（ii ）.【21题答案】30310.8014155d =20100a =9163432nn a =⋅()12132log 362n n n n T n ++=⋅++⋅-311()23E X =2017200()94E X =11256【答案】（1），证明略 （2）11a 1,2,3。

上海市上海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________3．点M 与两个定点()0,0O 4．将序号分别为1，2，3，给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是5．将3个红球，4个篮球，排法．6．点()1,2A ，点()2,4B --个．7．二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数8．已知点()2,0A -，动点B 则直线AB 的斜率的取值范围是9．将6位志愿者分成4组，其中两个组各不同场馆服务，不同的分配方案有10．在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到A B C D E F六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个12．已知,,,,,字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成ABCDEF的顺序的排列情况有______种．二、单选题三、解答题(1)求样本容量n和频率分布直方图中的(2)分以下称为“不优秀”，其中男．女姓中成绩优秀的分别有表，并判断是否有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关男生女生优秀不优秀总计()2P K k≥0.100.050.010k 2.706 3.841 6.635附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++20．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm585961626364件数1135619参考答案：故答案为：3,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．1080【分析】该问题属于平均分组（堆）再分配的问题，先将各2人，另两个组各1人，再将其分配到四个不同场馆即得。

2023学年第一学期杭州二中高二期中考试数学1. 两条平行直线1l ：注意事项：1．本试卷满分150分，考试用时120分钟.2．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.3450x y +−=与2l：6850x y +−=之间的距离是（ ） A. 0 B.12C. 1D.32【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】345068100x y x y +−=⇒+−=，12， 故选：B2. 已知圆()()()2122292:x m y m m C −+−=−与圆22288340:x y x C y m +−−+−=，则“4m = ”是“圆1C 与圆2C 外切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案. 【详解】根据题意将圆2C 化成标准方程为()()22442x y m −+−=−； 易知20m −>，所以可得圆心()12,2C m m，半径为1r =，圆心()24,4C，半径为2r =可得122C C =−，两半径之和12r r += 若4m=，圆心距12C C =，两半径之和12r r +，此时1212C C r r =+=， 所以圆1C 与圆2C 外切，即充分性成立；若圆1C 与圆2C外切，则2−=4m =或2m =（舍）， 所以必要性成立；即“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的充分必要条件. 故选：C3. 已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A. 1±B. C. D. 2±【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为||MN =， 则当0k =时，MN 取得最小值为2=，解得m =. 故选：C.4. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y −+=上，则ABP 面积的取值范围是A. []26，B. []48，C. D.【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点 ()()A 2,0,B 0,2∴−−,则AB = 点P 在圆22x 22y −+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d =故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPS AB d ==∈故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．5. 已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2MB MD +的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立直角坐标系，取点1(0,)2E ，探讨满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点C 为原点，直线,CB CD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)B D ，如图，取点1(0,)2E ，设(,)M x y ′，当||2||M D M E ′′=化简整理得221x y +=，即点M ′的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，而点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，因此||2||MD ME =，显然点B 在圆C ：221x y +=外，则22||2||2(||||)2||MB MD MB ME MB ME BE +=+=+≥，当且仅当M 为线段BE 与圆C 的交点时取等号，而||BE ，所以2MB MD +的最小值为2||BE =故选：D【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点1(0,)2E 并求出满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹是解题的关键.6. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，过F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B两点（A 在x 轴上方）.A 关于x 轴的对称点为D ，连接DB 并延长交x 轴于点E ，若DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，则椭圆的离心率e 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，得到2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，与椭圆方程联立，再设直线BD 的方程为：()122221x x c y x cx x x x ++−−=−−，令0y =结合韦达定理，得到点E 的坐标，代入2EF OF OE =⋅求解.【详解】解：如图所示：设,,DOF DEF DOE 分别以OF ，EF ，OE 为底，高为h ，则111,,222DOFDEF DOE S OF h S EF h S OE h === ， 因为DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，所以2DEFDOF DEF S S S =⋅ ，即2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，联立22221x y a b y x c += =+，消去y 得()2222222220a b x a cx a c a b +++−=， 由韦达定理得：2121222222222,2x x x x a ca c ab a b a b−+=−=++⋅， 直线BD 的方程为：()1222212x x cy x c x x x x ++−−=−−，令0y =得，()12121222E x x c x x x x x c⋅++=++，则()22121212222222222222222222E x x c x x a x c a c a b a c a b a b a b x x c c c a ⋅−⋅++===−++−++−++， 则2EF OF OE =⋅，即为222a a c c c c ⋅−，则()22222c a ac =−，即422430a c a c −+=，即42310e e −+=，解得2e =e =，故选：D7. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（ ）A.B.23C.D.12【答案】A 【解析】【分析】对23450++= IB IA IF 变形得到2351882IB IF IA +=−，进而得到以22::3:4:5AF BF AB =，结合椭圆定义可求出2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =，由余弦定理求解,a c 关系式，求出离心率.【详解】因为23450++= IB IA IF ，所以2351882IB IF IA +=−， 如图，在2BF 上取一点M ，使得2:5:3BM MF =，连接IM ，则12IM IA =−，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以22::3:4:5IAF IBF IBA S S S = ， 所以22::3:4:5AF BF AB =设23AF x =，则24,5BF x AB x ==， 由椭圆定义可知：224AF BF AB a ++=，即124x a =，所以3ax =， 所以2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a = 故点A 与上顶点重合， 在2ABF △中，由余弦定理得：222222222222516399cos 52523a a a AB F A F B BAF AB F A a +−+−∠===⋅×，在12AF F △中，2222243cos 25a a c BAF a +−∠==，解得：c a =故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,a b c 的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450++=IB IA IF 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形2ABF 三边关系，求出离心率.8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（ ）A. 63,925−B. []3,21−C. 63,2125D. []3,27【答案】B 【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求p ，进而得抛物线的方程，可求A ，B ，F 的坐标，直线AF 的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N 的坐标，求得M 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设(A ，所以||342pAF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，(3,A ，(3,B −，(1,0)F ，所以直线AF 的方程为1)yx =−，设圆心坐标为0(x ，0)，所以2200(1)(3)12x x −=−+，解得05x =，即(5,0)E ，∴圆的方程为22(5)16x y −+=，不妨设0M y >，设直线OM 的方程为y kx =，则0k >，4=，解得43k =， 由2243(5)16y x x y= −+=，解得912,55M， 设(4cos 5,4sin )N θθ+，所以364812cos sin 9(3cos 4sin )9555OM ON θθθθ⋅=++=++ ， 因为[]3cos 4sin5sin()5,5θθθϕ+=+∈−， 所以OM ON ⋅∈[]3,21−． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为22(5)16x y −+=，然后利用直线OM 与圆E 切于点M ，求出M 点的坐标，引入圆的参数方程表示N 点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线1l ：230ax y a ++=和直线2l ：()3170x a y a +−+−=，下列说法正确的是（ ） A. 当25a =时，12l l ⊥ B. 当2a =−时，12l l ∥C. 直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()1,1−D. 当1l ，2l 【答案】AD 【解析】【分析】A 选项：把a 的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为1−，直接判断即可； B 选项，把a 的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可； C 选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；D 选项，由直线平行时，斜率相等，可求得a 得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.【详解】对于A ，当25a =时，那么直线1l 为262055x y ++=，直线2l 为3237055x y −+−=，此时两直线的斜率分别为115k =−和25k =，所以有121k k ⋅=-，所以12l l ⊥，故A 选项正确；对于B ，当2a =−时，那么直线1l 为30x y −+=，直线2l 为30x y −+=，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线1l ：230ax y a ++=，整理可得： ()320a x y ++=，故直线1l 过定点()3,0-，直线2l ：()3170x a y a +−+−=，整理可得：()1370a y x y −+−+=，故直线2l 过定点()2,1−，故C 选项错误；对于D ，当1l ，2l 平行时，两直线的斜率相等，即213a a −−=−，解得：3a =或2a =−，当2a =−时，两直线重合，舍去；当3a =时，直线1l 为3290x y ++=，2l 为3240x y ++=，此时两直线的距离d，故D 选项正确. 故选：AD .10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是12,F F ，其中12||2F F c =.直线()():R l y k x c k =+∈与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（ ）A. 2ABF △的周长为4aB. 若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C. 若2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若1k =时，则2ABF △【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆定义可知2ABF △的周长为4a ，可判断A 正确；联立直线和椭圆方程求出点M 的坐标，表示出斜率公式即可得22OMb k k a⋅=−，可得B 正确；由2124AF AF c ⋅= 易知A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，需满足b a ≤≤，可得离心率e ∈，可知C 正确；将1k =代入联立的方程可得2ABF △的面积12S c x x =−，可得D 正确.【详解】由12||2F F c =可知，()()12,0,,0F c F c −；显然直线()():R l y k x c k =+∈过点()1,0F c −，如下图所示：由椭圆定义可知2ABF △的周长为2212214AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++=，所以A 正确； 设()()1122,,,A x y B x y ，中点()0,Mx y ；将直线和椭圆方程联立()22221x y a b y k x c += =+ ，消去y 整理可得()2222222222220b a k x a k cx a k c a b +++−=； 由韦达定理可得22122222a k c x x b a k +=−+，所以221202222x x a k cx b a k+==−+，代入直线方程解得20222b cky b a k =+，即222222222,a k c b ck M b a k b a k − ++； 所以2222222222222200OMb ckb ck b b a k k a kc a k c a k b a k −+==−=−−−+， 可得2222OMk b k a k b k a⋅−==⋅−，所以B 错误；根据B 选项，由2124AF AF c ⋅=可得()()2222111111,4,c x y c x y x c y c −⋅=+−−=−−−， 可得222115x y c +=，即A 点在以()0,0圆上； 又A 点在椭圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，根据对称性可知b a ≤≤，即22256c a c ≤≤，所以可得离心率e ∈，即C 正确；若1k =时，由选项B 可知联立直线和椭圆方程可得()2222222220b axa cx a c ab +++−=； 所以可得22222121222222,a c a c a b x x x x b a b a−+=−=++； 所以12x x −==易知2ABF △面积12112212121122S F F y F F y c y y c x x =+=−==− 即可得2ABF△，故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可.11. 已知斜率为k 的直线交抛物线()220y px p =>于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（ ） A. 12x x 为定值B. 线段AB 的中点在一条定直线上的的C.11OA OBk k +为定值（OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率） D. AF BF为定值（F 为抛物线的焦点）【答案】BC 【解析】【分析】分析可知，0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A 选项；求出线段AB 中点的纵坐标，可判断B 选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C 选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D 选项.【详解】若0k =，则直线AB 与抛物线()220y px p =>只有一个交点，不合乎题意，则0k ≠， 设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22y kx m y px=+ = 可得()222220k x km p x m +−+=， ()2222224480km p k m p kmp ∆=−−=−>，对于A 选项，2122m x x k =不一定是定值，A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为()00,P x y ，则12022x x p kmx k+−==， 00p km p y kx m m k k−++为定值，故线段AB 的中点在定直线py k =上，B 对；对于C 选项，()121212122222111222OA OB p kmm k x x m x x y y k k k y y p p p k−+++++=+====为定值，C 对；对于D 选项，21222222222p km p p x x AF k p p BF x x −+−+==++不一定为定值，D 错.故选：BC.12. 已知圆22:(2)1M x y +−=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（ ）A. 四边形PAMB周长的最小值为2 B. ||AB 的最大值为2C. 若(1,0)P ，则三角形PAB 的面积为85D.若Q ，则||CQ 的最大值为94【答案】CD 【解析】【分析】首先设||MP t =，对于选项A ，根据题意，表达四边形PAMB 周长关于t 的函数，由t 的取值范围求函数的最小值可判断A 错误；对于选项B ，根据等面积法，求出||AB 关于t 的函数关系，由t 的取值范围求函数的最大值可判断B 错误；对于选项C ，根据题意，计算PAB 底和高，求出面积判断C 正确；对于选项D ，设动点(,0)P m AB 的方程与直线PM 的方程，二者联立消去m 得到二者交点C 的轨迹是圆，||CQ 的最大值为圆心1O 与Q 距离加半径，可判断D 正确． 【详解】对于选项A ，设||MP t =，则||||BP AP ==则四边形PAMB周长为2+，则当t 最小时周长最小，又t 最小值为2， 所以四边形PABM周长最小为2+，故A 错误；对于选项B ，12||||2MAP PAMBS S MP AB ==△四边形，即1121||22t AB ××=，所以||AB =，因为2t，所以)||AB ∈，故B 错误； 对于选项C ，因为(1,0)P，所以||MP =t =，所以||AB ，1||||2AC AB ==，||2AP =，||PC ，所以三角形PAB 的面积为18||||25AB PC =，故C 正确；的对于选项D ，设(,0)P m ，()11,A x y ,则切线PA 的方程为()()11221x x y y +−−=， 又因为直线PA 过点(,0)P m ，代入可得()()112021x m y +−−=化简得11230mx y −+= 设()22,B x y ,同理可得22230mx y −+=， 因此点,A B 都过直线230mx y −+=，即直线AB 的方程为230mx y −+=， MP 的方程为22y x m=−+， 二者联立得，22230y x mmx y =−+−+=①②， 由①式解出22x m y =−，代入②式并化简得227302x y y +−+=， 配方得2271()416x y +−=，2y ≠， 所以点C 的轨迹是以(70,4)为圆心，14为半径的圆， 设其圆心为1O ，所以||CQ的最大值为1119||2444O Q R ++=+=，故D 正确． 故选：CD.【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB 选项，设变量||MP t =，用t 分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D 选项，设出动点(),0P m ，分别表达直线AB 和MP 的方程，联立消去m ，得到动点C 的轨迹，进一步求解答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数0,0a b ><的取值范围是______.【答案】[)2,1−− 【解析】【分析】根据题意，设直线l ：0ax by +=的几何意义为，点(1,到直线l 的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线l ：0ax by +=，设点(1,A那么点(1,A 到直线l的距离为：d因为0,0a b ><，所以d =l 的斜率0ak b=−>， 当直线l的斜率不存在时，1d ==，所以1d >，当OA l ⊥时，max 2d OA ===，所以12d <≤，即12<≤，=21−≤<−，故答案为：[)2,1−−.14. 形如()0b y ax b x=+≠的函数图象均为双曲线，则双曲线4135y x x =−的一个焦点坐标为______.【答案】或 【解析】【分析】先确定双曲线的渐近线、对称轴方程，确定焦点位置及实半轴a ，最后由渐近线与对称轴夹角正切值确定b ，利用双曲线性质求出焦点. 【详解】由4135−x y =x 知，其两条渐近线分别为403x x =,y =， 所以双曲线4135−x y =x 的两条对称轴为403xx =,y =的夹角平分线， 令43x y =的倾斜角为0,2πθ ∈，则4tan 3θ=，且一条对称轴倾斜角为42πθ+，而22tan42tan 31tan 2θθθ==−，则22tan 3tan 2022θθ+−=，解得tan 22θ=−（舍去），1tan 22θ=， 所以11+tan 1+22tan ==31421tan 122π +=−−θθθ，即一条对称轴为3y x =， 故另一条对称轴为13y x =−，显然13y x =−与4135−x y =x有交点, 即为双曲线的顶点，则双曲线的实半轴长a = 而渐近线0x =与对称轴13y x =−夹角的正切值为3，3b a =，又因为=a，所以33b =a = 由2222641553+=c =a +b =，设焦点为13 − m,m ，则221433 +−=m m ，所以m =, .故答案为：或.15. 在椭圆2213x y +=上有点31,22P ，斜率为1的直线l 与椭圆交于不同的A ，B 两点（且不同于P ），若三角形ABO 的外接圆恰过点P ，则外接圆的圆心坐标为______. 【答案】71,88 −【解析】【分析】根据题意得到():0AB y x b b =+≠，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，12y y +，12y y ；法一：先利用点斜式求得,OP AB 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心C ，再由半径相等得到2222AC BC OC +=，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于b 的方程，解之即可； 法二：根据题意得到圆的方程，联立直线AB 与圆的方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，进而得到,D E 关于b 的表达式，又由点P 在圆上得到关于b 的方程，解之即可.【详解】依题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线():0AB y x b b =+≠， 联立2213y x bx y =++=，消去y ，得246330x bx b ++−=， 所以1232x x b +=−，()212314b x x −=， 则121212y y x b b b x ++=+=+，()()2121234b y y x b b x =+−=+， .法一：因为31,22P ，所以10123302OP k −==−，OP 的中点坐标为3,414 ，OP 中垂线的斜率为3−，所以OP 中垂线方程为113:344l y x −=−−，即532y x =−+， 因为AB 的斜率为1，AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++ ，即31,44b b− ，所以AB 中垂线的斜率为1−，则AB 中垂线方程213:44l y b x b−=−+，即12y x b =−−， 联立53212y x y x b=−+ =−− ，解得54354b x b y + = + =− ，则圆心坐标535,44b b C ++ − ， 因为22222AC BC OC AC +==， 所以222222112253515355354424444b b b b b b x y x y +++++++=−+++−++， 整理得()()22221212121253522044b b x x x x y y y y ++ +−+++++=， 因为1232x x b +=−，()212314b x x −=，1212y y b +=，21234b y y −=， 所以()22222112123624x x x x b x x +=+−+=，()2222211212624y b y y y y y −+=+−+=， 则2203563614242532244b b b b b b ++  −++=  − + +−× ， 整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-， 当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =−时，()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，直线3:2AB y x =−，满足题意，又535,44b b C ++ −，所以此时圆心坐标71,88C − . 法二：因为圆过原点()0,0O ，所以设圆的方程为220x y Dx Ey +++=()220D E +>，联立220y x b x y Dx Ey =++++=，消去y ，得()22220x b D E x b Eb +++++=， 所以1222b D E x x +++=−，2122b Ebx x =+， 又1232x x b +=−，()212314b x x −=，所以3222b D E b ++−=−，()223142b b Eb −+=， 所以1322D b b=+，1322E b b =−， 因为P 点在圆上，所以913104422D E +++=，即530D E ++=，所以13135302222b b b b +++−=，整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-， 当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去， 当32b =−时，1332722234D =×−+×−=− ，1332122234E =×−−×−= ， 对于方程2246330x bx b ++−=，有()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，对于方程()22220x b D E x b Eb +++++=，即29152028x x −+=，有2915Δ42028 =−−××>，满足题意，又因为外接圆的圆心坐标为,22D E −− ，所以圆心为71,88− . 故答案为：71,88 −.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.16. 已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程得到关于y 的一元二次方程，得到韦达定理式，求出,M N 坐标，利用弦长公式和两点距离公式得到AB 和NF 的表达式，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】显然当直线AB 斜率为0时，不合题意；故设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立抛物线方程有2440y my −−=，则216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =−，则1222My y y m +==，111x my =+，221x my =+， 则()21221224221222M m y y x x m x m ++++====+，则()221,2M m m +，准线方程为=1x −，()1,0F ，则()1,2N m −，()22||41AB y m =−=+，()()()22222||1124441||[4,)NF m m m AB =++−=+=+=∈+∞，所以232||32||||4||4NF AB AB AB +=+==，当且仅当32||||4AB AB =，即()2||41AB m =+=时等号成立，此时m .故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是采取设线法联立抛物线方程得到韦达定理式，再利用中点公式得到,M N 点坐标，最后利用弦长公式和两点距离公式得到相关表达式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知点()1,0A −和点B 关于直线l ：10x y +−=对称． （1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程； （2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．【答案】（1）30x y +−=（2）0y =或=1x − 【解析】【分析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程. 【详解】解：设点(),B m n则1102211m nn m −+ +−== + ，解得：12m n = = ，所以点()1,0A −关于直线l ：10x y +−=对称的点的坐标为()1,2B（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =−，则直线1l 为：()21y x −=−−，即30x y +−=. （2）由条件可知：AB =，ABC 的面积为2，则ABC的高为h =又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB. 直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b，即1b a =−或3b a =+又1b a =−，解得：10a b == 或12a b =− =则直线2l 为：0y =或=1x −【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组； （3）解出点坐标.18. 已知圆221:(1)5C x y +−=，圆222:420C x y x y +−+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】（1）（2）22317222x y −++=【解析】【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【小问1详解】将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +−+−+−−=，化简得10x y −−=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y −−=的距离为d ，则22215232AB r d =−=−=，解得AB =所以公共弦长为【小问2详解】 解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−， 则2242240,1111x y x y λλλλλλ−+−+−=≠−+++； 由圆心21,11λλλ− −++ 在直线241x y +=上，则()414111λλλ−−=++，解得13λ=， 所求圆的方程为22310x y x y +−+−=，即22317222x y −++=. 解法二：由（1）得1y x =−，代入圆222:420C x y x y +−+=， 化简可得22410x x −−=，解得x =；当x =时，y =x =时，y =；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222241a b a b a b −+=++ += ，解得3212a b ==−；所以222317222r =+−−= ； 所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y −++=19. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）221169x y −= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab += −=解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F −，125,28c a MF MF ∴==−=，22294,a b c a ∴===−，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+， 联立221169x my t x y =+−= 消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m −++−−≠， 12218916mt y y m −∴+=−，21229144916t y y m −=−，12y y −，AC 的方程为11(4)4y yx x ++，令2x =，得1164p y y x =+， 的BD 的方程为22(4)4y yx x −−，令2x =，得2224p y y x −=−，1221112212623124044y y x y y x y y x x −∴=⇔−++=+− ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+−+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+−++= ()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+−++−−=()22249144(24)180916916m t t mt m m −−⇔−±=−−3(8)(0m t t ⇔−±−=(8)30t m ⇔−±=， 解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =−（舍去）， ∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+， 联立22,1,169x my t x y =+ −=，消去x 得()2229161891440m y mty t −++−=， 2121222189144,916916mt t y y y y m m −−∴+==−−， AC 的方程为(4)6nyx =+，BD 的方程为(4)2ny x −−， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=−−， 两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y −−−=⇔+=+−， 又22111169x y −=，()()211194416x x y ∴+−=． 将()2112344x y x y −−+=代入上式，得()()1212274416x x y y −−−=⇔()()1212274416my t my t y y −+−+−=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++−++−=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m −−++−+−=−−． 整理得212320t t +=−，解得8t =或4t =（舍去）． ∴CD 方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.20. 已知双曲线22:154x y Γ−=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =−上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）94−； （2）存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【解析】【分析】（1）设出(9,8)P λλ−，然后计算1211k k +即可得；（2）假设存在，设设00(9,8)P x x −，写出直线AB 方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，同理设3344(,),(,)C x y D x y ，直线CD方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算OC OD k k +，然后由条件0OA OB OC OD k k k k +++=求得0x 得定点坐标．的【小问1详解】由已知1(3,0)F −，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ−，(0)λ≠， ∴1839k λλ=−−，2893k λλ−=−，121139939884k k λλλλ−−−+=+=−−；【小问2详解】 设00(9,8)P x x −，（00x ≠），∴010893x k x −=+，∴直线AB 的方程是008(3)93x yx x −++，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，008(3)93x yx x −++代入双曲线方程得2220203204(69)20(93)x x x x x −++=+， 即222200000(549)480(112527045)0x x x x x x x ++−−++=， 2012200480549x x x x x +=++，20012200112527045549x x x x x x ++=−++， 00121212012012883()33(2)[2]9393OA OB x x y y x x k k x x x x x x x x ++=+=−++=−+++2000200008832(2(2)93932561x x x x x x x =−+=−−++++ 2000220000082(31)16(31)9325612561x x x x x x x x −+−+=⋅=+++++， 同理CD 的方程为008(3)93x yx x −−−，设33(,)C x y ，44(,)D x y ，仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：222200000(549)4801125270450x x x x x x x −++−+−=，234200480549x x x x x +=−−+，20034200112527045549x x x x x x −+−=−+， ∴2303400423403400083()83480[2](2)9393112527045OC ODy x x x x x y k k x x x x x x x x −+−⋅+=+=−=−−−−+ 20000220000083216(31)(2)9325613(2561)x x x x x x x x x −−−=−=−−+−+．由0OA OB OC OD k k k k +++=得00022000016(31)16(31)025613(2561)x x x x x x x −+−−+=++−+， 整理得200(251)0x x −=，∵00x ≠，∴015x =±， ∴存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设00(9,8)P x x −，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如1122(,),(,)x y x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，最后利用已知条件求得0x ，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．21. 抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点，（1）若90,BFD ABD ∠=的面积为p 的值及圆F 的方程（2）若直线y kx b =+与抛物线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，准线l 与y 轴交于点S ，点S 关于直线PQ 的对称点为T ，求||FT 的取值范围.【答案】（1）2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=（2）(],4p p 【解析】【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到2A py FA FD +===，结合ABD △面积求出2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=；（2）表达出0,2p S −关于直线PQ 的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出2b p =，从而利用两点间距离公式表达出(],2FT p p ==. 【小问1详解】由对称性可知：90,BFD FS BS DS p ∠=°===， 设(),A A A x y，由焦半径可得：2A py FA FD +===，112222ABD A p S BD y p=⋅⋅+=×=解得：2p =圆F 的方程为：()2218x y +−=【小问2详解】由题意得：直线PQ 的斜率一定存在，其中0,2p S−，设0,2p S−关于直线PQ 的对称点为(),T m n ，则12222p n m kp n m k b + =− − =⋅+ ，解得：221212b p m k k b p pn k + =− + +=− + ，联立y kx b =+与22x py =得：2220x pkx pb −−=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,2x x pk x x pb +==−， 则()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，则()()22121212121x x y y k x x kb x x b +=++++ ()222221220pb k pk b b pb b −+++=−+=，解得：0b =（此时O 与P 或Q 重合，舍去）或2b p =，所以FT =(],4p p ==， 【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.22. 如图，已知点P 是抛物线24C y x =：上位于第一象限的点，点()20A −，，点,M N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)， 满足,PM PN AM AN ⊥⊥，线段PN 分别交x 轴正半轴、抛物线C 于点,D Q ，射线MP 交x 轴正半轴于点E ．（1）若四边形ANPM 为矩形，求点P 的坐标；（2）记,DOP DEQ △△的面积分别为12S S ，，求12S S ⋅的最大值．【答案】（1）(2,P（2）192 【解析】【分析】（1）根据矩形性质，可得对角线互相平分，即AP 的中点在y 轴上，然后点P 在抛物线，即可得(2,P ；（2）联立直线PQ 方程与抛物线C ，根据韦达定理求得,P Q 两点的纵坐标关系，再根据,PM PN AM AN ⊥⊥条件判断MOE △与DON △相似，进而求得,D E 两点的坐标关系，再表示并化简12S S ⋅为关于m 的函数，根据,D E 两点的位置关系，以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点得出关于m 的约束，即可确定12S S ⋅中m 取值范围，最后可得12max ()(4192S S g ⋅=−= 【小问1详解】当四边形ANPM 为矩形时，AP 的中点在y 轴上，则有：2P A x x =−=故(2,P -【小问2详解】设点(,0)D m ，直线PQ 方程：x m ty −=， 显然有0,0m t >≠联立直线PQ 与抛物线C ，得：24x m ty y x −==消去x 得：2440y ty m −−=则有：4P Q y y m ⋅=− 由AM AN ⊥，得：2||||||4OM ON OA ⋅==又由PM PN ⊥，可得：△MOE ∽△DON 则有：||||||||OM OE OD ON = 从而||||||||4OE OD OM ON ⋅=⋅=，即4E D x x ⋅=所以4E x m=，进而有：4||E D DE x x m m =−=− 结合||,4P Q OD m y y m =⋅=−（注：由E D x x >，得4m m >，故有02m <<） 可得：12111(||||)(||||)||||||224P Q P Q S S OD y DE y OD DE y y ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 314()444m m m m m m=⋅⋅−⋅=−+ 又由题意知，存在抛物线上的点P 满足条件，即以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点，且易得圆K 方程：24()()0x m x y m−⋅−+=联立抛物线C 与圆K ，得224()()04x m x y my x−⋅−+= = 消去y 得：24(4)40x m x m−+−+= 由0∆≥，结合02m <<，可解得：04m <≤−令3()4g m m m =−+，求导可知()g m在上单调递增又4−≤ 故有：()g m在(0,4−上单调递增因此，12max ()(4192S S g ⋅=−=【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；在求解相关最值问题时，通常是先建立目标函数，然后应用函数的知识来解决问题；。

中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学说明：本试卷共六道大题，26道小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 已知数列的通项公式是，则是该数列的（）A. 第9项B. 第10项C. 第11项D. 第12项2. 若函数，则（ ）A. B. C. D. 3. 等差数列中，若，，则其公差等于（ ）A. 2B. 3C. 6D. 184. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）A. 是区间上的增函数B. 是区间上的减函数C. 1是的极大值点D. 4是的极小值点5. 若是等差数列的前项和，，则（）A. B. C. D. 6. 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.D. {}n a 21n a n =+1222()f x x =0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆1234{}n a 1233a a a ++=45621a a a ++=()y f x =()f x '()f x []3,1-()f x []1,2()f x ()f x n S {}n a n ()*88,N n S S n n >≠∈890,0a a ≥<890,0a a ><890,0=<a a 890,0a a >=()3213f x x x ax =-+a (],1-∞(),1-∞()1,+∞[)1,+∞7. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）A. B. C. 4D. 8. 已知在处可导，在附近x 的函数值，可以用“以直代曲”的方法求其近似代替值：．对于函数的近似代替值（ ）A. 大于m B. 小于mC. 等于mD. 与m 的大小关系无法确定9. 设为无穷等比数列前n 项和，则“有最大值”是“有最大值”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10. 设函数定义域为D ，若函数满足：对任意，存在，使得成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11. 函数，则_____.12. 用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式______．13. 已知函数，若在区间上是增函数，则实数a 的取值范围是 ________．14. 小杰想测量一个卷纸展开后的总长度，卷纸中的纸是单层的，且卷纸整体呈一个空心圆柱形，即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱，测得小圆柱底面的直径为5厘米，大圆柱底而的直径为11厘米．由于单层纸的厚度不易测量，小杰利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米．试估算这个卷纸的总长度（单位：米）为______．（结果精确到个位，取）15. 与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线．关于曲线的法线有下列四种说法：①存在一类曲线，其法线恒过定点；的.{}n a 124,,a a a 2a =10-6-4-()f x 0x x =0x ()f x ()()()()000f x f x f x x x '≈+-()f x =()4.001m f =n S {}n a {}n a {}n S ()f x ()f x c D ∈,a b D ∈()()()f a f b f c a b-'=-()f x ΓΓ2()f x x =3()f x x =()xf x e =()ln f x x=()sin 2f x x =()f x '=*n ∀∈N ()()()()1221321nn n n n n ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-n k =1n k =+21()2ln 2f x x ax x =+-()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦π 3.14=②若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为；③存在两条直线既是曲线的法线，也是曲线的法线；④曲线的任意法线与该曲线的公共点个数均为1．其中所有说法正确的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16. 已知函数，在处取得极值．（1）求在区间上的平均变化率；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）求曲线过点的切线方程．17. 设等差数列的前项和为，，．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．18. 已知函数，其中．（1）当时，求的极值；（2）讨论当时函数的单调性；（3）若函数有两个不同的零点、，求实数a 的取值范围.第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19. 已知函数满足：对任意，由递推关系得到的数列是单调递增的，则该函数的图象可以是（ ）A. B.4y x =34e x y =ln y x =sin y x =()2f x x ax =-()f x 0x =()f x []2023,2024()y f x =()()22f ,()y f x =()2,0{}n a n n S 53a =535S ={}n a {}n a n n T 10T ()()22ln f x ax a x x =-++R a ∈1a =-()f x 0a >()y f x =2()()g x f x ax =-1x 2x ()y f x =()10,1a ∈()1n n a f a +={}n aC. D.20. 设数列的前n 项和，若，则（ ）A. 数列满足B. 数列为递增数列C.的最小值为D. ，，不成等差数列21. 已知正项数列满足为前项和，则“是等差数列”是”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件22. 已知无穷数列，．性质，，，性质，，，，给出下列四个结论：①若，则具有性质；②若，则具有性质；③若具有性质，则；④若等比数列既满足性质又满足性质，则其公比的取值范围为．则所有正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23. 写出一个满足的函数______．24. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若，，均不相等，且，则___.25. 若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列曲的.{}n a n S 23n S n n =++{}n a ()1122n n n a a a n -+=+≥{}n a nn S a n+17242S S -64S S -86S S -{}n a 213,n a a S ={}n a n {}n a {}n a 11a =:s m ∀*n ∈N m n m n a a a +>+:t m ∀*n ∈N 2m n ≤<11m n m n a a a a -++>+32n a n =-{}n a s 2n a n ={}n a t {}n a s n a n ≥{}n a s t ()2,+∞()221f x x '=+()f x =()()()()()1230f x a x x x x x x a =--->()y f x =()(),i i x f x ()1,2,3i k i =1x 2x 3x 22k =-1311k k +=()y f x =()y f x =线中，所有存在“自公切线”的序号为______．①；②；③；④．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26. 已知无穷数列满足：①；②．设为所能取到的最大值，并记数列．（1）若数列为等差数列且，直接写出其公差的值；（2）若，求值；（3）若，，求数列的前100项和．的()y f x =22y x x =-3sin 4cos y x x =+13y x x=+y ={}n a ()*1,2,i a i ∈=⋅⋅⋅N ()11,2,,1,2,,3i j i j i j a a a a a i j i j ++≤≤++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+≥*i a ()1,2,i a i =⋅⋅⋅{}*n a {}n a 11a =d 121a a ==*4a 11a =22a ={}*n a中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学 简要答案第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】A 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】B 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】C 【8题答案】【答案】A 【9题答案】【答案】D 【10题答案】【答案】B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】2cos 2x 42k【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①②④三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）【16题答案】【答案】（1）4047 （2） （3）或【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）的极大值为，无极小值. （2）答案略（3）．第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）【19题答案】【答案】C 【20题答案】【答案】C 【21题答案】【答案】C3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2544y x =-0y =816y x =-132n a n =-52()f x 3ln24--12,2e⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）【23题答案】【答案】（答案不唯一）【24题答案】【答案】##【25题答案】【答案】①②④三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）【26题答案】【答案】（1）或 （2） （3）()ln 21x +120.51237500。

2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是___ ．2.（填空题，3分）从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，共有___ 种不同的选法（结果用数字作答）．＞1的解集为___ ．3.（填空题，3分）不等式1x4.（填空题，3分）A、B是半径为R的球面上两点，设O是球心，且△AOB是等腰直角三角形，则A、B的球面距离为 ___ ．5.（填空题，3分）用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是___ （结果用数字作答）．6.（填空题，3分）已知圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C为底面弧AB̂的中点，D为母线PB的中点，则异面直线PA和CD所成角的大小为___ ．7.（填空题，3分）从四棱锥P-ABCD的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是___ （结果用数字作答）．8.（填空题，3分）长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，则二面角A1-BD-C1的大小为___ （结果用反三角函数表示）．9.（填空题，3分）在3个不同的红球中任取2个，在3个不同的白球中任取1个，把所取出的3个球排成一列，要求2个红球必须相邻，则不同的排列个数为___ 个（用数字作答）．10.（填空题，3分）设a1、a2、a3、a4、a5、a6是2、3、4、5、6、7的一个排列，则a1a2a3+a4a5a6的最小值为 ___ ．11.（填空题，3分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段AD1上的一个动点，则直线PB与平面BC1D所成角的范围是___ （结果用反三角函数表示）．12.（填空题，3分）已知等差数列{a n}满足：|a1|+|a2|+⋅⋅⋅+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋅⋅⋅+|a n+1|=|a1-1|+|a2-1|+⋅⋅⋅+|a n-1|=2021，则正整数n的最大值为___ ．13.（单选题，3分）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A. r+1n+1C n−1 r−1B.（n+1）（r+1）C n−1r−1 C.nr C n−1r−1D. nr C n−1 r−114.（单选题，3分）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（）种．A.240B.360C.480D.72015.（单选题，3分）以下关于多面体的命题中，真命题为（）A.所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥B.所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱C.所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体D.所有侧面均为正方形的多面体是正方体16.（单选题，3分）已知函数f（x）在定义域R上单调，且x∈（0，+∞）时均有f（f（x）+2x）=1，则f（-2）的值为（）A.3B.1C.0D.-117.（问答题，0分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．（1）分别取侧棱PB、PD中点E、F，证明：直线EF与平面ABCD平行；（2）求四棱锥P-ABCD的表面积．18.（问答题，0分）设函数f（x）=a x-（k-1）a-x（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求实数k的值；（2）若f(1)=32，且f（2x）≥mf（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．19.（问答题，0分）设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和高均为1．（1）求点C1与平面A1B1C之间的距离；（2）设D是棱CC1的中点，求证：AB1⊥BD．20.（问答题，0分）已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，左、右两顶点分别是A1、A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．（1）若是d⃗=(1，2)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的方程；（2）若|PA|=1，|PB|=5，|PC|=2，|PD|=6，试求双曲线Γ的方程；（3）在（1）的条件下，且|A1A2|=4，点C与双曲线的顶点不重合，直线CA1和直线CA2与直线l：x=1分别相交于点M和N，试问：是否存在定点T，使得TM⊥TN恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．21.（问答题，0分）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l．（1）当R=1，l=2时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）（2）如图，当R=1，l=12时，平面α与圆柱T底面所成锐二面角为45°，且平面α只与圆柱T侧面相交，设平面α与圆柱T侧面相交的轨迹为曲线C，半径为1的两个球分别在圆柱内平面α上下两侧且分别与平面α相切于点F1、F2，若以点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，求证：曲线C是椭圆并写出椭圆标准方程；（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半2的值．（结果用数字表示）径为r的同样大小的小球n个，当n取得最大值n0时，求C n0−202020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．【解答】：解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=-1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2．【点评】：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．2.（填空题，3分）从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，共有___ 种不同的选法（结果用数字作答）．【正确答案】：[1]10【解析】：根据题意，由组合数公式计算可得答案．【解答】：解：根据题意，从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，是组合问题，有C53=10种选法，故答案为：10．【点评】：本题考查组合数公式的应用，注意组合、排列的不同，属于基础题．＞1的解集为___ ．3.（填空题，3分）不等式1x【正确答案】：[1]{x|0＜x＜1}＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．【解析】：将不等式1x【解答】：解：∵ 1x＞1，∴ 1 x -1= 1−xx＞0，∴ (1−x)xx2＞0，∴0＜x＜1．∴不等式1x＞1的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．【点评】：本题考查不等式的解法，移项后通分是关键，属于基础题．4.（填空题，3分）A、B是半径为R的球面上两点，设O是球心，且△AOB是等腰直角三角形，则A、B的球面距离为 ___ ．【正确答案】：[1] πR2【解析】：根据△AOB是等腰直角三角形，求出∠AOB=π2，再利用弧长公式l=|θ|•R，求出A、B的球面距离．【解答】：解：∵△AOB是等腰直角三角形，∴ ∠AOB=π2，∵弧长公式l=|θ|•R，∴A、B的球面距离为π2×R = πR2，故答案为：πR2．【点评】：本题考查球面距离的相关计算，属于基础题．5.（填空题，3分）用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是___ （结果用数字作答）．【正确答案】：[1]27【解析】：根据题意，分析百位、十位和个位数字的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，用1、2、3三个数字能组成不同三位数，百位、十位和个位数字都有3种情况，则有3×3×3=27个不同的三位数，故答案为：27．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．6.（填空题，3分）已知圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C为底面弧AB̂的中点，D为母线PB的中点，则异面直线PA和CD所成角的大小为___ ．【正确答案】：[1] π4【解析】：取AB的中点O，连接OC，OD，知∠ODC即为所求，设PA=AB=PB=2，结合轴截=1，即可面的性质和面面垂直的性质定理可得OC⊥OD，再在Rt△OCD中，由tan∠ODC= OCOD得解．【解答】：解：取AB的中点O，连接OC，OD，∵D为母线PB的中点，∴OD || AP，∴∠ODC为异面直线PA和CD所成的角，设底面圆O的半径为r，∵圆锥的轴截面PAB是等边三角形，∴设PA=AB=PB=2，AB=1，∴OC= 12PA=1，∴OD= 12由轴截面的性质知，平面PAB⊥平面ABC，∵C为底面弧AB̂的中点，∴OC⊥AB，又平面PAB∩平面ABC=AB，∴OC⊥平面PAB，∴OC⊥OD，=1，在Rt△OCD中，tan∠ODC= OCOD．∴∠ODC= π4．故答案为：π4【点评】：本题考查异面直线夹角的求法，利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．7.（填空题，3分）从四棱锥P-ABCD的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是___ （结果用数字作答）．【正确答案】：[1]4【解析】：根据题意，用排除法分析：先分析从四棱锥P-ABCD的5个顶点中任选4个不同的点的取法，排除其中共面的情况，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，从四棱锥P-ABCD的5个顶点中任选4个不同的点，有C54=5种取法，其中共面，不能构成不同三棱锥的情况有1种，则取出的四点能够构成不同三棱锥的个数是4；故答案为：4．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及棱锥的结构特征，属于基础题．8.（填空题，3分）长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，则二面角A1-BD-C1的大小为___ （结果用反三角函数表示）．【正确答案】：[1] π−arccos13【解析】：取BD的中点O，连结A1O，C1O，A1C1，利用勾股定理可得A1O⊥BD，C1O⊥BD，则∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，利用余弦定理结合反三角函数求解即可．【解答】：解：取BD的中点O，连结A1O，C1O，A1C1，因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，所以A1D=A1B=C1D=C1B= √42+22=2√5，BD=A1C1= √42+42=4√2，A1O=C1O= √(2√5)2−(2√2)2=2√3，由勾股定理可得，A1O⊥BD，C1O⊥BD，所以∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，则cos∠A1OC1= A1O2+C1O2−A1C122A1O×C1O =12+12−322×2√3×2√3=−13，所以二面角A1-BD-C1的余弦值为−13，则二面角A1-BD-C1的大小为π−arccos13．故答案为：π−arccos13．【点评】：本题考查了二面角的大小的求解，余弦定理的应用，勾股定理的运用，反三角函数的应用，解题的关键是利用二面角的平面角的定义找到对应的角，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．9.（填空题，3分）在3个不同的红球中任取2个，在3个不同的白球中任取1个，把所取出的3个球排成一列，要求2个红球必须相邻，则不同的排列个数为___ 个（用数字作答）．【正确答案】：[1]36【解析】：根据题意，分3步进行分析：① 在3个不同的红球中任取2个，将其看成一个整体，② 在3个不同的白球中任取1个，③ 将选出的2个红球与白球全排列，有分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分3步进行分析：① 在3个不同的红球中任取2个，将其看成一个整体，有C32A22=6种情况，② 在3个不同的白球中任取1个，有C31=3种选法，③ 将选出的2个红球与白球全排列，有A22=2种情况，则有6×3×2=36种不同的排列，故答案为：36．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于基础题．10.（填空题，3分）设a1、a2、a3、a4、a5、a6是2、3、4、5、6、7的一个排列，则a1a2a3+a4a5a6的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]142【解析】：利用基本不等式得到a1a2a3+a4a5a6≥ 2√a1a2a3a4a5a6=2√2×3×4×5×6×7 = 24√35＞142，结合142=72+70=3×4×6+2×5×7，即可得到答案．【解答】：解：因为a1、a2、a3、a4、a5、a6是2、3、4、5、6、7的一个排列，所以a1a2a3+a4a5a6≥ 2√a1a2a3a4a5a6=2√2×3×4×5×6×7 = 24√35＞142，因为142=72+70=3×4×6+2×5×7，所以a1a2a3+a4a5a6≥142，故a1a2a3+a4a5a6的最小值为142．故答案为：142．【点评】：本题考查了最值问题的求解，主要考查了利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．11.（填空题，3分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是线段AD 1上的一个动点，则直线PB 与平面BC 1D 所成角的范围是___ （结果用反三角函数表示）．【正确答案】：[1] [arcsin 13，arcsin √33] 【解析】：建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，设点P （1，t ，1-t ），求出直线BP 的方向向量，由向量的夹角公式，然后由t 的范围求解即可．【解答】：解：设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则B （0，1，0），C 1（0，0，1），D （1，0，0），所以 BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−1，1)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，−1，0) ， 设平面BC 1D 的法向量为 n ⃗⃗=(x ，y ，z) ，则 {n ⃗⃗•BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0n ⃗⃗•BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即 {−y +z =0x −y =0 ， 令x=1，则y=1，z=1，故 n ⃗⃗=(1，1，1) ，设点P （1，t ，1-t ），（0≤t≤1），则 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，t −1，1−t) ， 设直线PB 与平面BC 1D 所成的角为θ，则sinθ= |cos ＜BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，n ⃗⃗＞|=|BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|=1√3•√2(t−1)2+1 ，因为0≤t≤1，所以 2(t −1)2+1∈[1，√3] ，故 sinθ∈[13，√33] ， 故 arcsin 13≤θ≤arcsin √33， 直线PB 与平面BC 1D 所成角的范围是 [arcsin 13，arcsin√33] ． 故答案为： [arcsin 13，arcsin√33] ．【点评】：本题考查了空间角的求解，主要考查了线面角的求解，对于空间角问题，经常选择建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．12.（填空题，3分）已知等差数列{a n}满足：|a1|+|a2|+⋅⋅⋅+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋅⋅⋅+|a n+1|=|a1-1|+|a2-1|+⋅⋅⋅+|a n-1|=2021，则正整数n的最大值为___ ．【正确答案】：[1]62【解析】：由题意可以构造函数f（x）=|x|+|x+d|+••+|x+（n-1）d|，结合函数的图像和性质以及等差数列的性质求解即可．【解答】：解：设等差数列{a n}的公差为d（不妨设d＞0），首项为a，可得|a|+|a+d|+…+|a+（n-1）d|=|a+1|+|a+1+d|+•…+|a+1+（n-1）d|=|a-1|+|a-1+d|+…+|a-1+（n-1）d|=2021，记函数f（x）=|x|+|x+d|+••+|x+（n-1）d|，可得函数f（x）=2021至少有三个根a-1，a，a+1．可知绝对值和f（x）=|x|+|x+d|+…+|x+（n-1）d|为平底型图像，如下图所示，故n为偶数，记n=2k，要使f（x）=2021，所以a-1，a，a+1对的点都在平底上即a-1，a，a+1∈[-kd，-（k-1）d]，所以 f（-kd）=f（-（k-1）d）=2021，即|-kd|+|-kd+d|+|-kd+2d|+…+|-kd+（n-1）d|=2021，所以[k+（k-1）+（k-2）+…+1+0+1+…+（k-1）]d=2021，所以k2d=2021，而（a+1）-（a-1）≤d，所以d≥2．故k2≤20212，即k≤ √20212≈31.7，所以正整数n的最大值为62，故答案为62．【点评】：此题主要考查等差数列的性质及其应用，解题的关键是构造函数f（x）=|x|+|x+d|+••+|x+（n-1）d|，然后利用函数的图像和性质求解，此题是一道难题．13.（单选题，3分）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A. r+1n+1C n−1 r−1B.（n+1）（r+1）C n−1r−1 C.nr C n−1r−1D. nr C n−1 r−1【正确答案】：D【解析】：由组合数公式，C n r进行运算、化简，找到其与c n-1r-1的关系，即可得答案．【解答】：解：由C n r=n!r!(n−r)!=nr•(n−1)!(r−1)![(n−1)−(r−1)]!=nrC n−1r−1，故选：D．【点评】：本题考查组合数公式的运用，须准确记忆公式，另外如本题的一些性质需要学生了解．14.（单选题，3分）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（）种．A.240B.360D.720【正确答案】：C【解析】：本题是一个分步问题，采用插空法，先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，根据分步计数原理得到结果．【解答】：解：由题意知本题是一个分步问题，采用插空法，先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，则不同的排法有A44A52=480种，故选：C．【点评】：本题考查分步计数原理，是一个基础题，正确运用插空法是关键．15.（单选题，3分）以下关于多面体的命题中，真命题为（）A.所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥B.所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱C.所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体D.所有侧面均为正方形的多面体是正方体【正确答案】：A【解析】：直接利用正棱柱和正棱锥体的定义判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥，故A正确；对于B：所有侧面均为正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，底面不一定为正方形，故B错误；对于C：所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体，也可能为正四棱锥，故C错误；对于D：所有侧面均为正方形的多面体是直棱柱，故D错误．故选：A．【点评】：本题考查的知识要点：正棱柱和正棱锥体的定义，主要考查学生对几何定义的理解，属于基础题．16.（单选题，3分）已知函数f（x）在定义域R上单调，且x∈（0，+∞）时均有f（f（x）+2x）=1，则f（-2）的值为（）A.3B.1C.0【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得f（x）+2x为常数，设f（x）+2x=t，分析可得f（t）=-2t+t=1，解可得t的值，即可得函数的解析式，将x=-2代入计算可得答案．【解答】：解：根据题意，函数f（x）在定义域R上单调，且x∈（0，+∞）时均有f（f（x）+2x）=1，则f（x）+2x为常数，设f（x）+2x=t，则f（x）=-2x+t，则有f（t）=-2t+t=1，解可得t=-1，则f（x）=-2x-1，故f（-2）=4-1=3；故选：A．【点评】：本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的单调性的性质以及应用，属于基础题．17.（问答题，0分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．（1）分别取侧棱PB、PD中点E、F，证明：直线EF与平面ABCD平行；（2）求四棱锥P-ABCD的表面积．【正确答案】：【解析】：（1）连接BD，由E、F是PB、PD中点，可得EF || BD，进而根据线面平行的判定即可证明EF || 平面ABCD．（2）由题意利用线面垂直的判定和性质可得CD⊥PD，CB⊥PB，由已知利用勾股定理求出PB，PD，PC的值，利用三角形的面积公式，正方形的面积公式求出各个面的面积，然后求解四棱锥P-ABCD的表面积【解答】：解：（1）如图，连接BD，∵E、F是PB、PD中点，∴EF || BD ，又∵EF⊄底面ABCD ，BD⊂底面ABCD ， ∴EF || 平面ABCD ．（2）由底面ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=2，AB=1， 得PA⊥AD ，PA⊥AB ，AD⊥AB ．又PA∩AD=A ， ∴AB⊥平面PAD ， 又PD⊂平面PAD ， ∴AB⊥PD ， ∵CD || AB ，∴CD⊥PD ，同理可得CB⊥PB ，∴PB=PD= √22+12 = √5 ，PC= √22+12+12 = √6 ， ∴S △PAB = 12×2×1 =1，S △PAD = 12×2×1 =1，同理S △PCB = 12× √5 ×1= √52 ，S △PCD = 12× √5 ×1= √52 ，S ABCD =1×1=1，∴四棱锥P-ABCD 的表面积S=S △PAB +S △PAD +S △PCB +S △PCD +S ABCD =1+1+ √52+ √52+1=3+ √5 ．【点评】：本题考查几何体的表面积的求法，考查线面平行的判定，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18.（问答题，0分）设函数f （x ）=a x -（k-1）a -x （a ＞0，a≠1）是定义域为R 的奇函数． （1）求实数k 的值；（2）若 f (1)=32 ，且f （2x ）≥mf （x ）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数在R 上有定义，可得f （0）=0，解得k ；（2）若 f (1)=32 ，求得a ，由参数分离和指数函数和对勾函数的单调性，可得最值，进而得到所求范围．【解答】：解：（1）由函数f（x）=a x-（k-1）a-x（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数，可得f（0）=a0-（k-1）a0=1-（k-1）=0，解得k=2；（2）由（1）可得f（x）=a x-a-x，若f(1)=32，则a- 1a= 32，解得a=2，由f（2x）≥mf（x），可得4x-4-x≥m（2x-2-x），因为y=2x-2-x在x∈[2，+∞）递增，可得y=2x-2-x＞0，所以m≤2x+2-x在x∈[2，+∞）恒成立，由y=2x+2-x在x∈[2，+∞）递增，可得y=2x+2-x的最小值为174，所以m≤ 174，即m的取值范围是（-∞，174]．【点评】：本题考查函数的奇偶性的性质和不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．19.（问答题，0分）设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和高均为1．（1）求点C1与平面A1B1C之间的距离；（2）设D是棱CC1的中点，求证：AB1⊥BD．【正确答案】：【解析】：（1）用等体积法求解即可；（2）只需证明AB1垂直于BD所在平面BDO即可．【解答】：（1）解：取A1B1中点M，因为B1C=A1C= √2，所以CM⊥A1B1，于是S△A1B1C =12•A1B1•CM = 12•1•√(√2)2−(12)2= √74，设点C1与平面A1B1C之间的距离为h，因为V C−A1B1C1=V C1−A1B1C，所以13•12•12•sin60°•1=13•√74•ℎ，解得h= √217，所以点C1与平面A1B1C之间的距离√217；（2）证明：连接A1B，交AB1于O，连接OD、AD、B1D，因为四边形AA1B1B为正方形，所以AB1⊥A1B，O为AB1中点，又因为D是棱CC1的中点，所以AD=B1D，所以DO⊥AB1，因为A1B∩DO=O，所以AB1⊥平面BDO，又因为BD⊂平面BDO，所以AB1⊥BD．【点评】：本题考查了点到直线距离问题，考查了直线与平面的位置关系，属于中档题．20.（问答题，0分）已知双曲线Γ：x2 a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，左、右两顶点分别是A1、A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．（1）若是d⃗=(1，2)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的方程；（2）若|PA|=1，|PB|=5，|PC|=2，|PD|=6，试求双曲线Γ的方程；（3）在（1）的条件下，且|A1A2|=4，点C与双曲线的顶点不重合，直线CA1和直线CA2与直线l：x=1分别相交于点M和N，试问：是否存在定点T，使得TM⊥TN恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由直线的方向向量可得渐近线的斜率，进而得到渐近线方程；（2）求得A（2，2），C（3，4），代入双曲线的方程，可得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（3）求得双曲线的方程，运用三点共线的条件：斜率相等，可得M ，N 的坐标，假设存在T ，运用两直线垂直的条件：斜率乘积为-1，化简整理，结合恒等式，可得定点T 的坐标．【解答】：解：（1）由 d ⃗=(1，2) 是Γ的一条渐近线的一个方向向量，可得渐近线的斜率为±2，所以渐近线方程为y=±2x ；（2）由|PA|=1，|PB|=5，|PC|=2，|PD|=6，可得|AB|=4，|CD|=8， 则A （2，2），C （3，4），代入双曲线的方程可得 4a 2 - 4b 2 =1， 9a 2 - 16b 2 =1， 解得a 2= 73，b 2= 285，所以双曲线的方程为3x 27−5y 228=1 ；（3）由（1）可得a=2，b=4，双曲线的方程为 x 24 - y 216 =1，即4x 2-y 2=16， 设C （m ，n ），可得n 2=4（m 2-4），由A 1（-2，0），C （m ，n ），M （1，y M ）三点共线，可得k CA 1 =k A 1M ， 即有 nm+2 =y M3，可得y M = 3nm+2 ；同理可得，由A 2（2，0），C （m ，n ），N （1，y N ）三点共线，可得y N = −nm−2， 假设存在定点T （x 0，y 0），使得TM⊥TN 恒成立． 可得k TM •k TN =-1， 即为y 0−3n m+2x 0−1•y 0−−n m−2x 0−1=-1，化为（x 0-1）2+y 02- 3n 2m 2−4 -y 0• 2n (m−4)m 2−4=0， 即为（x 0-1）2+y 02-12-y 0•2n (m−4)m 2−4=0， 令y 0=0，（x 0-1）2=12，解得x 0=1±2 √3 ，所以存在定点T ，且为 T(1+2√3，0) 或 T(1−2√3，0) ．【点评】：本题双曲线的方程和性质，以及直线与双曲线的综合，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.（问答题，0分）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R ，母线长为l ． （1）当R=1，l=2时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）（2）如图，当R=1，l=12时，平面α与圆柱T底面所成锐二面角为45°，且平面α只与圆柱T侧面相交，设平面α与圆柱T侧面相交的轨迹为曲线C，半径为1的两个球分别在圆柱内平面α上下两侧且分别与平面α相切于点F1、F2，若以点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，求证：曲线C是椭圆并写出椭圆标准方程；（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，当n取得最大值n0时，求C n0−202的值．（结果用数字表示）【正确答案】：【解析】：（1）分别计算出圆柱和球的体积得到空余部分的体积；（2）利用椭圆的基本定义（到两定点距离之和为定值）得到轨迹为椭圆，然后计算a和b的值；（3）先利用条件得到小圆的半径，然后计算每个小圆占整个空间的圆心角，最后得到最多圆的个数．【解答】：（1）解：V圆柱=sl=πR²l=π×1×2=2π，V球== 43πR3= 43π×1³= 43π，所以圆柱内空余部分的体积为V圆柱-V球=2π- 43π= 2π3．（2）证明：如图，取上方球上一点A，下方球上一点C，连接AC，则直线AC交阴影截面于B点，连接BF1，BF2，设截面的两端点为M，N，过M点作平行于底面，过N点垂直于底面交于D点．由题意得，因为斜截面和圆柱分别与球相切，所以AB=BF2，BC=BF1，所以定值AC=AB+BC=BF2+BF1，所以曲线C为椭圆，因为平面α与圆柱底面二面角为45°，所以∠NMD=45°，在△NMD中，因为R=1，所以MD=2R=2，所以MN=2 √2 =2a，所以a= √2，又因为y轴平行于底面，所以短轴长2b=2R=2，所以b=1，所以椭圆的标准方程为x 22+y²=1．（3）解：垂直底面截面如图所示，AF=AC=1，BC=BG=R，∠BAF=45°，在△ABD中，AD=AF-DF=1-r，AB=AC+BC=1+r．因为∠BAF=45°，所以AB= √2 AD，所以解得r=3-2 √2．平行底面截面如图所示，O1M=r=3-2 √2．O1O=1-r=2 √2 -2，所以θ=arcsin √2−12≈11.95°，所以下方空余位置可以放n1= 360°2θ=15.06，因为n1为整数，所以n1=15，所以整个空余空间最多可以放n0=2n1=30个，所以 C n 0−202 = C 102 =45．【点评】：本题考查圆柱和球的体积计算公式，立体几何和平面解析几何的综合，椭圆的定义，考查数形结合思想与运算求解能力，属于难题．。

2022-2023学年第二学期高二年级期中教学质量检测数学试题（A ）考试范围：第四章《数列》 第五章《一元函数的导数》 第六章《计数原理》一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一质点做直线运动，其位移s 与时间t 的关系为22s t t =+，设其在[]2,3t ∈内的平均速度为1v ，在t＝3时的瞬时速度为2v ，则12v v =（ ） A ．76B ．78C ．67D ．872．有2男2女共4名大学毕业生被分配到A ，B ，C 三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A 工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A ．12 B ．14C ．36D ．723．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 19＞0，a 7+a 14＜0，则当S n 取得最大值时，n ＝（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．114．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，34n n a S =+，那么5a =（ ） A. －4B. 18C. 18-D.14- 5．5(2)x y -+的展开式中，3x y 的系数为（ ） A ．80 B ．40 C ．80-D ．40-6．若函数2()2ln f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a >B ．102a -<<C ．12a <D ．102a <<7．已函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ，且()()0f x f x '->，()01f =，则关于x 的不等式)(x f＞x e 的解集为（ ）A ．{}0x x >B ．{}0x x <C ．{}1x x <D ．{}1x x >8．已知函数221ln )(x x a x f +=，若对任意正数1x ，2x （21x x ≠），都有1)()(2121>--x x x f x f 恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41D ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知数列}{n a 的前n 项和121-⎪⎭⎫⎝⎛=nn S ，则下列说法正确的有（ ）A ．}{n S 是递减数列B ．}{n a 是等比数列C ．n a ＜0D ．1=+n n a S10．如图是函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图像，则以下说法正确的是（ ）A ．－2是函数()y f x =的极值点； B. 函数()y f x =在1x =处取最小值；C ．函数()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；D ．函数)(x f y =在区间（－2，2）上单调递增11．在91⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，下列结论正确的是（ ）A ．第6项和第7项的二项式系数相等B ．奇数项的二项式系数和为256C ．常数项为84D ．有理项有2项12．已知数列}{n a 满足1)2(4+-+=n n n a λ．若对*N n ∈∀，都有1+n a ＞n a 成立，则整数λ的值可能是 （ ） A ．－2B ．－1C ．0D ．1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数xx x f 1ln )(-=在点（1，－1）处的切线方程为____________． 14．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答）15．若函数x ax x x h 221ln )(2+-=在（0，3）上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为 ．16．已知函数()e xf x =与函数()lng x x b =+存在一条过原点的公共切线，则b = .四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17．已知数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()2212211log log n n n b a a -+⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明12n T <．18．设3-=x 是函数c x bx ax x f +-+=3)(23的一个极值点，曲线)(x f y =在1=x 处的切线斜率为8．（1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 在闭区间［－1，1］上的最大值为10，求c 的值．19．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．已知+++=-2210)12(x a x a a x n …n n x a +（*N x ∈）， ．（1）求++22122a a …nna 2+的值： （2）求+++32132a a a …n na +的值．20．已知数列}{n a 中，31=a ，221-=+n n a a （*N n ∈）．（1）求证：数列}2{-n a 是等比数列；（2）若数列}{n b 满足n n a n b )12(-=，求数列}{n b 的前项和n T21．已知函数x a x x f ln 21)(2-=（R a ∈，0≠a ）．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若对任意的[∈x 1，∞+)，都有)(x f ≥21成立，求a 的取值范围．22．已知函数()e xf x a x =-，R a ∈．（1）当ea 1=时，证明：()ln 10f x x x -+-≥在（0，∞+）上恒成立； （2）若()f x 有2个零点，求a 的取值范围．参考答案一、单项选择题 1．【答案】B【详解】因为t t t s 2)(2+=，22)('+=t t s ，所以781523)2()3(1=-=--=S S v ，8)3('2==s v ，所以8721=v v ． 2．【答案】B【详解】根据题意，将2男2女分为三组，有（男男、女、女）、（男、男、女女）、（男女、男、女）三种情况，由此分3种情况讨论：①分为（男男、女、女）的三组，男男这一组只能安排在B 或C 工厂，有42212=A C 种安排方法；②分为（男、男、女女）的三组，女女这一组只能安排在A 工厂，有222=A 种安排方法； ③分为（男女、男、女）的三组，有8221212=A C C 种安排方法；则共有4+2+8＝14种安排方法． 3．【答案】C【详解】在等差数列{a n }中，由S 19＞0，得02)(19191>+a a ，则0210191>=+a a a ，又01110147<+=+a a a a ，∴10a ＞0，11a ＜0，则当n S 取得最大值时，n ＝10． 4．【答案】Ｃ【详解】因为34n n a S =+，当1n =时，12a =-，当2n ≥时，由34n n a S =+得4311+=--n n S a ，两式相减得()1133n n n n n a a S S a ---=-=，即112n n a a -=-，又2112a a =-，所以{}n a 是等比数列，所以812124314-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-==q a a ．5．【答案】D【详解】()55(2)2x y x y -+--⎡⎤⎣⎦=的展开式中含3x 的项为()23252x C y -，()22y -的展开式中含y 的项为()122C y -，所以5(2)x y -+的展开式中，3x y 的系数为()2152240C C ⋅-=-⋅．6．【答案】D【详解】∵2()2ln f x x x a x =-+有两个不同的极值点，∴222()2202a x x a f x x x-+'=-+==在(0,)+∞有2个不同的零点，∴2220x x a -+=在(0,)+∞有2个不同的零点，∴Δ4800a a =->⎧⎨>⎩，解得102a <<．7．【答案】B 【详解】令x e x f x g )()(=，则x ex f x f x g )()(')('-=，因为0)(')(>-x f x f ，所以0)('<x g ，)(x g 在R 上单调递减．因为1)0(=f ，所以1)0(=g ，所以不等式)0()(1)()(g x g ex f e x f x x >⇔>⇔>，所以 0<x ，即不等式x e x f <)(的解集为（∞-，0）． 8．【答案】C【详解】不妨令0＜1x ＜2x ，则22112121)()(1)()(x x f x x f x x x f x f -<-⇔<--，令x x x a x x f x F -+=-=221ln )()(，则)(x F 在（0，∞+）上单调递增，即≥-+=1)('x xax F 0在 （0，∞+）上恒成立，即x x a +-≥2在（0，∞+）上恒成立．因为4141)21(22≤+--=+-x x x ，当且仅当21=x 时，等号成立，所以()41max 2=+-xx ，故41≥a ，即a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41． 二、多项选择题 9．【答案】ABC【详解】因为数列{a n }的前n 项和121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n S ，n⎪⎭⎫⎝⎛21随着n 的增大而减小，所以}{n S 是递减数列，A 正确；因为数列{a n }的前n 项和121-⎪⎭⎫⎝⎛=nn S ，当n ≥2时，nn nn n n S S a ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=--21212111，当n ＝1时，2111-==S a ，上式也成立，所以nn a ⎪⎭⎫⎝⎛-=21，所以}{n a 是等比数列，0<n a ，故BC 正确；又121121-=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nnn n a S ，故D 错误．10．【答案】AD【详解】根据导函数()y f x '=的图象可得，当(),2x ∞∈--上，()0f x '<，在()()+∞-∈,11,2 x 上，()0f x '>，故函数在(),2x ∞∈--上函数()f x 单调递减；在()2,1-，()1,+∞函数()f x 单调递增，所以2-是函数()y f x =的极小值点，所以A 正确；其中1x =两侧函数的单调性不变，则在1x =处不是函数()y f x =的最小值，所以B 不正确；由()y f x '=图象得()00f '>，所以函数()y f x =在0x =处的切线的斜率大于零，所以C 不正确；由()y f x '=图象可得，当()2,2x ∈-时，()0f x '≥，所以函数()y f x =在()2,2x ∈-上单调递增，所以D 是正确的， 11．【答案】BC【详解】91⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可知，展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A 错误；由已知可得二项式系数之和为92，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以奇数项的二项式系数和为25628=，故B 正确；由展开式的通项23999911rrrr r r x C x x C T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=（0≤r ≤9，N r ∈）可知，当0239=-r ，即6=r 时，常数项为843969==C C ，C 正确；而有理项中x 的系数为整数，故=r 0，2，4，6，8，故有理项有5项，D 错误． 12．【答案】BC【详解】∵1)2(4+-+=n n n a λ，即211)2(4+++-+=n n n a λ，若对*N x ∈∀+，都有1+n a ＞na 成立，即121)2(4)2(4+++-+>-+n n n n λλ，∴121)2(3)2()2(43+++-=--->⨯n n n n λλλ，即n 4＞1)2(+-n λ对*N x ∈∀都成立；当n 为奇数时，112)2(4-+=-<n n nλ恒成立，则1)2(min 1=<-n λ，即1<λ； 当n 为偶数时，112)2(4-+-=->n n nλ恒成立，则2)2(max 1-=->-n λ，即2->λ； 故整数λ的取值范围是－2＜λ＜1，则整数λ的值可能是－1，0，故选BC ． 三、填空题13．【答案】32-=x y 【详解】211)('x x x f +=，则2)1('=f ，又1)1(-=f ，所以切线方程为)1(2)1(-=--x y ， 即32-=x y ． 14．【答案】72【详解】按照使用颜色的种类分类，第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有1424C A 48=（种）；第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有34A 24=（种）， 所以共有48＋24＝72（种）． 15．【答案】⎪⎭⎫⎝⎛+∞,97 【详解】()12h x ax x'=-+，因为函数()21ln 22h x x ax x =-+在()0,3上存在单调递减区间，所以()120h x ax x '=-+<在()0,3上有解，即不等式212a x x >+在()0,3上有解， 令11,,3t t x ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，令()()221211,,3f t t t t t ⎛⎫=+=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，则()1739f t f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以79a >，即实数a 的取值范围为7,9∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.16．【答案】2【详解】设该公切线过函数()e xf x =､函数()lng x x b =+的切点分别为()11,e xx ，()22,ln b x x +.因为()e xf x '=，所以该公切线的方程为()1111111e ee e e x x x x x y x x x x =-+=+-同理可得，该公切线的方程也可以表示为()2222211ln ln 1y x x x b x x b x x =-++=⋅++- 因为该公切线过原点，所以()112121e e 10ln 10x x xx x b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪+-=⎪⎪⎩，解得1211,e ,2x x b ===．四、解答题 17．【解析】（1）24a ，32a ，4a 成等差数列，32444a a a ∴=+，设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，则21123111644S a a q a q a q a q=+=⎧⎨=+⎩，解得：122a q =⎧⎨=⎩，112n nn a a q -∴==． …………………………5分（2）由（1）得：()()21212211111log 2log 2212122121n n n b n n n n -+⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，1111111111123355723212121n T n n n n ⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪---+⎝⎭24121121121+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n ， 1042n >+，1112422n ∴-<+，即12n T <. ………………………………………………10分18．【解析】（1）323)('2-+=bx ax x f ，由已知得⎩⎨⎧==-8)1('0)3('f f ，即⎩⎨⎧=-+=--032303627b a b a ，解得1=a ，4=b ．经检验可知符合题意． 于是)13)(3(383)('2-+=-+=x x x x x f ， 由0)('>x f ，得3-<x 或31>x ，由0)('<x f ，得313<<-x ， 所以)(x f 的单调递增区间是（∞-，－3）和（31，∞+），单调递减区间是（－3，31）．…………6分（2）由（1）知c x x x x f +-+=34)(23，因为)(x f 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡-31,1上单调递减，在⎥⎦⎤ ⎝⎛1,31上单调递增，又c f +=2)1(＜c f +=-6)1(，所以)(x f 在闭区间［－1，1］上的最大值106)1(=+=-c f ，解得4=c ．………………12分19．【解析】若选①：因为只有第5项的二项式系数最大，所以91=+n ，解得n ＝8，若选②：因为第4项与第6项的二项式系数相等，所以53n n C C =，则n =+53，解得n ＝8，若选③：因为奇数项的二项式系数的和为128，所以12821=-n ，解得n ＝8， ………………3分（1）因为+++=-22108)12(x a x a a x (8)8x a +，令21=x ，则8)1212(-⨯＝+0a ++22122a a ...882a +，即+0a ++22122a a (8)82a +＝0， 令0=x ，则08)1(a =-，即a 0＝1，所以++22122a a …882a +＝10-=-a ． ………………………………………………………………7分（2）对+++=-22108)12(x a x a a x (8)8x a +两边同时求导， 可得+++=-2321732)12(16x a x a a x (7)88x a +，令x ＝1，可得+++32132a a a …88a +＝16． …………………………………………………12分 20．【解析】（1）证明：因为所以)2(221-=-+n n a a ， 又122=-a ，所以2221=--+n n a a ，所以}2{-n a 是以1为首项，2为公比的等比数列．………………4分（2）由（1）知122-=-n n a ，则)12(22)12()22)(12(11-+⋅-=+-=--n n n b n n n ， 令12)12(-⋅-=n n n c ，数列}{n c 的前n 项和为n P ，则+⨯+⨯+⨯=210252321n P …12)12(--+n n ， +⨯+⨯+⨯=3212523212n P …n n 2)12(-+，两式相减，得n n nn n n n P 2)12(21)21(412)12()222(2211121⋅----+=⋅--++++⨯=--- ，n n 2)32(3⋅---=，所以32)32(+⋅-=n n n P ．所以322)32()]12(531[22++⋅-=-+++++=n n n P T n n n ． (12)分21．【解析】（1）该函数的定义域为（0，+∞），xa x x a x x f -=-=2)(（x ＞0），①当a ＜0时，0)(2>-=xax x f 恒成立，函数)(x f 的递增区间为（0，+∞）； ②当a ＞0时，令0)('=x f ，解得a x =或a x -=，所以函数)(x f 的递增区间为（a ，+∞），递减区间为（0，a ）， 所以当a ＜0时，函数f （x ）的递增区间为（0，+∞）；当a ＞0时，函数f （x ）的递增区间为（a ，+∞），递减区间为（0，a ）． ………………5分（2）对任意的[∈x 1，+∞），都有21)(≥x f 成立，只需任意的[∈x 1，+∞），21)(min ≥x f ， ①当a ＜0时，f （x ）在［1，+∞）上是增函数，所以21)1()(=≥f x f ，所以a ＜0满足题意；②当0＜a ≤1时，0＜a ≤1，f （x ）在［1，+∞）上是增函数，所以21)1()(=≥f x f ， 所以0＜a ≤1满足题意；③当a ＞1时，a ＞1，f （x ）在［1，a ］上是减函数，此时在区间［1，a ］上，21)1()(=≤f x f ． 从而a ＞1不满足题意； 综上①②③可得：实数a的取值范围为()(]1,00, ∞-．…………………………………………12分22．【解析】（1）当1e a =时，设()()1ln 1e ln 1x g x f x x x x -=-+-=--， 则()()11e 0x g x x x -'=->，设()()11e 0x u x x x-=->，由函数1e x y -=和1y x-=在()0,∞+上单调递增，知函数()u x 在()0,∞+上单调递增，且()()011e 10u g ==-='，所以当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增，所以()()min 10g x g ==即()ln 10f x x x -+-≥在()0,∞+上恒成立； ……………………………………………………6分（2）由()e 0xf x a x =-=，得e x x a =，令()e xxh x =， 则()f x 有2个零点，等价于函数()y h x =与y a =的图象有2个交点，令()10ex xh x -'==，得1x =，当(),1x ∈-∞时()0h x '>，当()1,x ∈+∞时()0h x '<，则函数()h x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 故()()max 11eh x h ==，且当0x <时，()0h x <， 当x 趋向于正无穷时，e x y =趋向于正无穷的速率远远比y x =大，故()h x 趋向于0， 作出函数()h x 的大致图象如下：结合图象可知，当10e a <<时，()ex xh x =与y a =的图象有2个交点， 故a的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭． …………………………………………………………………………12分。

上海市新川中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题完卷时间：90分钟一、填空题（每题3分，共36分）1. 已知事件A 与事件B 互斥，如果，，那么_____________．2. 两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______.3. 今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗．若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为______．4. 以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：，，则这15人成绩的第80百分位数是_______．5.的二项展开式中，项的系数为__________．6 设随机变量服从正态分布，且，则_____________．7. 投掷一颗骰子，记事件，，则_____________．8. 已知随机变量的分布为，且，若，则实数_______．9. 已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为______．10. 有5只苹果，它们的质量分别为125，a ，121，b ，127（单位：克）．该样本的中位数和平均数均为124，则该样本的标准差为______．11. 今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎.标识质量为500g 的这种袋装奶糖的质量指标X 是服从正态分布的随机变量.若质量指标介于495g （含）至505g （含）之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为_________%（结果保留一位小数）（已知表示标准正态分布的密度函数从-∞到x 的累计面积）12. 已知双曲线的焦点分别为、，为双曲线上一点，若.()0.3P A =()0.5P B =()P A B =56,70,72,78,7980,81,83,84,86,88,90,91,94,98101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x X 2(0,)N σ(2)0.9P X >-=(2)P X >={2,4,5}A ={1,2,4,6}B =(|)P A B =X 123111236⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭3Y aX =+[]2E Y =-=a 21nax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()2500,2.5N ()()()10.8413,20.9772,30.9987.Φ≈Φ≈Φ≈()x Φ()222210,0x y a b a b -=>>1F 2F M，，则双曲线的离心率为____________.二、选择题（本大题共有4题，满分12分）13. 以下能够成为某个随机变量分布的是（ ）A. B. C. D. 14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A. 恰好有一个白球与都是红球 B. 至多有一个白球与都是红球C. 至多有一个白球与都是白球D. 至多有一个白球与至多一个红球15. 某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（ ）人.A. 16B. 18C. 20D. 2416. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有A. B. C. D. 三、解答题（8分分分分分，共52分）17. （1）已知：，求；（2）解不等式：，其中.18. 已知一个随机变量的分布为：.的122π3F MF ∠=OM =0111⎛⎫⎪⎝⎭101111236-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭123111248⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭11.222.40.50.50.30.7⎛⎫ ⎪-⎝⎭6:5:42111()(0)N μσσ>，2222()(0)N μσσ>，1212,μμσσ<<1212,μμσσ<>1212,μμσσ><1212,μμσσ>>8+10+12+14+11C 21n n -+=n 222213A 12A 11A x x x +++≤N x *∈X 6789100.10.20.3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）已知，求、的值；（2）记事件A ：为偶数；事件B ：．已知，求，，并判断A 、B 否相互独立？19. 2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：1238 91 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 8 9 9 90 1 2 2 2 3 4（1）该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；（2）从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率．20. 某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元；（2）若利用分层随机抽样方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；（3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由.21. 已知曲线的左､右焦点分别为，直线经过且与相交于两点.是的()435E X =a b X 8X ≤()12P A =()P B ()P A B ⋂[)0,200[)200,400[)400,600[]1000,12001322Γ:3412x y +=12F F ､l 1F ΓA B ､（1）求的周长；（2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为与圆相切，求的方程；（3）设的斜率为，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.12FAF V 2F y l 2F l l k x M MA MB =tan MAB ∠=M上海市新川中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 简要答案一、填空题（每题3分，共36分）【1题答案】【答案】0.2##【2题答案】【答案】0.3【3题答案】【答案】12【4题答案】【答案】905【5题答案】【答案】210【6题答案】【答案】##【7题答案】【答案】##0.5【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】240或3840【10题答案】【答案】2【11题答案】【答案】95.4（或95.5都对）【12题答案】二、选择题（本大题共有4题，满分12分）.150.1110123【13题答案】【答案】B 【14题答案】【答案】A 【15题答案】【答案】A 【16题答案】【答案】A三、解答题（8分分分分分，共52分）【17题答案】【答案】（1）（2）【18题答案】【答案】（1），；（2），，事件A 与B 不相互独立．【19题答案】【答案】（1）3位；第75百分位数是30 （2）【20题答案】【答案】（1）405； （2）； （3）选取方案2，理由略．【21题答案】【答案】（1）周长为6 （2） （3）存在，8+10+12+14+6n ={}2,30.1a =0.3b =()0.5P B =()0.3P A B = 91192035)1y x =+4,019M ⎛⎫- ⎪⎝⎭。