关于不定方程x 2+16=y 3

第37卷第2期 (2021 年 3 月）福建师范大学学报（自然科学版）Journal of Fujian Normal University (Natural Science Edition)Vol. 37, No. 2Mar. 2021DOI：10. 12046/j. issn. 1000-5277. 2021. 02. 003 文章编号：1000-5277(2021)02-0018-08一些特殊不定方程的整数解高志贤，杨标桂(福建师范大学数学与信息学院，福建福州350117)摘要：通过引入平衡、余平衡、Lucas-balancing和Lucas-cobalancing数列，研冗其性质，再利用这些数列给出一些特殊不定方程的所有正整数解.关键词：不定方程；平衡数；余平衡数；Lucas-balancing数；Lucas-cobalancing数中图分类号：0156. 1文献标志码：AInteger Solutions of Some Special Diophantine EquationsGAO Zhixian, YANG Biaogui(College of Mathematics and Informatics ^Fujian formal University ^Fuzhou350117, China)Abstract：In this paper,balance,cobalancing,Lucas-balancing and Lucas-cobalancing se­quence sequences are introduced to study their properties,and then all positive integer solutions of some special Diophantine equations are given by mean of these sequences.Key words ：Diophantine；balancing numbers；cobalancing numbers；Lucas-balancing and Lucas-cobalancing numbers1999年，Behera等1引入了平衡数（balancingnumber),即平衡数m(m e Z+)是不定方程1 +2 + *-* + (m-l) = (m+l) + (m + 2) +••• +(m +r)(1)的解，称r(r e N)为平衡数m所对应的平衡因子（balancer).例如平衡数1、6、35、204分别对应 的平衡因子为0、2、14、84•由式（1)得m(m - 1)r(r + 1)----------------=mr + ---------------,225从而—(2m+ 1) + V8m2+ 1、r =-------------------2-----------------. 2对于n = 1，2,…，令' 表示第a i个平衡数.显然，由式（2)知圪是平衡数当且仅当+ 1是完全平方数.2005年，Panda等[2]通过修改式（1)，从而引入了余平衡数（cobalanicng numbe)，即余平衡数m(m e N)是不定方程12+••• +m =(m + 1) + (m + 2) + --- + (m+r)(3)的解，称e Z+)为余平衡数m所对应的余平衡因子（cobalancer).例如余平衡数0、2、14、84 分别对应的余平衡因子为1、6、35、204.由式（3)得m(m + 1)r(r+l)--------=mr + --------,22从而-（2/71 + 1) + \iSm2 + + 1..收稿日期：2020-09-15基金项目：国家自然科学基金资助项目（11761049)通信作者：杨标桂（1976-)，男，副教授，研究方向为几何学、数论.bgyang@ 163. com第2期高志贤，等：一些特殊不定方程的整数解19对于n = 1，2,…，令表示第n个余平衡因子.由式（4)知是余平衡数当且仅当V叫+ 86… + 1是完全平方数.由于V8# + 1和^b2n + 86… + 1都是完全平方数，那么+ 1和+ 86… + 1都是正整数.诸多学者从多方面研究平衡数和余平衡数的性质及应用[3_6].Panda等;_7_分别令 C… = + 1,c…= -J^bl + 8fe… + 1，其中 C…为第 n个 Lucas-halancing数，cn为第 n个Lucas-cobalancing 数，并给出 了平衡、余平衡、Lucas-balancing和Lucas-cobalancing数列的二阶递推关 系：=6B…_ A-丨，A= i，b2=:6，(5)h=:66… -bn-l42，bx= 0,b2=2，(6)c n+l:~ Cn-\, C, = 3, C2=17，(7)C n+i = 6c…~ C n-1，ci = 1，c2=7.(8)同时也给出了平衡和余平衡数列的非线性递推关系:B…+1 = 3Bn + J%B2… + 1 ,(9)= 36… + 78^ + 86… + 1+ 1.(10) Panda等进一步还研究了平衡数与Lucas-丨)alancing数、余平衡数与Lucas-cobalancing数之间的关 系：C…tl =3C… + 8B…, (I Dcn+i = 3c…+ + 4_( 12)数列、IC…l和|c…l的比内公式分别为：a f-a f^(13)4V22(14)(15)(16)其中 a, = 1 + ，a: = 1 - •近年来，不定方程的研究有了新的进展，有学者对于不定方程的整数解提出了一些理论.K o-shy[8:研究不定方程-办2 = ±1和;c2 -办2 = &的整数解，具体见下面几个引理.引理1(1)设d是一个正整数且不是一个完全平方数，令（a，/8)为Pell方程V -办2 = 1的基础解，则它的全部解可由U…，y…)给出，(a + (3\[d)"+ (a -fi-Jd)"---------------------2---------------------，(a+/3^/d)n-(a-^J d)nJn 二-------------------------------------------’2-Jd其中（*i，) = (a，P )且灯彡2.(2)设cf是一个正整数且不是一个完全平方数，令（a，/3)为P ell方程;c2-办2 =- 1的基础解，则它的全部解可由（\，y…)给出，(a+p j d)2"-'+ (a-/3^/d)2"-'xn=------------------------------------，" 2(a+P^Jd)2"-'-(a~/3-Jd)2n-'2-Jdyn=20福建师范大学学报（自然科学版)2021 年其中（U i) = (a，0 )且《 彡2.引理2 设r/是一个正整数且不是一个完全平方数，令（a ,y3 )为P e ll方程办2 = 1的基础 解，（u,为不定方程x2 -办2 = A的一个解，那么（au.+奶?;）2 - + m;)2 = A：,则是不定方程的一个解.这个递推公式可以用来生成不定方程的无限多个解，这些解与«；)是相关联的且它们属于同一类解.实际上，不定方程W -办2 = A的基础解不止一个.下面的引理为不定方程-办2 = &的基础解 U,t；)限定了范围.引理3设^/是一个非平方的正整数，令（a，0 )为不定方程；c2 -办2 = 1的基础解，（u,〃）为不定方程d -dy2 =A；的基础解，其中A：> 0,则《，j;满足0 < I u I0 ^ v ^ /3k2(a+ 1)事实上，如果r f>〇, A >0,且d不是平方数，那么不定方程办2 =々的解仅有有限类，且所 有类的基本解可以由引理3经过有限步求出，于是所有类所包含的全部解就是不定方程V -办2的全部解.若不定方程V-办2 =1没有解满足引理3,则不定方程x2-办2 = A无解.本文主要研究某些不定方程的正整数解是由一些特殊的整数序列给出的.首先引人平衡、余平衡、Lucas-halancing和Lucas-cobakndng数列并且研究其性质，再利用这些数列给出某些特殊不定方 程的所有正整数解.1定理及证明考虑尤2 + ；y2 - ± 8 = 0，x2 + y2 - 34xy ± 288 = 0 和a：' + 36).- - 36;cy ± 288 = 0 等不定方程的正整数解都是由特殊的整数数列给出的.1.1以Lucas-ba丨ancing数列| C J为整数解的不定方程由引理1，得到如下结果：定理1设n身1，则P ell方程；c2-8/= 1的所有正整数解为（*, y) = (C…, S J.证明P e ll方程a:2 -8/ = 1的基础解为（a，/S )= (3，1)，由引理1(1)知P e ll方程x2 -8/ =1的全部正整数解可由（*，y)表出，其中(3 + 272 )" + (3 - 2V2 )"(1 + V2 )2" + (1 - V2 )2nX=-----------------------------------------------------------------------=---------------------------------------------------------------22(3 +2j2)n-(3- 2V2 )n(1 +72)2n - (1 - 72 )2ny-------------------------------=------------------------------•472 4V2又由数列1c…丨和丨fi…!的比内公式得(1+ V2 )2" + (1 -72)2n<+«2n^"=--------2--------=~T—=C"'(1 + 72 )2" - (1 - V2 )2"-a2ny=------------------------------=----------=B….4V2 4^2即定理得证.由定理1，可得到定理2、定理3.定理2设《 >丨，则不定方程-8/ + 16*y-9二0的所有正整数解为U,y) = (C…,B…+,).证明假设:t和y为不定方程P - 8/ + 16巧-9 = 0的正整数解.由于不定方程V - 8/ + 16y -9 = 0 等价于不定方程 9-t2 - 8(y - *)2 = 9，从而 9 丨（y -尤）2，即 3 丨（y - *).令 h = a:，u =第2期高志贤，等：一些特殊不定方程的整数解21^一，将;c = w和y = 3ti + u代人不定方程x2 - 8y2 + 16xy - 9 = 0中，可得it2 - 8(3ij + u)2 + 16«(3ii + u)- 9 = 0,整理得u由定理 1 知 u = C…，t; = B,,，即;《 = u = C…，y = 3d + u = + C… = 3B… + V賊 + 1=相反的，如果（*，y) = (C…，B…+1)，由定理1和式（9)得C2n- 8B^, + \6Cn Bn+l -9= C] -S(3Bn+C n)2+ 16C…(3B… + C…) - 9 =Cl -8(9B2…+C2n+6BnCn) + 48BnC… + l6C2n-9 =9C2n-12B\ - 9 =9{C l -SB]-1) = 0,即定理得证.定理3设^1& 1，则不定方程*2 + / -6巧+ 8 = 0的所有正整数解为U,y) = (C…, C…+1).证明假设i和y为不定方程V+y2-6；c y+ 8 = 0的正整数解.由于不定方程W+/-6町+8 = 0 等价于（x-y)2-4xy + 8=0,从而41 (;c-y)2,即21 (x-y)，从而*和y的奇偶性相同.接下来 按x和y的奇偶性分为以下两种情况：情形1x和y都为奇数.因为*为奇数，即8 I(V- 1)，又由于不定方程％2+ /- 6xy + 8 = 0等价于（y- 3*)2-r一3尤8 (尤2 - 1) = 0，从而 64 1(y-3尤）2，即 81 (y-3x) •令 u=;c，i; = ^―-—，即 x u，y= 3u + 8f,O再将A： = a和;y = 3w + 8f代入不定方程尤2 + y2 - 6;cy + 8 = 0中得u2+ (3u+ 8t;)2-6u(3u+ Sv)+8=0,整理得u2-Sv2=1.由定理 1 知 “ =C...，I；二坟，即 X = u = ，y = 3u + % = 3C... + 8坎=C (1)相反的，如果h，y)= (Q,C…+1)，那么C〗+0+1 -6C人+1 +8=0,下面用数学归纳法证明此 性质.当n = 1时显然成立.假设当n = m时此恒等式是成立的.当n=m+l时，由式（7)得Cm+1+ Cm+2~ 6C m+l Cm +2+ 8 =C>+ (6Cmtl - C J2 - 6Cm+1(6C m+1 - C J+ 8 =C, + ^ -6CmtlCm + 8-0.情形2 *和y都为偶数.令 * = 2;^，y = 2y,，将 x = 2；)：,和 y= 2y,代人不定方程 a:2 + y2 - 6xy + 8 = 0 中，整理得 x丨+;^- 6*,;^ + 2 = 0，显然;t,和；y,的奇偶性相同.若;c,和y,都为偶数，令;《：, = 2*2,y,二2y2，再将*, = 2j c2和= 2y2代人不定方程4Z _ 6;^;^ + 2 = 0中，整理得知丨+ 4y〖-24»:2y2+ 2 = 0,显然4 1 (44+4H-24:«:2；k2),但4乜，产生矛盾.同理，若〜和:^同为奇数也会产生类似的矛盾，因此x和 y不可能都为偶数，即此定理得证.由定理3,可得到定理4和定理5.定理4设》為1,则不定方程8V- /- 8 = 0的所有正整数解为（X，y)= (C…,8S…).证明假设*和y为不定方程8x2-y2-8=0的正整数解•令u=;c，i;=;k + 3：v，即•* = “，y = r - 3u，再将x=u和y=t;-3u代入不定方程8a:2 - y2 - 8 = 0中得8u* ~ (v —3u)2 — 8 = 0,整理得u2+ v2-6uv+ 8=0.由定理 3 知 “ =C…，t; = C…+，，即 x = u = C…，y = t； - 3u = C…+1 - 3C… = 8B…•22福建师范大学学报（自然科学版)2021 年相反的，如果（*，y) = (C…，8B J,由式（11)和定理3得%C2…-(8B J2-8 = 8C^ -(C…+1-3C…)2-8 = -(C^ + C^+1-6C…C…+1+ 8) = 0,即定理得证.定理5设n >2,则不定方程；c2+y2 -34巧'+ 288 = 0的所有正整数解为（x,y)=证明假设x和y为不定方程V +/ - 34巧+ 288 = 0的正整数解.由于不定方程*2+/-+288 = 0 等价于（x + y)2 - 36xy + 288 = 0,即36 1(x+y)2，从而 61 (文+y) •令u = —,•" "6，即尤=6w —r，y=v，再将尤=6u —p和），=f代人不定方程a;2 + y2 _ 34xy + 288 = 0中得(6w - z；)2 + i；2 - 34(6w - v)i; + 288 二0，整理得u2+ v2-6uv + 8=0.由定理 3 知u = C...，i; = C...+1，即x = 6u - r= 6C... - (：...+| = (：..._,，y二i; = C (1)相反的，如果（*，y) = (C…_,，C…+I)，由定理3和式（7)得C, +C, -34C…_,C…+, + 288 =C l, + (6C… - C…_,)2 - 34C….,(6C… - C…_,) + 288 =36C^_, + 36C^ - 216C…_,C… + 288 =36K -6C…_,C… + 8) = 0,即定理得证.由定理5和定理3,可得到如下结果.定理6设n & 1，则不定方程;c2 + 36y2 - 3知' + 288 = 0的所有正整数解为（*，y)= (6C…，C…+,).证明假设a:和；y是不定方程a：2 + 36y2 - 36xy + 288 = 0的正整数解.令u=;«-y，i;=y，即再将x=“+j;和y=t;代人不定方程x2 + 36y2 — 36巧+ 288 = 0中得(u+ v)2+36v2-36(u + v)v+ 288 = 0,整理得u2 + v~—3Auv + 288 = 0.由定理 5 知u = C..._,，r = C...+1，即x = w + t)= C..._, + C...+, = 6C...，y= i; = C (1)相反的，如果（;<:，y) = (6C…,C…+1)，由定理3得(6C…)2 + 36C, -36(6C J C…+1 + 288 = 36(C X丨-6C…C…+1 +8) = 0，即定理得证.1.2以Lucas-cobalancing数列| C…|为整数解的不定方程结合式（14)、（16)和引理1，得到如下结果：定理7设《 & 2,则不定方程*2 - 8/ - 8y - 1 = 0的所有正整数解为（*，y) = (c…,6…).证明不定方程*2-872-8；^-1=0等价于*2-2(27+1)2=-1.令“=；»:，1；= 27+1，从而得 到Pel丨方程u2 - 2d2 二-1.P e ll方程的基础解为（《，0)= (1，1),由引理1(2)知P e ll方程的全部正整数解可由〇表出，其中(1+ V2 )2""' + (1 -V2 )2""*u =--------------------------,2 ，(1+V2 )2""' - (1 - V2 )2"-'v=---------------------------------------.i-fi同时，又由数列|c…丨和|6…|的比内公式得第2期高志贤，等：一些特殊不定方程的整数解23(1+72)2"-' + (1 -72)2n"(1+72)2n-' - (1 -72)2"-'--------------------------=262V2因此，A： = U = C…且y = ^ ，即定理得证.由定理7得到如下结果：定理8设y - a:三1(mod 3)且r a &1,则不定方程aT- 8广+ 16;cy + 8(；«- y) + 7= 0的所有正 整数解为 U，y) = (c n,/»…+|)•证明假设和y为不定方程的x2 - 8；y2+ 16a:y+ 8(x- y)+ 7 = 0正整数解.令u= ：»：，u= -—---，即：《 = “，7 = “ + 31；+1，再将；》：= “和7 = « + 3|；+1代人不定方程；>：2-872 + 16町 + 8(X-y)+ 7 = 0 中得u'-8(u + 3i;+ I)2+ 16u(u + 3t)+ 1) +S[u-(u+3v+1)] + 7= 0,整理得u2- Sv2-8i>-1= 0.由定理 7 知 it = c…，i; = 6…，即 x = u = c… , y = “ + 3j;+ 1= cn+ 36n+ 1= 6n+1•相反的，如果U, y) = (c…，6…+,)，由定理7和式（10)得cl ~ ^b2n+l +16c…6…tl + 8(c… -bn+l)+ 7 =4_ 8(c…+ + l)2+ 16c…(c… + 36… + 1) + 8[c… _ (c… + 36… + 1) ] + 7 =9c2n-72b2n-72bn-9 = 9(c2…-8b2n-8bn-1) = 0,即定理得证.由引理2和引理3得到如下结果.定理9 设n 3= 1,则不定方程a:2 + y2 - 6*y - 8 = 0的所有正整数解为（a:,y) = (cn，c n+1).证明不定方程;c2+y2- 6xy- 8 = 0 等价于不定方程（3y-x)2 - 2( 2y)2= 8，令 u= 3y-x，t; = 2y显然P e ll方程u2 -2t;2= l的基础解为（3, 2).令〇,，d,)为不定方程u2 -2«;2=8的基础解.由 引理3知，“丨和1)丨须满足不等式0<l u丨丨备4，0专&矣2，即-4矣U|矣4,0矣^^2，其中#0，从而基础解（U|,*;,)共有24种可能，其中只有这两种（±4, 2)是不定方程u2-2t;2=8的基 础解.由于（-4, 2)不是正整数解，则与它相关联的同一类解都不是正整数，那么不定方程u2-2i;2 =8满足条件的基础解只有一对，即（U|，V|)= (4, 2)，从而此不定方程的所有正整数解是由基础解 (u,,%) = (4, 2)和与它相关联的同一类解构成的.由引理2知，与基础解（Ul,力）=(4, 2)相关联的同一类解（u,,可由下列表示：、2、'34、、丨、"34、h-'20、U2J、2 3,U丨)、2 3y w,14, "34、v厂3 4)〔20)016) U3^、2 \K v2 )、2 3八1七182 yp o-p4)卜、+ 4^.；U J b3J U…-i J+ 3l,…-ly乂+丨、，34)M ，3“… + VUn+1J、23J U J y2un + 2>v n,24福建师范大学学报（自然科学版)2021 年因此 u…+, = 3u… + 4n+l 二2u… + •下面利用数学归纳法证明！^+1 = 3c n+l~ C n和\+i =:2cn+1 *当n = 1时，有 u2 = 3c2 - c, = 20 和2c2 = 14,此时成立.假设当n = m- 1时，有=3c m-c和、=2c…x^ n = mU m+\=3um+ =3(3cm -'C m-1)■^4(2c J =\lcm-3c m_!=■I7cm-3(6cm -C m+1)=:3c m+1 - c m,V m+ l=2um+ 3vm=2(3cm -C m-\)-^3(2c J =12cm-2cm m-,=12cm~2(6c,n - C m+1)=2cm+l，从而不定方程^-2^=8的所有正整数解为（u,t；)= (3c…+1-c…，2c…+,)(n&l)，因此= c…+,,3A： = y l；-u = 3c…+1 - (3c…+1 - c…) = c… .相反的，如果（*，；>〇= ((；…,^)，那么£；〖+匕-6£：人+|-8= 0.下用数学归纳法证明此性质.当r a = 1时恒等式显然成立，假设当r a = m时恒等式成立，当n=m+l时，由式（8)得C m+1 + C m+2 ~ 6cm+lC m+2 ~ 8 ~C m+l + (6cm+l~ C m)2~6cm+l(6cm+l~ C m)" 8 =C l,+ C m+1_6cm C m+l -8=0,即定理得证.由定理9,可得到定理10和定理11.定理10 设n&1，则不定方程8*2 -y2 - 8y - 8 =0的所有正整数解为U，y)= (C…,86…).证明假设*和y为不定方程8*2- 8y- 8 = 0的正整数解.令u=A：,2；= 3^+y + 4,即* = u，y=t i-3u-4,再将;c=u和 — 4 代入不定方程 - y2 — 8y - 8 = 0 中得8u2—(v —3u — 4)" - 8(u — 3u — 4) —8=0,整理得u2+ v2-6uv -8=0.由定理9知“=(：…，1；二(；…+1，即;《= “=(；…，7=1；-37-4=«；…+1-3(；…-4= 86….相反的，如果 (*, y) = (C…，86J，由定理 9 和式（12)得84-（8/〇2-8(86…) -8 =8c^ _ (cn+i _ 3c… _ 4)： _ 8(c…+i - 3cn - 4) - 8 =~ (cn+i+ cl ~+i-8) = 0,即定理得证.定理11 设n & 2,则不定方程*2+ /- 34外-288 = 0的所有正整数解为（*,y) = (c…_,，c…+1) •证明假设尤和y为不定方程W+ /-34*y -288 = 0的正整数解.由于不定方程V + /-34#-288 = 0 等价于方程U+ y)2- 36外-288 = 0，即36 I(* + y)2，从而 6 丨（a： + y) •令《=——1；=7,即》=:6(/_11，7 = 1；，再将：*::：611-1；和7=1)代人不定方程：*2+72_34；«：7_288 =0中6得(6u - v)1+ v2- 34(6u - v)v - 288 = 0,整理得u2+ v2- 6uv -8=0.由定理 9 知a = c...，t; = c...+1，B P尤=6a —i;= 6c... - c...+1 = y = r = c (1)相反的，如果U，c…+1)，由定理9和式（8)得C l-\+ C l+\~ ^C n-\C n+\ ~288 =(6cn-c n+l)2 + c2n+l - 34(6cn - c…+1)c n+1 - 288 =第2期高志贤，等：一些特殊不定方程的整数解2536(4 + 4+1 - 丨- 8) = 〇，即定理得证.结合定理9和定理11，可得到如下结果.定理12假设n > 1，则不定方程;c2 + 36y2 - - 288 = 0的正整数解为（i，y)= (6c n，(:n+1).证明假设a:和y为不定方程;c2 + 36y2 - 36xy- 288 = 0的正整数解•令u=A：-y，i；=y,即尤= a +汐，y=汐，再将a；=w+i;和y=i;代人不定方程；c2 + 36y2 - 36xy - 288 = 0中得(u + v)2 + 36v2- 36(a + v)v- 288 = 0,整理得w, + iT - 34iu> - 288 = 0.由定理 11 知 u = c…_i，i; = c…+i，艮fU = u + i; = c…_i+ c…+i = 6c…，y = i; = c…+1 •相反的，如果（％,y) = (6c…, c…+1)，由定理9得(6c J2 + 36c^+1 -36(6c j c n+1- 288 =36(4 + g+1 - 6c…c n+1 -8) = 0，即定理得证.参考文献：[1] BEHERA A, PANDA G K. 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不定方程精选题型（第一课时）一．例题精析：例1．一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管（进水管不关闭）．若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开40分钟．【分析】设出水管比进水管晚开x分钟，进水管的速度为y，出水管的速度为z，再根据进水量=出水量列出方程求解即可．解：例2．某果蔬饮料由果汁、疏菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为1：2：2，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为2：3．【分析】设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，设纯净水、果汁、疏菜汁按一定质量比为x：y；z，根据因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），可列出方程求解．解：例3．某班有若干人参加一次智力竞赛，共a、b、c三题，每题或者得满分或者得0分．其中题a、题b、题c满分分别为20分、30分、40分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，只答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，则这个班参赛同学的平均成绩是51分．【分析】设答对a的人数为x，答对b的人数为y，答对c 的人数为z，根据题意可得三元一次方程组，解出可得出x、y、z的值，进而算出参加竞赛的总人数，让总分数除以总人数即为竞赛的平均成绩．解：例4．山脚下有一个池塘，山泉以固定的流量向池塘里流淌，现在池塘中有一定的水，若一台A型抽水机1小时刚好抽完，若两台A型抽水机20分钟刚好抽完，若三台A型抽水机同时抽12分钟可以抽完．【分析】设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A 型抽水机每小时抽水量是x．根据一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b；根据用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，得×2x=a+b，用x表示a和b．设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再进一步根据3tx=a+bt求解解：二．课堂精练：1．古人对付秋燥的饮食良方：“朝朝淡盐水，晚晚蜂蜜水”．秋天即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%．当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%．那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，这个商人得到的总利润率为．2．我校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮．甲种花篮由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙种花篮由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成．丙种花篮由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成．这些花篮一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，则水仙花一共用了朵．3．冬季降至，贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件，无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏，“让冬天不冷让爱心永驻”，重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物，本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干，自愿者将所有衣物分成若干A、B、C类组合，由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区，一个A类组合含有60件棉衣，80件防寒服和50件羽绒服；一个B类组合含有40件棉衣，40件防寒服；一个C类组合含有40件棉衣，60件防寒服，50件羽绒服；求防寒服一共捐赠了件．三．课后巩固：1．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，每箱的成本分别为箱中ABC三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg，3kg，1kg，乙种方式每箱分别装A、B、C三种水果2kg，6kg，2kg．甲每箱的总成本是每千克A成本的12.5倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%，丙每箱在成本上提高40%标价后，打八折销售获利为每千克A成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，则销售的总利润率为．2．2018年9月，为鼓励学生努力学习，将来为国家作出更大贡献，重庆二外设立了“力宏奖学金”其中科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，后来经校长会研究决定，在奖项总奖金不变的情况下，各顶级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元．调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多元．3．A，B，C三种大米的售价分别为40元/kg、50元/kg、70元/kg，其中B，C两种大米的进价为40元/kg、50元/kg，经核算，三种大米的总利润相同，且A，B两种大米的销售量之和是C种大米之和的6倍，则A种大米的进价是．不定方程精选题型（第二课时）一．例题精析：例 1. 有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需 1.05元．【分析】等量关系为：3×铅笔的单价+7×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=3.15；4×铅笔的单价+10×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=4.2，把两个方程相减后乘3，再让第2个方程减去得到的方程可得购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需的钱数．例2．晨光文具店有一套体育用品：1个篮球，1个排球和1个足球，一套售价300元，也可以单独出售，小攀同学共有50元、20元、10元三种面额钞票各若干张．如果单独出售，每个球只能用到同一种面额的钞票去购买．若小面额的钱的张数恰等于另两种面额钱张数的乘积，那么所有可能中单独购买三个球中所用到的钱最少的一个球是60元．【分析】设50元、20元、10元的钞票分别有x、y、z张，然后根据总售价列出一个方程，再根据三者之间的关系列出一个方程组成三元一次方程组，整理消掉z，再根据x、y都是整数讨论求解即可．例3.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t=15．【分析】由于在某一时刻，货车在前，小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，所以设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为s千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c（千米/分），由过了10分钟，小轿车追上了客车可以列出方程10（a﹣b）=s，由又过了5分钟，小轿车追上了货车列出方程15（a﹣c）=2s，由再过t分钟，客车追上了货车列出方程（t+10+5）（b﹣c）=s，联立所有方程求解即可求出t的值．例4.一次数学比赛，有两种给分方法：一种是答对一题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对一题给3分，不答不给分，答错扣1分，用这两种方法评分，某考生都得81分，这张试卷共有22题．【分析】此题可以设答对a题，未答b题，答错c题未知数，列出方程组，进行推理可得：5a+2b=81①，40+3a﹣c=81②，由①②推出a的取值范围，并确定处a 的值，从而推出b、c的值，解决问题．二．课堂精练：1．某超市分两次购进一批月饼礼盒．第一次购买了A、B两种月饼礼盒，用去17670元；第二次购买了C、D两种月饼礼盒，用去11310元，其中A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，且A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同．若A、B两种礼盒的进价之和为315元，则该超市购进的这批礼盒一共有盒．2．我国的经济总量已居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量，现有一批货物，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运次（每辆车每次都满载重量）．3．今年是天猫双十一创立以来的第11年，现在，已经彻底改变了中国人这一天的生活．某商家为迎接双十一活动准备购进一批服装，清理库存有A，B，C三种服装，其中服装C的数量为总库存数的，根据市场预测再购进A，B，C三种服装的数量之比为5：4：7，则购进后A的总数量为购进后三种服装总量的，B的新购数量与购进后三种服装总数量之比为2：17，则购进后B的总数量与购进后C的总数量之比为．三．课后巩固：1．春节即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、两三种糖果，已知销售甲糖果的利润率为10%，乙糖果的利润率为20%，丙糖果的利润率为30%，当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为3：2：1时，商人得到的总利率为20%．那么当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为5：1：1时，这个商人得到的总利润率为．2．育德文具厂生产的一种文具套装深受学生喜爱，已知该文具套装一套包含有1个笔袋，2只笔，3个笔记本，巅峰文具超市向该厂订购了一批文具套装，需要厂家在15天内生产完该套装并交货．育德文具厂将员工分为A、B、C三个组，分别生产笔袋、笔、笔记本，他们于某天零点开始工作，每天24小时轮班连续工作（假设每小时工作效率相同），若干天后的零点A组完成任务，再过几天后（不少于一天）的中午12点B组完成低务，再过几天（不少于一天）后的6时C组完成任务．已知A、B、C三个组每天完成的任务数分别是270个、360个、360个，则巅峰文具超市一共订购了套文具套装．3．某水稻种植中心培育了甲、乙、丙三种水稻，将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里．去年，三种水稻的平均亩产量分别为300kg，500kg，400kg，总平均亩产量为450kg，且丙种水稻的的总产量是甲种水稻总产量的4倍，今年初，研究人员改良了水稻种子，仍按去年的方式种植，三种水稻的平均亩产量都增加了．总平均亩产量增长了20%，甲、丙两种水稻的总产量增长了30%，则乙种水稻平均亩产量的增长率为．不定方程精选题型（第三课时）一．例题精析：例1．购买甲7件，乙3件，丙4件商品共需25元．若购买甲5件，乙1件，丙商品2件共需13元．那么购买甲乙丙商品各一件需6元．【分析】先设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，然后根据题意列出方程，再解方程即可．例2．2015年5月18日华中旅游博览会在汉召开．开幕式上用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由3朵红花、2朵黄花和1朵紫花搭配而成，乙种花束由2朵红花和2朵黄花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了580朵红花，150朵紫花，则黄花一共用了430朵．【分析】题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=580朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=150朵．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆，用含x的代数式分别表示y、z，即可求出黄花一共用的朵数．例3．重庆修建园博园期间，需要A、B、C三种不同的植物，如果购买A种植物3盆、B种植物7盆、C种植物1盆，需付人民币315元；如果购买A种植物4盆、B种植物10盆、C种植物1盆，需付人民币420元；某人想购买A、B、C各1盆，需付人民币105元．【分析】设A种植物x元一盆、B种植物y元一盆、C种植物z元一盆，就可以得出3x+7y+z=315，4x+10y+z=420，再由这两个方程构成方程组，再解这个不定方程组求出其解即可．例4．一家小吃店原有三个品种的馄饨，其中菜馅馄饨售价为3元/碗，鸡蛋馅馄饨售价为4元/碗，肉馅馄饨售价为5元/碗，现该店新增了由上述三个品种搭配而成的混合馄饨，每碗都有10个馄饨．那么共有3种搭配得到定价是3.8元的混合馄饨（每种馄饨至少有一个）．【分析】设菜馅馄饨x个，鸡蛋馅馄饨y个，鸡蛋馅馄饨z 个，根据题意列出方程组，解方程组即可．二．课堂精练：1．过年了，甲、乙、丙三人相约去买坚果，甲买了3袋A 坚果、3袋B坚果和1袋C坚果，乙买了4袋A坚果、1袋B坚果和1袋C坚果，丙买了3袋B坚果和7袋C坚果．三人结账时发现：甲和乙总共消费200元，丙比乙多消费100元，如果A、B、C三种坚果各3袋组合成坚果礼盒出售，每种坚果均可在原价的基础上打九折，则每盒坚果礼盒的售价是元．2. 甲、乙、丙三人到商店去买东西，每人都花了整数元，他们一共花了32元．甲、乙两人花费的差额（即两人所花钱的差的绝对值，下同）是19元，乙、丙两人花费的差额是7元，甲、丙两人花费的差额是12元，则甲花费了21元．【分析】由于19=7+12，则分两种情况：1、甲比乙少19，则乙比丙多7元，甲比丙少12元，2、甲比乙多19，则乙比丙少7元，甲比丙多12元，进而得出答案．3．现有甲、乙、丙三种含铜比例不同的合金．若从甲、乙、丙三种合金中各切下一块重量相等的合金，并将切下来的三块合金放在一起熔炼后就成为含铜量为12%的合金；若从甲、乙、丙三种合金中按3：2：5的重量之比各切取一块，将其熔炼后就成为含铜量为9%的合金．那么若从甲、乙两种合金中按重量之比为2：3各切取一块将其熔炼后的合金的含铜百分比是18%．【分析】设甲合金含铜量为x%、乙合金含铜量为y%、丙合金含铜量为z%．则依据“三块合金放在一起熔炼后就成为含铜量为12%的合金、甲、乙、丙三种合金中按3：2：5的重量之比各切取一块，将其熔炼后就成为含铜量为9%的合金．”列出方程组并解答．三．课后巩固：1．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需630元；若购甲4件，乙10件，丙1件共需840元，现购甲、乙、丙各一件共需210元．【分析】假设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元．列方程组得：，然后求得x+y+z的值．2．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需150元钱．【分析】设出购甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解．3．某商店将录音机、钢笔、书包三种物品降价促销．若购买录音机3台，钢笔6支，书包2个，共需302元；若买录音机5台，钢笔11支，书包3个，共需508元．则购买录音机1台、钢笔1支、书包1个共需96元．【分析】设收录机、钢笔和书包三种物品的单价分别为x、y 和z元，继而根据购买收录机3台，钢笔6支，书包2个共需302元，购买收录机5台，钢笔11支，书包3个共需508元，列出方程组，进而求解即可．第一课时参考答案与试题解析1．古人对付秋燥的饮食良方：“朝朝淡盐水，晚晚蜂蜜水”．秋天即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%．当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%．那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，这个商人得到的总利润率为19%．【分析】设甲、乙、丙三种蜂蜜的进价分别为a、b、c，丙蜂蜜售出瓶数为cx，则当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为ax、3bx；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为3ax、2bx；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为5ax、6bx；列出方程，解方程求出，即可得出结果．【解答】解：设甲、乙、丙三种蜂蜜的进价分别为a、b、c，丙蜂蜜售出瓶数为cx，由题意得：，解得：，∴＝＝＝19%，故答案为：19%．2．我校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮．甲种花篮由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙种花篮由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成．丙种花篮由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成．这些花篮一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，则水仙花一共用了440朵．【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，然后变形，即可求得水仙花一共用了多少朵．【解答】解：设甲种花篮a个，乙种花篮b个，丙种花篮c个，，化简，得，（①+②）×4，得16a+8b+12c＝440，∵水仙花一共用了：16a+8b+12c，∴水仙花一共用了440朵，故答案为：440．3．冬季降至，贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件，无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏，“让冬天不冷让爱心永驻”，重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物，本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干，自愿者将所有衣物分成若干A、B、C类组合，由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区，一个A类组合含有60件棉衣，80件防寒服和50件羽绒服；一个B类组合含有40件棉衣，40件防寒服；一个C类组合含有40件棉衣，60件防寒服，50件羽绒服；求防寒服一共捐赠了14600件．【分析】根据题意，可以先设A类组合x个，B类组合y 个，C类组合z个，然后根据题意可以列出三元一次方程组，从而可以得到x、z与y的关系，然后即可求得需要防寒服多少件，本题得以解决．【解答】解：设A类组合x个，B类组合y个，C类组合z 个，，化简，得，∴需要的防寒服为：80x+40y+60z＝80（280﹣2y）+40y+60（2y﹣130）＝22400﹣160y+40y+120y﹣7800＝14600，故答案为：14600．4．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，每箱的成本分别为箱中ABC三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg，3kg，1kg，乙种方式每箱分别装A、B、C三种水果2kg，6kg，2kg．甲每箱的总成本是每千克A成本的12.5倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%，丙每箱在成本上提高40%标价后，打八折销售获利为每千克A成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，则销售的总利润率为23.6%．【分析】分别设每千克A、B、C三种水果的成本为x、y、z，设丙每箱成本为m，然后根据题意将甲、乙、丙三种方式的每箱成本和利润用x表示出来即可求解．【解答】解：设每千克A、B、C三种水果的成本分别为x、y、z，依题意得：6x+3y+z＝12.5x，∴3y+z＝6.5x，∴每箱甲的销售利润＝12.5x•20%＝2.5x乙种方式每箱成本＝2x+6y+2z＝2x+13x＝15x，乙种方式每箱售价＝12.5x•（1+20%）÷（1﹣25%）＝20x，∴每箱乙的销售利润＝20x﹣15x＝5x，设丙每箱成本为m，依题意得：m（1+40%）•0.8﹣m＝1.2x，解得m＝10x．∴当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，总成本为：12.5x•2+15x•3+10x•3＝100x，总利润为：2.5x•2+5x•3+1.2x•3＝23.6x，销售的总利润率为＝23.6%，故答案为：23.6%．5．2018年9月，为鼓励学生努力学习，将来为国家作出更大贡献，重庆二外设立了“力宏奖学金”其中科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，后来经校长会研究决定，在奖项总奖金不变的情况下，各顶级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元．调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多370元．【分析】设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x﹣80）元，二等奖为（y﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．构建方程组，求出x﹣y即可解决问题．【解答】解：设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x﹣80）元，二等奖为（y ﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．由题意：，整理得，∴x﹣y＝400，∴调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多：（x﹣80）﹣（y﹣50）＝x﹣y﹣30＝370（元），故答案为370．6．A，B，C三种大米的售价分别为40元/kg、50元/kg、70元/kg，其中B，C两种大米的进价为40元/kg、50元/kg，经核算，三种大米的总利润相同，且A，B两种大米的销售量之和是C种大米之和的6倍，则A种大米的进价是35．【分析】可设A种大米的进件是m元/kg，且A种大米销售了xkg，B大米销售了ykg，则C大米销售了（x+y）kg，根据三种大米的总利润相同，列出方程．先解方程得出x ＝3y，从而求出m的值．【解答】解：设A种大米的进件是m元/kg，且A种大米销售了xkg，B大米销售了ykg，则C大米销售了（x+y）kg，三种大米每千克的利润分别是（40﹣m）元、10元、20元，根据题意知：10y＝（40﹣m）x＝20×（x+y），即由10y＝（x+y），解得x＝2y，代入10y＝（40﹣m）x中，解得m＝35．故答案为：35．第二课时1．某超市分两次购进一批月饼礼盒．第一次购买了A、B 两种月饼礼盒，用去17670元；第二次购买了C、D两种月饼礼盒，用去11310元，其中A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，且A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同．若A、B两种礼盒的进价之和为315元，则该超市购进的这批礼盒一共有184盒．【分析】根据A、B两种礼盒的进价之和为315元，设A 种月饼礼盒的进价为x元/盒，可以表示B种月饼礼盒的进价，因为A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同，可以表示C和D礼盒的进价，根据A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，再设两个未知数表示A种月饼礼盒和B种月饼礼盒，列方程组，根据题意可知：只要知道2y+2z的值就可以，因此将方程组相加可得结论．【解答】解：设A种月饼礼盒的进价为x元，则B种月饼礼盒与C种礼盒的进价都是（315﹣x）元，D种月饼礼盒的进价为x元，设购进y盒A种月饼礼盒，z盒B种月饼礼盒，则购进y 盒C种月饼礼盒，z盒D种月饼礼盒，根据题意得：，化简得：，①+②得：315z+315y＝28980，y+z＝92，∴2y+2z＝184，答：则该超市购进的这批礼盒一共有184盒．故答案为：184．2．我国的经济总量已居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量，现有一批货物，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运8次（每辆车每次都满载重量）．【分析】设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意列出方程组解得x便可．【解答】解：设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C 型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意得，，②﹣①，得9a＝3c，∴a＝c，。

不定方程组的通解一、引言在数学中，方程是研究数量关系的基本工具之一。

方程可以分为线性方程和非线性方程两大类。

而不定方程组则是非线性方程组的一个重要分支。

不定方程组是指含有未知数的多个方程的集合，其解满足所有这些方程。

本文将介绍不定方程组的通解及其求解方法。

首先会对不定方程组进行定义和分类，并介绍一些常见的不定方程组问题。

然后会详细介绍如何求解一般形式的不定方程组，并给出具体示例。

最后会总结本文所介绍的内容，并展望不定方程组在数学中的应用。

二、定义和分类2.1 定义不定方程组是指含有未知数的多个方程的集合，其解满足所有这些方程。

2.2 分类根据未知数和系数之间的关系，不定方程组可以分为以下几类：2.2.1 线性不定方程组线性不定方程组是指所有未知数都只有一次幂，并且系数都是常数的情况。

例如：3x + 4y = 75x - 2y = 12.2.2 二次不定方程组二次不定方程组是指至少有一个未知数的平方项，并且系数可以是常数或者其他未知数的情况。

例如：x^2 + y^2 = 25x^2 - y = 72.2.3 指数不定方程组指数不定方程组是指至少有一个未知数的指数项，并且系数可以是常数或者其他未知数的情况。

例如：3^x + 4^y = 135^x - 2^y = 9三、求解方法3.1 线性不定方程组的通解求解方法线性不定方程组的通解求解方法主要有以下几种：3.1.1 列主元素消去法列主元素消去法是线性代数中常用的一种求解线性方程组的方法。

通过选取系数矩阵中每一列中绝对值最大的元素作为主元，然后进行消去操作，最终得到行简化阶梯形矩阵。

根据行简化阶梯形矩阵可以直接得到线性方程组的通解。

3.1.2 克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法。

通过构造增广矩阵，并计算系数矩阵和常数向量的行列式，可以得到线性方程组的解。

3.1.3 矩阵求逆法矩阵求逆法是一种利用矩阵的逆求解线性方程组的方法。

通过将系数矩阵和常数向量构造成增广矩阵，然后求出系数矩阵的逆矩阵，最后将逆矩阵与常数向量相乘，可以得到线性方程组的解。

不定方程的解法研究摘 要：本文研究了一次不定方程，并从二元到n 元给出了一次不定方程有解的充要条件和几种不定方程的基本求解方法。

其中首先给出了不定方程的定义和通解公式，然后举例应用辗转相除法、整数分离法、Euler 函数法、解同余式法、矩阵解法、整消法变换解决了不定方程的求解问题。

由本文看出，解不定方程的关键就是求出不定方程的特解。

关键词：不定方程 ;通解 ;Euler 函数 ；初等整数矩阵 ;解法1引言及有关基础知识不定方程是变数个数多于方程个数，且取整数值的方程.不定方程是数论中最古老的一个分支，我国古代数学家在这方面的研究内容极为丰富，在数学史上占有重要地位。

1969年“不定方程之王”L.Jmordell 系统的总结了当时的成果，写成了著名的《丢番图方程》（Diphantine Equations,Adcmic Press ）。

1950 年，著名的数学家柯召和孙琦在我国出版了第一部专门研究不定方程的专著《谈谈不定方程》（上海教育出版社）。

在这两部专著的基础上，曹珍富于1987年完成了全面总结与系统研究不定方程的成果和方法的手稿《丢番图方程引论》，并于1989年由哈尔滨工业大学出版社出版.最近十余年，不定方程不仅自身的发展异常活跃，而且全面应用于其他各个领域，例如，计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、信号的数字处理、计算方法等领域有着广泛的运用，所以数论又成为现在数学界的热门课题.[1]本文主要研究了一次不定方程和不定方程的几种解法.并利用辗转相除法、整数分离法、Euler 函数法、解同余式法、矩阵解法解决了不定方程的求解问题.不定方程的整数解问题是数论的一个重要课题，在现实生活中，该问题有很强的实用意义。

不定方程的概念、有解条件及通解公式［2］定义1：设整数2≥n ，c ，1a ,n a a ,2是整数,且n a a a ,,21都不等于零，n x x x ,,21是整数变数，方程c x a x a x a n n =+++ 2211（1)n 元一次不定方程，n a a a ,,21称为它的系数。

数论的一个分支，它有悠久的历史与丰富的内容。

所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数等的方程或方程组，一般来说，其未知数的个数多于方程的个数。

古希腊数学家丢番图于 3世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程。

1969年，L.J.莫德尔的专著《丢番图方程》，较系统地总结了这方面的研究成果。

近十多年来，这个领域更有重要进展。

虽然如此，从整个地说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。

另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支仍然并将继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。

一次不定方程最简单的一次不定方程是二元一次不定方程(1)式中α1,α2，n是给定的整数，α1α2≠0。

在17世纪,已经知道方程(1)有整数解的充分必要条件是(α1,α2)能整除n，并当(1)有解时，可用辗转相除法来求(1)的一组解。

设(α1,α2)=1，则(1)的全部整数解可表为(2)式中x0,y0为(1)的一组解,t为任意整数。

称(2)为方程(1)的通解。

（1）式的复解对于不定方程：AX-BY=1.我们知道，只要（A,，B）=1，就必然有整数解。

猜想：当A<B时，有解X，Y。

当A>B时，X与Y互换位置。

即：AX-BY=1，A'Y-BX=1；A<B<A'。

是否也有X，Y的共同解。

例如：A<B时：B=17，A=7时，X=5，Y=2.。

即：7×5-17×2=1。

A>B时即A'>B：B=17，A=43时，X=5，Y=2。

即：43×2-17×5=1。

目前没有发现反例。

例如：1，B=5，A=3，A'=11，X=2，Y=1.即3×2-5×1=1；11×1-5×2=1。

不定方程的所有解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不定方程是指含有未知数的方程，且未知数的值不受限制，可以是整数、分数、无理数等。

解不定方程的方法有很多种，根据方程的形式和要求选择不同的解法。

本文将介绍不定方程的所有解法，包括质因数分解法、辗转相除法、模运算法、裴蜀定理、试错法等各种方法。

1. 质因数分解法对于形如ax+by=c的不定方程，可以通过质因数分解的方法来求解。

首先分别对a和b进行质因数分解，得到a=p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，b=q1^b1 * q2^b2 * ... * qm^bm。

然后利用质因数分解的特性，可知如果c不能被a和b的所有质因数整除，那么方程就无整数解；如果c能被a和b的所有质因数整除，那么方程就有整数解。

这个方法在求解一些简单的不定方程时很有效。

2. 辗转相除法辗转相除法又称为欧几里德算法，用于求两个整数的最大公约数。

对于形如ax+by=c的不定方程，可以先利用辗转相除法求出a和b的最大公约数d，然后如果c能被d整除，就存在整数解；如果不能被d整除，那么方程就无解。

这个方法比较简单，但只适用于求解一次不定方程。

3. 模运算法模运算法是一种基于模运算的解法，对于形如ax≡b(mod m)的不定方程，可以通过求解同余方程得到解。

将方程转化为标准形式ax-my=b，然后求解同余方程ax≡b(mod m)，如果方程有解，则可以通过一些变换得到原方程的解。

这个方法适用于求解模运算的不定方程。

4. 裴蜀定理裴蜀定理也称为贝祖定理，是解一元不定方程的重要方法。

对于形如ax+by=c的不定方程，根据裴蜀定理，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程有整数解。

此时可以通过扩展欧几里德算法求出一组解，然后通过变换得到所有解。

这个方法适用于求解一元不定方程的情况。

5. 试错法试错法是一种通过列举所有可能解，然后逐一验证的方法。

对于一些简单的不定方程，可以通过试错法找到所有整数解。

探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。

我们讨论二元一次方程的整数解。

The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。

一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。

如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。

定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。

通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。

第二十二讲 不定方程【趣题引路】有三对夫妻一同上商店买东西.男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、•姓赵、姓尹。

他们每人只买一种商品，并且每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价(元数).现在知道每一个丈夫都比他的妻子多花63元,并且孙先生所买的商品比赵女士多23件,金先生所买的商品比李女士多11件,问孙先生、陈先生、金先生的爱人各是谁？ 解析 设丈夫买了x 件商品,妻子买了y 件商品,则得不定方程x 2-y 2=63. 即(x+y)(x-y)=63=63×1=21×3=9×7.可得方程组111163,1;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 222221,3;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 33339,7;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解得1132,31;x y =⎧⎨=⎩ 2212,9;x y =⎧⎨=⎩ 338,1.x y =⎧⎨=⎩ 根据条件“孙先生所买的商品比赵女士多23件”,可确定x 1•为孙先生买的商品数,y 2为赵女士买的商品件数;再根据条件“金先生所买的商品比李女士多11件”,•可确定x 2为金先生所买的商品件数,y 3为李女士买的商品件数.由此可判断出孙先生和尹女士为夫妻,金先生和赵女士是夫妻,陈先生和李女士是夫妻.【知识延伸】不定方程是整数论中最古老的一个分支,•古希腊数学家刀番图就研究过这样的方程. 不定方程(组)指未知数的个数多于方程的个数的方程(组).这类方程解法灵活,内涵丰富,综合性强.解决这类问题,需要根据方程的具体特点进行分析,•还要运用特殊的方法和技巧. 例1 已知a 是质数,b 是奇数,且a 2+b=2 003,求a+b 的值.解析 ∵a 2+b=2 003,∴a 2=2 003-b,又∵b 是奇数,则2 003-b 是偶数,∴a 2是偶数.故a 是偶数,而a 又是质数,∴a=2,∴b=1 999.∴a+b=2+1 999=2 001.点评此题应用了奇偶数分析法解决问题.例2 已知a,b,c满足方程组28,48.a b ab c +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,试求方程bx 2+c x-a=0的根. 解析 ∵a+b=8,ab -c 2+8 =48,∴ab=c 2-c+48.故a,b是方程y2-8y+c2-+48=0的两根.即(y-4)2-(c-)2=0.∴即.方程即为4x2x-4=0,即x2x-1=0.∴x1,2=.2在初中阶段涉及的不定方程问题,通常有两种基本的解题思路:(1)•运用整数的若干基本性质;(2)运用初中的基本知识与基本方法,如因式分解,配方,•根的判别式与根与系数之间的关系,不等关系等,一般具体操作时,•常综合运用两个基本方法解决有关不定方程的问题. 点评此题采用构造一元二次方程的方法求得解.【好题妙解】佳题新题品味例1已知)=2002,求x2-3xy-4y2-6x-6y+58的值.解析∵)=2002,∴=①+②,得x+y=-(x+y).∴x+y=0.∴x2-3xy-4y2-6x-6y+58=(x-4y)(x+y)-6(x+y)+58=58.点评把x+y看成一个整体代入原式求解,是整体求解的运用.例2 已知a、b、c、d均为正整数，且a5=b4,c3=d2,a-c=65,求b-d的值。

【风雨数学小升初讲座14】不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。

②有解时决定解的个数。

③求出所有的解。

中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。

百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何”。

设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。

赛题中的不定方程以及用不定方程解的应用题，较多的是一个方程中含有两个或三个未知数，主要是让学生会用字母表示数，按题意列出不定方程，然后根据题中的限制条件，求出符合题意的整数解。

解不定方程的方法很多，根据小学生的知识水平，通常应用下面几种思考方法。

如求5x＋4y＝22的整数解，这个方程中有两个未知数，是二元一次不定方程。

（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。

以上文所说的不定方程为例。

由5x＋4y＝22，得到5x＝22－4y，可知5x能被2整除。

因为5x≤22，x≤4，所以x只可能是0，2或4（在小学范围内不考虑负整数的情况）。

当x＝2时，y＝3；当x＝0或4时，y不是整数，所以不定方程的正整数解是x＝2，y＝3（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。

由5x＋4y＝22，得到5x＝22－4y。

因为5x的末位数字是0或5，22－4y的末位数字必定是0或5，从而4y的末位数字只可能是2或7。

但不管y取什么整数，4y的末位数字不可能是7，所以4y的末位数字是2，y只可能取3或8。

又y不大于5，所以y＝3，由此得x＝2。

（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。

7．不定方程A 卷1．若⎩⎨⎧==00y y x x 是二元一次不定方程ax + by = c （其中（a 、b ）=1）的一组整数解，则ax + by = c 的所有整数解为____________。

2．方程 6x + 22y = 90的非负整数解为___________。

3．方程 9x + 24y – 5z = 1000的整数解为___________。

4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(100533)1(100z y x z y x 的非负整数解为______________。

5．方程(x – a )(x – 8 ) – 1 = 0有两个整数根，则a 的值是___________。

6．方程0652=--xy x 的整数解为___________。

7．方程xy – 10 (x + y ) = 1的整数解为_____________。

8．满足x > y > 0 且x y y x 7733+=+的整数x = __________，整数y = _____________。

9．不定方程 8822=-y x 的整数解是____________。

10．（1）方程z x y =+1的质数解是__________；（2）方程a zy x =++111（其中a 是整数x 、y 、z 互不相等）的正整数解是___________； （3）方程2009=+y x 的整数解是____________。

（4）方程625.202222=+++d c b a 的整数解是____________。

B 卷1．不定方程22222b a c b a =++的所有整数解是____________。

2．对于正整数a 和b ，方程b a b a y x y x=++的所有正整数解是_____________。

3．方程22225)36(6n c b a =++的所有整数解是____________。

4．方程组⎩⎨⎧=++=--1979206222z y x z y x 的所有正整数解是____________。

3．2 不定方程的常用解法对于高次不定方程，求出其通解然后再讨论有时是不现实的，因为我们甚至还没有找到判别一个高次不定方程是否有解的统一方法，当然要求出通解就更难了．或许正是因为没有统一的方法来处理高次不定方程，对具体的问题往往有许多方法来处理，并且每一种方法都表现出一定的创造性，所以，高次不定方程的问题频繁在数学竞赛中出现．当然，结合整除与同余的一些理论，求解高次不定方程也有一些常见的处理思路和解决办法． 一、因式分解法将方程的一边变为常数，而含字母的一边可以进行因式分解，这样对常数进行素因数分解后，对比方程两边，考察各因式的每种取值情况就可将不定方程变为若干个方程组去求解．这就是因式分解法处理不定方程的基本思路．例1 求方程()101xy x y －＋＝ ① 的整数解．解：利用十字相乘，可将①变形为()()1010101x y －－＝ 而101为素数，故()1010x y －，－＝（1，101），（101，1），（－1，－101），（－101，－1）． 分别求解，得方程的整数解为()x y ，＝（11，111），（111，11），（9，－91），（－91，9）． 例2 是否存在整数x 、y 、z ，使得44422222222224x y z x y y z z x ＋＋＝＋＋＋？解：若存在整数x 、y 、z 满足条件，则()22222244424222x y y z z x x y z －＝＋＋－＋＋ ＝()()22222242224x yx y z z x y－＋＋＋－＋＝()2222224x y zxy －＋－＋＝()()22222222xy x y z xy x y z ＋＋－－－＋＝()()()()2222x y z z x y ＋－－－＝()()()()x y z x y z z x y y z x ＋＋＋－＋－＋－，这要求－24能表示为4个整数x y z ＋＋，x y z ＋－，z x y ＋－，y z x ＋－的乘积的形式，而这4个数中任意两个数之差都为偶数，故这4个数具有相同的奇偶性，由－24为偶数，知它们都是偶数，但这要求42|24，矛盾． 所以，不存在符合要求的整数．说明 熟悉海伦公式的读者可以一眼看穿问题的本质．事实上，ABC S ∆a 、b 、c 为△ABC的三边长，这就是海伦公式．根号里面的式子展开后就是222a b ＋222b c ＋222c a －4a －4b －4c ．例3 求所有的正整数对（m ，n ），使得5471mn n ＋＝－． ①解：将①移项后作因式分解，得()545433711m n n n n n n ＝＋＋＝＋＋－－ ＝()()()322111n n n n n n ＋＋－－＋＋＝()()3211n n n n －＋＋＋ ② 由①知n ＞1，而n ＝2时，可得m ＝2．下面考虑n ＞2的情形，我们先看②式右边两个式子的最大公因数．()()()()32322111111n n n n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋－＋＋＋－，＋＝()()()()22212123n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋＋＋＋－＋，＋ ＝()27n －＋，．故()3211|7n n n n －＋，＋＋．结合②式知31n n －＋与21n n ＋＋都是7的幂次，而它们在n ≥3时，都大于7，这导致 ()()2327|11n n n n －＋＋＋，与前所得矛盾．综上可知，只有（m ，n ）＝（2，2）符合要求．说明 对①式变形后，所得②式两边符合因式分解方法解不定方程的套路，但7m并不是一个常数，这里需要有另外的方法来处理才能继续下去．活学活用方能攻城拔寨．二、配方法配方是代数变形中的常见方法，在处理不定方程的问题时还可综合利用完全平方数的特性，因此配方法在求解不定方程时大有用武之地．例4 求不定方程2234335x xy y －＋＝的全部整数解． 解：对方程两边都乘以3，配方后即得()22325105x y y －＋＝． ①由①式得 25105y ≤， 所以 4y ≤．当4y ＝时，325x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（1，4），（―1，―4）． 当1y ＝时，3210x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（4，1），（―4，―1）．当023y ＝，，时，()232x y －分别为105，85，60 ．此时，所得的方程组显然无整数解． 上面的讨论表明，原方程有4组解：（x ，y ）＝（4，1），（1，4），（―4，―1），（―1，―4）． 例5 求方程2432x x y y y y ＋＝＋＋＋的整数解．解：同上例，对方程两边同乘以4，并对左边进行配方，得()()24322141x y y y y ＋＝＋＋＋＋． ①下面对①式右端进行估计．由于()43241y y y y ＋＋＋＋ ()222212y y y y ＝＋＋－＋ ()2222341y y y y ＝＋＋＋＋， 从而，当y ＞2或y ＜－1时，有()()()2222222121y y x y y ＋＜＋＜＋＋．由于22y y ＋与22y y ＋＋1是两个连续的整数，它们的平方之间不会含有完全平方数，故上式不成立． 因此只需考虑当－1≤y ≤2时方程的解，这是平凡的，容易得到原方程的全部整数解是 （x ，y ）＝（0，－1），（－1，－1），（0，0）（－1，0），（－6，2），（5，2）． 例6 求所有的正整数n ≥2，使得不定方程组22121222232322112211501612501612501612501612n nn n nn x x x x x x x x x x x xx x x x ⎧⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎩－－＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋ 有整数解．解：移项后配方，方程组变形为()()()()()()()()122122223221221850850850850n n n n x x x x x x n x x ⎧⎪⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎪⎩－－－＋－6＝， ①－＋－6＝， ②－＋－6＝， －＋－6＝．由于50表示为两个正整数的平方和只有两种：2222501755＝＋＝＋，所以，由①知261x －＝、5或7，而由②知281x －＝、5或7，从而21x ＝、7、13．进一步，可知对每个1≤i ≤n ，都有1i x ＝，7或13，依11x ＝、7、13 ，分三种情况讨论． 若11x ＝，则由①知27x ＝，再由②知313x ＝，依次往下递推，可知当()1mod3k ≡时，1k x ＝；当()2mod3k ≡时，7k x ＝；当()0mod3k ≡时，13k x ＝．所以，由第n 式，知当且仅当()11mod3n ≡＋时，原方程组有整数解，即当且仅当3|n 时，n 符合要求．对另外两种情况17x ＝和113x ＝同样讨论，得到的条件是一样的． 综上可知，满足条件的n 是所有3的倍数．说明 进一步讨论可知，当3|n 时，方程组恰有3组整数解．三、不等式估计利用不等式的知识，先确定不定方程中的某个字母的范围，然后逐个枚举得到所有解，这个方法称为不等式估计，它也是我们处理不定方程的常见方法．当然，如果能够恰当地利用字母的对称性等，那么作不等式估计时会简洁很多．例7 求不定方程3361x y xy －＝＋的正整数解．解：设（x ，y ）为方程的正整数解，则x ＞y ．设x ＝y ＋d ，则d 为正整数，且()()3361y d y y d y ＋＋＝＋－22333dy yd d ＝＋＋，即有 ()()23313161d y d d y d －＋－＋＝．故 361d ＜， 于是 3d ≤． 分别令1d ＝、2、3代入，得222161y y ＋＋＝， 2510861y y ＋＋＝， 28242761y y ＋＋＝．只有第一个方程有整数解，并由y 为正整数知y ＝5，进而x ＝6．所以，原方程只有一组正整数解（x ，y ）＝（6，5）． 例8 求所有的正整数a 、b ，使得22444aa b ＋＋＝． ①解：若（a ，b ）是满足①的正整数数对，则2b 为偶数，且24ab ＞，从而b 为偶数，且2ab ＞，故22ab ≥＋．于是()22244422a aa b ＋＋＝≥＋4a ＝＋4·2a ＋4，知22aa ≥，可得4a ≤（对a 归纳可证：当5a ≥时，有22aa ＜）．分别就a ＝1，2，3，4代入①式，可得方程的所有正整数解为（a ，b ）＝（2，6）或（4，18）．例9 求所有的正整数数组（a ，b ，c ，x ，y ，z ），使得a b c xyz x y z abc ⎧⎨⎩＋＋＝，＋＋＝，这里a b c ≥≥，x y z ≥≥．解：由对称性，我们只需考虑x a ≥的情形．这时 33xyz a b c a x ＝＋＋≤≤， 故 3yz ≤，于是 （y ，z ）＝（1，1），（2，1），（3，1）．当（y ，z ）＝（1，1）时，a b c x ＋＋＝且2x abc ＋＝，于是 2abc a b c ＝＋＋＋． 若2c ≥，则2324a b c a a abc ＋＋＋≤＋≤≤， 等号当且仅当2a b c ＝＝＝时成立．若1c ＝，则3ab a b ＝＋＋， 即 ()()114a b －－＝，得 （a ，b ）＝（5，2），（3，3）．当（y ，z ）＝（2，1）时，2266abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，与上述类似讨论可知c ＝1，进而()()212115a b －－＝，得 （a ，b ）＝（3，2）． 当（y ，z ）＝（3，1）时，331212abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，类似可知，此时无解．综上所述，可知（a ，b ，c ，x ，y ，z ） ＝（2，2，2，6，1，1），（5，2，1，8，1，1），（3，3，1，7，1，1）， （3，2，1，3，2，1），（6，1，1，2，2，2），（8，1，1，5，2，1）， （7，1，1，3，3，1）．说明 此题中如果没有条件a ≥b ≥c 和x ≥y ≥z ，也需要利用对称性作出这样的假设后再处理，解题中利用对称性假设x ≥a 是巧妙的，这样问题就转化为只有3种情况而便于处理了．四、同余方法若不定方程()120n F x x x ，，…，＝有整数解，则对任意的*m N ∈，其整数解（1x ，2x ，…，n x ）均满足()()120mod n F x x x m ≡，，…，．运用这一条件，同余可以作为不定方程是否有整数解的一块试金石． 例10 证明：不定方程22386x y z ＋－＝ ①没有整数解．证明 若（x ，y ，z ）是方程①的整数解，对①的两边模2，可知x 、y 同奇偶；再对①两边模4可知x 、y 都为奇数，于是()221mod8x y ≡≡，这要求6()22382mod8x y z ≡＝＋－，矛盾．故方程①没有整数解．说明 利用同余方法解不定方程问题时，选择恰当的数作为模是十分重要的，它不仅涉及问题解决的繁简程度，重要的是能否卡住字母的范围或导出矛盾． 例11 求所有的非负整数x 、y 、z ，使得223xyz ＋＝． ①解：（1）当y ＝0时，有()()22111xz z z ＝－＝－＋，于是可设 2z α－1＝，2z β＋1＝，0αβ≤≤，因此 222βα－＝．此时，若2α≥，则4|22βα－，与42矛盾，故1α≤．而0α＝导致23β＝，矛盾，故1α＝，2β＝，所以 z ＝3，x ＝3，得 （x ，y ，z ）＝（3，0，3）（2）当y ＞0时，由于323xy＋，故3z ，所以 ()21mod3z ≡．对①两边模3，知()()11mod3x≡－， 故x 为偶数，现在设x ＝2m ，则 ()()223mmyz z －＋＝，所以可设 23mz α－＝，23m z β＋＝，0αβ≤≤，y αβ＋＝， 于是 1332m βα＋－＝，若α≥1，则3|33βα－，但132m ＋，矛盾，故α＝0，因此1312m β＋－＝． 当m ＝0时，β＝1，得（x ，y ，z ）＝（0，1，2）； 当m ＞0时，()120mod4m ＋＝，故 ()31mod4β＝， 这要求β位偶数，设β＝2n ，则()()122313131m n n n ＋＝－＝－＋， 同y ＝0时的讨论，可知 312n－＝，即n ＝1，进而m ＝2，得 （x ，y ，z ）＝（4，2，5）． 所以（x ，y ，z ）＝（3，0，3），（0，1，2），（4，2，5）．例12 设m 、n 为正整数，且n ＞1，求25m n －的最小值．解：由于25m n －为奇数，而m ＝7，n ＝3时，253m n －＝，故若能证明n ＞1时，251m n －≠，则所求的最小值为3．若存在正整数m 、n ，使得n ＞1，且251m n －＝，则251m n －＝或251m n－＝－． 如果251mn－＝，那么m ≥3，两边模8，要求()57mod8n ≡， 但对任意正整数n ，51n≡或()5mod8，矛盾，故251mn－＝不成立． 如果251m n－＝－，那么由n ＞1，知m ≥3．两边模8，得 ()51mod8n≡，可知n 为偶数．设n ＝2x ，x 为正整数，则 ()()25151m x x ＝－＋， 由于51x－与51x＋是两个相邻偶数，这要求512x －＝，514x＋＝， 不可能．所以，25mn－的最小值为3．说明 上面的两个例子都用到了一个结论：两个差为2的正整数之积为2的幂次，则这两个数只能为2和4．该结论在例11的前半段解答中已予以证明．五、构造法有些不定方程的问题只需证明该方程有解或有无穷多个解，这时经常采用构造法来处理． 例13 证明：方程253x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．证明 取15102k x ＋＝，642k y ＋＝，1072k z ＋＝，k 为非负整数，则这样的x 、y 、z 满足253x y z ＋＝，所以方程有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．另证 先求方程的一组特解，易知x ＝10，y ＝3，z ＝7 是方程253x y z ＋＝的一组解．因而1510k x a ＝，63k y a ＝，107k z a ＝（a ，k 为非负整数）是方程的解．例14 证明：对任意整数n ，方程222x y z n ＋－＝ ①证明 现有命题“当m 为奇数或4的倍数时，方程22a b m －＝有整数解（a ，b ）”，它对解决本题是有用的．这个命题基于下面2个恒等式：()22121k k k ＋－＝＋，()()2214k k k ＋－－1＝．对于方程①，只需取x ，使x 与n 的奇偶性相反（这样的x 有无穷多个），从而利用上述命题，方程 222y z n x －＝－ 有整数解，可知方程①有无穷多组整数解．例15 是否存在两两不同的正整数m 、n 、p 、q ，使得m n p q ＋＝＋2012都成立？解：存在满足条件的正整数．由方程的结构，我们寻找形如2m a ＝，3n b ＝，2p c ＝，3q d ＝的正整数．这里a 、b 、c 、d 为正整数． 此时，条件转化为2012a b c d ＋＝＋＞，2323a b c d ＋＝＋，即 a c d b －＝－，()()()()22a c a c d b d bd b －＋＝－＋＋．令1d b －＝，即1b d ＝－，且使2012b ＞，则b 、d 的奇偶性不同，现令2212b bd d a ＋＋＋＝，2212b bd dc ＋＋－＝，那么a 、c 为正整数，且由a 、b 、c 、d 确定的m 、n 、p 、q 满足条件．例16 证明：存在无穷多组正整数组()x y z ，，，使得x 、y 、z 两两不同，并且 33xx y z ＝＋．证明 一个想法是：将x 取为3k ＋1形式的数，这时()3131k x x k ＋＝＋()()33131kk k ＝＋＋ ()()3333131k kk k k ＝＋＋＋因此，如果使3k 为一个完全立方数，那么符合要求的正整数x 、y 、z 就找到了．为此，令323m k ＋＝，这里m 为正整数，那么令31x k ＝＋，()1331km x k ＋＝＋，()31kz k ＝＋，则x 、y 、z 两两不同，且满足33xx y z ＝＋．命题获证．说明 如果不要求x 、y 、z 两两不同，我们还可以这样来构造：取2m y z ＝＝，2x α＝，则当231m αα•＝＋时，就有33xx y z ＝＋．容易看出满足231m αα•＝＋的正整数对()m α，有无穷多对．。

行测数学运算中不定方程问题全方位解法华图教育李炳辉不定方程不仅仅是省考的常见考点，更是国考中数学运算的重点，基本上每年都是必考的题目，在2012年国考中，出现3道不定方程的问题，因此，不定方程问题一定要引起广大考生的注意和重视，广大考生全面掌握不定方程的解法，在以后的考场上可以更游刃有余。

二元一次不定方程解法1：代入排除法例题：（2007年北京社招）装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？A.3，7B.4，6C.5，4D.6，3解析：设大小盒分别为x、y，根据题目有11x+8y=89，只有这一个方程，两个未知数，若单独求解x和y，没有其它限制则有无数个解，可以用直接代入法来解，分别把选项代入，只有A选项代入后符合方程，即A选项符合条件，选A。

练习：（2009年北京应届）有若干张卡片，其中一部分写着1.1，另一部分写着1.11，它们的和恰好是43.21。

写有1.1和1.11的卡片各有多少张?A.8张，31张B.28张，11张C.35张，11张D.41张，1张解析：用代入排除法，代入后A选项符合答案。

注：方程问题当选项内容充分，即全解可以使用代入排除法解题。

解法2：数字特性法例题1：（2012年国考）某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分剐平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。

后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?A.36B.37C.39D.41解析：根据题目，设每位钢琴老师带x人，拉丁老师带y人，只可以列出一个方程5x+6y=76，则根据奇偶特性，76是偶数，6y也是偶数，则5x一定为偶数，即x必为偶数。

又根据题目中每位老师所带的学生数量都是质数，则x既为偶数也是质数，则x=2，代入方程后可以求出y=11，则，根据题目，剩下的学员为，4×2+3×11=41，选D项。

不定方程———研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。

然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。

二、不定方程的解法1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

[如：方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解解：当x = 1时y﹢z = 99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。

当x = 2时y﹢z = 98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。

……当x = 98时，y﹢z = 2，这时有一个解。

∵98﹢97﹢96﹢……﹢1= 29998= 4851∴方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法如：方程式4x﹢7 y =55共有哪些正整数解。

—解：××××√√∴方程4x﹢7 y =55的正整数解有?x = 5 x = 12y = 5 y = 13、分离系数法如：求7x﹢2 y =38的整数解解： y =2738X -=19-3x-21x令 t=21xx=2 t则 y=22738t⨯-=19-7t2t ＞019-7t ＞0 （t 为整）→ 275＞t ＞0 —t=2，1当 t=2时， x=2×2=4 x=4y=19-7×2=5 y =5当 t=1时， x=2×1=2 x=2y=19-7×1=12 y=12第四十周 不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

数论的方法和技巧之一不定方程的解法一． 几种特殊的不定方程1. 二元一次不定方程c by ax =+ ，形如c by ax =+（b a Z c b a ,,,,∈不同时为零）的方程称为二元一次不定方程．有以下结论：(1)不定方程c by ax =+有整数解的充要条件是.|),(c b a(2)若,1),(=b a 设),(00y x 是方程c by ax =+的一组整数解，则此方程的一切整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=,,00at y y bt x x .Z t ∈例l 将属于[0，1]之间分母不超过99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻的两个数．解：设,1),(*,,=∈y x N y x 且y x 是上述排列中7617左边的数，则 .07676177617>-=-yxy y x 注意到x y 1617-为整数，所以.17617≥-x y 下面先求不定方程 17617=-x y ① 满足991≤≤y 的正整数解(x ，y)．,17184Z x x y ∈++= 试算可知)9,2(),(=y x 是一个特解．所以①的全部整数解为⎩⎨⎧∈+=+=.,,769172Z t t y t x满足①的正整数解中)85,19(),(=y x 是符合991≤≤y 且y 最大的解，而此时,29985>=y 所以，与7617相邻的两个数中左边那个是⋅8519 类似可知，所求的右边那个数为⋅6715评注：对一次不定方程求解可以用辗转相除法、同余及试验等方法来寻找其特解．2. 勾股方程222z y x =+设勾股方程222z y x =+ ①的一组正整数解是(x ，y ，z)，如果,),(d y x =则,|22z d 即.|z d 这样仅需在1),(=y x 时讨论，此时x ，y ，z 实际上是两两互质的．这种两两互质的勾股数(x ，y ，z)，称为①的本原解或本原勾股数．定理 不定方程①满足 y z y x z x |2,0,0,0,1),(>>>= ② 的全部整数解(x ，y ，z )可表示成 ,,2,2222b a z ab y b a x +==-= ③ 其中a ，b 为满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且(a ，b )=1的任意整数．例2 证明方程 222221y x x x n =+++ 有无穷多组整数解。

六年级奥数知识点大汇总1、六年级奥数知识点讲解：不定方程2、六年级奥数知识点:约数与倍数3、六年级奥数知识点：数的整除4、六年级奥数知识点：余数及其应用5、六年级奥数知识点：余数问题6、六年级奥数知识点：分数与百分数的应用7、六年奥级数知识点：分数大小的比较8、六年级奥数知识点：完全平方数9、六年级奥数知识点讲解：称球问题10、六年级奥数知识点讲解:质数与合数11、六年级奥数知识点讲解：二进制及其应用12、六年级奥数知识点讲解:定义新运算13、六年级奥数知识点讲解：周期循环数14、六年级奥数知识点讲解：牛吃草问题15、六年级奥数知识点讲解：鸡兔同笼问题16、六年级奥数知识点讲解：归一问题17、六年级奥数知识点讲解：逻辑推理问题18、六年级奥数知识点讲解：几何面积19、六年级奥数知识点讲解：时钟问题20、六年级奥数知识点讲解：浓度与配比21、六年级奥数知识点讲解:经济问题22、六年级奥数知识点讲解：简单方程24、六年级奥数知识点:综合行程问题25、六年级奥数知识点讲解：工程问题26、六年级奥数知识点讲解：比和比例27、六年级奥数知识点讲解:加法原理28、六年级奥数知识讲解：数列求和29、六年级奥数知识讲解:抽屉原理30、六年级奥数知识点讲解：平均数问题31、六年级奥数知识点讲解：盈亏问题32、六年级奥数知识点讲解:植树问题33、六年级奥数知识点讲解：年龄问题的三大特征34、小学奥数知识点总结之：和差倍问题35、小学奥数知识点总结之：分数拆分1、六年级奥数知识点讲解：不定方程不定方程一次不定方程:含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常规方法：观察法、试验法、枚举法；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值,或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；技巧总结：A、写出表达式的技巧:用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧:消掉范围大的未知数；约数和倍数：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。