初中数学课件：22.1.1 二次函数

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你 观 察 过 公 园 的 拱 桥 吗？
篮球入框，公 园里的喷泉， 雨后的彩虹都 会形成一条曲 线.这些曲线 能否用函数关 系式表示？
知识讲解
1.二次函数的定义
探究归纳
1 1
1
3
此式表示了种植面积y与边长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一 确定的一个对应值，即y是x的函数.
知识讲解
第 二十二章 二次函数
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数
温故知新
1. 函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确 定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2. 一次函数与正比例函数
3.一元二次方程的一般形式
30(1+x)2
30(1+x)2
30(1+x)
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y 都有唯一确定的一个对应值，即y是x的函数.
知识讲解
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同特征呢？
知识讲解
归纳总结
二次函数的定义：
注意
知识讲解
2.二次函数的应用 例1
不一定是，缺少 a≠0的条件
中y=0时得到的。
与前面我们学过的一元二 有什么联系和区别？
且a≠0； 可以看成是函数
区别:前者是函数，后者是方程；等式另一边前者是y，后 者是0。
随堂训练
B C
随堂训练
4.矩形的周长为16 cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2). （1）求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）求当x=3时矩形的面积.

蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
B．y＝2a(1＋x)
C．y＝a(1＋x)2
D．y＝a(1－x)2
6．(4 分)已知某车的刹车距离 y(m)与开始刹车时的速度 x(m/s)之
间满足二次函数 y＝210x2(x＞0)，若该车某次的刹车距离为 5 m，则开
始刹车时的速度为( C )
A．40 mபைடு நூலகம்s
B．20 m/s
C．10 m/s
D．5 m/s
(2)依题意有 k2－k≠0，∴k≠0 且 k≠1.即当 k≠0 且 k≠1 时，函 数 y＝(k2－k)x2＋kx＋k＋1 是二次函数
14．(14分)一块矩形草地，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽 都增加x m，设增加的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若要使草地的面积增加32 m2，长和宽都增加多少米？
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蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。

再经过一年后的产量是_2_0_(_1_+_x_)_(_1_+_x_)_件，即两年后的
产量为：
y=20(1+x).2
即：y=20x2+40x+20.
我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的 函数叫做二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是函数解 析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
为什么a≠0呢?
1.若函数y (m2 1)xm2m 的值.
为二次函2 +kx+1是二次函数,则k的值一定
是______.
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是______.
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩 形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一 种函数？
邻的各顶点，可作＿（＿n-＿3）＿条对角线.因此，n边形的对角 线总数＿d＿= 12＿n2＿ 23＿n
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两
年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两
年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x
之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_2_0_(_1_+_x_)件，
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数及其图象
22.1.1 二次函数
1.了解二次函数的概念，知道二次函数的一般形式； 2.会列简单的二次函数解析式.
问题1：
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表 面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.

22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二 次 函 数
学习目标
1.知道二次函数的意义与特征,能够表示简单的二次函数关系. 2.二次函数实例分析,二次函数定义的理解.
学习重点
能从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数 关系.
请同学们尝试回答下面的问题: 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多 种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距 离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种 一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这 时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关 系式.
解:(1)由
������ + ������ ≠ ������, ������������-������������-������ = ������,得
������ ≠ -������, ������ = -������或������.
∴m=4,即当 m=4 时,它是二次函数. (2)当 m=-1 时,原函数为 y=-2x;
当 m2-3m-2=1 时,m=������± ������������.
������
∴当 m=-1 或������+ ������������或������- ������������时,它是一次函数.
������
������
对于二次函数要注意: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式. (2)a,b,c为常数,且a≠0. (3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数 项,但不能没有二次项. (4)自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中,自 变量的取值范围应是使实际问题有意义的值.

课后巩固
9．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m. (1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
解：(1)函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m， 若这个函数是二次函数，则m2－m≠0， 解得：m≠0且m≠1；
22.1 二次函数的图象和性质
1 …核…心……目…标..… 2 …课…前……预…习..… 3 …课…堂……导…学..… 4 …课…后……巩…固..… 5 …能…力……培…优..…
核心目标
理解二次函数的概念， 会根据实际问题列出二次函数 关系式．
课前预习
1．阅读教材，并填空： (1)形如y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的 函数叫做_____二__次__函__数________________； (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，自变量x的取值范 围是_____任__意__实__数_______________．
一次项系数为____－__4____，常数项为___－__1_____．
人教版九年级上册数数学学课件课二件次2函2.数1.优1二秀次pp函t 课数件(共18张PPT)
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课堂导学
知识点2：列二次函数关系式 【例2】如下图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜
课后巩固
10．一经销商按市场价收购某种海鲜1 000千克放养 在池塘内(假设放养期内每个海鲜的重量基本保持 不变)，当天市场价为每千克30元，据市场行情推 测，此后该海鲜的市场价每天每千克可上涨1元， 但是平均每天有10千克海鲜死去．假设死去的海 鲜均于当天以每千克20元的价格全部售出．

九年级上册人教版数学
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．

15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．

解: （1）由题意得 S 6a2 (a 0) 其中S是a的二次函数；
（2）由题意得 y x 2 (x 0) 其中y是x的二次函数；
4
（3）由题意得 S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)其中S是x的
2
2
二次函数
例3、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
解：(1) y x(20 2x)
2x2 20x (o<x<10)
(2) y 2 32 20 3 42m
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0),
反比例函数y= k (k≠0) ， 二次函数y=ax2+xbx+c(a≠0)。
2.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x2
是
1 (2) y x2 (3) y x(1 x)
不是 是
(4) y (x 1)2 x2
不是
先化简后判断
3、若函数 m的值。
为二次函数，求
解：因为该函数为二次函数，
则
解（1）得：m=2或-1 解（2）得： 所以m=2
4、是否任何情况下二次函数中的自变量的
所求的二次函数是y x2 12x 15
1、（1）正方形边长为x（cm），它的面积y （cm2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长 增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘 米，试写出y与x的关系式．
解：（1）y x2
(2) y (4 x)(3 2x) 2x2 11x 12
又例：y=x²+ 2x – 3
例1: 关于x的函数 y (m 1)xm2m 是二次函 数, 求m的值.

解②得：m≠1切m≠-1
所以 m=2.
2020/10/16
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1.如果函数y= xk23k2 +kx+1是二次函数,则k的值一定
是_0_或__3__.
2.如果函数y=(k-3)xk23k2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是___0___.
2020/10/16
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3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_2_0__(1__+_x件) ， 再经过一年后的产量是_____2__0_(_1_+_x_)_(件1+，x即) 两年后的 产量为： y=20(1+.x)2 即：y=20x2+40x+20.
此式表示了两年后的产量y与计划增产数x之间的关系， 对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.
解析：（1）S=2x2+x(x+0.5)×4=6x2+2x （2）y=5S=5×(6x2+2x)
∴y=30x2+10x
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5.（哈尔滨中考）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30 米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB 的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方 米）． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值 范围）； （2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时 AB的长.
2020/10/16
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我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的 函数叫做二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是函数解 析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

问题1:
y=6x2

问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行 一场比赛。比赛的场次数 m 与球队 数n有什么关系？
1 1 2 1 m n(n 1) n n 2 2 2
问题3：某工厂一种产品现在的产量是20
件，计划今后两年增加产量。如果每年都 比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种 产品的产量y将随计划所定的x的值而确定， y与x之间的关系应怎样表示？
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且
a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c
(其中a、b、c是常数,a≠0)
x m
y
m2
x m
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且源自a≠0.现在我们学习过的函数有: 一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0), 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。 可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函 数表达式与自变量的关系。
想一想
函数y ax bx c(其中a, b, c是常数)，
2
当a, b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？

∴点P(2
020a,2
020-a)的坐标为
2
1 020
,2
020,∴点P关于y轴的对称点是 -
2
1 020
,2
020
.
故选B.
3.(2019湖北荆门沙洋期中)如图,用一段长为40 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
菜园ABCD,墙长为18 m,设AD的长为x m,菜园ABCD的面积为y m2,则y关于自变量x
资源拓展
1.(2020广东阳江江城期中,4,★★☆)对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的
是( )
A.y=mx2+3x-1
B.y=(m-1)x2
C.y=(m-1)2x2
D.y=(-m2-1)x2
答案 D 选项A,当m=0时,不是二次函数;选项B,当m=1时,m-1=0,不是二次函数; 选项C,当m=1时,(m-1)2=0,不是二次函数;选项D,当m取任意实数时,-m2-1≠0,是二次 函数.故选D.
2.函数y=(a-1) xa21+x-3是二次函数时,点P(2 020a,2 020-a)关于y轴的对称点是 ( )
A.
2
1 020
,2
020
C.
2
1 020
,-2
020
B.
-
2
1 020
,2
020
D.(2 019,2 020)
答案 B ∵y=(a-1)xa21 +x-3是二次函数,∴a2+1=2且a-1≠0,解得a=-1,
人均可支配收入为y万元,平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为
x,则y与x之间的函数表达式是
.
答案 y=0.75(1+x)2