2020版高考总复习必考知识点数学人教B版第五章导数及其应第2节 向量的分解与向量的坐标运算

数学①必修第一章集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示方法1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.2.2 集合的运算第二章函数2.1 函数2.1.1 函数2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的单调性2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数的图像（选学）2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质和图像2.2.2 二次函数的性质和图像2.2.3 待定系数法2.3 函数的应用（I）2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法第三章基本初等函数（I）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算3.1.2 指数函数3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算3.2.2 对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系3.3 幂函数3.2 函数的应用（II）数学②必修第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 构成空间几何体的基本元素1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.2.2 空间中的平行关系1.2.3 空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的集中形式2.2.3 两条直线的位置关系2.2.4 点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式（选学）3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用数学④必修第一章基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图像与性质1.3.1 正弦函数的图像与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图像与性质1.3.3 已知三角函数值求角第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4 向量的数乘2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.2 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2 简单线性规划数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用数学选修1-2第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法第四章框图4.1 流程图4.2 结构图数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 空间向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法数学选修2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 杨辉三角第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析数学选修4-5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1 不等式的基本性质1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法1.3.1 |ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法1.3.2 |x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法1.4 绝对值的三角不等式1.5 不等式证明的基本方法1.5.1 比较法1.5.2 综合法和分析法1.5.3 反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配置方法的证明2.2 排序不等式2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理3.1.1 数学归纳法原理3.1.2 数学归纳法应用举例3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式。

第3节　平面向量的数量积及其应用最新考纲　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作＝a ，＝b ，则∠AOBOA →OB →称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉.(2)范围：向量夹角〈a ，b 〉的范围是[0，π]，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉.(3)向量垂直：如果〈a ，b 〉＝，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .π22.向量在轴上的正射影已知向量a 和轴l (如图)，作＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，OA →垂足分别为O 1，A 1，则向量叫做向量a 在轴l 上的正射影O 1A 1→(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，OA →则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos__θ.3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角.①数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.②模：|a |＝＝.a ·a x ＋y ③夹角：cos θ＝＝.a ·b |a ||b |x 1x 2＋y 1y 2x ＋y ·x ＋y④两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.⑤|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ ·.x ＋y x ＋y 4.平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律).(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).[微点提醒]1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.(3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.( )[0，π2](2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( )解析　(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2.(引自人教A 版必修4P108A10)设a ，b 是非零向量.“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析　设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°，所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.答案　A3.(必修4P115A2改编)在圆O 中，长度为的弦AB 不经过圆心，则·的值2AO → AB →为________.解析　设向量，的夹角为θ，AO → AB →则·＝||||·cos θ＝||cos θ·||＝||·||＝×()2＝1.AO → AB → AO → AB → AO → AB → 12AB → AB → 122答案　14.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A.4B.3C.2D.0解析　a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.答案　B5.(2018·大连渤海中学模拟)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A.13＋6B.225C.D.3034解析　依题意得a 2＝2，a ·b ＝×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝＝2（3a ＋b ）2＝＝.9a 2＋6a ·b ＋b 218＋12＋434答案　D6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析　由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7.答案　7考点一　平面向量数量积的运算【例1】 (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( )A.0B.4C.－D.－92172(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM→＝2，＝2，则·的值为( )MA → CN → NA → BC → OM →A.－15B.－9C.－6D.0解析　(1)由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－，12即m ＝，(－2，－12)所以m ·n ＝－2×4＋×1＝－.(－12)172(2)连接OA .在△ABC 中，＝－＝3－3＝3(－)－3(－)BC → AC → AB → AN → AM → ON → OA → OM → OA →＝3(－)，ON → OM → ∴·＝3(－)·＝3(·－2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝BC → OM → ON → OM → OM → ON → OM → OM →3×(－2)＝－6.答案　(1)D (2)C规律方法　1.数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【训练1】 (1)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝，D 是AC 的中点，E 在BCπ2上，且AE ⊥BD ，则·等于( )AE → BC →A.16B.12C.8D.－4(2)(2019·赤峰二中模拟)已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________.解析　(1)以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3).设E (0，t )，·＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴tBD → AE → ＝，即E ，·＝·(0，6)＝16.83(0，83)AE → BC → (－4，83)(2)因为|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，所以(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋2|a |·|b |cos 45°＝1＋.2答案　(1)A (2)1＋2考点二　平面向量数量积的应用　多维探究角度1　平面向量的垂直【例2－1】 (1)(2018·北京卷)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m ).若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.(2)(2019·宜昌二模)已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若＝λ＋AP → AB →，且⊥，则实数λ的值为( )AC → AP → BC →A. B. C.6 D.2215103127解析　(1)a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，∴a 2＝1，a ·b ＝－1，由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0，即m a 2－a ·b ＝0.∴m －(－1)＝0，∴m ＝－1.(2)因为＝λ＋，且⊥，AP → AB → AC → AP → BC → 所以有·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝(λ－1)·AP → BC → AB → AC → AC → AB → AB → AC → AB → AC → AB → AC → AB →－λ2＋2＝0，AC → AB → AC →整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝.2215答案　(1)－1　(2)A规律方法　1.当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.2.数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .角度2　平面向量的模【例2－2】 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________.(2)(2019·安阳调研)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|＋3|的最小值为________.PA → PB →解析　(1)由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝，12所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×＝10，12所以|2α＋β|＝.10(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A (2，0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b ).所以＋3＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )，PA → PB →所以|＋3|＝(0≤y ≤b )，PA → PB →25＋（3b －4y ）2所以当y ＝b 时，|＋3|取得最小值5.34PA → PB →答案　(1)　(2)510规律方法　1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋a ·a |b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.角度3　平面向量的夹角【例2－3】 (1)(2019·衡水中学调研)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________.(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析　(1)将|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0.将|a ＋b |＝|a |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2，23343∴b 2＝a 2.13设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝＝.（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |a 2－b 2233|a |·233|a |23a 243a 212又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.π3(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－.92当k ＝－时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，92此时2a －3b 与c 反向，不合题意.综上，k 的取值范围为∪.(－∞，－92)(－92，3)答案　(1)　(2)∪π3(－∞，－92)(－92，3)规律方法　1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝求解.x 1x 2＋y 1y 2x ＋y ·x ＋y2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.(2)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(3)(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹3角为60°，则实数λ的值是________.解析　(1)由a ⊥b ，得a ·b ＝0，又a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，∴－6＋3m ＝0，则m ＝2.(2)法一　|a ＋2b |＝＝（a ＋2b ）2a 2＋4a ·b ＋4b 2＝＝＝2.22＋4×2×1×cos 60°＋4×12123法二　(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝||.OC →又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2.3(3)由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|e 1－e 2|＝＝＝＝2.3（3e 1－e 2）23e －23e 1·e 2＋e 3－0＋1同理|e 1＋λe 2|＝.1＋λ2所以cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝＝＝，3e ＋（3λ－1）e 1·e 2－λe21＋λ23－λ21＋λ212解得λ＝.33答案　(1)2　(2)2　(3)333考点三　平面向量与三角函数【例3】 (2019·沈阳铁路实验中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－.35(1)求sin A 的值；(2)若a ＝4，b ＝5，求角B 的大小及向量在方向上的投影.2BA → BC →解　(1)由m ·n ＝－，35得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－，35所以cos A ＝－.因为0<A <π，35所以sin A ＝＝＝.1－cos 2A 1－(－35)2 45(2)由正弦定理，得＝，a sin A bsin B 则sin B ＝＝＝，b sin A a 5×454222因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝.π4由余弦定理得(4)2＝52＋c 2－2×5c ×，2(－35)解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量在方向上的投影为||cos B ＝c cos B ＝1×＝.BA → BC → BA →2222规律方法　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练3】 (2019·石家庄模拟)已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且·(－)＝18，求边c 的长.CA → AB → AC →解　(1)由已知得m ·n ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，所以cos C ＝.12又0<C <π，所以C ＝.π3(2)由已知及正弦定理得2c ＝a ＋b .因为·(－)＝·＝18，CA → AB → AC → CA → CB →所以ab cos C ＝18，所以ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，所以c 2＝4c 2－3×36，所以c 2＝36，所以c ＝6.[思维升华]1.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.[易错防范]数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c ).数学运算、数学建模——平面向量与三角形的“四心”1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔||＝||＝||＝.OA → OB → OC → a 2sin A (2)O 为△ABC 的重心⇔＋＋＝0.OA → OB → OC →(3)O 为△ABC 的垂心⇔·＝·＝·.OA → OB → OB → OC → OC → OA →(4)O 为△ABC 的内心⇔a ＋b ＋c ＝0.OA → OB → OC →类型1　平面向量与三角形的“重心”【例1】 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足＝OP →[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( )13OA → OB → OC →A.△ABC 的内心B.△ABC 的垂心C.△ABC 的重心D.AB 边的中点解析　取AB 的中点D ，则2＝＋，OD → OA → OB →∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，OP → 13OA → OB → OC →∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，OP → 13OD → OC →2（1－λ）3OD → 1＋2λ3OC → 而＋＝1，∴P ，C ，D 三点共线，2（1－λ）31＋2λ3∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.答案　C类型2　平面向量与三角形的“内心”问题【例2】 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝，O 是△ABC 的内心，若＝x15OP →＋y ，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )OB → OC →A. B. C.4 D.61063146332解析　根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍.在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则bc sin A ＝(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝，1212263所以S △BOC ＝×a ×r ＝×7×＝.1212263763故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝.1463答案　B类型3　平面向量与三角形的“垂心”问题【例3】 已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定OP → OA →AB → |AB → |cos B AC → |AC →|cos C 通过△ABC 的( )A.重心B.垂心C.外心D.内心解析　因为＝＋λ(＋)，OP → OA →AB → |AB → |cos B AC → |AC →|cos C 所以＝－＝λ(＋)，AP → OP → OA →AB → |AB → |cos B AC → |AC →|cos C 所以·＝·λ(＋)＝λ(－||＋||)＝0，BC → AP → BC → AB → |AB → |cos B AC → |AC →|cos C BC → BC →所以⊥，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.BC → AP →答案　B类型4　平面向量与三角形的“外心”问题【例4】 已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，6若＝x ＋y ，则有序实数对(x ，y )为( )AO → AB → AC →A. B.(45，35)(35，45)C.D.(－45，35)(－35，45)解析　取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则⊥，⊥，OM → AB → ON → AC →＝－＝－(x ＋y )＝－y OM → AM → AO → 12AB → AB → AC → (12－x )AB → AC →，＝－＝－(x ＋y )＝－x .ON → AN → AO → 12AC → AB → AC → (12－y )AC → AB → 由⊥，得2－y ·＝0，①OM → AB → (12－x )AB → AC → AB →由⊥，得2－x ·＝0，②ON → AC → (12－y )AC → AC → AB →又因为2＝(－)2＝2－2·＋2，BC → AC → AB → AC → AC → AB → AB →所以·＝＝－，③AC → AB → AC →2＋AB → 2－BC → 2212把③代入①、②得解得x ＝，y ＝.{1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，)4535故实数对(x ，y )为.(45，35)答案　A基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知向量a ＝(m －1，1)，b ＝(m ，－2)，则“m ＝2”是“a ⊥b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析　当m ＝2时，a ＝(1，1)，b ＝(2，－2)，所以a ·b ＝(1，1)·(2，－2)＝2－2＝0，所以a ⊥b ，充分性成立；当a ⊥b 时，a ·b ＝(m －1，1)·(m ，－2)＝m (m －1)－2＝0，解得m ＝2或m ＝－1，必要性不成立.所以“m ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件.答案　A2.(2019·永州二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( )A. B.1C.D.2122解析　由题意得a ·b ＝|a |×1×＝，12|a |2又|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，即4|a |2－2|a |＝0，又|a |≠0，解得|a |＝.12答案　A3.(2019·石家庄二模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A. B. C. D.π32π35π6π6解析　设|b |＝1，则|a ＋b |＝|a －b |＝2.由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a |＝，3设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，a ·（a ＋b ）|a |·|a ＋b |a 2＋a ·b |a |·|a ＋b ||a ||a ＋b |32又0≤θ≤π，所以θ＝.π6答案　D4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足＝＝λ，则当·＝0时，λ的值所在的区间是( )BE BC AF ABAE → DF →A. B.(18，14)(14，38)C.D.(38，12)(12，58)解析　在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，可得〈，〉＝60°，AD → BC →所以〈，〉＝60°，〈，〉＝120°，AB → AD → AB → BC →所以·＝4×2×＝4，AB → AD →12·＝4×2×＝－4，·＝2×2×＝2，AB → BC → (－12)AD → BC → 12又＝＝λ，所以＝λ，＝λ，BE BC AF ABBE → BC → AF → AB →则＝＋＝＋λ，AE → AB → BE → AB → BC → ＝－＝λ－，DF → AF → AD → AB → AD →所以·＝(＋λ)·(λ－)AE → DF → AB → BC → AB → AD → ＝λ2－·＋λ2·－λ·＝0，AB → AB → AD → AB → BC → AD → BC →即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝(舍去)或λ＝∈.7＋3347－334(14，38)答案　B5.(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝·，I 2＝·，I 3＝·，则( )OA → OB → OB → OC → OC → OD →A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3解析　如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题I 1－I 2＝·－·＝·(－)＝·＝|||OA → OB → OB → OC → OB → OA → OC → OB → CA → OB → CA→|·cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴||||<||||，OA → OB → OC → OD →而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，∴·>·，OA → OB → OC → OD → 即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.答案　C 二、填空题6.(2019·淮北二模)在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，则t ＝________.解析　由已知，得·＝0，BA → BC →则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t ＝3或t ＝－3，当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去.故t ＝3.答案　37.若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角θ的余弦值为________.解析　|a |＝|a ＋2b |，两边平方得，|a |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝|a |2＋4|b |2＋4|a ||b |·cos θ.又|a |＝3|b |，所以0＝4|b |2＋12|b |2cos θ，得cos θ＝－.13答案　－138.(2019·佛山二模)在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若＝2，则·＝________.AE → EC → DE → AC →解析　如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0，0)，A (1，0)，C (0，2)，所以＝(－1，2).AC →因为D 为BC 的中点，所以D (0，1)，因为＝2，所以E ，AE → EC →(13，43)所以＝，DE → (13，13)所以·＝·(－1，2)＝－＋＝.DE → AC → (13，13)132313答案　13三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1).(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(－t )·＝0，求t 的值.AB → OC → OC →解　(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，AB → AC →则＋＝(2，6)，－＝(4，4).AB → AC → AB → AC →所以|＋|＝2，|－|＝4.AB → AC → 10AB → AC →2故所求的两条对角线的长分别为4，2.210(2)由题设知：＝(－2，－1)，－t ＝(3＋2t ，5＋t ).OC → AB → OC →由(－t )·＝0，得AB → OC → OC →(3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－.11510.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤).π2(1)若⊥a ，且||＝||，求向量；AB → AB → 5OA → OB →(2)若向量与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求·.AC → OA → OC →解　(1)由题设知＝(n －8，t )，AB →∵⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0.AB →又∵||＝||，5OA → AB →∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴＝(24，8)或＝(－8，－8).OB → OB →(2)由题设知＝(k sin θ－8，t )，AC →∵与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，AC →t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－)2＋.4k 32k ∵k >4，∴0<<1，4k ∴当sin θ＝时，t sin θ取得最大值.4k 32k由＝4，得k ＝8，32k此时θ＝，＝(4，8)，π6OC →∴·＝(8，0)·(4，8)＝32.OA → OC →能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·唐山二模)在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则·PA → PB →的最大值为( )A.9B.16C.18D.25解析　∵∠C ＝90°，AB ＝6，∴·＝0，∴|＋|＝|－|＝||＝6，CA → CB → CA → CB → CA → CB → BA →∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·PA → PB → PC → CA → PC → CB → PC → PC → CA → CB → CA → CB →＝·(＋)＋4，PC → CA → CB →∴当与＋方向相同时，·(＋)取得最大值2×6＝12，PC → CA → CB → PC → CA → CB →∴·的最大值为16.PA → PB →答案　B12.(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )π3A.－1 B.＋133C.2 D.2－3解析　设O 为坐标原点，a ＝，b ＝＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0OA → OB →得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为，所以不妨令点A 在射线y ＝x (x >0)上，如图，π33数形结合可知|a －b |min ＝||－||＝－1.CA → CB →3答案　A13.在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，·＝2，点P 是△ABC 所在平面内一点，BA → BC → BA →则当2＋2＋2取得最小值时，·＝________.PA → PB → PC → AP → BC →解析　∵·＝||·||·cos B ＝||2，BA → BC → BA → BC → BA →∴||·cos B ＝||＝6，BC → BA →∴⊥，即A ＝，CA → AB → π2以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B (6，0)，C (0，3)，设P (x ，y )，则2＋2＋2＝x 2＋y 2＋(x －6)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝3x 2－12x ＋3y 2－6y ＋45＝PA → PB → PC →3[(x －2)2＋(y －1)2＋10]∴当x ＝2，y ＝1时，2＋2＋2取得最小值，此时P (2，1)，＝(2，1)，PA → PB → PC → AP →此时·＝(2，1)·(－6，3)＝－9.AP → BC →答案　－914.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －c )·＝c ·2BA → BC → CB →.CA →(1)求角B 的大小；(2)若|－|＝，求△ABC 面积的最大值.BA → BC →6解　(1)由题意得(a －c )cos B ＝b cos C .2根据正弦定理得(sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，2所以sin A cos B ＝sin(C ＋B )，2即sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，2所以cos B ＝，又B ∈(0，π)，所以B ＝.22π4(2)因为|－|＝，所以||＝，BA → BC → 6CA → 6即b ＝，根据余弦定理及均值不等式得6＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝(2－6222)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋).2故△ABC 的面积S ＝ac sin B ≤，123（2＋1）2因此△ABC 的面积的最大值为.32＋32。

高二数学第五章总结知识点数学是一门非常重要的学科，它有助于我们提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

在高二数学学习过程中，第五章是一个非常重要的章节，它包含了许多关键的知识点。

本文将对高二数学第五章的知识点进行总结，并提供相应的例题进行说明。

一、平面向量1. 平面向量的定义和性质：平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。

平面向量的相等、加法、减法、数量乘法等运算有特定的规则。

2. 向量的模、方向角和方向余弦：向量的模表示向量的长度，方向角表示向量与正 x 轴的夹角，方向余弦是方向角的余弦值。

3. 向量的共线和垂直：两个向量共线表示它们的方向相同或相反，两个向量垂直表示它们的数量积为零。

4. 向量的数量积和夹角余弦：向量的数量积表示两个向量的长度乘积与它们夹角余弦的乘积，有重要的几何和物理意义。

例题：已知向量 $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} -3\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b} = 4\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}$，求向量 $\overrightarrow{a}$ 和$\overrightarrow{b}$ 的数量积及夹角余弦。

二、空间向量1. 空间向量的定义和性质：空间向量与平面向量类似，只是在三维坐标系中有三个方向。

2. 空间向量的坐标表示和合成：空间向量可以表示为有序数组（a，b，c），合成表示为向量的和。

3. 向量的数量积和夹角余弦：向量的数量积和夹角余弦的计算方法与平面向量类似，只是方向余弦需要考虑三个坐标轴。

4. 向量的混合积和体积：向量的混合积表示由三个向量构成的差乘，有重要的几何和物理意义。

例题：已知向量 $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}$，$\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$，$\overrightarrow{c} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$，求向量 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{c}$ 的混合积和体积。

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=. 4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

人民教育出版社B版高中数学目录(全)高中数学（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算整合提升第二章函数2.1 函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（I）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法整合提升第三章基本初等函数（I）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数-3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）整合提升高中数学（B版）必修二第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系(第1课时)空间中的平行关系(第2课时)1.2.3空间中的垂直关系(第1课时)空间中的垂直关系(第2课时)综合测试阶段性综合评估检测(一)第2章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系综合测试高中数学（B版）必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例单元回眸第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关单元回眸第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用单元回眸高中数学（B版）必修四第一章基本初等函数(2)1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角单元回眸第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用单元回眸第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积单元回眸高中数学（B版）必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例复习与小结第一章综合测试第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和复习与小结第二章综合测试第三章不等式. 3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.2 简单的线性规划复习与小结第三章综合测试高中数学（人教B）选修2-1第1章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.2 基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式第1章综合测试题第2章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性2.2 椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质.2.5直线与圆锥曲线第2章综合测试题阶段性综合评估检测（一）第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离第3章综合测试题阶段性综合评估检测（二）高中数学人教B选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理本章整合提升第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法本章整合提升第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法本章整合提升高中数学人教B选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角单元回眸第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布单元回眸第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析单元回眸高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.2极坐标系本章小结第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程本章小结附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.2排序不等式2.3平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏著名数学家柯西第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式、贝努利不等式本章小结。

向量的分解知识点总结一、向量的基本概念向量是向量代数中的基本概念之一，它是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

向量可以在数学、物理、工程等领域中广泛应用，是研究力、速度、位移、位矢等物理量的重要工具。

在二维空间中，向量通常用坐标表示，如向量a=(a1,a2)表示在x轴方向的分量为a1，在y轴方向的分量为a2。

在三维空间中，向量可以用三个坐标表示，如向量a=(a1,a2,a3)表示在x轴、y轴和z轴方向的分量分别为a1、a2和a3。

除了用坐标表示，向量还可以用向量的模和方向角表示。

向量的模表示向量的大小，用|a|或||a||表示，向量的方向角表示向量与坐标轴之间的夹角，通常用α、β、γ表示。

二、向量的线性组合向量的线性组合是向量代数中的一个重要概念，它是指将若干个向量按照一定的比例相加得到的新向量。

设有n个向量a1,a2,...,an，实数λ1,λ2,...,λn，称向量b=λ1a1+λ2a2+...+λnan 为向量a1,a2,...,an的线性组合，其中λ1,λ2,...,λn称为向量a1,a2,...,an的系数。

向量的线性组合具有以下性质：1. 交换律：对于任意向量a,b，有a+b=b+a。

2. 结合律：对于任意向量a,b,c，有a+(b+c)=(a+b)+c。

3. 数乘结合律：对于任意向量a,实数λ,μ，有(λμ)a=λ(μa)。

4. 数乘分配律：对于任意向量a,b,实数λ,μ，有λ(a+b)=λa+λb。

5. 向量加法和数乘运算满足分配律。

三、向量的分解向量的分解是指将一个向量分解成若干个向量的线性组合，常见的向量分解有向量的基底分解和向量的正交分解。

1. 向量的基底分解设有向量a和一组线性无关的向量b1,b2,...,bn，如果向量a可以表示为向量b1,b2,...,bn的线性组合，即a=λ1b1+λ2b2+...+λnbn，则称向量a关于向量b1,b2,...,bn的基底分解。

完整版)高中数学导数知识点归纳总结导数的定义：对于函数y=f(x)，在点x处的导数f'(x)定义为：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}其中，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的增量。

函数的连续性和可导性的关系：如果函数y=f(x)在点x处可导，则它在该点处必然连续。

但是，反过来并不成立，即函数在某点处连续并不一定可导。

导数的几何意义：函数y=f(x)在点x处的导数f'(x)表示曲线在该点处的切线的斜率。

因此，切线方程为：y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)其中，$y_0=f(x_0)$表示曲线在点$(x_0,y_0)$处的纵坐标。

导数的四则运算法则：对于任意可导函数f(x)和g(x)，有以下四则运算法则：1.$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2.$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$3.$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4.$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$其中，除法的分母$g(x)$不能为0.导数的应用：导数可以用来求函数的单调性、极值和最值。

函数单调递增的条件是导数大于0，函数单调递减的条件是导数小于0.函数在极值点处的导数为0，但反之不一定成立。

函数的最值可以通过求导数来确定。

注①：若点x是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0.但反过来不一定成立。

对于可导函数，其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零。

2020届高中数学：导数的概念及运算知识点总结1．导数的概念(1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值Δy Δx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，Δy Δx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′|0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx . (3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝ ； ②求平均变化率Δy Δx＝ ； ③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ．3．基本初等函数的导数公式(1)c ′＝(c 为常数)， (x α)′＝(α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________，(cos x )′＝____________；(3)(ln x )′＝____________，(log a x )′＝____________；(4)(e x )′＝____________，(a x )′＝____________.4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________.(2)[f (x )g (x )]′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝____________.(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝___________________ (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．答案1．(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)3．(1)0 αx α－1 (2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25．y x ′＝y ′u ·u ′x。

向量知识点总结公式高中一、向量的定义向量是具有大小和方向的有序组，可以用箭头表示，表示为a→。

向量有两种表示方法，一种是点表示法，将向量的起点放在坐标原点上，由坐标对(x,y)来确定向量的终点，另一种是分量表示法，将向量的起点放在坐标原点上，向量的终点为(x,y)，则向量a→=(a1,a2)，其中a1为横坐标，a2为纵坐标。

二、向量的基本运算1. 向量的加法：向量的加法符合三角形法则，即若有三个向量a→，b→和c→，则a→+b→=c→，其中c→为以a→和b→为两条边的三角形的第三条边的向量。

2. 向量的减法：向量的减法可以转化为向量的加法，即a→-b→=a→+(-b→)=c→，其中-c→为向量b→的反向量。

3. 向量的数乘：向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。

若有向量a→和实数k，则ka→=b→，其中b→的大小为ka的绝对值，方向与a→一致。

4. 基本运算规律：(1) 结合律：a→+(b→+c→)=(a→+b→)+c→；(2) 交换律：a→+b→=b→+a→；(3) 数乘结合律：k(la→)=(kl)a→；(4) 分配律：k(a→+b→)=ka→+kb→。

三、向量的数量积向量的数量积，又叫点积或内积，是数学中的一种运算。

已知有向量a→=（a1，a2）和向量b→=（b1，b2），则a→·b→=a1b1+a2b2，其中a1b1和a2b2分别为向量a→和b→的横坐标和纵坐标乘积之和。

数量积的几何意义是向量a→在向量b→上的投影的长度乘以向量b→的模的长度，即a→·b→=|a→|·|b→|·cosθ，其中θ为向量a→和b→之间的夹角。

数量积还有以下几个重要的性质：1. a→·b→=b→·a→2. (ka→)·b→=k(a→·b→)=a→·(kb→)3. a→·a→=|a→|^24. a→是b→的倍数当且仅当a→·b→=|a→|·|b→|四、向量的叉积向量的叉积，又称外积或向量积，是将两个向量相乘得到一个新的向量的一种向量运算。

高考数学导数的应用必考知识点整理高考数学导数的应用必考知识点整理导数，也叫导函数值。

又名微商，是微积分中的重要基础概念。

以下是店铺整理的高考数学导数的应用必考知识点整理，希望对大家有所帮助。

一、函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0。

f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为增函数。

f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为减函数。

1、f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点。

3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较。

二、函数的极值1、函数的极小值：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f′(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0 f="" x="">0，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。

2、函数的极大值：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f′(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。