人教版九年级上数学《22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质》练习题(含答案)

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质1．在同一直角坐标系中作出函数y＝x2，y＝2x2和y＝3x2的图象，然后根据图象填空：抛物线y＝x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝2x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝3x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．可以发现，抛物线y＝x2，y＝2x2，y＝3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越________．2．在同一直角坐标系中作出函数y＝－x2，y＝－2x2和y＝－3x2的图象，然后根据图象填空：抛物线y＝－x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝－2x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝－3x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．可以发现，抛物线y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越________．3．(1)抛物线y＝ax2的开口方向和开口大小由________决定，当a________0时，抛物线的开口向上；当a________0时，抛物线的开口向下；(2)抛物线y＝ax2的顶点坐标是( )，当a________0时，它是抛物线的最低点，即当x＝________时，函数取得最小值为________；当a________0时，它是抛物线的最高点，即当x＝________时，函数取得最大值为________；(3)抛物线y＝ax2的对称轴是________．4．在同一直角坐标系中作出函数y＝－x2，y＝－x2＋2，y＝－x2－3的图象，然后根据图象填空：抛物线y＝－x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝－x2＋2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝－x2－3的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．可以发现，抛物线y＝－x2＋2，y＝－x2－3与抛物线y＝－x2的形状、开口大小相同，只是抛物线的顶点位置发生了变化．把抛物线y＝－x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝－x2＋2；把抛物线y＝－x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y ＝－x2－3．5．填空(如果需要可作草图)：(1)抛物线y＝x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；(2)抛物线y=x2＋2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；(3)抛物线y＝x2－3的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．可以发现，抛物线y＝x2＋2，y＝x2－3与抛物线y＝x2的形状、开口大小相同，只是抛物线的顶点位置发生了变化．把抛物线y＝x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y ＝x2＋2；把抛物线y＝x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝x2－3．答案：1． (0，0) ，y轴，上；(0，0) ，y轴，上；(0，0) ，y轴，上；小．2． (0，0) ，y轴，下；(0，0) ，y轴，下；(0，0) ，y轴，下；小．3． (1) a，＞，＜；(2) (0，0) ，＞，0，0；＜，0，0；(3) y轴．4． (0，0) ，y轴，下；(0，2) ，y轴，下；(0，－3) ，y轴，下；上，2；下，3．5． (1) (0，0) ，y轴，上；(2) (0，2) ，y轴，上；(3) (0，－3) ，y轴，上；上，2；下，3．思考·探索·交流1．把抛物线y＝x2沿y轴向上平移3个单位能得到抛物线y＝3x2吗？把抛物线y＝－x2沿y 轴向下平移3个单位能得到抛物线y＝－3x2吗？答案：1．不能，不能．。

22.1.2 二次函数2axy 的图象和性质练习题知识点：1.用描点发画函数图象的步骤是，，。

2.二次函数图象是，开口方向由决定，开口大小的程度又是由谁决定的？3.一般地,抛物线2ax y 的对称轴是,顶点坐标是．当0a 时,抛物线开口向,顶点是抛物线的,a 越大,抛物线的开口越;当0a时,抛物线开口向,顶点是抛物线的,a 越大,抛物线的开口越。

一．选择题1.关于函数23x y 的性质的叙述,错误的是()．A ．对称轴是y 轴B ．顶点是原点C ．当0x时,y 随x 的增大而增大D ．y 有最大值2.在同一坐标系中,抛物线22221,,x yx yx y的共同点是()．A ．开口向上,对称轴是y 轴,顶点是原点B ．对称轴是y 轴,顶点是原点C ．开口向下,对称轴是y 轴,顶点是原点D ．有最小值为3.函数2ax y与b axy的图象可能是（）A B C D4.在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（）A.2xy B.231xyC.233xyD.22xy 5.下列函数中,具有过原点,且当0x时,y 随x 增大而减小,这两个特征的有()．①)0(2aax y;②)1()1(2ax a y;③)0(22aa x y ;④)0(23aa x y A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.若对任意实数x,二次函数2)1(x a y 的值总是非负数,则a 的取值范围是()．A ．1aB ．1aC ．1aD ．1a 7.下列说法错误的是()．A ．在二次函数23xy 中,当0x 时,y 随x 的增大而增大B ．在二次函数26xy 中,当0x时,y 有最大值0C ．a 越大图象开口越小,a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数,抛物线)0(2aax y 的顶点一定是坐标原点8.已知点),2(),,1(),,3(321y C y B y A 在抛物线232xy上,则321,,y y y 的大小关系是()．A ．321y y y B ．321y y y C ．231y y y D ．132y y y 二．填空题1.抛物线221x y的对称轴是（或），顶点坐标是，抛物线上的点都在x 轴的方，当x时，y 随x 的增大而增大，当x时，y 随x的增大而减小，当x =时，该函数有最值是。

2212二次函数y=ax2的图象和性质第一学期人教版九年级数学（含答案）22.1.2 二次函数y＝a某2的图象和性质点1 二次函数y＝a某2的图象1.二次函数y＝某2的对称轴是()A.直线y＝1B.直线某＝1C.y轴D.某轴2.下列图象中,是二次函数y＝－2某2的图象的是()3.已知二次函数y＝(2－a)某2的图象如图所示,则a的取值范围为. 4.函数y ＝4某2的图象的顶点坐标为()A.(1,－4)B.(0,0)C.(0,4)D.(4,0)5.在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象:①y＝某2;②y＝2某2;③y＝－某2;④y＝－2某2.对比上述函数的图象,说出函数关系式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响.知识点2 二次函数y＝a某2的性质6.若二次函数y＝a某2的图象经过点P(－2,4),则该图象必经过点()A.(2,4)B.(－2,－4)C.(－4,2)D.(4,－2)7.已知二次函数y＝某2,当某>0时,y随某的增大而.(填“增大”或“减小”)8.请写出一个顶点是原点,且自变量大于零时,函数值随着自变量的增大而减小的抛物线的解析式. 9.抛物线y＝a某2(a≠0)与直线y＝某－3交于点(1,b).(1)求a,b的值.(2)某取何值时,二次函数中的y随某的增大而减小10.已知点A(－3,y1),B(－1,y2),C(2,y3)在抛物线y＝23某2上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y1>y2>y3C.y1<y3<y2D.y2<y3<y111.二次函数y＝a某2与一次函数y＝－a某在同一平面直角坐标系中的图象可能是()二次函数与正比例函数y＝k某的图象→二次函数与一次函数y＝k某＋b(b≠0)的图象当ab>0时,y＝a某2与y＝a某＋b的图象可能是()12.如图,正方形的边长为4,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y＝2某2与y＝－2某2的图象,则阴影部分的面积是. 13.若点A(某1,8)和点B(某2,8)(某1≠某2)均在二次函数y＝m某2(m>0)的图象上,则当某＝某1＋某2时,y的值是. 14.已知一次函数y＝a某＋b的图象上有A,B两点,它们的横坐标分别是3,－1.若二次函数y＝13某2的图象经过A,B两点.(1)请求出此一次函数的解析式;(2)设该二次函数的顶点为C,求△ABC的面积.15.如图,过点F(0,－1)的直线y＝k某＋b(k≠0)与抛物线y＝－14某2交于A(某1,y1),B(某2,y2)两点.(1)求b的值;(2)求某1某2的值.16.定义:若抛物线y的顶点为P,点A的坐标为(a,a)(a是常数,且a≠0),我们把线段PA称为抛物线y的顶割线.已知抛物线y＝m某2(m≠0).(1)求抛物线y的顶割线所在直线的函数解析式;(2)若抛物线y的顶割线长为22,且点A在抛物线y上,求m的值.22.1.2 二次函数y＝a 某2的图象和性质知识点1 二次函数y＝a某2的图象1.二次函数y＝某2的对称轴是(C)A.直线y＝1B.直线某＝1C.y轴D.某轴2.下列图象中,是二次函数y＝－2某2的图象的是(D)3.已知二次函数y＝(2－a)某2的图象如图所示,则a的取值范围为a<2 . 4.函数y＝4某2的图象的顶点坐标为(B)A.(1,－4)B.(0,0)C.(0,4)D.(4,0)5.在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象:①y＝某2;②y＝2某2;③y＝－某2;④y＝－2某2.对比上述函数的图象,说出函数关系式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响.图略.由图象可知,a的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同,a>0时,开口向上,a<0时开口向下;|a|越大,开口越小.知识点2 二次函数y＝a某2的性质6.若二次函数y＝a某2的图象经过点P(－2,4),则该图象必经过点(A)A.(2,4)B.(－2,－4)C.(－4,2)D.(4,－2)7.已知二次函数y＝某2,当某>0时,y随某的增大而增大.(填“增大”或“减小”)8.请写出一个顶点是原点,且自变量大于零时,函数值随着自变量的增大而减小的抛物线的解析式y＝－某2(答案不唯一) . 9.抛物线y＝a某2(a≠0)与直线y＝某－3交于点(1,b).(1)求a,b的值.(2)某取何值时,二次函数中的y随某的增大而减小解:(1)把点(1,b)代入y＝某－3,得b＝1－3＝－2,∴抛物线与直线的交点的坐标为(1,－2),把点(1,－2)代入y＝a某2,得a＝－2.(2)由(1)知y＝－2某2,∴抛物线开口向下,且对称轴为y轴,∴当某>0时,y随某的增大而减小.10.已知点A(－3,y1),B(－1,y2),C(2,y3)在抛物线y＝23某2上,则y1,y2,y3的大小关系是(D)A.y1<y2<y3B.y1>y2>y3C.y1<y3<y2D.y2<y3<y111.二次函数y＝a某2与一次函数y＝－a某在同一平面直角坐标系中的图象可能是(B)二次函数与正比例函数y＝k某的图象→二次函数与一次函数y＝k某＋b(b≠0)的图象当ab>0时,y＝a某2与y＝a某＋b的图象可能是(D)12.如图,正方形的边长为4,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y＝2某2与y＝－2某2的图象,则阴影部分的面积是8 . 13.若点A(某1,8)和点B(某2,8)(某1≠某2)均在二次函数y＝m某2(m>0)的图象上,则当某＝某1＋某2时,y的值是0 . 14.已知一次函数y＝a某＋b的图象上有A,B两点,它们的横坐标分别是3,－1.若二次函数y＝13某2的图象经过A,B两点.(1)请求出此一次函数的解析式;(2)设该二次函数的顶点为C,求△ABC的面积.解:(1)一次函数的解析式为y＝23某＋1.(2)∵二次函数的解析式为y＝13某2,∴点C的坐标为(0,0).设一次函数与y轴的交点为D,则点D的坐标为(0,1),∴CD＝1,∴S△ABC＝12CD·(某A－某B)＝12某1某4＝2.15.如图,过点F(0,－1)的直线y＝k某＋b(k≠0)与抛物线y＝－14某2交于A(某1,y1),B(某2,y2)两点.(1)求b的值;(2)求某1某2的值.解:(1)b＝－1.(2)因为b＝－1,所以直线的解析式为y＝k某－1,联立y＝k某-1,y＝-14某2,则－14某2－k某＋1＝0,所以某1某2＝－4.16.定义:若抛物线y的顶点为P,点A的坐标为(a,a)(a是常数,且a≠0),我们把线段PA称为抛物线y的顶割线.已知抛物线y＝m某2(m≠0).(1)求抛物线y的顶割线所在直线的函数解析式;(2)若抛物线y的顶割线长为22,且点A在抛物线y上,求m的值.解:(1)∵抛物线y＝m某2(m≠0)的顶点坐标是(0,0),∴设顶割线所在直线的函数解析式为y＝k 某,把点A(a,a)代入y＝k某,得a＝ka,∵a≠0,∴k＝1,∴抛物线y的顶割线所在直线的函数解析式为y＝某.(2)∵抛物线y的顶割线长为22,∴PA ＝22,∴a2＋a2＝(22)2,解得a＝－2或a＝2,∴点A的坐标为(－2,－2)或(2,2),分别代入y＝m某2,得m＝－12或m＝12.。

22.1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．二次函数y ＝12x 2的图象的顶点坐标是( )A ．(1，0)B ．(0，0)C ．(－1，0)D ．(0，12)2．抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是( )A ．开口都向上B ．对称轴都是y 轴C ．都有最高点D ．y 都随x 的增大而增大3．二次函数y ＝－12x 2不具有的性质是( )A ．其图象开口向下B ．其图象的对称轴是y 轴C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D ．函数有最小值4．若二次函数y ＝ax 2的图象过点P (－2，4)，则该图象必经过点( ) A ．(2，4) B ．(－2，－4) C ．(－4，2)D ．(4，－2)5．已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)过A (－2，y 1)，B (1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( ) A ．y 1＞0＞y 2 B ．y 2＞0＞y 1 C ．y 1＞y 2＞0D ．y 2＞y 1＞06．已知原点是抛物线y ＝(m ＋1)x 2的最低点，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜－1 B ．m ＜1 C ．m ＞－1D ．m ＞－27．有下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y ＝－2x 2的图象上的点是____________________________________________________．8．已知二次函数y ＝(m －2)x 2的图象开口向下，则m 的取值范围是________． 9．(1)在如图22－1－2所示的同一直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2与y ＝－12x 2的图象．(2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题：①由图象可知抛物线y ＝2x 2与抛物线________的形状相同，且两抛物线关于________轴对称；同样，抛物线y ＝12x 2与抛物线____________的形状相同，也关于________轴对称．②当|a |相同时，抛物线的开口大小________；当|a |变大时，抛物线的开口________；当|a |变小时，抛物线的开口________．图22－1－210．分别说出下列各抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． (1)y ＝x 2； (2)y ＝－x 2； (3)y ＝15x 2； (4)y ＝－15x 2.11．[2019·呼和浩特] 二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象是( )图22－1－312．如图22－1－4，各抛物线所对应的函数解析式分别为：图22－1－4①y ＝ax 2；②y ＝bx 2；③y ＝cx 2；④y ＝dx 2.比较a ，b ，c ，d 的大小，用“＞”连接为______________．13．已知关于x 的二次函数y ＝mxm 2－2m －6，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m ＝________．14．已知二次函数y ＝ax 2的图象经过点A(－1，－12)．(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象； (2)请说出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．图22－1－515．二次函数y ＝ax 2的图象与直线y ＝2x －1交于点P(1，m)． (1)求a ，m 的值；(2)写出二次函数的解析式，并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大； (3)写出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．16．已知一条直线与抛物线y＝ax2(a＞0)相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y 轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D.如果∠AOB＝60°，AB∥x轴，AB＝2，那么a的值为________．17．已知二次函数y＝ax2与一次函数y＝kx－2的图象相交于A，B两点，如图22－1－6所示，其中A(－1，－1)，求△OAB的面积．图22－1－6教师详解详析1．B 2.B 3.D4．A [解析] ∵二次函数y ＝ax 2的图象是轴对称图形，对称轴是y 轴，观察各选项可知点(2，4)和点(－2，4)关于y 轴对称，故点(2，4)也在该函数的图象上．故选A.5．C [解析] ∵a ＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为y 轴，点A (－2，y 1)在对称轴的左侧，点B (1，y 2)在对称轴的右侧，点A 到对称轴的距离大于点B 到对称轴的距离．∴y 1＞y 2＞0.故选C.6．C [解析] ∵抛物线y ＝(m ＋1)x 2有最低点， ∴m ＋1＞0，即m ＞－1.故选C. 7．(－1，－2) 8．m ＜2 9．解：(1)略(2)①y ＝－2x 2 x y ＝－12x 2 x②相同 变小 变大 10．解：11.D12．a ＞b ＞d ＞c [解析] 因为直线x ＝1与这四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a )，(1，b )，(1，d )，(1，c )，所以a ＞b ＞d ＞c .13．4 [解析] 由题意，得m 2－2m －6＝2且m ≠0，解得m ＝4或m ＝－2.∵当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴m ＞0.∴m ＝4.14．解：(1)二次函数的解析式为y ＝－12x 2，图象如图：(2)这个二次函数图象的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴．15．解：(1)∵点P (1，m )在直线y ＝2x －1上， ∴m ＝2×1－1＝1.∴P (1，1)． 把(1，1)代入y ＝ax 2，得a ＝1.(2)由a ＝1得二次函数的解析式为y ＝x 2. 当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(3)二次函数y ＝x 2的图象的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴． 16.3 [解析] 如图．∵AB ∥x 轴，∴点A ，B 关于y 轴对称．∴OA ＝OB . ∵∠AOB ＝60°，AB ＝2，∴△AOB 是等边三角形，AC ＝BC ＝1. ∴OC ＝3AC ＝ 3.又∵点A 在第二象限，∴点A 的坐标是(－1，3)． ∴3＝a ·(－1)2.解得a ＝ 3.17．解：∵一次函数y ＝kx －2的图象过点A (－1，－1)，∴－1＝－k －2，解得k ＝－1. ∴一次函数的解析式为y ＝－x －2. 设直线y ＝－x －2与y 轴交于点G . 在y ＝－x －2中，令x ＝0，得y ＝－2， ∴G (0，－2)．∴OG ＝2.∵二次函数y ＝ax 2的图象过点A (－1，－1)， ∴－1＝a ×1，解得a ＝－1. ∴二次函数的解析式为y ＝－x 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2，y ＝－x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－4，∴B(2，－4)．∴S△OAB＝12OG·|x A|＋12OG·|x B|＝12×2×1＋12×2×2＝1＋2＝3.。

2422.1.2 二次函数y=ax 2 的图象和性质1. 二次函数 y=ax 2 的图象如图所示,则不等式 ax>a 的解集是()A.x>1B.x<1C.x>-1D.x<-12. 对于二次函数 y=(a 2+3)x 2,下列命题中正确的是 ( )A.该函数图象的开口方向不确定B. 当 a<0 时,该函数图象的开口向下C. 该函数图象的对称轴是 y 轴,顶点是坐标原点D. 当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大3. 对抛物线 y=1x 2,y=x 2,y=-x 2 的共同性质描述如下:①都是开口向上;②都以点(0,0)为顶点;③都以 y 轴为对称轴;④都关于 x 轴对称.其中正确的有()个 B.2 个C.3 个D.4 个4. 右图所示的是抛物线形的桥拱,其函数解析式为 y=-1x 2,当水位线在 AB 位置时,水面宽为 12 m,这时水面离桥顶的高度 h 是()A .3 mB .2 6 mC .4 3 mD .9 m2 5. 已知抛物线y=ax 2(a>0)过 A (-2,y 1),B (1,y 2)两点,则下列关系式一定正确的是( )A.y 1>0>y 2B.y 2>0>y 1C.y 1>y 2>0D.y 2>y 1>06. 抛物线 y=-5x 2,当 x=时,y 有最值,是.7. 已知函数 y=ax 2(a ≠0)的图象与函数 y=2x-3 的图象交于点(1,b ).(1) 试求 a 和 b 的值.(2) 求函数 y=ax 2 的解析式,并求其图象的顶点坐标和对称轴.(3) x 取何值时,二次函数 y=ax 2 中的 y 随 x 的增大而增大?8. 如图,已知函数 y=ax 2(a ≠0)的图象上的点 D ,C 与 x 轴上的点 A (-5,0)和点 B (3,0)构成平行四边形ABCD ,DC 与 y 轴的交点为 E (0,6),试求 a 的值.9.已知二次函数 y 1=-4x 2,y 2=-x 2,y 3=-3x 2,它们的图象的开口大小由小到大的顺序是( )5A .y 1,y 2,y 3B .y 3,y 2,y 1C .y 2,y 1,y 3D .y 3,y 1,y 210. 当 m=时,关于 x 的函数 y=(m-1)��2-�是二次函数且其图象开口向上.11. 已知 A (-1,y 1),B (-2,y 2),C (3,y 3)三点都在二次函数 y=-1x 2 的图象上,则 y 1,y 2,y 3 的大小关系是 .12.已知抛物线y=ax2 经过点(-1,2),求当y=4 时,x 的值.13.如图,直线l 经过A(4,0)和B(0,4)两点,它与抛物线y=ax2 在第一象限内相交于点P.又知△AOP 的面积为4,求a 的值.★14.如图所示,图甲是某河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料,得到下表中的数据:x/m 510 20 30 40 50y/m 0.125 0.5 24.5 812.5(1)请你以上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标,尝试在图乙所示的坐标系中画出y 关于x 的函数图象.(2)①填写下表:x510 20 30 40 50x2y4 ②根据所填表中呈现的规律,猜想出用 x 表示 y 的二次函数的解析式 .(3) 当水面宽度为 36 m 时,一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为 1.8 m 的货船能否在这个河段安全通过?为什么?参考答案夯基达标1.B 由图象可知 a<0,故不等式 ax>a 的解集为 x<1.2.C 因为 a 2+3>0,所以函数 y=(a 2+3)x 2 的图象开口向上,A,B 错误.该函数图象的顶点是坐标原点,对称轴为 y 轴.当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大;当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小,D 项错误.3.B ②③正确.4.D 由 AB=12 m 及 y=-1x 2 图象的对称性,可知点 A 的横坐标为-6.把 x=-6 代入 y=-1x 2 中,即可求出点 A 的纵坐标 y=-1×(-6)2=-9.44因此,水面离桥顶的高度 h=|-9|=9(m).5.C ∵抛物线 y=ax 2(a>0),∴A (-2,y 1)关于 y 轴对称点的坐标为(2,y 1). 又 a>0,0<1<2,∴y 2<y 1. 故选 C .6.0 大 07.解 (1)将 x=1,y=b 代入 y=2x-3,得 b=-1.所以交点坐标为(1,-1).再将 x=1,y=-1 代入 y=ax 2,得 a=-1.故a=-1,b=-1.(2) 由(1)知 a=-1,故所求函数的解析式为 y=-x 2,则其图象的顶点坐标为(0,0),对称轴为 y 轴.(3) 当 x ≤0 时,y 随 x 的增大而增大.8.解 因为四边形 ABCD 是平行四边形,2 52所以DC∥AB,DC=AB.又因为点A,B 的坐标分别为(-5,0),(3,0),所以DC=AB=|-5|+3=8.因为y=ax2 图象的对称轴是y 轴,所以CE=DE=1CD=4.又因为点E 的坐标为(0,6),所以点C 的坐标为(4,6).把x=4,y=6 代入y=ax2,得6=42a,解得a=3.8培优促能9.A 二次函数y=ax2 的图象的开口大小与|a|有关,|a|越大,开口反而越小.∵|-4|>|-1|> - 3 ,∴选A.10.2 由题意得�2-� = 2,解得�1= 2,�2= -1,�-1 > 0, � > 1.故m=2.11.y3<y2<y112.解把x=-1,y=2 代入y=ax2,得a=2,于是y=2x2.∵当y=4 时,2x2=4,∴x=±2.13.解由△AOP 的面积可知P 是AB 的中点,从而可得△OAP 是等腰直角三角形.过点P 作PC⊥OA 于点C,可求得点P 的坐标为(2,2),所以a=1.创新应用14.解(1)y 关于x 的图象如图.(2)①200 200 200 200 200 200 ②y= 1 x2200(3)当水面宽度为36 m 时,相应的x 为18,此时水面中心的深度y= 1 ×182=1.62(m).200因为货船吃水深度为1.8 m,1.62<1.8,所以当水面宽度为36 m 时,货船不能通过这个河段.。

人教版2021年九年级上册：22.1.2：二次函数y=ax2的图像和性质课时练习一．选择题1．抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象，开口较大的是（）A．y＝﹣2x2B．y＝4x2C．同样大D．无法确定2．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝3x2，y＝﹣3x2，y＝﹣x2图象的共同点是（）A．都关于x轴对称，抛物线开口向上B．都关于y轴对称，抛物线开口向下C．都关于y轴对称，顶点都是原点D．都关于原点对称，顶点都是原点3．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．4．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（）A．B．C．D．5．两个二次函数的图象如图所示，其中一个是y＝x2，另一个是y＝ax2，则a可能的取值为（）A．1B．C．D．﹣6．已知函数y1＝x2与函数y2＝的图象大致如图．若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）A．＜x＜2B．x＞2或x＜C．﹣2＜x＜D．x＜﹣2或x＞二．填空题7．二次函数y＝x2的图象开口方向是（填“向上”或“向下”）．8．抛物线的对称轴为．9．已知抛物线的解析式为y＝﹣2x2+1，则抛物线的顶点坐标为．10．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）11．已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．12．若函数y＝﹣x2+9的函数值y＞0，则自变量x的取值范围是．13．若函数y＝3x2与直线y＝kx+3的交点为（2，b），则k＝，b＝．14．二次函数y＝x2的函数图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A10在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B10在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3…△A9B10A10都为等边三角形，则△A9B10A10的边长为．三．解答题15．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象．（1）y＝2x2；（2）y＝x2．16．不画图象，说出抛物线y＝﹣x2的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高（低）点坐标．17．已知二次函数y＝ax2的图象经过点P（2，5），试确定它的开口方向和a的值．18．已知函数y＝（m﹣3）是关于x的二次函数．（1）求满足条件的m的值；（2）当m为何值时，它的图象有最低点？此时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）当m为何值时，它的图象有最高点？此时当x为何值时，y随x的增大而减小？参考答案一．选择题1．解：抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象中|4|＝4，|﹣2|＝2，∵4＞2，∴抛物线y＝4x2的开口小于y＝﹣2x2的开口，故选：A．2．解：A、都关于y轴对称，但开口方向有的向下，故错误；B、都关于y轴对称，但开口方向有的向上，故错误；C、都关于y轴对称，顶点都是原点，故正确；D、都关于y轴对称，故错误，故选：C．3．解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．4．解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．5．解：由图象知，二次函数y＝ax2图象的开口向上，且小于二次函数y＝x2的图象的开口，∴a＞，故选：A．6．解：由y1＝y2，即x2＝，解得：x1＝﹣2，x2＝．由图象可知，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是﹣2＜x＜．故选：C．二．填空题7．解：由y＝x2得：a＞0，∴二次函数图象开口向上．故答案为：向上．8．解：∵a＝，b＝0，∴x＝﹣＝0，故答案为直线x＝0或y轴．9．解：∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2+1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，1），故答案为：（0，1）．10．解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，故答案为：上升．11．解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口，开口向下，则a2＜a1＜0，故答案为：＞．12．解：如图，∵函数y＝﹣x2+9的函数值y＞0，∴﹣x2+9＞0，解得﹣3＜x＜3，故答案为﹣3＜x＜3．13．解：根据题意，把（2，b）代入y＝3x2中，得b＝12；再把交点（2，12）代入y＝kx+3中，得k＝4.5．14．解：∵△A0B1A1是等边三角形，∴∠A1A0B1＝60°，∴A0B1的解析式为y＝x，联立，解得，（为原点，舍去），∴点B1（，），∴等边△A0B1A1的边长为×2＝1，同理，A1B2的解析式为y ＝x+1，联立，解得，（在第二象限，舍去），∴B2（，2），∴等边△A1B2A2的边长A1A2＝2×（2﹣1）＝2，同理可求出B3（，），所以，等边△A2B3A3的边长A2A3＝2×（﹣1﹣2）＝3，…，以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，△A9B10A10的边长A9A10＝10．故答案为：10．三．解答题15．解：列表得：﹣2﹣101282028 y＝2x2y ＝x2202描点、连线可得图象为：16．解：抛物线y＝﹣x2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），开口方向下，最高点坐标（0，0）；17．解：∵二次函数y＝ax2的图象经过点P（2，5），∴4a＝5，解得a＝，∴开口方向向上．18．解：（1）根据题意得m﹣3≠0且m2﹣2m﹣6＝2，解得m1＝﹣2，m2＝4．所以满足条件的m的值为﹣2或4；（2）∵当m﹣3＞0时，图象有最低点，∴m＝4，此时二次函数的解析式为y＝x2，∴当x＞0时，y随x的增大而增大；（3））∵当m﹣3＜0时，图象有最高点，∴m＝﹣2，此时二次函数的解析式为y＝﹣5x2，∴当x＞0时，y随x的增大而减小．。

22.1.2二次函数y=ax^2的图象和性质一，选择题1．下列函数关系中，可以看做二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠ 0）模型的是 （ ）A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系2．函数2()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是 （ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠ 0B ．m 、n 为常数，且m ≠ nC ．m 、n 为常数，且n ≠ 0D ．m 、n 可以为任何数3．已知二次函数2135y x x =-+，则它们的二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（ ）A ．a ＝1，b ＝－3，c ＝5B ．a ＝1，b ＝3，c ＝5C ．a ＝5，b ＝3，c ＝1D ．a ＝5，b ＝－3，c ＝14.下列函数中是二次函数的有 （ ）①y =x ＋1x；②23(1)2y x =-+；③22(3)2y x x =+-；④y =21x ＋x A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．在半径为4cm 的圆中，挖出一个半径为x cm 的圆，剩下的圆环的面积是y 2cm ，则y 与x 的函数关为 （ ）A ．24y x π=-B ．2(2)y x π=-C ．2(4)y x π=+D ．216y x ππ=-+ 6．在同一坐标系中，抛物线2y x =，2y x =-，212y x =的共同点是 （ ） A ．开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点 B ．开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点C ．对称轴是y 轴，顶点是原点D ．有最小值为07．函数y=ax －2（a ≠0）与y ＝ax 2（a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）A.答案AB.答案BC.答案CD.答案D8．抛物线①23y x =，②223y x =，③243y x =的开口大小的次序应为 （ ） A ．①＞②＞③ B ．①＞③＞② C ．②＞③＞① D ．②＞①＞③9．下列函数中，当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（ ）A ．y = x 2B ．y = x －１C ． y = 34 xD ．y = 1x10．关于函数23y x =的性质的叙述，错误的是 （ ）A ．对称轴是y 轴B ．顶点是原点C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．y 有最大值11．已知点A （－3，1y ），B （－1，2y ），C （2，3y ）在抛物线223y x =上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．1y ＜2y ＜3yB ．1y ＞2y ＞3yC ．1y ＜3y ＜2yD ．2y ＜3y ＜1y 二，填空题12.函数225y x =的图像开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 13.函数232y x =-的图像开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．14.函数226k k y kx--=是二次函数，当k 时，图像开口向上；当k 时，图像开口向下． 15.函数2y mx =的图像如图所示，则m 0，在对称轴左侧，y 随x 的增大 而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，顶点坐标是 ，是抛物线的最 点，函数在x = 时，有最 值为 ．16．菱形的两条对角线的和为26cm ，则菱形的面积S （cm 2）与一条对角线的长x （cm ）之间的函数关系式为______________________，自变量的取值范围是_____________．17．函数y =（m ＋2）x ＋2x －1是二次函数，则m =________．18．已知二次函数2y mx =甲和2y nx =乙，对任意给定一个x 值都有y 甲≥y 乙，关于m ，n的关系可能正确的是 (填序号).①m ＜n ＜0 ②m ＞0，n ＜0 ③m ＜0，n ＞0 ④m ＞n ＞0三，解答题19．已知函数2326(3)m m y m x --=+是关于x 的二次函数．（1）求m 的值； （2）当m 为何值时，该函数图象的开口向下？（3）当m 为何值时，该函数有最小值？22-m参考答案1．D ．2．B ．3．D ．4. B ． 5．D ．6．D ．7．A ．8．B ．9．D ．10．D ．11．D ．12.上，y 轴，（0,0）．13.下，y 轴，（0,0）．14. =4，=－2．15.＞0，减小，增大，（0,0），低，0，小，0．16.（1）y=29x 2； （2）y=－212x ； （3）y=－43x 2．17．S =21x （26－x ），0＜x ＜26．10．2．18．②④． 19． ⑴由题意，得，∴，∴m =7，－4; ⑵m =－4；⑶m =7．2326230m m m ⎧--=⎨+≠⎩7,43m m =-⎧⎨≠-⎩。

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质测试时间:15分钟一、选择题1.(2017安徽安庆期末)下列关于函数y=-x2的图象说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点坐标为(0,0),其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最低点,则m的取值范围是( )A.m<-1B.m<1C.m>-1D.m>-23.(2017天津河西期中)下列二次函数,其图象开口最大的是( )A.y=x2B.y=2x2C.y=x2D.y=-x24.已知点A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)在函数y=-x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为( )A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1D.y2<y1<y3二、填空题5.(2018河南周口西华期中)二次函数y1=mx2,y2=nx2的图象如图所示,则m n(填“>”或“<”).6.如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=2x2与y=-2x2的图象,则阴影部分的面积是.三、解答题7.已知二次函数y=ax2的图象经过点(-1,1).(1)求这个二次函数的表达式;(2)求当x=2时y的值.8.根据下列条件求m的取值范围.(1)函数y=(m+3)x2,当x>0时,y随x的增大而减小,当x<0时,y随x的增大而增大;(2)函数y=(2m-1)x2有最小值;(3)抛物线y=(m+2)x2与抛物线y=-x2+1的形状相同.9.已知二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx-2的图象相交于A、B两点,如图所示,其中A(-1,-1).(1)求二次函数和一次函数的解析式;(2)求△OAB的面积.22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质一、选择题1.答案 D ①二次函数y=-x2的图象是抛物线,正确;②因为a=-<0,所以抛物线开口向下,正确;③因为b=0,所以对称轴是y轴,正确;④易知顶点坐标为(0,0),正确.故选D.2.答案 C ∵抛物线y=(m+1)x2有最低点,∴m+1>0,即m>-1,故选C.3.答案 C 在y=ax2(a≠0)中,当a的绝对值越大时其开口越小,∵<|-1|=|1|<|2|,∴二次函数y=x2的图象的开口最大,故选C.4.答案 B 当x=-3时,y1=-x2=-9;当x=-1时,y2=-x2=-1;当x=2时,y3=-x2=-4,所以y1<y3<y2.故选B.二、填空题5.答案>解析根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系:二次项系数的绝对值越大,开口越小,知m>n.6.答案8解析∵函数y=2x2与y=-2x2的图象关于x轴对称,∴题图中阴影部分的面积是边长为4的正方形面积的一半,∴题图中阴影部分的面积是×42=8.三、解答题7.解析(1)把(-1,1)代入y=ax2中,得a·(-1)2=1,解得a=1,所以这个二次函数的表达式为y=x2.(2)当x=2时,y=x2=4.8.解析(1)∵函数y=(m+3)x2,当x>0时,y随x的增大而减小,当x<0时,y随x的增大而增大,∴m+3<0,解得m<-3.(2)∵函数y=(2m-1)x2有最小值,∴2m-1>0,解得m>.(3)∵抛物线y=(m+2)x2与抛物线y=-x2+1的形状相同,∴|m+2|=-,即m+2=±,解得m=-或m=-.9.解析(1)∵一次函数y=kx-2的图象过点A(-1,-1),∴-1=-k-2,解得k=-1,∴一次函数的解析式为y=-x-2.∵y=ax2过点A(-1,-1),∴-1=a×(-1)2,解得a=-1,∴二次函数的解析式为y=-x2.(2)设AB交y轴于点G,过B作BH⊥OG于点H.在y=-x-2中,令x=0,得y=-2,∴G(0,-2),-联立一次函数与二次函数解析式可得解得或∴B(2,-4),∴BH=2.∴S△OAB=S△AOG+S△BOG=×2×1+×2×2=1+2=3.。

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22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
1．抛物线
y＝
1
2
x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点(0,0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．
其中说法正确的个数有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．已知抛物线y＝ax2(a>0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )
A．y1>0>y2B．y2>0>y1
C．y1>y2>0 D．y2>y1>0
3．函数y＝x2，y＝1
2
x2，y＝2x2的图象大致如图22­1­5所示，则图中从
里到外的三条抛物线对应的函数依次是( )
图22­1­ 5
A．y＝1
2
x2，y＝x2，y＝2x2
B．y＝x2，y＝1
2
x2，y＝2x2
1。

22.1.2二次函数2ax y =的图像和性质基础练习1.已知函数2ax y =的图象过点（2，-4），则a= ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，抛物线的开口方向 ，抛物线的顶点是最 点。

2. 二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．3.写出一个过点（1，2）的二次函数表达式_________________．4．抛物线y ＝x 2有____________点（填“最高”或“最低”） ．5.下列关于函数221x y -=的图象说法（ ） ①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点（0，0）。

其中正确的有（ ） （ A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个6.已知函数2x y =的图象过点（a ，b ），则它必通过的另一点是（ ）（A ）（a ，－b ） （B ）（－a ，b ）（C ）（－a ，－b ） （D ）（b ，a ）7．抛物线，y=4x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ）A ．y=x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定 8．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）9.抛物线2ax y =过A （-1，2），试判断B （-2，-3），C （21,21）是否在抛物线上。

10.已知抛物线2ax y -=与直线1+=kx y 交于两点其中一点坐标是()4 1，，求另一点的坐标。

11.如图，点P 是抛物线2x y =上在第一象限内的一点，点()0 3，A 。

⑴、令()y x P .,.，求OPA ∆的面积S 与y 的关系；⑵、S 是y 的什么函数？S 是x 的什么函数？综合与运用12.已知正方形的对角线长为x ，面积为y 。

（1）写y 与x 的函数关系；（2）画出这个函数的图象。

13.二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．（1）求a 、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．拓展与探索14.抛物线)0(2≠=a ax y 与直线34-=x y 交于点A （m ，1），求：（1）点A 的坐标及抛物线顶点C 的坐标和对称轴；（2）抛物线2ax y =与直线34-=x y 是否还有其他交点？若有，请求出这个交点B 的坐标，若没有，请说明理由。

数学人教版九年级上册22一、选择题1.函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，那么a的值为〔〕A.±2B.－2C.2D.32.抛物线y=﹣x2不具有的性质是〔〕A.对称轴是y轴B.启齿向下C.当x＜0时，y随x的增大而减小D.顶点坐标是〔0，0〕3.关于函数，以下结论正确的选项是( )A.y随x的增大而增大B.图象启齿向下C.图象关于y轴对称D.无论x取何值，y的值总是正的4.抛物线y=ax2〔a＞0〕过A〔﹣2，y1〕、B〔1，y2〕两点，那么以下关系式一定正确的选项是〔〕A.y1＞0＞y2B.y2＞0＞y1C.y1＞y2＞0D.y2＞y1＞05.抛物线y＝－x2的图象一定经过( )A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限6.如图，四个二次函数的图象中，区分对应的是：① ；② ；③ ；④，那么的大小关系为( )A. B. C. D.7.以下说法中错误的选项是( )A.在函数y＝－x2中，当x＝0时y有最大值0B.在函数y＝2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大C.抛物线y＝2x2，y＝－x2，中，抛物线y＝2x2的启齿最小，抛物线y＝－x2的启齿最大D.不论a是正数还是正数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点8.在同一坐标系中，作y=x2，y=－x2，y= x2的图象，它们的共同特点是〔〕A. 抛物线的启齿方向向上B. 都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大C. 都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D. 都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点二、填空题9.假定点A〔-2，y1〕，B〔-1，y2〕，C〔8，y3〕都在二次函数y=ax2(a<0)的图象上，那么从小到大的顺序是________．10.假定抛物线y=〔a﹣2〕x2的启齿向上，那么a的取值范围是________．11.假定二次函数y=m 的图象启齿向下，那么m=________12.抛物线y＝－2x2的启齿方向是________，它的外形与y＝2x2的外形________，它的顶点坐标是________，对称轴是________．13.直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是________.14.抛物线y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2的图象如下图，那么a，b，c的大小关系是________．15.二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对恣意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的选项是________(填序号).①m<n<0 ②m>0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>0三、解答题16.抛物线经过点A(－2，－8).〔1〕求a的值,〔2〕假定点P(m，－6)在此抛物线上，求点P的坐标.17.抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)．〔1〕求a，b的值．〔2〕抛物线y＝ax2的图象上能否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？假定存在，求出点P的坐标；假定不存在，请说明理由．18.在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．〔1〕区分指出它们的启齿方向、对称轴以及顶点坐标；〔2〕抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？19.函数y=ax2〔a≠0〕与直线y=2x-3的图象交于点〔1，b〕．求：〔1〕a和b的值；〔2〕求抛物线y=ax2的启齿方向、对称轴、顶点坐标；〔3〕作y=ax2的草图．20.如图，直线AB过x轴上一点A〔2，0〕，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为〔1，1〕．〔1〕求直线AB的解析式及抛物线y=ax2的解析式；〔2〕求点C的坐标；〔3〕求S△COB．答案解析局部一、选择题1.【答案】C【考点】待定系数法求二次函数解析式【解析】【解答】把点(a,8)代λ:yax得:a'=8,解得:a=2故答案为：C【剖析】将点的坐标代入函数解析式，解方程即求出a的值。

二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．关于二次函数y ＝8x 2的图象，下列说法错误的是( C )A ．它的形状是一条抛物线B ．它的开口向上，且关于y 轴对称C ．它的顶点是抛物线的最高点D ．它的顶点在原点处，坐标为(0，0)【解析】 ∵抛物线y ＝8x 2中二次项系数为8，∴此抛物线的开口向上，顶点为(0，0)，它应是抛物线的最低点．2．对于二次函数y ＝－34x 2，下列说法错误的是( A ) A ．开口向上B ．对称轴为y 轴C ．顶点坐标为(0，0)D ．当x ＝0时，y 有最大值0【解析】 当a ＝－34＜0时，二次函数的图象开口向下． 3．若二次函数y ＝ax 2的图象过点P (－2，4)，则该图象必经过点( A )A ．(2，4)B ．(－2，－4)C ．(－4，－2)D ．(4，－2)4．已知二次函数：y ＝2 013x 2，y ＝－2 013x 2，y ＝12 014x 2，y ＝－12 014x 2，它们图象的共同特点为( D )A ．都关于原点对称，开口方向向上B ．都关于x 轴对称，y 随x 增大而增大C ．都关于y 轴对称，y 随x 增大而减小D ．都关于y 轴对称，顶点都是原点【解析】 根据y ＝ax 2的图象特征判断．D 正确．5．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的是( D )A ．y ＝x 2B ．y ＝x －1C ．y ＝34xD ．y ＝1x【解析】 A 不正确，二次函数y ＝x 2的对称轴为x ＝0，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大；B 、C 中y 随x 的增大而增大，均不正确，D 正确．图22－1－7 6．函数y ＝x 2，y ＝12x 2，y ＝2x 2的图象大致如图22－1－7所示，则图中从里到外的三条抛物线对应的函数依次是( D )A ．y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2 B ．y ＝x 2，y ＝12x 2，y ＝2x 2 C ．y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝x 2 D ．y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝12x 2 【解析】 |a |越大，抛物线y ＝ax 2的开口越小．7．抛物线y ＝－23x 2的开口向__下__，顶点坐标为(0，0)，顶点是抛物线的最高点，当x ＝__0__时，函数有最大值为__0__． 8．若二次函数y ＝(m ＋2)xm 2－3的图象开口向下，则m ＝__－5__．【解析】 根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2<0，m 2－3＝2， 解得m ＝－ 5. 9．一个二次函数的图象如图22－1－8所示，图象过点(－2，3)，则它的解析式为__y ＝34x 2__，当x ＝__0__时，函数有最__小__值为__0__，若另一个函数图象与此图象关于x 轴对称，那么另一个函数的解析式为__y ＝－34x 2__，当x ＝__0__时，函数y 有最__大__值为__0__．图22－1－8 【解析】 设y ＝ax 2，则3＝4a ，a ＝34，∴y ＝34x 2. 当x ＝0时，y 有最小值．关于x 轴对称的抛物线的解析式中a 值互为相反数．10．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2. 解：列表：x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …y ＝12x 2 … 2 0 2 … y ＝x 2 … 9 1 4 …y ＝－x 2 … －1 －1 －9 …描点、连线画图象．(1)完成上述表格，在图22－1－9中画出其余的两个函数的图象；(2)由图22－1－9中的三个函数图象，请总结二次函数y ＝ax 2中a 的值与它的图象有什么关系？图22－1－9 解：(1)第二行依次填92，12，12，92； 第三行依次填4，0，1，9；第四行依次填－9，－4，0，－4.图象略．(2)a 的符号决定抛物线的开口方向，|a |的大小决定抛物线的开口大小．11．已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( C )【解析】 在同一平面直角坐标系中，a 值的正、负情况应保持一致，只有A 、C 符合条件，又因为两图象应有两个交点，故选C.12．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，－8)．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B (－1，－4)是否在此抛物线上；(3)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．解：(1)把(－2，－8)代入y ＝ax 2，得－8＝a ×(－2)2，解出a ＝－2，所求抛物线的函数解析式为y ＝－2x 2.(2)因为－4≠－2×(－1)2，所以点B (－1，－4)不在此抛物线上． (3)由－6＝－2x 2，得x 2＝3，x ＝±3，所以抛物线上纵坐标为－6的点有两个，它们分别是(3，－6)，(－3，－6)．图22－1－1013．如图22－1－10，已知直线l 过A (4，0)，B (0，4)两点，它与二次函数y ＝ax 2的图象在第一象限内相交于点P .若△AOP 的面积为92，求a 的值． 解：设点P (x ，y )，直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A (4，0)，B (0，4)分别代入y ＝kx ＋b ，得k ＝－1，b ＝4，故y ＝－x ＋4，∵△AOP 的面积为92＝12×4×y ∴y ＝94再把y ＝94代入y ＝－x ＋4，得x ＝74， 所以P (74，94) 把P (74，94)代入到y ＝ax 2中得：a ＝3649. 14．问题情境：如图22－1－11，在x 轴上有两点A (m ，0)，B (n ，0)(n >m >0)，分别过点A ，点B 作x 轴的垂线，交抛物线y ＝x 2于点C ，点D ，直线OC 交直线BD 于点E ，直线OD 交直线AC 于点F ，点E ，点F的纵坐标分别为y E，y F.特例探究：填空：当m＝1，n＝2时，y E＝________，y F＝________；当m＝3，n＝5时，y E＝________，y F＝________．归纳证明：对任意m，n(n>m>0)，猜想y E与y F的大小关系，并证明你的猜想．拓展应用：(1)若将“抛物线y＝x2”改为“抛物线y＝ax2(a>0)”，其他条件不变，请直接写出y E与y F的大小关系；四边形△m与n的关系及四边形OFEA的形状．图22－1－11解：221515归纳证明：猜想：y E＝y F.证明：∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，A，B的坐标分别为A(m，0)，B(n，0)，∴C，D的横坐标分别为m，n.∵C，D在抛物线y＝x2上，∴C点的坐标为(m，m2)，D点的坐标为(n，n2)．设直线OC的解析式为y＝k1x，直线OD的解析式为y＝k2x，∴m2＝k1m，n2＝k2n，解得k1＝m，k2＝n，∴直线OC的解析式为y＝mx.直线OD的解析式为y＝nx，把E，F的横坐标分别代入y＝mx与y＝nx得y E＝mn，y F＝mn，∴y E＝y F.拓展应用：(1)y E＝y F.(2)n＝2m，四边形OAEF为平行四边形．。

二次函数y ＝ax 2的图象和性质基础题练习1．(1)函数y ＝2x 2的图象开口_______，对称轴为_______，顶点坐标为_______；(2)函数y 2的图象开口_______，对称轴为_______，顶点坐标为_______．2．(1)已知函数y ＝3x 2，当x >0时，y 随x 的增大而_______；当x <0时，y 随x 的增大而_______；当x ＝0时，y 有最_______值，为_______；(2)已知函数y ＝－4x 2，当x >0时，y 随x 的增大而_______；当x <0时，y 随x 的增大而_______；当x ＝0时，y 有最_______值，为_______．3．已知a >1，点(a －1，y 1)、(a ，y 2)、(a ＋1，y 3)都在函数y ＝－x 2的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 ( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 34．已知二次函数y ＝(a 2＋3a －2)x 2的图象开口向下，且经过点（－1，－4），则a 的值为( )A ．1或2B ．1C ．－1或－9D ．－25．已知函数y ＝(k ＋3)x 232kk +-是二次函数，当x <0时，y 随x 的增大而增大．求：(1)k 的值．(2)顶点坐标和对称轴．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－2，－8），则抛物线对应的函数关系式为_______．7．当m＝_______时，二次函数y＝(1－m)x22m-的图象开口向上．8．如图，四个二次函数的图象分别对应的函数关系式是：①y＝ax2，②y＝bx2，③y＝c x2，④y＝d x2，则a、b、c、d的大小关系是_______．（用“<”号连接）．9．已知函数y1＝x2与函数y2＝－12x＋3的大致图象如图所示，若y1<y2，则自变量x的取值范围是( )A．－32<x<2 B．x>2或x<－32C．－2<x<32D．x<－2或x>3210．若二次函数y＝m x2＋m2－2m的图象经过原点，则m的值为( ) A．1 B．0 C．2 D．0或211．已知y＝(m＋1)x2m m+是二次函数，其图象开口向下．(1)求m的值和二次函数的关系式．(2)当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？12．已知抛物线y＝ax2与直线y＝3x－2都经过点P(2，b)．(1)求a、b的值．(2)一条开口向下，顶点为原点，且对称轴为y轴的抛物线恰好经过点M(2a，2a－b)，求这条抛物线所对应的函数关系式．13．已知抛物线y＝ax2经过点A（－2，4）．(1)求此抛物线所对应的函数关系式．(2)写出抛物线上纵坐标为4的另一个点B的坐标，并求出S△AOB．(3)抛物线上是否存在一点C，使得△ABC的面积等于△AOB面积的一半？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1．(1)向上y轴(0，0) (2)向下y轴(0，0)2．(1)增大减小小0 (2)减小增大大0 3．C4．C5．(1)k＝－4 (2)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴6．y＝－2x27．－2 8．d<c<b<a9．C 10．C11．(1)m的值为－2，二次函数的关系式为y＝－x2(2)当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小12．(1)a＝1，b＝4 (2) y＝－12x213．(1) y＝x2(2) B(2，4)S△AOB＝8 (3)存在点C6）、6）、，2，2）。

人教版数学九级上册《22.1.2二次函数的图y=ax2图像和性质》同步练习一．选择题（共12小题）1．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=bx2+ax的图象可能是（）A．B．C．D．2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2﹣3 B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2 3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么这个函数的顶点坐标是（）A．（1，﹣）B．（1，）C．（1，﹣）D．（1，﹣）4．对于二次函数y=（x﹣2）2+3的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x=﹣2C．顶点坐标是（2，3）D．与x轴有两个交点5．抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．x轴的正半轴上D．x轴的负半轴上6．从﹣4，﹣2，0，1，2，34这七个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的分式方程+=﹣2有正整数解，又使函数y=x2﹣（2a﹣7）x+1的顶点在第三象限，那么这七个数中所有满足条件a的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知，平面直角坐标系中，直线y1=x+3与抛物线y2=﹣+2x的图象如图，点P是y2上的一个动点，则点P到直线y1的最短距离为（）A．B．C．D．8．已知函数y=2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，下列结论错误的是（）A．当m=0时，y随x的增大而增大B．当m=时，函数图象的顶点坐标是（，﹣）C．当m=﹣1时，若x＜，则y随x的增大而减小D．无论m取何值，函数图象都经过同一个点9．二次函数y=﹣x2+（12﹣m）x+12，时，当x＞2时，y随x的增大而减小；当x＜2时，y随x的增大而增大，则m的值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．已知y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），乐老师在用描点法画其的图象时，列出如下表格，根据该表格，下列判断中不正确的是（）x …﹣1 0 1 2 …y …﹣2 2.5 4 2.5 …A．a＜0B．一元二次方程ax2+bx+c﹣5=0没有实数根C．当x=3时y=﹣2D．一元二次方程ax2+bx+c=0有一根比3大11．已知函数y=mx2+nx﹣3，且2m﹣n=1，若不论m取何正数时，函数值y 都随自变量x的增大而减小，则满足条件的x的取值范围是（）A．﹣4≤x≤﹣2 B．C．1＜x≤3 D．3≤x≤512．定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）13．抛物线y=x2+4的对称轴是．14．若抛物线y=（a﹣2）x2的开口向上，则a的取值范围是．15．二次函数y=﹣x2﹣2x图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象有两个公共点，则b的取值范围为．16．如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C，则线段BC的长为．三．解答题（共5小题）17．画函数y=的图象．18．已知二次函数y=ax2（a≠0）与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．19．如图，A点是抛物线y=ax2上第一象限内的点，A点坐标为（3，6），AB ⊥y轴与抛物线y=ax2的另一交点为B点．（1）求a的值和B点坐标；（2）在x轴上有一点C，C点坐标为（5，0），请求出△AOC的面积．20．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P（m，﹣m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标．（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣）21．小东根据学习函数的经验，对函数y=图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数y=的自变量x的取值范围是；（2）如表是y与x的几组对应值．x …﹣2 ﹣1 ﹣0 1 2 3 4 …y … 2 4 2 m …表中m的值为；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数y=的大致图象；（4）结合函数图象，请写出函数y=的一条性质：（5）解决问题：如果函数y=与直线y=a的交点有2个，那么a的取值范围是．参考答案一．选择题1．A．2．A．3．A．4．C．5．A．6．A．7．B．8．C．9．B．10．D．11．A．12．C．二．填空题13．y轴；14．a＞215．0＜b＜1或b＜﹣16．1．三．解答题17．解：列表：描点、连线：18．解：∵一次函数y=kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1=﹣k﹣2，解得k=﹣1，∴一次函数表达式为y=﹣x﹣2，∴令x=0，得y=﹣2，∴G（0，﹣2），∵y=ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1=a×1，解得a=﹣1，∴二次函数表达式为y=﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB=OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标=×2×1+×2×2=1+2=3．19．解：（1）把A点（3，6）代入抛物线y=ax2，解得a=，则B点坐标为（﹣3，6）；（2）S△AOC=OC•y A=×5×6=15．20．解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1=0，解得a=﹣．所以二次函数的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1；（2）∵抛物线y=﹣（x﹣2）2+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴△AOB的面积=×4×1=2；（3）∵点P（m，﹣m）（m≠0）为抛物线y=﹣（x﹣2）2+1上一点，∴﹣m=﹣（m﹣2）2+1，解得m1=0（舍去），m2=8，∴P点坐标为（8，﹣8），∵抛物线对称轴为直线x=2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（﹣4，﹣8）．21．解：（1）函数y=的自变量x的取值范围是：全体实数，故答案为：全体实数；（2）把x=4代入y=得，y==，∴m=，故答案为：；（3）如图所示，（4）①图象位于一二象限，②当x=1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．故答案为：①图象位于一二象限，②当x=1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．（5）由图象，得0＜a＜4．故答案为：0＜a＜4．第11页共11页。

人教版九年级数学上册第22章二次函数二次函数的图象和性质二次函数y ＝ax2的图象和性质同步训练题含答案22.1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质 同步训练题1. 抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2共有的性质是( ) A ．启齿向下 B ．对称轴是y 轴 C ．都有最高点 D ．y 随x 的增大而增大2．有抛物线①y ＝－3x 2，②y ＝23x 2，③y ＝43x 2，它们的启齿由大到小的顺序是( ) A ．②＞③＞① B ．①＞②＞③ C ．①＞③＞② D ．②＞①＞③3. 如图，一座拱桥外形为抛物线，其函数解析式为y ＝－14x 2.当水位线在AB 位置时，水面宽12m ，这时水面离桥顶的高度h 是( )A ．3mB ．26mC ．43mD ．9m4. 假定二次函数y ＝ax 2的图象经过点P(－2,4)，那么该图象必经过点( )A ．(2,4)B ．(－2，－4)C ．(－4,2)D ．(4，－2)5. 关于函数y ＝3x 2的性质表述正确的选项是( )A ．无论x 为任何实数，y 的值总为正B ．当x 值增大时，y 的值也增大C ．它的图象关于y 轴对称D ．它的图象在第一、三象限6. a≠0，在同不时角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有能够是( )7．抛物线y ＝ax 2启齿向下，那么当x 1＞x 2＞0时，对应的函数值y 1与y 2的大小关系为 .8．二次函数y ＝(k －1)xk 2－3k ＋2的图象启齿向上，那么k ＝ .9．点(x 1，－7)和点(x 2，－7)(x 1≠x 2)均在抛物线y ＝ax 2上，那么当x ＝x 1＋x 2时，y 的值是 .10. 抛物线y ＝－5x 2的启齿向 ，对称轴是 轴，图象有最 点．11．抛物线y ＝12x 2与y ＝－12x 2的外形 ，启齿方向 ，它们关于 轴对称． 12．抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且经过点(－2，－2)，那么抛物线的解析式为 .13. 函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值．(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)m 为何值时，函数有最大值？最大值是什么？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？14. 如下图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB 时，桥下水面宽度为20m ，水位上升3m 就抵达警戒线CD ，这时桥下水面宽度为10m.(1)树立适当的坐标系，求抛物线的关系式及B 、D 两点的坐标；(2)假定洪水到来时水位以0.2m/h 的速度上升，从正常水位末尾，再过几小时水就能抵达桥面？15. y ＝(m －3)xm 2－3m －2为x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值；(2)当m 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)当m 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？16. 抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)．(1)判别点B(－1，－4)能否在此抛物线上；(2)求此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．17. 一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y 轴，且经过点(－1，19)． (1)求这个二次函数的解析式；(2)画出这个二次函数的图象；(3)指出图象的外形，当x ＞0时，y 随x 的变化状况；(4)指出函数的最大值或最小值．18. 如下图，有一城门洞呈抛物线形，拱高4m(最高点到空中的距离)，把它放在平面直角坐标系中，其解析式为y ＝－x 2.(1)求城门洞最宽处AB 的长；(2)如今有一高2.6m ，宽2.2m 的小型运货车，问它能否平安经过此城门？ 参考答案：1---6 BADAC C7. y 1＜y 28. 39. 010. 下 y 高11. 相反 相反 x12. y ＝－12x 2 13. 解： (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2或m ＝－3，m≠－2∴m ＝2或m ＝－3.(2)依题意得m ＋2＞0，即m ＞－2，∴取m ＝2.∴这个最低点的坐标为(0,0)．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(3)假定函数有最大值，那么抛物线启齿向下，∴m ＋2＜0，即m ＜－2，∴取m ＝－3.14. (1)树立如下图的平面直角坐标系，那么D 点的横坐标为5，B 点的横坐标为10，EF ＝3.设OE ＝h ，那么OF ＝h －3，那么B(10，－h)，D(5,3－h)．设抛物线的关系式为y ＝ax 2，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 100a ＝－h 25a ＝3－h 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－125h ＝4，∴y ＝－125x 2，B(10，－4)，D(5，－1)．(2)由(1)知OE ＝4,4÷0.2＝20(h)，∴再过20小时水就能抵达桥面．15. 解：(1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －2＝2m －3≠0解得m ＝－1或4即m 的值为－1或4(2)当m ＝－1时，抛物线有最高点(0,0)；当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．(3)当m ＝4时，函数有最小值为0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．16. 解：由得a ＝－2，故y ＝－2x 2；(1)当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)2＝－2≠－4，故(－1，－4)不在此抛物线上．(2)(－3，－6)(3，－6)17. 解：(1)设此二次函数的解析式为y ＝ax 2，把点(－1，19)代入y ＝ax 2中得：19＝a×(－1)2，∴a ＝19，∴此二次函数的解析式为y ＝19x 2. (2)图象略．(3)图象的外形是抛物线，当x ＞0时，y 随x 增大而增大．(4)函数有小值0.18. 解：(1)∵点O 到AB 的距离为4m ，∴A 、B 两点的纵坐标都为－4，∴－4＝－x 2，x ＝±2∴A(－2，－4)，B(2，－4)∴AB ＝4即城门洞最宽处AB 的长为4m.(2)如答图所示，设小货车行驶到城门洞正中，用矩形CDEF 表示小货车的横截面，那么E、F到AB的距离均为2.6m，F点的横坐标为1.1，设CF的延伸线交抛物线于G，G点的横坐标为1.1，纵坐标为－1.12＝－1.21，G到AB的距离为4－|－1.21|＝2.79＞2.6，所以小货车能平安经过此城门.。

新人教版九年级数学上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质练习预习要点：1．按下面的步骤画出y=x2、y=-x2、y=12x2、y=2x2的图象：（1）列表：x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2……y=-x2……x …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …y=12x2……x …-2 -1.5 -1 -.05 0 0.5 1 1.5 2 …y=2x2……（2）描点及连线：2．与二次函数y=ax2有关的概念：（1）二次函数的图象都是，它们的开口或者或者．一般地，二次函数y =ax2 +bx+c的图象叫做．（2）y轴是抛物线y=ax2的对称轴，抛物线y=ax2与它的对称轴的交点（0, 0）叫做抛物线y=ax2的顶点．实际上，每条抛物线都有．抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的，它是抛物线的最或最．3．归纳：（1）一般地，抛物线y=ax 2的对称轴是 ，顶点是．当a>0时，抛物线的开口，顶点是抛物线的最 ；当a<0时，抛物线的开口，顶点是抛物线的最．对于撇物线y=ax 2，|a |越大，抛物线的开口．（2）从二次函数y=ax 2的图象可以看出：如果a>0，当x<0时，y 随x 的增大而 ，当x>0时，y 随x 的增大而 ；如果a <0，当x<0时，y 随x 的增大而，当x>0时，y 随x 的增大而．4．（2016•龙岩模拟）二次函数y=x 2的图象是（ ） A ．线段B ．直线C ．抛物线D ．双曲线5．（2016•玉林）抛物线y=12 x 2，y=x 2，y=−x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列图象中，当ab ＞0时，函数y=ax 2与y=ax+b 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在二次函数（1）y=−3x 2，（2）y=−23 x 2，（3）y=−43 x 2中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为（ ） A ．（1）＞（2）＞（3） B ．（1）＞（3）＞（2） C ．（2）＞（3）＞（1）D ．（2）＞（1）＞（3） 8．二次函数y=x 2和y=−x 2的图象都是． 9．二次函数y=13 x 2的图象与y=3x 2的图象的相同点是，不同点是．10．利用函数y=−x 2的图象回答下列问题： （1）当x=32 时，y=． （2）当y=−8时，x=．（3）当−2＜x ＜3时，求y 的取值范围是 ； （4）当−4＜y ＜−1时，求x 的取值范围是 ． 11．如图所示，a 1、a 2、a 3的大小关系是．同步小题12道一．选择题1．满足函数y=12 x −1与y=−12 x 2的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知a≠0，b ＜0，一次函数是y=ax+b ，二次函数是y=ax 2，则下面图中，可以成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．抛物线y=2x 2，y=−2x 2，y=12 x 2共有的性质是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．都有最低点D ．y 的值随x 的增大而减小4．抛物线y=−x 2不具有的性质是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴是y 轴C ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大D ．最高点是原点5．抛物线y=−2x 2开口方向是（ ） A ．向上B ．向下C ．向左D ．向右6．抛物线y=ax 2过点（1，−1），则a 的值为（ ） A ．1B ．−1C ．12D ．−12二．填空题7．试写出一个开口方向向上的抛物线解析式．8．已知二次函数y=12x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A、B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为．9．观察二次函数y=x2的图象，并填空．图象与x轴的交点也是它的，这个点的坐标是．10．（2016•睢宁县一模）二次函数y=ax2（a＞0）的图象经过点（1，y1）、（2，y2），则y1y2（填“＞”或“＜”）．三．解答题11．在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=−3x2的图象，并比较两者的异同．12．已知抛物线y=ax2经过点（1，3）．（1）求a的值；（2）当x=3时，求y的值；（3）说出此二次函数的三条性质．答案：预习要点：1．略2．（1）抛物线向上向下抛物线y =ax2 +bx+c（2）对称轴顶点低点高点3．（1）y轴原点向上低点向下高点越小（2）减小增大增大减小4．【分析】根据函数图象的特点可知二次函数y=x2的图象的形状，本题得以解决．【解答】解：∵y=x2是二次函数，∴y=x2的图象是抛物线，故选C5．【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标逐一探讨得出答案即可．【解答】解：抛物线y=12x2，y=x2的开口向上，y=−x2的开口向下，①错误；抛物线y=12x2，y=x2，y=−x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；④错误；故选B6．【解答】解：A、对于直线y=ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；B、由抛物线y=ax2开口向上得到a＞0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误；C、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；D、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b 经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D 选项正确．故选D7．【分析】根据二次项系数的绝对值判断可判断图象的开口大小，即：二次项系数的绝对值越小，开口越小．【解答】解：比较二次项系数的绝对值可知，|−23 |＜|−43 |＜|−3|，因为，二次项系数的绝对值越小，开口越大，即y=−23 x 2的开口最大，y=−3x 2的开口最小．所以，开口由大到小的顺序是：y=−23 x 2，y=−43 x 2，y=−3x 2． 故选C8．【分析】根据二次函数的图象的形状，可得答案．【解答】解：二次函数y=x 2和y=−x 2的图象都是抛物线．答案：抛物线． 9．【分析】根据函数图象间的关系，可得答案．【解答】解：二次函数y=13 x 2的图象与y=3x 2的图象的相同点是开口方向相同，顶点坐标相同，对称轴相同，不同点是前者开口大，后者开口小，答案：开口方向相同，顶点坐标相同，对称轴相同；前者开口大，后者开口小．10．【分析】（1）把x=32 代入y=−x 2即可求得；（2）把y=−8代入y=−x 2，得到−8=−x 2，解得即可；（3）根据图象即可得知y 的范围．（4）根据图象即可得知x 的范围． 【解答】解：画出二次函数y=−x 2的图象如图所示．（1）把x=32 代入得，y=−94 ．（2）把y=−8代入得−8=−x 2，解得x=±2 2 ．（3）由图象可知，当0＜x ＜3时，求y 的取值范围是−9＜y ＜0；④由图象可知，当−4＜y ＜−1时，求x 的取值范围是−2＜x ＜−1或1＜x ＜2．11．【分析】根据a ＞0图象开口向上，a ＜0图象开口向下，可得a 1、a 2、a 3是正数还是负数；根据|a|越大图象开口越小，可得答案．【解答】解：由图象的开口方向，得a 1＞0，a 2＞0，a 3＜0．由|a|越大图象开口越小，得a 1＞a 2＞0＞a 3．答案：a 1＞a 2＞a 3．同步小题12道1．【分析】本题可先由一次函数与二次函数得到大致图象，直接解答即可．【解答】解：∵一次函数y=12 x −1中，a ＞0，b ＜0，∴图象经过一、三、四象限，∵二次函数y=−12 x 2中，a ＜0，∴抛物线开口方向向下，符合以上条件的图象为C故选C2．【分析】可先根据一次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】解：∵a≠0，b ＜0，一次函数是y=ax+b ，∴一次函数图象与y 轴交于负半轴，A 、一次函数图象经过第一、三象限，则a ＞0，则二次函数是y=ax 2的图象开口方向向上．故A 错误；B 、一次函数图象与y 轴交于正半轴，故B 错误；C 、一次函数图象经过第二、四象限，则a ＜0，则二次函数是y=ax 2的图象开口方向向下．故C 正确；D 、一次函数图象与y 轴交于正半轴，故D 错误． 故选C3．【分析】结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．【解答】解：∵y=2x 2，y=12 x 2开口向上，∴A 不正确，∵y=−2x 2，开口向下，∴有最高点，∴C 不正确，∵在对称轴两侧的增减性不同，∴D 不正确，∵三个抛物线中都不含有一次项，∴其对称轴为y 轴，∴B 正确． 故选B4．【分析】此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y=ax 2的基本形式，根据它的性质，进行解答．【解答】解：因为a ＜0，所以开口向下，顶点坐标（0，0），对称轴是y 轴，有最高点是原点． 故选A5．【分析】根据a 的正负判断抛物线开口方向． 【解答】解：∵a=−2＜0，∴抛物线开口向下．故选B6．【分析】直接把（1，−1）代入y=ax 2得到关于a 的方程，然后解方程即可． 【解答】解：把（1，−1）代入y=ax 2得a=−1． 故选B7．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数大于0时，函数图象的开口向上，写出即可． 【解答】解：抛物线y=x 2的开口向下．答案：y=x 2（答案不唯一，只要二次项系数为负数即可）．8．【分析】根据抛物线的对称性求出点B 的横坐标，然后求解即可．【解答】解：根据抛物线的对称性，∵点A 的横坐标为2，∴点B 的横坐标是−2，∵线段AB ∥x 轴，∴AB=2−（−2）=2+2=4．答案：4．9．【解答】解：图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是（0，0）．10．＜11．解：如图所示：两图象开口大小形状相同，但是开口方向不同．12．【分析】（1）将已知点的坐标代入解析式即可求得a值；（2）把x=3代入求得的函数解析式即可求得y值；（3）增减性、最值等方面写出有关性质即可．解：（1）∵抛物线y=ax2经过点（1，3），∴a×1=3∴a=3；（2）把x=3代入抛物线y=3x2得：y=3×32=27；（3）抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线的图象有最低点，当x=0时，y有最小值，是y=0等．。

人教版九年级上册数学22.1.2二次函数y=ax 2的图象和性质同步训练一、单选题1．下列图象中，是二次函数2y x 的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．抛物线y ＝2x 2，y ＝﹣2x 2，y ＝0.5x 2共有的性质是( )A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．都有最低点D ．y 的值随x 的值增大而减小3．已知点()11,y ，()22,y 都在函数2y x 的图象上，则1y 与2y 大小关系正确的是（ ）A ．120y y >>B ．210y y >>C ．120y y <<D ．210y y << 4．抛物线23y x =-的顶点坐标为（ ）A ．()00，B ．()03-，C ．()30-，D ．()33--， 5．若二次函数y ＝ax 2的图象经过点（1，﹣2），则它也经过（ ）A ．（﹣1，﹣2）B ．（﹣1，2）C ．（1，2）D ．（2，1） 6．关于二次函数y ＝x 2的图象，下列说法错误的是（ ）A ．它是一条抛物线B ．它的开口向上，且关于y 轴对称C ．它的顶点是抛物线的最高点D ．它与y ＝－x 2的图象关于x 轴对称7．若点(),a b 在抛物线212y x =-上，那么下列各点中一定在该抛物线的是（ ） A ．(),a b -- B ．(),a b - C ．(),a b - D ．(),b a8．如图，在平面直角坐标系中，平行于x 轴的直线2y =，与二次函数2y x ，2y ax =分别交于A 、B 和C 、D ，若2CD AB =，则a 为（ ）A ．4B ．14C ．2D ．12 二、填空题 9．已知点()11,y -、()22,y 在二次函数2y x 的图像上，则1y ______2y （＞或＜或＝）． 10．已知点1,2P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在二次函数22y x =的图象上，则a 的值等于_______． 11．如果二次函数2(1)y a x =-的图像在y 轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a 的值是________．12．写出一个开口向上，顶点在y 轴的负半轴上的抛物线的解析式：______．13．已知抛物线()20y ax a =>经过()12,A y - ()21,B y ()33,C y 三点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是______；（用“<”连接）14．若()232m y m x -=-是二次函数，且图象的开囗向下，则m 的值为______． 15．如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数y 12=x 2与y 12=-x 2的图象，则阴影部分的面积是_____．三、解答题16．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22214,4,4y x y x y x ==-=．17．已知函数213y x =-，不画图象，回答下列各题： （1）其图象的开口方向：________（2）其图象的对称轴：________（3）其图象的顶点坐标：________（4）当x >0时，y 随x 的增大而__________________________；（5）当x __时，函数y 的最_____值是________18．二次函数213y x =的图象与二次函数23y x =的图象有什么相同和不同？19．已知二次函数2y ax =，当3x =时，3y =．（1）当2x =-时，求y 的值；（2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x 为何值时，函数y 随x 的增大而增大．20．如图，直线l 过x 轴上一点()2,0A ，且与抛物线2y ax =相交于B 、C 两点．B 点坐标为()1,1．(1)求抛物线解析式；(2)若抛物线上有一点D （在第一象限内），使得AOD COB S S ∆∆=，求点D 的坐标．答案第1页，共1页 参考答案：1．A2．B3．B4．A5．A6．C7．B8．B9．<10．12± 11．0（答案不唯一）12．21y x =-（答案不唯一）13．213y y y <<1415．817． 向下 y 轴 (0，0) 减小 =0 大 0 19．（1）当2x =-时，43y =；（2）函数图象开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0,0)，当0x >时，函数y 随x 的增大而增大． 20．(1)抛物线解析式为2y x(2))D。

人教版九年级数学上册第22章二次函数 22.1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质同步测试第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30） 1. 下列各点在抛物线y ＝2x 2上的是( ) A ．(2，1) B ．(1，2) C ．(1，－2)D ．(－1，－2)2. 关于二次函数y ＝x2的图象，下列说法错误的是( ) A ．它是一条抛物线B ．它的开口向上，且关于y 轴对称C ．它的顶点是抛物线的最高点D ．它与y ＝－x2图象关于x 轴对称3. 在二次函数：①y ＝－3x 2；②y ＝－13x 2；③y ＝43x 2中，它们的图象在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是( ) A ．②>③>① B ．②>①>③ C ．③>①>② D ．③>②>①4. 抛物线y ＝3x 2的顶点坐标是( )A ．(3，0)B ．(0，3)C ．(0，0)D ．(1，3)5. 若二次函数y ＝ax 2的图象经过点P(－2，4)，则该图象必经过点( ) A ．(2，4) B ．(－2，－4) C ．(－4，2) D ．(4，－2)6．已在同一直角坐标系中，抛物线y＝2x2，y＝12x2，y＝－12x2的共同点是( )A．关于y轴对称，开口向上B．关于y轴对称，y随x的增大而增大C．关于y轴对称，y随x的增大而减小D．关于y轴对称，顶点在原点上7. 关于函数y＝3x2的性质表述正确的一项是( )A．无论x为何实数，y的值总为正B．当x值增大时，y的值也增大C．它的图象关于y轴对称D．它的图象在第一、三象限内8. 已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( )A．y1<y2<y3B．y1<y3<y2C．y3<y2<y1D．y2<y1<y39. 若二次函数y＝－ax2的图象经过点P(－3，2)，则该图象必经过点( )A．(3，－2) B．(2，3)C．(2，－3) D．(3，2)10．已知a≠0，同一坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是( )第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11.下列关于函数y=-x2的图象说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点坐标为(0,0),其中正确的有________个12．已知四个二次函数：, ①y=x 2，②y=2x 2，③y=x 2，④y=-x 2，其图象开口最大的是_______________（填序号）13. 对于函数y ＝4x 2，当_____________时，y 随x 的增大而减小14．二次函数：①y ＝3x 2；②y ＝13x 2；③y ＝43x 2的图象在同一坐标系中，则开口大小的顺序用序号来表示应是_____________15．二次函数y ＝ax 2(a<0)的图象对称轴右侧上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若y 1>y 2，则x 1－x 2____0.(填“>”“<”或“＝”)16. 如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=2x 2与y=-2x 2的图象,则阴影部分的面积是 .17. 平面直角坐标系中，有线段MN ，M(1，1)，N(2，2)，若抛物线y ＝ax 2与线段MN 没有公共点，则a 的取值范围是__________________．18．已知二次函数y ＝(m －2)x 2的图象开口向上，则m 的取值范围是_____，顶点坐标是_______，对称轴是____．三．解答题（共7小题， 46分）19．(6分) 已知二次函数y ＝ax 2的图象经过点A(－1，－13)． (1)求这个二次函数的解析式并画出其图象； (2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．20. (6分) 二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x－1交于点P(1，m)．(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？21. (6分)如图，已知二次函数y＝ax2的图象经过点(2，32 )．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线上纵坐标等于3的点的坐标，并在图象上描出符合条件的点；(3)通过观察图象回答，当x在什么范围内时，y<3?22. (6分) 已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．(1)求m的值；(2)画出该函数的图象．23．(6分) 如图，Rt△OAB≌Rt△OCD，AB⊥x轴，点D在y轴上，A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，CD 与该抛物线交于点P，求点P的坐标．24．(8分) 根据下列条件求m的取值范围.(1)函数y=(m+3)x2,当x>0时,y随x的增大而减小,当x<0时,y随x的增大而增大;(2)函数y=(2m-1)x2有最小值;(3)抛物线y=(m+2)x2与抛物线y=-x2+1的形状相同.25．(8分) 如图，直线AB经过x轴上一点A(2，0)且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，点B的坐标为(1，1)．(1)求直线AB和抛物线y＝ax2的解析式；(2)若抛物线上存在第一象限内的点D，使得S△AOD＝S△BOC，求点D的坐标．参考答案 1-5 BCACC 6-10 DCADC 11. 4 12. ③ 13. x ＜0 14. ②＞③＞① 15. < 16. 817. a ＜0或a ＞1或0＜a ＜12 18. m ＞2 (0，0) y 轴19. 解：(1)把x=-1，y=－13代入y ＝ax 2得，a=－13∴这个二次函数的解析式是：y ＝－13x 2，图象略(2)函数y ＝－13x 2的顶点坐标为(0，0)，对称轴是y 轴 20. 解：(1)把(1，m)代入y ＝2x －1 中，得m ＝1，所以P(1，1)， 把(1，1)代入y ＝ax 2中，得a ＝1 (2)y ＝x 2，当x>0时，y 随x 的增大而增大 21. 解：(1) 把x=2，y=32代入y ＝ax 2得，a=34∴这个二次函数的解析式是：y ＝34x 2，(2)把y=3代入函数y ＝34x 2，得34x 2=3，解得x1=2，x2=-2∴符合条件的点的坐标是：(2，3)，(－2，3)，描点略 (3) y<3，即34x 2<3解得－2<x<222. 解：(1)∵y ＝(m ＋1)xm 2＋m 是关于x 的二次函数， ∴m 2＋m ＝2且m ＋1≠0. 则m ＝－2或m ＝1.又∵x ＞0时，y 随x 的增大而减小， ∴m ＋1＜0，m ＜－1， 故m ＝－2 (2)画图略23. 解：∵A(－2，4)在抛物线y ＝ax 2上， ∴4＝a ·(－2)2， ∴a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝x 2.∵Rt △OAB ≌Rt △OCD ，AB ⊥x 轴， ∴OD ＝OB ＝2，CD ⊥y 轴， ∴点P 的纵坐标为2. 当y ＝2时，2＝x 2， 解得x ＝± 2. ∵点P 在第一象限， ∴P(2，2)24. 解： (1)∵函数y=(m+3)x 2,当x>0时,y 随x 的增大而减小,当x<0时,y 随x 的增大而增大, ∴m+3<0, 解得m<-3.(2)∵函数y=(2m-1)x 2有最小值, ∴2m-1>0, 解得m>.(3)∵抛物线y=(m+2)x 2与抛物线y=-x 2+1的形状相同, ∴|m+2|= -,即m+2=±,解得m=-或m=-.25. 解：(1)直线AB 的解析式为y ＝－x ＋2，抛物线的解析式为y ＝x 2 (2)令直线AB 与y 轴相交于点E ，在y ＝－x ＋2中， 当x ＝0时，y ＝2， ∴点E 的坐标为(0，2)，∴OE ＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝4，∴点C 的坐标为(－2，4)，∵S △BOC ＝12OE ·(x B －x C )＝12×2×[1－(－2)]＝3，∴S △AOD ＝S △BOC ＝3， ∴12×2×y D ＝3， ∴y D ＝3，∴点D 的坐标为(3，3)。