北师大版数学必修二课件：1.7.3球

3
例1.求函数y tan(x )的定义域。
3
解： x k , k Z
32
x 5 k , k Z
6
定义域为{x | x 5 k , k Z}
6
变1：函数y tan 2x 的定义域为（C）
4
A.x x , x R 8
B.x x k , k Z, x R 8
y
1
x
3
2
-
2
0 -1 2
3
2
性质加深
从正切函数的图象出发,讨论它的对称中心问题
渐 进 线
3
2
渐 进
y
渐 进
渐 进
线
线
线
1
2
2
0
3
2
-1
2
渐 进 线
x
5
2
对称中心：(
kπ,0) 2
k
Z
渐近线方程：x k , k Z
2
应用提升
题型一 定义域求解
重点在于学会把(x )看成一个整体
是它的最小正周期．
复习：
y
的终边
正切线：有向线段AT
Ax
T
y
T
Ax
的终边
y 的终边
T
Ax
y
Ax
T
的终边
新课探究
类比正弦线如何利用正切线画出函数 y tan x，x ，
的图像？
2 2
角 的终边 Y
T3
（
3
，tan
）
3
0'
A
0
X
3
作图 利用正切线画出函数
y
tan
x，x
2
，

解得1294≤k<6274.
又k∈Z,所以k=1,或k=2. 当k=1时,β=435°; 当k=2时,β=795°.
第一章角的概念推广、象限角及其表 示-【新 】北师 大版高 中数学 必修第 二册PP T全文 课件【 完美课 件】
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激趣诱思
知识点拨
微思考1 60°,-660°,-300°,420°,780°的角的终边有什么关系? 提示相同.-660°=60°-2×360°,-300°=60°-360°, 420°=60°+360°,780°=60°+2×360°. 微思考2 如何表示与60°终边相同的角的集合? 提示S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.
第一章角的概念推广、象限角及其表 示-【新 】北师 大版高 中数学 必修第 二册PP T全文 课件【 完美课 件】
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 概念辨析问题的求解方略 对于概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,二是利用定义直接 判断.本题需要准确理解象限角、锐角、钝角、终边相同的角等基 本概念才能作出正确的判断.
探究三
当堂检测
反思感悟 象限角的判定 1.已知一个角的大小判断其所在象限时,可先根据终边相同的角的 表示方法,找到在[0°,360°)内与之终边相同的角,再确定其象限. 2.已知角的终边所在的象限,求待求角的终边所在的位置时,通常首 先根据所给已知角的范围,得到待求角的范围,然后判断待求角终 边所在的位置.

方法归纳
求函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ 都是常数) 的单调区间的方法
①若 ω>0，由于 y＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可 用“整体代换”的思想，令 kπ－π2<ωx＋φ<kπ＋π2，k∈Z，解得 x 的范 围即可．
②若 ω<0，可利用诱导公式先把 y＝Atan(ωx＋φ)转化为 y＝Atan[－ (－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整 体代换”的思想，求得 x 的范围即可．
kπ 2
(k∈Z)，得x＝kπ＋
2 3
π(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是
kπ＋23π，0，k∈Z.
(2)由－1≤tan2x－π3≤ 3， 得－π4＋kπ≤2x－π3≤π3＋kπ(k∈Z)，解得π6＋2kπ≤x≤43π＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f(x)≤
3的解集是x|
π6＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z.
2．已知函数 f(x)＝tan2x＋π3，则函数 f(x)的最小正周期为(
)
π A.4
π B.2
C．π
D．2π
解析：解法一 函数 y＝tan(ωx＋φ)的周期 T＝|ωπ |，可得 T＝|π2|＝2π. 解法二 由诱导公式可得 tan2x＋π3 ＝tan2x＋π3＋π＝tan2x＋π2＋π3， 所以 fx＋π2＝f(x)，所以周期为 T＝2π. 答案：B
3．函数y＝tan x的相邻两个周期的图象与直线y＝2及y＝－2围成 的图形的面积是________．
解析：由题意，画出图象如图所示，
根据正切函数图象的对称性可知，y＝tan x的相邻两个周期的图象 与直线y＝2及y＝－2围成的图形的面积可以看成矩形ABCD的面积，为 4π.

(3)正方体外接球的直径为√3a,如图③所示.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练3 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 √3 ,底
面周长为3,则这个球的体积为
.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:∵底面是正六边形,且底面周长为3,∴边长为
∴R= 12 + 12 = √5 + 4=3,∴S 球 =4πR2=36π.
纠错心得1.由于球是一个很特殊的对称体,满足条件的两截面可
能出现在球心同侧或异侧.
2.本例中错解显然遗漏了截面在球心异侧的情况.
1
2
3
4
5
1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
A.2π
8
3
4
3
B. + π
距离为 √2 ,则此球的体积为
.
(2)已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA⊥平面
ABC,SB⊥BC,SA=1,AB=BC=2,则球O的表面积为
.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:(1)如图所示,设截面圆的圆心为 O',M 为截面圆上任一点,
则 OO'=√2,O'M=1,
∴OM= (√2)2 + 1 = √3,即球的半径为√3,∴
PH= π(PH·
tan 30°)2·
PH= πx3.
3
∵V 水=V 圆锥-V
3
3
1
3
3 4 3
球,∴ πx =3πr - πr ,
9
3
∴x= √15r=15

=a+b+c.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 求和向量的方法
(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为始点,将其中一向量的
起点平移至该点,之后再将其他向量平移并首尾相接,从一个向量的始
点到另外一个向量的终点的向量就是这两个向量的和.
(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量
如今,两岸直航包机启航.若台北到香港的位移用向量a表示,香港到
上海的位移用向量b表示,台北到上海的位移用向量c表示.
想一想,向量a、b、c有何关系?
激趣诱思
知识点拨
一、向量的加法及其运算法则
1.向量加法的概念
求两个向量和的运算,称为向量的加法.
2.向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线的向量 a,b,如图,在平面内任取一点 A,作有向线段
想一想,向量a、b、c有何关系?
以前台胞春节期间来大陆探亲,乘飞机先从台北到香港,再从香港到上海.
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.
变式训练2在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(
)
实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
的结合律调整向量相加的顺序.
探究一
探究二
探究三
变式训练3下列等式错误的是(
A.a+0=0+a=a
B. + + =0
C. + =0
D. + = + +
答案B
探究四
)
当堂检测
探究一
探究二

小 结
·
探
提
新 你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？
素
知
养
合
课
作
时
探
分
究
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
32
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
提示：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6，AB＝3， 提
·
新
素
知
∴S△ABC＝12×6×3＝9.
养
合
课
作 探 究
又
S△A′B′C′＝12×3×(3sin
45°)＝9 4 2，∴S△A′B′C′＝
结
探
OB＝2O′B′＝2 2，OC＝O′C′＝AB＝
·
提
新
素
知 A′B′＝1，
养
·
·
合
且 AB∥OC，∠BOC＝90°.
BC ＝ B′C′ ＝ 1 ＋
2，在
y
轴上截取线段
BA ＝
课 堂
预
小
习 2B′A′＝2.
·
结
探
提
新 知
过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1.
素 养
·
·
合
连接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的平面图 课
作
时
探 形．
分
究
层
释 疑
四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1，下底 BC＝1＋
自
课
主
堂
预
小
习
结

当堂检测
角度2 垂直问题
例2如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是
矩形,用向量证明:PA⊥EF.
探究一
探究二
当堂检测
证明设正方形边长为 a,由于 P 是对角线 BD 上的一点,可设
=λ(0≤λ≤1).
则 = − = -λ = -λ( + )=(1-λ)-λ.
激趣诱思
知识点拨
(3)要证 A,B,C 三点共线,只要证明存在唯一一个实数 λ≠0,使=λ,
或若=a,=b,=c,存在一个实数 t,使 c=ta+(1-t)b.
(4)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断直线
(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a·
b=0
| || |
π
=
2
2×
=
3
2
3
3
2
.
π
因为 0<∠EAC<2 ,所以∠EAC=6 .
反思感悟 利用平面向量解决几何中的夹角问题,本质是将平面图
形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解.这类问题
也有两种方向,一是利用向量的基求解,二是利用坐标运算.在求解
过程中,务必注意向量的方向.
探究一
因为实际速度=游速+水速,所以游速为
− = ,
在 Rt△AOB 中,由已知||=4 3,||=4,
因此 ∥ ,
又因为 , 有公共点 F,所以 A,E,F 三点共线.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟 证明A,B,C三点共线的步骤
(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.
(2)说明两向量有公共点.

第一章 三角函数
2020最新北师大版高一数学必修第 二册(2020版) 第二册(2020版)电子课本课件【
全册】目录
0002页 0004页 0006页 0008页 0010页 0012页 0014页 0016页 0018页 0020页 0022页 0024页 0026页 0028页 0030页 0032页 0034页
第一章 三角函数 2 任意角 2.2 象限角及其表示 3.1 弧度概念. 4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 诱导公式与旋转 5.1 正弦函数的图象与性质再认识 6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象 6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响 7 正切函数 7.2 正切函数的诱导公式 8 三角函数的简单应用 1 从位移、速度、力到向量 1.2 向量的基本关系 2.1 向量的加法 3.1 向量的数乘运算

h
1 V锥 = S底 h 3
4、台体体积
根据台体的特征，如何求台体的体积？
P D
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的， 因此可以利用两个锥体的体积差得到圆 A 台(棱台)的体积公式．
S上
B
C
V = VP- ABCD - VP- Aⅱ B Cⅱ D
= 1 3 ( S上 + S 上 S下 + S 下 ) h
——这两个棱柱的体积怎么求？
１、长方体的体积
D1 C1
A1 D
A
d
B1
c
C
V长方体 = abc 或V = S底 h
d = a + b + c
2 2 2 2
S a
B
b
2、柱体的体积
等底等高柱体 的体积相等吗？
等底等高柱体的体积相等
h
S底 S底 S底
h
V柱 = S底h
3、锥体的体积
等底等高锥体的体积相等
面积，h为台体高
S为底面面积， h为锥体高
1、已知一正四棱台的上底面边长为4cm,下底面边长为 8cm,高为3cm,其体积为______ 112cm3 2、用一张长12cm、宽8cm的铁皮围成圆柱形的侧面， 288 3 192 3 cm 或 cm 该圆柱体积为＿＿＿ ____________ p p
h
A
D
S下
C
B
例1、埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形状为正四
棱锥.金字塔高146.6米,底面边长230.4米.这座金字塔的侧 面积和体积各是多少.
解:如图,AC为高,BC为底面的边 心距,则AC=146.6,BC=115.2,
底面周长c=4×230.4.

[读教材·填要点]
1．球的表面积公式：S 球面＝ 4πR2 .
2．球的体积公式：V 球＝
4 3 πR 3 .
[小问题·大思维] 用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该 截面的几何量与象，用一个平面去截球体，截面是圆面， 在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图
所示．
若球的半径为R， 截面圆的半径为r， OO′＝d. 在Rt△OO′C中， OC2＝OO′2＋O′C2， 即R2＝r2＋d2.
[研一题] [例1] 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的
距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球 面面积与球的体积． [自主解答] 如图所示，设球心为O，截面圆圆心 O1，球半径为R， 连接OO1，则OO1是球心到截面的距离． 由于OA＝OB＝OC＝R，
在 Rt△AO1O 中，OA2＝O1O2＋O1A2， 1 2 即 R ＝( R) ＋48， 2
2
∴R＝8(cm)， ∴S 球＝4πR2＝4π× 64＝256π(cm2)， 4 3 2048 V 球＝ πR ＝ π(cm3). 3 3
[研一题] [例2] 轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，
若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．
[悟一法] 解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的 截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指
圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个
截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含 体和体之间的主要位置关系和数量关系．
[通一类]
2．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在 半球的底面圆内， 若正方体棱长为 6， 求球的表面积和体积． 解：作轴截面如图所示，
CC′＝ 6，AC＝ 2· 6＝2 3， 设球的半径为 R， 则 R2＝OC2＋CC′2＝( 3)2＋( 6)2＝9， ∴R＝3， 4 3 ∴S 球＝4πR ＝36π，V 球＝ πR ＝36π. 3

【思路探究】 在求解公式中的未知量时，应注意运用平面 几何的有关知识．
【解】 设上、下底面半径分别为 r，R，过点 A1 作 A1D⊥ AB 于点 D，则 A1D＝3，∠BA1A＝90°.∵∠A1AB＝60°，
∴∠BA1D＝60°，∴AD＝taAn16D0°＝ 3，即 R－r＝ 3. 又∵BD＝A1D·tan60°＝3 3， ∴R＋r＝3 3，∴R＝2 3，r＝ 3.又∵h＝3， ∴圆台的体积 V 圆台＝13πh(R2＋Rr＋r2) ＝13π×3×[(2 3)2＋2 3× 3＋( 3)2]＝21π.
于是 6πl＝20π，解得 l＝130，
∴圆台高 h＝ l2－R－r2＝ 1090－4＝83，
∴圆台体积
V＝
1 3
π·h·(R2
＋r2
＋
Rr)＝13
π×
8 3
×(16
＋
4
＋
8)
＝
224π 9.
类型三 实际应用问题 【例 3】 降雨量是指水平地面上单位面积降落雨水的深 度，今用上口直径为 32 cm，底面直径为 24 cm，深为 35 cm 的 水桶接收雨水，如果积水达到桶深的14处，则降雨量是多少毫米？
第一章
立体几何初步
§7 简单几何体的再认识
7.2 柱、锥、台的体积
第2课时 棱台与圆台的体积
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点 棱台和圆台的体积
[填一填] 1 台体(棱台和圆台)的体积公式：V 台体＝3(S
上＋S
下＋
S上·S、下底面面积，h 为台体的高．特别
OE＝12AB＝10，∴O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝12， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3)． 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.

1
3
= × × × ×
3 2 3
3
2
1
3
× =
3
.
324
高考体验
知识网络
专题一
专题二
专题三
专题归纳
高考体验
专题四
1
2,一只
变式训练6如下图,在圆锥SO中,母线长为2,底面半径为
虫子从底面圆周上一点A出发沿圆锥外表爬行一周后又回到A点,
那么虫子所爬过的最短路程是多少?
解:如图,将圆锥的侧面沿母线SA展开成扇形,由条件易知扇形的
一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A,求:
(1)绳子的最短长度的平方f(x);
(2)绳子最短时,顶点到绳子的最短间隔;
(3)f(x)的最大值.
知识网络
专题一
专题二
专题三
专题归纳
高考体验
专题四
解:将圆锥的侧面沿SA展开在平面上,如图,那么该展开图为扇形,
且弧AA'的长度L就是☉O的周长,
所以L=2πr=2π.

π
所以∠ASA'= ×180°=90°.
(1)由题意知,绳长的最小值为展开图中线段AM的长度,
AM= 2 + 16(0≤x≤4),
所以f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
知识网络
专题一
专题二
专题三
专题归纳
专题四
(2)绳子最短时,在展开图中作SR⊥AM,垂足为R,
半圆锥和三棱锥的组合体,如下图,可知左视图为等腰三角形,且轮
廓线为实线,应选D.
答案:D
知识网络
专题一
专题二
专题三
三
专题归纳

4π
8π
4kπ- ,4kπ+
3
3
(k∈Z).
π
kπ-2
<
y=3tan

π
π
− 6<kπ+2(k∈Z),
4
π

−4
6
的单调递减区间为
角度2.比较大小
【例4】 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小.
13π
(1)tan 4 与
(2)tan
13π
4
17π
tan 5 ;
与 tan
16π
5
.
解 (1)因为
x≠kπ+2,且
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)正切函数的图象的画法;
(2)正切函数的性质;
(3)正切函数图象和性质的应用.
2.方法归纳:整体代换、换ωx+φ)(A≠0)的最小正周期 T=||
义域内不单调.
;函数y=tan x在定
成果验收·课堂达标检测
A级
π
2x+3
的最小正周期;
π
T=||
π
解 函数 f(x)的最小正周期为
= 2,
π
π
所以 f(x)=tan 2x+3 的最小正周期是2.
(2)判断函数y=sin x+tan x的奇偶性.
解由题意可得,函数的定义域为 x
π
x≠kπ+ 2,k∈Z
,关于原点对称,
因为 f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),所以函数 y=sin x+tan x 是奇函数.
北师大版 数学 必修第二册

R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
������ = 3 ������底面积 ⋅ ℎ = 3 ������全面积 ⋅ ������
������底面积 ⋅ ℎ = ������全面积 ⋅ ������
������底面积 ������全面积
没有。一个球在长方体内部，最多 可以和该长方体的5个面相切。 如果一个长方体有内切球，
那么它一定是 正方体
例1：一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2 ������������ ,
则球的表面积是( )
A.8π cm2
B.12 πcm2
C.16 πcm2
D.20 π cm2
解析:依题意知,球的直径为正方体的对角线, ∴球的半径为
������
������
C
������
������
例 6．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是 1、 2、
3，则此三棱锥的外接球的表面积是( )
A．6π
B．12π
C．18π D．24π
解析：由三棱锥的三条侧棱两两垂直，可使我们想象到 把它补成一个长方体，且长方体的八个顶点都在球面上，它 的长、宽、高分别是 1、 2、 3，它的体对角线是球的直径，
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_1_:_2__2_.
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_1__: _3 _4_.
变式训练
(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的
_2_7_倍.
(2)把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大为原来 的_2__2_倍.

3π
tan -
=
5
2
.
2
解析 由题意知 tan α=-2,则 tan
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
π
+2
1
1
+
=-tan-tan
3π
tan -
2
1
5
α=2+2=2.
6.已知角 α 的终边经过点 P(4,-3),则 sin α==43来自tan,tan
3π
2
.
解析 α 的终边经过点 P(4,-3),则 sin α=
tan
π
+α
2
π
1
=;tan 2 -α
tan
1
=
.
tan
名师点睛
1.正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆,即
“奇变偶不变,符号看象限”.
2.利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、
余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为锐角再求值”,即由
规律方法
求正切函数值的流程图:
任意角的正切函数值→0~2π的角的正切函数值→锐角的正切函数值
用正切函数的诱导公式化简、证明的总体原则:
(1)“切化弦”,函数名称尽可能化少.
(2)“大化小”,角尽可能化小.
变式训练 3 化简:
sin (π+)·cos (π-)·tan (-)
.
sin (5π-)·tan (8π-)·cos (-3π)
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( × )
(2)若sin xtan x>0,则x为第一象限角.( × )