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第一章 线性代数行列式1

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线性代数-行列式(完整版)

线性代数-行列式(完整版)

思考练习（排列的逆序数详解）
方法1 在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s<t), 则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序， 且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列
x1x2…xn中取两数的方法共有
C 2 n! n(n 1)
n 2!(n 2)!
2
故排列 x1x2…xn 与 xnxn-1…x1 中逆序之和为
k经s+1次相邻对换成为 …kj i1…is … j经s次相邻对换成为 …ki1…is j … 即经2s+1次相邻对换后(3) 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶
性20 ，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.
||
定理1.2． n个数码共有n!个排列，其中奇偶排列各占 一 半, 各 为n! . 2
32
例２
2
3
设 D

,
31
(1)当 为何值时， D 0,
(2)当 为何值时 D 0.
解 2 3 0 0，或 3
2
D
2
31
例3 求二阶行列式
a 1 b2
(2)三阶行列式
记号
a11 a12 a13 a21 a22 a23 称为三阶行列式. a31 a32 a33
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1a2 j2 anjn 并冠以符号 (1)N ( j1 j2 jn ) 的项的和.
((决ii)i)定行a1每j标1a一2按j2项自的然an符j顺n 是号序取；排自列不，同列行标、排不列同的列奇的偶n性个元N(素j1的j2 乘j积n ) ； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.

线性代数课件第一章 行列式

线性代数课件第一章 行列式

an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6

第1章线性代数

第1章线性代数

第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222

a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1

D1 D
，


x2

D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式

线性代数第一章行列式课件

线性代数第一章行列式课件

a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设

线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义

线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
任意一项前面的符号就是
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12

西北工业大学《线性代数》课件-第一章 行列式 (1)

西北工业大学《线性代数》课件-第一章 行列式 (1)

b1 , b2 ,
D3
a11 a21
a12 a22
b1 b2 .
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a31 a32 b3
行列式
a11 a12 D a21 a22
a31 a32
a11 b1 D2 a21 b2
a31 b3
a13 a23 a33
a13 a23 , a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
定义1.2 在一个排列 p1p2pt pspn 中，若数
pt ps 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的
逆序数.记做 ( p1 p2 pn ) 。
例如 排列32514 中， 0 01
32514
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
注意：二阶行列式是一个数。
行列式
二阶行列式的计算
主对角线 次对角线
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21 .
对于二元线性方程组
a11 a21
x1 x1
a12 a22
x2 x2
b1, b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
行列式
a11 x1 a21 x1
b1a21 a12a21
.
（3）
由方程组的四个系数确定.
把方程组
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , 的四个系数按原顺序 b2 .

线性代数第一章课件

线性代数第一章课件

（五）性质5：把行列式的某一列（行） 的各元素乘以同一数，然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第


j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明 该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线 。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章 行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 ㈠ 二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式 中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点 （1）行列式由n!项求和而成 （2）每项是取自不同行、不同列的n个 元素乘积，每项各元素行标按自然顺序 排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然 数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1

线性代数第一章行列式

线性代数第一章行列式

1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
2
两式相减消去 x ，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x ，得
a2 b2 c2 c2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 a3 b3 c3 c3 a1 b1 c1 a3 b3 c3 b3 c3 c3 a3
b1 a1 c1 b3 a3 c3
a1 b1 c1 a3 b3 c3
a1 b1 c1 a3 b3 c3
（1）每项都是位于不同行不同列的三个元素 的乘积．共6项.
（2）每项的行标为标准次序时，正负号都取 决于列标的逆序的奇偶性．
a11
a12
a21 a22
a11 a21 a31 a12 a22 a32
(1)
a13
t ( p1 p2 )
a1 p1 a2 p2 .
a23 ( 1) a33
a23a31a42a65a56a14 = a14a23a31a42a56a65
因为 t(431265）=6 故 a23a31a42a65a56a14 的符号为正
例5
计算三角形行列式的值
(1) a11
a12 a22 0

a1n a2 n ann
答案：a11a22 ann
0 0
a11 (a22a33 a23a32 ) a12 (a23a31 a21a33 ) a13 (a21a32 a22 a31 ) a11 a11 a22 a23 a32 a33 a22 a23 a32 a33 a12 a12 a23 a21 a33 a31 a21 a23 a31 a33 a13 a13 a21 a22 a31 a32 a21 a22 a31 a32

线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义

线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
2 当 k为偶数时，排列为偶排列，


k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k





0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2

线性代数_第一章

线性代数_第一章
n( n 1) -I=5*4/2-6=4 2
印证以上结论。
方法2 n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排 列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中 对i构成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的 逆序之和为 表示 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n) …… 从而 ( x1 x2 xn ) ( xn xn1 x1 ) n( n 1) ( n 1) ( n 2) 2 1 2 n( n 1) I .为所求 即 ( x n x n 1 x 1 ) 2
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、 特征多项式的重要工具.本章介绍了 n阶行列式的定义、性质及计算方 法，最后给出了它的一个简单应 用——克莱姆法则.
主要内容
1.1 1.2 1.3 1.4
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式应用
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) 并冠以符号 ( 1) 的项的和.
(i) a1 j1 a 2 j2 a nj n 是取自不同行、不同列的n个元素乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 ( j1 j2 jn ) 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
例5 计算
=-4-6+32-24-8-4
=-14
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16

线性代数第一章行列式(1)

线性代数第一章行列式(1)

a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
等于所有取自不同行不 同列的 n 个元素的乘积
a1 p1 a2 p2 anpn 并冠以符号 ( 1) t ，得到形如
( 1) t a1 p1 a2 p2 anpn 的项 , 其代数和称为n阶行列式.
这里 p1 p2 pn 是 1, 2, , n 的一个排列，
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn 表示.
pn n ( n 1)3 2 1 n!
通常对n个不同的自然数，选定1，2，3，…， n，按由小到大排列起来的排列叫标准排列. 2. 逆序与逆序数 (1) 定义
在一个排列中，任取两个数 js , jt ，若大的数排
在小的数前（如 js jt ），则称这两个数 js , jt 构成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称此排列的逆序数.
其余元素不动，就得到另一个排列，这样一个变
换叫做对换． 例，排列 2431，
经过1，2对换，就变成了 1432；
将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．
定理
一个排列中的任意两个元素对换，排列
改变奇偶性． 证明 先看相邻对换的情形，设排列为 (1) a1 al a b b b1 bm 对换 a 与 b a1 al ab b1 bm a1 al ba ba b1 bm
-- 敖淑艳
研究对象
有限维空间的线性理论
学习意义
• 线性代数是一门重要的基础课，是学习 许多后续课程的基础。
• 线性问题广泛存在于各个领域，某些非 线性问题在一定条件下也可转化为线性 问题来处理。线性代数的概念和方法广 泛地应用在各个领域中，成为从事科学 技术工作不可缺少的工具。
内容

线性代数课件第1章行列式

线性代数课件第1章行列式

? ? ?
a11 x1 a 21 x1
? ?
a12 x2 a22 x2
? ?
b1， b2，
(1.2.1)
引入符号
D ? a11 a21
a12 a22
? a11a22 ? a12a21
称 D 为二阶行列式（（ 1.2.1）的系数行列式），它代
表一个数，简记为 D ? det( aij )，其中数 aij (i ? 1, 2; j ? 1, 2)
数是，全体元素的逆序数的总和就是此排列 的逆序数，即
?( p1p 2
pn ) ? t1 ? t2 ?
n
? ? tn ? ti i?1
．
课件
4
? 例1 求下列排列的逆序数：
? （1） 436251 ； （2） nn( ? 1) 21 ．
? ? 解 （436251）= 0+ 1+ 0+ 3+ 1+ 5= 10 此排列为偶排列． ? （2）同理可得
求解三元一次方程组
? ? ?
a11 x1 a 21 x1
? ?
a12 x2 a22 x2
? ?
a13 x3 a23 x3
? ?
b1， b2，
?? a31x1 ? a32 x2 ? a33x3 ? b2，
引入符号
a11 a12 a13
D ? a21 a22 a23
a31 a32 a33
(1.2.2)
称为三阶行列式（（1.2.2)的系数行列式）．
线性代数
牛莉 等编著
课件
1
第1章 行列式
1.1 全排列及其逆序数
课件
2
? 1.1.1 排列与逆序

线性代数第一章行列式第一节 行列式定义

线性代数第一章行列式第一节 行列式定义

结论2 每一项都是三个因子的乘积，而每个因子分 别取自行列式的不同行不同列，且每一行每一列各取 一个且仅取一个元素； 再考察每一项的符号：
a11a22a33 , a12a23a31 , a13a21a32 这三项全取正号 正号
这三项各项的列标分别为：123、231、312 a11a 23 a 32 , a12 a 21a 33 , a13 a 22 a 31 这三项全取负号 负号 这三项各项的列标分别为：132、213、321
线性代数引言
线性系统是数学学科发展最为完善一个分 由于它的函数表达明确， 支，由于它的函数表达明确，控制线路简洁明 了，所以在工程上应用极为广泛。到目前为止 所以在工程上应用极为广泛。 工程上大部分的控制系统仍然采取线性系统进 行控制，如工业机器人的控制系统等。 行控制，如工业机器人的控制系统等。 同时它的许多计算理论， 同时它的许多计算理论，仍然在各种工程 计算中被使用着，如大规模数据处理， 计算中被使用着，如大规模数据处理，大面积 桁架的结构计算等。 桁架的结构计算等。
(2)对角线法则 (2)对角线法则 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.
红线上三元素的乘积冠以正号， 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 元素的乘积冠以负号． 说明 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 而对于四阶以上的行列式则很难用对角线法进行计算了
11
21
x + a x +⋯+ a x = b x + a x +⋯+ a x = b ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

线性代数 行列式

线性代数 行列式
线性代数
同济大学
第一章 行列式
§1 二、三阶行列式
n
用消元法解线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2
n
得
( a11a22 − a12a21 ) x1 = b1a22 − b2a12 ( a11a22 − a12a21 ) x2 = b2a11 − b1a21
=
−
2 2 − 3 4 r3 −2 r2 , r4 + r2 = − 2 3 7 −1 5 6
2 −1 1 2 2 −1 1 2 c3 ↔ c4 0 1 4 − 3 r4 +10 r3 0 1 4 − 3 = = 0 0 −1 9 0 0 −1 9 0 = 92 0 10 2 0 0 0 92
例2
2 6 −4 D= 3 2 0 4 1 5
2 6 −4 2 6 −4 3a 2a 0 = a3 2 0 = aD 4 1 5 4 1 5
推论
n
n
n
（1）行列式某行（列）有公因式，可提 到行列式前面 （2）如果行列式两行（列）元素对应成 比例，该行列式为零 （3）如果行列式有零行（列），行列式 结果为零
a + ( n − 1)b b L a b a−b O a−b L b = [a + (n − 1)b]( a − b) n −1
=
例4
a D4 = b c a +b+c d a +b+c +d
ri −ri−1,i=4,3,2
a b =
c
d a +b+c
a a +b
0 a a +b
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i+ j
M ij是元a ij的代数余子式， M ij是元a ij 的代数余子式，
性质3 性质3
a11 M 1. ka i 1 M a n1
a11 M 2. a i 1 + bi 1 M a n1
线性性质
a12 M L L a1n M a11 M a12 M ai 2 M L a1n L M M a in , L M
n
对列展开有
∑a
k =1
ห้องสมุดไป่ตู้
n
ki
Akj = δ ij D 。
3 −5 2 1 例4 求A11 + A12 + A13 + A14 , 1 1 0 −5 , A11 + 2 A12 − 4 A13 + 6 A14 , D= 1 3 −1 3 M 11 + M 21 + M 31 + M 41 . 2 − 4 −1 − 3
第一章 行列式
1.1 n阶行列式的定义与性质 n阶行列式的定义与性质
二、三阶行列式 n阶行列式的递归定义 n阶行列式的性质
二阶、 一、 二阶、三阶行列式
一个几何问题 已知平面上的两条直线，求它们的交点。 已知平面上的两条直线，求它们的交点。
(1)l1 : x1 − 2 x2 = −1和l2 : − x1 + 3 x2 = 3; ( 2)l1 : x1 − 2 x2 = −1和l2 : − x1 + 2 x2 = 3; (3)l1 : x1 − 2 x2 = −1和l2 : − x1 + 2 x2 = 1.
a j 2 L a jn M M a n 2 L a nn
kai 2 + a j 2 L kain + a jn L
性质6 性质6
a11 M ai1 D= M a j1 M a n1
换行性质
a12 M ai 2 M L a1n M a11 M a12 M L a1n M
L a in a j1 M =− M ai 1 M a n1
L a in + bi 1 L M M a n1
a n 2 L a nn
a n 2 L a nn
性质4 性质4 即
行列式中两行对应元素全相等，其值为0 行列式中两行对应元素全相等，其值为0，
a11 M a12 M ai 2 M L a1 n M L a in M = 0, (a il = a jl , i ≠ j , l = 1,2, L, n).
n
(i ≠ j ).
(i 性质2 D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + L + a in Ain = ∑ a ij Aij， = 1,2, L, n)
j =1
性质2与性质7 性质2与性质7可合写成
1 i = j时 ∑ aik A jk = δ ij D, 其中δ ij = 0 i ≠ j时 。 k =1
由以上问题可得到什么结论? 由以上问题可得到什么结论?
用二阶行列式求解二元一次线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 = b1 ,(a11a 22 − a12 a 21 ≠ 0时) a 21 x1 + a 22 x 2 = b2
如何用三阶行列式求解三元一次线性方程组？ 如何用三阶行列式求解三元一次线性方程组？
a j 2 L a jn M M . ai 2 L a in M M a n 2 L a nn
a j 2 L a jn M M a n 2 L a nn
性质7 性质7
行列式某一行的元素乘另一行对应元素的 代数余子式之和等于零， 代数余子式之和等于零，即
∑a
k =1
n
ik
A jk = a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + L + a in A jn = 0
ai1 D= M a j1 M a n1
a j 2 L a jn M M a n 2 L a nn
推论2 推论2
行列式中对应两行成比例，其值为0. 行列式中对应两行成比例，其值为0.
性质5 性质5
a11 M ai1 D= M a j1 M a n1
行倍加性质
a12 M ai 2 M L a1 n M L a in M = a11 M ai1 M ka i 1 + a j 1 M a n1 a12 M ai 2 M M an2 L L a1n M a in M M a nn , k ≠ 0.
当n = 1时，定义 D = a11 = a11 ;当n ≥ 2时，定义 D = a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n = ∑ a1 j A1 j
j =1 n
用递归法展开三阶行列式。 用递归法展开三阶行列式。
a11 例1 a 21 证明n阶下三角行列式 Dn = M a n1 = a11a22 L a nn 0 L 0 0 M a 22 L M O
余子式和代数余子式
若有n阶行列式 D = a11 a 21 M a n1 a12 L a1 j L a1n a 22 L a 2 j L a 2 n M L M a n 2 L a nj L M L a nn
,
则M 1 j =
a21 L a 2, j −1 a31 L a 3, j −1 M L M a n1 L a n, j −1
ka i 2 M kain = k a i 1 M L M M an 2
a12 M
L
L L
a nn
a1 n M
a n1
a11 M
a n 2 L a nn
a12 M ai 2 M L a1n L M a11 M a12 M bi 2 M L a1 n L M L bin L M
a i 2 + bi 2 L a in + bin = a i 1 M L M M an 2 L ann a n1
a 2 , j +1 L a 2 n a 3 , j +1 L a 3 n M L M an, j +1 L ann
, ( j = 1,2,L, n)
的余子式； 是元素a1 j的余子式；
A1 j = (− 1)
1+ j
M 1 j是元素 a1 j的代数余子式。 的代数余子式。
n阶行列式的递归定义 阶行列式的递归定义
1
提示: 提示:
1 1 3
−5 1 3
1 0 1
1 5 3 =4
A11 + A12 + A13 + A14 =
1 -1 2
1 −1 1
- 4 -1 - 3
2 0 1 1 −5 3 =0
M11 + M21 + M31 + M41 =
−1 − 4 −1 − 3
a n 2 L a nn
a11 例2 计算n阶上三角行列式 Dn = 0 M 0
0 例3 0 计算n阶行列式 Dn = M a n1 L L N an 2
a12 L a1n a22 L a 2 n M 0
0 a 2,n −1 M L
O
M
.
L a nn
a1 n a2n . M a nn
主对角线和副对角线的概念。 主对角线和副对角线的概念。
n
a 22 L a n 2 . M M M a 2 n L a nn
性质2 性质2
行列式对任一行展开，其值相等， 行列式对任一行展开，其值相等，即
j =1
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + L + a in Ain = ∑ a ij Aij， = 1,2, L, n) (i 其中Aij = (− 1) 的余子式。 的余子式。
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b2 a x + a x + a x = b 32 2 33 3 3 31 1
展开三阶行列式的对角线法则和沙路法。 展开三阶行列式的对角线法则和沙路法。
二、n阶行列式的递归定义 n阶行列式的引入 一般的，如何求解一个n元一次线性方程组？ 一般的，如何求解一个n元一次线性方程组？
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 , m 和n不一定相等。 不一定相等。 L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn xn = bm
本书将用n阶行列式（m=n),矩阵,向量分别求解， 本书将用n阶行列式（m=n),矩阵,向量分别求解， 矩阵 并给出解的一般结论 出解的一般结论。 并给出解的一般结论
三、n阶行列式的性质
性质1 行列式的行和列（按原顺序互换）， ），其值 性质1 行列式的行和列（按原顺序互换），其值 不变， 不变，即 a a L a a a L a
11 12 1n 11 21 n1
a 21 M a n1
a 22 L a 2 n a12 = M L M M a n 2 L a nn a1n

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