空间点、线、面之间的位置关系(重点高中)

课时跟踪检测（三十九）空间点、线、面之间的位置关系

(二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

1．下列命题中，真命题的个数为()

①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；

②两条直线可以确定一个平面；

③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；

④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.

A．1B．2

C．3 D．4

解析：选B根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.

2．已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是()

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

解析：选B在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．

3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

解析：选D由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，

但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.

4．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P，Q，E，F分别是AB，AD，B1C1，C1D1的中点，则正方体过点P，Q，E，F的截面图形的形状是()

A．正方形B．平行四边形

C．正五边形D．正六边形

解析：选D如图所示，由EF∥PQ，可以确定一个平面．

设这个平面与正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，DD1分别交于

M，N.

由正方体的性质得FN∥MP，NQ∥ME，且EF＝FN＝NQ＝QP＝PM＝ME，所以正方体过点P，Q，E，F的截面图形的形状是正六边形．

B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线

5.如图，ABCD-A

A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()

A．A，M，O三点共线

B．A，M，O，A1不共面

C．A，M，C，O不共面

D．B，B1，O，M共面

解析：选A连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A

四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面

ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的

交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．

解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD 与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．

答案：3

7．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．

上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．

解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．

答案：①

A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB

8.如图，已知圆柱的轴截面ABB

的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角

的正切值为________．

解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，

因为C是圆柱下底面弧AB的中点，

所以AD∥BC，

所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角．

因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，

所以C1D⊥AD，

因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，

所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，

所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.

答案： 2

9.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，

AD的中点．

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，

从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．

(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，

所以相交直线EF 与EG 所成的角，

即为异面直线EF 与BD 所成的角．

又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .

在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12

AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.

10.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中

点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：

(1)三棱锥P -ABC 的体积；

(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．

解：(1)S △ABC ＝12

×2×23＝23， 故三棱锥P -ABC 的体积为

V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433

.

(2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，

则DE ∥BC ，

所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．

在△ADE 中，DE ＝12BC ＝12

AB 2＋AC 2＝2，

AE ＝

AB 2－BE 2＝2， AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos 30°＝2， 则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34

. 即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34

. B 级——拔高题目稳做准做

1．(2018·湖北七市(州)联考)设直线m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是