一种新度量下Veljan-Korchmaros型不等式的稳定性

Banach空间中非线性中立型泛函微分方程θ-方法
的稳定性的开题报告
题目：Banach空间中非线性中立型泛函微分方程θ-方法的稳定性
摘要：本研究将研究Banach空间中的非线性中立型泛函微分方程的θ-方法的稳定性。

该问题是一个重要的数学问题，在各种实际应用场景
中都有广泛的应用。

我们将针对这个问题进行详细研究，探讨其相关性
质和解决方法。

研究内容：本研究将围绕以下几个方面展开：
1. 非线性中立型泛函微分方程的基本理论：包括相关概念和定理，
以及它们的演化过程和应用场景。

2. θ-方法的基本原理和性质：θ-方法是一种广泛使用的离散化方法，它在求解微分方程中具有重要的作用。

我们将对它的基本原理、稳定性
和收敛性等方面进行详细研究。

3. 非线性中立型泛函微分方程θ-方法的稳定性分析：我们将通过数
学推导的方式，建立非线性中立型泛函微分方程的离散化模型，并探讨θ-方法在离散化过程中的稳定性和收敛性。

4. 数值实验：为了验证我们所研究的理论和方法的正确性和可行性，我们将通过数值实验的方式进行验证，并对实验结果进行分析和讨论。

意义和价值：本研究的意义和价值在于提供一种新的、更加精确的
方法来解决Banach空间中的非线性中立型泛函微分方程θ-方法的稳定性问题。

该问题是一个非常重要的数学问题，在理论和实际应用方面都有
广泛的应用。

我们相信，通过本研究的推进，将有助于推动广大科研工
作者在该领域的探索和发展。

2021,41A (3):666-685数学物理学报http: // a ct a 非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解成艺群滕凯民**收稿日期：2020-04-17;修订日期：2020-10-26E-mail: *****************; t *********************基金项目：国家自然科学基金(11501403)、山西省留学回国择优项目(2018)和山西省自然科学基金面上项目(201901D111085)Supported by the NSFC(11501403), the Scientific Activities of Selected Returned Overseas Professionals in Shanxi Province (2018) and the NSF of Shanxi Province(201901D111085)*通讯作者(太原理工大学数学学院 太原030024)摘要：该文研究如下Kirchhoff 型方程(a + b △u + V (x )u = —2 u + s \u \4 u,x e R 3,u e H 1 (R 3),其中a > 0, b> 0,4 <p< 6, V (x ) e L l |c (R 3)是一个给定的非负函数且满足lim V (x ):= 抵•对V (x )给定适当的假设条件，当s 充分小时，证明了基态解的存在性.关键词：Kirchhoff 型方程；临界非线性；基态解.MR(2010)主题分类：35B09; 35J20 中图分类号：O175.2 文献标识码：A 文章编号：1003-3998(2021)03-666-201引言本文研究如下Kirchhoff 型问题(a + b△u + V (x)u = |u |p-2u + s |u |4u, x u > 0, u e H 1 (R 3)(1.1)e R 3,正基态解的存在性，其中a > 0, b> 0,4 <p< 6, s> 0•此外，V (x )是一个非负函数且满足他)：V (x ) e 厶仁(R 3), lim V (x ) = V ^, V (x ) > V 0 > 0 a .e . x e R 3.问题(1.1)与下面方程p 兽-(牛+2L /dudx /(u )(1.2)No.3成艺群等：非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解667对应的稳态相关.1983年，作为经典D'Alembert 波动方程的延伸，Kirchhoff^在研究拉 伸弦的横向振动，特别是考虑到横向振动引起的弦的长度变化时首次提出方程(1.2),其中u 表示变量，且当b 与弦的内在属性相关时，b 是外力，a 是初始应变量，如Young's 模.近年来，采用非线性分析的工具和变分方法，许多学者对下列非线性Kirchhoff 型方程G H X (R 3)|V u |2d x)△u + V (x)u = /(x, u), x G R 3,(1.3)进行了大量的研究，建立了基态解，束缚态解和半经典态解等的存在性和多重性.例如：当 V (x ) := C 时，Xu 和Chen [2]证明了方程(1.3)具有径向基态解，其中/(x, u )满足临界 Berestycki-Lions 型条件.当C = 0时，问题(1.3)可简化为如下方程|V u |2d x)△u = /(x, u ), x G R 3,u G H X (R 3),(1.4)Liu 和Guo [3〕研究了临界增长中具有一般非线性的问题(1.4)的基态解的存在性•当(1.4)式 中 /(x,u ) = g (x )|u |2*-2u + Xh(x)|u|q -^u 时，Li [4]通过 Nehari 法和变分法得到了问题(1.4) 的正基态解的存在性.有关问题(1.4)基态解的更多结果，参看文献[5-7].关于基态解的研究方面，最近，Li 和YeB ]假设V (x )满足以下假设.(i) V (x ) G C (R 3, R )弱可微且满足(V V (x ),x ) G L TO (R 3) U L 3 (R 3)和V (x ) — 2(V V (x ), x ) > 0 a .e . x G R 3;(ii) 对任意的x G R 3,V (x ) < liminf V (y ) := % <十^且其在Lebesgue 正测度的子集 中是严格的；(iii) 存在C > 0使得0= inf u E H 1 (R 3\{0})J r 3 |V u |2 十 V (x )|u |2JR3 |u |2> 0,采用单调性技巧，Pohozaev-Nehari 流形和全局紧性引理证明了当/(x,u ) = |u |p -1u , 2 < p < 5时问题(1.3)正基态解的存在性.Wu [9]利用Pohozaev 流形证明了问题(1.3)存在正 基态解•当/(x,u )在无穷远是次临界且在原点附近是超线性的，V (x )满足与上面⑴和 (ii)相似的一些条件时，Guo [10〕用变分方法证明了问题(1.3)存在正基态解•当/(x,u )= K (x )|u |4u + g (x,u )且V (x )满足渐近周期条件时，作者们在文献[11]中证明了问题(1.3)存 在正基态解•当/(x,u )在无穷远是次临界，在原点是超线性的且满足Berestycki-Lions 条件 和位势V (x )满足与上面(i)-(iii)类似的一些条件时，Liu 和Guo [12]利用Jeanjean 建立的 抽象临界点定理和一个新全局紧性弓I 理证明了问题(1.3)至少存在一个基态解.随后，Tang 和Chen [13〕对位势V (x ) G C (R 3, [0, Q)提出一些更强的条件，他们证明了问题(1.3)存在一 个Nehari-Pohozaev 型的基态解.后来，Chen 和Tang [14〕又证明了问题(1.3)存在一个基 态解，其中/(x,u )满足一般的Berestycki-Lions 假设和位势V (x ) G C (R 3, [0, g ))满足类似 文献[13]的条件.YeW 证明了问题(1.3)存在正基态解，其中/(x,u ) = a (x )f (u ) + u 5且 V (x )在无穷远处满足指数阶衰减•当位势V (x )有一个井位势，Sun 和Wu [16l 得到了一类668数学物理学报Vol.41A 如下Kirchhoff型问题基态解的存在性—(a/|V u|2d x+b)△u+AV(x)u=f(x,u),x e R N,'丿R N)u e H1(r n).关于问题(1.3)基态解的更多结果，参看文献[17-26].受上述文献的启发，本文事■虑具有小临界扰动项的问题(1.1)基态解的存在性.与上述文献相比，我们只需求V(x)e r|c(R3)或V(x)可能在局部区域比％大.这是本文主要结果的新奇之处，其方法是基于约束极小化方法•主要的困难在于非局部项J R b|V u|2d x^u的出现，由于R3的无界性以及带有临界扰动项的非线性而缺乏紧性.此外，由于V(x)非径向对称，故不能将问题限制在径向对称Sobolev空间用(便)中，其中H^R3)j L q(R3)(2<s<6)是紧的.为克服这些困难，必须进行更仔细的分析.特别地，对于序列{u…}c H1(R3)且u…在H1(R3)弱收敛于u,将仔细分析J r3|V u”|2d x和J r3|V u|2d x的不同来恢复紧性.若£=0,则问题(1.1)有一个正基态解，显然，当£趋于0时，对于方程(1.1)来说，我们期望这种结果不会改变.本文将试图证明该现象.本文的主要结果如下.定理1.1假设V(x)满足(旳)和V(x)<a.e.x e R3,(1.5)那么存在£0>0,对任意的£e(0,£o),问题(1.1)有一个正基态解.当位势V(x)不满足(1.5)式时，通过考虑下列极限问题的正基态解—(a+b J|V u|2d x)+V^u=|u|p-2u,x e R3,(1.6)u e H1(R3)证明问题(1.1)的基态解的存在性.事实上根据文献[18,27],在相差平移的情形下，方程(1.6)存在唯一的正的径向对称解，记为w.现陈述如下结果.定理1.2假设V(x)满足(V0),如果存在z e R3满足V(x)|w z|2d x</%w2d x,(1.7)R3其中W z(x):=w(x—z),且w是问题(1.6)的正径向基态解.那么对任意小的£，问题(1.1)存在正的基态解.注意到当V(x)三％时，那么对任意z e R3,(1.7)式成立.此篇论文的结构如下.在第2节，将给出一些符号且回忆了一些学过的知识.在第3节，将给出定理1.1和定理1.2的证明.2准备工作不失一般性，假设％=1.在下文中，将使用以下符号.•H1(R3)是Sobolev空间，其内积和范数如下||训2:=/(a|V u|2+u2)d x.JR3No.3成艺群等：非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解669同时，在这里我们将引入一种等价范数||u||V ：= / (a |V u |2 + V (x )u 2)d x.J r 3予实.上/ (a |V u |2 + u 2)d x < C (a |V u |2 + V (x )u 2)d xJ r 3 — J r 3显然成立.反之,根据(兀)可得，存在R> 0使得当|x | > R 时有V (x ) < 2%,从而有/ (a |V u |2 + V (x )u 2)d x R 3=a |V u |2d x + V (x )u 2d x +V (x )u 2d x J r 3 J\x \>R J\x\<R <a |V u |2d x + 2 / V ^u 2d x 7r 3 J\x \>R+ / ((V (x ))2d x )u 6dx) 3J \x \<R _3 丿< c / (a |V u |2 + u 2)d x.7r 3• D 1，2(R 3)是通常的 Sobolev 空间，其标准范数为 ||u||D ：=(J r 3 |V u |2d x )2.• (O )表示Lebesgue 空间，其中1 < q < g , OC R 3是一个可测集•当O 是R 3的 适当可测子集时，L (O )上的范数为| • |£q (o ).当O = R 3时，其范数为| • |,• c,C i ,C,C i ,…表示一些正常数.问题(1.1)对应的能量泛函是厶:H i (R 3) t R 定义为厶(u )=2(a |V u |2 + V (x )u 2)d x |u |p d x 一； [ |u |6d x.6 J r 3显然, 如下厶G C i (H i (R 3),R )且厶的临界点是问题(1.1)的弱解•问题(1.1)对应的极限方程G H i (R 3),△u + V ^u = |u |p-2u + s |u |4u,x G R 3,(2.1)且其对应的泛函为 —:H i (R 3) t R ,定义如下1 / (a |V u |2 + u 2)d x + -( / |V u |2d x) — - [ |u |p d x —三/ |u |6d x.2 J R34 ' 丿R 3 丿 p J R 3 6 丿R 3与厶具有相同性质的泛函定义如下I (u ) = 1 / (a |V u |2 + V (x )u 2)d x + -( / |V u |2d x) — - [ |u |p d x,2 J r34 ' J r 3 丿 p J r 3I x (u ) = 1 / (a |V u |2 + u 2)d x + [ |V u |2d x) — - [ |u |p d x.2 丿r34 ' J r 3 ) P J r 3定义泛函I ,厶，：和厶心上的Nehari 流形如下N = {u G H 0(R 3)\{0} : I z (u )[u ] = 0}, N = {u G H 0(R 3)\{0} : I ((u )[u ] = 0},N g = {u G H 1(R 3)\{0} : I Q (u )[u ] = 0}, = {u G H 1(R 3)\{0} : I ]；^(u )[u ] = 0}.670数学物理学报Vol.41A 定义m ：= inf Ig 〕 ：= inf /^x . (2.2)N so N e , g 注意到，当£> 0时有m e < m .事实上，设w 满足/g (w ) = m 且存在r e > 0使得r e w e 那么m e < I e ；g (r e w ) < I g (r e w ) < I g (w ) = m. (2.3)弓|理2.1 (i)存在唯一 t u > 0使得t u u eN ,有i (t u u ) = max I (tu ),且u 一 t u 是从H 1(R 3)\{0}到R +的连续映射.若在N g , M 和上分别考虑I g , I 和厶,g ,类似的结论成立.(ii) 对任意的u e M,g ，存在正常数C 〉0使得||训> C> 0,其中C 与£无关.(iii) 对任意的£ e (0,£o ),设u 是约束在M,g 上的厶,g 的极小元，那么存在正常数 C 1 > 0使得|u |p > C 1 > 0,其中C 1与£无关.证 根据标准的讨论，可得⑴成立.(ii)对任意的u e M,g ，由Sobolev 嵌入定理得0 = ||训2 + b |V u |4 — |u |p — £|u |6 > ||u||2 — C 1||u 卩一C 2£||u||6,即||u||2 <C 1||u||p + C 2£||u||6，其中C 1,C 2 > 0与£和U 无关•因此，对任意的£>0,有||训 > C > 0, V u eM ,g(2.4)成立，其中C 是与£和u 无关的正常数.(iii)设u 是厶,g 约束在M,g 上的极小元，可得I £,g (u ) = 4ll u ^2 + 〃4p |u |p + 12£|u |6 = m Q 由上式和(2.3)式可得||u |2 < 4m e + o (1) < 4m. (2.5)从(2.4)式可得||训有正下界，且从(2.5)式可得||训有正上界.因此，利用Sobolev 嵌入定 理，可得C 2|u |p = ||训2 + b ll Vu ll 2 ― £|u |6 > ll u|2 ― c £II 训6 > C 2 ― c 1£ > ~2 > C 1? V £ e (0, £o ),其中C, C 1 > 0与£和u 无关•证毕. I命题2.1下列估计成立a /b 宀3 叫 < 3(2£S +s 6+a 切+桔住s 3+-----------------\ 2S 6 + a S 3 )S a,b , V £ > 0, (2.6)其中s 是最佳Sobolev 常数.证 注意到(2.8)式中的S a ；b 是下列方程解的基态水平lim u (x ) = 0,|x|—>g a + b|V u △u = £|u |4u,x e R 3,(2.7)No.3成艺群等：非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解671即-----------------\ 2S 6 + a S 3 )和=3许+s 6+期)+包汀+2^/r 3 |u |6d x因此，由上式可知a [ |V (tu )|2d x |V (tu )|2d x)—訂 |tu |6d x 2 J r 3 4 ' J r 3 丿 6 J r 3=at 2 / |V u |2d x + 寻4( / |V u |2d x 『3J r 3 12 W r 3 丿a [- 2 -(J r 3 |V u |2d x )2 + \l -2(J r 3 |V u |2d x )4 +4a8 J r 3 |V u |2d x J r 3 |u |6d x =5 |Vu|2dx -----------------------------y ------------------------------------------------------------------------3丿R 3=min (a / |V u |*2d x + -( / |V u |2d x) — - / |u |6d x : u G D 1,2(R 3),I 2 J 4 ' 丿R 3 J 6 丿R 3/ a |V u |2d x + -( [ |V u |2d x) = - / |u |6d x{.7r 3 ' J r 3 丿 7r 3 丿事实上，下列问题R 3(2.8)的正解具有如下形式—△u = |u |4u, u G D 1，2(R 3)x G R 3,(2.9)(3$)1肿 _ (J + |x — x 0|2)2 :事实上，最佳Sobolev 常数S 可通过下式定义血 |V u |2dx _J > 0, x o G R 3.注意到,S = inf ------厂应 .ueD 1,2(R 3)\{0} |u |2 u£D 1.2(R 3)\{0}, u 6 = ^/R 3对任意的u G D X '2(R 3)\{0},存在唯一的t > 0使得tu 满足a [ |V (tu )|2d x + b( [ |V (tu )|2d x) = 8 / |tu |6d x, 丿R 3 '丿R 3 丿 丿R 3inf |V u |2d x.—a [ |V u |2d x = 0,丿R 3(2.10)即通过计算得t 2-(J r 3 |V u |2d x )2 + J -2(J r 3 |V u |2d x )4 十 4«£ J r 3 |V u |2d x J r 3 |u |6d x2^/r 3 |u |6d x ■ -(J r 3 |V u |2d x )2 + j -2(J r 3 |V u |2d x )4 +4处 J r 3 |V u |2d x j R 3 |u |6d x -28 J r 3 |u |6d xJ r 3 |V u |2d x - ” • c 2-I J R 八…I —| +-MJ r 3 |u |6d x ) 3 丿J r 3 |V u |2d x L/ J r 3 |V u |2d x a 68 (J r 3 |u |6d x ) 3VC/r 3 |u |6d x ) 3“ 'I2672数学物理学报Vol.41A\( J r 3 |V "|2dx )2 + -MJ r3 |u |6d x ) 3 丿> S (b S 2 + v b 2S4 + 4a£S ) + 召a / b 宀3/ b 2 十 ab / b 宀33(2£ V 4£2 £ 12(2£+ W J r 3 |V u |2d x 1^2£(J r 3 |u |6d x ) 3护(J r 3 |V u |2d xMJ r 3 |u |6d x )■ s ________________________12 (b S 2 + 7b 2S 4 + 4a£S )J + 4a£ I 2⑵11)另一方面，关于Sobolev 常数S ，设U o 是满足|U o |6 = 1的达到S 的函数，那么存在唯一的 t u o > 0使得t u o U o 满足(2.10)式*因此，通过计算，有|V U o |2d x +12t U 。

第42卷第3期2022年6月振动、测试与诊断Vol.42No.3Jun.2022 Journal of Vibration，Measurement&Diagnosis基于MEWT⁃ASCS的行星齿轮箱微弱故障特征提取∗胡少梁1，李宏坤1，王朝阁2，胡瑞杰1（1.大连理工大学机械工程学院大连，116024）（2.上海海事大学物流工程学院上海，201306）摘要针对强噪声背景下行星齿轮箱早期微弱故障难以提取以及经验小波变换对信号频率区间边界划分不恰当以及不能有效确定模态数目的问题，提出了一种基于改进经验小波变换（modified empirical wavelet transform，简称MEWT）和自适应稀疏编码收缩（adaptive sparse coding shrinkage，简称ASCS）的早期微弱故障特征提取方法。

根据信号频谱的尺度空间表示，将原始故障信号自适应地分解为一系列的窄频带本征模态分量。

利用包络谱峭度（envelope spectrum kurtosis，简称ESK）值选择敏感分量，为了进一步凸显分量中的故障信息，使用ASCS算法对敏感分量进行稀疏降噪处理，从其包络谱中即可提取到清晰的故障特征频率成分。

数值仿真和实际数据分析结果表明，本研究方法能够自适应地实现故障信号的模态分解并增强微弱的故障冲击特征。

此外，与经验小波变换（empirical wavelet transform，简称EWT），EWT‑ASCS和ASCS进行对比，本研究方法可有效提取包含故障信息丰富的分量，经ASCS处理后信号故障特征得到凸显，实现了行星齿轮箱早期微弱故障的准确识别。

关键词行星齿轮箱；早期故障诊断；特征提取；自适应频谱划分；经验小波变换；稀疏编码收缩去噪中图分类号TH17；TH132.41引言行星齿轮箱广泛应用于风力发电、直升机和船舶等大型设备的传动部分［1］。

由于其工作环境恶劣、运行负载大，齿轮极易出现点蚀、胶合和裂纹等局部损伤。

非协调元空间上的广义korn不等式1. 什么是广义korn不等式？广义korn不等式是一种用来描述机械系统稳定性的基本原理。

其中，稳定性的定义为在扰动情况下系统可以保持平衡状态的能力。

广义korn不等式的核心思想是通过对系统动能和势能的比较，来判断系统的稳定性。

2. 非协调元空间上的广义korn不等式是什么？传统的广义korn不等式假设系统中存在协调元，即每个元素都能够按照同样的规律响应扰动。

但是，在一些非协调元空间上的系统中，这种假设不成立。

这时，非协调性会使得机械系统过于灵敏，产生不稳定的行为。

非协调元空间上的广义korn不等式的研究就是在这种背景下展开的。

它是一种新型广义korn不等式，通过将系统分解成不同的模块，分别考虑它们的势能和动能之间的关系，进而得出系统的稳定性条件。

3. 非协调元空间上的广义korn不等式的应用价值非协调元空间上的广义korn不等式的研究对于分析机械系统的稳定性有着重要的应用价值。

在工程领域中，很多机械系统都存在非协调元，例如汽车悬挂系统中的弹簧和减震器，它们会因为互相作用而出现非协调性。

研究非协调元空间上的广义korn不等式，有助于优化这些机械系统的设计，提高其稳定性和运行效率。

此外，非协调元空间上的广义korn不等式的研究还可以应用于生物学和化学领域。

在这些领域中，非协调元的影响非常显著。

例如，蛋白质结构的稳定性和折叠能力就与非协调性密切相关。

因此，研究非协调元空间上的广义korn不等式对于解决这类问题也具有重要的意义。

4. 总结非协调元空间上的广义korn不等式是一种新型的机械系统稳定性原理，它通过对非协调性的分析，为机械系统设计提供了新的思路和方法。

它在工程、生物学和化学领域等多个领域都有广泛的应用前景。

未来，我们可以通过进一步的研究，深入探究它的具体应用和理论意义。

第 36 卷第 2 期2023 年4 月振 动 工 程 学 报Journal of Vibration EngineeringVol. 36 No. 2Apr. 2023无限隐Markov模型在缺失数据轴承退化趋势预测中的应用李志农1，李舒扬1，柳宝1，陶俊勇2（1.南昌航空大学无损检测技术教育部重点实验室，江西南昌 330063；2.国防科学技术大学装备综合保障技术重点实验室，湖南长沙 410073）摘要: 相比较于在完整数据下设备性能退化预测，缺失数据下的预测是更加困难的，也是更有意义的。

然而，现有的轴承性能退化预测方法都未考虑缺失数据下的预测，基于此，提出了一种基于无限隐马尔可夫模型的缺失数据下轴承退化预测方法。

在提出的方法中，通过建立无限隐马尔可夫预测模型，预测了滚动轴承样本数据在振荡阶段所缺失的数据点，形成新的完整数据。

同时，再使用建立的预测模型对新的完整数据进行单步预测。

实验结果表明，与真实值对比，得到的预测数据具有较小的平均误差值；对比真实值、完整数据下的预测值和新的完整数据下的预测值，验证了提出方法的有效性，能够反映滚动轴承退化的变化趋势。

提出的方法可为数据缺失下滚动轴承的退化趋势预测提供一种思路，具有重要的理论价值和工程应用价值。

关键词: 故障诊断；滚动轴承；无限隐马尔可夫模型（iHMM）；性能退化；趋势预测；缺失数据中图分类号: TH165+.3； TH133.33； TN911.6 文献标志码: A 文章编号: 1004-4523（2023）02-0574-08 DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2023.02.029引言滚动轴承作为旋转机械设备中回转部件的主体，会因长时间处于连续工作状态而引发严重的故障。

因此，对轴承进行性能退化趋势预测是非常有必要的。

目前，针对旋转机械中轴承退化趋势预测的研究取得了一些进展，国内外学者提出了一些行之有效的方法。

双曲空间中Veljan-Korchmaros型不等式及应用潘娟娟;杨世国【摘要】本文研究了双曲空间Hn(K)中n维高维单形的几何不等式问题.利用距离几何的理论与方法,获得了涉及n维双曲单形体积,侧面积与棱长的几个几何不等式,这些几何不等式是双曲单形几何不等式的基础.%In this paper, we study the problem about geometric inequalities for an n-dimensional simplex in the hyperbolic space Hn(K). By using the theory and method of distance geometry, some geometric inequalities for volume, edge-lengths of an n-dimensional simplex in the Hyperbolic space are established, which are the base of research of geometric inequalities for hyperbolic simplices.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2012(032)004【总页数】6页(P669-674)【关键词】双曲空间;单形;不等式【作者】潘娟娟;杨世国【作者单位】安徽大学数学科学学院,安徽合肥230039;安徽新华学院数理部,安徽合肥230088;合肥师范学院数学系,安徽合肥230061【正文语种】中文【中图分类】O184双曲空间的射影模型定义为[12]:在n维向量空间Rn中取一个集合赋予这个距离后得到的度量空间称为曲率为K＜0的n维双曲空间,记为Hn(K). 20 世纪80年代以来,欧氏空间几何不等式研究取得很多深刻的结果[1,2],特别是我国数学家杨路与张景中的研究工作得到了国内外同行专家的高度评价,他们建立一些内涵深刻,形式优美的高维几何不等式[3-7],然而双曲空间高维几何不等式的研究十分缓慢,本文研究双曲空间一般n维单形的一些几何不等式问题,建立了双曲空间n维单形的几个几何不等式,为双曲空间n维单形几何不等式进一步研究奠定了基础.当Ωn为正则单形时等号成立,此式可视为双曲空间中Veljan-Korchmaros不等式,在不等式(1.6)中取k=1,l=n便得不等式(1.14).为了证明上面的几个定理，我们需要下面几个引理.由不等式(2.11)递推立即可得不等式(1.6).定理3的证明由引理2,可知n阶正定矩阵.Q 有n个正特征值µ1,µ2,···,µn,δk表示它们的k次初等多项式,则δk等于Q所有k阶主子式之和.经计算并利用定义1及引理4,知【相关文献】[1]MitrinovicD S,Pecaric J E,Volenec V.Recent advances in geometricinequalities[M].London:Kluwer Acad.Publ.,1989.[2]Gerber L.The orthocentric simplex as an extreme simplex[J].Paci fi cJ.Math.,1975,56(1):97–111.[3]张景中,杨路.关于质点组的一类几何不等式[J].中国科技大学学报,1981,11(2):1–8.[4]杨路,张景中.Neuberg-Pedoe不等式的高维推广及应用[J].数学学报,1981,24(3):401–408.[5]Yang Lu,Zhang Jingzhong.Generalization to several dimension of the Neuberg-Pedoe inequality with applications[J].Bull Austral Math.,1983,27(2):203–214.[6]杨路,张景中.度量方程应用于Sallee猜想[J].数学学报,1983,26(4):488–493.[7]杨世国.常曲率空间中有限点集的两类几何不等式[J].数学杂志,2006,26(6):665–668.[8]Blumenthal L M.Theory and application of geometry[M].Oxford:Oxford Univesity Press,1953.[9]沈文选.单形论导引[M].长沙:湖南师范大学出版社,2000.[10]杨定华.高维非Eucild几何的几个基本不等式[J].中国科学,1982,12(8):683–692.[11]杨路,张景中.Neuberg-Pedoe不等式的高维推广及应用[J].数学学报,1981,24(3):401–408.[12]杨路,张景中.非欧双曲几何的几个基本问题[I]-等角嵌入和度量方程[J].中国科学技术大学学报,1983,13:123–124.[13]冷岗松,唐立华.再论Pedoe不等式的高维推广及应用[J].数学学报,1997,40(1):14–21.。

西尔韦特不等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述西尔韦特（Chebyshev）不等式是概率论中一种重要的不等式，被广泛应用于统计学和概率论的各个领域。

它建立了两个随机变量之间的关系，并且在实际问题中具有很强的指导意义。

西尔韦特不等式最早由俄国数学家彼得·勃劳界斯（Pafnuty L'vovich Chebyshev）于19世纪提出，他的研究成果在概率论和数学统计学的发展中起到了重要的推动作用。

该不等式在数学领域中也被称为马尔可夫不等式。

本文将对西尔韦特不等式的定义、原理以及证明方法进行介绍，并且将探讨它在实际问题中的应用。

通过阅读本文，读者将能够深入理解西尔韦特不等式，并且学会如何应用这一强大的工具解决实际问题。

在第2部分，我们将详细介绍西尔韦特不等式的定义和原理。

我们将探讨这种不等式背后的思想和概念，并且解释它在概率和统计学中的重要性。

在第3部分，我们将介绍证明西尔韦特不等式的三种方法。

这些证明方法将帮助读者更好地理解不等式的本质，并且能够运用这些方法来证明其他的不等式。

在第4部分，我们将探讨西尔韦特不等式在实际问题中的应用。

我们将给出几个具体案例，展示西尔韦特不等式在概率和统计学中的广泛应用。

最后，在第5部分，我们将给出本文的总结和结论。

我们将总结西尔韦特不等式的重要性，并展望它在未来的进一步发展和应用。

通过阅读本文，读者将会对西尔韦特不等式有一个清晰的理解，了解它在概率和统计学中的应用，并且能够有效地运用它来解决实际问题。

同时，本文也为读者进一步深入研究相关领域提供了基础知识和参考资料。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以写成以下形式：1.2 文章结构本文按照以下结构进行组织和讲解：第2部分将介绍西尔韦特不等式的定义和原理。

在2.1节中，将详细介绍西尔韦特不等式的定义，明确其数学表达形式和含义。

2.2节将深入探讨西尔韦特不等式的原理，解释其背后的数学原理和推导过程。

最后，在2.3节将展示西尔韦特不等式在实际问题中的应用。

第40卷第5期Vol.40㊀No.5重庆工商大学学报(自然科学版)J Chongqing Technol &Business Univ(Nat Sci Ed)2023年10月Oct.2023基于PSO 磁悬浮球系统自适应灰预测控制马晓东1,魏利胜1,21.安徽工程大学电气工程学院,安徽芜湖2410002.安徽省电气传动与控制重点实验室,安徽芜湖241000摘㊀要:目的针对磁悬浮球系统非线性不稳定和滞后性的问题,提出一种基于粒子群优化的自适应灰色预测PID(Proportion Integration Differentiation )复合控制策略㊂方法通过在PID 控制模块的反馈环中引入具有等维新息特征的灰色预测器,对系统误差进行及时反馈修正,以提高控制系统的响应速度和鲁棒性;同时,融合粒子群智能算法对控制器参数迭代优化,以提高控制系统控制精度和抗干扰能力;最后,在MATLAB /Simulink 环境下搭建仿真平台进行对比实验㊂结果验证基于粒子群优化的自适应灰预测控制系统模型的超调量㊁峰值时间㊁调节时间显著改善㊂结论证实该策略可以有效抑制系统滞后性,具有良好的稳定性和鲁棒性㊂关键词:磁悬浮;粒子群算法;灰色预测;PID ;自适应中图分类号:TP273㊀㊀文献标识码:A ㊀㊀doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2023.0005.003㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2022-09-13㊀修回日期:2022-11-21㊀文章编号:1672-058X(2023)05-0016-09基金项目:安徽工程大学研究生教学改革与研究重点项目(2021JYXM001).作者简介:马晓东(1996 ),男,安徽芜湖人,硕士研究生,从事智能控制技术及应用研究.通讯作者:魏利胜(1978 ),男,安徽巢湖人,博士后,教授,从事图像识别与应用㊁嵌入式仪器仪表及系统研究.Email:lshwei_11@.引用格式:马晓东,魏利胜.基于PSO 磁悬浮球系统自适应灰预测控制[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2023,40(5):16 24.MA Xiaodong WEI Lisheng.Adaptive grey predictive control of magnetic levitation ball system based on PSO J .Journal of Chongqing Technology and Business University Natural Science Edition 2023 40 5 16 24.Adaptive Grey Predictive Control of Magnetic Levitation Ball System Based on PSO MA Xiaodong 1 WEI Lisheng 1 21.School of Electrical Engineering Anhui Polytechnic University Anhui Wuhu 241000 China2.Anhui Key Laboratory of Electric Drive and Control Anhui Wuhu 241000 ChinaAbstract Objective Aiming at the problem of nonlinear instability and hysteresis of the magnetic levitation ball system an adaptive gray prediction composite control strategy based on particle swarm optimization was proposed.Methods A grey predictor with equal-dimension and new-info characteristics was introduced into the feedback loop of the PID control module to provide timely feedback correction of system errors so as to improve the response speed and robustness of the control system.And the particle swarm intelligence algorithm was integrated to iteratively optimize the controller parameters so as to improve the control accuracy and anti-interference ability of the control system.Finally a simulation platform was constructed in the MATLAB /Simulink environment for comparative experiments.Results The experimental results showed that the overshoot peak time and adjustment time of the adaptive grey predictive control system model based on particle swarm optimization were significantly improved.Conclusion It is confirmed that this strategy can effectively suppress the system hysteresis and has good stability and robustness.Keywords magnetic levitation particle swarm optimization grey prediction proportion integration differentiation PID adaptation1㊀引㊀言近些年来,随着磁悬浮技术迅速发展,具有非接触㊁低磨损㊁功耗低等特点的磁悬浮技术已被广泛应用于高端制造㊁医学㊁食品包装和轨道交通等领域㊂在实第5期马晓东,等:基于PSO磁悬浮球系统自适应灰预测控制际的生产和生活当中,磁悬浮列车㊁平面磁悬浮输送线等已被成熟使用,这给人类生活和工作带来方便和快捷㊂磁悬浮系统是一种典型的非线性开环不稳定系统,且存在着模型参数难以确定㊁易受外界干扰影响等难点,这使得传统的控制方法难以在磁悬浮系统中达到较好的控制效果[1]㊂为了满足磁悬浮系统稳定性㊁实时性的性能要求,设计一种高性能控制器具有十分重要的意义㊂为此,国内外相关的专家和学者在磁悬浮控制(Magnetic levitation control)策略上做了大量研究,且取得一定的研究成果㊂PID(Proportion Integration Differentiation)控制器凭借其控制结构简单㊁易于实现㊁鲁棒性强等优点,在过程控制中占有重要地位,被广泛应用在工业控制中㊂但PID无法自适应调整自身参数,无法保证磁悬浮系统达到良好的控制效果㊂故针对传统单一的PID控制系统响应速度慢和无法自适应在线调整参数的缺点,刘丽丽等[2]采用模糊控制和PID 控制方法组合的策略来对磁悬浮球进行控制,通过模糊推理机对系统的误差及误差变化率做出相应的判断决策,从而对PID的参数进行自适应在线调整,由此提高系统的控制精度和鲁棒性,但模糊控制器的性能优劣过度取决于规则和推理方式选择是否合理,而推理规则和参数固定不变又会降低系统自适应能力;王永涛等[3]针对传统PID控制器参数自适应调整难以达到最优,以及无法满足系统实时性等问题,提出在传统灰色预测模型上构建序列-残差联合灰色预测模型,以对预测误差二次灰色模型预测修正,从而实现对被控对象的快速精准控制㊂除对PID控制器进行参数优化之外,还有部分学者针对磁悬浮系统提出新的控制理论策略㊂Majewski等[4]建立神经网络控制系统,该神经网络由第一层非线性神经元和第二层线性神经元组成,通过实验表明其方法在控制精度和控制速度特性方面优于经典方法;Wei等[5]提出一种时变自动扰动抑制控制器(Time-varying Active Disturbance Rejection Control)方案来克服磁悬浮系统开环不稳定,通过现有线性自动扰动抑制控制器(Linear Active Disturbance Rejection Control,LADRC)加以改进并设计新TADRC 控制方案,提出一种时变增益的(TESO)可以较好保持扩张状态观测器(Extended State Observer,ESO)在瞬态过程中的估计性能;吕治国等[6]针对磁悬浮球运动状态发生变化时,控制器自适应能力较差的问题,提出一种非线性自适应控制方法,通过状态反馈线性化来构建系统模型,对模型参数进行在线估计辨识㊂考虑到单一的控制策略已无法满足高精度设备的控制要求,因此有国内外相关学者尝试将两种或两种以上的控制方法组合来获得更好的控制效果㊂王军晓等[7]针对外部干扰引起的磁悬浮球系统稳定性降低问题,提出一种将滑模预测控制器(Model Predictive Control,MPC)和预测控制(Predictive Control,PC)方法结合的控制策略,将等价输入干扰估计值与预测控制输出的最优控制率结合,从而得到最终的控制率,实现对参考点的快速准确跟踪,提高系统对扰动的鲁棒性;龚事引等[8]将PSO(Particle Swarm Optimization)算法应用于磁悬浮球系统中,针对磁悬浮球模糊控制系统中模糊量化因子难以调节问题,利用PSO算法对量化因子进行优化,结果表明该策略可以提高系统响应速度㊂以上众多的国内外专家学者分别从PID控制器参数优化㊁复合控制等不同角度对磁悬浮系统控制理论进行深入的研究,实现系统较快响应和具备一定抗扰动性㊂但针对磁悬浮系统是非线性系统且开环不稳定,易受外界扰动的特性,传统的控制策略仍很难达到预期的控制效果和实时要求,这使得在实际磁悬浮产品上难以应用推广[9-10]㊂为更好克服以上难点,提出一种基于粒子群优化的自适应灰色预测PID复合控制策略㊂首先通过对磁悬浮球进行动力学分析,从而建立数学模型;并针对PID参数无法自适应调整问题,采用粒子群算法对PID参数进行优化来提高控制器精度;以改善系统的响应速度和鲁棒性,在PID控制器的反馈环引入变步长灰色预测模块提高控制器自适应能力;最后,通过MATLAB/Simulink对所提方法进行实验,以验证所提方法能通过融合寻优速度快的粒子群算法来优化控制器参数来提高控制精度和增强系统抗扰动性,同时通过引入自适应灰预测模型思想来提高系统实时性和鲁棒性,具有应用价值和研究意义㊂2㊀磁悬浮球系统控制器设计2.1㊀磁悬浮球控制原理磁悬浮球系统工作原理是通过方向向上的电磁力来平衡悬浮钢球所受向下的重力㊂在电流和磁场的作用下,磁悬浮球主要受到两种外界力,即电磁铁对磁悬浮球的电磁力和地球对磁悬浮球的万有引力㊂当磁悬71重庆工商大学学报(自然科学版)第40卷浮球受到外界干扰力或自身承载的中重力发生变化时,磁悬浮球脱离预期轨道线路,此时基于YOLOv5(You Only Look Once)图像处理算法通过相机对磁悬浮球及位置进行识别和检测,将位移信号转换成数字信号并输入控制器中㊂磁悬球系统整体架构如图1所示㊂电磁铁驱动电路D /A 转换器相机计算机Fm g图1㊀磁悬浮球系统整体架构Fig.1㊀The overall structure of the magnetic levitationball system图1中控制器将获取的实时位置信号与磁悬浮球的指令位置进行对比后,计算出控制律,经过D /A 转换器和功率放大器处理后,对电磁铁绕组中的电流进行调节,使电磁铁产生相应大小的电磁力,从而改变磁悬浮球的运动状态,达到对磁悬浮球运动状态精准控制目的㊂2.2㊀磁悬浮球系统的建模在建立磁悬浮球的数学模型前,需做出以下假设:(1)忽略磁通漏磁,假设穿过铁芯的磁通无漏磁穿过,忽略边缘效应和磁悬浮球与电磁铁之间的磁阻㊂忽略线圈感抗及电涡流㊂(2)假设磁悬浮球是一个均匀的球体,磁力集中在其中心㊂基于以上假设,我们首先对磁悬浮球进行动力学分析,由牛顿第二运动定律,我们可以得到运动学方程,如式(1):mg -F (i ,x )=md x 2(t )d t 2(1)式(1)中:m 是磁悬浮球的质量(kg),g 是重力加速度(m /s 2),x 是气隙长度(m),为球心到电磁铁下表面间的距离,F (i ,x )表示电磁铁对磁悬浮球电磁力(N)㊂其中电磁铁是由带铁芯的螺线管构成,磁路中的磁阻如式(2):R (x )=2x μ0A(2)式(2)中:μ0是常量,表示空气的磁导率,数值大小为4π∗10-7H /m㊂A 是气隙的导磁截面积㊂由基尔霍夫定律可得如式(3):Ni =Φ(i ,x )R (x )(3)式(3)中:Φ(i ,x )表示单匝线圈的磁通量,i 表示线圈中电流,N 表示线圈匝数㊂由公式磁阻和公式磁动势得到电磁线圈的磁链,磁链表达式如式(4):ψ(i ,x )=NΦ(i ,x )=μ0AN 2i 2x(4)在静磁学中,根据毕奥-萨伐尔定律(Biot -SavartLaw),线圈的电流和磁链成正比关系式如式(5):ψ(i ,x )=Li(5)由电感的储能公式可得磁场的能量W m (i ,x )如式(6):W m (i ,x )=12L (i ,x )i 2=μ0AN 2i 24x(6)由式(6)可知,磁悬浮球受到的电磁力如式(7):F (i ,x )=- W m (i ,x )x=μ0AN 24()ix()2(7)式(7)中的μ0㊁A ㊁N 数为常数㊂根据基尔霍夫定律(Kirchhoff laws),将电磁铁线圈等效成电阻和电感串联电路㊂则电磁铁线圈回路中的电压可以如式(8):U i =Ri +L (x )d i d t(8)式(8)中,R 表示电磁铁线圈的电阻,L 表示电磁铁线圈电感,电感大小与电磁铁线圈结构和气隙长度有关,此处对电磁感应现象中产生的电涡流,线圈间漏磁情况进行忽略㊂当磁悬浮球在一个静态平衡工作点范围内稳定悬浮运动即为达到稳定悬浮状态时,将这个平衡工作点到电磁铁下表面间的距离设为x 0,对应流过的线圈电流为i 0,此时由牛顿运动定律可知小球所受到的重力和电磁力合力为零,可得到边界方程,如式(9):F (i 0,x 0)+mg =0(9)根据式(9),对系统F (i ,x )在平衡点x =x 0处进行泰勒展开,得到结果如式(10):81第5期马晓东,等:基于PSO 磁悬浮球系统自适应灰预测控制F (i ,x )=F (i 0,x 0)+F i (i 0,x 0)(i -i 0)+F x (i 0,x 0)(x -x 0)+12!F i (i 0,x 0)(i-i 0)2+(10)磁悬浮球系统在工作点x 0附近时,电流及位置变化极小,故可将系统F (i ,x )高次项省略,则系统F (i ,x )表达式如式(11):F (i ,x )=F (i 0,x 0)+μ0AN 22()i 0x20()(i -i 0)+μ0AN 2-2()i 20x 30()(x -x 0)(11)受力分析可知磁悬浮球的运动方程如式(12):m d 2xd t2=mg -F (i ,x )(12)将式(11)代入式(12)化简结果如式(13):m d 2x d t2=μ0AN 22()i 0x2()i +μ0AN 22()i20x30()x (13)将磁悬浮球系统的位置刚度系数㊁线圈电流刚度系数分别设为k x ㊁k i ,其表达式如式(14)和式(15):k x =F x (i 0,x 0)=μ0AN 2i 202x 30(14)k i =F i (i 0,x 0)=μ0i 0AN 22x 20(15)对公式两边进行拉普拉斯变换,结果如式(16):ms 2X (s )=-k i I (s )+k x X (s )(16)在忽略外界干扰力的情况下,由式(16)可以推导出输入为线圈电流i 到输出为当前球体位置x 的开环传递函数,经拉普拉斯变换后表达式如式(17):X (s )I (s )=-k i ms 2-k x(17)将磁悬浮球的相关参数代入,得出系统数学模型如式(18):G (s )=X (s )I (s )=-16.36s 2-642.66(18)2.3㊀基于粒子群算法优化的自适应灰预测控制器设计基于粒子群算法优化的自适应灰预测控制器结构图如图2所示㊂图2中r 代表系统输入量,y 代表系统输出量,y ∗代表系统预测输出,e ∗=r -y ∗为系统偏差值㊂粒子群算法输入r磁悬浮球系统预测步长自调节灰色预测器输出e *P I Dy *yk p k d ki 图2㊀基于粒子群算法优化的自适应灰预测控制器结构Fig.2㊀The structure diagram of adaptive grey predictioncontroller based on particle swarm optimization基于粒子群算法优化的自适应灰预测控制器是在PID 控制器的闭环反馈回路中引入灰色预测器,将磁悬浮球控制系统的输出y 作为采样信息,设定适当的误差参考阈值,根据系统实际误差值的大小,自适应调整灰色预测控制器的预测步长,采用不同的预测步长实现前向和后向预测,从而提高灰色预测控制器的预测精度;另通过PSO 算法对控制器的参数进行迭代寻优,确定最优控制器参数,以实现对磁悬浮球的自适应控制㊂2.3.1㊀自适应灰色预测控制器的设计灰色预测控制器的核心是灰色预测模型的建立㊂灰色微分模型一般记为GM (n ,m ),其中n ㊁m 含义是常微分方程的阶数㊁灰色变量个数,即用n 阶微分方程对数量为m 的灰色变量建立模型㊂当n ㊁m 取值较大时,预测精度可能不会得到提高,故选择GM (1,1)作为灰色预测模型㊂灰色预测模型主要是由累积生成操作(AGO)㊁灰建模(GPM)以及累减生成操作(IAGO)构成[11-18]㊂首先,采集原始数据序列,y 0={y 0(1),y 0(2), ,y 0(n )}表示被控对象的输出序列,即GM (1,1)模型的输入量㊂其次,对序列进行累加生成操作(AGO),转换得到一次累加生成序列,如式(19):y(1)(k )=ðkm =1y (0)(m )(19)式(19)中,k =2, ,n 是序列数㊂再次,序列累加生成后,进行灰建模操作㊂对新序列y 1={y 1(1),y 1(2), ,y 1(n )}进行背景值计算,背景91重庆工商大学学报(自然科学版)第40卷值公式如式(20):z (1)(k )=θy (1)(k )+(1-θ)y (1)(k -1)(20)式(20)中,θ为常数,本文将其取值为0.5㊂将其代入式(20),则新序列的MAIN 序列如式(21):z (1)(k )=0.5y (1)(k )+0.5y (1)(k -1)(21)之后,通过一阶微分方程来构建GM (1,1)灰预测模型,一阶微分方程可如式(22):y (0)(k )+az (1)(k )=b(22)式(22)中:y (0)(k )表示灰导数,a 表示发展系数,其大小及符号反映y (1)(k )发展态势㊂z (1)(k )表示白化背景值序列,b 表示具有灰色信息覆盖的作用量,简称灰作用量㊂结合式(21)和式(22)可得结果如式(23):y (0)(k )(1+0.5a )+ay (1)(k -1)=b (23)然后,求解最优参数,设M =a b éëêêùûúúB =-z (1)2()-z (1)3()-z (1)N ()111éëêêùûúúT令y n =⌊y (0)(2),y (0)(3), ,y (0)(n )」,则一阶灰色微分方程可表示为y n =B ∗M ㊂由最小二乘法可以获得最优参数M ,求出a ㊁b ㊂求解公式如式(24):M =(B T B )-1B T y n(24)最后,进行累减生成操作(IAGO )所得结果如式(25):y (1)(k )-y (1)(k -1)=y (0)(k )(25)结合式(23) 式(25)可得,预测结果如式(26)所示:y (0)(k )=1-0.5a 1+0.5a ()y (0)(k -1),k >2y (0)(k )=b -ay (0)(1)1+0.5a ,k =2ìîíïïïï(26)综上,由GM (1,1)派生模型内涵型GM (1,1,C )可知,被控对象灰预测模型序列未来预测值可表达如式(27):y ∗(k )=1-0.5a1+0.5a()(n +p -2)b -ay (0)(1)1+0.5a(27)式(27)中:p 是模型序列预测步长,n 为数据序列长度㊂本文原始数据序列长度为n =5,故原灰色预测模型又可以进一步描述如式(28):y ∗(k )=1-0.5a1+0.5a()(3+p )b -ay (0)(1)1+0.5a(28)传统的灰色预测控制器虽然可以较好的降低超调量,但响应时间却被延长,为了让系统响应更加迅速,故对固定步长进行自适应调整,让系统输入值与输出值进行比较得出系统误差e (k ),设置最小误差阈值e min为0.1和最大误差阈值e max 为0.8,当误差e (k )大于e max ,选择负数预测步长,实现后向预测,增加控制量,加快系统响应速度㊂当误差e (k )小于e min ,选择正数预测小步长,实现前向预测,降低超调量,当误差在最大阈值和最小阈值之间,选择正数预测大步长㊂预测步长p 自适应具体表达式如式(29):p =-8e (k )>0.840.1<e (k )<0.812e (k )<0.1ìîíïïïï(29)构建GM (1,1)等维新息模型,使系统得到更为精准的预测输出,将系统给定输入r (k )与灰色预测控制器得出预测输出y ∗(k )进行作差,得到差值e ∗(k )即为系统的误差预测值㊂最后,将e ∗(k )作为PID 控制器的输入,经过控制器得出作用于磁悬浮球的系统输出量u (k ),由此实现对磁悬浮球系统的自适应控制㊂2.3.2㊀等维新息模型融合信息的快速准确获取关系到预测精度高低㊂灰色预测策略特点之一就是通过获取少量数据信息建模来对系统未来行为进行预测㊂本文在GM (1,1)模型采集信息时引入等维新息模型㊂等维新息模型原理图如图3所示㊂原数据序列Y （0）｛y （0）（1），y (0)(2),…y (0)(n )}序列更新Y （0）｛y （0）（0）,y （0）（1），…y (0)(n -1)}下一采样时间新数据序列Y （0）｛y （0）（1）,y （0）（2），…y (0)(n )}新数据y （0）（0）图3㊀等维新息模型原理图Fig.3㊀Schematic diagram of the equal dimension newinformation model图3中,首先,将采集到的原系统输出量作为数据原序列;再用采集到的新数据替代原序列中的部分旧2第5期马晓东,等:基于PSO磁悬浮球系统自适应灰预测控制数据,以此来让序列不断更新,使灰色预测控制器可以在仍维持原始数据序列维度不变前提下,达到提高预测精度的目的㊂2.3.3㊀粒子群算法的参数优化粒子群优化算法是一种基于群体智能随机优化算法,具有简单易实现,寻优速度快特点[19-22]㊂粒子群优化算法速度和位置更新公式如式(30)和式(31):v ij(k+1)=wv ij(k)+c1r1(k)[p ij(k)-x ij(k)]+c2r2(k)[g ij(k)-x ij(k)](30)x ij(k+1)=x ij(k)+v ij(k+1)(31)式(30)和式(31)中,v ij(k+1)表示速度更新输出值,x ij(k+1)表示位置更新输出值㊂下标i表示微粒,j表示微粒维数;k表示迭代次数,w表示惯性权重,c表示学习因子,为非负常数,r表示在区间[0,1]内均匀分布的随机数;p表示粒子寻找到个体最优值,g表示为粒子群寻优所得全局最优值,v表示速度,x表示位置㊂粒子群算法对PID控制器的优化本质核心是确定一组合适的参数,使控制性能达到最优㊂粒子群算法设计流程图如图4所示㊂开始初始化粒子群的速度和位置计算各粒子的适应度并更新个体最优和全局最优值更新所有粒子的速度和位置是否满足终止条件结束是否图4㊀粒子群算法设计流程图Fig.4㊀Flow chart of the particle swarm algorithm design首先,对参数进行设置:设置惯性因子㊁粒子群规模㊁最大迭代次数等,确定ITAE指标作为优化算法适应度函数,PSO算法产生初始化的粒子群,随机产生粒子的初始速度和初始位置值㊂其次,根据适应度函数计算粒子对应的适应度值:计算得出粒子个体极值和粒子群群体极值㊂再根据速度及位置公式对粒子和粒子群的速度和位置进行迭代更新,计算更新后的适应度函数值,更新个体极值和群体极值㊂并与历史最优适应度进行比较,选取最好的将其作为当前迭代最优适应度值㊂最后,将性能指标信息传递至PSO中:根据预设定最大迭代次数和适应度下限值判断性能指标是否满足终止条件,若不满足,则继续对粒子群进行速度和位置更新操作,再对更新后产生的粒子群的速度和位置适应度进行比较,直至寻找到满足终止条件的粒子群结束㊂3㊀灰预测控制稳定性分析假设系统线性模型如式(32):x㊃(t)=A x(t)+B u(t)y(t)=C x(t){(32)式(32)中,x(t)ɪR n表示状态变量,u(t)ɪR m表示控制量,y(t)ɪR r表示系统输出量㊂A㊁B㊁C分别表示系统矩阵㊁控制矩阵㊁输出矩阵㊂系统误差公式如式(33):e(t)=r(t)-y(t)(33)令灰色预测控制器输出值为y∗(t),预测误差则如式(34):e∗(t)=r(t)-y∗(t)Δe∗(t)=e㊃∗x(t)=r㊃(t)-y㊃∗(t) {(34)已知PID控制器的输出公式如式(35):u(t)=u(t-T)+k1ˑe∗(t)+k2ˑΔe∗(t)+k3ʏe∗(t)(35)式(35)中,t和T为采用时间和采样周期㊂假设预测误差界于某个正常数Z,如式(36)㊁式(37)所示㊂误差界值Z越小,则意味着灰预测控制系统稳定性越好㊂y∗(t)-y(t) λɤZ(36)e∗(t)-e(t) λɤZ(37)将线性状态方程式(32)代入,由式(33) 式(37)可得结果如式(38):e(t)=r(t)-y(t)=e(t-T)-㊀ʏt0CΦ(t-τ)B k1e∗(τ)+k2e㊃∗(τ)+k3ʏτ0e∗(σ)dσ[]dτ(38)12重庆工商大学学报(自然科学版)第40卷令H (t -T )=C Φ(t -τ)B ,则化简如式(39):ʏtH (t -T )k 2e㊃∗(τ)d τ=H (0)k 2e ∗(t )-㊀ʏt∂∂τH (t -τ)k 2[]e ∗(τ)d τ(39)将式(39)代入式(38),化简结果如式(40):e (t )=e (t -T )-H (0)k 2e ∗(t )-H (t -T )k 1-∂∂τH (t -τ)k 2[]{}e ∗(τ)d τ-ʏτ0H (t -τ)k 3e∗(σ)d σd τ(40)为便于本文讨论分析验证,阐述本文所用函数如式(41)㊁式(42)㊁式(43)㊁式(44)所示:f (t ) λ=supe-λtf (t ) (41) f (t ) ɕ=sup f (t ) (42)m 1=sup H (t -τ)k 1-∂∂τH (t -τ)k 2[]ɕ(43)m 2=sup H (t -τ)k 3 ɕ(44)对式(40)两边进行处理,结果如式(45): I +H (0)k 2 ㊃ e (t ) ɤ e (t -T ) +㊀ H (0)k 2 e ∗(t )-e (t ) +㊀ʏt 0m 1e ∗(τ)-e (τ) d τ+ʏt 0m 1e (τ) d τ+㊀ʏt0ʏτ0b 2e ∗(σ)-e (σ) d σd τ+㊀ʏt0ʏτ0b 2e ∗(σ)-e (σ) d σd τ+㊀ʏtʏτb 2e (σ) d σd τ(45)对式(45)化简结果如式(46):I +H (0)k 2 ㊃ e (t ) λɤ e (t -T ) λ+㊀ H (0)k 2 Z +m 11-e -λt λZ +m 11-e -λtλ e (t ) λ+㊀m 21-e -λtλ()2Z +m 21-e -λtλ()2e (t ) λ(46)令:η1(t )= I +H (0)k 2 -m 11-e -λt λ-m 21-e -λt λ()2éëêêùûúú-1η2(t )= H (0)k 2 +m 11-e -λt λ+m 21-e -λtλ()2对式(46)整理结果如式(47):e (t ) λɤη1(t ) e (t -T ) λ+η1(t )η2(t )Z(47)则当λ足够大时,误差lim t ңɕe (t ) λ收敛于正常数㊂4㊀实验验证及结果分析为了验证本文所设计控制器在磁悬浮球系统中有效性和控制效果,采用MATLAB /Simulink 进行仿真研究,选择超调量σ,峰值时间t r ,调节时间t s 作为衡量控制器性能的指标㊂设定PID 控制器参数k p ㊁k i ㊁k d 的初始值为-480㊁-3200㊁-10;设置粒子群算法参数,惯性因子w =0.6,学习因子c 1与c 2均为2,粒子群规模为20,最大迭代次数为25,粒子速度范围为[-1,1],维数为3㊂采用ITAE 指标作为优化算法适应度函数,其函数公式为ʏɕ0t e (t )d t ㊂采用阶跃函数和正弦函数作为输入激励信号分别来衡量系统的控制器性能优劣和轨迹跟踪能力,其仿真结果分别如图5所示㊁图6所示㊂1.21.00.80.60.40.20.10.20.30.40.50.6位置/m mt /sP I D 方法文本方法文献2方法阶跃信号图5㊀阶跃输入信号下磁悬浮球响应曲线图Fig.5㊀The response curve of magnetic levitation ballunder step input signal3.02.52.01.51.00.50.51.01.52.02.53.0位置/m m t /sP I D 方法文本方法文献2方法正弦信号图6㊀正弦信号下磁悬浮球轨迹对比图Fig.6㊀The comparison chart of magnetic levitation balltrajectory under sinusoidal signal由图5可知,磁悬浮球系统在输入为阶跃响应信号的作用下,PID 策略可以使系统实现较好的稳定,但依然存在较大的超调量㊂本文引入灰色预测思想,能够明显的降低超调量,文献[2]方法为模糊PID 控制策22第5期马晓东,等:基于PSO磁悬浮球系统自适应灰预测控制略,文献[2]方法调节时间相比较于原PID方法有一定程度的减少,但仍待改善,本文引入粒子群优化算法,其调节时间明显要低于其他两种策略㊂三种控制方法在阶跃输入信号下暂态性能对比如表1所示㊂表1㊀暂态性能对比表Table1㊀Comparison of transient performance 方㊀法指㊀标超调量(σ/%)峰值时间(t r/s)调节时间(t s/s) PID19.080.0770.245文献[2]14.20.0650.205本文方法12.090.0170.033㊀注:加粗表示在该指标下效果最佳㊂为检验本文控制器在目标跟踪上响应速度和准确性的表现,故对其进行位置跟踪测试㊂给定磁悬浮球正弦目标轨迹信号,正弦信号是一种典型的周期信号,将其作为位置跟踪测试信号,其目标轨迹函数如式(48):y=sin4πt+1.5(48)此外在同等条件下,使用文献[2]方法㊁PID方法和本文方法对磁悬浮球模型进行仿真测试,其轨迹跟踪效果如图6所示㊂由图6正弦轨迹位置响应曲线图可以看出磁悬浮球系统在本文方法控制器作用下跟踪效果表现最好,期望目标轨迹与实际位置误差最小,响应速度快㊁滞后小㊂同时,从图6中可以看出本文控制方法的抗饱和能力反应速度和跟踪能力都优于文献[2]和PID控制器㊂5㊀结㊀论本文针对磁悬浮球系统实时性和稳定性较差问题,设计了一种基于粒子群优化的自适应灰预测控制策略㊂通过在PID控制模块的反馈环中引入等维新息灰色预测模型,实现对系统误差进行及时反馈修正,提高控制系统的响应速度和鲁棒性;并融入粒子群算法对控制器参数迭代优化,以提高控制系统控制精度和抗干扰能力,实现精准快速控制㊂通过仿真对比实验结果显示本文控制策略模型的超调量㊁峰值时间㊁调节时间显著改善,为其在实际应用中奠定良好的理论研究和实际应用价值㊂参考文献References1 ㊀周丹峰李杰余佩倡等.磁浮交通轨排耦合自激振动分析及自适应控制方法J .自动化学报2019 45122328 2343.ZHOU Dan-feng LI Jie YU Pei-chong et al.Analysis and adaptive control method of coupled self-excited vibration of magnetic levitation traffic rails J .Acta Automatica Sinica 2019 45 12 2328 2343.2 ㊀刘丽丽左继红.磁悬浮球系统模糊PID参数自调整控制方法J .控制工程2021 28 2 354 359.LIU Li-li ZUO Ji-hong.Fuzzy PID parameter self-adjustment control method for magnetic levitation ball system J .Control Engineering 2021 28 2 354 359.3 ㊀王永涛肖俊辰.基于改进灰色预测单神经元PID的URV伺服控制系统研究J .兵器装备工程学报2021 428251 257.WANG Yong-tao XIAO Jun-chen.Research on URV servo control system based on improved grey prediction single neuron PID J .Chinese Journal of Weaponry and Equipment Engineering 2021 42 8 251 257.4 ㊀MAJEWSKI P PAWUS D SZURPICKI K et al.Towardoptimal control of a multivariable magnetic levitation system J .Applied Sciences 2022 12 2 674 678.5 ㊀WEI W XUE W Li D.On disturbance rejection in magneticlevitation J .Control Engineering Practice 2019 82124 35.6 ㊀吕治国龙志强.磁悬浮球系统的非线性自适应控制方法J .控制工程2020 27 1 127 133.LV Zhi-guo LONG Zhi-qiang.Nonlinear adaptive control method of magnetic levitation ball system J .Control Engineering 2020 27 1 127 133.7 ㊀王军晓陈林杰俞立.基于等价输入干扰滑模观测器的磁悬浮球系统模型预测控制J .控制理论与应用2021 381 137 146.WANG Jun-xiao CHEN Lin-jie YU Li.Model predictive control of maglev ball system based on equivalent input disturbance sliding mode observer J .Control Theory and Application 2021 38 1 137 146.8 ㊀龚事引李丹.基于粒子群优化的磁悬浮球系统的模糊强化学习控制J .石河子科技2021 1 41 43.GONG Shi-yin LI Dan.Fuzzy reinforcement learning control32。

C h i n as t o r a g e&t r a n s p o r t m a g a z i n e2023.10本文以顺丰的果蔬生鲜物流服务为研究对象，基于S E R V Q U A L模型和L S Q模型，构建服务指标，进行问卷调查，运用“满意度-重要性”四分图将服务指标进行分类，对不同类别的指标提出质量提升建议。

国内学者关于物流服务质量的研究最初多是借鉴实体产品质量管理的理论和方法。

2001年，田宇基于服务质量理论，特别是基于S E R V Q U A L理论对物流服务质量进行研究。

2007年，郑兵等人分析了门策等人研究成果的基础上，基于统计分析方法，建立我国本土的物流服务质量模型。

吕冬梅（2019）采用优化后的S E R V Q U A L模型与熵权法实现对快速服务质量研究评价维度更全面、精确的评价[1]。

翟小可、吴祈宗（2019）基于S E R V Q U A L模型和L S Q模型的评价理念，构建农村电商物流服务质量评价体系，对珠海市农村电商物流服务质量进行实证评价研究[2]。

唐力、周凌云、徐妍（2020）等结合S E R V Q U A L模型，建立铁路物流服务质量评价指标[3]。

代应、李昱、于晓东等（2021）基于S E R V Q U A L模型和S L Q模型，研究了服务质量对跨境电商物流顾客满意度的影响[4]。

蒋玉香、陈昌华、徐蕾（2022）根据S E R V Q U A L模型构建了适合烟卷物流服务质量的指标[5]。

1.服务质量评价模型1.1S E R V Q U A L模型与服务质量有关的模型种类繁多，其中最为经典的是P Z B （A.P a r a s u r a ma n、Z e i t h a ma l和B e r r y）在1988年提出的S E R V Q U A L（S e r v i c eQ u a l i t y）模型[6]。

经过多个阶段修改，S E R V Q U A L模型最终被确定为反应性、有形性、可靠性、保证性和移情性五个维度。

基于改进积分不等式的时变时滞系统稳定性分析
李紫薇;姜偕富;李敬莹;李佳峰;马雪乐
【期刊名称】《杭州电子科技大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(44)1
【摘要】研究一类时变时滞线性系统的时滞相关稳定性问题。

给出了一种改进的基于松弛矩阵的复合积分不等式(CSMBII)。

它克服了Bessel-Legendre积分不等式中时滞变量h(t)出现在分母上的情况,使CSMBII能够更方便地处理时变时滞系统。

在一定程度上克服了以往工作中的松弛矩阵与时变延迟无关的缺点。

在CSMBII的基础上,运用Lyapunov稳定性理论,构造含有二重积分形式的Lyapunov-Krasovskii(L-K)泛函,导出了一种新的时滞相关稳定性判据。

通过两个数值算例说明了稳定性判据的有效性。

【总页数】8页(P39-46)
【作者】李紫薇;姜偕富;李敬莹;李佳峰;马雪乐
【作者单位】杭州电子科技大学自动化学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
【相关文献】
1.基于Wirtinger积分不等式变时滞广义系统稳定性分析
2.基于二重Wirtinger型积分不等式变时滞系统稳定性判据
3.基于积分不等式的时滞Markovian跳变系统
的稳定性分析和镇定4.基于Wirtinger不等式的时变时滞电力系统稳定性分析5.基于改进型离散Wirtinger型不等式的时变时滞系统稳定性分析
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一个高维加权几何不等式马统一【摘要】利用距离几何理论与严格的分析方法证明了一个高维加权几何不等式,推广了文[1]建立的一个结果.【期刊名称】《湖南理工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(023)003【总页数】5页(P1-5)【关键词】Euclidean空间;质点集;单形;体积;几何不等式【作者】马统一【作者单位】河西学院,数学系,甘肃,张掖,734000;西北师范大学,数学与信息科学学院,兰州,730070【正文语种】中文【中图分类】O178设维Euclidean空间中的质点集, 所赋有的质量,一动点是点P所赋有的质量. 任取将其所支撑的单形的维体积记为这个点和P点所支撑的单形的k维体积记为令本文建立如下结果:定理1 对于中的质点集设它的占有空间维数为则有等式成立的充分必要条件为P是的重心.推论1 若的占有空间为则有等式成立的充分必要条件为P是的重心.于不等式(1)中, 取则得文献[1]建立的结果, 即推论2 对于中的点集设它的占有空间维数为则等式成立的充分必要条件为P是的重心.于(1)式中取立得下面的不等式, 即推论3 对于欧氏空间中的质点集是一赋予质量的动点, 则等式成立的充分必要条件为P是的重心.特别地, 当恰好是一个n维单形Ω的顶点时, 记棱长则我们立得著名的不等式等式成立的充分必要条件为P是单形的重心.定义1 中向量(0,…,0,1,0,…,0)称为单位坐标向量, 记为中任取个k扩张成的维线性子空间称为的k维坐标子空间.引理1[1] 设个点, 由它们构成单形的维体积的平方等于它们在维坐kk标子空间的正投影所构成单形的体积平方之和.在以下的讨论中,我们用中任取个数构成的一个选排列, 在不致引起混淆的情况下, 简记为引理2 设中的质点集占有的空间维数为的自变量P有唯一驻点.证明设的坐标为由单形体积公式, 有令记和号内乘积的第一项为的第一行第列元素的余子式, 则对其行列式用第一行减去第二行, 再按第一行展开, 得不妨设中, 我们断言, 只要推论1成立, 则定理成立.事实上, 假设推论1已经成立. 若的各维坐标子空间的诸投影皆成立. 由引理1, (1)式在中成立, 亦即P取重心. 显然, 当时, 记从而定理成立.往证推论1的正确性. 事实上, 由引理2和引理3知,唯一的驻点, 而无上界,故重心的极小点, 即有再由(11)式即知推论1成立.定理1及其推论有许多精彩的应用, 限于篇幅, 将另撰文介绍.【相关文献】[1] 刘立, 周加农. 一个经典不等式的高维推广[J]. 数学季刊, 1988, 3(2): 99～103[2] 张景中, 杨路. 关于质点组的一类几何不等式[J]. 中国科学技术大学学报, 1981, 11(2): 1～8[3] 马统一. Veljan-Korchmaros型不等式的稳定性[J]. 数学年刊, 2008, 29A(3): 399～412[4] 苏化明. 一类涉及两个单形的不等式及应用[J]. 数学研究与评论, 1995, 15(3): 429～435[5] 王卫东. 单形内任一点的一个含参不等式[J]. 数学杂志, 1999, 19(4): 391～396[6] 马统一. 关于高维单形的一个不等式及应用[J]. 数学的实践与认识, 2000, 30(4): 508～512[7] 冷岗松. 关于Gerber不等式的一个猜想[J]. 数学研究与评论, 1996, 16(4): 561～564。

Marchkov渐近稳定定理的改进及其应用
谢作诗;陈子明
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】1992(5)3
【摘要】设-∞≤a≤0,并约定a=-∞时,[a,t]、a≤s≤t分别理解为(a,t]及a<s≤t.令C(t)={φ:[a,t]→R^n|φ为有界连续函数},对于φ∈C(t)。

【总页数】3页(P106-108)
【关键词】Marchkov;渐近稳定定理
【作者】谢作诗;陈子明
【作者单位】四川绵阳师专;广东西江大学
【正文语种】中文
【中图分类】O175.6
【相关文献】
1.关于微分方程部分变元渐近稳定性定理的改进 [J], 蹇继贵;万新敏
2.微分不等式在全局渐近稳定性定理中的应用 [J], 俞伯华
3.微分不等式在局部渐近稳定性定理中的一些应用 [J], 俞伯华
4.改进ЛЯnyHOB渐近稳定性定理的证明 [J], 石平绥
5.差分系统的渐近稳定性定理及渐近稳定性区域 [J], 吴述金; 张书年
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受外激励二阶参变系统的周期解及其稳定性
李骊;袁丽红
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】1998(15)1
【摘要】给出受外激励二阶参变系统周期解的新的计算方法，它对于相当广泛一类方程均可适用，并可对解的稳定性作出判断。

【总页数】7页(P36-42)
【关键词】二阶参变系统;周期解;稳定性
【作者】李骊;袁丽红
【作者单位】北京工业大学
【正文语种】中文
【中图分类】O175.13
【相关文献】
1.单机系统二阶微分模型的稳定性和周期解的研究 [J], 赵贵;朱开永;姜传明
2.变时滞二阶Cohen-Grossberg BAM神经网络周期解的全局指数稳定性 [J], 廖华英;何西兵;徐向阳
3.变时滞二阶神经网络周期解的存在性和指数稳定性 [J], 邢青红
4.变时滞二阶Cohen-Grossberg BAM神经网络周期解的全局指数稳定性 [J], 廖华英;何西兵;徐向阳;
5.变指数二阶差分系统的非平凡周期解 [J], 张申贵
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