数列求和导学案

高三一级部文数
数列求和（-）导学案
导学目标：
1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.
2.掌握特殊的非等差、等比数列的两种常见的求和方法：分组转化法和列项相消法．
预习案
自主梳理
1．等差数列的前n 项和公式：S n ＝ ＝ ．
2．等比数列的前n 项和公式：
① 当q ＝1时，S n ＝ ② 当q ≠1时，S n ＝ ＝ ．
3.主要方法： .
自我检测
1、=-++++12531n ______ =++++n
2421 _____ 2、求=++++n
a a a a 3
2
_________________________________ 3、数列 ,16
1
4
,813,412,211前n 项的和为___________ 4、数列{a n }中，a n =1+2+…+2
n －1
(n ∈N*)，则该数列前n 项和为
5、已知数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧++11
n n 的前n 项之和为10，则项数n=
探究案（明考向，题型突破）
考向1：分组转化求和
例1、(2016·北京高考)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列， 且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．
学习随想。

课题：数列求和（2）【学习目标:】1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式；2．掌握分组求和、错位相减法、裂项相消法求和。

【重点难点:】重点难点：分组求和、错位相减、裂项相消等几种特殊数列求和的方法．【学习过程：】一、课前导学：1．等差数列的前n 项和公式： 2．等比数列的前n 项和公式：n S ＝ ＝ ． ① 当q ＝1时，n S ＝ ．② 当q≠1时，n S ＝ ．二、新知探究探究类型三：错位相减法例3 求和:23n 1n S 13x 5x 7x (2n 1)x -=++++⋅⋅⋅+-变式练习：1、求数列n n 2......834221++++的值2、已知数列{}n a 的通项公式n n n a 3∙=，求数列{}n a 的前n 项和n S 。

3、设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n .方法总结：对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错位相减法。

n n n c b a ⋅=, 其中{}n b 是等差数列， {}n c 是等比数列，记n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++，…三、当堂检测1.数列{}n a 的前n 项的和2231n S n n =-+，则45610a a a a ++++ 等于 （ ）A.171B.161C.21D.102.数列{}n a 的通项公式是()()1143n n a n -=--，则100S = （ ）A.200B.200-C.400D.400-3.已知数列{}n a 的通项公式是212n n na -=，其前n 项的和是32164n S =，则n = （ ） A.13 B.10 C.9 D.64.数列 1111,,,,1212312n++++++ 的前n 项和为 （ ） A. 221n n + B. 21n n + C.21n n ++ D. 21n n + 5.233232222n n -++++ 等于 （ ） A. 1122n n n -- B. 1122n n n --- C. 1122n n n -- D. 1122n nn --- 6.数列{}n a 中，11a =，n a ，1n a +是方程()21210nx n x b -++=的两个根，数列{}n b 前n 项和n S =（ ） A.121n + B. 11n + C. 21n n + D. 1n n + 7.在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项和为n S ，若20072005220072005S S -=，则2008S 的值等于（ ）A. 2007-B.2008-C. 2007D.20088．(2011·金昌质检)已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝{1a n a n ＋1}的前n 项和S n ＝________.9.等差数列{}n a 的公差不为零，47a =，125,,a a a 成等比数列，数列{}n T 满足条件24n T a a =++82n a a ++ ，则n T =10.(1)求和：()()111114477103231n n ++++=⨯⨯⨯-+ (2)求和：2222246(2)=133557(21)(21)n n n ++++-+ 11.已知S n =1-2+3-4+……..(-1)n+1n,求 S n12.（2012年浙江文19）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2*2,n S n n n N =+∈，数列{}n b 满足*24log 3,n n a b n N =+∈。

数列求和导学案（一）一、1、已知nn a 23=。

求n S2、5+55+555+…+555…5=3、求和。

)32()332()232()132(32n S n +⨯+⋯++⨯++⨯++⨯=4、已知n n n a 212-=。

求n S5、已知)1(1+=n n a n 求n S6、已知：2n a n =。

求n S二、总结数列求和方法三、课后练习1、已知)2(1+=n n a n ，求n S2、已知：13321-+⋅=-n a n n 。

求n Sn 个53、+++=2642a a S …12-⋅+n an4、)214121()4121(21n S +⋯+++⋯+++=5、数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别记作n S 与'n S ，如果32,122'2-+=-+=n n S n n S n n ,设n n n b a C ⋅=。

求}{n C 前n 项和n P 。

数列求和和与应用题导学案（二）1、求)12)(12(1751531311+-+⋯⋯+⨯+⨯+⨯n n 的和2、=+⋯⋯++++⋯⋯++++++n 3211321121113、=+++⋯⋯++++++11231321211n n4、设{a n }为等差数列，公差是d ,则=+⋯⋯++++-12127553311111n n a a a a a a a a5、=++⋯⋯+⋅+⋅+⋅)1(433221n n6、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液，用水填满，这样继续下去，一共倒了4次，这时容器里还有多少纯酒精？（保留到1位）7、某林场原有森林木材存量为a,木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x ，为了实验经过20年达到木材存有量至少翻两番的目标，则x 的最大值是多少？（1g2=0.3）8、（选做）已知数列{a n }的前n 项和为210n n S n -=，数列{b n }的每一项||n n a b =，求数列{b n }的前n 项和。

《数列求和---错位相减法》导学案 导学目标：1.掌握等比数列的前n 项和公式。

知识梳理等比数列的通项公式 等比数列的前n 项和公式 自我检测一﹑求下列等比数列的前n 项和⑴2,2,2,;⑵232,2,2,; 二﹑求下列式子的值⑶1111+2482n ++⑷23411113333n++++复习回顾：等比数列前n 项和公式是如何推导出来的？ 已知等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，求该数列的前n 项和n S 探究 错位相减法求和例题：已知数列{}n a 通项2n n a n =⋅，求其前n 项和n S . 基础变式⑴.已知数列{}n a 通项3n n a n =⋅，求其前n 项和n S .⑵．已知数列{}n a 通项()213nn a n =+⋅，求其前n 项和n S . ⑶．已知数列{}n a 通项()1412n n a n -=-⋅，求其前n 项和n S .提高变式 ⑷．已知数列{}n a 通项()2213nn a n =+⋅，求其前n 项和n S . ⑸．已知数列{}n a 通项212n n n a -=，求其前n 项和n S . 高考链接 （20RR 浙江19,14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22,,n S n n n N *=+∈数列{}n b 满足24log 3,n n a b n N *=+∈数列求和的几种常见方法公式法：应用等差﹑等比的前n 项和 倒序相加法 分组求和法 裂项相消法 错位相减法⑴． 求,n n a b ; ⑵． 求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 课后思考题 在数列{}n a 中，已知114a =，1141,23log ().4n n n n a b a n N a *+=+=∈ ⑴求证：数列{}n b 是等差数列; ⑵设数列{}n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .。

§6.5 数列求和学习目标1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．知识梳理数列求和的几种常用方法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)形如a n ＝(－1)n ·f (n )类型，常采用两项合并求解． 3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1.( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时，只要把上式等号两边同时乘a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ＋2n ＋3的前n 项和可用分组转化法求和．( √ )教材改编题1．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100答案 D解析 S 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.2．等差数列{a n }中，已知公差d ＝12，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝50，则a 2＋a 4＋…＋a 100等于( )A ．50B ．75C ．100D ．125 答案 B解析 a 2＋a 4＋…＋a 100＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋…＋(a 99＋d ) ＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋50d ＝50＋25＝75.3．在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝________.答案 2 022解析 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0222 023，∴n ＝2 022.题型一 分组求和与并项求和例1 (2022·衡水质检)已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 6＝6，又a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)∵{a n }为各项都不相等的等差数列， a 6＝6，且a 1，a 2，a 4成等比数列． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝6，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d ≠0，解得a 1＝1，d ＝1，∴数列{a n }的通项公式a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n ，记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 延伸探究 在本例(2)中，如何求数列{b n }的前n 项和T n ? 解 由本例(2)知b n ＝2n ＋(－1)n n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ] ＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52.所以T n＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.教师备选(2020·新高考全国Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100. 解 (1)由于数列{a n }是公比大于1的等比数列，设首项为a 1，公比为q ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *. (2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32， 26＝64，27＝128，所以b 1对应的区间为(0,1]，则b 1＝0； b 2，b 3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]， 则b 2＝b 3＝1，即有2个1； b 4，b 5，b 6，b 7对应的区间分别为 (0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，则b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2，即有22个2；b 8，b 9，…，b 15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b 8＝b 9＝…＝b 15＝3， 即有23个3；b 16，b 17，…，b 31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]， 则b 16＝b 17＝…＝b 31＝4，即有24个4；b 32，b 33，…，b 63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]， 则b 32＝b 33＝…＝b 63＝5，即有25个5；b 64，b 65，…，b 100对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]， 则b 64＝b 65＝…＝b 100＝6，即有37个6.所以S 100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.思维升华 (1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和．(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和．跟踪训练1 (2022·重庆质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5， 又a 5＝9＝a 1＋4d ， 所以d ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时， T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)] ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n 为奇数时，n －1为偶数，T n ＝T n －1＋(－1)n ·n 2＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2.综上可知，T n ＝(－1)n n (n ＋1)2.题型二 错位相减法求和例2 (10分)(2021·全国乙卷)设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n ＝na n3.已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式； [切入点：设基本量q ](2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和．证明：T n <S n 2. [关键点：b n ＝n ·⎝⎛⎭⎫13n ]教师备选(2020·全国Ⅰ)设{a n}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{a n}的公比；(2)若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3＝a1q＋a1q2，a1≠0，∴q2＋q－2＝0，∵q≠1，∴q＝－2.(2)设{na n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＝(－2)n－1，S n＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，①－2S n＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n，②①－②得，3S n＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n＝1－(－2)n1－(－2)－n(－2)n＝1－(1＋3n)(－2)n3，∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n9，n ∈N *.思维升华 (1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．②应用等比数列求和公式必须注意公比q 是否等于1，如果q ＝1，应用公式S n ＝na 1. 跟踪训练2 (2021·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围． 解 (1)因为4S n ＋1＝3S n －9， 所以当n ≥2时，4S n ＝3S n －1－9， 两式相减可得4a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝34.当n ＝1时，4S 2＝4⎝⎛⎭⎫－94＋a 2＝－274－9， 解得a 2＝－2716，所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列，所以a n ＝－94×⎝⎛⎭⎫34n －1＝－3n ＋14n .(2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0， 所以b n ＝(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n.所以T n ＝－3×34－2×⎝⎛⎭⎫342－1×⎝⎛⎭⎫343＋0×⎝⎛⎭⎫344＋…＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ，① 且34T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫342－2×⎝⎛⎭⎫343－1×⎝⎛⎭⎫344＋0×⎝⎛⎭⎫345＋…＋(n －5)×⎝⎛⎭⎫34n ＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，② ①－②得14T n ＝－3×34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－94＋916⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －11－34－(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，所以T n ＝－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1≤λ⎣⎡⎦⎤(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n 恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立， 当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1；当n ＝4时，－12≤0恒成立，当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3.所以－3≤λ≤1.题型三 裂项相消法求和例3 (2022·咸宁模拟)设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *， 所以a n ＋1＋a n －2a n ＋1a n ＝4， 即(a n ＋1－a n )2＝4，又{a n }是各项为正数的单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝2， 又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2. (2)b n ＝1a n －1＝14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋ 12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 教师备选设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)，求{b n }的前n 项和T n ，证明：38≤T n ＜34.(1)解 因为2S n ＝3a n －1， 所以2S 1＝2a 1＝3a 1－1， 即a 1＝1.当n ≥2时，2S n －1＝3a n －1－1， 则2S n －2S n －1＝2a n ＝3a n －3a n －1， 整理得a na n －1＝3，则数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，故a n ＝1×3n －1＝3n －1. (2)证明 由(1)得b n ＝3n(3n －1＋1)(3n ＋1)＝32×⎝⎛⎭⎫13n －1＋1－13n ＋1，所以T n ＝32×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫130＋1－131＋1＋⎝⎛⎭⎫131＋1－132＋1＋⎝⎛⎭⎫132＋1－133＋1＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －1＋1－13n ＋1，即T n ＝32×⎝⎛⎭⎫12－13n ＋1＝34－323n ＋1，所以T n <34，又因为T n 为递增数列， 所以T n ≥T 1＝34－38＝38，所以38≤T n <34.思维升华 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2. 跟踪训练3 (2022·河北衡水中学模拟)已知数列{a n }满足a 1＝4，且当n ≥2时，(n －1)a n ＝ n (a n －1＋2n －2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)记b n ＝2n ＋1a 2n，求数列{b n }的前n 项和S n .(1)证明 当n ≥2时， (n －1)a n ＝n (a n －1＋2n －2)， 将上式两边都除以n (n －1)， 得a n n ＝a n －1＋2n －2n －1， 即a n n －a n －1n －1＝2， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝4为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)得a nn ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2，即a n ＝2n (n ＋1)，所以b n ＝2n ＋1a 2n ＝14⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋1)2，所以S n ＝14⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫122－132＋⎭⎬⎫…＋⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋1)2 ＝14⎣⎡⎦⎤1－1(n ＋1)2＝n 2＋2n 4(n ＋1)2.课时精练1．已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围． 解 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49， 则a 4＝7，故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2， 故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1， T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1 ＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝21－22n ＋11－4＋n (1＋2n －1)2＝22n ＋13＋n 2－23.易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000，故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *.2．(2020·全国Ⅲ改编)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n .(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2＝3a 1－4＝9－4＝5，a 3＝3a 2－8＝15－8＝7，由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n ＋1.(2)由(1)可知，a n ·2n ＝(2n ＋1)·2n ，S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，① 2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②得，－S n ＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝(1－2n )·2n ＋1－2，即S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.3．(2022·合肥模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)由已知得a n ＋1－a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2＋2(1－2n －1)1－2＝2n . 又a 1＝2，也满足上式，故a n ＝2n .(2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故T n ＝n n ＋1.4．(2022·济宁模拟)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1,3a 2的等差中项，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n log 2a 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1,3a 2的等差中项，所以2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12， 因为数列{a n }是正项等比数列，所以q ＝2.所以a n ＝a 4·q n －4＝2n .(2)方法一 (分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n ＋1＝22n ＋1，所以b n ＝(－1)n ·log 2a 2n ＋1＝(－1)n ·log 222n ＋1＝(－1)n ·(2n ＋1)，①若n 为偶数，T n ＝－3＋5－7＋9－…－(2n －1)＋(2n ＋1)＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n －1)＋(2n ＋1)]＝2×n 2＝n ； ②若n 为奇数，当n ≥3时，T n ＝T n －1＋b n ＝n －1－(2n ＋1)＝－n －2，当n ＝1时，T 1＝－3适合上式，综上得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －2，n 为奇数 (或T n ＝(n ＋1)(－1)n －1，n ∈N *)．方法二 (错位相减法)由(1)可知，a 2n ＋1＝22n ＋1，所以b n ＝(－1)n ·log 2a 2n ＋1＝(－1)n ·log 222n ＋1＝(－1)n ·(2n ＋1)， T n ＝(－1)1×3＋(－1)2×5＋(－1)3×7＋…＋(－1)n ·(2n ＋1)， 所以－T n ＝(－1)2×3＋(－1)3×5＋(－1)4×7＋…＋(－1)n ＋1(2n ＋1)， 所以2T n ＝－3＋2[(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n ]－(－1)n ＋1(2n ＋1)＝－3＋2×1－(－1)n －12＋(－1)n (2n ＋1)＝－3＋1－(－1)n －1＋(－1)n (2n ＋1) ＝－2＋(2n ＋2)(－1)n ， 所以T n ＝(n ＋1)(－1)n －1，n ∈N *.5．(2022·重庆调研)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和S n ，在①b n ＝4a n a n ＋1，②b n ＝(－1)n ·a n ，③b n ＝2n a n a ⋅这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36， 解得d ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)选条件①.b n ＝42n ·2(n ＋1)＝1n (n ＋1)， 则S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 选条件②.∵a n ＝2n ，b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n ·2n ， ∴S n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n ·2n ， 当n 为偶数时，S n ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ] ＝n 2×2＝n ； 当n 为奇数时，n －1为偶数， S n ＝n －1－2n ＝－n －1.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －1，n 为奇数. 选条件③.∵a n ＝2n ，b n ＝2n a n a ⋅， ∴b n ＝22n ·2n ＝2n ·4n ， ∴S n ＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n ·4n ，① 4S n ＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n －1)·4n ＋2n ·4n ＋1，② ①－②得－3S n ＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n －2n ·4n ＋1＝4(1－4n )1－4×2－2n ·4n ＋1 ＝8(1－4n )－3－2n ·4n ＋1， ∴S n ＝89(1－4n )＋2n 3·4n ＋1.。

2.6数列求和导学案n 项和公式解决有关关应用问题；掌握非等差数列、等比数列求和的几种常用方法。

n 项和的定义：=nS _________________________________________；若数列{}n a 是等差数列则①：=n S ___________；公式②：=n S ________________; 若数列{}n a 是等比数列则①：=nS ____________；公式②：=n S ______________.（一）公式法（直接求和）如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分q ＝1和q ≠1. 例1、求和:(1)123n S n =++++(2)n S =+++⋯⋯+n 2482(3)132......1-+++++=n n a a a a S（二）：绝对值求和{}n a ：注重原来通项正负转换的位置例2：在等差数列{}n a 中，316n a n =-，n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .练习：在等差数列{}n a 中，113,5a d ==-，n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

（三）分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．例3、求和：()()()()232122232n n S n =-+-+-++-练习：.数列121,341,581,7161,…,(2n -1)+n 21,…的前n 项和n S 的值等于（四）错位相减法：若通项能转化为等差数列与等比数列的积，一般适用于数列{}n n a b 的前n 项求和，其中{}n a 成等差，{}n b 成等比，即n n n c b a ⋅=. 例4、求和21122322n n -+⋅+⋅++⋅. 变式：求和21123n a a na -++++。

数列求和导学案姓名 班级一自学准备与知识导学：1.等比数列{}na 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221na a a a ++++ ＝________________.2.设1357(1)(21)nn S n =-+-+-+--，则nS ＝_______________________.3.数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++的通项公式na = ,前n项和nS = .二,学习交流与问题研讨： 例1。

在数列{}na 中，])1([2n nn a---=，求S 10和S 99例2。

求数列}21{nn ⨯前n 项和例3.求数列,)1(211,,3211,211+++++++n 前n 项和例4.设()221+=x x f ，求()()()()()65045f f f f f +++++-+-三，练习检测与拓展延伸：1.数列11111,2,3,4,392781的前n 项和是 .2.设a 为常数，求数列323,2,a a a 的前n 项和。

3.数列1，（1+a ），(1+a +a 2），……，(1+a +a 2+……+a n 1)，……前n项和是 。

4.求和：1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+ .四，课后小结：求数列的前项和，通常要掌握以下解法：1．公式法：2.错位相减法:3裂项相消法:4。

分组转化法：5.倒序相加(乘）法：。

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数列求和学习目标：1 •熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；「消等重要的数学方法进行求和运算; nd q(3)求和S【课内探究］变式：已知a n n 2n 1，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .2 •能运用分组求和、、问题导学 (复习回顾)(1)等差数列求和公式: S 1 uuuujujujuuuuir错位相减、裂项相 (2)等比数列求和公式: S n a n q例1、求和：(1 S n 11 31 51 2 4 8 L [(2n 1)1 1 1 1 班】；⑵S n 1 3 4 L (2n 1) 2【总结提升】1、 公式法2、 裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相 互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。

适用于类似（其中a n 是各项不为零的等差数列， c 为常数）的数列、部分无理数列等。

用裂项相消 a n a n 1法求和，常见的裂项方法：1 111 1 11 （1） ——11 1 —，特别地当k 1时，——1 1 — nnkknnknn1nn1 A A ” A _（2） _ _ 一 . n k • n ，特别地当 k 1 时 --------------------- —.n 1•. n .n k 一 n k. n 1 n 3、错位相减法若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差•比”数列，则采用错位相减法。

若 a n b n c n ，其中b n 是等差数列， c n 是公比为q 等比数列，令 S n biG b 2c 2 L b n 1c n 1 b n c n则qS n -b© b ?C 3 L b n 1C nb nCi r 两式相减并整理即得其它常用的方法还有倒序相加法、分组求和法 【课后作业】例2、已知数列 a n 的通项公式为a n n(n 2) ，求它的前n 项和S n .1 (n 1)(n 3)5.求和：S n x 2x 2 3x 3 L nx n . 1. S n 2 3 5 4 3 52 6 3 53 L 2n 3 5n 2.化简:3.数列 1,(1 2),(1 2 22),L ,(1 2 22 L 2n 1),L 的通项公式a n ，前n 项和Sn _______ 4、求和：S n 14 4 7 1 _____ (3n 2) (3n 1)。

二．分组求和：适用于{}+n n a b ，其中{}是等差数列，是的等比数列。

例1．已知数列{}n a 的通项公式为n =2+2n-1n a ，求数列{}n a 的前n 项和S n 。

练习1.等差数列中，，． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的值．练习2．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .三.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列等。

常见的裂项公式：111)1(1+-=+n n n n 1111()()n n k k n n k =-++)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n 111n a n nn n ==+-++{}n a 24a =4715a a +={}n a 22n a n b n -=+12310b b b b +++⋅⋅⋅+四.错位相减法:适用于，其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。

例1．已知数列{}n a 的通项公式为=.2nn a n ，求数列{}n a 的前n 项和S n 。

练习1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝2a 1＋3，且3a 2，a 4,5a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{a n b n }的前n 项和S n .练习2.已知{}n a 是递增的等差数列，42,a a 是方程2560x x -+=的根.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.。

数列求和学习目标：1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2 •能运用分组求和、错位相减、裂项相•消等重要的数学方法进行求和运算;一、问题导学(复习回顾)(1)等差数列求和公式:& == ------------------------------- \----------------------------------------- i”g(q=1)(2)等比数列求和公式：a— anq=, (q^)(3)求和足—1+_ 1 1 +1 1—+ ------ + ------ =12 23344556【课内探究】1 1 1 1 1 1 1例1、求和：(1 S n =1—+3—+5—+ ||j+[(2n— 1^—]; (2)S n =1 江一+3汉一+ 川+ (2n—1^ —2 4 8 2 2 4 2变式：已知a n = n 2nJ，求数列｛a n｝的前n项和S n.来源 :Z#xx#]【总结提升】1、 公式法2、 裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相 互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。

适用于类似— （其中曲是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等。

用裂项相消a n a n 1 法求和，常见的裂项方法：（1）一1 - i —，特别地当k =1时，一1 1 一丄 n （n +k ） k Jn n +k 丿n （n 十1） n n+1 3、错位相减法若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差•比”数列，则 米用错位相减法。

右 a n =b n c n ，其中'b n f 是等差数列， 是公比为q 等比数列，令S n — b 1c 1 b 2c ^ I H b n 」c n4 b n c n则qS n 二 b 1 c^ b 2 c^ ■ n b n c n b n c 两式相减并整理即得其它常用的方法还有倒序相加法、分组求和法来源学§科§网Z §X§ X K]【课后作业】例2、已知数列 的通项公式为 a n n(n 2) ，求它的前n 项和S n .(2) 十齐-行，特别地当 k =1时 --- 一二.n 1 -、n、、n T , n(n 1)(n 3)3.数列1,(1 2),(12 22)J||(1 2・22 •川・2nJ ), III 的通项公式 可二 _______ ，前n 项和&二1 1 14、求和：『门 W 山(3n 一2) (3n 1) 5.求和： S n = x 2x 2 3x 3 HI nx n . 来源学科网 “来源学科网学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。

数列的求和一、学习目标1.理解等差、等比数列求和的方法,并能熟练掌握等差、等比数列的求和公式；2.能熟练运用各种方法求数列的前n 项和. 二、重点难点能理解和熟练应用常见的求和基本方法. 三、知识导学1．公式法：等差、等比数列；2．分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差或者等比数列或者常见的数列，即可以分别求和，然后再合并；3.错位相减法：这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{}n n a b 的前n 项和，其中{}n a 和{}n b 分别是 和 ；4.倒序相加法：将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，有公因式可以提取，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可以倒序相加法求和，是 求和公式的推广；5.列项相消法：将数列的通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项；从而进行求和.常见的拆项公式有： 11________________;__________________(1)(21)(21)n n n n ==+-+等等.四、课前学习 1．数列2n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S = . 2．数列{}n a的通项公式为n a =10n S =，则n 的值是 .3．数列(){}1nn -•的前2010项的和为 .4．数列：1111,,,,,12123123n+++++++前n 项和为 . 5．函数()()142x f x x R =∈+，若()()12121,x x f x f x +=+=则 ，又若n N *∈，则121n n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 五、合作学习例1．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T .例2．数列{}n a 满足()()251,n 2n n n a n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n a 的前n 项和n S .例3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2 4.n n S a =-（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T ；（3）设2log n n b a =，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若1n n T b λ+<对一切n N *∈都成立，求λ的取值范围.例4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2232,1,2,3,.n n S a n n n =+--=（1） 求证：数列{}2n a n -为等比数列；（2） 设cos n n b a n π=•，求数列{}n b 的前n 项和n P ；六、学习检测1．已知数列{}n a 中，()()12,21,n n n a n n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为正奇数为正偶数，则9a = ，（用数字作答），设数列的前n 项和为n S ，则9S = ；_____________________n S =.2． 给出集合序列{}{}{}{}123456，，，，，，7,8,9,10，，设n S 是第n 个集合中元素之和，则21S = .3．在数列{}n a 中，1231111n na n n n n =++++++++，又12n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和_________________n P =.4．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做这个等和数列的公和.已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，则18_____a =，这个数列的前n 项和____________n S =.5．设数列{}n a 对所有正整数n 都满足2112322285n n a a a a n -++++=-，求数列{}n a 的前n 项和____________n S =.6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2,1,2,3,.n n S a n =-=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足111,n n n b b b a +==+，求数列{}n b 的通项公式；（3）设(3)n n C n b =-，求数列{}n C 的通项公式.7．(1)数列{}n a 的通项公式为()210n n a n x x =+-≠，求此数列的前n 项和； (2)求和23123n nn S a a a a =++++；七、总结反思。