山东省烟台市2015年高考诊断性测试 数学(文)

2014—2015年度第一学期高三期末检测数学（文）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{}2|23A x x x =-≤，集合{}|ln(1)B x y x ==-，则AB =( )A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,1-D ．()1,1- 2、函数y = ）A ．3(,)4+∞B ．(],1-∞C ．3[,1)4D ．3(,1]43、已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)2P y ，则cos 2α等于（ ）A ．12-B ．12 C．2-．1 4、设,x y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．3-B ．0C ．1D ．3 5、为了得到3sin(2)5y x π=+的图象，只需把3sin()5y x π=+的图象上所有点的（ ）A ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变B ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变C ．纵坐标缩短到原来12倍，横坐标不变 D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变6、过点(3,1)P 作圆22:(2)1C x y -+=的两条切线，切点分别,A B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-= 7、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．3 8、已知ABC ∆的重心为G ，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若2330aGA bGB cGC ++=，则sin :sin :sin A B C =（ ）A ．1:1:1B 2C 2:1D ．3:2 9、函数()1ln()f x x x=-的图象是（ ）10、已知函数()2ln ax x ef x x x e⎧≤=⎨>⎩，其中e 是自然数的底数，若直线2y =与函数()y f x =的图象有三个交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．2(2,)e -+∞ D ．)22,e -⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

第Ⅰ卷（共60分)一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1.设i 是虚数单位,R a ∈，若21a i i-+是一个纯虚数，则实数a 的值为（ ）A 。

12-B. 1-C. 12D. 1【答案】C考点：1。

复数的运算；2。

复数的分类；2.已知集合()(){}360,x x x x P =--≤∈Z ,{}Q 5,7=，则下列结论成立的是（ ) A 。

Q ⊆PB. Q P =PC. Q Q P = D 。

{}Q 5P =【答案】D 【解析】试题分析：解不等式(3)(6)0,36,,{3，4，5，6}xx x x Z P --≤≤≤∈=，则{}Q 5P =；选D考点：1.解一元二次不等式；2.集合的运算;3.已知向量()1,2a =,()1,0b =，()4,3c =-. 若λ为实数且()a b c λ+⊥，则λ=( ) A. 14B 。

12C 。

1D 。

2【解析】 试题分析:（1+，2）a b λλ+=,因为()a b c λ+⊥，则()1=41+-6=0=2（），λλλ+⋅a b c ，选B ；考点:向量的坐标运算；4。

若条件:p 2x ≤，条件:q x a ≤,且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ） A 。

2a ≥B 。

2a ≤ C. 2a ≥- D.2a ≤-【答案】A考点：1.解不等式；2。

充要条件；3。

子集与真子集；5.某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（）A 。

32833π+ B 。

3233π+ C.4333π+ D 。

433π+【答案】D试题分析：从三视图可以看出原几何体是上面一个圆锥下面一个球，球的体积为3441=33ππ⨯，圆锥的体积为2113ππ⨯⨯，原几何体的体积π，选D考点:1.三视图；2。

几何体的体积6。

已知点(),x y M 的坐标满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,N 点的坐标为()1,3-，点O 为坐标原点，则ON⋅OM 的最小值是( ） A. 12 B. 5 C. 6- D.21-【答案】D 【解析】试题分析:由于目标函数3z OM ON x y=⋅=-，画出二元一次不等式所表示的可行域,令0z=，做出基准线13y x =,在可行域内平移基准线,由于1133y x z =-，所以当直线的截距最大时,z 最小， 由350x x y ⎧=⎨-+=⎩,解出38x y ⎧=⎨=⎩,得最优解（3，8）,代入目标函数的21z =-，故选D考点：线性规划；7.将函数2sin 4y x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0ω>）的图象分别向左。

B CDE AFP 高三文科数学答案一．选择题：CDACD ADBBD二．填空题：11. 3- 12. 3 13. 10 14. 2213y x -= 15. 4 三．解答题16．解：（1）1()2cos 22f x x x ωω=-=sin(26x πω-. ……4分 所以1=2ω， …………5分 所以()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. …………6分 （2）由1()2f A =，得1sin =62A π⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以5666A πππ-<-<，所以=66A ππ-，所以3A π=. ……9分 由222+2cos =b c bc A a -得，22+=3b c bc -，所以2()33b c bc +-=，又3b c +=，所以2bc =， ……………11分所以11sin =222ABC S bc A ∆=⨯………12分 17.解：（1）由2(r t S r S t =得，21n S n S =，而111=a S =，所以2n S n =. ………2分 当2n ≥时，221=(1)21n n n a S S n n n --=--=-，且当1n =时，此式也适合， ………4分所以数列{}n a 的通项公式为=21n a n -. ………6分 (2)2111(2+1)14(+1)n b n n n ==⋅-111=4+1n n -（， ………8分 所以1111111(4223+1n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11(1)4+14(1)n n n =-=+. 12分 18.（1）证明：因为90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，所以30FDC ∠=，又30FCD ∠=，所以60ACF ∠=，所以AF CF DF ==，所以F 为AD 的中点， ………3分又E 为PD 的中点，所以//EF PA ，而AP ⊂平面PAB ,所以//EF 平面PAB又60BAC ACF ∠=∠=，所以//CF AB ，可得//CF 平面PAB又EF CF F =，所以平面//CEF 平面PAB ，而CE ⊂平面CEF ，所以//CE 平面PAB . ………6分(2)因为//EF AP ，所以//EF 平面APC ，又90ABC ACD ∠=∠=，60BAC ∠=，22PA AB ==，所以22AC AB ==，2tan 30AC CD == ………9分 所以11=32PACE E PAC F PAC P ACF ACD V V V V S PA ---∆===⋅⋅11122322=⋅⋅⋅⋅=. ………12分 19．解：（1）依题意共有小球2n +个，标号为2的小球n 个，从袋子中随机抽取1 个小球，取到标号为2的小球的概率为122n n =+，得2n =；…3分 （2）①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果，而满足23a b ≤+≤ 的结果有8种，故82()123P A ==； ……6分 ②由①可知，2)4a b -≤（，故224x y +>，（,x y ）可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{}(,)|02,02,,x y x y x y ≤≤≤≤∈R ,由几何概型得概率为21424144P ππ-⋅==-. ………12分20.解：（1）2y =的焦点为) 0，， ………1分根据条件可知椭圆的焦点在x 轴上，且a =因为离心率3e =，所以33c ea ===，故b === ………4分 故所求方程为221553x y +=. ………6分 （2）将(1)y k x =+代入53:22=+y x E 得， 0536)13(2222=-+++k x k x k ， ………7分设11( ) A x y ，，22( ) B x y ，，( 0)M m ，， 则2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+， ………8分 1122( (1))( (1))MA MB x m k x x m k x ⋅=-+⋅-+，，22221211(1)()()k x x k m x x k m =++-+++ 22222222356(1)()()3131k k k k m k m k k -=++--++++ ……10分 222(61)5=31m k m k --++ 221614233(31)m m m k +=+--+， ………12分 要使上式与k 无关，则有6140m +=，解得73m =-， 所以点M 的坐标为7( 0)3-，. ………13分21.解：（1）由()1e x a f x x =-+，得()1ex a f x '=-. 又()y f x =在点(1(1))f ，处的切线平行于x 轴，得(1)0f '=，解得a =e . …4分(2) ()1ex a f x '=-. ①当0a ≤时，()0f x '>，()y f x =为()-∞+∞，上增函数，所以()y f x =无极值； ………6分②当0a >时，令()=0f x '得ln x a =.当()ln x a ∈-∞，时，()0f x '<， ()y f x =在()ln a -∞，上递减， 当()ln +x a ∈∞，时，()0f x '>， ()y f x =在()ln +a ∞，上递增， 故()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )ln f a a =，无极大值，……8分 综上，当0a ≤时，()y f x =无极值；当0a >时()y f x =在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值. ……9分（3）当1a =时，1()1ex f x x =-+. 直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点等价于关于x 的方程111e xkx x -=-+在R 上没有实数解， 即关于x 的方程11e x k x -=（）*（）在R 上没有实数解. ………11分 ①当1k =时，方程*（）为1=0e x ，在R 上没有实数解；………10分 ②当1k ≠时，方程*（）为1=e 1x x k -. 令()e x g x x =，则有()1+)e x g x x '=（. 令()0g x '=，得1x =-， 当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，min 1()e g x =-，从而1()e g x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，， 所以当111e k ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭，时，方程*（）没有实数解， 解得()1e 1k ∈-，， ………13分综上，k 的取值范围为(]1e 1-，. ………14分。

山东烟台2015高考诊断性测试数学文一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1. 设i 是虚数单位，R a ∈，若21a ii-+是一个纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 12-B. 1-C. 12D. 12. 已知集合()(){}360,x x x x P =--≤∈Z ，{}Q 5,7=，则下列结论成立的是（ ） A. Q ⊆PB. Q P =PC. Q Q P =D. {}Q 5P =3. 已知向量()1,2a =，()1,0b =，()4,3c =-. 若λ为实数且()a b c λ+⊥，则λ=（ ）A. 14B. 12C. 1D. 24. 若条件:p 2x ≤，条件:q x a ≤，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A. 2a ≥B. 2a ≤C. 2a ≥-D. 2a ≤-5. 某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（ ）6. 已知点(),x y M 的坐标满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，N 点的坐标为()1,3-，点O 为坐标原点，则ON ⋅OM的最小值是（ ）A. 12B. 5C. 6-D. 21-7. 将函数2sin 4y x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0ω>）的图象分别向左. 向右各平移4π个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（ ） A. 12B. 1C. 2D. 48. 右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（ ） A. 13B. 12C. 11D. 109. 已知(),x y P 是直线40kx y ++=（0k >）上一动点，PA 是圆C :2220x y y +-=的一条切线，A 是切点，若线段PA 长度最小值为2，则k 的值为（ ） A. 3C. D. 210. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，不等式()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),2-∞-B. (),0-∞C. ()0,2D. ()2,0-二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ） 11. 函数()()21log 2f x x =-的定义域为 .12. 某程序框图如图所示，现依次输入如下四个函数：①()cos f x x =；②()1f x x=；③()lg f x x =；④()2x x e e f x --=，则可以输出的函数的序号是 .13. 已知曲线sin cos y a x x =+在0x =处的切线方程为10x y -+=，则实数a 的值为 .14. 已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且F ∆A K 的面积为 .15. 关于方程1sin 102xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，给出下列四个命题：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根，则01x >-，其中所有正确命题的序号是 .三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）16. （本小题满分12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2015年开始，将对二氧化碳排放量超过130/g km 的轻型汽车进行惩罚性征税. 检测单位对甲. 乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：/g km ）.经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120x =乙/g km . ()1求表中x 的值，并比较甲. 乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；()2从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km 的概率是多少？17. （本小题满分12分）已知函数()f x a b =⋅，其中()2cos ,2a x x =，()cos ,1b x =，R x ∈.()1求函数()y f x =的单调递减区间；()2在C ∆AB 中，角A . B . C 所对的边分别为a . b . c ，()1f A =-，a =，且向量()3,sin m =B 与()2,sin C n =共线，求边长b 和c 的值.18. （本小题满分12分）如图，CD AB 是正方形，D E ⊥平面CD AB .()1求证：C A ⊥平面D B E ；()2若F//D A E ，D 3F E =A ，点M 在线段D B 上，且1D 3BM =B ，求证：//AM 平面F BE .19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a . n S 满足()()12n n t S t a -=-（t 为常数，0t ≠且1t ≠）. ()1求数列{}n a 的通项公式；()2设()()3log 1n n n b a S =-⋅-，当13t =时，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题满分13分）已知函数()x f x e =，()2g x ax bx c =++（0a ≠）.()1若()f x 的图象与()g x 的图象所在两条曲线的一个公共点在y 轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b 和c 的值；()2若1a c ==，0b =，试比较()f x 与()g x 的大小，并说明理由.21. （本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的离心率，右焦点到直线y x =. ()1求椭圆E 的方程；()2已知点()2,1M ，斜率为12的直线l 交椭圆E 于两个不同点A . B ，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ，①若直线l 过椭圆E 的左顶点，求此时1k ，2k 的值；②试猜测1k ，2k 的关系，并给出你的证明.参考答案一．选择题1. C2. D3. B4. A5. D6. D7. C8. B9. D 10. A 二．填空题11. {2x x >且3x ≠} 12. ④ 13. 1 14. 32 15. ②③④ 三. 解答题16. 解：（1）由题可知，120x =乙，所以480+1205x=，解得120x =. 又由已知可得120x =甲，……………2分()()()()()2222221=801201101201201201401201501206005s ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦甲 ()()()()()2222221=1001201201201201201001201601204805s ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦乙因为x x =甲乙，22s s >甲乙，……………5分所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好. ……………6分 （2）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，共有10种二氧化碳排放量结果：()()80 11080 120，，，，()()80 14080 150，，，，()()110 120110 140，，，， ()()110 150120 140，，，，()()120 150140 150，，，，…………10分 设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km ”为事件A , 则7()0.710P A ==， 所以至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km 的概率是0.7. ………12分17. 解：（1）2()=2cos 21cos 2212cos(2)3f x x x x x x π-=+-=++， (3)分MFDCBAEG令2223k x k ππ≤+≤π+π，解得)63k x k k πππ-≤≤π+∈Z （，所以()f x 的单调递减区间为 )63k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，（. ………6分 （2）∵()12cos 213f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，∴cos 213A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又72333A πππ<+<，∴23A ππ+=，即3A π=，…………8分∵a =()22222cos 37a b c bc A b c bc =+-=+-=. ……①因为向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线，所以2sin 3sin B C =， 由正弦定理得23b c =，……②………11分 解①②得3b =，2c =. …………12分18. （1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………2分因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，又=BD DE D , 从而AC ⊥平面BDE . ……………5分 （2）解：延长EF DA 、交于点G , 因为DE AF //，AF DE 3=， 所以13GA AF GD DE ==,…………7分 因为13BM BD =，所以13BM BD =, 所以13BM GA BD GD ==，所以//AM GB ,……10分 又AM ⊄平面BEF ，GB ⊂平面BEF ， 所以//AM 平面BEF . …………12分19. 解：（1）由(1)(2)n n t S t a -=-，及11(1)(2)n n t S t a ++-=-，作差得1n n a ta +=，即数列{}n a 成等比数列，11n n a a t -=，当1n =时，11(1)(2)t S t a -=-，解得12a t =，故2n n a t =. …5分（2）当13t =时，123n n a =⋅（），113n n S -=， ()()32log =31n n n n nb S a -=-⋅,………8分2324623333n n n T =++++, 234+112462 33333n n n T =++++,作差得234+1+1+122222221223+113333333333n n n n n n n n n T +=++++-=--=-， 所以323223n n n T +=-⋅.………12分 20. 解:（1）由已知(0)1f =，'()e x f x =，'(0)1f =，(0)g c =，'()2g x ax b =+，'(0)g b =，……2分依题意：⎧⎨⎩(0)(0)'(0)'(0)1f g f g ==-，所以⎧⎨⎩1,1c b ==-；……5分（2）1a c ==，0b =时，2()1g x x =+，①0x =时，(0)1f =，(0)1g =，即()()f x g x =；………6分 ②0x <时，()1f x <，()1g x >，即()()f x g x <；………7分 ③0x >时，令2()()()e 1x h x f x g x x =-=--,则'()e 2x h x x =-. 设()'()=e 2x k x h x x =-，则'()=e 2x k x -，当ln 2x <时,'()0,()k x k x <在区间ln 2)-∞（，单调递减； 当ln 2x >时,'()0,()k x k x >在区间ln 2+)∞（，单调递增.所以当ln 2x =时,()k x 取得极小值,且极小值为ln 2(ln 2)e 2ln 22ln 40k =-=->即()'()=e 20x k x h x x =->恒成立，故()h x 在R 上单调递增,又(0)0h =, 因此,当0x >时,()(0)=0h x h >,即()g()f x x >. ……12分综上，当0x <时,()()f x g x <；当0x =时,()()f x g x =； 当0x >时,()g()f x x >. ……13分21. 解：（1）设椭圆的右焦点( 0)c ，，由右焦点到直线y x =的距离为，解得c =，，ca ∴=228,2a b ==，所以椭圆E 的方程为22182x y +=. …………4分（2）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:2l y x =+，联立方程组2212182y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121200x x y y =⎧⎧=-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故12k k ==. ………7分 ②猜测：120k k +=. 证明如下：………8分设直线在y 轴上的截距为m ,所以直线的方程为12y x m =+.由2211282x y y x m ⎧=+⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩,得222240x mx m ++-=. 设11(,)A x y . 22(,)B x y ,则122x x m +=-，21224x x m =-. ………10分 又1111,2y k x -=-2221,2y k x -=- 故1212121122y y k k x x --+=+--122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)y x y x x x --+--=--. 又1112y x m =+，2212y x m =+， 所以1221(1)(2)(1)(2)y x y x --+--122111=1)(2)1)(2)22x m x x m x +--++--（（ 1212(2)()4(1)x x m x x m =+-+-- 224(2)(2)4(1)0m m m m =-+----=故120k k +=. ………14分。

文科综合能力参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，共140分）1.B2.A3.A4.B5.C6.A7.D8.B9.B 10.D 11.B 12.D13.C 14.B 15.B 16.D 17.B 18.C 19.B 20.B 21.D 22.D 23.D24.D 25.A 26.B 27.C 28.B 29.C 30.A 31.D 32.B 33.D 34.C 35.A【必做部分】36．（22分）（1）沿线地势起伏大，多次穿越河流，桥隧比例高；位于板块交界地带，地质条件复杂，多滑坡和泥石流等地质灾害；高寒冻土广布；沿线有大范围的移动及半固定沙丘。

（6分）（2）地热能（2分）太阳能（2分）（3）青藏高原日照强烈，光合作用强；气温日较差大，有利于粮食高产；太阳辐射特别强烈，紫外线照射十分厉害，杀菌能力强，病虫害少；水源洁净。

（8分）（4）绘出1个环流（2分）、2个环流（4分），但环流无箭头示意方向，无分。

37．（20分）（1）“烈日”原因：地处北回归线附近（低纬度热带、亚热带附近），（夏季）受副热带高压控制（2分）；气温高，多晴朗天气（2分）。

“清凉”因素：地形（2分）、洋流（寒流）（或海陆热力差异）（2分）。

（2）该国（以地中海气候为主，）降水季节变化大，修水库可以调节降水分配不均的状况（2分）；南部为热带沙漠气候，降水少，修建调水工程可以满足生产生活用水。

（2分）（3）位于直布罗陀海峡，海运便利；劳动力廉价；地价便宜，生产成本低；距离欧洲近，毗邻市场；政策支持（8分，答对4点即可）。

38.（20分）（1）同：都从传统的儒家思想寻求可用的思想；都主张向西方学习。

（4分）异:康有为把西学中的政治学说与儒家思想相结合，披着儒教外衣宣场维新思想，主张实行君主立宪（2分）；孙中山效仿欧美民主，在中国建立共和国。

（2分）（2）学习外国制度，要与本国国情相结合。

（2分）康有为假借孔子的名义、孙中山混淆了民权和民本的本质区别，都没有彻底批判封建思想（4分）。

2015年高考诊断性测试数学（文）一． 选择题CDBAD DCBDA 二． 填空题11. {2x x >且3x ≠} 12. ④ 13.1 14. 32 15. ②③④ 三．解答题16.解：（1）由题可知，120x =乙，所以480+1205x=，解得120x =. 又由已知可得120x =甲， ……………2分()()()()()2222221=801201101201201201401201501206005s ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦甲()()()()()2222221=1001201201201201201001201601204805s ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦乙因为x x =甲乙，22s s >甲乙， ……………5分所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好. ……………6分 (2) 从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，共有10种二氧化碳排放量结果： ()()80 11080 120，，，，()()80 14080 150，，，，()()110 120110 140，，，， ()()110 150120 140，，，，()()120 150140 150，，，， …………10分 设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km ”为事件A , 则7()0.710P A ==， 所以至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km 的概率是0.7. ………12分17.解：（1）2()=2cos 21cos2212cos(2)3f x x x x x x π=+=++， ……3分令2223k x k ππ≤+≤π+π，解得)63k x k k πππ-≤≤π+∈Z （， 所以()f x 的单调递减区间为 )63k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，（. ………6分 (2) ∵()12cos 213f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，∴cos 213A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又72333A πππ<+<，∴23A ππ+=，即3A π=， …………8分MF DCBAEG∵a ()22222cos 37a b c bc A b c bc =+-=+-=．……① 因为向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线，所以2sin 3sin B C =， 由正弦定理得23b c =， ……② ………11分 解①②得3b =，2c =． …………12分18.(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………2分因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，又=BDDE D ,从而AC ⊥平面BDE . ……………5分(2)解：延长EF DA 、交于点G ,因为DE AF //，AF DE 3=，所以13GA AF GD DE ==, …………7分 因为13BM BD =， 所以13BM BD =, 所以13BM GA BD GD ==，所以//AM GB ,……10分 又AM ⊄平面BEF ，GB ⊂平面BEF ，所以//AM 平面BEF . …………12分19. 解：（1）由(1)(2)nn t S t a -=-，及11(1)(2)n n t S t a ++-=-，作差得1n n a ta +=，即数列{}n a 成等比数列，11n n a a t -=，当1n =时，11(1)(2)t S t a -=-，解得12a t =，故2n n a t =. …5分(2) 当13t =时， 123n n a =⋅（），113n n S -=， ()()32log =31n n n n nb S a -=-⋅, ………8分2324623333n nn T =++++, 234+112462 33333n n n T =++++,作差得234+1+1+122222221223+113333333333n n n n n n n n n T +=++++-=--=-， 所以323223n n n T +=-⋅.………12分 20. 解:⑴由已知(0)1f =，'()e xf x =，'(0)1f =， (0)g c =，'()2g x ax b =+，'(0)g b =， ……2分依题意：⎧⎨⎩(0)(0)'(0)'(0)1f g f g ==-，所以⎧⎨⎩1,1c b ==-； ……5分⑵ 1a c ==，0b =时，2()1g x x =+，①0x =时，(0)1f =，(0)1g =，即()()f x g x =； ………6分 ②0x <时，()1f x <，()1g x >，即()()f x g x <； ………7分 ③0x >时，令2()()()e 1x h x f x g x x =-=--,则'()e 2x h x x =-. 设()'()=e 2x k x h x x =-，则'()=e 2x k x -，当ln 2x <时, '()0,()k x k x <在区间ln 2)-∞（，单调递减； 当ln 2x >时, '()0,()k x k x >在区间ln 2+)∞（，单调递增. 所以当ln 2x =时, ()k x 取得极小值, 且极小值为ln2(ln 2)e 2ln 22ln 40k =-=->即()'()=e 20xk x h x x =->恒成立，故()h x 在R 上单调递增,又(0)0h =, 因此,当0x >时, ()(0)=0h x h >,即()g()f x x >. ……12分 综上，当0x <时,()()f x g x <；当0x =时, ()()f x g x =； 当0x >时, ()g()f x x >． ……13分21. 解：(1)设椭圆的右焦点( 0)c ，，由右焦点到直线y x =，解得c =，c a ∴=，解得228,2a b ==，所以椭圆E 的方程为22182x y +=. ………… 4分 (2) ①若直线l过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:2l y x =+，联立方程组2212182y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121200x x y y =⎧⎧=-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故12k k ==. ………7分 ②猜测：120k k +=.证明如下： ………8分 设直线l 在y 轴上的截距为m ,所以直线l 的方程为12y x m =+. 由2211282x y y x m ⎧=+⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩ , 得222240x mx m ++-= . 设11(,)A x y 、22(,)B x y ,则122x x m +=-，21224x x m =-. ………10分 又1111,2y k x -=-2221,2y k x -=- 故1212121122y y k k x x --+=+--122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)y x y x x x --+--=--. 又1112y x m =+，2212y x m =+， 所以1221(1)(2)(1)(2)y x y x --+--122111=1)(2)1)(2)22x m x x m x +--++--（（1212(2)()4(1)x x m x x m =+-+-- 224(2)(2)4(1)0m m m m =-+----=故120k k +=. ………14分。

山东烟台2015高考诊断性测试数学理一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）1. 若集合11,0,,12⎧⎫A =-⎨⎬⎩⎭，集合{}2,x y y x B ==∈A ，则集合A B =（ ）A. 11,0,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B. 10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C. 1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.{}0,12. 复数321iz i -=-的共轭复数z =（ ）A. 5122i +B. 5122i -C. 1522i +D. 1522i -3. “22k πϕπ=+，k ∈Z ”是“函数()()cos 2f x x ϕ=+的图象过原点”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 甲乙两名同学参加某项技能比赛，7名裁判给两人打出的分数如下茎叶图所示，依此判断（ ）A. 甲成绩稳定且平均成绩较高B. 乙成绩稳定且平均成绩较高C. 甲成绩稳定，乙平均成绩较高D. 乙成绩稳定，甲平均成绩较高5. 某程序的框图如右图所示，执行该程序，则输出的结果为（ ） A. 12 B. 13 C. 14D. 156. 已知α，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是（ ）A.4π-B. 4πC.34π-D. 34π7. 设点(),a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，函数241y ax bx =-+在区间[)1,+∞上是增函数的概率为（ ）A. 13B. 23C. 14D. 128. 若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左. 右焦点分别为1F . 2F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成5:3两段，则此双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.9. 已知M 是C ∆AB 内一点，且C 23AB⋅A =，C 30∠BA =，若C ∆MB . ∆MAB .C ∆MA 的面积分别为12. x . y ，则14x y +的最小值是（ ） A. 9B. 16C. 18D. 2010. 已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0F ,0f x x x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()F F 0m n -<成立；④当0a >时，函数()F 2y x =-有4个零点. 其中正确命题的个数为（ ） A. 0B. 1 C . 2D. 3二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ） 11. 若不等式()2log 122x x m ++--≥恒成立，则实数m 的取值范围是 .12. 现有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，把4枚硬币摆成一摞，满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有 种（用数字作答）.13. 若某四面体的三视图如右图所示，则这个四面体四个面的面积中最大值的是 .14. 已知()x xf x e =，()()1f x f x '=，()()21f x f x '=⎡⎤⎣⎦，⋅⋅⋅，()()1n n f x f x +'=⎡⎤⎣⎦，n *∈N ，经计算：()11x xf x e -=，()22x x f x e -=，()33x x f x e -=，⋅⋅⋅，照此规律则()n f x =.15. 已知圆C :()()22431x y -+-=和两点(),0m A -，(),0m B （0m >），若圆C 上至少存在一点P ，使得90∠APB =，则m 的取值范围是 .三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ） 16. （本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A . B . C 所对的边分别为a . b . c ，已知222sin sin C sin sin sin C B +=A +B .()1求角A 的大小； ()2若1cos 3B =，3a =，求c 值.17. （本小题满分12分）为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科. 文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示. 现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取3名同学进行测试.()1求从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；()2记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.18. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S 且满足条件：2421n n S n S n +=+（n *∈N ）.()1求数列{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且有111n n n n b b +T -+=T +（n *∈N ），13b =，证明：数列{}1nb -是等比数列；又211n n n a c b +=-，求数列{}n c 的前n 项和W n .19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，D//C A B ，D AB ⊥A，AB ⊥PA ，C 22D 4B =AB =A =BE ，平面PAB ⊥平面CD AB .()1求证：平面D PE ⊥平面C PA ；()2若直线PE 与平面C PA，求二面角C D A -P -的余弦值.20. （本小题满分13分）已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F 1,0，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线Q P 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60.()1求椭圆C 的方程；()2设O 为坐标原点，线段F O 上是否存在点(),0t T ，使得Q Q Q P ⋅TP =P ⋅T ？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分）已知函数()211axf x x =++（0a ≠）.()1当1a =时，求函数()f x 图象在点()0,1处的切线方程； ()2求函数()f x 的单调区间；()3若0a >，()2mx g x x e =，且对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()12f x g x ≥恒成立，求实数m的取值范围.参考答案 一. 选择题1. C2. B3. A4. D5. C6. C7. A8. D9. C 10. D 二. 填空题11. (,1]-∞- 12. 5 13. 10 14. (1)()e n x x n -- 15. 46m ≤≤三. 解答题16. 解：（1）由正弦定理可得222b c a bc +=+， 由余弦定理：2221cos 22b c a A bc +-==，…………………2分 因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）由（1）可知，sin A =，…………………4分因为1cos 3B =，B为三角形的内角，所以sin B =，…………………6分 故sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+1132=+=9分由正弦定理sin sin a cA C =，得sin 1sin a c C A ===+. …………………12分17. 解：（1）两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，文科组抽取1人，…………………2分从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，所以所求的概率为：11235328914C C C P C +==. …………………4分（2）由题意可知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，…………………5分 相应的概率分别是021********(0)112C C C P C C ξ===,1112353321218484148(1)112C C C C P C C C C ξ==+=，1121355321218484145(2)112C C C C P C C C C ξ==+=,252184110(3)112C P C C ξ===,………………9分所以ξ的分布列为：48451031231121121122E ξ=⨯+⨯+⨯=.18. 解：2133,1)(124)1(21112122===+==∴∈++=*a a a a a S S n N n n n S S n n 得结合，则当………………2分 ∴n d n a a a a d n =-+==-=)1(1112所以)(*∈=N n n a n………………4分（2）由nn n n nn n n b T b T b T b T +=+-=++-++11111可得所以121-=-+n n n b T T ，121-=+n n b b ，)1(211-=-+n n b b ………………4分所以}1{-n b 是等比数列且112b -=，2=q 公比………………6分∴nn n n q b b 222)1(1111=⨯=-=---∴12+=n n b ………………8分∴nnn n n n n b a c )21()12(212112⋅+=+=-+=………………9分∴nn n n c c c c W )21()12()21(7)21(5)21(332321⨯+++⨯+⨯+⨯=++++=利用错位相减法，可以求得2552n n n W +=-. ………………12分19. 解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB平面ABCD AB =，AB PA ⊥，∴PA ⊥平面ABCD ,………………2分又∵AB AD ⊥，故可建立空间直角坐标系o xyz -如图所示， 不妨设4,BC AP λ==(0)λ>,则有(0,2,0),(2,1,0),(2,4,0),(0,0,)D E C P λ， ∴(2,4,0),(0,0,),(2,1,0)AC AP DE λ===-，∴4400,0DE AC DE AP =-+==，………………4分 ∴,DE AC DE AP ⊥⊥， ∴DE ⊥平面PAC . 又DE ⊂平面PED∴平面PED ⊥平面PAC ………………6分（2）由（1），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，(2,1,)PE λ=-, 设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，sin |cos ,||PE DE θ∴=<>==，解得2λ=±，∵0λ>∴2λ=，即(0,0,2)P ………………8分设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，(2,2,0),(0,2,2)DC DP ==-， 由,DC DP ⊥⊥n n ,∴220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，不妨令1x =，则(1,1,1)=--n ………………10分∴cos ,n DE <>==, 显然二面角A PC D --的平面角是锐角，∴二面角A PC D --……………12分20. 解：（1）由题意知1c =，又tan 603bc ==，所以23b =，……………2分2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y +=；……………4分 （2）设直线PQ 的方程为：(1),(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=，得：2222(34)84120k x k x k +-+-=设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点为00(,)R x y ，则2120002243,(1)23434x x k kx y k x k k +===-=-++，……………7分 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅得：()(2)0PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅=， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，直线TR 的方程为：222314()3434k k y x k k k +=--++，……………9分 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++，……………10分因为2(0,)k ∈+∞，所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4t ∈. ……………12分 所以线段OF 上存在点(,0)T t使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1(0,)4t ∈. ……………13分 21. 解（1）当1a =时，2()11xf x x =++，(0)1f =，222222(1)21()(1)(1)x x x x f x x x +-⋅-'==++，……………2分所以(0)1f '=，切线方程为11(0)y x -=⋅-，即10x y -+=……………4分（2）由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，22222222(1)2(1)(1)(1)()(1)(1)(1)a x ax x a x a x x f x x x x +-⋅--+'===+++，……………6分当0a >时，(1,1)x ∈-，()0f x '>，()f x 为增函数，(,1),(1,)x ∈-∞-+∞，()0f x '<，()f x 为减函数；当0a <时，(1,1)x ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数，(,1),(1,)x ∈-∞-+∞，()0f x '>，()f x 为增函数. ……………8分 （3）“对任意的1212,[0,2],()()x x f x g x ∈≥恒成立”等价于“当0a >时，对任意的12min max ,[0,2],()()x x f x g x ∈≥成立”，当0a >时，由（2）可知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，而2(0)1,(2)115af f ==+>，所以()f x 的最小值为(0)1f =，22()2e e (2)e mx mx mx g x x x m mx x '=+⋅=+，当0m =时，2()g x x =，[0,2]x ∈时，max ()(2)4g x g ==，显然不满足max ()1g x ≤，……………10分 当0m ≠时，令()0g x '=得，1220,x x m ==-，（1）当22m -≥，即10m -≤≤时，在[0,2]上()0g x '≥，所以()g x 在[0,2]单调递增，所以2max ()(2)4e mg x g ==，只需24e1m≤，得ln 2m ≤-，所以1ln 2m -≤≤-（2）当202m <-<，即1m <-时，在2[0,],()0g x m '-≥，()g x 单调递增，在2[,2],()0g x m '-<，()g x 单调递减，所以max 2224()()e g x g m m =-=， 只需2241e m ≤，得2e m ≤-，所以1m <- （3）当2m -<，即0m >时，显然在[0,2]上()0g x '≥，()g x 单调递增，2max ()(2)4e m g x g ==，24e 1m ≤不成立，……………13分综上所述，m 的取值范围是(,ln 2]-∞-……………14分。

2015年适应性练习（三）数学（文）答案一．选择题：ACBDB DBCAB二．填空题11. 82 12. 4 13. 8383+14. 14 15. ①③④ 三．解答题16. 解：（1）2()(23sin cos )cos cos ()2f x x x x x π=-+-22=3sin 2cos sin =3sin 2cos 2x x x x x -+-，2sin(2)6x π=-， ……………3分 解3222262k x k k πππππ+≤-≤+∈Z （）得， 536k x k k ππππ+≤≤+∈Z （）， 所以函数()f x 的单调递减区间5 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，（）. ……6分 （2）2222222a c b c a b c a c +-=+--,由余弦定理得ca c C ab B ac -=2cos 2cos 2， 由正弦定理得1cos 2B =，所以3B π=. ……………9分 所以0 3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，2662x πππ-<-≤， 所以(]() 1 2f x ∈-，. ……………12分17. 解：（1）由表格可知，男生55名学生中有32名喜欢打球，而女生45名学生中有16名喜欢打球，所以，经过直观分析，喜欢打球的学生与性别有关. ………2分（2）从题中所给条件可以看出，喜欢打球的学生共48人，随机抽取6人，则抽样比为61488=，故男生应抽取32×18＝4(人).………6分 （3）抽取的6名同学中，男生有6人，女生有2人，记男生为A 、B 、C 、D ，女生为a 、b ，则从6名学生中任取2名的基本事件有 (A, B), (A, C), (A, D), (A, a), (A, b), (B,C), (B, D), (B, a), (B, b), (C, D), (C, a), (C, b), (D, a), (D, b), (a, b)共15个，其中恰有1名女生的有8个，故所求概率P ＝815. …………12分 18．证明（1）设DF 的中点为N ，连结MN ，则1//2MN CD . 又因为//2OA CD ，所以//MN AO ， 所以MNAO 为平行四边形，所以//OM AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，所以//OM 平面DAF . ……………6分(2) 因为面ABCD ⊥面ABEF ，CB AB ⊥，CB ⊂面ABCD ，面ABCD 面ABEF AB =，所以CB ⊥面ABEF ，而AF ⊂面ABEF ，所以AF CB ⊥，又AB 是圆O 的直径，所以AF BF ⊥，CB BF B =，所以AF ⊥平面CBF . ……………12分19. 解：（1）由21=(32)()6n n n S a a n *++∈N ，得 当2n ≥时，221111(33)6n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-， 整理，得11()(3)0n n n n a a a a --+--=， ……………2分110,0,3n n n n n a a a a a -->∴+>∴-= ， ………4分所以，数列{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列,故32,n a n n N *=-∈ . ……………6分（2）11=n n a a +1111=()(32)(31)33231n n n n =--+-+，………9分 所以n T 111111=1+)34473231n n -+-+--+（11(1)33131n n n =-=++. …………12分 20.解：（1）由已知得c =2222+13x y b b =+，将(1 A 代入方程得2213134b b+=+，解得21b =，221. 解: 则()11122t g x x x -⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当1t x x -=， 即x =时，()min g x =⎡⎤⎣⎦. ………1分()h x ==， 当1x =时，()min h x =⎡⎤⎣⎦………………2分 ∵01t <<，∴1<<01<<.由于()32f x x ax bx =-++()2x x ax b =-++，结合题意，可知，02,a a <<⎨⎪≠⎩ ………………7分 2a <. ……………8分∴2112b a =-2a <<.求a 的取值范围的其它解法：另法1：由a =22a =+ …………6分∵01t <<，∴224a <<． …………７分∵a =0>，另法2 （2 ∴当[]1,2x ∈时，()()10f x f ''≤<.∴函数()f x 在区间[]1,2上单调递减. …………12分∴函数()f x 的最大值为()2112f a a =-，最小值为()2246f a a =-+-. ……………14分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，R a ∈，若21a ii-+是一个纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 12-B. 1-C.12D. 1【答案】C考点：1.复数的运算；2.复数的分类；2.已知集合()(){}360,x x x x P =--≤∈Z ，{}Q 5,7=，则下列结论成立的是（ ） A. Q ⊆P B. Q P=P C. Q Q P = D. {}Q 5P=【答案】D 【解析】试题分析：解不等式(3)(6)0,36,,{3，4，5，6}x x x x Z P --≤≤≤∈=，则{}Q 5P =；选D考点：1.解一元二次不等式；2.集合的运算；3.已知向量()1,2a =，()1,0b =，()4,3c =-. 若λ为实数且()a b c λ+⊥，则λ=（ ） A.14B.12C. 1D. 2【答案】B 【解析】试题分析：（1+，2）a b λλ+=，因为()a b c λ+⊥，则()1=41+-6=0=2（），λλλ+⋅a b c ，选B ；考点：向量的坐标运算；4.若条件:p 2x ≤，条件:q x a ≤，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A. 2a ≥ B. 2a ≤C. 2a ≥-D. 2a ≤-【答案】A考点：1.解不等式；2.充要条件；3.子集与真子集；5.某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（ ）A.323+ B.323+【答案】D 【解析】试题分析：从三视图可以看出原几何体是上面一个圆锥下面一个球，球的体积为3441=33ππ⨯，圆锥的体积为21133ππ⨯⨯，原几何体的体积3π，选D 考点：1.三视图；2.几何体的体积6.已知点(),x y M 的坐标满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，N 点的坐标为()1,3-，点O 为坐标原点，则ON⋅OM 的最小值是（ ）A. 12B. 5C. 6-D. 21-【答案】D 【解析】试题分析:由于目标函数3z OM ON x y =⋅=-，画出二元一次不等式所表示的可行域，令0z =，做出基准线13y x =，在可行域内平移基准线，由于1133y x z =-，所以当直线的截距最大时，z 最小， 由350x x y ⎧=⎨-+=⎩，解出38x y ⎧=⎨=⎩，得最优解（3，8），代入目标函数的21z =-，故选D考点：线性规划； 7.将函数2sin 4y x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（0ω>）的图象分别向左. 向右各平移4π个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（ ） A.12B. 1C. 2D. 4【答案】C 【解析】试题分析：将函数2sin 4y x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0ω>）的图象向左平移4π个单位后，所得图像的解析式为2y =12sin[()]2sin()444x x ππωωωπ-+-=+，将函数2sin 4y x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0ω>）的图象向右平移4π个单位后，所得图像的解析式为2sin[()]44y x ππω=--=12sin()2x ωωπ+-，由于所得的两个图象的对称轴重合，则1122x x ωωωπωπ-++=-……①,或12x x ωωπω-+=-1,2k k z ωπ+-+∈……②，解①得=0ω不合题意，解②得：2,k k z ω=∈，则ω的最小值为2，故选C考点：1.三角函数图象的平移；2.三角函数图象的对称；8.右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（ ） A. 13B. 12C. 11D. 10【答案】B 【解析】试题分析：先计算[5,10)的频率为0.065=0.3⨯，[10,15)的频率为0.5，[15,20)的频率为0.2，平均重量7.50.312.50.517.50.212x =⨯+⨯+⨯=，选B 考点：频率分布直方图9.已知(),x y P 是直线40kx y ++=（0k >）上一动点，PA 是圆C :2220x y y +-=的一条切线，A 是切点，若线段PA 长度最小值为2，则k 的值为（ ）A. 3 C. D. 2【答案】D考点：直线与圆的位置关系；10.已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，不等式()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),2-∞- B. (),0-∞ C. ()0,2 D. ()2,0-【答案】A 【解析】试题分析：二次函数243y x x =-+的对称轴为2x =，则该函数在(,0)-∞上单调递减，则2433xx -+≥，同样函数223y x x =--+在(0,)+∞上单调递减，2-233x x ∴-+<()f x ∴在R 上单调递减；由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a <；则2x a <在[,1]a a +上恒成立；则2(1),2a a a +<∴<-，实数a 的取值范围是(,2)-∞-，故选A ；考点：1.分段函数的单调性；2.恒成立问题；第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 11.函数()()21log 2f x x =-的定义域为 .【答案】(2,3)(3,)⋃+∞ 【解析】试题分析：要使()()21log 2f x x =-有意义，只需2021x x ⎧->⎨-≠⎩，则2x >且3x ≠，函数的定义域为：(2,3)(3,)⋃+∞；考点：函数的定义域；12.某程序框图如图所示，现依次输入如下四个函数：①()cos f x x =；②()1f x x =；③()lg f x x =；④()2x xe ef x --=，则可以输出的函数的序号是 .【答案】④ 【解析】试题分析：从程序框图可以看出要求输出的函数既是奇函数又存在零点，①为偶函数，②无零点，③不是奇函数，④符合要求，填④ 考点：函数的奇偶性与函数的零点；13.已知曲线si n cos y a x x =+在0x =处的切线方程为10x y -+=，则实数a 的值为 . 【答案】1 【解析】试题分析：cos sin y a x x '=-，切点(0,1)，斜率(0)k f a '==，切线方程+1y ax =，则1a =，考点：导数的几何意义；14.已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且F AK =，则F ∆A K 的面积为 . 【答案】32 【解析】 试题分析：双曲线22179x y -=的右焦点为(4,0)，即为抛物线22y px =的焦点(,0)2p，42p=可得8p =，所以抛物线的方程为216y x =，其中准线为4,(4,0)x K =-∴-，过A 作AM 垂直于准线，垂足为M ，则AM=AF,则，所以0MAK=45∠，KF=AF ，三角形AFK 的面积为21KF =322； 考点：双曲线的几何性质；2.抛物线的焦点；3.三角形的面积；15.关于方程1sin 102xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，给出下列四个命题：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根，则01x >-，其中所有正确命题的序号是 . 【答案】②③④ 【解析】试题分析：①若θ为方程1()sin 102xx +-=的一个解，则满足1()1sin ,2θθ=-当θ为第三、四象限教师1（）>1,2θ1-sin 1θ>，存在0θ<，因此该方程存在小于0的实数解，①不正确，②1()1sin 2xx -=，当0x ≥时，11()102x -<-≤，而-s i n 1x ≥-，因此1()12xy =-与sin y x =-在[0,)+∞上有无数多个交点，因此方程有无数个实数解，②正确；③当0x <时，如1x ≤-时，1()112x -≥，函数1()12xy =-与sin y x =-的 图象不可能相交，如10x -<<时，存在唯一一个x 满足1()1sin 2x x -=，③正确；④通过上面的分析函数1()12x y =-与y =- sin x 的图象在(,1]-∞-不可能有交点，因此只要0x 是该方程的解，只需01x >-，④正确；本题填②③④；考点：1.两条曲线的交点；2.函数的零点；三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2015年开始，将对二氧化碳排放量超过130/g km 的轻型汽车进行惩罚性征税. 检测单位对甲. 乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：/g km ）.经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120x =乙/g km .()1求表中x 的值，并比较甲. 乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；()2从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km 的概率是多少？【答案】（2）120x =，乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好，（2）7()0.710P A ==，【解析】试题分析：第一步由题可知，120x =乙，所以480+1205x=，解得120x =，分别用方差公式计算甲和乙两个品种的方差值，因为x x =甲乙，22s s >甲乙，所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好；第二步从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，用列举法列出共有10种二氧化碳排放量结果，“至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km ”有7种，根据古典概型概率公式求出概率为7()0.710P A ==； 试题解析：（1）由题可知，120x =乙，所以480+1205x=，解得120x =. 又由已知可得120x =甲，……………2分()()()()()2222221=801201101201201201401201501206005s ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦甲()()()()()2222221=1001201201201201201001201601204805s ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦乙因为x x =甲乙，22s s >甲乙，……………5分所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好. ……………6分（2）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，共有10种二氧化碳排放量结果：()()80 11080 120，，，，()()80 14080 150，，，，()()110 120110 140，，，，()()110 150120 140，，，，()()120 150140 150，，，，…………10分 设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km ”为事件A , 则7()0.710P A ==， 所以至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km 的概率是0.7. ………12分 考点：1.利用直方图求平均值；2.古典概率；17.（本小题满分12分）已知函数()f x a b =⋅，其中()2cos ,2a x x =，()cos ,1b x =，R x ∈.()1求函数()y f x =的单调递减区间；()2在C ∆AB 中，角A . B . C 所对的边分别为a . b . c ，()1f A =-，a =量()3,sin m =B 与()2,sinC n =共线，求边长b 和c 的值. 【答案】（1） )63k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，（，（2）3b =，2c = 【解析】试题分析：利用数量积公式 、降幂公式和辅助角公式求出函数()=2cos(2)+13π+f x x ，借助余弦函数的单调性求递减区间，只需解不等式2223k x k ππ≤+≤π+π，得递减区间 )63k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，（；第二步()A f=1，求出3A π=，又a =利用余弦定理得()22222cos 37a b c bc A b c bc =+-=+-=，又因为向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线，所以2sin 3sin B C =，则23b c =，解方程组求出3b =，2c =即可；试题解析：（1）2()=2cos 21cos 2212cos(2)3f x x x x x x π=+=++，……3分令2223k x k ππ≤+≤π+π，解得)63k x k k πππ-≤≤π+∈Z （， 所以()f x 的单调递减区间为 )63k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，（. ………6分（2）∵()12cos 213f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，∴cos 213A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又72333A πππ<+<，∴23A ππ+=，即3A π=，…………8分MF DCBAEG ∵a =()22222cos 37a b c bc A b c bc =+-=+-=. ……① 因为向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线，所以2sin 3sin B C =， 由正弦定理得23b c =，……②………11分 解①②得3b =，2c =. …………12分考点：1.三角函数的图象与性质；2.利用正弦定理与余弦定理解三角形； 18.（本小题满分12分）如图，CD AB 是正方形，D E ⊥平面CD AB .()1求证：C A ⊥平面D B E ；()2若F//D A E ，D 3F E =A ，点M 在线段D B 上，且1D 3BM =B ，求证：//AM 平面F BE .【答案】证明见解析 【解析】试题分析：证明线面垂直首先寻求线线垂直，底面ABCD 为正方形，对角线垂直，另外已知DE ⊥平面ABCD ，有AC DE ⊥，根据线面垂直判定定理可得到证明；第二步同样证明线面平行，只需证明线线平行，可利用比例证明//GB AM ，因为DE AF //，AF DE 3=，所以13GA AF GD DE ==,因为13BM BD =，所以13BM BD =, 所以13BM GA BD GD ==，所以//AM GB ,从而说明线面平行，这是平面几何中的有平行就会有比例，有比例就会有平行；试题解析：（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………2分 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，又=BD DE D ,从而AC ⊥平面BDE . ……………5分 （2）解：延长EF DA 、交于点G ,因为DE AF //，AF DE 3=，所以13GA AF GD DE ==,…………7分 因为13BM BD =，所以13BM BD =, 所以13BM GA BD GD ==，所以//AM GB ,……10分 又AM ⊄平面BEF ，GB ⊂平面BEF ， 所以//AM 平面BEF . …………12分 考点：证明线面平行；19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a . n S 满足()()12n n t S t a -=-（t 为常数，0t ≠且1t ≠）.()1求数列{}n a 的通项公式；()2设()()3log 1n n n b a S =-⋅-，当13t =时，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n n a t =，（2）323223n n n T +=-⋅ 【解析】试题分析：借助当2n ≥时，1n n n a S S -=-解题，这是解决数列问题的典型方法，(1)(2)n n t S t a -=-，及11(1)(2)n n t S t a ++-=-，作差得1n n a ta +=，转化为等比数列去解，求出11n n a a t -=，再由1n =时，求出12a t =，从而写出通项公式2n n a t =即可；第二步代入13t =，写出3()log (1)n n n b a S =-⋅- 23nn =，得出2324623333nnnT =++++，两边同乘以13后，两式相减，最后利用错位相减法求和得：323223n n n T +=-⋅； 试题解析：（1）由(1)(2)n n t S t a -=-，及11(1)(2)n n t S t a ++-=-，作差得1n n a ta +=，即数列{}n a 成等比数列，11n n a a t -=，当1n =时，11(1)(2)t S t a -=-，解得12a t =，故2n n a t =. …5分（2）当13t =时，123n na =⋅（），113n n S -=， 32()log (1)3n n n n nb a S =-⋅-=, 2324623333n n n T =++++, 234+112462 33333n n n T =++++,作差得234+1+1+122222221223+113333333333n n n n n n n n n T +=++++-=--=-， 则323223n nn T +=-⋅；考点：1，转化思想求数列通项公式；2.错位相减法求数列的和；20.（本小题满分13分）已知函数()x f x e =，()2g x ax bx c =++（0a ≠）.()1若()f x 的图象与()g x 的图象所在两条曲线的一个公共点在y 轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b 和c 的值；()2若1a c ==，0b =，试比较()f x 与()g x 的大小，并说明理由.【答案】 【解析】试题分析：由于()f x 的图象与()g x 的图象所在两条曲线的一个公共点在y 轴上，所以(0)(0)f g =，求出1c =，又在该点处两条曲线的切线互相垂直，则(0)(0)1f g ''=-，求出1b =-；第二步把1a c ==，0b =代入函数解析式得2()1g x x =+，构造函数2()()()1x h x f x g x e x =-=--，研究函数的单调性，先求导数'()e 2xh x x =-，设()'()=e 2x k x h x x =-，则'()=e 2x k x -，当ln 2x <时,'()0,()k x k x <在区间ln 2)-∞（，单调递减；当ln 2x >时,'()0,()k x k x >在区间ln 2+)∞（，单调递增. 所以当ln 2x =时,()k x 取得极小值,且极小值为ln 2(ln 2)e2ln 22ln 40k =-=->，即()'()=e 20x k x h x x =->恒成立，故()h x 在R 上单调递增,又(0)0h =,因此,当0x >时,()(0)=0h x h >,即()g()f x x >，同理研究0x <和0x =的情况即可；试题解析：（1）由已知(0)1f =，'()e xf x =，'(0)1f =，(0)g c =，'()2g x ax b =+，'(0)g b =，依题意：⎧⎨⎩(0)(0)'(0)'(0)1f g f g ==-，所以⎧⎨⎩1,1c b ==-；……5分 （2）1a c ==，0b =时，2()1g x x =+，①0x =时，(0)1f =，(0)1g =，即()()f x g x =；………6分 ②0x <时，()1f x <，()1g x >，即()()f x g x <；………7分 ③0x >时，令2()()()e 1xh x f x g x x =-=--,则'()e 2xh x x =-. 设()'()=e 2xk x h x x =-，则'()=e 2x k x -，当ln 2x <时,'()0,()k x k x <在区间ln 2)-∞（，单调递减； 当ln 2x >时,'()0,()k x k x >在区间ln 2+)∞（，单调递增. 所以当ln 2x =时,()k x 取得极小值,且极小值为ln 2(ln 2)e2ln 22ln 40k =-=->即()'()=e 20xk x h x x =->恒成立，故()h x 在R 上单调递增,又(0)0h =, 因此,当0x >时,()(0)=0h x h >,即()g()f x x >. ……12分 综上，当0x <时,()()f x g x <；当0x =时,()()f x g x =； 当0x >时,()g()f x x >. ……13分考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性和极值；3.利用导数证明不等式；21.（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，右焦点到直线y x =()1求椭圆E 的方程；()2已知点()2,1M ，斜率为12的直线l 交椭圆E 于两个不同点A . B ，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ，①若直线l 过椭圆E 的左顶点，求此时1k ，2k 的值；②试猜测1k ，2k 的关系，并给出你的证明.【答案】（1）12k k ==，（2）猜测：120k k +=，证明见解析； 【解析】试题分析：由于右焦点到直线y x =c =，根据离心率c a=，解得228,2a b ==，从而求出椭圆方程22182x y +=，第二步①若直线l 过椭圆E 的左顶点，则直线的方程是1:2l y x =+，联立方程组解方程组求出A 、B 两点坐标，用斜率公式计算出1k ，2k 的值，②猜测：120k k +=，设直线在y 轴上的截距为m ,所以直线的方程为12y x m =+,联立方程组消去y 得222240x mx m ++-=，设而不求，利用根与系数关系证明出120k k +=即可；试题解析：（1）设椭圆的右焦点( 0)c ，，由右焦点到直线y x =，解得c =c a ∴=，解得228,2a b ==，所以椭圆E 的方程为22182x y +=. …………4分（2）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:2l y x =+，联立方程组2212182y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121200x x y y =⎧⎧=-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故12k k ==. ………7分考点：1.求椭圆的方程；2.求直线与椭圆交点坐标，3.设而不求思想解题；。