高中数学必修4(人教A版)教案—2.1平面向量的实际背景及基本概念(教＼学案)

《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计一、教学设计平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。

本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。

其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。

同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

二、教学目标1知识与技能：阐明平面向量的数量积及其几何意义.会算一个向量在另一个上投影的概念，运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2过程与方法：以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

3情感态度与价值观：由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想，类比思想，体验法则学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。

三、学情分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。

这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。

但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、三维目标
1、知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。

这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。

体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。

3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。

二、教学重点及难点
1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等
2难点：向量的概念和共线向量的概念。

2.1向量的实际背景及基本概念（学案）一、学习目标1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.二、自主学习1．向量的概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等．注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小．2．向量的几何表示(1)有向线段：带有________的线段叫做有向线段，其方向是由________指向________，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定．(2)向量的有关概念：向量AB →的________，也就是向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.长度为______的向量叫做零向量，记作0.长度等于______个单位的向量，叫做单位向量．(3)向量的表示法：①几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向；②字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的________和______的字母表示．(4)平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量a 与b 平行，通常记为a ∥b .规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量a ，都有0∥a .3．相等向量与共线向量(1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，通常记为a ＝b .任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量．(2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫共线向量．三、合作探究知识点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0；⑤若a ＝b ，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.回顾归纳：对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．知识点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200km到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．(1)作出向量AB→、BC→、CD→；(2)求|AD→|.回顾归纳：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．知识点三相等向量与共线向量例3如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→的模大小相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．回顾归纳：(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．四、学以致用练习1.判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．练习2.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？练习3.如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，(1)写出与BC→相等的向量：________.(2)写出与BC→共线的向量：________.五、自主小测1．下列说法正确的有()①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2个B．3个C．4个D．5个2．下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－bB．向量的模一定是正数C．起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量D．向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上3．下列四个命题①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b，或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．44．下列命题正确的是()A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行5．在四边形ABCD中，AB→＝DC→且|AB→|＝|AD→|，则四边形为________．6．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．7．下列各种情况下，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.8.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．参考答案1．A [②与⑤正确，其余都是错误的．]2．C [A 错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系．B 错误.0的模|0|＝0.C 正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．D 错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上，即A 、B 、C 、D 四点不一定共线．]3．B [②③错，①④正确．]4．C [若b ＝0，则a 与c 不共线，A 不正确；两个相等的非零向量的始点和终点可能共线，B 不正确；若a ，b 中有一个是零向量，则a 与b 一定共线，C 正确；有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两个向量平行，D 不正确．]5．菱形解析∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．6．①③④解析相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④能使a ∥b .7．①单位圆②相距为2个单位的两个点③一条直线8．解(1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.。

第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念教学设计一、内容和内容解析向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，它有着丰富的现实背景和物理背景。

向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。

向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具，它体现了数学和物理的天然联系。

向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物理学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。

在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较，得出抽象的数学模型，所以本节内容是渗透“数学抽象”很好的载体。

在本节中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。

本节课是一节概念课，在向量基本概念的形成过程中，需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点，在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示，位移的表示，速度的表示为起点，归纳并确定向量的几何表示以及符号表示，而在探索向量间的特殊关系时，引导学生借助图形进行，这样不仅使研究有序，同时更锻炼学生的直观想象能力，有助于感受向量集数与形于一身的特性。

通过类比学习数量的过程，让学生自然的获得新知识的探究方向，在基本概念的学习中，要让学生体验概念的生成过程，获得这些概念的“基本思路”即获得数学研究对象，认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。

二、目标和目标解析1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，了解平面向量的实际背景；2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3. 理解平面向量的几何表示和基本要素，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，能做一个向量和已知向量相等，能根据图形判定向量是否是平行，共线，相等向量。

4.通过类比“学习数量的过程”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路．学生已经学习过数量，但是形如确定位置的问题，只用数量是无法满足需要的，这就使得学习新知识是自然的有必要的，同时可以引导学生类比“学习数量的过程”明确研究向量概念的基本方向，因此，复习回顾数量的相关知识是有必要的。

2.1.1向量的物理背景与概念教学目标：1.知识与技能目标了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及几何表示。

2.过程与方法目标通过解决实际问题，提高依据具体问题背景分析问题、解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标体会数学在生活中重要作用，培养严谨的思维习惯。

问题提出1.在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？2.现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、区分这些量，我们引进向量的概念。

探究（一）：向量的物理背景与概念思考1：在物理中，怎样区分作用于同一点的两个力？力的大小和力的方向思考2：物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向分别如何？受力的大小分别与哪些因素有关？思考3：在如图所示的弹簧中，被拉长或压缩的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内，弹力的大小与什么因素有关？思考4：力既有大小，又有方向，在物理学中称为矢量，你还能指出哪些物理量是矢量吗？1.向量(1)数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量，向量的大小，也叫做向量的模。

(2)向量的两个要素：向量的大小和向量的方向。

思考5：向量与数量有什么联系和区别？思考6：数量之间有大小关系，如5＞3 ，0＞﹣2；如何定义向量之间的大小？问题1：判断题1.身高是一个向量。

﹙﹚2.温度含零上和零下温度，所以温度是向量。

（）问题2：下列物理量中，不能称为向量的是（）A.质量B.速度C.位移D.力2.1.1向量的物理背景与概念教学目标：1.知识与技能目标了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及几何表示。

2.过程与方法目标通过解决实际问题，提高依据具体问题背景分析问题、解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标体会数学在生活中重要作用，培养严谨的思维习惯。

问题提出1.在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？2.现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、区分这些量，我们引进向量的概念。

2.1平面向量的实际背景及基本概念1．掌握1组概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0向量与有向线段①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．知识点一向量的有关概念1．(2018·北师大附中高三一模)给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有()A．4个B．5个C ．6个D ．7个解析：选A 速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有大小和方向．故选A.2．(2018·河北沧州高一期末)下列说法不正确的是( ) A ．零向量没有方向 B ．零向量只与零向量相等 C ．零向量的模为0D ．零向量与任何向量都共线解析：选A 零向量的方向是任意的．故选A.3．(2018·北京朝阳外国语学校高一期中)下列说法正确的是( ) A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行 B ．共线向量一定在同一直线上 C ．若|a |>|b |，则a >b D ．单位向量的长度为1解析：选D 因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，A 错误；共线向量不一定在同一直线上，B 错误；向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小，C 错误，D 正确．故选D.知识点二 向量的表示4．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解：(1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC→如图所示． 知识点三 相等向量与共线向量 5．下列说法正确的是( ) A ．向量AB→与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量AB→与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一条直线上D ．任意两个单位向量都相等解析：选A 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B 错误；向量AB→与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一条直线上或AB ∥CD ，故C 错误；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故D 错误．故选A.6．如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB→平行且模为2的向量共有( )A ．12个B ．18个C ．24个D ．36个解析：选C 由题意，知与AB→平行且模为2的向量共有24个．故选C.1．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示B ．方向是由M 指向NC ．起点是MD ．终点是M解析：选D 向量MN →的终点为N ，故D 错．故选D.2．下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若a ≠b ，则|a |≠|b |C ．若|a |＝|b |，则a 与b 可能共线D ．若|a |≠|b |，则a 一定不与b 共线解析：选C 因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，故A 错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误；不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C 正确，D 错误．故选C.3．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是 ( )A.AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →|C.AB→>DC → D ．AB→<DC →解析：选B |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．故选B. 4．(2019·江西临川二中高一月考)已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题错误的是 ( )A ．C ⊆AB ．A ∩B ＝{a }C ．C ⊆BD ．A ∩B ⊇{a }解析：选B 因为A ∩B 中包含与a 长度相等且方向相反的向量，故选B. 5．(2018·福建福州一中高一期末)设向量a 0＝a |a |，b 0＝b |b |，则下列结论中正确的是( )A ．a 0＝b 0B ．a 0＝－b 0C ．|a 0|＋|b 0|＝2D ．a 0∥b 0解析：选C 由题意知a 0，b 0是单位向量，所以|a 0|＝1，|b 0|＝1，所以|a 0|＋|b 0|＝2.故选C.6．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.解析：平行向量又叫共线向量，而与不共线向量AB →，BC →都共线的向量只能是零向量．答案：07．(2018·北京东城高一期末)给出下列条件：(1)a ＝b ；(2)|a |＝|b |；(3)a 与b 方向相反；(4)|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________(填序号)．解析：若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ∥b ；若|a |＝|b |，则a 与b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b 方向相反，则有a ∥b ；零向量与任意向量平行，所以若|a |＝0或|b |＝0，则a ∥b .答案：(1)(3)(4)8．把同一平面内所有模不小于1且不大于2的向量的起点移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π×22－π×12＝3π. 答案：3π9．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，O 是两条对角线的交点，设点集M ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{PQ →|P ∈M ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，求集合T 中元素的个数．解：从模和方向两个角度考虑，以下向量是互不相等的向量：AB→，BA →，AD →，DA→，AO →，OA →，AC →，CA →，BO →，OB →，BD →，DB →，其他向量都与它们中的某一个相等，故集合T 中有12个元素．10．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC→|＝ 5.(1)画出所有符合题目要求的向量AC →；(2)求|BC→|的最大值与最小值． 解：(1)画出所有符合题目要求的向量AC→，如图所示．(2)由(1)所画的图，知 ①当点C 位于点C 1或C 2时，|BC →|取得最小值，为12＋22＝5；②当点C 位于点C 5或C 6时， |BC→|取得最大值，为 42＋52＝41.故|BC→|的最大值为41，最小值为 5.。

第二章平面向量本章教材分析1．丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2．教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3．本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.§2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、教学分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.二、教学目标1、知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

教学准备
1. 教学目标
向量及向量的基本运算
2. 教学重点/难点
向量及向量的基本运算
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
③单位向量：模为1个单位长度的向量。

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

4)实数与向量的积
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。

5)两个向量共线定理
6)平面向量的基本定理
7)特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算。

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。

（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

【例题选讲】
例1、判断下列各命题是否正确。

第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念[目标] 1.知道向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出向量． 2.记住向量、相等向量的概念，会向量的几何表示． 3.记住共线向量的概念，并能找共线向量．[重点] 向量相等及几何表示．[难点] 共线向量．知识点一 向量的概念和表示方法[填一填]1．向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．2．向量的表示(1)表示工具——有向线段． 有向线段的三个要素：①起点，②方向，③长度．(2)表示方法：向量可以用有向线段表示，向量AB→的大小，也就是向量AB →的长度(或称模)，记作|AB→|.向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：AB→，CD →. [答一答]1．有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？提示：有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念．2．两个向量可以比较大小吗？提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．知识点二 向量的长度(或称模)与特殊向量[填一填]1．向量的长度定义：向量的大小．2．向量的长度表示：向量AB→的长度记作：|AB →|；向量a 的长度记作：|a |.3．特殊向量长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[答一答]3．零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？提示：零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同． 知识点三 相等向量与共线向量[填一填]1．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a ，b 平行，记作a ∥b .任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．[答一答]4．共线向量与相等向量有什么关系？提示：相等的向量一定共线，而共线的向量不一定相等．5．零向量与任一向量有什么关系？提示：规定零向量与任一向量是共线向量．6．向量平行与直线平行是一样的吗？提示：两种平行不同．类型一向量的有关概念[例1]判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．[分析]解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．[解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．(3)不正确．依据规定：0与任一向量平行．(4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．(5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可．(1)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，它们的方向是任意的．因为它们方向的不确定性，所以在解题过程中要注意．(2)注意0与0的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一个表示向量．(3)平行向量不一定方向相同或相反，因为0与任一向量平行，0的方向是任意的．[变式训练1] 下列说法错误的有(1)(2)．(填上你认为所有符合的序号)(1)两个单位向量不可能平行；(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；(3)向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量．解析：(1)错误，单位向量也可能平行；(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；(3)正确，a 与b 只要有零向量，那么a 与b 都称为共线向量． 类型二 向量的几何表示[例2] 一辆汽车从A 出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB→、BC →、CD →； (2)求|AD→|. [解] (1)向量AB→、BC →、CD →，如图所示．(2)由题意，易知AB→与CD →方向相反，故AB →与CD →共线．又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴|AD→|＝|BC →|＝200 km.(1)用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.(2)作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.[变式训练2] 在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)|OA→|＝3，点A 在点O 的正西方向； (2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向；(3)求出|AB→|的值． 解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．(3)由图知，△AOB 是等腰直角三角形，所以|AB →|＝ |OB →|2－|OA→|2＝3. 类型三 相等向量与共线向量[例3] 在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AD 、BC 的中点，如图．(1)写出与向量FC→共线的向量． (2)求证：BE→＝FD →. [分析] (1)与FC→共线的向量需具备什么条件？(与FC →的方向相同或相反)(2)BE→＝FD →必须具备什么条件？(①|BE →|＝|FD →|，②二者方向相同) [解] (1)由满足共线向量的条件得与向量FC→共线的向量有：CF →，BC→，CB →，BF →，FB →，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →. (2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC .又E 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴ED 綊BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE 綊FD ，∴BE→＝FD →.(1)共线向量和相等向量有何关系？(共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量)(2)如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？(①证明线段相等，只要证明相应的向量长度(模)相等.②证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线)[变式训练3] 给出下列命题：(1)两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等．(2)若AB→＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点． (3)在平行四边形ABCD 中，一定有AB→＝DC →. (4)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .(5)若a ＝b ，则a ∥b .其中正确命题的序号是(3)(4)(5)．解析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故(1)不正确.AB→＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故(2)不正确．在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB→与DC →平行且方向相同，故AB→＝DC →，故(3)正确．若a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同．若b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，(4)正确．若a ＝b ，则a 与b 的方向一定相同，故a ∥b ，(5)正确.1．下列命题正确的是( C )A ．向量AB→与BA →是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量C ．零向量与任一向量共线D ．两平行向量所在直线平行2．下面几个命题：(1)若a ＝b ，则|a |＝|b |.(2)若|a |＝0，则a ＝0.(3)若|a |＝|b |，则a ＝b .(4)若向量a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，a ∥b ，则a ＝b . 其中正确命题的个数是( B )A ．0B ．1C ．2D ．33．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( B ) A.AB→与AC →共线 B.DE →与CB →共线 C.AD →与AE →相等 D.AD→与BD →相等 4．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA→|＝ 2.5．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a .(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如图所示．——本课须掌握的三大问题1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．学科素养培优精品微课堂向量在平面几何中的应用开讲啦 利用向量可以证明线段相等、多点共线，判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)，将平面几何与向量结合在一起，可以使问题更加直观、明了．[典例] 如图所示，已知在四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，且AB→＝DC →，求证：四边形AMCN 是平行四边形．[证明] ∵AB→＝DC →， ∴|AB→|＝|DC →|，且AB →∥DC →， ∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AD→＝BC →. ∵M ，N 分别是BC ，AD 的中点，∴|AN →|＝12|AD →|，|MC →|＝12|BC →|，∴|AN→|＝|MC →|. 又∵AN→∥MC →. ∴四边形AMCN 是平行四边形．[名师点评] 若AB →＝DC →，且点A ，B ，C ，D 不共线，则四边形ABCD为平行四边形，利用这一重要结论，可以解决与平行、相等有关的平面几何问题．[针对训练] 在四边形ABCD 中，若AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是梯形．解析：∵AB→∥CD →，∴AB ∥CD ， ∵|AB→|≠|CD →|，∴AB ≠CD . ∴四边形ABCD 为梯形.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

《2.2.1 平面向量基本定理》学案【教材】 人教版数学必修4（B 版）第96-99页 【课时安排】 1个课时 【教学对象】 高一学生 【目标分析】 知识与技能1. 理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合；2. 了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。

过程与方法1. 通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；2. 通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。

情感态度价值观1. 培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；2. 与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点、难点、关键】重点：平面向量基本定理的理解与应用。

难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程。

关键：分层次设计探究问题并让学生进行操作实践。

【教学方法】引导探究、讨论交流。

【教学手段】计算机、PPT 、几何画板。

【教学过程设计】一、【情景导入】让我们来玩游戏吧：（一）在图一中同桌两人为一组，每位同学把平面上的两个向量分别乘以一个数再相加（减）如： 1232 e e ,图一（二）在图二中现在每位同学在平面内任意画一个向量，再互相交换，另一名同学能否用形如12e e λμ+的形式表示出来所画向量？图二【合作探究】 探究一任意画出的向量是否一定可以用“一个”已知的非零向量表示？ 探究二任意画出的向量是否一定可以用“两个”已知的不共线向量表示？如图1，设21e e ，,是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量。

1e ，a2e ，请你将向量a 分解成图中所给的两个方向上的向量。

小组对照，比较分解成的两个向量的方向和长度是否一致？ 探究结果【提炼升华】 平面向量基本定理：探究三探究二中的向量a 可否用其他两个不共线的向量表示出来？教师在黑板上另画出向量a 和不共线的向量34e e ，，请一位同学板演出新分解。

第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念第三课时 2.1.3相等向量与共线向量1 教学目标[1]掌握相等向量,共线向量的概念。

[2]会区分相等向量，共线向量，平行向量。

[3]理解零向量与任何向量平行。

[4]通过学习对相等向量与平行向量的区别的学习，更加深刻的理解好向量与数量的关系，提高数学思维能力和认识新事物的能力。

2教学重点/难点教学重点：相等向量，共线向量的概念。

教学难点：区分相等向量与共线向量。

3专家建议通过介绍相等向量、共线向量概念，给学生渗透平移变换及数形结合的思想4 教学方法类比探究→归纳讲解→总结→练习提高。

5 教学过程5.1 复习引入【师】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答，我们上节课学了什么内容？【板书】向量：既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中常称为矢量）数量：只有大小，没有方向有向线段：带有方向的线段叫做有向线段有向线段的三要素：起点、方向、长度模：向量的长度零向量：长度为0的向量叫做零向量单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量5.2 新知介绍[1]相等向量【师】我们知道，速度是矢量，有大小和方向，那么怎样的两个速度才是相等的呢？【生】讨论回答【师】总结“大小相等，方向相同”才能说速度相等【板书】速度相等：大小相等，方向相同【师】那么相等向量要具备什么条件呢？【生】讨论回答【师】总结“长度相等，方向相同”的向量叫做相等向量【板演/PPT】相等向量：长度相等，方向相同如图，在平行四边形ABCD中，能找出相等向量吗？向量与是相等向量吗？向量与是相等向量吗？向量与CB是相等向量吗？【师】同学们拿出三角板，在练习本上画出长度分别为3cm和4cm的两组相等向量【生】动手画图【师】请大家注意，一定要满足两个条件哦，长度相等，方向相同。

（然后，检查讲解）[2]共线向量【师】两个向量除了长度相等，方向相同，还有没有其它情况？【生】讨论回答【师】总结【板书】长度相等，方向相反长度不等，方向相同长度不等，方向相反【板书/PPT】长度相等，方向相反的两个向量可以平移到同一条直线上长度不等，方向相同的两个向量可以平移到同一条直线上长度不等，方向相反的两个向量可以平移到同一条直线上【师】让我们来总结一下【板书/PPT】方向相同或相反的非零向量ba,叫做平行向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量。

[核心必知]．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材～的内容，回答下列问题．()我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．()对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？提示：用有向线段．()若向量与向量相等，则它们应具备什么条件？提示：长度相等且方向相同．．归纳总结，核心必记()向量的概念数学中，我们把像力、位移等这种既有大小，又有方向的量叫做向量．()有向线段带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．()向量的表示方法①向量可以用有向线段表示．向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作．②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母，，，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母，，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，，.()几种特殊的向量①零向量：长度为的向量，叫做零向量，记作.②单位向量：长度等于个单位的向量叫做单位向量．③相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量和平行，记作∥；规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有∥．[问题思考]()两个向量能比较大小吗？提示：不能．因为向量是具有方向的量．()向量就是有向线段，这种说法对吗？提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．()“若∥，且∥，则∥”这个说法对吗？提示：不对，若＝，则、均可以是任意向量，所以、不一定平行．平面几何中平行的传递性：∥，且∥，则∥，在向量的平行中并不适用．解题时我们也要充分考虑的特殊性．[课前反思]()向量的概念：；()有向线段：；()向量的表示方法：；()零向量：；()单位向量：；()相等向量：；()平行向量(共线向量)：．讲一讲．下列说法正确的有．(填序号)①若＝，则与的长度相等且方向相同或相反；②若＝，且与的方向相同，则＝；③由于方向不确定，故不能与任意向量平行；④向量与向量平行，则向量与方向相同或相反；⑤起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．。

平面向量的物理背景及根本概念教学目标：1 .了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示.2 .掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量和单位向量等概念.3 .通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中向量和数量的区别.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学方法：自主学习，合作探究.教学过程：一、新课引入在物理学中，位移是既有大小又有方向的量.那么，你还能举出一些这样的量吗？解析：教材图示：重力，浮力，弹力，速度，加速度.阅读教材74—76面，完成?世纪金榜?自主预习局部二、根底知识讲解向量与数量的概念向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.提问：时间，路程，功是向量吗？速度，加速度是向量吗？有向线段概念：带有方向的有向线段.〔在三角函数线那里提到过〕三要素：起点，方向和长度.uuur uuur示范：有向线段AB，CD向量的有关概念〔1〕向量的表示方法：uuur uuur①有向线段：AB，CDrr r②小写英文字母：a，b，c，......注意：在字母上方打〔2〕向量的模长：〔3〕用模长定义的r1①单位向量：a图示：长度为1的一r②零向量：b图示：一个点.注意：零向量的方向是任意的，r arb三、课堂练习即时小测：有以下物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速.其中可以看成是向量的有( )个个个个2.向量a 如下列图，以下说法不正确的选项是 ()uuuurB.方向是由M 指向NA.也可以用MN 表示C.起点是MD.终点是M uuuuruuuur uuuur3.假设点M 是△ABC的外心，那么向量 AM ，BM ，CM 是()A.有共同起点的向量B.相等向量C.共线向量D.模相等的向量知识点4概念〔1〕平行向量：方向相同或相反的两个非零向量叫做平行向量.rrr r式子：假设向量a 与b 平行，记作：a//b.r r规定：零向量与任一向量平行，即：0//a.〔2〕相等向量：长度相等且方向相同两个向量叫做相等向量.rrr rrrr r式子：假设向量a 与b 相等，记作：ab.〔a//b ，a b 〕.注意：相等向量一定是平行向量，反之不一定成立 .3〕共线向量：因为任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以，平行向量也叫做共线向量.练习1如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心.分别写出图中与uuuruuuruuurOA ，OB ，OC 相等的向量.〔教材76面例2〕uuur uuur uuur uuur 思考：向量OA与FE相等吗？向量OB与AF相等吗？补充：1.假设四边形ABCD为平行四边形，那么uuur〔1〕与AB平行的向量有.uuur.〔2〕与AB相等的向量有2.四边形ABCD，那么uuuruuur uuuruuur①四边形ABCD为平行四边形AB//DC，BC//AD.②四边形ABCD为平行四边形uuur uuur uuur uuur AB DC〔或BC AD〕.作业：教材77面A组，第2,3题。

向量的几何表示教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。

平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。

一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。

所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。

由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。

2.教学目标设置课堂教学目标如下.（1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；（4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力；3.学生学情分析（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示；（3）已经经历并了解实数的形成过程；（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。

但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。

必修四第二章平面向量2.1向量的概念及表示教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。

【知识要点】．1．向量的有关概念⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶且的向量叫相等向量．【预习自测】1.下列各量中不是向量的是（）.浮力B.风速C.位移D.密度2.下列说法中错误．．的是（）A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为C.零向量与任一向量平行.零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A.一条线段B.一段圆弧.圆上一群孤立点.一个单位圆4.下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a ≠b ，则|a |≠|b |. 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．下列命题中，正确的是（ ）A . 若a b =，则a b =B . 若a b =，则//a bC . 若a b >，则a b >D . 若1a =，则1a =【归纳反思】【巩固提高】6.在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（ ）A . 与共线B . 与共线 . 与相等 D . 与相等7.已知非零向量a ∥b ，若非零向量c ∥a ，则c 与b 必定 .8.已知a 、b 是两非零向量，且a 与b 不共线，若非零向量c 与a 共线，则c 与b 必定 . 9.已知||=1，| |=2，若∠BAC =60°，则||= .10.在四边形ABCD 中， AB =，且|AB |=|AD |，则四边形ABCD 是 .参考答案知识要点：（1）大小、方向长度为0 长度等于1个单位（2）方向相同或相反的非零向量平行（3）长度相等方向相同预习自测:1.D2.A3.D4.A5.B巩固提高：6.B7.c∥b8.不共线310.菱形。

第2章 平面向量2.1 向量的概念及表示1. 预习目标(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等概念；(2)掌握向量的表示方法；(3)能在图形中辨认共线向量与相等向量，能用有向线段表示已知向量．2. 预习提纲(1)复习物理中位移、速度、力和几何中有向线段等概念，理解平面向量的含义．(2)阅读课本P57-58,思考下列内容：①向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．②向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．符号AB 表示以A 为起点，B 为终点的向量．向量也可以用小写字母a ，b ，c等表示．③向量的模：向量AB 的大小称为向量的长度或向量的模，记作|AB |．④向量的其他概念及表示方法．3. 典型例题(1) 向量的有关概念例1 给出下列命题： ①若a =b ，则a b =；②若a <b ，则a b <；③若a =b ，则a ∥b ；④若a ∥b ，则a =b ；⑤若a =0，则a =0；⑥若a =b ，则a =b ．其中正确命题的序号是 ．分析：解答本题可借助于相等向量、共线向量的概念等基本知识逐一进行判断．解：由相等向量定义可知，若a =b ，则a ，b 的模相等，方向相同，故①不正确，⑥正确． a <b 知模的大小，而不能确定方向，故②不正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故③正确，④不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0，故⑤不正确．所以答案为③⑥．点评：此类题目关键是理解、区分向量的有关概念，从向量的长度与方向两方面认识向量，可举特例选择．(2) 共线向量与相等向量方向相同或相反的的非零向量为平行向量，零向量与任意向量平行．在图形中要能识别共线向量与相等向量．例2 如图：EF 是△ABC 的中位线，AD 是△ABC 的BC 边上的中线，以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中(1)与向量共线的向量有哪几个？请分别写出这些向量；(2)与向量DF 的模一定相等的向量有哪几个？请写出这些向量；(3)写出与向量DE 相等的向量．分析：根据共线向量与相等向量的定义即可解决．解：(1)与共线的向量有7个，它们分别是； (2)与向量的模一定相等的向量有5个，它们分别是，； (3)如图，DE ==FA .(3) 向量的应用例3 若AB AD =且BA CD =，判断四边形ABCD 的形状.分析：先由BA CD =得出四边形为平行四边形，再由AB AD =得出结论．解：由BA CD =知BA ∥CD 且BA =CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形， 又因为AB AD =，所以四边形ABCD 为菱形． 点评：BA CD =隐含BA ∥CD 与BA =CD 两方面，一般，判断四边形的形状需要判断对边与邻边的关系．4. 自我检测(1) 判断下列说法是否正确： ①若两个向量相等，则它们的起点和终点重合；②若a 、b 都是单位向量，则a b =；③物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量； ④不相等的向量一定不平行；⑤若a 平行b ，b 平行c ，则a 平行c ；⑥零向量没有方向；⑦零向量与任何向量都平行；⑧零向量的方向是任意的； ⑨向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑩有向线段就是向量，向量就是有向线段．(2) 思考讨论：①所有的单位向量都相等吗？②AB ∥CD 与AB ∥CD 一样吗？③向量、能不能用不等号将它们连接起来？即能表示为＞或＜吗？三、课后巩固练习A组1．给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量.其中，正确命题的个数是．2．以下各物理量：速度、位移、力、功，不能称之为向量的是．3．向量OE的长度记作_____；0的模是_____，i是单位向量，则||i的值是____．a )平行的向量中，不相等的单位向量有_____个．4．与非零向量a(15．已知a、b为不共线的非零向量，且存在向量c，使c∥a，c∥b，则c=_______．6．在直角坐标系中，已知OP=2，则点P构成的图形是_______．7．如图在正六边形ABCDEF中，Ｏ为中心，(1)与OF相等的向量有；(2)与DC共线的向量有；(3)与BA的模相等且反向的向量有．8．直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)，(5，2)，试画出两个与向量AB不相等且又共线的向量．B组9.在直角坐标系中，画出向量a：a=5，a的方向与x轴正向的夹角是30°，与y轴正方向的夹角是120°．10. 如图，D、E、F分别是△A BC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形．分别写出：(1)与共线的向量；(2)与共线的向量；(3)与相等的向量；(4)与FE相等的向量．11. 一架飞机从A 点向西北飞行200km 到达B 点，再从B 点向东飞行到达C 点，再从C 点向东偏南30°飞行了km 到达D 点．问D 点在A 点的什么方向，距A 点有多远？12．右图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法，如图，马可从A 跳到A 1，也可跳到A 2，用向量12,AA AA 表示马走了“一步”，试在图中画出马在B ,C 处走“一步”的所有情况．13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为 ．。

平面向量的实际背景及基本概念教材分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。

向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。

因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。

之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。

本章共分五大节。

第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。

本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。

在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。

教学目标：、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学过程：一、情景设置：如图，老鼠由向西北逃窜，猫在处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）、数量与向量有何区别？、如何表示向量？、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？、长度为零的向量叫什么向量？长度为的向量叫什么向量？、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？、如果把一组平行向量的起点全部移到一点，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小..向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作. .有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.、零向量、单位向量概念：①长度为的向量叫零向量，记作的方向是任意的.注意与的含义与书写区别.②长度为个单位长度的向量，叫单位向量. (起点) （终点）。