2019版一轮同步优化探究文数(北师大版)练习：第三章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 含解

课时作业 A 组——基础对点练1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．答案：C2．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1,1)解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y2，cos π4＝x2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1,1)．答案：D3．已知弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1解析：由题设知，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1.答案：C4．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513C.513D.1213解析：根据题意，α终边上设点P (－12,5)，∴cos α＝－1213，故选A.答案：A5．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，则θ＝116π.答案：C6．角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sinα<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：∵角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，∴角α的终边在第三象限．又P (m ，n )是角α终边上一点，故m <0，n <0.又|OP |＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ，m2＋n2＝10，解得m ＝－1，n ＝－3，故m －n ＝2.答案：A7．(2018·兰州模拟)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则实数m 的值为( )A.12 B ．±12C ．－32D.32解析：点P (－8m ，－6sin 30°)即P (－8m ，－3)，所以cos α＝－8m64m2＋9，即－8m64m2＋9＝－45，解得m 2＝14.又cos α＝－45＜0，所以m ＞0，所以m ＝12，故选A.答案：A8．(2018·泰安质检)若点A (m ，n )是240°角的终边上的一点(与原点不重合)，那么m －3n m ＋3n的值等于( )A.12 B ．－12 C ．2D ．－2解析：由三角函数的定义知tan 240°＝nm ，即nm＝3，于是m －3n m ＋3n＝1－3×nm 1＋3×n m＝1－3×31＋3×3＝－12.答案：B9．(2018·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π4D.11π6解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12，∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32.∴角α的最小正值为11π6.答案：D10．已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4解析：sin 3π4＝22，cos 3π4＝－22，P 在第四象限角平分线上．答案：D11．已知锐角α的终边过点P (1＋sin 50°，cos 50°)，则锐角α＝( )A ．80°B ．70°C ．10°D ．20°解析：由三角函数的定义得tan α＝y x ＝cos 50°1＋sin 50°＝sin 40°1＋cos 40°＝2sin 20°cos 20°2cos220°＝sin 20°cos 20°＝tan 20°，所以锐角α＝20°，故选D.答案：D12．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为__________．解析：设此扇形的半径为r ， 由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：6π13．(2018·无锡调研)已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．解析：根据三角函数定义可知tan α＝－35＝－6x，解得x ＝10.答案：1014．满足cos α≤－12的角α的集合为________．线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区解析：作直影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为域(图中阴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z .15．已知某扇形所在圆的半径为R ，且该扇形的面积为R 2，那么这个扇形的圆心角的弧度数α(0<α<2π)是__________．解析：由题意得，12αR 2＝R 2，所以α＝2. 答案：2B 组——能力提升练1．(2018·长沙市模拟)某班级有一个学生A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，在学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B ，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B “感觉”到学生A的运动是( )A ．逆时针方向匀速前跑B ．顺时针方向匀速前跑C ．顺时针方向匀速后退D ．静止不动解析：令操场的周长为C ，则学生B 每隔50秒看一次，学生A 都距上一次学生B 观察的位置C26(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B “感觉”到学生A 的运动是顺时针方向匀速后退的．答案：C2．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 2×180°＋45°，k∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4×180°＋45°，k∈Z ，那么()A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2×180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4×180°＋45°，k∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .答案：B3．(2018·龙岩模拟)下列各选项中正确的是( )A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223π>0D ．sin 10<0解析：300°＝360°－60°，则300°是第四象限角； －305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；因为－223π＝－8π＋23π，所以－223π是第二象限角；因为3π<10<72π，所以10是第三象限角．故sin 300°<0，cos(－305°)>0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223π<0，sin 10<0.答案：D4．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( )A.3B ．±3C ．－2D ．－3解析：依题意得cos α＝x x2＋5＝24x ，x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 答案：D5．若点P (－sin α，cos α)在角β的终边上，则β＝( )A ．α＋π2＋2k π，k ∈ZB ．α＋2k π，k ∈ZC ．－α＋π2＋2k π，k ∈ZD ．－α＋2k π，k ∈Z答案：A6．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12解析：设α＝∠POQ ，由三角函数定义，x ＝cos α＝cos 23π＝－12，y ＝sin α＝sin 23π＝32.答案：A7．已知角θ的终边过点(2sin 2π8－1，a )，若sin θ＝23sin 13π12cos π12，则实数a 等于( )A ．－6B ．－62 C ．±6D ．±62解析：2sin 2π8－1＝－cos π4＝－22，23sin 13π12cos π12＝－32，∵角θ的终边过点(2sin 2π8－1，a )，sin θ＝23sin 13π12cos π12，∴a 12＋a2＝－32，∴a ＝－62.答案：B8．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝( )A.247 B ．－247C.127D ．－127解析：由三角函数的定义可得cos α＝xx2＋42，∵cos α＝15x ，∴xx2＋42＝15x ，又α是第二象限角，∴x ＜0，故可解得x ＝－3，∴cos α＝－35，sin α＝1－cos2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan α2＝247.故选A.答案：A9．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，则sin θcos θ<0.又由sin θ－cos θ>1知sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．答案：B10．已知角α的终边经过一点P (x ，x 2＋1)(x >0)，则tan α的最小值为( )A ．1B ．2C.12D.2解析：tan α＝x2＋1x ＝x ＋1x ≥2x·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，即tan α的最小值为2.故选B.答案：B11．在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，则Q 点的横坐标为( )A ．－7210B ．－325C ．－7212D ．－8213解析：设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45，则x Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22－45×22＝－7210.答案：A12．(2018·南昌质检)如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )解析：∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝－π4.∵角速度为1，∴按逆时针旋转时间t 后，得∠POP 0＝t ，∴∠POx ＝t －π4.由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，因此d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4.令t ＝0，则d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2，当t ＝π4时，d ＝0，故选C.答案：C13．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为__________．解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r <R )，则12αr212αR2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR＝1∶2.答案：1∶214．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是__________．解析：由已知θ＝2k π＋8π5(k ∈Z)．所以θ4＝kπ2＋2π5(k ∈Z)．由0≤kπ2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165.因为k ∈Z ，所以k ＝0,1,2,3.所以θ4依次为25π，910π，75π，1910π.答案：25π，910π，75π，1910π15．若角α是第三象限角，则α2在第__________象限．解析：因为2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z)，所以k π＋π2<α2<k π＋34π(k ∈Z)．精选中小学试题、试卷、教案资料当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π2<α2<2n π＋34π， α2是第二象限角，当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋3π2<α2<2n π＋74π， α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角． 答案：二或第四16．顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于A ，B 两点，若α＝30°，β＝60°，则弦AB 的长为__________．解析：由三角函数的定义得A (cos 30°，sin 30°)，B (cos 60°，sin 60°)，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32. 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－122 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－12＝6－22. 答案：6－22。

第章 三角函数、解三角形第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数[考纲传真] (教师用书独具)1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(对应学生用书第47页)[基础知识填充]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．(4)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)公式：3.[设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx (y ≠0)．2．单位圆上任意一点可设为(cos θ，sin θ)(θ∈R )． 3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α＜α＜tan α.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )(3)三角形的内角必是第一、第二象限角．( ) (4)角α的三角函数值与终边上点P 的位置无关．( ) (5)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√ 2．若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，则角θ的终边在第四象限，故选D ．]3．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，则sin α＝( )A ．32 B ．±32 C ．22D ．±22B [由题意知|r |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，所以y ＝±32.由三角函数定义知sin α＝y ＝±32.]4．已知圆的一条弦的长等于半径长，则这条弦所对的圆心角的大小为________弧度．π3 [∵弧长等于半径长．∴该弦与两半径构成的三角形为正三角形． 故该弦所对的圆心角的大小为π3.]5．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角． 四 一 [∵3 900°＝10×360°＋300°，∴3 900°是第四象限角． ∵－1 000°＝－3×360°＋80°，∴－1 000°是第一象限角．](对应学生用书第48页)(1)若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角(2)终边在直线y＝3x上的角的集合是________．(1)C(2){β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}[(1)∵α是第二象限角，∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．(2)如图，直线y＝3x过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．][跟踪训练] (1)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎭⎪⎬⎪x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.【导学号：79140099】(1)B (2)－675°或－315° [(1)法一：由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B ．法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数； 而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B ．(2)由终边相同的角的关系知β＝k ·360°＋45°，k ∈Z ， 所以取k ＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，∴扇形的圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．cm 2.(2)如图3-1-1，已知扇形的圆心角α＝120°，弦AB 长12 cm ，则该扇形的弧长l ＝________ cm.图3-1-1(1)360π (2)833π [(1)由弧长公式l ＝|α|r ，得r ＝20100π180＝36π，∴S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π. (2)设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝43， ∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.]◎角度1 三角函数定义的应用(2017·河南八市联考)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m ＞0)是角α终边上的一点，则2sin α＋cos α＝________. 25[∵|OP |＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |＝5m (m ＞0)， ∴sin α＝3m 5m ＝35，cos α＝－4m 5m ＝－45， ∴2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.] ◎角度2 三角函数值符号的判定若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角C [由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而可判断角α为第二或第三象限角．由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，从而可判断角α为第三或第四象限角． 综上可知，角α为第三象限角．] ◎角度3 三角函数线的应用函数y ＝2cos x －1的定义域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) [∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．][跟踪训练] (1)(2018·陕西质检(一))已知角α的终边过点P (4，－3)，则cos ⎝ ⎭⎪⎫α＋π4的值为( ) A ．－7210 B ．7210 C ．－210D ．210(2)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为()【导学号：79140100】A．－12B．12C．－32D．32(1)B(2)B[(1)∵角α的终边过点P(4，－3)，∴r＝5，由三角函数的定义得sin α＝－35，cos α＝45，∴cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos α cosπ4－sin α sinπ4＝45×22－⎝⎛⎭⎪⎫－35×22＝7210，故选B．(2)∵r＝64m2＋9，∴cos α＝－8m64m2＋9＝－45，∴m＞0，∴4m264m2＋9＝125，因此m＝12.]。

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1 任意角和弧度制及任意角的三角函数［课时跟踪检测］［基础达标]1．下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ＋45°（k∈Z) B．k·360°＋错误!π（k∈Z）C．k·360°－315°（k∈Z）D．kπ＋错误!（k∈Z)解析：与错误!的终边相同的角可以写成2kπ＋错误!(k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案C正确．答案：C2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A．sinα＋cosα＜0 B．tanα－sinα＜0C．cosα－tanα＜0 D．tanαsinα＜0解析：在第三象限，sinα＜0,cosα＜0，tanα＞0，则可排除A，C，D 三项．答案：B3．已知角α的终边经过点P（－4a,3a)(a＜0)，则2sinα＋cosα的值为（）A．－错误!B．错误!C．0 D．错误!或－错误!解析：因为x＝－4a,y＝3a(a＜0),所以r＝－5a，所以sinα＝－错误!，cosα＝错误!，2sinα＋cosα＝2×错误!＋错误!＝－错误!.故选A.答案：A4．sin1，cos1,tan1的大小关系是( )A．sin1＜cos1＜tan1 B．tan1＜sin1＜cos1C．cos1＜tan1＜sin1 D．cos1＜sin1＜tan1解析:如图,单位圆中∠MOP＝1 rad＞错误! rad。

课时作业 A 组——基础对点练1．若cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α等于( ) A ．－24B.24C ．－2 2D ．2 2解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－232， ∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.答案：C2．sin(－600°)的值为( ) A.32B.22 C ．1D.33 解析：sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin 120°＝32. 答案：A3．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25B ．－15C.15D.25解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α， ∴cos α＝15.故选C.答案：C4．已知角α(0°≤α＜360°)终边上一点的坐标为(sin 235°，cos 235°)，则α＝( ) A ． 215° B ．225° C ．235°D ．245°解析：由诱导公式可得sin 235°＝－sin 55°＜0，cos 235°＝－cos 55°＜0，角α终边上一点的横坐标、纵坐标均为负值，故该点在第三象限，由三角函数定义得sin α＝cos 235°＝－cos 55°＝sin(270°－55°)＝sin 215°，又0°≤α＜360°，所以角α的值是215°，故选A. 答案：A5．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1解析：∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝1 －2sin αcos α＝2，∴2sin α·cos α＝－1，∴sin 2α＝－1.故选A. 答案：A6．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：∵b ＝cos 55°＝sin 35°＞sin 33°＝a ， ∴b ＞a .又∵c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°＞sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c ＞b .∴c ＞b ＞a .故选C. 答案：C7．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α＝( )A.32B ．－32 C.12 D ．－12解析：因为2tan α·sin α＝3，所以2sin 2αcos α＝3，所以2sin 2α＝3cos α，即2－2cos 2α＝3cos α，所以cos α＝12或cos α＝－2(舍去)，又－π2<α<0，所以sin α＝－32. 答案：B8．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：原式可化为sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，分子、分母同除以cos θ得tan θ＋1tan θ－1＝12，求得tan θ＝－3，故选D. 答案：D9．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A.23B ．－23C.13 D ．－13解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4.故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B. 答案：B10．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 答案：D11.cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝________.解析：原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.答案： 312．化简：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝_________________________________. 解析：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α. 答案：－cos 2α13．若角θ满足2cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos θ2sin (π＋θ)－3cos (π－θ)＝3，求tan θ的值． 解析：由2cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos θ2sin (π＋θ)－3cos (π－θ)＝3，得2sin θ＋cos θ－2sin θ＋3cos θ＝3，等式左边分子分母同时除以cosθ，得2tan θ＋1－2tan θ＋3＝3，解得tan θ＝1. B 组——能力提升练1．若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝( )A ．－3B ．3C ．－95D.95解析：∵1＋cos αsin α＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋(2sin α－1)2＝1⇒5sin 2α－4sin α＝0⇒sin α＝45或sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95.故选C.答案：C2．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎫2 015π2－2α的值为( ) A.45 B ．－45C ．2D ．－12解析：由题意可得tan α＝2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2 015π2－2α＝－sin 2α ＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan αtan 2α＋1＝－45.故选B.答案：B3．(2018·长沙模拟)若sin θ，cos θ是方程 4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：由题意知，sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m 4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.答案：B4．已知t an θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( ) A ．－43B.54 C ．－34D.45解析：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，把tan θ＝2代入得，原式＝4＋2－24＋1＝45.故选D. 答案：D5．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin θ·cos θ＝3716，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74D.34解析：∵sin θ·cos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74 ①， sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.答案：D6．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A.103B ．－103C.1013 D ．－1013解析：直线x －3y ＋1＝0的斜率为13，因此与此直线垂直的直线的斜率k ＝－3，∴tan θ＝－3，∴23sin 2θ－cos 2θ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)3sin 2θ－cos 2θ＝2(tan 2θ＋1)3tan 2θ－1，把tan θ＝－3代入得，原式＝2×[(－3)2＋1]3×(－3)2－1＝1013. 答案：C7．4sin 80°－cos 10°sin 10°＝( )A. 3 B ．－ 3 C. 2D ．22－3解析：4sin80°－cos 10°sin 10°＝4sin 80°sin 10°－cos 10°sin 10°＝2sin 20°－cos 10°sin 10°＝2sin (30°－10°)－cos 10°sin 10°＝－3，故选B.答案：B8．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( ) A.12 B.32C ．0D ．－12解析：由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎫ 236π＝f ⎝⎛⎭⎫116π＋2π＝f ⎝⎛⎭⎫116π＝f ⎝⎛⎭⎫π＋56π ＝f ⎝⎛⎭⎫56π＋sin 56π.因为当0≤x ＜π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫236π＝0＋12＝12. 答案：A9．已知锐角θ满足sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫θ＋5π6的值为( ) A ．－19B.459 C ．－459D.19解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝23，由θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得θ2＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π12，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝53，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝459，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝－459.故选C. 答案：C10．tan θ和tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ是方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 之间的关系是( ) A ．p ＋q ＋1＝0 B ．p －q －1＝0 C ．p －q ＋1＝0D ．p ＋q －1＝0解析：依题意有p ＝－⎣⎡⎦⎤tan θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，q ＝tan θ·tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，化简得p ＝－tan 2θ＋1tan θ＋1，q ＝tan θ－tan 2θ1＋tan θ，故p －q ＝－1，即p －q ＋1＝0.故选C.答案：C11．已知α为锐角，若sin 2α＋cos 2α＝－15，则tan α＝( )A ．3B ．2 C.12D.13解析：因为sin 2α＋cos 2α＝－15，所以两边平方可得1＋2sin 2αcos 2α＝125，即sin 2αcos 2α＝－1225，所以联立sin 2α＋cos 2α＝－15，可得sin 2α＝35，cos 2α＝－45，所以tan 2α＝－34，再由tan 2α＝2tan α1－tan 2α，得tan α＝3或tan α＝－13，因为α为锐角，所以tan α>0，所以tan α＝3，故选A. 答案：A12．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 答案：－113．(2018·泰安模拟)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，求sin θ＋cos θ的值． 解析：法一：由tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，得1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13，则cos θ＝－3sin θ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得10sin 2θ＝1.∵θ为第二象限角，∴sin θ＝1010，cos θ＝－31010，∴sin θ＋cos θ＝－105. 法二：由于θ在第二象限，且tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12， 因而sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－55， 因而sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－105.。

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3．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数[基础送分提速狂刷练］一、选择题1．给出下列四个命题：①－错误!是第二象限角；②错误!是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析①中－错误!是第三象限角，故①错．②中错误!＝π＋错误!，从而错误!是第三象限角,故②正确．③中－400°＝－360°－40°,从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C.2．sin2·cos3·tan4的值（）A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A解析∵错误!〈2〈3<π<4〈错误!，∴sin2〉0，cos3〈0，tan4〉0。

∴sin2·cos3·tan4〈0.故选A.3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（)A．1 B．4 C．1或4 D．2或4答案C解析设此扇形的半径为r，弧长是l，则错误!解得错误!或错误!从而α＝错误!＝错误!＝4或α＝错误!＝错误!＝1.故选C.4．若错误!〈θ〈错误!，则下列不等式成立的是( )A．sinθ>cosθ〉tanθB．cosθ〉tanθ〉sinθC．sinθ>tanθ〉cosθD．tanθ〉sinθ〉cosθ答案D解析∵错误!〈θ〈错误!，∴tanθ>1，sinθ－cosθ＝错误!sin错误!.∵错误!〈θ〈错误!，∴0<θ－错误!〈错误!，∴sin错误!>0，∴sinθ>cosθ.故选D.5．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C〈0，则△ABC的形状是（) A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定答案B解析∵△ABC中每个角都在（0，π)内,∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.若B，C同为锐角，则cos B·tan C〉0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B.6．（2018·永昌县期末）已知角α的终边经过点(3a,4a)(a≠0）,则sinα＋cosα的值为（）A。

课时作业组——基础对点练．若α＝，α∈，则α等于( )．－．－．解析：∵α∈，∴α＝－＝－＝－，∴α＝α α)＝－.答案：．(－°)的值为( )．解析：(－°)＝(－°＋°)＝°＝.答案：．已知＝，那么α＝( )．－．－解析：∵＝＝α，∴α＝.故选.答案：．已知角α(°≤α＜°)终边上一点的坐标为( °， °)，则α＝( )．°．°．°．°解析：由诱导公式可得°＝－°＜，°＝－°＜，角α终边上一点的横坐标、纵坐标均为负值，故该点在第三象限，由三角函数定义得α＝°＝－°＝(°－°)＝°，又°≤α＜°，所以角α的值是°，故选.答案：．已知α－α＝，α∈(，π)，则α＝( )．－．－．解析：∵α－α＝，∴( α－α)＝－αα＝，∴α·α＝－，∴α＝－.故选.答案：．设＝ °，＝ °，＝ °，则( )．>>．>>．>>．>>解析：∵＝°＝°＞°＝，∴＞.又∵＝°＝° °)＞°＝°＝，∴＞.∴＞＞.故选.答案：．已知α·α＝，－<α<，则α＝( )．－．－解析：因为α·α＝，所以α)＝，所以α＝α，即－α＝α，所以α＝或α＝－(舍去)，又－<α<，所以α＝－.答案：．若θ＋(π＋θ()＝，则θ＝( )．－．．．－解析：原式可化为θ＋θ θ－θ)＝，分子、分母同除以θ得θ＋θ－)＝，求得θ＝－，故选.答案：．已知函数()＝(π＋α)＋(π＋β)，且()＝，则( )的值为( )．．－．－．解析：∵()＝(π＋α)＋(π＋β)＝α＋β＝，∴( )＝( π＋α)＋( π＋β)＝(π＋α)＋(π＋β)＝－α－β＝－( α＋β)＝－.答案：。

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第三章第三节三角函数的图像与性质含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练1．以下函数中，最小正周期为 π且图像对于原点对称的函数是 () A ． y ＝cos 2x ＋ πB ．y ＝sin 2x ＋π22C ． y ＝sin 2x ＋ cos 2xD ．y ＝sin x ＋ cos x分析： y ＝cos 2x ＋ π T ＝ 2π2 ＝－ sin 2x ，最小正周期 2 ＝ π，且为奇函数，其图像关π于原点对称，故 A 正确； y ＝ sin 2x ＋2 ＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图像对于 y 轴对称，故 B 不正确； C ，D 均为非奇非偶函数，其图像不对于原点对称，故 C ，D 不正确．答案： A．已知函数 ωxω 在区间πy ＝sin 0， 上为增函数，且图像对于点 (3 π，0)对2 ( >0)2称，则 ω的取值会合为 ( )121 1A. 3，3，1B. 6， 3C. 1，2D. 1， 2 3 36 3π π0<ω≤1，分析：由题意知 2ω≥2，即k此中 k ∈ Z ，则 ω＝1，ω＝2或ω 3ωπ＝ k π，ω＝ 3，3 31 2＝ 1，即 ω的取值会合为 3， 3， 1 . 答案： A3．(2018 ·长春调研 )函数 f(x)＝ (sin x ＋ cos x)2 图像的一条对称轴方程是 ()ππA ． x ＝ 4B ．x ＝3πC ． x ＝2D ．x ＝π分析： f(x)＝(sin x ＋ cos x)2＝sin2＋2 ＋＝ ＋ sin 2x ，将各选项代入x cos x2sin xcos x 1π考证可知，当 x ＝4时， f(x)获得最值，应选 A.答案： A。

第章三角函数、解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数[考纲传真](教师用书独具).了解任意角的概念和弧度制的概念.能进行弧度与角度的互化.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．角的概念的推广()定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．()分类错误!()终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝{ββ＝α＋·°，∈}．()象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．．弧度制的定义和公式()定义：在单位圆中，长度为的弧所对的圆心角称为弧度的角，它的单位符号是.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是.()公式：.[设(，)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点的距离为，则α＝，α＝，α＝(≠)．．单位圆上任意一点可设为( θ，θ)(θ∈)．．若α∈，则α＜α＜α.[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()小于°的角是锐角．( )()锐角是第一象限角，反之亦然．( )()三角形的内角必是第一、第二象限角．( )()角α的三角函数值与终边上点的位置无关．( )()终边相同的角的同一三角函数值相等．( )()若α为第一象限角，则α＋α＞.( )[答案]()×()×()×()√()√()√．若θ＞，且θ＜，则角θ的终边所在象限为( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限[由θ>，θ＝θθ＜得θ＜，则角θ的终边在第四象限，故选．]。

课时作业 A 组——基础对点练1．设sin(π－θ)＝13，则cos 2θ＝( )A ．±429B.79 C ．－429D ．－79解析：因为sin(π－θ)＝sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝79，故选B.答案：B2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：B3．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17 B.16 C.57D.56解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.答案：A4．(2018·西安质量检测)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12 C.32D ．－12解析：sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋(－cos 45°)·sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.答案：B5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－78，则sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值为( ) A.14 B.78 C ．±14D ．±78解析：因为cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝78，所以有sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝12⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝12⎝⎛⎭⎫1－78＝116，从而求得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值为±14，故选C. 答案：C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，∴cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 答案：C7．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan(α＋π4)的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．－1或3解析：∵2sin 2α＝1＋cos 2α， ∴4sin αcos α＝1＋2cos 2α－1， 即2sin αcos α＝cos 2α，①当cos α＝0时，α＝k π＋π2，此时tan(α＋π4)＝－1，②当cos α≠0时，tan α＝12，此时tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝3，综上所述，tan(α＋π4)的值为－1或3.8．已知sin 2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A.16 B.13 C.12D.23解析：cos(α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. 答案：A9．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝( ) A ．－78B ．－14C.14D.78解析：cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78.答案：A10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝15，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α的值是( ) A.2325 B.15 C ．－15D ．－2325解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝15，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝2325. 答案：A11．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：两边平方，再同时除以cos 2α，得3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan 2α，得到tan 2α＝－34.12．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2 θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 答案：D13．已知tan α＝3，则cos 2α＝________. 解析：cos 2α＝2cos 2 α－1＝2·cos 2αsin 2α＋cos 2α－1＝2×1tan 2α＋1－1＝－45. 答案：－4514．(2018·长沙市模拟)已知α－β＝π3，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为________．解析：由tan α－tan β＝sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＝sin (α－β)cos αcos β＝3，解得cos αcos β＝36，又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，所以sin αsin β＝12－36，所以cos(α＋β)＝33－12.答案：33－1215．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是__________． 解析：∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π16．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是__________． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435， ∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，∴32sin α＋32cos α＝435，即32sin α＋12cos α＝45， 故sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6 ＝－⎝⎛⎭⎫32sin α＋12cos α＝－45.答案：－45B 组——能力提升练1．(2018·洛阳市模拟)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：a ＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°， c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°， ∵sin 13°＞sin 12°＞sin 11°， ∴a ＞c ＞b . 答案：D2． (2018·吉林大学附中检测)若α∈(π2，π)，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－356 B ．－16C ．－3518D ．－1718解析：∵3cos 2α＝sin(π4－α)，∴3(cos 2α－sin 2α)＝－22(sin α－cos α)，易知sin α≠cos α，故cos α＋sin α＝26，1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D. 答案：D3．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D.π4<β<α 解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.答案：B4．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A.π4 B.π3 C.π2D.3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan β·tan C ＝1－2，所以tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1.由已知，有tan A ＝－tan(B ＋C )，则tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A5．(2018·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝( ) A.1＋358B.1＋538C.1－358D.1－538解析：由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A. 答案：A6．(2018·贵阳监测)已知sin(π6－α)＝13，则cos[2(π3＋α)]的值是( )A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：∵sin(π6－α)＝13，∴cos(π3－2α)＝cos[2(π6－α)]＝1－2sin 2(π6－α)＝79，∴cos[2(π3＋α)]＝cos(2π3＋2α)＝cos[π－(π3－2α)]＝－cos (π3－2α)＝－79.答案：D7．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ① 由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725， ② 由①②可得cos α＋sin α＝－15，③由①③可得sin α＝35.答案：C8．已知sin(π6－α)＝cos(π6＋α)，则cos 2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：∵sin(π6－α)＝cos(π6＋α)，∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即(12－32)sin α＝－(12－32)cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2 α－sin 2α＝cos 2 α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 答案：D9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 B.⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 C.⎣⎡⎦⎤－π3，2π3 D.⎣⎡⎦⎤－π6，5π6 解析：由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋π4＝22·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)，所以函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12，7π12，故选A. 答案：A10．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α－3π10＋π2sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cos π5cos π5－sinπ5＝3sin π5sin π5＝3，故选C. 答案：C11．若tan α＝3，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210B.210C.5210D.7210解析：sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝22×⎣⎡⎦⎤35＋⎝⎛⎭⎫－45＝－210. 答案：A12．已知1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝12，则tan θ＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析：因为1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ22sin θ2cos θ2＋2sin2θ2＝2cos θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22sin θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝1tan θ2＝12， 所以tan θ2＝2，于是tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.答案：D13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝__________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23>0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案：2－15614．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝__________. 解析：由题意得tan α＋ tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，故α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3.答案：－2π315．(2018·邢台摸底考试)已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________.解析：依题意得tan α＝12，tan β＝tan[(β－α)＋α]＝tan (β－α)＋tan α1－tan (β－α)·tan α＝17.答案：1716．已知0<θ<π，tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________. 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－43sin θ， ∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝259sin 2θ＝1，∵0<θ<π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－15.答案：－15。

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课时分层作业十八任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题（每小题5分，共35分）1.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关;④若sin α=sinβ,则α与β的终边相同;⑤若cos θ〈0，则θ是第二或第三象限的角。

其中正确命题的个数是(）A.1B.2 C。

3 D。

4【解析】选A.第二象限角不一定大于第一象限角,如361°是第一象限角,100°是第二象限角，而361°>100°，故①错误;三角形内角可以是直角,直角既不是第一象限角也不是第二象限角,故②错误；角的大小只与旋转量与旋转方向有关，而与扇形半径大小无关,故③正确;若sin α=sinβ，则α与β的终边有可能相同,也有可能关于y轴对称，故④错误；若cos θ<0,则θ不一定是第二或第三象限角,θ的终边有可能落在x轴的非正半轴上，故⑤错误.2.某人从家步行到学校,一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是 ( )A.30°B。

第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．若sin α＜0且t an α＞0，则α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析 ∵sin α＜0，则α的终边落在第三、四象限或y 轴的负半轴；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限． 答案 C2．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于( )． A ．sin 12B ．π6C ．1sin12D ．2sin 12解析 设圆的半径为r ，由题意知r ·sin 12＝1，∴r ＝1sin 12，∴弧长l ＝α·r ＝1sin12.答案 C3．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( )．A ．sin θ2 B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ解析 因为θ是第二象限角，所以θ2为第一或第三象限角，所以tan θ2>0，故选C.答案 C4．(2014·西安模拟)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )．A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．7π4解析 由sin 3π4＞0，cos 3π4＜0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案 D 5．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的命题的个数是 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①正确，②不正确，∵sin π3＝sin 2π3，而π3与2π3角的终边不相同．③不正确．sin α＞0，α的终边也可能在y 轴的正半轴上． ④不正确．在三角函数的定义中，cos α＝xr＝x x 2＋y2，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立． 答案 A 二、填空题6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝______.解析 因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 答案 －87．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝____.解析 因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案 －358．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．解析 ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 三、解答题9．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来： ①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式 －180°≤α<180°的元素α写出来．解 (1)①S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；②S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.(2)终边在y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝k ·360°＋120°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°＋120°，k ∈Z }，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°. 10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解 (1)设圆心角是θ，半径是r ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍去)．∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1弧度． ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1 (cm)， ∴AB ＝2sin 1 (cm)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.答案 A 2．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝s in 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确． 答案 A二、填空题3．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝________. 解析 原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，由题意知角α的终边在第二、四象限，sin α与cos α的符号相反，所以原式＝0. 答案 0 三、解答题4．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k ＋1π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2s in α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0，cos α2＞0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。

3A 组基础达标、选择题已知弧度为2的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长是1C 丨由题设知，圆弧的半径r =击，选B.]将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是课时分层训练（十八） 任意角、弧度制及任意角的三角函数1.与角 9 n 才的终边相同的角可表示为 A. 2k n + 45°( k € Z)B.9k • 360°+ 彳冗(k € Z)C.k • 360°— 315°( k € Z) D. 5 nk n —— ( k €Z) 4C [；n = 9x 180°= 360°+ 45° 4 4=720°— 315°,9所以与角4冗的终边相同的角可表示为 k • 360°— 315°, k €乙］2.A. 2B. 2C.sin7D. 2sin 1 3.2.]所以圆心角所对的弧长I = 2r = •彳 sin 1 已知点P （cos a , tan a ）在第三象限，则角a的终边在（A.第一象限 C.第三象限B.第二象限 D.第四象限B ［由题意可得* costana <0, aV sin a > 0, 则｛ 所以角cos a < 0 ,的终边在第二象限，故4.【导学号：79140101】sin 2A B不正C.［将表的分针拨快应按顺时针方向旋转分针，故所形成的角为负角，故1 1确.因为拨快10分钟，所以转过的角的大小应为圆周的-，故所求角的弧度数为—-3[v cos a w 0, sin a > 0,• ••角a 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上.-9W 0, a +2>0,2 v a w 3.]=0( X w 0)上，贝y cos a — sin a = ______ . 1-［角a 的始边与X 轴非负半轴重合，终边在射线4X - 3y = 0(X w 0)上,5X 3• cos a =一 = 一二，sinrX25.已知角 a 的终边经过点(3a -9, a + 2)，且 cos aw 0, sin a > 0.则实数a 的取值范围是( A. (-2,3] B. (-2,3) C. [-2,3)D. [-2,3]6. (2018 •深圳二调)以角7.的顶点为坐标原点， 始边为X 轴的非负半轴，建立平面直角坐3 4 1贝V cos a — sin a =-「+ l =l•] 5 5 5 在(0,2 n )内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为f Tt4 ,［如图所示，找出在(0,2值，sin 亍=cos n 4 =¥, sin5 n5 n 2~4~ = cos ~4~ =-角函数线的变化规律找出满足题中条件的 5n 5n .]n )内，使 sin X = cos X三、解答题 9.已知角0 的终边上有一点 P ( x ,- 1)( X M 0)，且 tan 0=- x ，求 sin 0 + cos 0的值.二、填空题不妨令x = -3」y = -4,• r = 5,(2) 求a 所在的扇形弧长I 及弧所在的弓形的面积 S. ［解］(1)在厶 AOB 中 AB= OA= OB= 10, 所以△ AOB 为等边三角形.n因此弦AB 所对的圆心角a = y.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得 n10 nI = a • R= ~ X 10= ",3 3 '250 n-R =T又 S ^AOB = gOA OB- sin 才=25：；，'：311 .设0是第三象限角，且 A.第一象限角 C.第三象限角3 n 0B ［由于0是第三象限角，所以2k n + nV 0 V 2k n + ~^(k € Z) ,k n +专＜ k n+ 严(k € Z)；n" n n n A 3n又 cos ~2 =— cos-^，所以 cos ~2w 0,从而 2k n + —匕W2 k n — ( k € Z)，综【导学号：79140103】［解］因为 0的终 边过点(X , — 1)( x 丰0): ,所以又tan 0 =2—X ,所以 x = 1，即 x =± 1.当x = 1 时, sin 0 =—今,cos 0=学因此sin 0 + cos 0 = 0;当x =— 1 时，sin0 =—牙,cos 0 =— 2，因此sin 0+ cos0 =— 2.故sin0 +cos 0 的值为0或一•. 2.tan10.已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1) 求弦AB 所对的圆心角 a 的大小；所以弓形的面积| 0 cos7B.第二象限角 D.第四象限角S = S 扇形—— AOB = 50 =—cosy ,n A 3 n n上可知2k n + V 2 V 2k n H—( k € Z)，即—是第—象限角.]12.集合a k n + — W aW k n+三,k € Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()n n ■ n nC [当k = 2n( n € Z)时，2n n +a <2 n n +石，此时a表示的范围与—< a < —4 2 4 2一n n 表示的范围一样；当k= 2n+ 1(n€ Z)时，2n n + n+ — < a <2 n n + n + ?,此时an n表示的范围与n + — < a < n +㊁表示的范围一样.］O-)13. 在直角坐标系中，0是原点，A( 3, 1)，将点A绕0逆时针旋转90°到点B,则点B的坐标为 ________ . \ .【导学号：79140104】(—1, 3)［依题意知0A= 0B= 2,Z AOx= 30°,/ BOx= 120°,设点B 的坐标为(x, y)，贝U x = 2cos 120 ° =—1, y= 2sin 120 ° = 3，即B( —1, 3).］14. 已知sin a V 0, tan a > 0.(1) 求角a的集合；(2) 求终边所在的象限；2y(3) 试判断tan 2 sin ； cos ；的符号.［解］(1)由sin a V 0，知a在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan a > 0，知a在第一、三象限，故a角在第三象限，d、’ 3 n 、其集合为'a 2k n + n V a V 2k n + ? , k € Z 二(2)由2k n + n V a V 2k n + ^ , k€ Z,n a , 3 n得k n + — V V k n +〒,k € Z,故专终边在第二、四象限.(3)当三在第—象限时，tan — v 0, a a sin — >0, cos — v 0,所以tan —sin —cos 邑取正号；2 2 2a a当—在第四象限时，tan — v 0,• a 小 a 小sin — v 0, cos > 0,所以tan — sin -—cos—也取正号. ,,,, a a a 卄——因此，tan —sin —cos 取正号.。