2018年上海市新中高级中学高一年级第二学期(高一下)期中测试

上海市某重点中学2018-2018学年度第二学期高一语文期中试卷（满分100分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）注意事项：1.答卷前，考生务必在答题纸上用钢笔或签字笔将班级、姓名、学号等填写淸楚。

2.所有试题的答案必须全部写在答题纸上，写在试卷上一律不给分。

答题时应注意试题题号和答题纸题号一一对应，不能错位。

3．本试卷答题时间120分钟，满分100分。

一、默写及文学文化常识（8分）（一）默写及文学文化常识（8分）（每题1分）1、（1）《阿房宫赋》中描绘宫人生活起居的句子：，；，；，；，；，；辘辘远听，杳不知其所之也。

（2）借书满架，，，。

此句出自归有光的《》。

（3）辛弃疾，字，号。

《·》中用典丰富。

“，，？，，。

，，。

倩何人、唤取红巾翠袖，揾英雄泪。

”（4）《望洞庭湖赠张丞相》的作者是。

其颔联是，。

尾联是，。

（5）王之涣的《凉州词》，。

，。

（6）孔子认为教导学生时要：“，，，则不复也。

”（7）莫泊桑，国作家。

本学期我们学了他的作品《》。

主人公的形象给我们留下了深刻的印象。

（8）《黄州快哉亭记》选自《》，作者表达的观点是：士生于世，，？，，？二、文言文阅读（25分）（二）阅读下文，完成2——7题。

（18分）龚遂字少卿，山阳南平阳人也。

以明经为官，至昌邑郎中令，事王贺。

宣帝即位，久之，渤海左右郡岁饥，盗贼并起，二千石不能禽制。

上选能治者，丞相、御史举遂可用，上以为渤海太守。

时，遂年七十余，召见，形貌短小，宣帝望见，不副．所闻，心内轻焉，谓遂曰：“渤海废乱，朕甚忧之。

君欲何以息其盗贼，以称朕意？”遂对曰：“海濒遐远，不沾圣化，其民困于饥寒而吏不恤，故使陛下赤子．．盗弄陛下之兵于潢池中耳。

今欲使臣胜之邪，将安之也？”上闻遂对，甚说，答曰：“选用贤良，固欲安之也。

”遂曰：“臣闻治乱民犹治乱绳，不可急也；唯缓之，然后可治。

臣愿丞相、御史且无拘臣以文法，得一切便宜从事。

”上许焉，加赐黄金，赠遣。

上海高一下学期期中考试数学试卷一．填空题1.已知扇形的弧长是6，圆心角为2，则扇形的面积为______. 【答案】9根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式12S lr =求解. 【详解】因为扇形的弧长是6，圆心角为2， 所以632l r α=== ， 所以扇形的面积为1163922S lr ==⨯⨯=， 故答案为：92.数列{}n a 是等比数列，112a =，12q =，132n a =，则n =______.【答案】5直接利用等比数列通项公式得到答案.【详解】数列{}n a 是等比数列，112a =，12q =，故1111232nn n a a q -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，解得5n =.故答案为：5. 3.已知tan 2θ=-，则cos sin sin cos θθθθ-=+______.【答案】3-直接利用齐次式计算得到答案. 【详解】cos sin 1tan 123sin cos tan 121θθθθθθ--+===-++-+.故答案为：3-. 4.三角方程tan()36x π-=的解集为______.【答案】{|arctan3,}6x x k k ππ=++∈Z运用正切函数的图象和性质，可得所求解集. 【详解】由于{|arctan3,}6x x k k ππ=++∈Z ，所以arctan 36x k ππ-=+，得arctan3,6x k k ππ=++∈Z ，即三角方程tan()36x π-=的解集为{|arctan3,}6x x k k ππ=++∈Z ，故答案为：{|arctan3,}6x x k k ππ=++∈Z .5.1sin 3x =，35[,]22x ππ∈，则x 用反正弦可以表示为______. 【答案】12arcsin3x π=+ 根据反正弦函数所表示的角的范围结合题目给出的角的范围求解. 【详解】由1sin 3x =，则1arcsin 2,3x k k Z π=+∈，由1arcsin 3(0,)2π∈，而35[,]22x ππ∈，故1k =，得12arcsin 3x π=+.故答案为：12arcsin 3x π=+6.已知数列{}n a 满足10a =，1n a +=（*n N ∈），则2020a =______.【答案】0根据递推公式计算得到数列周期为3，故20201a a =，得到答案. 【详解】10a =，1n a +=，故21a ==3a ==401a =+=，故数列周期为3，202036731=⨯+，故202010aa ==.故答案为：0.7.等差数列{}n a 的通项为21n a n =-，令21n n b a -=，则数列{}n b 的前20项之和为______. 【答案】780根据题意，由等差数列通项公式21n a n =-求出n b ，利用递推关系和等差数列定义法证明出{}n b 是以1为首项，4为公差的等差数列，最后利用等差数列前n 项和公式，即可求出数列{}n b 的前20项之和. 【详解】解：由题可知，等差数列{}n a 的通项为21n a n =-， 则()21221143n n b a n n -==--=-，11b =， 所以()()1413434n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦，可知数列{}n b 是以1为首项，4为公差的等差数列， 则数列{}n b 的前20项之和为：()202014201207607802⨯-⨯⨯+=+=.故答案为：780.8.函数22sin cos y x x ωω=-（0>ω）的最小正周期为4π，则ω=______. 【答案】14利用二倍角余弦公式将函数解析式化简为cos 2y x ω=-，然后利用余弦型函数的周期公式可求出ω的值. 【详解】解：()2222sin cos cos sin cos 2y x x x x x ωωωωω=-=--=-，且0>ω，该函数的最小正周期为：242ππω=，解得：14ω=. 故答案为：14. 9.已知12sin 5cos αα+可表示为sin()A αϕ+（0A >，0ϕπ≤<）的形式，则sin 2ϕ=______. 【答案】120169利用辅助角公式将12sin 5cos αα+化简为()13sin αϕ+，并得出sin ϕ和cos ϕ，再利用二倍角的正弦公式即可求出sin 2ϕ.【详解】解：12512sin 5cos 13sin cos 1313αααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭令125cos ,sin 1313ϕϕ==， 则()()12sin 5cos 13sin cos cos sin 13sin αααϕαϕαϕ+=+=+， 所以512120sin 22sin cos 21313169ϕϕϕ==⨯⨯=. 故答案为：120169. 10.已知角,(0,)4παβ∈，3sin sin(2)βαβ=+，24tan1tan 22αα=-，则αβ+=______.【答案】4π根据已知条件解得1tan 2α=，然后再求得()tan αβ+的值，最后根据角的范围即可求解αβ+的值． 【详解】根据条件24tan 1tan 22αα=-， 22tan2211tan 2αα∴⨯=-，即1tan 2α=，()32sin sin βαβ=+，则()()3sin sin αβααβα⎡⎤⎡⎤+-=++⎣⎦⎣⎦， 整理可得()()cos 2cos sin sin αβααβα+=+，即()()2sin 2tan cos cos sin αβαααβα+==+，即()tan 1αβ+=，0044ππαβ<<<<，，∴02παβ<+<，故4παβ+=.故答案为：4π. 11.方程210sin 102xx x π-+=实数解的个数为______.【答案】12变换得到1sin 10102x x x π+=，确定函数为奇函数，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】210sin 102xx x π-+=，易知0x ≠，则1sin 10102x x x π+=， 易知函数11010x y x =+和sin 2x y π=为奇函数， 当9x =时，91411109045y =+=<，当11x =时，1116111011055y =+=>， 画出函数11010x y x =+和sin 2x y π=图像，如图所示： 根据图像知：函数有12个交点，故方程有12个解.故答案为：12.12.设数列{}n a 的通项公式为23n a n =-（*n ∈N ），数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值，则数列{}n b 的前2m 项和为______（结果用m 表示） 【答案】24m m + 由n a m ≥可得32m n +≥，根据n b 的定义知当21m k =-时，()*1m b k k N =+∈， 当2m k =时，()*2m b k k N=+∈，据此可用分组法求数列{}nb 的前2m 项和.【详解】对于正整数，由n a m ≥可得32m n +≥， 根据m b 的定义可知:当21m k =-时，()*1m b k k N =+∈，当2m k =时，()*2m b k k N=+∈，()()1221321242m m m b b b b b b b b b -∴++⋯+=++⋯+++⋯+(2341)[345(2)]m m =+++⋯++++++⋯++2(3)(5)422m m m m m m ++=+=+ 【点睛】本题主要考查了数列的通项公式和前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，属于中档题. 二．选择题13.已知α是第二象限角，则2α是（ ） A. 锐角 B. 第一象限角C. 第一、三象限角D. 第二、四象限角【答案】C根据α是第二象限角，得到22,2k k k απ+π<<π+π∈Z ,再得到2α的范围判断。

2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题一、单选题1．若则在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】根据三角函数值在各个象限的正负，判断出角的终边所在的象限.【详解】由于，故角为第一、第四象限角.由于，故角为第二、第四象限角.所以角为第四象限角.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数值在各个象限的正负值，根据正切值和余弦值同时满足的象限得出正确选项.2．函数的部分图像如图,则可以取的一组值是A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：∵，∴，，又由得.3．在△ABC中,分别为三个内角A、B、C的对边,若则△ABC的形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】利用正弦定理化简得：，再利用二倍角公式整理得：，解三角方程即可得解。

【详解】由正弦定理化简得：,整理得：，所以又，所以或.所以或.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理及三角恒等变换，还考查了正弦的二倍角公式及三角函数的性质，属于中档题。

二、填空题4．函数的最小正周期是_________.【答案】【解析】直接由周期公式得解。

【详解】函数的最小正周期是：故填：【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题。

5．已知点P在角的终边上,则_______.【答案】0【解析】求出到原点的距离，利用三角函数定义得解。

【详解】设到原点的距离，则所以，，所以【点睛】本题主要考查了三角函数定义，考查计算能力，属于基础题。

6．已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．【答案】【解析】由题意或，则圆心角是，应填答案。

7．在△ABC中,若则△ABC为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.【答案】钝角【解析】整理得，利用可得，问题得解。

【详解】因为，所以，又,所以，所以所以为钝角，故填：钝角【点睛】本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，属于基础题。

上海市高一下学期数学期中考试试卷一、填空题1.幂函数()x f 的图像经过点()4273，，则()x f 的解析式是 . 2.若角α的终边上一点)0)(4,3≠-a a a P （，则cos α= .3.若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为 . 4.已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限.5.已知(()sin 5πα-=α在第二象限角，则 tan α= . 6.已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α= .7.求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ+︒-︒-= .8.已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos 2x = . 9.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是 .10.ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则B = .11.已知函数()1()2x f x =，()12log g x x =，记函数()()()⎩⎨⎧=x f x g x h ()()()()x g x f x g x f ＞≤，则函数()()5-+=x x h x F 所有零点的和为 .12. 如果满足︒=45B ，10=AC ，k BC =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是 .二、选择题 13. 2πθ=“”是“x x cos )sin(=+θ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件的值等于（ ）A. 2cosB. 21cosC. 2cos -D.21cos- 15.ABC ∆中，三边长分别为x 、y 、z ，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0＞＞＞＞b a a c ，若a b c 、、是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（ ）①存在x R +∈，使x a 、x b 、xc 不能构成一个三角形的三条边②对一切()1,∞-∈x ，都有()0＞x f③若ABC ∆为钝角三角形，则存在()2,1∈x ，使()0=x fA.①②B. ①③C.②③D. ①②③ 三、解答题17.已知α为第二象限角，化简212sin(5)cos()33sin()1sin ()22πααπαππα+-----+．18.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα＜＜＜，求：（1）tan 2α；（2）βcos ． 19.如图，D C 、是两个小区所在地，D C 、到一条公路AB 的垂直距离分别为km DB km CA 2,1==，AB 两端之间的距离为km 6.（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对C A 、的张角与P 对D B 、的张角相等，试确定点P 的位置；（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对D C 、所张角最大，试确定点Q 的位置.20.若函数()x f 定义域为R ，且对任意实数12,x x ，有1212()()()f x x f x f x ++＜，则称()x f 为“V 形函数”，若函数()x g 定义域为R ，函数()0＞x g 对任意R x ∈恒成立，且对任意实数12,x x ，有[][][]1212lg (lg ()lg ()g x x g x g x ++＜，则称为“对数V 形函数” .（1）试判断函数()2f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由； （2）若()1()2x g x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()x f 是“V 形函数”，且满足对任意R x ∈，有()2＞x f ，问()x f 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；（2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值； （3）为了研究边长c 、、b a 满足3489≥≥≥≥≥≥c b a 的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=（其中)(21c b a p ++=， 三角形面积的海伦公式）， ∴216)()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++（ ()()2222[][]a b c c a b =+---42222222()()c a b c a b =-++--()222222[]4c a b a b =--++， 而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36≤S ，但是，其中等号成立的条件是222,9,8c a b a b =+==，于是2145c =与43≤≤c 矛盾， 所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．试卷答案一、填空题1. ()34f x x =2. 35±3.2:34. 二5. 12-6. 39.3π 10.34π 11. 512. (0,10]{k ∈U二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D三、解答题17.【解析】原式sin cos 1cos sin αααα-==-- 18. 【解析】（1）1cos tan 7αα=⇒=22tan tan 21tan 14847ααα===--- （2）[]cos cos ()βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317147142=⨯+⨯= 19.【解析】（1）张角相等，∴2:1::==DB CA PB AP ，∴4,2==PB AP(2)设AQ =x ，∴6QB x =-，∴tan C x =，6tan 2x D -=，tan tan tan tan()1tan tan C D C D C D θ+=+=-2662x x x +=-+，设6+=x t ，)6,0(∈x ，2tan 1874t t t θ=-+，(6,12)t ∈， ∴1tan 7418t tθ=∈+-(,(3,)-∞+∞U，(arctan 3,θπ∈-， 当且仅当74=t 时，等号成立，此时674-=x ，即674-=AQ20.【解析】（1）()()21212f x x x x +=+，221212()()f x f x x x +=+，当1x 、2x 同号时，()2221212x x x x +>+，不满足1212()()()f x x f x f x ++＜，∴不是“V 形函数” （2）1()()02x g x a =+＞恒成立，∴0≥a ，根据题意，1212()()()g x x g x g x +⋅＜恒成立， 即1212111()()][()]222x x x x a a a ++++＜[，去括号整理得12111[()()]22x x a >-+，∴1a ≥ （3）1122()()()f x f f x x x +<+，∵()12f x >，∴1()11f x ->，同理2()11f x ->，∴12[()1][()1]1f x f x -->，去括号整理得1212()()()()f x f x f x f x +＞，∴1212()()()f x x f x f x +＜，[][][]1212lg ()lg ()lg ()f x x f x f x ++＜，是“对数V 形函数”21.【解析】（1）设两直角边为b a 、=≥=∴12P a b =++2612+（2）设夹α的两边为b a 、，则第三边b a p --，∴222()7cos 29a b p a b ab α+---==，∴223218189369ab ap bp p p =+-≥，∴0)38)(34(≥--p ab p ab ， ∵0)34＜（p ab -，∴038≤-p ab ，即2964ab p ≤，22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯=，即面积最大值为232p （3）不正确，∵海伦公式三边可互换，∴22222222216[()]44S a c b c b c b =--++≤，即2164166416S S ≤⨯⨯≤，，此时22280a b c =+=，a =16。

上海中学2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学试题卷一、填空题(每题3分,共36分)1.函数()x y 3sin 2=的最小正周期是_________.2.已知点P ()11，在角α的终边上,则=-ααcos sin _______. 3.已知扇形的周长是10cm,半径是4cm,则该扇形的圆心角是_____弧度.4.在△ABC 中,若，＜0sin tan B A 则△ABC 为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.5.若，π534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+α则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos πα______. 6.若，π＜＜20α则化简=+--++αααcos 22sin 1sin 1_______. 7.已知，2tan =α则=+-1cos sin sin 2ααα_______.8.方程x x sin lg =的实数根的个数是______. 9.若，αβαsin 2sin 2sin 322=+则βα22cos sin +的取值范围是________. 10.若()，π，，＞20cos sin cos sin 33∈--ααααα则α的取值范围是________. 11.已知函数()()，ππ，＞π⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3604sin f f x x f ωω且在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛36π，π(内有最小值无最大值,则=ω_______. 12.已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且0＜x 时，()x f 单调递增，已知()，01=-f 设()，m x m x x g 2cos sin 2-+=集合()，＜，有π，对任意⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=020|x g x m M 集合 ()[]，＜，有π，对任意⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=020|x g f x m N 则=N M ________.二、选择题(每题4分,共16分)13.若，＜，＞0tan 0cos αα则α在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.函数()ϕω+=x y sin 的部分图像如图,则ϕω、可以取的一组值是A.62π，π==ϕωB.42π，π==ϕω C.44π，π==ϕω D.454π，π==ϕω 15.在△ABC 中,c b a 、、分别为三个内角A 、B 、C 的对边,若，BA b a tan tan 22=则△ABC 的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形16.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P 按逆时针方向每秒钟转6π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转611π弧度，则P 、Q 两点在第2019次相遇时,点P 的坐标是A.(0,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)三、解答题(本大题共5题,共48分,解答各题必须写出必要的步骤)17.(本题满分8分)已知()，，71tan 21tan -==-ββα求αtan 的值。

高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知()732log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，那么x 等于 .2. 2lg 3lg 91lg 27lg8lg 1000lg 0.3lg1.2-+-= .3.若21a b a >>>，则log ,log ,log bb a b a b a的大小顺序是 . 4.函数()212log 617y x x =-+的值域是 . 5．函数223y x ax =--在区间[]1,2上存在反函数的充要条件是 .6.若方程()22log 222ax x -+=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，则实数a 的取值范围是 . 7.已知一个扇形的周长为6，该扇形的中心角为1弧度，则该扇形的面积是 .8.已知点()sin cos ,tan P θθθ-在第一象限，则在[]0,2π内θ的取值范围是 .9.已知()1sin 34πθ+=，求()()()()()()cos cos 2cos 2cos cos cos cos 1πθθπθππθθθπθ+-+=+++-+-⎡⎤⎣⎦ . 10.已知tan 1tan 1αα=--，则sin 3cos sin cos αααα-=+ . 11.求值：4466sin cos 1sin cos 1αααα+-=+- . 12.函数()f x 满足()()1cos 02f x x x π=≤≤，则4sin 3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 13.若()()54cos ,sin ,,,0,13522ππαβααβπ⎛⎫-==-∈-∈ ⎪⎝⎭，则cos β= . 14.若sin sin sin 0,cos cos cos 0αβγαβγ++=++=，则()cos αβ-= .二、选择题：15．已知221,0,0x y x y +=>>，且()1log 1,log 1a a x m n x+==-，则log a y 等于 A. m n + B. m n - C.()12m n + D.()12m n - 16．函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象关于 A. x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称 D.直线y x =对称17．已知()()log 10,1a g x x a a =+>≠，在()1,0-上有()0g x >，则()1x f x a +=在A.(),0-∞上递增B.(),0-∞上递减C.(),1-∞-上递增D. (),1-∞-上递减18=，则α的终边在A. 第一象限B.第二象限C. 第一或第三象限D.第二或第四象限19．锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，则角α的弧度数为A. 3π-B. 3π-C. 32π-D.32 20．如果θ是第一象限角，那么恒有 A. sin 02θ> B. tan 12θ< C. sin cos 22θθ> D.sin cos 22θθ<三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21.已知1sin cos 3αα+=，其值： （1）sin cos αα；（2）33sin cos αα+（3）55sin cos αα+.22.已知()()2121x x a f x a R ⋅-=∈+是R 上的奇函数. （1）求a 的值；（2）求()f x 的反函数；（3）对任意()0,k ∈+∞的解不等式()121log x f x k-+>.23.已知α是锐角. （1）如果()tan cot 3log sin 4ααα-=-，求tan log cos αβ的值； （2）如果7sin sin 8αβ=，且1tan tan 4αβ=，求csc α的值.22.已知函数()()()log 30,1a f x x a a a =->≠，当点(),P x y 是函数图象上的点时，点()2,Q x a y --是函数()y g x =的图象上的点.（1）写出函数()y g x =的解析式；（2）当[]2,3x a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，试确定a 的取值范围.。

上海中学2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学试题卷一、填空题(每题3分,共36分)1.函数()x y 3sin 2=的最小正周期是_________.2.已知点P ()11，在角α的终边上,则=-ααcos sin _______.3.已知扇形的周长是10cm,半径是4cm,则该扇形的圆心角是_____弧度.4.在△ABC 中,若，＜0sin tan B A 则△ABC 为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.5.若，π534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+α则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos πα______. 6.若，π＜＜20α则化简=+--++αααcos 22sin 1sin 1_______. 7.已知，2tan =α则=+-1cos sin sin 2ααα_______.8.方程x x sin lg =的实数根的个数是______.9.若，αβαsin 2sin 2sin 322=+则βα22cos sin +的取值范围是________.10.若()，π，，＞20cos sin cos sin 33∈--ααααα则α的取值范围是________. 11.已知函数()()，ππ，＞π⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3604sin f f x x f ωω且在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛36π，π(内有最小值无最大值,则=ω_______. 12.已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且0＜x 时，()x f 单调递增，已知()，01=-f 设()，m x m x x g 2cos sin 2-+=集合()，＜，有π，对任意⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=020|x g x m M 集合 ()[]，＜，有π，对任意⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=020|x g f x m N 则=N M ________.二、选择题(每题4分,共16分)13.若，＜，＞0tan 0cos αα则α在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.函数()ϕω+=x y sin 的部分图像如图,则ϕω、可以取的一组值是A.62π，π==ϕωB.42π，π==ϕω C.44π，π==ϕω D.454π，π==ϕω 15.在△ABC 中,c b a 、、分别为三个内角A 、B 、C 的对边,若，BA b a tan tan 22=则△ABC 的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形16.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P 按逆时针方向每秒钟转6π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转611π弧度，则P 、Q 两点在第2019次相遇时,点P 的坐标是A.(0,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)三、解答题(本大题共5题,共48分,解答各题必须写出必要的步骤)17.(本题满分8分)已知()，，71tan 21tan -==-ββα求αtan 的值。

上海市第二学期期中阶段检测高一数 学试卷（满分150分，答卷时间120分钟）一、填空题：（其中前6题每小题4分，后6题每小题5分，共54分） 1．2019'角是第_______象限角．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为__________． 3．已知tan 2θ=，则3sin 2cos sin 3cos θθθθ-=+________．4．函数arcsin(21)y x =-的定义域为________．5．数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+，则n a =_________．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，31,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭为其终边上一点，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________． 7．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin α=________． 8．如图所示，有一电视塔DC ，在地面上一点A 测得电视塔尖C 的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B ，此时测得电视塔尖C 的仰角为60°，则此电视塔的高度是___________米．（精确到0.1米）9．已知数列{}n a 与{}n b 都是等差数列，且11a =，14b =，2525149a b +=，则数列{}n n a b +的前25项和等于____________．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中因剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为_________．11．已知三倍角公式3cos34cos 3cos θθθ=-，R θ∈，借助这个公式我们可以求函数3()432f x x x x ⎛⎫⎡=--∈ ⎪⎢ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域，则该函数的值域是____________． 12．函数()sin()f x x ω=（其中0ω>）的图象与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为123,,,,,n A A A A ，在点列{}n A 中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2020ω=____________． 二、选择题：（每小题5分，共20分） 13．“tan 1x =”是“4x π=”成立的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要 14．要得到函数2sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需要将函数2sin 25y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像（ ） A ．向右平移25π个长度单位 B ．向左平移25π个长度单位 C ．向右平移5π个长度单位 D ．向左平移5π个长度单位 15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足15160,0S S ><，则12151215,,,S S S a a a 中最大项为（ ） A ．1515S a B ．11S a C ．99S a D ．88S a 16．函数()sin f x x =在区间(0,10)π上可找到n个不同数12,,,n x x x ，使得()()()1212n nf x f x f x x x x ===，则n 的最大值等于（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11三、解答题：（本大题共76分）17．（本题满分14分，其中第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知31sin ,,,tan()522πααππβ⎛⎫=∈-= ⎪⎝⎭，求： （1）tan α和tan β的值； （2）tan(2)αβ-的值．18．（本题满分14分，其中第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数()sin cos ()nf x x x x R =+∈．（1）当1n =时，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当2n =时，求()f x 的最值并指出此时x 的取值集合． 19．（本题满分14分，其中第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC 中，24sin sin cos2142B B B π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭ （1）求角B 的大小；（2）若4a =，53S =b 的值．20．（本题满分16分，其中第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 在等差数列{}n a 中，34572,8a a a a +=-+=， （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S 的最小值；（3）设5n n a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不过x 的最大整数． 21．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）已知函数()cos2cos 1,f x x x x x R =++∈．（1）把()f x 化成sin()(0,0,02)A x B A ωϕωϕπ++>>≤<的形式，并写出函数()f x 的最小正周期和值域；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）定义：对于任意实数1x 、2x ，{}11212221,,m ,,.ax x x x x x x x x ≥⎧=⎨>⎩若若设()sin ,cos }g x x a x =，x R∈（常数0a >），若对于任意1x R ∈，总存在2x R ∈，使得()()12g x f x =恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案 高一 数学（满分150分，答卷时间120分钟）一、填空题：（其中前6题每小题4分，后6题每小题5分，共54分）1．【答案】三 2．【答案】 3．【答案】45 4．【答案】[0,1] 5．【答案】01452n n a n n =⎧=⎨-≥⎩6．【答案】-7． 8．【答案】236.6 9．【答案】1925 10．【答案】134 11．【答案】[3,2]--12． 二、选择题：（每小题5分，共20分）13．【答案】B 14．【答案】D 15．【答案】D 16．【答案】C 三、解答题：（本大题共76分）17．（本题满分14分，其中第1小题满分6分，第2小题满分8分） 【解】（1）由3sin 5α=，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3tan 4α=-． 3分 又由诱导公式，可得1tan()tan 2πββ-=-=，即1tan 2β=-． 3分 （2）22tan 4tan 21tan 3βββ==--， 4分 所以tan tan 27tan(2)1tan tan 224αβαβαβ--==+． 4分18．（本题满分14分，其中第1小题满分6分，第2小题满分8分） 【解】（1）当1n =时，()sin cos ()f x x x x R =+∈∵044f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴,4444f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≠--≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4分 ∴()f x 是非奇非偶函数． 2分 （2）当2n =时，2()sin cos f x x x =+21cos cos x x =-+215cos 24x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 2分cos [1,1]x R x ∈⇒∈-∴当1cos 2x =时，max 5()4f x =，此时x 的取值集合是2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭； 3分 当cos 1x =-时，min ()1f x =-，此时x 的取值集合是{|2,}x x k k Z ππ=+∈． 3分 19．（本题满分14分，其中第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）由24sin sin cos2142B B B π⎛⎫++=+⎪⎝⎭22sin 1cos 12sin 12B B B π⎛⎤⎛⎫-++-=+ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦可得sin B =． 4分 又QB 是ABC 的内角，∴3B π=或23B π=． 2分 （2）4Qa =，53S =∴11sin 422ac B c =⨯⨯=5c =， 3分 Q 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-， 2分∴当3B π=时，b ==；当23B π=时，b ==即边b ． 3分20．（本题满分16分，其中第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）【解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得112522108a d a d +=-⎧⎨+=⎩．解得16,2a d =-=． 2分所以{}n a 的通项公式为1(1)28n a a n d n =+-=-． 2分（2）221(1)7497224n n n S a n d n n n -⎛⎫=+=-=-- ⎪⎝⎭ 4分当3n =或4n =时，n S 的最小值为12-． 2分 （3）由（1）知285n n b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 当1n =时，286,255n n b -=-=-； 当2,3n =时，2810,15n n b --<<=-； 当4,5,6n =时，2801,05n n b -≤<=； 当7,8n =时，2812,15n n b -<<=； 当9,10n =时，2823,25n n b -≤<=． 所以数列{}n b 的前10项和为(2)1(1)20312222-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=． 6分 21．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分8分） 【解】（1）()cos2cos 1f x x x x =++cos221x x =++2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 2分所以222T πππω===，值域为[1,3]-； 4分（2）令22,2622x k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈, 解得,,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦所以函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； 4分（3）若对于任意1x R ∈，总存在2x R ∈，使得()()12g x f x =恒成立，则{|()}{|()}y y g x y y f x =⊆=， 2分sin sin cos ()sin ,cos }cos ,cos sin x x a xg x x a x a x a x x≥==>⎪⎩，sin cos x a x ≥，即72,266x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()sin g x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，当cos sin a x x >，即52,266x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭时，()cos ,2g x a x a a ⎛⎤=∈- ⎥⎝⎦，故()2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．所以0123a a >⎧⎪⎪-≥-⎨≤，解得a ⎛∈ ⎝⎦．所以实数a的取值范围是⎛ ⎝⎦． 2分。

绝密★启用前上海市第二中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．“sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．函数sin2cos2y x x =+的图象的一个对称中心的坐标是（ ） A.3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B.3,18π⎛⎫⎪⎝⎭C.,18π⎛⎫⎪⎝⎭D.,18π⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是2π；②终边在y 轴上的角的集合是,2k k z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有一个公共点； ④把函数的图象得到的图象向右平移x y x y 2sin 36)32sin(3=+=ππ；⑤在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆是等腰三角形； 其中真命题的序号是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．已知半径为2的扇形，其圆心角为38π，则扇形的弧长为是________. 6．在三角形ABC 中，若60A ∠=︒，1b =，A BC S ∆=c =________. 7．已知sin α+cos α=15，则sin2α=__ 8．若tan 2α=-，且sin 0α<，则cos α的值是________. 9．函数cos 2y x =的单调递减区间为________. 10．函数arcsin(1)y x =-的定义域是________. 11．已知3tan()4αβ+=，1tan 42πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为________.12．在ABC ∆中，222sin sin sin sin B C B C A +=，则角A 的大小为________. 13．ABC ∆的三边之比为4: 5: 7，试用反三角函数表示三角形的最大内角是________. 14．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．15．若(0,)x π∈，则函数22y =-的值域为________. 16．若()cos 2018xf x π=，则(1)(2)(3)(2017)(2018)f f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=________. 三、解答题17．已知α的终边在直线2y x =上，完成下列求值计算： （1）求tan α的值；（2）222sin 2cos 2cos sin αααα--. 18．在ABC ∆中，若24cos 4cos()10A B C +++=.…○…………装………※※请※※不※※要※※在※…○…………装………（1）求角A 的大小 （2）若a =3b c +=，且b c >，分别求b 、c 的值.19．已知关于x 的函数()sin f x x x =+.（1）求()sin f x x x =+在区间(0,2)π内的零点；（2）若方程()f x a =在(0,)x π∈有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围. 20．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，[,]42ππα∈，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π交单位圆于点B ，过B 作BC y ⊥轴于C.（1）若点A ，求点B 的横坐标； （2）求AOC ∆面积S 的最大值.21．已知梯形ABCD 中，AB CD ∥，设AB a =，AD b =，CD c =，DAB α∠=.（1）如图①，若3πα=，且a c b +=，求证：222222AC BD b c +=+.（2）如图②，若A B B C ⊥且a b =，作B H A D ⊥交AD 于H ，直线BH 恰好平分四边形ABCD 的周长，求1sin cos αα+的值.参考答案1．B 【解析】 【分析】1sin 2x =⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】 ，由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈∴“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B 【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题. 2．D 【解析】试题分析：sin 22sin cos 0θθθ=<且cos 0θ>，sin 0cos 0θθ<⎧∴⎨>⎩，θ∴为第四象限角．故D 正确． 考点：象限角． 3．A 【解析】 【分析】化简函数可得24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的对称性可得结果.【详解】sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令2,,4x k k Z ππ+=∈可得：,,28k x k Z ππ=-∈ 当1k = 时，3,288x πππ=-=∴函数sin 2cos2y x x =+的图象的一个对称中心的坐标是3,08π⎛⎫⎪⎝⎭， 故选：A 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力与计算能力，属于常考题型. 4．C 【解析】试题分析：化简函数的解析式求出函数的周期，可判断①的真假；写出指定角的集合，比照后可判断②的真假；在同一坐标系中画出两个函数的图象，可判断③的真假；根据函数图象的平移法则，可判断④的真假；由正弦定理及正切函数的性质，可判断⑤的真假；进而得到答案．：①函数442y sin x cos x cos x =-=- 的最小正周期是π ，故①错误；②终边在y轴上的角的集合是22|k a a k k z πππ=+≠∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，}，故②错误；③在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有（0，0）一个公共点，故③正确；④把函数323y sin x π=+（）的图象向右平移6π 得到323263y sin x sin x ππ⎡⎤⎢=⎥=⎣+⎦-（）（） 的图象，故④正确；⑤在△ABC 中，若acosB=bcosA ，即sinAcosB=sinBcosA ，即tanA=tanB ，即A=B ，则△ABC 是等腰三角形，故⑤正确；故选C 考点：命题的真假判断与应用． 5．34π【解析】 【分析】利用弧长公式即可得到答案. 【详解】∵扇形的半径为2，圆心角为38π， ∴扇形的弧长为是33248ππ⨯=. 故答案为：34π 【点睛】本题考查弧长公式，考查计算能力，属于基础题. 6．4 【解析】 【分析】利用面积关系建立c 的方程，即可得到结果. 【详解】∵60A ∠=︒，1b =，A BC S ∆=∴A 1sin 2BC S bc A ∆==12c =∴4c = 故答案为：4 【点睛】本题考查三角形面积公式，考查计算能力，属于基础题. 7．2425-【解析】∵15sin cos αα+=， ∴21(),25sin cos αα+=即11225sin cos αα+=， 则242225sin sin cos ααα==-. 故答案为：2425-.8 【解析】由题意明确cos α的符号，结合同角基本关系式即可得到结果. 【详解】∵tan 2α=-，且sin 0α<， ∴α在第四象限， ∴cos 0α＞ ∵sin tan 2cos ααα==， ∴221cos 4cos αα-= 解得：21cos5α=，又cos 0α＞∴cos 5α=【点睛】本题考查同角基本关系式，考查计算能力，属于常考题型. 9．,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】利用余弦型函数的图像与性质即可得到结果. 【详解】令222,k x k k Z πππ≤≤+∈ ∴,2k x k k Z πππ≤≤+∈，∴函数cos 2y x =的单调递减区间为,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故答案为：,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦本题考查余弦型函数的图像与性质，考查函数的单调性及换元思想，属于基础题. 10．[]0,2 【解析】 【分析】利用反正弦函数的定义域即可得到结果. 【详解】由题意可知：111x -≤-≤， ∴02x ≤≤∴函数arcsin(1)y x =-的定义域是[]0,2 故答案为：[]0,2 【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，考查表达式有意义的条件，考查不等式的解法，属于基础题. 11．211【解析】 【分析】利用两角差正切公式即可得到结果. 【详解】 ∵3tan()4αβ+=，1tan 42πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴()31242tan tan 314411142ααβππβ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦++⎣⨯故答案为：211【点睛】本题考查三角函数恒等变换知识，考查角的配凑法，考查两角差正切公式，考查运算能力. 12．6π 【解析】由正弦定理可得222b c a +=，再结合余弦定理可得角A 的大小. 【详解】∵222sin sin sin sin B C B C A +=∴222b c a +=∴222cos 222b c A bc bc a +===- 又角A 为三角形的内角， ∴6A π=【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查边角的合理转化，考查计算能力，属于基础题. 13．π﹣arccos 15【解析】 【分析】利用余弦定理得到最大内角的余弦值，进而用反三角函数表示此角. 【详解】不妨设三边长为：4,5,7k k k ，最大内角为α，由余弦定理可得：2221625491cos 2455k k k k k α+-==-⋅⋅，又α∈（0，180°）， ∴三角形的最大内角是π﹣arccos 15． 故答案为：π﹣arccos 15【点睛】此题考查学生灵活运用余弦定理及非特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．学生做题时注意利用大角对大边的法则判断最长的边长． 14．4π 【解析】画出函数2cos (02)y x x π=≤≤的图象与直线2y =围成一个封闭的平面图形如图所示：显然图中封闭图形的面积，就是矩形面积的一半，2442ππ⨯= 故答案为4π 点睛：本题是基础题，考查余弦函数的图象，几何图形的面积的求法，利用图象的对称性解答，简化解题过程，也可以利用积分求．15．22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 利用二倍角余弦公式的变式化简函数，可得sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的图像与性质可得结果.【详解】∵(0,)x π∈，∴0,22x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴222222x x y =-=-=- ∴sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时,2444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴sin 24x y π⎛⎛⎫=-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭∴函数y =22⎛- ⎝⎭故答案为：⎛ ⎝⎭【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与图像性质，重点考查了正弦型函数的值域，考查转化能力与计算能力，属于基础题.16．1-【解析】【分析】首先明确函数的对称性，利用对称性求值即可.【详解】 由题意可知：()cos 2018xf x π=关于点()1009,0中心对称，即()()f 20180x f x +-=令(1)(2)(3)(2017)S f f f f =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2017)(2016)(1)S f f f =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∴[][]2(1)(2017)(2017)(1)0S f f f f =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=，即S =0∴(1)(2)(3)(2017)(2018)(2018)cos 1f f f f f f π+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++===-，故答案为：1-【点睛】本题考查余弦型函数的对称性，考查倒序相加法，考查计算能力，属于中档题.17．（1）2（2）32-【解析】【分析】（1）利用三角函数定义即可得到结果；（2）利用二倍角正弦公式化为齐次式，进而弦化切，代入正切值即可.【详解】（1）由于角α的终边在直线y ＝2x 上，在角α的终边上任意取一点P （1，2），则由任意角的三角函数的定义可得r ＝|OP |=∴ tan αy x==2． （2）2222222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 132cos sin 2cos sin 2tan 2ααααααααααα---===---- 【点睛】本题考查三角函数的定义，三角函数的化简求值，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．18．(1) 3π (2) b 2c 1==，【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可得（2cos A ﹣1）2＝0，解得cos A 的值，结合范围A ∈（0，π），可求A 的值；（2）由题意可得：b ＝3﹣c ，进而利用余弦定理可求c 2﹣3c +2＝0，解方程可求c 的值，进而可求b 的值．【详解】（1）∵24cos 4cos()10A B C +++=∴4cos 2A ﹣4cos A +1＝0，可得：（2cos A ﹣1）2＝0，∴解得：cos A 12=， ∵A ∈（0，π），∴A 3π=．（2）由题意可得：b +c ＝3，可得：b ＝3﹣c ，又由a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得：2＝（3﹣c ）2+c 2﹣2()132c c ⨯-⨯⨯， 可得：c 2﹣3c +2＝0， 解得：21b c =⎧⎨=⎩，或12b c =⎧⎨=⎩． 又b c >∴2c 1b ==，.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．19．(1) 23x π=或5,3x π= (2)2a ＜. 【解析】【分析】（1）由题意可得tan x =（2）作出()sin f x x x =+在(0,)x π∈上的图象，数形结合可得结果.【详解】（1）令()sin 0f x x x =+=可得：sin x x =，即tan x = ∴,3x k k Z ππ=-∈，又(0,2)x π∈， ∴23x π=或5,3x π=∴()sin f x x x =+在区间(0,2)π内的零点为23x π=或5,3x π=（2）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，作出()sin f x x x =在(0,)x π∈上的图象：由方程()f x a =在(0,)x π∈有两个不同的实数解，2a ＜【点睛】本题考查三角函数零点问题，以及根据方程的解的个数求参数的范围，考查三角函数的图像与性质，考查数形结合思想，属于中档题.20．（1）12-；（2 【解析】试题分析：（1）根据三角函数的定义用α的三角函数表示出点,A B 的坐标，求出角α，即得B 的横坐标；（2）因为1||||sin 2S OA OC AOC =⋅⋅∠1sin()sin()232ππαα=+⋅-，根据三角恒等变换化简得1sin(2)43S πα=++,求出23πα+的范围，找出最大值点，求出最大值. 试题解析：（1）定义得A (cos ,sin ),(cos(),sin())33B ππαααα++,依题意可知sin (,)42ππαα=∈，所以3πα=，所以B 的横坐标为21cos()cos .332ππα+==- （2）因为||1OA =，||sin(),,32OC AOC ππαα=+∠=-所以1||||sin 2S OA OC AOC =⋅⋅∠1sin()sin()232ππαα=+⋅- 11(sin )cos 22ααα= 211(sin cos )22ααα=111cos2(sin 2)242αα+=11(sin 2)42αα= 1sin(2)43πα=+.又因为[,)42ππα∈，所以542(,)363πππα+∈，当5236ππα+=，即4πα=时，sin(2)3πα+取得最大值为12，所以以S 考点：三角函数的定义、三角恒等变换、三角函数的值域.21．(1)见解析，（2）3【解析】【分析】（1）在△ABD 与△ADC 中分别利用余弦定理，两式累加并结合条件可得结果；（2）根据线BH 恰好平分四边形ABCD 的周长建立等量关系即可得到结果.【详解】（1）∵AB CD ∥，3πα=∴2ADC=3π∠ 在△ABD 中， 222222cos3ab ab BD b a b a π-=+-=+ 在△ADC 中，2222222cos3AC b c c b c bc b π-=++=+ 两式累加可得：()222222AC BD b b c c a a +=++-+，又a c b +=，∴()()222222AC BD b c c a a a c +=+++-+ 即222222AC BD b c +=+（2）过D 作DE AB ⊥于E ，在RT△ABH 中，a b =，DAB α∠=∴cos AH a α=，∴cos DH a a α=-，在RT△ADE 中，cos ,sin AE a DE a αα== ，∴cos ,sin BE DC a a BC a αα==-=，又直线BH 恰好平分四边形ABCD 的周长，∴AH AB DH DC BC +=++，即()()cos cos cos sin a a a a a a a αααα+=-+-+整理可得：3cos 1sin αα=+， ∴1sin 3cos αα+= 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.。

2018-2019学年上海市第二中学高一下学期期中数学试题一、单选题 1．“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】1sin 2x =⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】 ，由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈∴“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B 【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题. 2．若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】试题分析：sin 22sin cos 0θθθ=<且cos 0θ>，sin 0cos 0θθ<⎧∴⎨>⎩，θ∴为第四象限角．故D 正确． 【考点】象限角．3．函数sin 2cos2y x x =+的图象的一个对称中心的坐标是（ ） A.3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B.3,18π⎛⎫⎪⎝⎭C.,18π⎛⎫⎪⎝⎭D.,18π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】化简函数可得24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的对称性可得结果.【详解】sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令2,,4x k k Z ππ+=∈可得：,,28k x k Z ππ=-∈ 当1k = 时，3,288x πππ=-=∴函数sin 2cos2y x x =+的图象的一个对称中心的坐标是3,08π⎛⎫⎪⎝⎭， 故选：A 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力与计算能力，属于常考题型. 4．下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是2π； ②终边在y 轴上的角的集合是,2k k z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有一个公共点； ④把函数的图象得到的图象向右平移x y x y 2sin 36)32sin(3=+=ππ；⑤在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆是等腰三角形； 其中真命题的序号是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（3）（4）（5）D ．（1）（4）（5） 【答案】C【解析】试题分析：化简函数的解析式求出函数的周期，可判断①的真假；写出指定角的集合，比照后可判断②的真假；在同一坐标系中画出两个函数的图象，可判断③的真假；根据函数图象的平移法则，可判断④的真假；由正弦定理及正切函数的性质，可判断⑤的真假；进而得到答案．：①函数442y sin x cos x cos x =-=- 的最小正周期是π ，故①错误；②终边在y 轴上的角的集合是22|k a a k k z πππ=+≠∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，}，故②错误；③在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有（0，0）一个公共点，故③正确；④把函数323y sin x π=+（） 的图象向右平移6π得到323263y sin x sin x ππ⎡⎤⎢=⎥=⎣+⎦-（）（） 的图象，故④正确；⑤在△ABC 中，若acosB=bcosA ，即sinAcosB=sinBcosA ，即tanA=tanB ，即A=B ，则△ABC 是等腰三角形，故⑤正确；故选C【考点】命题的真假判断与应用．二、填空题5．已知半径为2的扇形，其圆心角为38π，则扇形的弧长为是________. 【答案】34π 【解析】利用弧长公式即可得到答案. 【详解】∵扇形的半径为2，圆心角为38π， ∴扇形的弧长为是33248ππ⨯=. 故答案为：34π 【点睛】本题考查弧长公式，考查计算能力，属于基础题.6．在三角形ABC 中，若60A ∠=︒，1b =，A BC S ∆=c =________. 【答案】4【解析】利用面积关系建立c 的方程，即可得到结果. 【详解】∵60A ∠=︒，1b =，A BC S ∆∴A 1sin 2BC S bc A ∆==12c =∴4c = 故答案为：4本题考查三角形面积公式，考查计算能力，属于基础题. 7．已知sin α+cos α=15，则sin2α=__ 【答案】2425-【解析】∵15sin cos αα+=， ∴21(),25sin cos αα+=即11225sin cos αα+=， 则242225sin sin cos ααα==-. 故答案为：2425-. 8．若tan 2α=-，且sin 0α<，则cos α的值是________.【解析】由题意明确cos α的符号，结合同角基本关系式即可得到结果. 【详解】∵tan 2α=-，且sin 0α<， ∴α在第四象限， ∴cos 0α＞ ∵sin tan 2cos ααα==， ∴221cos 4cos αα-= 解得：21cos5α=，又cos 0α＞∴cos α=【点睛】本题考查同角基本关系式，考查计算能力，属于常考题型. 9．函数cos 2y x =的单调递减区间为________. 【答案】,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【解析】利用余弦型函数的图像与性质即可得到结果.令222,k x k k Z πππ≤≤+∈ ∴,2k x k k Z πππ≤≤+∈，∴函数cos 2y x =的单调递减区间为,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故答案为：,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查余弦型函数的图像与性质，考查函数的单调性及换元思想，属于基础题. 10．函数arcsin(1)y x =-的定义域是________. 【答案】[]0,2【解析】利用反正弦函数的定义域即可得到结果. 【详解】由题意可知：111x -≤-≤， ∴02x ≤≤∴函数arcsin(1)y x =-的定义域是[]0,2 故答案为：[]0,2 【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，考查表达式有意义的条件，考查不等式的解法，属于基础题.11．已知3tan()4αβ+=，1tan 42πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为________. 【答案】211【解析】利用两角差正切公式即可得到结果. 【详解】 ∵3tan()4αβ+=，1tan 42πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴()31242tan tan 314411142ααβππβ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦++⎣⨯故答案为：211【点睛】本题考查三角函数恒等变换知识，考查角的配凑法，考查两角差正切公式，考查运算能力.12．在ABC ∆中，222sin sin sin sin B C B C A +=，则角A 的大小为________. 【答案】6π【解析】由正弦定理可得222b c a +=，再结合余弦定理可得角A 的大小. 【详解】∵222sin sin sin sin B C B C A +=∴222b c a +=∴222cos 2b c A bc a +===- 又角A 为三角形的内角， ∴6A π=【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查边角的合理转化，考查计算能力，属于基础题. 13．ABC ∆的三边之比为4: 5: 7，试用反三角函数表示三角形的最大内角是________. 【答案】π﹣arccos15【解析】利用余弦定理得到最大内角的余弦值，进而用反三角函数表示此角. 【详解】不妨设三边长为：4,5,7k k k ，最大内角为α，由余弦定理可得：2221625491cos 2455k k k k k α+-==-⋅⋅，又α∈（0，180°）， ∴三角形的最大内角是π﹣arccos 15． 故答案为：π﹣arccos 15【点睛】此题考查学生灵活运用余弦定理及非特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．学生做题时注意利用大角对大边的法则判断最长的边长．14．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________． 【答案】4π【解析】画出函数2cos (02)y x x π=≤≤的图象与直线2y =围成一个封闭的平面图形如图所示：显然图中封闭图形的面积，就是矩形面积的一半，2442ππ⨯= 故答案为4π点睛：本题是基础题，考查余弦函数的图象，几何图形的面积的求法，利用图象的对称性解答，简化解题过程，也可以利用积分求． 15．若(0,)x π∈，则函数y =________.【答案】⎛ ⎝⎭【解析】利用二倍角余弦公式的变式化简函数，可得sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的图像与性质可得结果. 【详解】∵(0,)x π∈，∴0,22x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴222222x x y =-==- ∴sin 24x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭，此时,2444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴sin 2422x y π⎛⎛⎫=-∈- ⎪ ⎝⎭⎝⎭∴函数22y =-的值域为22⎛- ⎝⎭故答案为：22⎛- ⎝⎭【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与图像性质，重点考查了正弦型函数的值域，考查转化能力与计算能力，属于基础题. 16．若()cos2018xf x π=，则(1)(2)(3)(2017)(2018)f f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=________.【答案】1-【解析】首先明确函数的对称性，利用对称性求值即可. 【详解】由题意可知：()cos2018xf x π=关于点()1009,0中心对称，即()()f 20180x f x +-=令(1)(2)(3)(2017)S f f f f =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2017)(2016)(1)S f f f =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∴[][]2(1)(2017)(2017)(1)0S f f f f =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=，即S =0∴(1)(2)(3)(2017)(2018)(2018)cos 1f f f f f f π+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++===-， 故答案为：1- 【点睛】本题考查余弦型函数的对称性，考查倒序相加法，考查计算能力，属于中档题.三、解答题17．已知α的终边在直线2y x =上，完成下列求值计算： （1）求tan α的值；（2）222sin 2cos 2cos sin αααα--. 【答案】（1）2（2）32-【解析】（1）利用三角函数定义即可得到结果；（2）利用二倍角正弦公式化为齐次式，进而弦化切，代入正切值即可.【详解】（1）由于角α的终边在直线y ＝2x 上，在角α的终边上任意取一点P （1，2），则由任意角的三角函数的定义可得r ＝|OP |=∴ tanαyx==2． （2）2222222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 132cos sin 2cos sin 2tan 2ααααααααααα---===---- 【点睛】本题考查三角函数的定义，三角函数的化简求值，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．18．在ABC ∆中，若24cos 4cos()10A B C +++=. （1）求角A 的大小（2）若a =3b c +=，且b c >，分别求b 、c 的值.【答案】(1) 3π (2) b 2c 1==，【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可得（2cos A ﹣1）2＝0，解得cos A 的值，结合范围A ∈（0，π），可求A 的值；（2）由题意可得：b ＝3﹣c ，进而利用余弦定理可求c 2﹣3c +2＝0，解方程可求c 的值，进而可求b 的值． 【详解】（1）∵24cos 4cos()10A B C +++=∴4cos 2A ﹣4cos A +1＝0，可得：（2cos A ﹣1）2＝0，∴解得：cos A 12=， ∵A ∈（0，π）， ∴A 3π=．（2）由题意可得：b +c ＝3，可得：b ＝3﹣c ，又由a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得：2＝（3﹣c ）2+c 2﹣2()132c c ⨯-⨯⨯， 可得：c 2﹣3c +2＝0，解得：21b c =⎧⎨=⎩，或12b c =⎧⎨=⎩． 又b c >∴2c 1b ==，. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．19．已知关于x 的函数()sin f x x x =+.（1）求()sin f x x x =+在区间(0,2)π内的零点；（2）若方程()f x a =在(0,)x π∈有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 23x π=或5,3x π= (2) 2a ＜.【解析】（1）由题意可得tan x =（2）作出()sin f x x x =+在(0,)x π∈上的图象，数形结合可得结果. 【详解】（1）令()sin 0f x x x =+=可得：sin x x =，即tan x = ∴,3x k k Z ππ=-∈，又(0,2)x π∈，∴23x π=或5,3x π=∴()sin f x x x =在区间(0,2)π内的零点为23x π=或5,3x π=（2）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，作出()sin f x x x =在(0,)x π∈上的图象：由方程()f x a =在(0,)x π∈有两个不同的实数解，2a ＜【点睛】本题考查三角函数零点问题，以及根据方程的解的个数求参数的范围，考查三角函数的图像与性质，考查数形结合思想，属于中档题.20．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，[,]42ππα∈，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π交单位圆于点B ，过B 作BC y ⊥轴于C.（1）若点A B 的横坐标； （2）求AOC ∆面积S 的最大值.【答案】（1）12-；（2． 【解析】【详解】试题分析：（1）根据三角函数的定义用α的三角函数表示出点,A B 的坐标，求出角α，即得B 的横坐标；（2）因为1sin 2S OA OC AOC =⋅⋅∠1sin()sin()232ππαα=+⋅-，根据三角恒等变换化简得1sin(2)43S πα=++求出23πα+的范围，找出最大值点，求出最大值. 试题解析：（1）定义得A (cos ,sin ),(cos(),sin())33B ππαααα++,依题意可知sin (,)42ππαα=∈，所以3πα=，所以B 的横坐标为21cos()cos .332ππα+==- （2）因为1OA =，sin(),,32OC AOC ππαα=+∠=-所以1sin 2S OA OC AOC =⋅⋅∠1sin()sin()232ππαα=+⋅-11(sin cos )cos 222ααα=+211(sin cos )22ααα=111cos 2(sin 2)242αα+=+11(sin 22)42αα=+1sin(2)43πα=+又因为[,]42ππα∈，所以542[,]363πππα+∈，当5236ππα+=，即4πα=时，sin(2)3πα+取得最大值为12，所以以S 的最大值为18+. 【考点】三角函数的定义、三角恒等变换、三角函数的值域.21．已知梯形ABCD 中，AB CD ∥，设AB a =，AD b =，CD c =，DAB α∠=.（1）如图①，若3πα=，且a c b +=，求证：222222AC BD b c +=+.（2）如图②，若A B B C ⊥且a b =，作B H A D ⊥交AD 于H ，直线BH 恰好平分四边形ABCD 的周长，求1sin cos αα+的值. 【答案】(1)见解析，（2）3【解析】（1）在△ABD 与△ADC 中分别利用余弦定理，两式累加并结合条件可得结果；（2）根据线BH 恰好平分四边形ABCD 的周长建立等量关系即可得到结果.【详解】（1）∵AB CD ∥，3πα=∴2ADC=3π∠在△ABD 中， 222222cos3ab ab BD b a b a π-=+-=+ 在△ADC 中，2222222cos3AC b c c b c bc b π-=++=+ 两式累加可得：()222222AC BD b b c c a a +=++-+，又a c b +=，∴()()222222AC BD b c c a a a c +=+++-+ 即222222AC BD b c +=+（2）过D 作DE AB ⊥于E ，在RT △ABH 中，a b =，DAB α∠=∴cos AH a α=，∴cos DH a a α=-，在RT △ADE 中，cos ,sin AE a DE a αα== ，∴cos ,sin BE DC a a BC a αα==-=，又直线BH 恰好平分四边形ABCD 的周长，∴AH AB DH DC BC +=++，即()()cos cos cos sin a a a a a a a αααα+=-+-+整理可得：3cos 1sin αα=+， ∴1sin 3cos αα+= 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.。

()3.若 a 2 > b > a > 1，则 log ,log a,log b 的大小顺序是.b a6.若方程 log (ax 2 - 2 x + 2)= 2 在 ⎢ , 2⎥ 内有解，则实数 a 的取值范围是 ⎣ 2 ⎦ = -1，则 =.f sin ⎪=.,sin α = - ,α ∈ π π ⎪高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1.已知 log 7 ⎡⎣log 3 (log 2 x )⎤⎦ = 0 ，那么 x 等于.2.lg 3 - lg 9 + 1 lg 27 + lg8 - lg 10002lg 0.3lg1.2= .bb a 4.函数 y = log (x 2 - 6 x + 17 )的值域是 . 125．函数 y = x 2 - 2ax - 3 在区间 [1,2 ]上存在反函数的充要条件是.2 ⎡ 1 ⎤.7.已知一个扇形的周长为 6，该扇形的中心角为 1 弧度，则该扇形的面积是.8.已知点 P (sin θ - cos θ ,tan θ ) 在第一象限，则在 [0,2π ]内θ 的取值范围是9.已知 sin (3π + θ ) = 1，求4.cos (π + θ ) cos (θ - 2π )cos θ ⎡⎣cos (π + θ )-1⎤⎦ + cos (θ + 2π )cos (π + θ )+ cos (-θ ) =.10.已知 tan α sin α - 3cos αtan α - 1 sin α + cos α11.求值： sin 4 α + cos 4 α - 1 sin 6 α + cos 6 α - 1= .12.函数 f (x )满足 f (cos x ) = 1 x (0 ≤ x ≤ π ) ，则 2⎛ ⎝4π ⎫ 3 ⎭13.若 cos (α - β ) = 5 4 ⎛ - , ⎫, β ∈ (0,π )，则 cos β =13 5 ⎝ 2 2 ⎭14.若 sin α + sin β + sin γ = 0,cos α + cos β + cos γ = 0 ，则 cos (α - β ) =..16．函数 y = lg- 1⎪ 的图象关于 2D. 32 > 02 < 12 > cos 21.已知 sin α + cos α = ，其值：二、选择题：15．已知 x 2+ y 2= 1, x > 0, y > 0 ，且 log (1 + x ) = m ,loga1a1 - x= n ，则 log y 等于aA. m + nB. m - nC. 1(m + n ) D. 1(m - n )2 2⎛ 2 ⎫ ⎝ 1 + x⎭A. x 轴对称B. y 轴对称C. 原点对称D.直线 y = x 对称17．已知 g (x ) = log x + 1 (a > 0, a ≠ 1)，在 (-1,0 ) 上有 g (x ) > 0 ，则 f (x ) = a x +1 在 aA. (-∞,0 )上递增B. (-∞,0 )上递减C. (-∞, -1)上递增D. (-∞, -1)上递减18．已知sinα1 - cos2 α= cos α1 - sin2 α，则 α 的终边在A. 第一象限B.第二象限C. 第一或第三象限D.第二或第四象限19．锐角 α 终边上一点 A 的坐标为 (2sin3, -2cos3 )，则角 α 的弧度数为A. π - 3B. 3 - πC. 3 -20．如果 θ 是第一象限角，那么恒有π2A. sin θB. tanθC. sinθθ 2 D. sin θ 2 < cos θ2三、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.13（1） sin α cos α ；（2） sin 3 α + cos 3 α（3） sin 5 α + cos 5 α .(t an α -cot α ) sin α = - ，求 log（2）如果 sin α = sin β ，且 tan α = tan β ，求 csc α 的值.22.已知 f (x ) = a ⋅ 2x - 1(a ∈ R )是 R 上的奇函数.2x + 1（1）求 a 的值；（2）求 f (x )的反函数；（3）对任意 k ∈ (0, +∞)的解不等式 f -1 (x ) > log 21 + x k.23.已知 α 是锐角.（1）如果 log 34 tan α cos β 的值；7 18 422.已知函数 f (x ) = log (x - 3a )(a > 0, a ≠ 1)，当点 P (x, y ) 是函数图象上的点时，点aQ (x - 2a, - y )是函数 y = g (x )的图象上的点.（1）写出函数 y = g (x )的解析式；（2）当 x ∈[a + 2, a + 3]时，恒有 f (x )- g (x ) ≤ 1，试确定 a 的取值范围.4. 求函数 f ( x ) = sin(-2 x +) 的单调递减区间5. 若锐角 α 、 β 满足 cos α = 3， cos(α + β ) = - ，则 cos β =8. 若函数 f ( x ) = 2sin ω x （ 0 < ω < 1）在区间 [0, ] 上的最大值是 2 ，则 ω =上海市高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 半径为 2，圆心角为 300°的圆弧长为2. 函数 y =| tan x | 的对称轴是3. 在平面直角坐标系中，已知角 θ 的顶点在坐标原点，始边为 x 轴正半轴重合，终边在直线 y = 3x 上，则 sin 2θ =π35 5 136. 已知函数 f ( x ) = lg(tan x -1) + 9 - x 2 ，则 f ( x ) 的定义域是7. 若长度为 x 2 + 4 、 4x 、 x 2 + 6 的三条线段可以构成一个锐角三角形，则 x 的取值范围是π39. 如图所示，在塔底 B 处测得山顶 C 的仰角为 60°，在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45°，已知塔高 AB = 20 米，则山高 DC =米10. 函数 y = sin x + cos x的值域为1 + sin x cos x11. 已知 f ( x ) = a sin 3 x + b 3 x ⋅ cos 3 x + 4 （ a, b ∈ R ），且 f (sin10 ︒) = 5 ，则 f (cos100 ︒) =12. 设 a 、 b 均为大于 1 的自然数，函数 f ( x ) = a(b + sin x) ， g ( x ) = b + cos x ，若存在实数 m ，使得 f (m ) = g (m ) ，则 a + b =二. 选择题13. 若 MP 和 O M 分别是角 7π的正弦线和余弦线，则（ ）6A. MP < OM < 0B. OM > 0 > MP14. 已知 α , β ∈ (0, ) ，则下列不等式一定成立的是（）析式为 y = 2sin(2 x + ) ；② 该函数图像关于点 ( ,0) 对称；③ 该函数在 [0, ] 上是增函数；④ 若函数 y = f ( x ) + a 在 [0, ] 上的最小值为3 ，则 a = 2 3 ；2 2+ C. OM < MP < 0D. MP > 0 > O Mπ2A. sin(α + β ) < sin α + sin βB. sin(α + β ) > sin α + sin βC. cos(α + β ) < sin α + sin βD. cos(α + β ) > cos α + cos β15. 把函数 y = sin 2 x 的图像沿 x 轴向左平移 π个单位，纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标6不变）后得到函数 y = f ( x ) 的图像，对于函数 y = f ( x ) 有以下四个判断：① 该函数的解πππ6 3 6π2其中正确的判断有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个16. 定义在区间 [-3π ,3π ] 上的函数 y = sin | 2 x | 与 y = cos x 的图像的交点个数为（）A. 12 个B. 14 个C. 16 个D. 18 个三. 简答题17. 已知 cos(2θ - 3π ) = 7，且θ 是第四象限角；25（1）求 cos θ 和 sin θ 的值；π3πcos( - θ ) sin(θ - )（2）求 的值；tan θ[cos(π + θ ) - 1] tan(π - θ )cos( -θ )19. 设 ∆ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 对边分别是 a 、 b 、 c ，且满足 a cos C + c = b ；18. 已知函数 f ( x ) = cos x(sin x + cos x) + 12；（1）若 tan α = 1，求 f (α ) 的值；2（2）求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间；12（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 1 ，求 ∆ABC 的周长 l 的取值范围；20. 函数 y = f ( x ) 满足 f ( x + 3) = f (1- x) ，且对于 x , x ∈ (2, +∞) ，有 1 2成立，若 f (cos 2 θ + 2m 2 + 2) < f (sin θ + m 2 - 3m - 2) 对 θ ∈ R 恒成立；（1）判断 y = f ( x ) 的单调性和对称性；（2）求 m 的取值范围；f ( x ) - f ( x )1 2 x - x 1 2> 021. 已知函数 f ( x ) 、 g ( x ) 满足关系 g ( x ) = f ( x ) ⋅ f ( x + ) ；π2（1）设 f ( x ) = cos x + sin x ，求 g ( x ) 的解析式；（2）当 f ( x ) =| sin x | + cos x 时，存在 x , x ∈ R ，对任意 x ∈ R ， g ( x ) ≤ g ( x ) ≤ g ( x ) 恒成立，求1 212| x - x | 的最小值；1 2π 2. x = , k ∈ Z 3. 4. [k π - , k π + ], k ∈ Z6. (- , - ) U ( , )7. ( , )8. 1 152 317.（1） cos θ = ， sin θ = - ；（2） ；；（2）最小正周期 T = π ，单调增区间： [k π - , k π + ], k ∈ Z ；参考答案一. 填空题1.5.10 k π 3 π 5π3 2 5 12 1233 3π π π π 3 65 4 2 4 2 49. 30 + 10 310. [-1,1]`11. 312. 4二. 选择题13. C14. A 15. B 16. B三. 简答题3 4 95 5 418.（1） 17 3π π10 8 819.（1） π 3；（2） l ∈ (2,3] ；20.（1）对称轴 x = 2 ，单调减区间 (-∞, 2) ，单调增区间 (2, +∞ ) ；（2） m ∈ ( 3 - 42 , 3 + 42) ；6 621.（1） g ( x ) = cos 2 x ；（2） 2π ；2. cos 23π5. 在 ∆ABC 中， ∠A =2π， a = 3c ，则 = 8. 已知 θ 是第四象限角，且 sin(θ + ) = - ，则 tan(θ - ) =， sin(α - β ) = - ， α , β ∈ (0, ) ，则 β = （ ）B. C. D.A. y = 2sin(2 x - )B. y = 2sin(2 x - )C. y = 2sin(2 x + )D. y = 2sin(2 x + )上海市高一第二学期期中考试数学卷一. 填空题1. 弧度数为 3 的角的终边落在第象限3π - sin 2=883. 若函数 f ( x ) = a sin x + 3cos x 的最大值为 5，则常数 a =4. 已知 {a } 为等差数列， S 为其前 n 项和，若 a = 8 ， a + a = 0 ，则 S =n n1468a3 b6.函数 y = sin x - 3 cos x 的图像可由函数 y = 3 sin x + cos x 的图像至少向右平移个单位长度得到7. 方程 3sin x = 1 + cos2 x 的解集为π 3 π4 5 49. 无穷数列 {a } 由 k 个不同的数组成， S 为 {a } 的前 n 项和，若对任意 n ∈ N * ， S ∈{1,3} ， n nnn则 k 的最大值为10. 在锐角 ∆ABC 中，若 sin A = 3sin B s in C ，则 tan A t an B tan C 的最小值是二. 选择题11. 已知 sin α =10 5 π 10 5 2A. 5π π π π 12 3 4 612. 函数 y = A s in(ω x + ϕ ) 的部分图像如图所示，则（）ππ63ππ6313. “ sin α < 0 ”是“ α 为第三、四象限角”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2），x=-4为f(x)的零点，x=4为y=f(x)的图像的对称轴，且f(x)在(,)单调，则ω的最大值为（）-=，S=63；a a a17.已知函数f(x)=4tan x sin(-x)cos(x-)-3；,]上的单调性与最值；18.已知方程arctan+arctan(2-x)=a；（1）若a=π，求arccos的值；14.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)（ω>0，|ϕ|≤ππππ5π836A.11B.9C.7D.5三.简答题15.在∆ABC中，a2+c2=b2+2ac；（1）求∠B的大小；（2）求cos A+2cos C的最大值；16.已知{a}是等比数列，前n项和为S（n∈N*），且n n（1）求{a}的通项公式；n 1121236（2）若对任意的n∈N*，b是log a和log an2n2n+1的等差中项，求数列{(-1)n b2}的前2n项和；nππ23（1）求f(x)的定义域与最小正周期；（2）求f(x)在区间[-ππ44x2x42（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；1. 二2. -23. ±44. 85. 36. 7. {x | x = k π + (-1)k ⋅ }, k ∈ Z8.9. 410. 122 , k ∈ Z } ， T = π ；, ] ，单调递减： [- ； （2） [arctan ,arctan ] ；（3）19 ；（3）若方程在区间 [5,15] 上有两个相异的解 α 、 β ，求 α + β 的最大值；参考答案一. 填空题π22π4 63二. 选择题11. C12. A 13. B 14. B三. 简答题15.（1） π；（2）1 ；416.（1） a = 2n -1 (n ∈ N * ) ；（2） T = 2n 2 ；n2n17.（1）定义域 {x | x ≠ k π + π（2）单调递增： [- π π π π , - 12 4 4 12]，最大值为 1，最小值为 -2 ；18.（1） π 或 π 1 13 -2 10 - 6 2 10 - 611。

上海市高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______4、若要将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____ 5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫ ⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____ 8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。

其中正确结论的序号为_________10、在角α的终边上任取一点),(y x P ，记)0(22≠+=xy y x r ，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“y x r sct +=α”，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,5sct ，则)(α-sct =_______ 二、解答题（共5题，满分50分）11、（本题满分8分，其中第（）1小题4分，第（2）小题4分）解下列三角方程（1）αα2cos 31sin 5=+（2）215sin 2sin 5cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+πααπαα12、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 已知7174tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ （1）求αtan 以及ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值 （2）若20,20πβπα<<<<，且6516)cos(-=+βα，求β的值（用反三角函数表示）13、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题满分5分） 已知函数x x x x f ωωω2cos 2cos sin 32)(-=（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π （1）求ω的值，并求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的单调递增区间 （2）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的长分别是c b a 、、，若2,4,12===⎪⎭⎫⎝⎛c C A f π，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值14、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西︒20方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西︒40方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得D B ,间的距离为21海里（1）求BDC ∠sin 的值（2）试问海警船再向前航行多少时间方可到岛A ？15、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线)0(3≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈3,2,ππαα （1）用α表示Q P 、的坐标（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值。

上海市新中高级中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）在第三象限，则角α的终边在第________象限． 2.设一扇形的弧长为4cm ，面积为4cm 2，则这个扇形的圆心角的弧度数是 . 3.已知3sin 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭则sin2x 的值为________. 4.若要将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移(0)m m >个单位，从而得到函数sin 2y x=的图像，则m 的最小值为_____.5.已知α是第三象限的角，若tan 2α=，则sin cos()2παπα⎛⎫+--⎪⎝⎭=______.6.若函数()2cos 2f x x a x =+的图像关于直线8x π=-对称，则实数a =_____.7.已知等腰三角形的顶角大小为7arccos 25⎛⎫-⎪⎝⎭，则该三角形底角的正弦值为_____. 8.已知函数()sin(),(0,0,0)f x A x A ωφωφπ=+>>≤≤的部分图像如图所示，则()y f x =的解析式是()f x =_________.9.给出函数()cos 2cos f x x x =+，有以下四个结论：①该函数的值域为[0,3]；②当且仅当()x k k Z π=∈时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为,()2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；④当且仅当13m <<时，方程()f x m =在02x π<<上有两个不同的根，且这两个根的和为2π。

其中正确结论的序号为_________.10.在角α的终边上任取一点(,)P x y ，记0)r xy =≠，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“r sct x y α=+”，若5,,2sct πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()sct α-=_______.二、解答题（题型注释）（1）25sin 13cos αα+= （2）1cos 2cos sin 2sin 552ππαααα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12.已知17tan 47πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭; （1）求tan α以及2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值;（2）若0,022ππαβ<<<<，且16cos()65αβ+=-，求β的值（用反三角函数表示）.13.已知函数2()cos 2cos f x x x x ωωω=-（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π； （1）求ω的值，并求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间; （2）在ABC ∆中，内角、、A B C 所对边的长分别是a b c 、、，若1,,224A f C c π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值.14.如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？15.如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线(0)y x =≥交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为,,23ππαα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭;（1）用α表示P Q 、的坐标;（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值.参考答案1.二【解析】1.试题分析：由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．解：因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以，tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为：二．2.2【解析】2.试题设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，由弧度制下扇形的弧长与面积计算公式可得，，解得半径r=2，圆心角的弧度数，所以答案为2．3.7 25【解析】3.利用二倍角的余弦函数公式求出cos22xπ⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再利用诱导公式化简，将cos22xπ⎛⎫-⎪⎝⎭的值代入计算即可求出值．解：∵3sin45xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，2187cos212sin1242525x xππ⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2x＝cos22xπ⎛⎫-⎪⎝⎭=7 25，故答案为：7 25.4.6π【解析】4.根据三角函数的相位变换规则解答．解：将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)m m >个单位长度，即可得到()sin 23y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦的图象，由题意知()sin 2sin 23y x m x π⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦则()2023m k k Z ππ-=+∈解得()6m k k Z ππ=-∈，0m >min 6m π∴=故答案为：6π5.【解析】5.由α为第三象限角，且tan α的值，利用同角三角函数间基本关系求出cos α的值，用诱导公式将目标式化简，代入可得． 解：因为α是第三象限的角且tan 2α=22sin cos 1sin 2cos αααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得cos α= ()sin cos()cos cos 2cos 2παπαααα⎛⎫+--=--= ⎪⎝⎭sin cos()25παπα⎛⎫∴+--=-⎪⎝⎭故答案为：6.【解析】6.由()2cos 2f x x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，可得(0)()4f f π=-，从而可求得a ．解：()2cos 2f x x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，(0)()4f f π∴=-，即0cos0)cos()22a a ππ+-+-，a ∴=故答案为：7.35【解析】7.设顶角为α，则底角为222παπα-=-，由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得cos2α，利用诱导公式即可求出底角的正弦值。

2018-2019学年度高一年级第二学期期中考试本试卷分第I卷和第II卷两部分，共11页。

第I卷为选择题，共100分；第II卷为非选择题，共50分。

全卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共100分）第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

( )1.When does the store close in the evening?At 11:00. B. At 11:30. C. At 12:00.( )2.What will the woman probably do?A.Water the plants.B.Wash the car.C. Do nothing.( )3.Where did the woman meet Tom?Outside the bank. B. In the bank. C. In the p ost office.( )4.What do we know about James?He is never late. B. He is often late. C. He is not pati ent.( )5.What will the woman do?To sit down before going in.To go into the store with the man.C. To buy the shoes before going in.第二节（共15小题；每小题1.5分,满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

上海市高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______ 4、若要将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____ 8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。

其中正确结论的序号为_________10、在角α的终边上任取一点),(y x P ，记)0(22≠+=xy y x r ，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“y x r sct +=α”，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,5sct ，则)(α-sct =_______ 二、解答题（共5题，满分50分）11、（本题满分8分，其中第（）1小题4分，第（2）小题4分） 解下列三角方程（1）αα2cos 31sin 5=+（2）215sin 2sin 5cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+πααπαα12、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知7174tan -=⎪⎭⎫⎝⎛+απ（1）求αtan 以及ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值（2）若20,20πβπα<<<<，且6516)cos(-=+βα，求β的值（用反三角函数表示）13、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题满分5分）已知函数x x x x f ωωω2cos 2cos sin 32)(-=（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π（1）求ω的值，并求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的单调递增区间 （2）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的长分别是c b a 、、，若2,4,12===⎪⎭⎫⎝⎛c C A f π，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值14、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西︒20方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西︒40方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得D B ,间的距离为21海里 （1）求BDC ∠sin 的值（2）试问海警船再向前航行多少时间方可到岛A ？15、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线)0(3≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为⎪⎭⎫⎝⎛-∈3,2,ππαα （1）用α表示Q P 、的坐标（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值上海市高一下学期数学期中考试试卷一、填空题1.幂函数()x f 的图像经过点()4273，，则()x f 的解析式是 . 2.若角α的终边上一点)0)(4,3≠-a a a P （，则cos α= . 3.若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为 . 4.已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限.5.已知(()sin 5πα-=α在第二象限角，则 tan α= . 6.已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α= .7.求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ+︒-︒-= . 8.已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos 2x = . 9.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是 . 10.ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则B = .11.已知函数()1()2xf x =，()12log g x x =，记函数()()()⎩⎨⎧=x f x g x h ()()()()x g x f x g x f ＞≤，则函数()()5-+=x x h x F 所有零点的和为 .12. 如果满足︒=45B ，10=AC ，k BC =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是 .二、选择题13. 2πθ=“”是“x x cos )sin(=+θ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件的值等于（ ）A. 2cosB. 21cos C. 2cos - D.21cos - 15.ABC ∆中，三边长分别为x 、y 、z ，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0＞＞＞＞b a a c ，若a b c 、、是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（ ）①存在x R +∈，使xa 、xb 、xc 不能构成一个三角形的三条边 ②对一切()1,∞-∈x ，都有()0＞x f③若ABC ∆为钝角三角形，则存在()2,1∈x ，使()0=x fA.①②B. ①③C.②③D. ①②③三、解答题17.已知α为第二象限角，化简212sin(5)cos()33sin()1sin ()22πααπαππα+-----+．18.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα＜＜＜，求：（1）tan 2α；（2）βcos ． 19.如图，D C 、是两个小区所在地，D C 、到一条公路AB 的垂直距离分别为km DB km CA 2,1==，AB 两端之间的距离为km 6.（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对C A 、的张角与P 对D B 、的张角相等，试确定点P 的位置；（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对D C 、所张角最大，试确定点Q 的位置.20.若函数()x f 定义域为R ，且对任意实数12,x x ，有1212()()()f x x f x f x ++＜，则称()x f 为“V 形函数”，若函数()x g 定义域为R ，函数()0＞x g 对任意R x ∈恒成立，且对任意实数12,x x ，有[][][]1212lg (lg ()lg ()g x x g x g x ++＜，则称为“对数V 形函数” .（1）试判断函数()2f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由；（2）若()1()2xg x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()x f 是“V 形函数”，且满足对任意R x ∈，有()2＞x f ，问()x f 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；（2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值； （3）为了研究边长c 、、b a 满足3489≥≥≥≥≥≥c b a 的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=（其中)(21c b a p ++=， 三角形面积的海伦公式）， ∴216)()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++（ ()()2222[][]a b c c a b =+---42222222()()c a b c a b =-++--()222222[]4c a ba b=--++，而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36≤S ，但是，其中等号成立的条件是222,9,8c a b a b =+==，于是2145c =与43≤≤c 矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．试卷答案一、填空题1. ()34f x x=2. 35± 3.2:3 4. 二 5. 12- 6. 39. 3π 10.34π11. 512. (0,10]{k ∈U二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D三、解答题17.【解析】原式sin cos 1cos sin αααα-==--18. 【解析】（1）1cos tan 7αα=⇒=22tan tan 21tan 14847ααα===--- （2）[]cos cos ()βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317147142=⨯+⨯= 19.【解析】（1）张角相等，∴2:1::==DB CA PB AP ，∴4,2==PB AP (2)设AQ =x ，∴6QB x =-，∴tan C x =，6tan 2x D -=，tan tan tan tan()1tan tan C D C D C D θ+=+=-2662x x x +=-+，设6+=x t ，)6,0(∈x ，2tan 1874tt t θ=-+，(6,12)t ∈， ∴1tan 7418t tθ=∈+-(,(3,)-∞+∞U，(arctan 3,θπ∈-， 当且仅当74=t 时，等号成立，此时674-=x ，即674-=AQ20.【解析】（1）()()21212f x x x x +=+，221212()()f x f x x x +=+，当1x 、2x 同号时，()2221212x x x x +>+，不满足1212()()()f x x f x f x ++＜，∴不是“V 形函数”（2）1()()02xg x a =+＞恒成立，∴0≥a ，根据题意，1212()()()g x x g x g x +⋅＜恒成立， 即1212111()()][()]222x x x x a a a ++++＜[，去括号整理得12111[()()]22x x a >-+，∴1a ≥（3）1122()()()f x f f x x x +<+，∵()12f x >，∴1()11f x ->，同理2()11f x ->， ∴12[()1][()1]1f x f x -->，去括号整理得1212()()()()f x f x f x f x +＞，∴1212()()()f x x f x f x +＜，[][][]1212lg ()lg ()lg ()f x x f x f x ++＜，是“对数V 形函数”21.【解析】（1）设两直角边为b a 、=≥=∴12P a b =++2612+（2）设夹α的两边为b a 、，则第三边b a p --，∴222()7cos 29a b p a b ab α+---==，∴223218189369ab ap bp p p =+-≥，∴0)38)(34(≥--p ab p ab ，∵0)34＜（p ab -，∴038≤-p ab ，即2964ab p ≤，22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯=，即面积最大值为232p （3）不正确，∵海伦公式三边可互换， ∴22222222216[()]44S a c b c b c b =--++≤，即2164166416S S ≤⨯⨯≤，，此时22280a b c =+=，a =16上海高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 已知角θ的终边在射线2y x =(0)x ≤上，则sin cos θθ+=2. 若32ππα<<1111cos22222α++= 3. 函数2cos(3)5y x π=+的最小正周期为4. 在△ABC 中，若sin sin()1cos()cos 22A B B A ππ-=--，则△ABC 为 三角形 （填“锐角”、“直角”或“钝角”）5. 若3cos()5αβ+=，4cos()5αβ-=，则tan tan αβ= 6. 已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x = （用反正弦表示） 7. 函数22sin 3sin 1y x x =-+，5[,]66x ππ∈的值域为8. 将函数cos2sin 2y x x =-的图像向左平移m 个单位后，所得图像关于原点对称，则实数m 的最小值为9. 若函数sin3cos3y x a x =+的图像关于9x π=-对称，则a =10. 若函数()sin f x x =和()cos()3g x x π=-定义域均是[,]ππ-，则它们的图像上存在个点关于y 轴对称11. 已知k 是正整数，且12017k ≤≤，则满足方程sin1sin 2sin k ︒︒︒++⋅⋅⋅+=sin1sin 2sin k ︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅的k 有 个12. 已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++，其中A 、B 、ω、ϕ均为实数，且0A >，0ω>，||2πϕ<，写出满足(1)2f =，1(2)2f =，(3)1f =-，(4)2f =的一个函数()f x = （写出一个即可）二. 选择题13. 已知02πα-<<，则点(cot ,cos )αα在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限14. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)π上单调递增的是（ ）A. tan ||y x =B. cos()y x =-C. sin()2y x π=- D. 3cos()2y x π=+ 15. 将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点P '，若 点P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）A. 12t =，s 的最小值为6π B. 2t =，s 的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为3π D. t =，s 的最小值为3π 16. 若α、[,]22ππβ∈-，且sin sin 0ααββ->，则下列结论中正确的是（ ） A. αβ> B. 0αβ+> C. αβ< D. 22αβ>三. 简答题17.求证：sin(2)sin2cos()sin sinαββαβαα+-+=.18.已知tan2θ=-(,)42ππθ∈. （1）求tanθ的值；（2）求22cos sin12sin()4θθπθ--+的值.19.写出函数222sin cosy x x x x=+的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称点坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图像.20. 已知集合{()|()(2)(1)}A f x f x f x f x =++=+，()sin()3xg x π=.（1）求证：()g x A ∈；（2）()g x 是周期函数，据此猜想A 中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）()g x 是奇函数，据此猜想A 中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论.21. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的最小正周期为π，其图像的一个对称 中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再 将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2017个零点.参考答案一. 填空题1. 5-2. sin 2α 3. 23π 4. 直角 5. 176. 2arcsin5π+ 7. 1[,0]8- 8. 8π 9. 10. 2 11. 11 12. 21()3sin()332f x x ππ=-+ 二. 选择题13. B 14. C 15. A 16. D三. 简答题17. 略.18.（1）2； （2）3.19. 值域：[2,2]-；递增区间：5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈；对称轴：526k x ππ=+，k Z ∈； 对称中心：(,0)23k ππ+，k Z ∈；作图：略. 20.（1）略； （2）是； （3）不是，反例：()cos()3f x x π=.21.（1）()cos2f x x =，()sin g x x =； （2）1a =，1345n =.。