初四数学复习代数式3
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(一)用字母表示数,列式表示数量关系
用字母表示数,可以简明地表达一些一般
的数量和数量关系,即把问题中与数量有
关的语句,用含有数、字母和运算符号的
式子表示出来.
(二)代数式的概念
(1)定义:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表
示数的字母连接而成的式子,叫做代数式,单独的一个数或一个字
母也是代数式.
(2)注意:代数式中不含“=”“>”“<”“≠”等符号.
(三)列代数式
1.把问题中与数量有关的语句,用含有数、字母和运算符号的式子
表示出来,这就是列代数式.
2.书写代数式的注意事项:
3.列代数式的步骤:
(1)读懂题意,弄清其中的数量关系,抓住题
目中表示运算关系的关键词,如和、差、积、
商、比、倍、分、大、小、增加了、增加到、
减少、几分之几等.
(2)分清运算顺序,注意关键性断句及括号的恰当使用.
(四)解释简单代数式表示的实际背景或几何意义
实际问题中的数量关系可以用代数式表示,另一方面,同一个代数式可以揭示多种不同的实际意义.注意在说代数式表示的实际意义时,数与字母的含义必须与实际相符.
(五)求代数式的值
提示:(1)代数式与代数式的值是两个不同的概念,代数式表述的是问题的一般规律,而代数式的值是这个规律下的特殊情形.(2)代数式中字母的取值,必须使该代数式有意义.
(3)用代数式表示实际问题的数量关系时,字母的取值要保证具有实际意义.
(4)代数式中的字母每取一个确定的数时,能相应地求出代数式的一个确定值.。
初中数学基础知识点第三章代数式第三章代数式考点一:代数式及其分类1.代数式:用基本运算符号(如+、-、*、/等)把数或者表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也叫代数式注意:(1)在代数式中不含表示数量关系的符号,如“=”、“>”、“<”、等(2)代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义,与实际问题有关的还要符合实际意义2.代数式的分类考点二:列代数式1.把问题中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来,这就是代数式。
2.列代数式的一般步骤:①认真审题,仔细分析问题中基本术语的含义,如:和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之一、增加、增加到、减少、减少到、扩大、缩小等;②注意问题的语言叙述表示的运算顺序,一般来说,先读的先写,如“和的平方”即先和再平方,而“平方和”则是先平方后和③在同一问题中,不同的数量,必须用不同的字母来表示3.代数式的书写要求:(1)数、字母、括号之间的乘号省略。
如m*n可写作mn、(a+b)*3可以写作3(a+b);但是数字和数字相乘任然用乘号“x”,不应该用“.”更不能省略(2)除号用分数线代替(3)带分数做系数是必须化成假分数(4)和或差的式子,后面有单位时,式子要用括号括起来,如(x+y)天(5)相同字母的积用幂的形式表示,如a*a*a一般写成a3 (6)若设n为整数,则偶数可表示为2n(或2n-2 、 2n+2等);奇数可表示为2n+1(或2n-1等),三个连续整数可表示为n、n+1、n+2(或n-1、n、n+1等),三个连续偶数常表示为2n-2、2n、2n+2,三个连续奇数常表示为2n-1、2n+1、2n+3(非常重要)(7)多位数的表示方法:如果一个三位数,百位数字为a、十位数字为b、个位数字为c,不能把这三个数字直接写成abc,而是写成100a+10b+c(需要注意)考点三:代数式的值1.用数字代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算出的结果叫做代数式的值2.求代数式的值得一般步骤是化简、代入、计算。
《代数式复习教案》一、教学目标1. 知识与技能:(1)理解代数式的概念,掌握代数式的表示方法;(2)熟练掌握代数式的运算规则,包括加减乘除、幂的运算等;(3)能够运用代数式解决实际问题。
2. 过程与方法:(1)通过复习代数式的概念和运算规则,提高学生的数学思维能力;(2)培养学生运用代数式解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观:(1)培养学生对数学的兴趣和自信心;(2)培养学生合作、探究的学习精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点:(1)代数式的概念及其表示方法;(2)代数式的运算规则;(3)运用代数式解决实际问题。
2. 教学难点:(1)代数式的运算规则;(2)运用代数式解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课:(1)复习代数式的概念,引导学生回顾已学的代数式;(2)提问:代数式有什么表示方法?如何进行运算?2. 知识讲解:(1)讲解代数式的表示方法,如变量、常数、运算符号等;(2)讲解代数式的运算规则,包括加减乘除、幂的运算等;(3)举例讲解如何运用代数式解决实际问题。
3. 课堂练习:(1)布置练习题,让学生独立完成;(2)选取部分学生的作业进行讲解和点评。
四、课后作业1. 复习代数式的概念和运算规则;2. 运用代数式解决实际问题;3. 完成课后练习题。
五、教学反思2. 针对学生的学习情况,提出改进措施:对于代数式的运算规则,要加强练习和讲解,让学生熟练掌握;在解决实际问题时,要引导学生运用代数式进行分析和解答,提高学生的应用能力;3. 布置下一节课的内容:复习代数式的应用,如方程、不等式等。
六、教学评价1. 学生自评:学生可以根据自己的学习情况,评价自己在代数式概念、运算规则以及实际应用方面的掌握程度。
2. 同伴评价:学生之间可以相互评价,互相学习,提高彼此的数学能力。
3. 教师评价:教师根据学生的课堂表现、作业完成情况和课后练习情况,对学生的学习效果进行评价。
七、教学拓展1. 对比分析:让学生对比代数式和数学表达式,了解它们的相同点和不同点。
专题03代数式一、同类项及合并同类项【高频考点精讲】1.同类项判定(1)定义:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,这样的项叫做同类项。
(2)注意事项:①所含字母相同并且相同字母的指数也相同,两者缺一不可;②同类项与系数的大小无关;③同类项与它们所含的字母顺序无关;④所有常数项都是同类项。
2.合并同类项(1)定义:把多项式中的同类项合成一项,叫做合并同类项。
(2)法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
【热点题型精练】1.(2022•湘潭中考)下列整式与ab2为同类项的是()A.a2b B.﹣2ab2C.ab D.ab2c2.(2022•永州中考)若单项式3x m y与﹣2x6y是同类项,则m=.3.(2022•定西模拟)已知3x2y+x m y=4x2y,则m的值为()A.0B.1C.2D.34.(2022•西藏中考)下列计算正确的是()A.2ab﹣ab=ab B.2ab+ab=2a2b2C.4a3b2﹣2a=2a2b D.﹣2ab2﹣a2b=﹣3a2b25.(2022•玉林中考)计算:3a﹣a=.6.(2022•荆州模拟)单项式x m+1y2﹣n与2y2x3的和仍是单项式,则m n=.二、列代数式及求值【高频考点精讲】1.列代数式(1)在同一个式子或具体问题中,每一个字母只能代表一个量。
(2)要注意书写的规范性,用字母表示数以后,在含有字母与数字的乘法中,通常将“×”简写作“•”或者省略不写。
(3)在数和表示数的字母乘积中,一般把数写在字母的前面。
(4)含有字母的除法,一般不用“÷”,而是写成分数的形式。
2.代数式求值(1)代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。
(2)代数式求值步骤:①代入;②计算。
如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值。
【热点题型精练】7.(2022•长沙中考)为落实“双减”政策,某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲,乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的单价为10元/本,乙种读本的单价为8元/本,设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为()A.8x元B.10(100﹣x)元C.8(100﹣x)元D.(100﹣8x)元8.(2022•杭州中考)某体育比赛的门票分A票和B票两种,A票每张x元,B票每张y元.已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元,则()A.||=320B.||=320C.|10x﹣19y|=320D.|19x﹣10y|=3209.(2022•嘉兴中考)某动物园利用杠杆原理称象:如图,在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态),将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A,B处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为k(N).若铁笼固定不动,移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍,且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为(N)(用含n,k的代数式表示).10.(2022•六盘水中考)已知(x+y)4=a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4,则a1+a2+a3+a4+a5的值是()A.4B.8C.16D.3211.(2022•广西中考)阅读材料:整体代值是数学中常用的方法.例如“已知3a﹣b=2,求代数式6a﹣2b﹣1的值.”可以这样解:6a﹣2b﹣1=2(3a﹣b)﹣1=2×2﹣1=3.根据阅读材料,解决问题:若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解,则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是.12.(2022•苏州中考)已知3x2﹣2x﹣3=0,求(x﹣1)2+x(x+)的值.三、数字及图形变化规律【高频考点精讲】1.数字变化规律(1)探寻数列规律:将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算,从而得出通项公式。
初中代数式知识点一、代数式的概念。
1. 定义。
- 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或者一个字母也是代数式。
例如:5,a,3x + 2y,(a)/(b)(b≠0)等都是代数式。
2. 代数式的书写规范。
- 数字与字母相乘时,数字要写在字母前面,乘号可以省略不写。
例如:3× a 应写成3a。
- 带分数与字母相乘时,要把带分数化成假分数。
例如:1(1)/(2)x应写成(3)/(2)x。
- 除法运算一般写成分数形式。
例如:a÷ b应写成(a)/(b)(b≠0)。
二、整式。
1. 单项式。
- 定义:由数与字母的积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
例如:-2x,5y^2,a,-3等都是单项式。
- 系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
例如:在单项式-2x 中,系数是-2;在单项式5y^2中,系数是5。
- 次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如:在单项式-2x中,次数是1;在单项式5y^2中,次数是2。
2. 多项式。
- 定义:几个单项式的和叫做多项式。
例如:3x + 2y,x^2-2x + 1等都是多项式。
- 项:在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。
例如:在多项式x^2-2x + 1中,x^2、-2x、1都是它的项,其中1是常数项。
- 次数:多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。
例如:在多项式x^2-2x + 1中,次数最高的项是x^2,次数为2,所以这个多项式的次数是2。
3. 整式的运算。
- 同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
例如:3x^2y与-5x^2y是同类项。
- 合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母连同它的指数不变。
3.代数式、整式一、知识要点1. 代数式的概念:代数式有理式分式无理式2. 整式的有关概念(1) 与 的积叫做单项式,其中的数字因素叫做单项式的,单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的 .(2) 几个单项式的 组成多项式. 在多项式中,每个单项式叫做多项式的 ,其中,不含字母的项叫做. 一个多项式含有几项,就叫几项式,多项式的每一项都包含它前面的符号. 多项式中的最高次项的次数,就是这个多项式的 .如多项式2a +1- 3a 2是 次项式.(3) 所含相同,并且相同字母的 也相同的项,叫做同类项.3. 整式的运算(1)整式的加减运算(实质是合并同类项):若有括号,先去括号,再合并同类项(只合并同类项的系数). (2) 去括号法则:括号前面是“+”,去括号后各项都符号;括号前面是“—”,去括号后各项都符号. 如:+(a-b )= a-b ;-(a-b )= -a+b .⑤⎛ a ⎫ = ÷xy =4mx y (3) 幂的运算性质(式中的 m 、n 都是正整数)①a m ⋅ a n = ; ②a m ÷ a n = (a ≠ 0); ③ (a m)n=; ④ (ab )m=;n( b ≠ 0 ); ⑥ a =(a ≠ 0); ⑦ a 0=(a ≠ 0) .⎪ ⎝ b ⎭(4) 单项式乘法法则:单项式乘以单项式,先将它们的系数、相同字母的幂分别相乘;对于只在一个单项式中出现的字母,连同它的指数一起作为积的一个因式. 如:3ax 2y ·4xy 3=12ax 3y 4(5) 乘法公式: 一般多项式相乘(a + b )(c + d ) =;平方差公式 (a + b )(a - b ) = ;完全平方公式(a ± b )2 =.(6) 单项式除以单项式:把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式. 如: 2mx 3 y 4132 2(7) 多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式,再把所得的商相加. 如:(a + b + c ) ÷ d = (a + b + c ) ⋅ 1 = a + b + cd d d d二、例题分析 【例 1】列代数式:①某药品每盒按原价降低a 元后, 又下调了 20%,现每盒收费b 元,该药品的原价是每盒 元; ②某公司一季度盈利 a 万元,二季度比第一季度利润增加了 20%,则两.个.季.度.共盈利 万元.③某商品的进价为 x 元,售价为 120 元,则该商品的利润率可表示为 .【例 2】计算:①(a -b )2+b (2a +b );② (- 1y 2+ 2 xy ) - (x 2- 1 xy +1y 2 )5 3 5 10【例 3】先化简,再求值: a (a - 2b ) - 2(a + b )(b - a ) + (a + b )2,其中a = - 1,b = 1.23【例 4】(1) -[a -(b-c )]去括号正确的是()A . -a-b+cB. -a+b-cC . –a-b-cD . -a+b+c(2) 多项式5a 3 - 3ab + ab - 4a 3 + 21合并同类项的结果是( )A . a 3 - 4ab + 21B . a 3 + 2ab + 21C . a 3 - 2ab + 21D . a 3 + 4ab + 21(3) 若3x = 4,9y = 7 ,则3x-2y 的值为( ) A .4 B . 7 C . -3 D .2747(4) 下列计算正确的是()A . (a +b )2= a 2+b 2(5) 下列各式中不正确的是(B .(-a )2.(-a ) 4=(-a )6)C . a 8 ÷ a 2=a 4D . a 4+a 3=-a 7A . (x 2 y 3 )2 = x 4 y 6B . (-x 3 y 2 )3 = -x 9 y 6C . (-2x 2 )4 = -4x 4D . (2x n y 3 )3 = 8x 3n y 9【例 5】(1) 下列各式:①⎛ -1 ⎫-2 = 9 , ②(- 2)0=1, ③(a + b )2 = a 2 + b 2 , ④(- 3ab 3 )2= 9a 2b 6 ,⎪⎝ ⎭⑤ 3x 2 - 4x = -x ,⑥2x -2= 12x 2其中计算正确的是 . (只填序号)(2) 若- 2 x 3 y n与 2x m y 2 的和是单项式,则 m =,n =.5(3) 多项式 xy 3 - 8x 2 y - x 3 y 2 - y 4- 6 是 次 项式,最高次项是 ,常数项是 .(4) 若代数式 x 2- 6x + b 可化为(x - a )2-1,则b - a 的值是.(5) 已知3x 2 - 4x + 9 的值为 9,则 x 2- 4x + 6 值是3 (6) 已知ab = -1, a + b = 2 ,则式子 b + a= . a b(7) 若 m - n = 2 , m + n = 5 ,则 m 2- n 2的值为.(8) 已知2m= 3 , 2n = 4 则23m +2n 的值为← m →←n →a 2y -1 (9) 如果 2×8n ×16 n =222,则 n 的值为【例 6】已知 A = 2x ,B 是多项式,在计算 B + A 时,小马虎同学把 B + A 看成了 B ÷ A ,结果得 x 2 + 1x ,2则 B + A = .三、课后作业1. 下列运算结果正确的是()A -3(x -1) = -3x -1 C . -3(x -1) = -3x - 3B . -3(x -1) = -3x +1 D . -3(x -1) = -3x + 32. 下列运算正确的是( )-1D .1 3 12 6A . 3 ÷3=1B . = aC . 3.14 -π = 3.14 -π( a b ) = a b 2 43. 图①是一个边长为(m + n ) 的正方形,小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状,由图①和图②能验证的式子是( ).A . (m + n )2- (m - n )2= 4mnB . (m - n )2+ 2mn = m 2+ n 2C . (m + n )2 - (m 2 + n 2 ) = 2mnD . (m + n )(m - n ) = m 2- n2图①图②4. 若x ,y 为实数,且 x +1 + = 0 ,则( x ) 2011的值是( )yA .0B .1C .-1D .-20115. 下列各式的计算中,错误的是 ( )A . a 5+ a 5= 2a 5B . (x - y )5 ⋅ ( y - x )2 = (x - y )7C . (-x 2 ) ⋅ (-x )2 ⋅ x = x 5D . (x 2 )3 + (x 3 )2 = 2x 66. 定义新运算“ ⊗ ”,规定:a ⊗ 1-4b , 则 12 ⊗ (-1)= . b = a 37. 下列各式: a 4 ⋅ a 2 , (a 3 ) 2, a 2 ⋅ a 3 , a 3 + a 3 , (a ⋅ a 2 )3 其中与a 6 相等的有 个.8.根据图中的程序,当输入 x =2 时,输出结果 y = .9. (2 +1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) = .10. 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是.m n mn11. 计算下列各式:(1) (-2ax )2⋅(- 2 x 4 y 3 z 3) ÷(- 1a 5 xy 2)52 (2) (a - 1) ⋅ (a 2+ 1 ) ⋅ (a + 1)2 4 212.先化简,再求值. (x +1)2+ x ( x - 2) ,其中 x = - 1. 213.(1)先化简,再求值: (a - 3)(a + 3) - a (a -6), 其中a =5+ 1 .(2)先化简,再求值:(x+y)(x﹣y)﹣x(x+y)+2xy,其中x=(3﹣π)0,y=2.。
回归教材重难点03 代数式求值代数式求值问题是初中的重点内容,其中包含整式、根式、分式求值三部分。
在中考数学考试中,常见是整式求值,最重要是给式求值。
通过掌握整体法,降幂法等数学思想,提升数学学科素养,提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考四星高频考点,在全国各地的中考试卷中均有出现,题目难度中等,偶尔有些地方难度会加大。
1.平方差与完全平方公式、因式分解技巧;2.整体思想的熟练运用;3.降幂、升幂思想的拓展。
1.(2021·四川泸州·中考真题)已知1020a =,10050b =,则1322a b ++的值是( ) A .2B .52C .3D .922.(2020·山东潍坊·中考真题)若221m m +=,则2483m m +-的值是( )A .4B .3C .2D .13.(2021·山东临沂·二模)已知a ﹣b =1,则a 3﹣a 2b +b 2﹣2ab 的值为( )A .﹣2B .﹣1C .1D .24.(2021·山东临沂·一模)若a 2=b +2,b 2=a +2,(a ≠b )则a 2﹣b 2﹣2b +2的值为( ) A .﹣1B .0C .1D .35.(2021·四川内江·中考真题)若实数x 满足210x x --=,则3222021x x -+=__.6.(2020·山东临沂·中考真题)若1a b +=,则2222a b b -+-=________.7.(2021·福建·大同中学二模)若a 是方程x 2+x ﹣2=0的根,则代数式202112-a 212-a 的值是_________.8.(2021·广东清远·二模)已知实数m 是关于x 的方程x 2-2x -5=0的一根,则代数式2m 2-4m +5值为___.9.(2021·广东·佛山市第四中学三模)已知x 2+2x ﹣1=0,则代数式5﹣2x 2﹣4x 的值为___________.10.(2021·广东·佛山市华英学校一模)当x =3时,px 3+qx +1=2020,则当x =﹣3时,px 3+qx +1的值为_____.11.(2021·江苏·南通市新桥中学一模)若x 1,x 2是方程x 2﹣4x ﹣2021=0的两个实数根,代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值为___________.12.(2021·浙江嘉兴·一模)已知23x y -=,则代数式724x y -+的值为______.13.(2021·湖北十堰·一模)若2a b -=,1ab =,则32232a b a b ab -+=________.14.(2021·四川·绵阳市桑枣中学一模)若实数a ,b 满足1a b -=,则代数式2225a b b --+的值为_______________.。
最新初中数学代数式分类汇编附答案解析(3)一、选择题1.下列说法正确的是()A .若 A 、B 表示两个不同的整式,则A B 一定是分式 B .()2442a a a ÷=C .若将分式xy x y+中,x 、y 都扩大 3 倍,那么分式的值也扩大 3 倍 D .若35,34m n ==则2532m n -= 【答案】C【解析】【分析】根据分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质解答即可.【详解】A. 若 A 、B 表示两个不同的整式,如果B 中含有字母,那么称A B 是分式.故此选项错误. B. ()244844a a a a a ÷=÷=,故故此选项错误.C. 若将分式xy x y+中,x 、y 都扩大 3 倍,那么分式的值也扩大 3 倍,故此选项正确. D. 若35,34m n ==则()22253332544m n m n -=÷=÷=,故此选项错误. 故选:C【点睛】本题考查的是分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质,熟练掌握各定义、性质及运算法则是关键.2.观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;已知按一定规律排列的一组数:250、251、252、、299、2100,若250=a ,用含a 的式子表示这组数的和是( )A .2a 2-2aB .2a 2-2a -2C .2a 2-aD .2a 2+a【答案】C【解析】【分析】由等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2,得出规律:2+22+23+…+2n =2n+1-2,那么250+251+252+…+299+2100=(2+22+23+…+2100)-(2+22+23+…+249),将规律代入计算即可.【详解】解:∵2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…∴2+22+23+…+2n =2n+1-2,∴250+251+252+…+299+2100=(2+22+23+...+2100)-(2+22+23+ (249)=(2101-2)-(250-2)=2101-250,∵250=a ,∴2101=(250)2•2=2a 2,∴原式=2a 2-a .故选:C .【点睛】本题是一道找规律的题目,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.解决本题的难点在于得出规律:2+22+23+…+2n =2n+1-2.3.下列运算正确的是( ).A .()2222x y x xy y -=--B .224a a a +=C .226a a a ⋅=D .()2224xy x y = 【答案】D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式分别化简求出答案.【详解】解:A.、()2222x y x xy y -=-+,故本选项错误;B.、2222a a a +=,故本选项错误;C.、224a a a ⋅=,故本选项错误;D 、 ()2224xy x y =,故本选项正确;故选:D .【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式,熟练掌握相关的计算法则是解题的关键.4.一种微生物的直径约为0.0000027米,用科学计数法表示为( )A .62.710-⨯B .72.710-⨯C .62.710-⨯D .72.710⨯【答案】A【解析】【分析】绝对值小于1的正数科学记数法所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定.【详解】解:0.0000027的左边第一个不为0的数字2的前面有6个0,所以指数为-6,由科学记数法的定义得到答案为62.710-⨯.故选A.【点睛】本题考查了绝对值小于1的正数科学记数法表示,一般形式为10n a -⨯.5.下列运算正确的是( )A .21ab ab -=B 3=±C .222()a b a b -=-D .326()a a =【答案】D【解析】【分析】主要考查实数的平方根、幂的乘方、同类项的概念、合并同类项以及完全平方公式.【详解】解:A 项,2ab ab ab -=,故A 项错误;B 3=,故B 项错误;C 项,222()2a b a ab b -=-+,故C 项错误;D 项,幂的乘方,底数不变,指数相乘,32236()a a a ⨯==.故选D【点睛】本题主要考查:(1)实数的平方根只有正数,而算术平方根才有正负.(2)完全平方公式:222()2a b a ab b +=++,222()2a b a ab b -=-+.6.下列运算,错误的是( ).A .236()a a =B .222()x y x y +=+C .01)1=D .61200 = 6.12×10 4 【答案】B【解析】【分析】【详解】A. ()326a a =正确,故此选项不合题意;B.()222 x y x 2y xy +=++,故此选项符合题意;C. )011=正确,故此选项不合题意; D. 61200 = 6.12×104正确,故此选项不合题意;故选B.7.观察等式:232222+=-;23422222++=-;2345222222+++=-⋅⋅⋅已知按一定规律排列的一组数:502、512、522、⋅⋅⋅、992、1002.若502a =,用含a 的式子表示这组数的和是( )A .222a a -B .2222a a --C .22a a -D .22a a +【答案】C【解析】【分析】根据题意,一组数:502、512、522、⋅⋅⋅、992、1002的和为250+251+252+…+299+2100==a +(2+22+…+250)a ,进而根据所给等式的规律,可以发现2+22+…+250=251-2,由此即可求得答案.【详解】250+251+252+…+299+2100=a +2a +22a + (250)=a +(2+22+…+250)a ,∵232222+=-, 23422222++=-,2345222222+++=-,…,∴2+22+…+250=251-2,∴250+251+252+…+299+2100=a +(2+22+…+250)a=a +(251-2)a=a +(2 a -2)a=2a 2-a ,故选C.【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类,仔细观察,发现其中哪些发生了变化,哪些没有发生变化,是按什么规律变化的是解题的关键.8.下列运算正确的是( )A .2235a a a +=B .22224a b a b +=+()C .236a a a ⋅= D .2336()ab a b -=-【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂乘法法则、积的乘方法则逐一进行计算即可得.【详解】A. 235a a a +=,故A 选项错误;B. 222244a b a ab b +=++(),故B 选项错误;C. 235a a a ⋅=,故C 选项错误;D. 2336()ab a b -=-,正确,故选D.【点睛】本题考查了整式的运算,涉及了合并同类项、完全平方公式、积的乘方等运算,熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.9.若2m =5,4n =3,则43n ﹣m 的值是( )A .910B .2725C .2D .4【答案】B【解析】【分析】根据幂的乘方和同底数幂除法的运算法则求解.【详解】∵2m =5,4n =3,∴43n ﹣m =344n m =32(4)(2)n m =3235=2725 故选B.【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂除法,熟练掌握运算法则是解题关键.10.若(x +1)(x +n )=x 2+mx ﹣2,则m 的值为( )A .﹣1B .1C .﹣2D .2【答案】A【解析】【分析】先将(x+1)(x+n)展开得出一个关于x 的多项式,再将它与x 2+mx-2作比较,即可分别求得m ,n 的值.【详解】解:∵(x+1)(x+n)=x 2+(1+n)x+n ,∴x 2+(1+n)x+n=x 2+mx-2,∴12n m n +=⎧⎨=-⎩, ∴m=-1,n=-2.故选A .【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则以及类比法在解题中的运用.11.计算1.252 017×2?01945⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是( ) A .45 B .1625 C .1 D .-1【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加,可得积的乘方,根据积的乘方等于乘方的积,可得答案.【详解】原式=1.252017×(45)2017×(45)2 =(1.25×45)2012×(45)2 =1625. 故选B .【点睛】本题考查了积的乘方,利用同底数幂的乘法底数不变指数相加得出积的乘方是解题关键.12.已知:()()22x 1x 32x px q +-=++,则p ,q 的值分别为( ) A .5,3B .5,−3C .−5,3D .−5, −3【答案】D【解析】【分析】 此题可以将等式左边展开和等式右边对照,根据对应项系数相等即可得到p 、q 的值.【详解】由于()()2x 1x 3+-=2x 2-6x+x-3=2 x 2-5x-3=22x px q ++, 则p=-5,q=-3,故答案选D.【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则,根据对应项系数相等求解是关键.13.如图,是一块直径为2a +2b 的圆形钢板,从中挖去直径分别为2a 、2b 的两个圆,则剩下的钢板的面积为( )A .ab πB .2ab πC .3ab πD .4ab π【答案】B【解析】【分析】剩下钢板的面积等于大圆的面积减去两个小圆的面积,利用圆的面积公式列出关系式,化简即可.【详解】解:S 剩下=S 大圆- 1S 小圆-2S 小圆 =2222a+2b 2a 2b --222πππ()()() =()222a+b -a -b π⎡⎤⎣⎦=2ab π, 故选:B【点睛】此题考查了整式的混合运算,涉及的知识有:圆的面积公式,完全平方公式,去括号、 合并同类项法则,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.14.若多项式x 2+mx +4能用完全平方公式分解因式,则m 的值可以是( ) A .4B .﹣4C .±2D .±4【答案】D【解析】【分析】利用完全平方公式因式分解2222=()a ab b a b ±+±计算即可.【详解】解:∵x 2+mx +4=(x ±2)2,即x 2+mx +4=x 2±4x +4,∴m =±4.故选:D .【点睛】本题要熟记完全平方公式,尤其是两种情况的分类讨论.15.下列运算正确的是( )A .2352x x x +=B .()-=g 23524x x xC .()222x y x y +=-D .3223x y x y xy ÷=【答案】B【解析】【分析】A 不是同类项,不能合并,B 、D 运用单项式之间的乘法和除法计算即可,C 运用了完全平方公式.【详解】A 、应为x 2+x 3=(1+x )x 2;B 、(-2x )2•x 3=4x 5,正确;C 、应为(x+y )2= x 2+2xy+y 2;D 、应为x 3y 2÷x 2y 3=xy -1.故选:B .【点睛】本题考查合并同类项,同底数幂的乘法,完全平方公式,单项式除单项式,熟练掌握运算法则和性质是解题的关键.16.如图,大正方形与小正方形的面积之差是60,则阴影部分的面积是 ( )A .30B .20C .60D .40【答案】A【解析】【分析】 设大正方形的边长为x ,小正方形的边长为y ,表示出阴影部分的面积,结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解.【详解】设大正方形的边长为x ,小正方形的边长为y ,则2260x y -=,∵S 阴影=S △AEC +S △AED=11()()22x y x x y y -+-g g =1()()2x y x y -+g =221()2x y - =1602⨯ =30.故选A.【点睛】 此题主要考查了平方差公式的应用,读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键. 17.计算(0.5×105)3×(4×103)2的结果是( )A .13210⨯B .140.510⨯C .21210⨯D .21810⨯ 【答案】C【解析】根据同底数幂的乘法的性质,幂的乘方的性质,积的乘方的性质进行计算.解:(0.5×105)3×(4×103)2=0.125×1015×16×106=2×1021.故选C .本题考查同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方,理清指数的变化是解题的关键.18.按如图所示的运算程序,能使输出y 的值为1的是( )A .a =3,b =2B .a =﹣3,b =﹣1C .a =1,b =3D .a =4,b =2【答案】A【解析】【分析】 根据题意,每个选项进行计算,即可判断.【详解】解:A 、当a =3,b =2时,y =12a -=132-=1,符合题意; B 、当a =﹣3,b =﹣1时,y =b 2﹣3=1﹣3=﹣2,不符合题意;C 、当a =1,b =3时,y =b 2﹣3=9﹣3=6,不符合题意;D 、当a =4,b =2时,y =12a -=142-=12,不符合题意. 故选:A .【点睛】本题考查有理数的混合运算,代数式求值等知识,解题的关键是理解题意,属于中考常考题型.19.下面的图形都是由同样大小的棋子按照一定的规律组成,其中第①个图形有1颗棋子,第②个图形有6颗棋子,第③个图形有15颗棋子,第④个图中有28颗棋子,…,则第6个图形中棋子的颗数为( )A .63B .64C .65D .66【答案】D【解析】【分析】 根据图形中棋子的个数找到规律,从而利用规律解题.【详解】解:∵通过观察可以发现:第1个图形中棋子的个数为()11211=⨯⨯-;第2个图形中棋子的个数为()62221=⨯⨯-;第3个图形中棋子的个数为()153231=⨯⨯-;第4个图形中棋子的个数为()284241=⨯⨯-;L L第n 个图形中棋子的个数为()21n n -∴第6个图形中棋子的个数为()626166⨯⨯-=.故选:D【点睛】本题考查了图形变化规律的问题,能找出第n 个图形棋子的个数的表达式是解题的关键.20.通过计算大正方形的面积,可以验证的公式是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个矩形的面积,分别计算长结果,即可得答案.【详解】∵大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个矩形的面积,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,故选C.【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景,明确大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个矩形的面积是解题关键.。
复习代数式的基本概念包括变量常数和运算符号复习代数式的基本概念包括变量、常数和运算符号代数式是数学中非常重要的概念,它通常由变量、常数和运算符号组成。
在代数学中,代数式是用符号表示的数学表达式,用来表示数值、量、关系和运算等。
通过复习代数式的基本概念,我们可以更好地理解和应用代数学的知识。
1. 变量:变量是代数式中的一种重要元素。
它代表了未知数或可以变化的数值。
通常用字母表示一个变量,例如x,y,z等。
变量在代数式中可以进行各种运算,如加减乘除、指数和根号等。
通过使用变量,我们可以用代数式来描述和解决实际问题,使数学问题更具有普遍性和一般性。
2. 常数:常数是代数式中的另一种元素。
它代表了一个固定的数值,不能改变。
常数可以是整数、分数、小数或者无理数等。
在代数式中,我们可以用常数来表示已知的数值或者已知的量。
常数与变量的结合可以形成各种代数式,用来表示数学问题的各种关系和计算。
3. 运算符号:运算符号用来表示代数式中的各种运算操作。
常见的运算符号有加号 (+),减号 (-),乘号 (×),除号 (÷),指数符号 (^)等。
这些运算符号可以在代数式中起到不同的作用,用来表示不同的运算操作。
通过运算符号的使用,我们可以进行加减乘除等基本运算,以及指数、根号、对数等高级运算。
通过复习代数式的基本概念,我们可以更清楚地理解和应用代数学的知识。
代数式作为数学中重要的基础概念,不仅仅局限于理论研究,更广泛地应用于各个领域。
在物理、化学、经济、工程等实际问题中,代数式可以用来建立模型,描述和解决实际问题,具有非常重要的实用价值。
总结起来,复习代数式的基本概念包括变量、常数和运算符号。
变量表示未知数或可以变化的数值,常数表示固定的数值,运算符号表示各种运算操作。
通过对代数式的理解和应用,我们可以更好地解决数学问题,建立模型,描述实际问题,为其他学科提供数学方法和工具。
代数式作为数学的重要组成部分,其概念和应用具有深远的影响,需要我们进行深入学习和思考。
第2节代数式的值
要点精讲
1.代数式的值的概念:
一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值。
注:
(1)字母的取值不能使代数式本身失去意义,如分母不能为零;
(2)不能使它所表示的实际问题失去意义,如求路程公式S=vt中,v,t不能取负数。
2.求代数式的值的方法:
先代入后计算:
注:
(1)代入时,只将相应的字换成相应的数,其它符号不变。
(2)代数式中原来省略的乘号代入数值以后一定要还原。
(3)对于已知一个比较复杂的代数式的值,求另一个代数式的常用的方法有整体代入法,代换法。
(4)根据代数式所表示的运算顺序,按有关运算法则,计算出结果。
典型例题
【例1】
一个两位数,十位上的数字为a,且十位上的数比个位上数大3,试用含a的代数式表示个位上的数和这个两位数。
【答案】
个位上的数为a-3,这个两位数为10a+(a-3)
【解析】
此类问题首先要弄清两位数是怎么回事,例如36这个两位数十位上的数是3,个位上的数是6,
36=3×10+6,两位数=十位上的数×10+个位上的数,三位数=百位上的数×100 +十位数上的数×10+个位上的数
【例2】
一个三位数的百位数字是5,十位数字为a,个位数字为b ,这个三位数为__________,把它的三位数字颠倒过来,这个三位数为___
【答案】
500+10a+b, 100b+10a+5
【解析】
此类问题首先要弄清三位数是怎么回事。
第三节 代数式
考点综述:
对于代数式,中考中主要考查用代数式表示简单问题的数量关系,解释代数式的意义和求代数式的值,近年来,探索规律并用代数式表示也是中考考查的热点,主要考查学生能否用观察分析、直觉思维、推理猜想、还有数形结合等思想方法来解决问题。
典型例题:
例1.回收废纸用于造纸可以节约木材.根据专家估计,每回收一吨废纸可以节约3立方米木材,那么回
收a 吨废纸可以节约 立方米木材. 解:3a
例2:一台电视机的原价为a 元,降价4%后的价格为_________________元. 解:
(1–4%)a 元或0.96a 元 例3:任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出的结果是( )
A .m
B .
m
2
C .m +1
D .m -1
解:C
例4:当3,1x y ==时,代数式2
()(
)x y x y y +-+的值是 .
解:9
例5
:(2007河南)图①所示的正六边形进行分割得到图②,再将图②中最小的某一个正六边形按同样 的方式进行分割得到图③,再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,…,则第n 个图形中共有 个正六边形.
解:3n -2
例6: 2008年6月1日北京奥运圣火在宜昌传递,圣火传递路线分为两段,其中在市区的传递路程为700(a -1)米,三峡坝区的传递路程为(881a +2309)米.设圣火在宜昌的传递总路程为s 米. (1)用含a 的代数式表示s ; (2)已知a =11,求s 的值.
解:(1)s =700(a -1)+(881a +2309)=1 581 a +1 609. (2)a =11时,
s =1 581 a +1609=1 581×11 +1 609=19 000
实战演练:
1.用代数式表示“a 的3倍与b 的差的平方”,正确的是( ) A .2(3)a b -
B .23()a b -
C .2
3a b -
D .2(3)a b -
2.今年财政部将证券交易印花税税率由3‟调整为1‟(1‟表示千分之一).某人在调整后购买100000元股票,则比调整前少交证券交易印花税多少元?( )
A .200元
B .2000元
C .100元
D .1000元 3.若实数a 、b 互为相反数,则下列等式中恒成立的是( )
A .0a b -=
B . 0a b +=
C . 1ab =
D . 1ab =-
4.化简()m n m n +--的结果为 A .2m B .2m - C .2n D .2n -
5.若20x +=,则xy 的值为( )
A .8-
B .6-
C .5
D .6 6.根据如图所示的(1),(2),(3)三个图所表示的规律,依次下去第n 个图中平行四边形的个数是( ) A .3n B .3(1)n n + C .6n
D .6(1)n n +
7.某商场2006年的销售利润为a 预计以后每年比上一年增长b %,那么2008年该商场的销售利润将是
( ) A .()2
1a b +
B . ()21%a b +
C .()2
%a a b + D .2
a a
b +
8.根据如上图所示的程序计算,若输入的x 的值为1,则输出的y 值为 .
9.如图,在平面直角坐标系中,点A 1是以原点O 为圆心,半径为2的圆与过点(0,1)且平行于x 轴的直线l 1的一个交点;点A 2是以原点O 为圆心,半径为3的圆与过点(0,2)且平行于x 轴的直线l 2的一个交点;……按照这样的规律进行下去,点A n 的坐标为 .
③ ∙∙∙
②
10.用同样大小的黑色棋子按图6所示的方式摆图形,按照这样的规律摆下去,则第n 个图形需棋子 枚(用含n 的代数式表示).
11.一组按规律排列的式子:2b a -,25a b ,83b a -,11
4b a ,…(0ab ≠),其中第7个式子是 ,第n
个式子是 (n 为正整数).
12.(2008梅州)观察下列等式:
① 32-12=4×2; ② 42-22=4×3; ③ 52-32=4×4; ④ ( )2-( )2=( )×( ); ……
则第4个等式为_______. 第n 个等式为_____.(n 是正整数) 13.若m n ,互为相反数,则555m n +-= . 14.如果x+y=-4,x-y=8,那么代数式x 2
-y 2
的值是 cm.
15.小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片(如图1),沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形(如图2),再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形(如图3),则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________;同上操作,若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形(如图n+1)的一条腰长为_______________________.
16.已知()()
213x x x y ---=-,求22
2x y xy +-的值.
17.先观察下列等式,然后用你发现的规律解答下列问题. 111122=-⨯ 1112323=-⨯
111
3434=-⨯ ┅┅ (1)计算11111
1223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ .
(2)探究1111
......122334(1)
n n ++++=⨯⨯⨯+ .(用含有n 的式子表示)
(3)若
1111
......133557(21)(21)
n n ++++⨯⨯⨯-+的值为1735,求n 的值.
第1个图
第2个图
第3个图
…
应用探究:
1.对单项式“5x ”,我们可以这样解释:香蕉每千克5元,某人买了x 千克,共付款5x 元.请你对“5x ”再给出另一个实际生活方面的合理解释: .
2.若实数a b ,满足2
1a b +=,则2
2
27a b +的最小值是 . 3.已知y =
31x – 1,那么3
1
x 2 – 2xy + 3y 2 – 2的值是 .
4.在长为a m ,宽为b m 的一块草坪上修了一条1m 宽的笔直小路,则余下草坪的面积可表示为
2m ;现为了增加美感,把这条小路改为宽恒为1m 的弯曲小路(如图),则此时余下草坪的面积为 2
m .
5.已知等边三角形纸片ABC 的边长为8,D 为AB 边上的点,过点D 作DG BC ∥交AC 于点G .DE BC ⊥于点E ,过点G 作GF BC ⊥于点F ,把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ,,按图1所示方式折叠,点A B C ,,分别落在点A ',B ',C '处.若点A ',B ',C '在矩形DEFG 内或其边上,且互不重合,此时我们称A B C '''△(即图中阴影部分)为“重叠三角形”.
(1)若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形),点A B C D ,,,恰好落在网格图中的格点上.如图2所示,请直接写出此时重叠三角形A B C '''的面积; (2)实验探究:设AD 的长为m ,若重叠三角形A B C '''存在.试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积,并写出m 的取值范围(直接写出结果,备用图供实验,探究使用).
解:(1)重叠三角形A B C '''的面积为 ;
(2)用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为 ;m 的取值范围为 .
6在一平直河岸l 同侧有A B ,两个村庄,A B ,到l 的距离分别是3km 和2km ,km AB a =(1)a >.现计划在河岸l 上建一抽水站P ,用输水管向两个村庄供水. 方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图1是方案一的示意图,设该方案中管道长度为1d ,且
1(km)d PB BA =+(其中BP l ⊥于点P );图2是方案二的示意图,设该方案中管道长度为2d ,且2(km)d PA PB =+(其中点A '与点A 关于l 对称,A B '与l 交于点P )
.
观察计算
(1)在方案一中,1d = km (用含a 的式子表示);
(2)在方案二中,组长小宇为了计算2d 的长,作了如图3所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算,2d = km (用含a 的式子表示). 探索归纳
(1)①当4a =时,比较大小:12_______d d (填“>”、“=”或“<”); ②当6a =时,比较大小:12_______d d (填“>”、“=”或“<”); (2)请你参考右边方框中的方法指导, 就a (当1a >时)的所有取值情况进 行分析,要使铺设的管道长度较短, 应选择方案一还是方案二?
图1
图2
A B
备用图 A B
备用图
图1
图 2
图3
可以对它们的平方进行比较:2m n 2-=22()m n ∴-当22
m n -当22
m n -22
m n -。