(人教版初中数学)锐角三角函数

初中数学什么是锐角三角函数锐角三角函数是指在单位圆上所定义的三角函数，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数在数学和几何中具有重要的应用和性质。

在本文中，我们将详细介绍锐角三角函数的定义、性质和应用。

1. 正弦函数（Sine Function）：正弦函数是在单位圆上定义的一个周期函数。

在锐角三角函数中，正弦函数表示三角形中对边与斜边的比例关系。

正弦函数的定义如下：sin(θ) = 对边/斜边2. 余弦函数（Cosine Function）：余弦函数也是在单位圆上定义的一个周期函数。

在锐角三角函数中，余弦函数表示三角形中邻边与斜边的比例关系。

余弦函数的定义如下：cos(θ) = 邻边/斜边3. 正切函数（Tangent Function）：正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，也是在单位圆上定义的一个周期函数。

在锐角三角函数中，正切函数表示三角形中对边与邻边的比例关系。

正切函数的定义如下：tan(θ) = 对边/邻边4. 锐角三角函数的性质：-周期性：锐角三角函数是周期函数，其周期为360度或2π弧度。

-奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。

-定义域和值域：正弦函数和余弦函数的定义域是实数集合R，值域是[-1, 1]；正切函数的定义域是除了其奇点（kπ+π/2，其中k为整数）的实数集合R，值域是全体实数集合R。

5. 锐角三角函数的应用：锐角三角函数在数学和几何中有广泛的应用，特别是在三角学和解析几何中。

-三角恒等式：锐角三角函数满足许多重要的三角恒等式，如正弦函数和余弦函数的平方和恒等于1，正切函数与正弦函数和余弦函数的关系等。

-角度的计算：通过锐角三角函数，可以计算给定三角形的角度大小。

-三角函数图像：通过绘制锐角三角函数的图像，可以帮助我们直观地理解三角函数的性质和变化规律。

通过以上介绍，我们了解了锐角三角函数的定义、性质和应用。

熟练掌握锐角三角函数的概念和性质，对于理解和解决与三角函数相关的数学问题至关重要。

初中锐角三角函数锐角三角函数是数学中重要的概念之一、在初中阶段，我们学习了正弦、余弦和正切三种锐角三角函数。

通过学习锐角三角函数，我们可以计算三角形的边长和角度，解决实际问题，提高数学思维能力。

本文将详细介绍锐角三角函数的定义、性质和应用。

一、正弦函数正弦函数是锐角三角函数中最基本的函数之一、我们用sin表示正弦函数。

设一个锐角的一条直角边的长度为a，斜边的长度为c，则正弦函数的定义如下：sinA = a / c其中A为角的度数，sinA为正弦值。

正弦函数的性质：1. 在0°至90°（不包括90°）的锐角范围内，正弦值的大小从0逐渐增大，最大值为1、所以sin0° = 0，sin90° = 12. 在90°至180°（不包括180°）的锐角范围内，正弦值的大小从1逐渐减小，最小值为0。

所以sin180° = 0。

正弦函数的应用：正弦函数可以用来计算三角形的边长和角度。

通过正弦函数，我们可以解决各种实际问题，例如航海中的船舶位置计算、建筑中的高度计算等。

二、余弦函数余弦函数是锐角三角函数中的另一种函数。

我们用cos表示余弦函数。

设一个锐角的一条直角边的长度为b，斜边的长度为c，则余弦函数的定义如下：cosA = b / c其中A为角的度数，cosA为余弦值。

余弦函数的性质：1. 在0°至90°（不包括90°）的锐角范围内，余弦值的大小从1逐渐减小，最大值为0。

所以cos0° = 1，cos90° = 0。

2. 在90°至180°（不包括180°）的锐角范围内，余弦值的大小从0逐渐增大，最小值为-1、所以cos180° = -1余弦函数的应用：余弦函数可以用来计算三角形的边长和角度。

通过余弦函数，我们可以解决各种实际问题，例如建筑物的倾斜角度计算、物体的投影计算等。

初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是数学中的一个重要部分，是解决许多三角学问题的基础。

在初中数学课程中，我们学习了正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是锐角三角函数的一种形式。

下面将详细介绍锐角三角函数的相关知识点。

1. 正弦函数（sin函数）：正弦函数是一个周期函数，它的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。

正弦函数的图像是一个波形，在一个周期内，函数的最大值是1，最小值是-1，中心对称于原点。

正弦函数的性质：- sin(0)=0，sin(90°)=1，sin(180°)=0，sin(270°)=-1，sin(360°)=0- sin(-θ)=-sin(θ)，sin(θ±360°)=sin(θ)- sin(180°±θ)=-sin(θ)，sin(90°±θ)=cos(θ)，sin(θ+90°)=cos(θ)- sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ2. 余弦函数（cos函数）：余弦函数也是一个周期函数，它的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。

余弦函数的图像也是一个波形，与正弦函数的图像是相似的，但是它们的相位有所不同。

余弦函数的性质：- cos(0)=1，cos(90°)=0，cos(180°)=-1，cos(270°)=0，cos(360°)=1- cos(-θ)=cos(θ)，cos(θ±360°)=cos(θ)- cos(180°±θ)=-cos(θ)，cos(90°±θ)=-sin(θ)，cos(θ+90°)=-sin(θ)- cos(α±β)=cosαcosβ±sinαsinβ3. 正切函数（tan函数）：正切函数是一个定义域是除去所有奇数π/2的实数集，值域是整个实数集的函数。

初中锐角三角函数正弦函数是指在锐角三角形中，对于任意角度A，正弦函数的值等于以A为角度的对边与斜边的比值。

正弦函数用符号“sin”表示。

余弦函数是指在锐角三角形中，对于任意角度A，余弦函数的值等于以A为角度的邻边与斜边的比值。

余弦函数用符号“cos”表示。

正切函数是指在锐角三角形中，对于任意角度A，正切函数的值等于以A为角度的对边与邻边的比值。

正切函数用符号“tan”表示。

这三个函数在数学中非常重要，应用广泛。

正弦函数和余弦函数的性质很相似。

它们的取值范围都在-1到1之间。

对于一个锐角三角形，从其中一条边的两个特定点A和B出发，我们可以定义经过点A和点B的直线与垂直边之间的夹角为θ，那么sinθ就等于点B到垂直边的距离与斜边的长度之比，cosθ等于点A到垂直边的距离与斜边的长度之比。

正切函数的性质则略有不同。

它的取值范围是正负无穷大。

其中，tanθ等于点B到垂直边的距离与点A到垂直边的距离的比值。

如果θ接近于90度（对应锐角三角形中的直角），tanθ的值将趋于无穷大。

初中锐角三角函数的运用非常广泛。

在几何学中，可以通过锐角三角函数来求解各种三角形的边长和角度大小。

在物理学和工程学中，锐角三角函数也被广泛用于计算机绘图、声音和光学等领域。

此外，在三角函数的应用中，人们还会用到其它一些相关的概念和运算，如正弦定理、余弦定理等。

总之，在中学教育中，锐角三角函数被认为是数学的基础知识之一、它的运用不仅帮助我们理解和解决各类几何问题，也为我们打开了更深入的数学和科学方面的研究之门。

通过掌握锐角三角函数的定义和性质，我们可以更好地理解三角学的概念和方法，并将它们应用到实际生活和学术领域中。

无论是数学还是物理、工程领域，锐角三角函数都是不可或缺的基础知识。

人教版九年级数学下册： 28.1 《锐角三角函数》说课稿4一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.1节《锐角三角函数》是整个初中数学阶段的重要内容，旨在让学生理解并掌握锐角三角函数的概念、性质和应用。

通过本节课的学习，学生能够了解锐角三角函数的定义，理解正弦、余弦、正切函数的图像和性质，并能运用锐角三角函数解决一些实际问题。

在教材中，首先介绍了锐角三角函数的概念，然后通过实例让学生了解正弦、余弦、正切函数的图像和性质，最后通过一些应用题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于锐角三角函数的理解和应用，学生可能还存在一些困难。

因此，在教学过程中，我们需要关注学生的学习情况，针对学生的实际情况进行教学设计和调整。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握锐角三角函数的概念，了解正弦、余弦、正切函数的图像和性质。

2.过程与方法：通过观察实例，引导学生发现并总结锐角三角函数的性质，培养学生的观察能力和归纳能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的概念，正弦、余弦、正切函数的图像和性质。

2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的图像和性质的理解和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，培养学生的数学素养。

2.教学手段：利用多媒体课件、数学软件、模型等辅助教学，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入锐角三角函数的概念，激发学生的兴趣。

2.探究：引导学生观察实例，发现并总结锐角三角函数的性质。

3.讲解：对锐角三角函数的概念和性质进行讲解，让学生理解并掌握。

4.应用：通过一些应用题，让学生运用所学知识解决问题，提高解题能力。

5.总结：对本节课的内容进行总结，强化学生的记忆。

锐角三角函数是初中九年级数学中的一个重要内容，其中包括对正弦、余弦和正切函数的理解和应用。

下面是对锐角三角函数知识点的详细总结：1.三角函数的定义：- 正弦函数（sin）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与斜边的长度的比值。

- 余弦函数（cos）：对于单位圆上的一个角，其邻边的长度与斜边的长度的比值。

- 正切函数（tan）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与邻边的长度的比值。

2.锐角的定义：锐角是角度在0°到90°之间的角。

3.单位圆：单位圆指半径长度为1的圆，锐角三角函数可以通过单位圆来定义和理解。

4.三角函数的图像：正弦函数、余弦函数和正切函数的图像可以通过将单位圆绕过原点旋转得到。

5. 正弦函数（sin）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：sin0° = 0, sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2, sin90° = 1-图像特点：关于y轴对称6. 余弦函数（cos）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：cos0° = 1, cos30° = √3/2, cos45° = √2/2,cos60° = 1/2, cos90° = 0-图像特点：关于x轴对称7. 正切函数（tan）的特点：-定义域：(0°,90°)或(0,π/2)-值域：R（实数集）-周期：180°或π- 特殊值：tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3, tan90° = 不存在（无限大）-图像特点：周期性递增8.三角函数之间的关系：- 正弦函数和余弦函数的关系：sinθ = cos(90° - θ)- 正切函数与正弦、余弦函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ9.锐角三角函数的应用：-通过正弦函数、余弦函数和正切函数可以求解三角形的边长和角度大小。

初中数学锐角三角函数的公式锐角三角函数公式是初中三角函数的基础和重点，今天的小编就为大家整合了初中数学三角函数公式及其定理之锐角三角函数公式，想要加强巩固的同学快来看看吧。

锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边看过上面的内容之后，想必同学们都已经对锐角三角函数公式的基本定理了解了吧。

在即将到来的期末考试中，同学们想要拿高分就来关注我们的吧。

初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。

正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。

初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。

平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。

初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。

直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；④直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的判定：①有两个角互余的三角形是直角三角形；②如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是初中数学中的一个重要知识点。

本文将系统地介绍锐角三角函数的概念、性质和应用。

一、概念1.边长比在直角三角形中，我们可以定义三角函数。

对于锐角三角形，也可以把边长比看作三角函数的定义。

定义如下：- 正弦函数（sin）：指的是对边比斜边的比值，即sinA = 对边AB / 斜边AC。

- 余弦函数（cos）：指的是邻边比斜边的比值，即cosA = 邻边BC / 斜边AC。

- 正切函数（tan）：指的是对边比邻边的比值，即tanA = 对边AB / 邻边BC。

2.三角函数值的取值范围在锐角三角形中，三角函数的取值范围是(0,1)。

具体来说-正弦函数的值在0到1之间变化。

-余弦函数的值在0到1之间变化。

-正切函数的值在0到正无穷之间变化。

二、性质1.互余关系在锐角三角形中，对于同一个角的正弦和余弦函数，它们的数值互为倒数。

即sinA = 1 / cosA，cosA = 1 / sinA。

证明：由定义可知sinA = 对边AB / 斜边AC，cosA = 邻边BC / 斜边AC。

所以sinA / cosA = (对边AB / 斜边AC) / (邻边BC / 斜边AC) = 对边AB / 邻边BC = tanA。

又由于tanA = sinA / cosA，所以sinA = 1 / cosA。

同理可证cosA = 1 / sinA。

2.正切函数的性质在锐角三角形中，正切函数具有以下性质：-任何一个角的正切函数的值是唯一的。

- 对于锐角A和其补角（即90°-A），它们的正切值互为相反数。

（tanA = -tan(90°-A)）。

三、应用锐角三角函数在实际生活和学习中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用：1.三角函数在测量中的应用例如，在建筑和工程中，我们经常需要测量高度、角度等，锐角三角函数可以帮助我们计算和测量。

2.角度的计算通过使用正弦函数、余弦函数和正切函数，我们可以根据已知的边长比计算出对应的角度。

初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是一个重要的数学概念，通常在初中数学学习中进行详细讲解。

下面是一个1200字以上的介绍锐角三角函数的知识点：一、角的概念角是由两条射线共同确定的形状。

有三种表示方法：度、弧度和均分。

1.度表示法度是一种角的度量单位，用符号°表示。

一个圆共有360度，一个直角是90度。

当角小于直角时，角的度数为锐角，大于直角角度且小于平角角度的为钝角。

2.弧度表示法弧度是另一种角的度量单位，用符号rad表示。

一个圆的周长等于2π，所以一个圆有2π弧度。

弧度与角度的转化公式为：角度 = 弧度/π * 180，弧度 = 角度* π/180。

3.均分表示法角的均分表示法将圆分为360个等份，每一份都称为一分。

角的度数可以用分数表示。

二、三角函数的定义锐角三角函数包括正弦、余弦和正切。

它们的定义如下：1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是个周期性函数，用sin表示，定义为对于任意锐角A，正弦函数的值为：sin A = 对边/斜边。

2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数也是个周期性函数，用cos表示，定义为对于任意锐角A，余弦函数的值为：cos A = 邻边/斜边。

3. 正切函数（Tangent Function）正切函数也是个周期性函数，用tan表示，定义为对于任意锐角A，正切函数的值为：tan A = 对边/邻边。

三、三角函数的性质锐角三角函数具有一些重要的性质：1.正弦和余弦的平方和为1对于任意锐角A，有sin^2 A + cos^2 A = 1、这一性质又被称为三角恒等式。

2.三角函数的周期性正弦、余弦和正切函数都是周期函数，它们的周期都是2π。

所以，对于任意锐角A，有sin(A+2πn) = sinA，cos(A+2πn) = cosA和tan(A+2πn) = tanA，其中n是任意整数。

3.正弦、余弦和正切的对称性正弦与余弦函数关于y轴对称，即sin(-A) = -sinA，cos(-A) = cosA。

初中数学锐角三角函数锐角三角函数是数学中的重要分支，用来描述角度和边长之间的关系。

在初中数学中，我们学习了正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别是三角形的对边比斜边、邻边比斜边，以及对边比邻边。

下面，让我们来详细了解一下这些锐角三角函数。

首先，让我们来了解正弦函数。

正弦函数给出了一个角度与其对边和斜边之间的关系。

我们可以通过以下公式来表示：sin(A) = a / c，其中A代表角度，a代表对边的长度，c代表斜边的长度。

通过正弦函数，我们可以求得一个锐角三角形中的对边和斜边之间的比例关系。

正弦函数的取值范围是-1到1之间。

接下来，我们来了解一下余弦函数。

余弦函数描述了一个角度与其邻边和斜边之间的关系。

余弦函数的表示形式为：cos(A) = b / c，其中A代表角度，b代表邻边的长度，c代表斜边的长度。

通过余弦函数，我们可以计算锐角三角形中邻边和斜边之间的比例关系。

余弦函数的取值范围也是-1到1之间。

最后，让我们来了解一下正切函数。

正切函数表示了一个角度与其对边和邻边之间的关系。

正切函数的表示形式为：tan(A) = a / b，其中A代表角度，a代表对边的长度，b代表邻边的长度。

通过正切函数，我们可以计算锐角三角形中对边和邻边之间的比例关系。

正切函数的取值范围可以是任意实数。

锐角三角函数在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑、工程、天文学和地理学等领域中，我们经常需要利用这些函数来计算各种三角形的边长和角度。

此外，在电视信号传输和音频处理中，正弦函数的应用也非常广泛。

通过学习锐角三角函数，我们不仅能够了解角度和边长之间的关系，还能够解决与三角形相关的实际问题。

因此，学习锐角三角函数对我们的数学学习和实际应用都具有重要的指导意义。

在学习锐角三角函数时，我们还需要注意一些常用的角度值。

例如，30度、45度和60度等特殊角度值，它们对应的三角函数值可以事先记住，以方便在计算中的应用。

此外，我们还可以利用三角函数的周期性，简化计算过程。

第二十八章锐角三角函数教材简析本章的内容主要包括：锐角三角函数的概念；30°，45°，60°角的三角函数值；利用计算器求任意锐角的三角函数值及根据三角函数值求出相应的锐角；利用锐角三角函数解直角三角形及三角函数的应用．在学生掌握了直角三角形边、角之间的关系的基础上，引入了锐角三角函数的概念，进而学习解直角三角形，是中学几何的重点与难点．本章是中考的必考内容，主要考查特殊锐角三角函数值的计算和解直角三角形及其应用．教学指导【本章重点】锐角三角函数的概念和直角三角形的解法．【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题．【本章思想方法】1．体会数形结合思想．如：在理解和应用锐角三角函数解决实际问题时，注意数形结合思想的应用，即需根据实际问题画出几何图形，并根据图形寻找直角三角形中边、角之间的关系．2．体会转化思想．如：(1)把实际问题转化成数学问题：把实际问题的情境转化为几何图形；把题中的已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系．(2)把数学问题转化为解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，需要添加适当的辅助线构造出直角三角形．3．体会方程思想．如：在解决直角三角形的实际问题中，经常设出未知数来表示某一个量，并利用直角三角形的边、角关系建立方程，将几何问题转化为求方程的解．课时计划28．1锐角三角函数4课时28．2解直角三角形及其应用3课时28．1 锐角三角函数第1课时 正弦教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．利用相似的直角三角形，探索直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值，从而引出正弦的概念．2．理解锐角的正弦的概念，并能根据正弦的概念进行计算． 【过程与方法】通过探究锐角的正弦的概念的形成，体会由特殊到一般的数学思想方法，培养学生的归纳、推理能力．【情感态度与价值观】让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐，感悟数学的实用性，培养学生学习数学的兴趣．二、重难点目标 【教学重点】理解正弦的意义，会求锐角的正弦值． 【教学难点】理解直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P61～P63的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 ，即sin A ＝a c.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则sin B ＝45.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sin A 和sin B 的值．【互动探索】(引发学生思考)要求sin A 和sin B 的值，需要分别找出∠A 、∠B 的对边和斜边的比．【解答】详细解答过程见教材P63例1.【例2】已知等腰三角形的一腰长为25 cm ，底边长为30 cm ，求底角的正弦值． 【互动探索】(引发学生思考)转化法：将已知条件转化为几何示意图，再作出辅助线构造出直角三角形求解．【解答】如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D. ∵AB ＝AC ＝25 cm ，BC ＝30 cm ，AD 为底边上的高， ∴BD ＝12BC ＝15 cm ，∴在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD ＝AB 2－BD 2＝20 cm ， ∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝2025＝45.即底角的正弦值为45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值一定要在直角三角形中求，当图形中没有直角三角形时，要通过作高构造直角三角形解答．活动2 巩固练习(学生独学) 1．如图，sin A 等于( C )A ．2B ．55C.12D ． 52．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( B )A.83 B ．6 C ．12D ．83．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 24．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AD ＝9，DC ＝5，E 为AC 的中点，求sin ∠EDC 的值．解：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADC ＝90°. ∵AD ＝9，DC ＝5，∴AC ＝AD 2＋DC 2＝92＋52＝106. ∵E 为AC 的中点， ∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，∴∠EDC ＝∠C ，∴sin ∠EDC ＝sin C ＝AD AC ＝9106＝9106106.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，求sin ∠ABD 的值．【互动探索】首先根据垂径定理得出∠ABD ＝∠ABC ，然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB ＝90°，从而由勾股定理算出斜边AB 的长，再根据正弦的定义求出sin ∠ABC 的值，进而得出sin ∠ABD 的值．【解答】∵AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ， ∴AC ︵ ＝AD ︵， ∴∠ABD ＝∠AB C. ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵BC ＝6，AC ＝8， ∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10， ∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 1．如图，sin A ＝∠A 的对边斜边.2．求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形中，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时锐角三角函数教学目标一、基本目标【知识与技能】1．掌握余弦、正切的定义．2．了解锐角∠A的三角函数的定义．3．能运用锐角三角函数的定义求三角函数值．【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．【情感态度与价值观】通过观察、思考、交流、总结等数学活动，体验数学学习充满着探索与发现，培养学生积极思考，勇于探索的精神．二、重难点目标【教学重点】余弦、正切的概念，并会求指定锐角的余弦值、正切值．【教学难点】利用锐角三角函数的定义解决有关问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P64～P65的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，即cos A ＝bc ；(2)∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，即tan A ＝ab .2．锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的锐角三角函数.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则cos B ＝35，tan B ＝43.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，求sin A 、cos A 、tan A.【温馨提示】详细解答过程见教材P65例2.【例2】如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求cos C 的值．【互动探索】(引发学生思考)观察图形，cos C ＝DC AC ，所以需要通过tan ∠BAD ＝34和已知条件求出DC 、AC 的长度，再代入求值．【解答】∵在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5， ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13， ∴cos C ＝DC AC ＝513.【互动总结】(学生总结，老师点评)在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义分清它们的边角关系，再根据勾股定理解答．活动2 巩固练习(学生独学)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( C ) A.513 B ．512C.1213D ．1252．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则AC 等于( A )A ．6B ．323C ．10D ．123．如图所示，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝12.4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，AC ＝2，CD ＝1，设∠CAD ＝α.(1)求sin α、cos α、tan α的值； (2)若∠B ＝∠CAD ，求BD 的长．解：在Rt △ACD 中，∵AC ＝2，DC ＝1， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝ 5.(1)sin α＝CD AD ＝15＝55，cos α＝AC AD ＝25＝255，tan α＝CD AC ＝12.(2)在Rt △ABC 中，∵tan B ＝AC BC， 而∠B ＝∠CAD ， ∴tan α＝2BC ＝12，∴BC ＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据三角函数定义尝试说明： (1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)sin A ＝cos B ； (3)tan A ＝sin A cos A.【互动探索】用定义表示出sin A 、cos A 、cos B 、tan A →计算等式的左边与右边→得出结论．【证明】(1)由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2，而sin A ＝a c ，cos A ＝bc ，∴sin 2A ＋cos 2A ＝a 2c 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1. (2)∵sin A ＝a c ，cos B ＝ac ，∴sin A ＝cos B.(3)∵tan A ＝a b ，sin A cos A ＝a c b c ＝ab，∴tan A ＝sin Acos A.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．题目中的三个结论应熟记．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 锐角三角函数⎩⎪⎨⎪⎧正弦→对比斜余弦→邻比斜正切→对比邻练习设计请完成本课时对应练习！第3课时 特殊角的三角函数值教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算． 2．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小． 【过程与方法】1．通过探索特殊角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力． 2．通过推导特殊角的三角函数值，了解知识间的联系，提升综合运用数学知识解决问题的能力．【情感态度与价值观】在探索特殊角的三角函数值中，学生积极参与数学活动，培养学生独立思考问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】根据30°，45°，60°角的三角函数值进行有关计算． 【教学难点】正确理解与记忆30°，45°，60°角的三角函数值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P65～P67的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．sin 30°＝12，cos 30°2tan 30°32．sin 60°2cos 60°＝12，tan 60°3．sin 45°2cos 45°2tan 45°＝1. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各式的值： (1)cos 260°＋sin 260°； (2)cos 45°sin 45°－tan 45°. 【互动探索】(引发学生思考)熟记特殊角的三角函数值→代入算式求值．【解答】(1)cos 260°＋sin 260°＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. (2)cos 45°sin 45°－tan 45°＝22÷22－1＝0. 【互动总结】(学生总结，老师点评)特殊角的三角函数值必须熟练记忆，既能由角得值，又能由值得角，记忆这个结果，可以结合直角三角形三边的大小关系，也可以结合数值的特征，30°，45°，60°的正弦值分母都是2，分子分别为1，2，3，而它们的余弦值分母都是2，分子正好相反，分别为3，2，1；其正切值分别为1÷3，1,1× 3.【例2】数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B 、C 、E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．【互动探索】(引发学生思考)根据正切的定义求出AC →根据正弦的定义求出CF →AF ＝AC －F C.【解答】在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BC tan A ＝23，∴EF ＝AC ＝2 3. ∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( A ) A ．20° B ．30° C ．40°D ．50°2．若∠A 为锐角，且tan 2A ＋2tan A －3＝0，则∠A ＝45度． 3．计算．(1)2sin 30°－2cos 45°； (2)tan 30°－sin 60°·sin 30°； (3)(1－3tan 30°)2. 解：(1)0. (2)312. (3)3－1. 4．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°， ∴△BCD 为等腰直角三角形， ∴BD ＝B C.在Rt △ABC 中，∵tan A ＝tan 30°＝BC AB ，∴BC BC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0，试判断△ABC 的形状．【互动探索】根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值→根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数→判断△ABC 的形状．【解答】∵(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0， ∴1－tan A ＝0，sin B －32＝0， ∴tan A ＝1，sin B ＝32， ∴∠A ＝45°，∠B ＝60°， ∴∠C ＝180°－45°－60°＝75°， ∴△ABC 是锐角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 特殊角的三角函数值：练习设计请完成本课时对应练习！第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能利用计算器求锐角三角函数值．2．已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角．3．能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题．【过程与方法】使用计算器可以解决部分复杂问题，通过求值探讨三角函数问题的某些规律，提高学生分析问题的能力．【情感态度与价值观】通过计算器的使用，了解科学在人们日常生活中的重要作用，激励学生热爱科学、学好文化知识．二、重难点目标【教学重点】运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．【教学难点】用计算器求锐角三角函数值时的按键顺序．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P67～P68的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．用计算器求sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(A)A.sin24°′″37°′″18°′″＝B.24°′″37°′″18°′″sin＝C.2ndF sin24°′″37°′″18°′″＝D.sin24°′″37°′″18°′″2ndF＝2．使用计算器求下列三角函数值．(精确到0.0001)(1) sin 24°≈0.4067；(2)cos 35°≈0.8192；(3)tan 46°≈1.0355.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】按要求解决问题：(1)求sin 63°52′41″的值；(精确到0.0001)(2)求tan 19°15′的值；(精确到0.0001)(3)已知tan x＝0.7410，求锐角的值．(精确到1′)【互动探索】(引发学生思考)熟悉用科学计算器求锐角三角函数值的操作流程．【解答】(1)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：sin 63°′′′52°′′′41°′′′＝显示结果为0.897 859 012.所以sin 63°52′41″≈0.8979.(2)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：tan 19°′′′15°′′′＝显示结果为0.349 215 633 4.所以tan 19°15′≈0.3492.(3)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：SHIFT tan 0.7410＝显示结果为36.538 445 77.再按°′′′，显示结果为36°32′18.4″.所以x≈36°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序．【例2】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：(1)AB边上的高(精确到0.01)；(2)∠B的度数(精确到1′)．【互动探索】(引发学生思考)观察图形→作辅助线→利用相似锐角三角函数解直角三角形．【解答】(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H . ∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CHAC ，∴CH ＝AC ·sin A ＝9sin 48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝AH AC ，∴AH ＝AC ·cos A ＝9cos 48°，∴在Rt △BCH 中，tan B ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin 48°8－9cos 48°，∴∠B ≈73°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角函数求非直角三角形的边或角，一般情况下要构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，若用科学计算器求∠A 的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是( )A.tan 2÷3＝B.tan 2÷3DMS ＝C.2ndF tan (2÷3)＝D.2ndF tan (2÷3)DMS ＝2．用计算器求下列锐角的三角函数值．(精确到0.0001) (1)tan 63°27′； (2)cos 18°59′27″； (3)sin 67°38′24″； (4)tan 24°19′48″. 解：(1)2.0013. (2)0.9456. (3)0.9248. (4)0.4521. 3．根据下列条件求锐角A 的度数．(精确到1″) (1)cos A ＝0.6753； (2)tan A ＝87.54； (3)sin A ＝0.4553； (4)sin A ＝0.6725.解：(1)47°31′21″. (2)89°20′44″. (3)27°5′3″. (4)42°15′37″. 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用计算器求锐角三角函数值⎩⎪⎨⎪⎧求已知角的三角函数值由锐角三角函数值求锐角练习设计请完成本课时对应练习！28．2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形(第1课时)教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．了解什么叫解直角三角形． 2．掌握解直角三角形的根据． 3．能由已知条件解直角三角形． 【过程与方法】在探索解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想． 【情感态度与价值观】在探究活动中，培养学生的合作交流意识，让学生在学习中感受成功的喜悦，增强学习数学的信心．二、重难点目标 【教学重点】 解直角三角形的方法． 【教学难点】会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P72～P73的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.2．在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c . (1)两锐角互余，即∠A ＋∠B ＝90°； (2)三边满足勾股定理，即a 2＋b 2＝c 2；(3)边与角关系sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a .3．Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝10，那么BC ＝8，tan B ＝34.环节2 合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】见教材P73例1.【例2】见教材P73例2.活动2巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(A)A．c sin A＝a B．b cos B＝cC．a tan A＝b D．c tan B＝b2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为3．根据下列条件解直角三角形．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12.解：(1)a＝43，∠B＝30°，∠A＝60°.(2)∠B＝30°，b＝43，c＝8 3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．【解答】如题图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠CBA＝45°，∴BM＝BC sin 45°＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan 60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！28．2.2应用举例第2课时利用仰角、俯角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题．2．了解仰角、俯角等有关概念，会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．【过程与方法】通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题，经历将实际问题转化为数学问题的探究过程，提高应用数学知识解决实际问题的能力．【情感态度与价值观】通过探索三角函数在实际问题中的应用，感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神．二、重难点目标【教学重点】利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题．【教学难点】建立合适的三角形模型，解决实际问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P74～P75的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2．如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端点A的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为a tan α米．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图所示，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少？(地球半径约为6400 km，π取3.142，结果取整数)【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3.【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)?【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.活动2巩固练习(学生独学)如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少？(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：由题易知，∠DAC＝∠EDA＝30°. ∵在Rt△ACD中，CD＝21 m，∴AC＝CDtan 30°＝2133＝213(m)．∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21 m，∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．即河的宽度AB约是15.3 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)【互动探索】要求AB ，先求出AE 与BE →解直角三角形：Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中，∵∠ADE ＝65°，DE ＝15米， ∴tan ∠ADE ＝AE DE，即tan 65°＝AE15≈2.1，解得 AE ≈31.5米．在Rt △BCE 中，∵∠BCE ＝42°，CE ＝CD ＋DE ＝6＋15＝21(米)， ∴tan ∠BCE ＝BE CE，即tan 42°＝BE21≈0.9，解得 BE ≈18.9米．∴AB ＝AE －BE ＝31.5－18.9≈13(米)． 即旗杆AB 的长大约是13米．【互动总结】(学生总结，老师点评)先分析图形，根据题意构造直角三角形，再解Rt △ADE 、Rt △BCE ，利用AB ＝AE －BE 即可求出答案．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！第3课时 利用坡度、方向角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能运用解直角三角形解决航行问题．2．能运用解直角三角形解决斜坡问题．3．理解坡度i ＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝坡角的正切值． 【过程与方法】1．通过探究从实际问题中建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．2．通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，增强应用意识，体会数形结合思想的应用．【情感态度与价值观】在运用三角函数知识解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题．【教学难点】准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P76～P77的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】(一)方向角1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．2．如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向．(二)坡度、坡角1．坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝hl＝tan α.2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为(三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；3．得到数学问题的答案；4．得到实际问题的答案．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)(一)解直角三角形，解决航海问题【例1】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD 的长并与10海里比较→得出结论．【解答】如题图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BD AD， ∴BD ＝AD ·tan 55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD ＝CD AD， ∴CD ＝AD ·tan 25°.∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD ·tan 55°＝20＋AD ·tan 25°，∴AD ＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(海里)． 而20.79海里>10海里，∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A 距BC 的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．(二)解直角三角形，解决坡度、坡角问题【例2】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD ，AD ∥BC ，路基顶宽BC ＝9.8 m ，路基高BE ＝5.8 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.6，斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD 的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°)．【互动探索】(引发学生思考)将坡度i＝1∶1.6和i′＝1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD＝AE＋EF＋DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值．【解答】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5，∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tan α＝i＝1∶1.6，tan β＝i′＝1∶2.5，得α≈32°，β≈22°.即铁路路基下底宽AB为33.6 m，斜坡的坡角α和β分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为2．“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500 m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，根据题意，有∠CAD ＝30°.∵tan ∠CAD ＝CD AD， ∴AD ＝CD tan 30°＝3C D. 在Rt △CBD 中，根据题意，有∠CBD ＝60°.∵tan ∠CBD ＝CD BD，∴BD＝CDtan 60°＝33C D.又∵AD－BD＝500 m，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，小明于堤边A处垂钓，河堤AB的坡比为1∶ 3 ，坡长为3米，钓竿AC的倾斜角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°，求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线，构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形，DE＝CE＝AC＋AE→求得BD长．【解答】如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB，交EB于点F，则∠。

初中数学什么是锐角三角函数锐角三角函数是初中数学中重要的概念之一。

它们是用来描述锐角三角形中角度和边长之间的关系的函数。

在学习锐角三角函数之前，我们需要了解一些基本的三角概念。

首先，让我们回顾一下锐角三角形的定义。

锐角三角形是指其中的角度都小于90度的三角形。

在锐角三角形中，我们可以将其中一个锐角定义为A，并将其对边的长度定义为a，邻边的长度定义为b，斜边的长度定义为c。

基于这些定义，我们可以引入三个常用的锐角三角函数，它们分别是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

这些函数可以用来描述锐角三角形中角度和边长之间的关系。

1. 正弦函数（sin）：正弦函数是指角A的对边与斜边的比值，也就是a/c。

我们用sin(A)来表示正弦函数，其值为sin(A) = a/c。

2. 余弦函数（cos）：余弦函数是指角A的邻边与斜边的比值，也就是b/c。

我们用cos(A)来表示余弦函数，其值为cos(A) = b/c。

3. 正切函数（tan）：正切函数是指角A的对边与邻边的比值，也就是a/b。

我们用tan(A)来表示正切函数，其值为tan(A) = a/b。

这些函数可以帮助我们计算锐角三角形中的各个边长和角度。

例如，已知锐角三角形中的某一个角度和一个边长，我们可以使用正弦函数、余弦函数或正切函数来计算其他边长或角度。

除了以上三个基本的锐角三角函数，还存在它们的倒数函数，即余割函数（csc）、正割函数（sec）和余切函数（cot）。

这些函数与正弦函数、余弦函数和正切函数的关系如下：1. 余割函数（csc）：余割函数是正弦函数的倒数，即csc(A) = 1/sin(A)。

2. 正割函数（sec）：正割函数是余弦函数的倒数，即sec(A) = 1/cos(A)。

3. 余切函数（cot）：余切函数是正切函数的倒数，即cot(A) = 1/tan(A)。

这些倒数函数可以在某些特定问题中发挥作用，但在初中数学中的重点通常是正弦函数、余弦函数和正切函数。

1.锐角三角函数锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(s i n),余弦(c o s)和正切(t an),余切(c o t)以及正割(s e c)，余割(c s c)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(s i n)：对边比斜边，即s i n A=a/c余弦(c o s)：邻边比斜边，即c o s A=b/c正切(t a n)：对边比邻边，即t a n A=a/b余切(c o t)：邻边比对边，即c o t A=b/a正割(s e c)：斜边比邻边，即s e c A=c/b余割(c s c)：斜边比对边，即c s c A=c/a2.特殊角三角函数值3.互余角的关系s i n(π-α)=c o sα,c o s(π-α)=s i nα,t an(π-α)=c o tα,c o t(π-α)=t a nα.4.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)5.积的关系s i nα=t a nα·c o sαc o sα=c o tα·s i nαt anα=s i nα·s e cαc o tα=c o sα·c s cαs e cα=t anα·c s cαc s cα=s e cα·c o tα6.倒数关系t anα·c o tα=1s i nα·c s cα=1c o sα·s e cα=17.诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s i n(2kπ+α)=s i nαk∈zc o s(2kπ+α)=c o sαk∈zt an(2kπ+α)=t a nαk∈zc o t(2kπ+α)=c o tαk∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：s i n(π+α)=-s i nαc o s(π+α)=-c o sαt an(π+α)=t anα8.两角和差公式(1)s i n(A+B)=s i n A c o s B+c o s A s i n B(2)s i n(A-B)=s i n A c o s B-s i n B c o s A(3)c o s(A+B)=c o s A c o s B-s i n A s i n B(4)c o s(A-B)=c o s A c o s B+s i n A s i n B(5)t a n(A+B)=(t a n A+t a n B)/(1-t an A t an B)(6)t a n(A-B)=(t a n A-t a n B)/(1+t a n A t an B)(7)c o t(A+B)=(c o t A c o t B-1)/(c o t B+c o t A)(8)c o t(A-B)=(c o t A c o t B+1)/(c o t B-c o t A)除了以上常考的三角函数公式外，掌握下面半角公式，积化和差和万能公式有利于快速解决选择题，达到事半功倍的效果哦！1.半角公式注：正负由α/2所在的象限决定。